Catatan Kuliah
Aljabar Linier
Suryadi Siregar
Sekolah Tinggi Manajemen
Informatika dan Komputer Bandung
______________________________________
BANDUNG 2018
FMIPA-ITB Page i
Kata Pengantar
Bagian pertama, buku ini membahas tentang, operasi vektor dan aplikasi perkalian vektor. Skenario proses Gramm-Schmidt bagian ini, diakhiri dengan soal latihan yang harus dikerjakan secara mandiri maupun berkelompok
Bagian kedua, membahas Kebergantungan Linier Vektor di Rn dan Matriks, pengertian bebas linier, kebergantungan linier Matrik, operasi matrik diakhiri dengan soal latihan
Bagian ketiga, memberikan ragam cara menyelesaikan Sistem Persamaan Linier & Matriks Untuk mengasah keterampilan mahasiswa disampaikan beberapa soal pekerjaan rumah
Bagian keempat, Aplikasi Aljabar Linier dengan studi kasus rangkaian listrik. Programa Linier,. Matrik Markovs dan banyak latihan soal
Mahasiswa yang mengambil matakuliah ini hendaknya tidak mengandalkan buku ini sebagai satu-satunya sumber. Berselancar di internet, membaca buku dan jurnal di Perpustakaan merupakan hal mutlak yang harus dilakukan untuk mencapai sukses.
Akhir kata semoga buku ini memberikan manfaat bagi pengguna, saran dan komentar untuk kesempurnaan akan kami terima dengan senang hati
Acknowledgments Buku ini disusun dari banyak sumber yang telah menjadi public domain
Bandung, akhir Januari 2018 Penulis
FMIPA-ITB Page ii
Daftar Isi
Bab 1 Ruang Vektor 1
I. 1 Ruang Vektor Rn 1
I. 2 Panjang vector dan jarak dua titik 2
I. 3 Operasi pada vektor 3
I. 4 Cara menghitung penjumlahan vektor; 4
I. 5 Jarak antara dua titik 4
I. 6 Perkalian dengan Vektor 5
I. 7 Definisi 6
I. 8 Perkalian silang/vektor (cross product) 7
I. 9 Theorema 7
1.10 Menentukan Himpunan Ortonormal dengan Proses Gramm-Schmidt 8
I. 11 Hitung Volume Kotak 12
I. 12 Kebergantungan Linier Vektor Di Rn 13
I. 13 Ruang Bagian (sub-space) 15
I. 14 Soal Latihan 15
17
Bab 2 Kebergantungan Linier Vektor di Rn dan Matriks 17
II. 1 Kombinasi Linier 17
II. 2 Ruang Bagian (sub-space) 19
II. 3 M a t r i k s 20
II. 4 Operasi Matriks 24
II.5 Latihan 34
Bab 3. Sistem Persamaan Linier & Matriks 36
III. 1 Persamaan Linier 36
III. 2 Sistem persamaan linier 37
III. 3 Operasi baris elementer 38
III. 4 Sistem persamaan linier homogen 42
III. 6 Operasi Matriks 44
III. 7 Latihan 54
III. 8 Representasi Matriks dalam Sistem Persamaan Linier 57
III. 9 Latihan 62
III. 10 Minor, Kofaktor dan Determinan 63
III. 11 Notasi dan Sifat-Determinan 66
III. 12 Soal latihan: 67
III. 13 Eliminasi Gauss-Jordan 68
III. 14 Mencari Solusi Persamaan Linier dengan Matrik Inversi 69 III. 15 Mencari Solusi Persamaan Linier dengan Metode Cramer 70
FMIPA-ITB Page iii
IV. 2 Rangkaian listrik 74
IV. 3 Programa Linier (Linear Programming) dan Optimasi 75
IV. 4 Latihan 79
IV. 5 Matrik Stochastic, proses Markov 79
Bab V Nilai dan Vektor Eigen 82
V. 1 Menentukan nilai eigen 82
V. 2 Algoritma mencari nilai dan vector eigen 83
V. 3 Soal Latihan 86
Aljabar Linier 1
Bab 1 Ruang Vektor
______________________________________________________
I. 1 Ruang Vektor R
n1. Ruang berdimensi satu R1 = R = kumpulan bilangan real Menyatakan suatu garis bilangan;
-3 -2 -1 0 1 2 2. Ruang berdimensi dua R2 = bidang datar ;
Setiap vektor di R2 dinyatakan sebagai pasangan terurut dua bilangan real dalam sumbu x dan sumbu y;
Gambar 1. 1 Vektor pada suatu bidang mempunyai komponen x dan y
Aljabar Linier 2 A= (a1,a2) vektor menyatakan sebuah titik
Dapat juga ditulis sebagai
1 2 1 2
A a i a j a a
dimana i j, adalah vektor satuan sepanjang
sumbu x dan sumbu y vektor A
dikatakan merupakan kombinasi linier dari vektor a1
dan
2
a
Dalam hal ini i (1, 0)
dan j (0,1)
adalah vektor satuan, yaitu vektor yang panjangnya satu, masing2 sepanjang sumbu x, sumbu y dan saling tegak lurus
I. 2 Panjang vector dan jarak dua titik
Panjang vektor (norm) A
dapat dihitung dari dalil Phytagoras;
2 2 2 2 2
1 2 1 2
A a a A a a
Untuk vektor di R3 = dalam ruang. Prinsipnya sama; Bila ditulis sebagai ;
A= (a1,a2,a3) vektor menyatakan sebuah titik
Jika ditulis 1 2 3 1 2 3 A a i a j a k a a a dikatakan vektor A merupakan kombinasi linier dari vektor a1
,a2
dana3
Dalam hal ini i (1, 0, 0)
, j (0,1, 0) dan k (0, 0,1) adalah vektor
satuan yakni vektor yang panjangnya satu dan saling tegak lurus satu sama lain.
Aljabar Linier 3 Vektor dengan sifat seperti ini disebut vektor ortonormal
(panjang/norm satu dan saling tegak lurus) Panjang vektor (norm) A
dapat dihitung dari dalil Phytagoras;
2 2 2 2 2 2 2
1 2 3 1 2 3
A a a a A a a a
Gambar 1 Vektor dalam ruang mempunyai komponen x,y dan z
I. 3 Operasi pada vektor
Sifat vektor dapat dipindah asal norm dan arahnya tetap, jadi jika
ada dua vektor A
dan B dan C =A + B
Diagram berikut menyatakan penjumlahan kedua vektor ini C
=A + B adalah sama;
Aljabar Linier 4 Gambar 1. 2 Penjumlahan vektor
I. 4 Cara menghitung penjumlahan vektor;
JikaA
dan B
dua vektor di Rn maka C
=A + B juga merupakan vektor yang ada di Rn, artinya
Jika A
=(a1,a2,..,an) dan B
=(b1,b2,..,bn) maka C =A + B = (a1+b1,a2+ b2,..,an+ bn) Contoh Misalkan A =(1,2,-2) dan B = (3,4,-5) maka; 1) C =A + B =(1+3, 2+4, -2-5) = (4,6,-7) ) C =A - B =A + (-B )=(1,2,-2)+ (-3,-4,5)= (-2,-2,3) 3) C 3A 3 1 2 2 , , 3 6 6, ,
I. 5 Jarak antara dua titik
Jika A
=(a1,a2) dan B
=(b1,b2) maka jarak A ke B sama saja dengan
menghitung panjang (norm) vektor AB
Aljabar Linier 5 Gambar 1. 3 Jarak antara dua titik A dan B identik dengan panjang
vektor AB dalam hal ini AB B A
Dari gambar kita lihat; B
=A +AB atau 1 2 1 2 1 1 2 2 AB B A b b, a a, b a b, a
Jadi panjang vektor;
2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( ) ( ) ( ) ( ) AB b a b a a b a b BA
I. 6 Perkalian dengan Vektor
1) Perkalian dalam/ titik (inner product/dot product)
Definisi andaikan A
dan B
vektor di R2 atau di R3 maka didefinisikan; A B = A . B Cos
sudut yang dibentuk diantara vektor A
dan B (perhatikan gambar 1.3)
Aljabar Linier 6 Gambar 1. 4 Segitiga sembarang Rumus cosinus 2 2 2 2 a b c bcCos 2 2 2 2 b a c acCos 2 2 2 2 c a b abCos Rumus sinus 2 2 2 2 . AB A B A B Cos
atau dapat juga ditulis;
2 2 2
2 .
B A A B A B Cos
Atau dengan menggabungkan definisi dan pernyataan ini diperoleh;
2 2 2 1 . 2 A B A B Cos A B B A
atau dapat ditulis kembali;
2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) ( ) 2 A B a a b b b a b a a b a b jadi 1 1 2 2 A B a b a b I. 7 Definisi
Untuk ruang dimensi n, Rn perinsipnya sama, jikaA ( ,a a1 2,.... )an
dan 1 2 ( , ,.... )n B b b b a b c
Aljabar Linier 7 maka 1 1 2 2 1 ... n n
n i i A B a b a b a b a bI. 8 Perkalian silang/vektor (cross product)
Definisi Perkalian vektor atau perkalian silang hanya didefinisikan untuk R3 Jika A =(a1,a2,a3) dan B =(b1,b2,b3) maka A B didefinisikan sebagai; 1 2 3 1 2 3 i j k A B a a a b b b = 2 3 1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 a a a a a a i j k b b b b b b A ×B 2 3 3 2 1 3 3 1 1 2 2 1 ( ) ( ) ( ) i a b a b j a b a b k a b a b
I. 9 Theorema
1) A ×B = - ( B ×A ) skew symmetry 2) A × (B +C ) = A ×B + A ×C hukum distribusi 3) c(A ×B ) = (cA )×B c suatu skalar 4) A (A ×B ) = 0 ortogonalitas terhadap A 5) B (A ×B ) = 0 ortogonalitas terhadap B 6) 2 2 2 2 2 2 2 ( ) sin A B A B A B A B Identitas LagrangeAljabar Linier 8 7) A ×B = O A dan B
bergantungan linier, (yang satu merupakan kelipatan yang lain) disini O
adalah vektor nol, yaitu vektor dengan panjang nol
Ilustrasi;
Gambar 1. 5 Perkalian dua vektor menentukan arah
I. 10 Menentukan Himpunan Ortonormal dengan
Proses Gramm-Schmidt
Diberikan himpunan vector Y= a,b,c,d
ingin dicari himpunan vectorortonormal O= e ,e ,e ,e 1 2 3 4
Aljabar Linier 9
1 1 1 1 2 2 1 2 1 2 1Jawab I : Buat Vektor Ortonormal e a
e = a
II : Buat Ruang Vektor W dengan e dan b W= e ,b
e * W e *=αe +βb , α,β bil ril sembarang Jika e * e sehingga e *.e =0 α
1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 2 1 2 2 e +βb .e =0 αe .e +βb.e =0 α+βb.e =0α=-βb.e e *= -βb.e e +βb Ambil β=1 e *=b- b.e e
e *
e = ,maka e dan e Ortonormal. e * 1 2 3 3 1 2 3 1 1 2 1 1 1 3 2 1 2 2
III: Buat Ruang Vektor U= e ,e ,c
e * U e *=αe +βe +γc, α,β,γ sembarang i e * e αe +βe +γc e =0 α + β(0) + c.e =0 Ambil γ=1 α=-c.e . ii e * e αe +βe +γc e =0 0 + 2 2 3 1 1 2 2 3 3 3 β + γc.e =0 β c.e e *=c- c.e e - c.e e * * e e e
Aljabar Linier 10
4 4 1 2 3 4 1 1 2 3 1 1 1 4 2 1 2 3 2 2 2 4 3 1 2 3 3 e V e e e e d e e e e e d e 0 0 0 d e 0 ambil 1 d e e e e e e d e 0 0 0 d e 0 d e e e e e e d e 0 0 0 d e * * * * * 3 0 d e3Dengan demikian kita peroleh
4 1 1 2 2 3 3 4 4 4 e d d e e d e e d e e e e e * * *Sehingga himpunan ortonormal O sudah dapat ditentukan
1 2 3 4 O e e e e, , , Ilustrasi 1. Diketahui :
1, 0,1 , 2,1, 0 , 1,1, 0
A Carilah himpunan ortonormalnya ?
Penyelesaian: Misal = a = (-1,0,1) , b=(-2,1,0), c =(-1.1.0) a. Untuk e1
1 2 2 2 1, 0,1 1 1, 0,1 2 1 0 1 a e a b. Untuk e2Aljabar Linier 11 Buat ruang vektor
1, B e b Maka ada
* 2 * 2 1 1 1 1 2,1, 0 2,1, 0 1, 0,1 1, 0,1 2 2 1 1 2,1, 0 2,1, 0 1, 0,1 1, 0,1 2,1, 0 2 1, 0,1 1,1, 1 2 2 e B e b b e e Maka:
* 2 2 * 2 2 2 2 1,1, 1 1 1,1, 1 3 1 1 1 e e e c. Untuk , Maka ada * * 3 3 1 1 2 2 e e c c e e c e e
* 3 1 1 1,1, 0 1,1, 0 1, 0,1 1, 0,1 2 2 1 1 1,1, 0 1,1, 1 1,1, 1 3 3 1 1 1,1, 0 1,1, 0 1, 0,1 1, 0,1 1,1, 0 1,1, 1 1,1, 1 2 3 1 1 1 1 1 1,1, 0 1 1, 0,1 2 1,1, 1 , , 2 3 6 3 6 e Maka: * 3 3 * 2 2 2 3 1 1 1 , , 1 6 3 6 1, 2,1 6 1 1 1 6 3 6 e e e Sehingga diperoleh: 1 1 1 1, 0,1 , 1,1, 1 , 1, 2,1 , 2 3 6 O Aljabar Linier 12
I. 11 Hitung Volume Kotak
Vektor A dan B membentuk alas sebuah kotak. Vektor C
menyatakan rusuk tegaknya. Ketiga vektor berada di R3. Hitunglah volume kotak tersebut.
Penyelesaian
Gambar 1. 6 Kotak dibentuk oleh tiga vector A, B dan C. Sudut disebut inklinasi. Volume kotak V
A B
CVolume = Luas alas kali tinggi= Luas jajaran genjang kali tinggi
1
V 2 Luassegi tiga tinggi 2 A B sin C cos
2
A B sin C cos A B C cos A B C
Ilustrasi
2. Hitung luas alas, inklinasi dan volume kotak yang dibangun oleh vektor :
Aljabar Linier 13
1, 2,3 , 2, 3,1 1, 0, 2
A B dan C dimana A dan B sebagai alas dan C sebagai rusuk tegak
Penyelesaian: i. Hitung 2 3 1 3 1 2 1 2 3 11 5 7 11, 5, 7 3 1 2 1 2 3 2 3 1 i j k A B i j k i j k
ii. Hitung volume kotak
Volume, V
A B
C 11,5, 7 1, 0, 2 11 0 14 3Volume kotak = 3 satuan isi iii. Hitung inklinasi
cos 3 11,5, 7 1, 0, 2 cos 3 3 195 5 cos cos 95,5 31, 225 o A B C A B C Jadi, sudut inklinasinya adalah 95,5 derajad
I. 12 Kebergantungan Linier Vektor Di R
n DefinisiJika vektor S dapat dinyatakan sebagai 1 1 2 2 1
. . .
n
i i n n
S
a b a b a b a bdengan ai suatu konstanta dan bi menyatakan suatu vector. Maka S
dikatakan merupakan kombinasi linier dari bi
Definisi Jika 1 1 2 2 1 . . . n i i n n S
a b a b a b a b O .Himpunan vector b b1, 2, . . . ,bndisebut bebas linier jika dan hanya
Aljabar Linier 14 Himpunan vector b b1, 2, . . . ,bn disebut bergantungan linier jika
ada salah satu ai dalam S yang tidak sama dengan nol
Ilustrasi
1) Periksa apakah C 1, 2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
dari dua vector A 3, 4 dan B 2, 5
Penyelesaian: cari konstanta aidari pernyataan :
1 2 1, 2 1 3, 4 2 2, 5 3 1 2 , 42 1 5 2
Ca A a B a a a a a a Jadi diperoleh persamaan linier;
1 2 1 2 1 2 2 1 1 3 2 1 1 2 3 1 4 5 2 4 2 5 a a a a a a a a Kita peroleh 1 2 1 10 , 23 23 a a
Jadi ada a1 dan a2 yang memenuhi. Jadi vector C merupakan
kombinasi linier dari vector A dan vector B
2) Periksa apakah C 1,3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
dari dua vector A 3, 6 dan B 1, 2
Penyelesaian: cari aidari pernyataan :
1 2 1,3 1 3, 6 2 1, 2 3 1 2, 6 1 2 2
Ca A a B a a a a a a
Jadi diperoleh persamaan linier;
1 2 1 2 3 1 (2) 6 2 3 0 1 a a a a
Tidak konsisten, jadi tidak ada a1 dan a2 yang memenuhi, jadi
vector C bukan merupakan kombinasi linier dari vector A dan vector B.
3) Periksa apakah C 4,8 dapat dinyatakan sebagai kombinasi
linier dari dua vector A 3, 6 dan B 1, 2
Aljabar Linier 15
1 2 4,8 1 3, 6 2 1, 2 3 1 2, 6 1 2 2
C a A a B a a a a a a
Jadi diperoleh persamaan linier;
1 2 1 2 3 4 6 2 8 a a a a
Kedua persamaan ini adalah identik jadi kita hanya dapat menyatakan
Kita peroleh a2 4 3a1
Jadi ada a1 dan a2 yang tak hingga banyaknya yang memenuhi.
Jadi vector C merupakan kombinasi linier dari vector A dan vector B
I. 13 Ruang Bagian (sub-space)
Definisi M himpunan satu atau lebih vector dari suatu ruang vector V dinamakan ruang bagian V jika memenuhi
1) u M, v M u v M 2) R u M
I. 14 Soal Latihan
1) Hitunglah sudut antara A
dan B serta panjang C A + B jika; A=(1,2) dan B=(-1,4) 2) Panjang vektor A =(1,-2) dan B = (3,4) membentuk rusuk suatu jajaran genjang hitunglah luas jajaran genjang tersebut 3) Sebuah kotak dibangun oleh rusuk-rusuk yang dinyatakan oleh 3 vektor ; A , B dan C . Jika A dan B
diambil sebagai alas. a) Buktikan bahwa isi kotak tersebut adalah
V = (A x B ) C .
Aljabar Linier 16 A =(1,2,0) dan B =(-2,1,0) dan C
=(1,2,3). Hitunglah volume kotak jika A
dan B
menyatakan rusuk dari alas kotak tersebut. Hitung juga kemiringan(inklinasi), , dari kotak itu
4) Diketahui:
1, 0,1,1 , 1, 2,1, 0 , 1, 1,1, 0 , 1,1,1,1
A
Aljabar Linier 17
Bab II
Kebergantungan Linier Vektor di R
ndan Matriks
______________________________________________________
II. 1 Kombinasi Linier
DefinisiJika S dapat dinyatakan sebagai 1 1 2 2 1
. . .
n
i i n n
S
a b a b a b a bdengan ai suatu konstanta dan bi masing menyatakan suatu vector.
Maka S disebut merupakan kombinasi linier dari bi
Definisi Jika 1 1 2 2 1 . . . i i n n i S a b a b a b a b O
. (3.1)Himpunan vector b b1, 2, . . . ,bndisebut bebas linier jika dan hanya
jika dalam (3.1) dipenuhi a1a2. . .ano
Himpunan vector b b1, 2, . . . ,bn disebut bergantungan linier jika
ada salah satu ai dalam (3.1) yang tidak sama dengan nol
Ilustrasi
1) Periksa apakah C 1, 2 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
dari dua vector A 3, 4 dan B 2, 5
Penyelesaian cari aidari pernyataan :
1 2 1, 2 1 3, 4 2 2, 5 3 1 2 , 42 1 5 2
Aljabar Linier 18 Jadi diperoleh persamaan linier;
1 2 1 2 1 2 2 1 1 3 2 1 1 2 3 1 4 5 2 4 2 5 a a a a a a a a Kita peroleh 1 2 1 10 , 23 23 a a
Jadi ada a1 dan a2 yang memenuhi jadi vector C merupakan
kombinasi linier dari vector A dan vector B
2) Periksa apakah C 1,3 dapat dinyatakan sebagai kombinasi linier
dari dua vector A 3, 6 dan B 1, 2
Penyelesaian cari aidari pernyataan :
1 2 1,3 1 1, 2 2 2, 4 1 2 , 22 1 4 2
C a A a B a a a a a a
Jadi diperoleh persamaan linier;
1 2 1 2 2 1 kalikan dengan 2 2 4 3 jumlahkan 0 1 a a a a
Tidak konsisten, jadi tidak ada a1 dan a2 yang memenuhi dengan
kata lain vector C bukan merupakan kombinasi linier dari vector A dan vector B
3) Periksa apakah C 4,8 dapat dinyatakan sebagai kombinasi
linier dari dua vector A 3, 6 dan B 1, 2
Penyelesaian cari aidari pernyataan :
1 2 4,8 1 3, 6 2 1, 2 3 1 2, 6 1 2 2
C a A a B a a a a a a
Jadi diperoleh persamaan linier;
1 2 1 2 3 4 6 2 8 a a a a
Kedua persamaan ini adalah identik jadi kita hanya dapat menyatakan a1 sebagai fungsi dari a2 atau sebaliknya;
Kita peroleh a2 4 3a1
Jadi ada a1 dan a2 yang tak hingga banyaknya yang memenuhi.
Jadi vector C merupakan kombinasi linier dari vector A dan vector B
Aljabar Linier 19
II. 2 Ruang Bagian (sub-space)
Definisi M himpunan satu atau lebih vector dari suatu ruang vector V dinamakan ruang bagian V jika memenuhi
1) u M, v M u v M
2) R u M
Aljabar Linier 20
II. 3 M a t r i k s
Untuk mencari pemecahan sistem persamaan linier dapat digunakan beberapa cara. Salah satu yang paling mudah adalah dengan menggunakan matriks. Dalam matematika istilah matriks digunakan untuk menyatakan susunan bilangan-bilangan yang berbentuk empat persegi panjang yang terdiri dari baris dan kolom. Bilangan-bilangan dalam matriks tersebut dinamakan entry atau
komponen matriks. Biasanya entry atau komponen-komponen
matriks tersebut dituliskan di antara dua kurung.
Setiap matriks mempunyai ukuran. Ukuran matriks ini ditentukan oleh banyaknya baris dan kolom yang terdapat dalam matriks tersebut. Jadi untuk matriks yang terdiri dari m baris dan n kolom ukurannya adalah m x n. Untuk menyatakan matriks, biasanya digunakan huruf besar, sedangkan untuk menyatakan kuantitas-kuantitas numerik dari komponen (entry) matriks digunakan huruf kecil. Jadi jika A adalah sebuah matriks, maka aij menyatakan komponen matriks yang berada pada baris ke-i dan kolom ke-j. Sebagai contoh, matriks A yang berukuran m x n dituliskan
11 12 1 21 22 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . n n m m mn a a a a a a A a a a Baris ke-1 Kolom ke-1
Aljabar Linier 21
Contoh II.1 :
Macam-macam ukuran matriks
2 1 3 Matrik berukuran 3 x 1 A A = Matriks berukuran 1 x 3 B B3 2 1 2 = 3 4 3 1 Matriks berukuran 3 x 2 C C = Matriks berukuran 2 x 4 a b c d D e f g h D 11 12 13 21 22 23 31 32 33 41 42 43 Matriks E berukuran 4 x 3 e e e e e e E e e e e e e 2 3 5 1 6 1 4 7 3 8 1 2 Matriks berukuran 3 x 4 F F
Matriks A yang terdiri dari n baris dan n kolom, dinamakan matriks
bujursangkar atau matriks kuadrat, dan komponen-komponen a11,
a22, . . . , ann dikatakan berada pada diagonal utama.
11 12 1 21 22 2 1 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . matriks x n n n n nn a a a a a a A a a a n n diagonal utama
Aljabar Linier 22
Contoh II.2
Macam-macam matriks bujursangkar
3 4 5 1 matriks 2 x 2 A 11 12 13 21 22 23 31 32 33 matriks 3 x 3 b b b B b b b b b b 11 12 13 14 21 22 23 24 31 32 33 34 41 42 43 44 matriks 4 x 4 c c c c c c c c C c c c c c c c c 4 2 3 1 2 2 6 5 1 3 2 5 4 1 7 3 1 3 1 5 7 1 matriks 5 x 5 e D e
Dua buah matriks dikatakan sama jika kedua matriks tersebut mempunyai ukuran dan komponen yang berkesesuaian yang sama.
Contoh II.3
Tinjaulah matriks-matriks berikut
4 2 1 1 3 5 3 4 2 A 4 2 1 1 3 5 3 4 2 B 4 2 1 2 1 3 3 4 2 C 4 2 1 1 3 5 D
Matriks A = B karena keduanya mempunyai ukuran dan komponen matriks yang sama. Matriks A
C karena tidak semua komponennya berkesesuaian. Matriks A
D karena kedua matriks tidak mempunyai ukuran yang sama. Demikian juga halnya matriksB
C, B
D dan C
D.Suatu matriks bujursangkar yang semua komponen pada diagonal utamanya terdiri dari bilangan satu dan komponen lainnya terdiri dari nol dinamakan matriks satuan atau matriks identitas. Matriks satuan ini biasanya dinyatakan dengan huruf I dan jika ukurannya disertakan maka dituliskan In untuk matriks n x n seperti contoh di
Aljabar Linier 23 1 0 0 . . . 0 0 1 0 . . . 0 0 0 1 . . . 0 . . . . . . . . . . . . 0 0 0 . . . 1 Matriks satuan x n I n n 2 1 0 0 1 Matriks satuan 2 x 2 I 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 Matriks satuan 3 x 3 I 4 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Matriks satuan 4 x 4 I
Komponen-komponen suatu matriks dapat terdiri dari nol semuanya. Matriks semacam ini dinamakan matriks nol dan diberi simbol O seperti contoh di bawah ini.
0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matriks nol berukuran 3 x 4
O 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Matriks nol berukuran 4 x 4 O
Jika komponen-komponen dalam kolom suatu matriks diubah menjadi baris maka akan diperoleh matriks baru yang dinamakan
transpos A seperti yang didefinisikan di bawah ini.
Definisi : Jika A adalah sembarang matriks m x n, dan apabila kolom pertamanya diubah menjadi baris pertama, kolom keduanya menjadi baris kedua dan seterusnya, maka matriks yang baru tersebut dinamakan transpos A dan diberi simbol At dan ukurannya berubah menjadi n x m.
Aljabar Linier 24
Contoh II.4
Matriks dan transposnya
3 1 5 6 0 2 4 3 1 A 3 6 4 1 0 3 5 2 1 t A 11 12 13 21 22 23 31 32 33 41 42 43 b b b b b b B b b b b b b 11 21 31 41 12 22 32 42 13 23 33 43 t b b b b B b b b b b b b b 2 3 6 5 1 4 C 2 6 1 3 5 4 t C 3 0 5 1 1 4 1 0 5 2 3 6 D 3 1 5 0 4 2 5 1 3 1 0 6 t D
II. 4 Operasi Matriks
Tidak setiap matriks dapat dijumlahkan atau dikalikan dengan matriks lain, karena ukuran matrik memegang peranan dalam penjumlahan dan perkalian matriks.
Definisi : Jika A dan B adalah dua matriks yang berukuran sama, misalkan m x n, maka A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan semua komponen yang berkesesuaian (komponen yang menempati posisi yang sama) dalam kedua matriks tersebut. Sedangkan A B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan semua komponen A dengan
Aljabar Linier 25 komponen yang berkesesuaian dari matriks B. Matriks baru hasil penjumlahan atau pengurangan tersebut, mempunyai ukuran yang sama yaitu m x n, karena itu matriks yang ukurannya berlainan tidak dapat dijumlahkan atau dikurangkan.
Contoh II.5
Tinjaulah matriks-matriks berikut,
1 5 3 3 2 6 4 0 5 2 1 2 A 2 1 4 5 2 3 6 3 2 3 1 2 B 2 5 4 3 6 1 1 4 5 C
Matriks A ditambah matriks B adalah,
1 5 3 2 1 4 1 2 5 1 3 4 3 2 6 5 2 3 3 5 2 2 6 3 4 0 5 6 3 2 4 6 0 3 5 2 2 1 2 3 1 2 2 3 1 1 2 2 A B 1 4 7 8 4 3 2 3 3 1 0 0
Matriks A + C dan B + C tidak didefinisikan karena ukurannya berbeda.
Untuk pengurangan dapat dilakukan langsung seperti penjumlahan dan syaratnya pun sama yaitu kedua matriks harus berukuran sama. Jadi matriks A C dan B C tidak terdefinisi karena ukurannya berbeda, sedangkan matriks A dikurangi matriks B adalah,
Aljabar Linier 26 1 5 3 2 1 4 1 ( 2) 5 ( 1) 3 4 3 2 6 5 2 3 3 5 2 2 6 3 4 0 5 6 3 2 4 (6) 0 ( 3) 5 ( 2) 2 1 2 3 1 2 2 ( 3) 1 1 2 2 A B 3 6 1 2 0 9 10 3 7 5 2 4
Definisi : Jika k adalah sebuah skalar dan A adalah sebuah matriks, maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua komponen matriks A dengan k.
Contoh II.6
Jika matriks A adalah,
9 2 5 7 4 3 A maka, (3)(9) (3)( 2) (3)(5) 27 6 15 3 (3)(7) (3)(4) (3)( 3) 21 12 9 1 3 3 A A artinya A dan ( 1) A ( 1)(9) ( 1)( 2) ( 1)(5) 9 2 5 ( 1)(7) ( 1)(4) ( 1)( 3) 7 4 3 Teorema II.1
Andaikan matrik A, B, C dan O (matriks nol) mempunyai ukuran yang sama, dan k serta l adalah skalar. maka
1. A + B = B + A (Hukum komutatif untuk
penjumlahan)
Aljabar Linier 27 penjumlahan) 3. k(A + B) = kA + k B = (A + B) k 4. k(A B) = kA kB = (A B)k 5. A + O = O + A = A 6. A A = O 7. O A = -A 8. (k + l)A = kA + lA = A(k + l) 9. (k l)A = kA lA = A(k l) 10. (kl)A = k(lA)
Definisi : Jika A adalah matriks m x r dan B adalah matriks r x
n, maka hasil kali AB adalah matriks m x n yang komponen-komponennya ditentukan sebagai berikut; Untuk mendapatkan komponen dalam baris ke-i dan kolom ke-j dari matriks AB, ambil baris ke-i dari matriks A dan kolom ke-j dari matriks B. Kalikan komponen-komponen yang berkesesuaian dari baris dan kolom, kem udian jumlahkan semua hasil kali tersebut.
Dari definisi di atas dapat kita lihat bahwa dua matriks dapat diperkalikan jika jumlah kolom matriks pertama sama banyaknya dengan jumlah baris matriks kedua. Untuk mempermudah mengingat dapat digunakan Gambar II.1. Dari gambar tersebut, jika ukuran matriks yang berada di sebelah dalam sama, maka hasil kalinya dapat didefinisikan, dan ukuran matriks yang berada di sebelah luar memberikan ukuran hasil kali matriks tersebut.
Aljabar Linier 28 A m x r B r x n = AB m x n Gambar II.1 Contoh II.7
Misalkan A adalah matriks 2 x 4, B adalah matriks 4 x 3 dan C
matriks 2 x 3.
Matriks A dengan matriks B dapat diperkalikan karena jumlah kolom matriks A sama dengan jumlah baris matriks B yaitu 4. Hasil kalinya yaitu matriks AB mempunyai ukuran 2 x 3.
Matriks A dengan matriks C tidak dapat diperkalikan karena jumlah kolom matriks A (4) tidak sama dengan jumlah baris matriks
C (3).
Matriks B dengan matriks C dapat diperkalikan karena jumlah kolom matriks B sama dengan jumlah baris matris C yaitu 3. Hasil kalinya yaitu matriks BC mempunyai ukuran 4 x 3.
Untuk mendapatkan komponen-komponen matriks hasil perkalian dapat dilihat dalam contoh di bawah ini.
Contoh II.8
Diketahui tiga matriks berikut,
2 1 3 3 4 5 A 1 3 6 2 5 3 0 1 2 4 1 5 B 3 1 4 5 2 1 C
Tentukanlah hasil kali AB, AC dan BC.
Jawab : di luar Ukuran matriks hasil perkalian di dalam
Aljabar Linier 29 Matriks A berukuran 2 x 3 sedangkan matriks B berukuran 3 x 4, jadi matriks A dan matriks B dapat diperkalikan dan hasilnya adalah matriks 2 x 4 seperti di bawah ini,
-1 3 6 2 2 -1 3 5 3 0 1 -3 4 5 2 4 1 5 AB (2)(-1) + (-1)(5) + (3)(2) (2)(3) + (-1)(-3) + (3)(4) (2)(6) ( 1)(0) (3)(1) (2)( 2) ( 1)(1) (3)(5) ( 3)( 1) (4)(5) (5)(2) ( 3)(3) (4)( 3) (5)(4) ( 3)(6) (4)(0) (5)(1) ( 3)( 2) (4)(1) (5)(5) -1 21 15 10 33 -1 -13 35
Matriks A berukuran 2 x 3 sedangkan matriks C berukuran 3 x 2, jadi matriks A dan matriks C dapat diperkalikan dan hasilnya adalah matriks 2 x 2 seperti di bawah ini,
3 1 2 1 3 4 5 3 4 5 2 1 AC (2)(3) ( 1)(4) (3)( 2) (2)(1) ( 1)( 5) (3)(1) ( 3)(3) ((4)(4) (5)( 2) ( 3)(1) (4)( 5) (5)(1) 4 10 3 18
Matriks B berukuran 3 x 4 sedangkan matriks C berukuran 3 x 2, jadi matriks B dan C tidak dapat dikalikan, atau BC tidak terdefinisi.
Hukum komutatif untuk perkalian dalam bilangan riil, tidak berlaku dalam perkalian matriks, karena AB tidak selalu sama dengan BA. Contoh II.9
Aljabar Linier 30 Diketahui matriks A, B dan C seperti contoh II.8. Tentukanlah BA,
CA dan CB.
Jawab :
Matriks B berukuran 3 x 4 sedangkan matriks A berukuran 2 x 3, jadi matriks A dan matriks B tidak dapat diperkalikan, atau BA tidak terdefinisi.
Matriks C berukuran 3 x 2 sedangkan matriks A berukuran 2 x 3, jadi matriks C dan matriks A dapat diperkalikan dan hasilnya adalah matriks 2 x 2 seperti di bawah ini,
AC = 3 1 2 1 3 4 5 3 4 5 2 1 = (3)(2) (1)( 3) (3)( 1) (1)(4) (3)(3) (1)(5) (4)(2) ( 5)( 3) (4)( 1) ( 5)(4) (4)(3) ( 5)(5) ( 2)(2) (1)( 3) ( 2)( 1) (1)(4) ( 2)(3) (1)(5) = 3 1 14 23 24 13 7 6 1
Matriks C berukuran 3 x 2 dan matriks B berukuran 3 x 4, jadi matriks C dan matriks B tidak dapat diperkalikan, atau CB tidak terdefinisi.
Dari contoh II.8 dan II.9 tersebut dapat kita lihat bahwa AB
BAdan AC
CA. Teorema II.2Jika matriks A, B, C dan matriks nol O mempunyai ukuran yang memenuhi untuk penjumlahan dan perkalian matriks yang diperagakan di bawah ini, dan k adalah suatu konstanta, maka
a. A(BC) = (AB)C (Hukum asosiatif untuk perkalian)
Aljabar Linier 31 c. (A + B)C = AC + BC (hukum distributif) d. A(B C) = AB AC e. (A B)C = AC BC f. k(BC) = (kB)C = B(kC) g. AO = O ; OA = O
Jika A adalah matriks m x n, In adalah matriks satuan berukuran n x
n dan Im adalah matriks satuan m x m maka AIn = A dan ImA = A.
Jadi matriks satuan memegang peranan yang penting dalam perkalian matriks yang peranannya mirip dengan bilangan 1 dalam hubungan numerik a.1 = 1. a = a
Contoh II.10
Tinjau matriks-matriks berikut,
11 12 13 21 22 23 a a a A a a a 2 1 0 0 1 I 3 1 0 0 0 1 0 0 0 1 I
Jika matriks I2 dikalikan dengan matriks A hasilnya adalah, 11 12 13 11 12 13 2 21 22 23 21 22 23 1 0 0 1 a a a a a a I A A a a a a a a
Jika matriks A dikalikan dengan matriks I3 hasilnya adalah,
11 12 13 11 12 13 3 21 22 23 21 22 23 1 0 0 0 1 0 0 0 1 a a a a a a AI A a a a a a a
Dalam perkalian bilangan riil berlaku pernyataan berikut, (i) Jika ab = ac dan a
0 maka b = c(ii) Jika ad = 0 maka a = 0 atau d = 0
Dalam perkalian matriks, pernyataan ini tidak selalu benar seperti yang diberikan dalam contoh berikut.
Aljabar Linier 32
Contoh II.11
Diketahui matriks-matriks berikut,
0 1 0 2 A 1 1 3 4 B 2 5 3 4 C 3 7 0 0 D
Kalikan matriks A dengan matriks B dan kalikan matriks A dan matriks C, diperoleh 0 1 1 1 3 4 0 2 3 4 6 8 AB 0 1 2 5 3 4 0 2 3 4 6 8 AC
Dari kedua perkalian di atas didapatkan bahwa AB = AC, akan tetapi B C.
Kalikan matriks A dengan matriks D, diperoleh
0 1 3 7 0 0
0 2 0 0 0 0
AD
Walaupun hasil perkalian di atas menunjukkan bahwa AD = O akan tetapi A O dan juga D O.
Dari perkalian matriks yang telah dibahas di atas, dapat didefinisikan pangkat dalam matriks sebagai berikut,
Definisi: Jika A adalah matriks bujursangkar, maka pangkat bilangan bulat tak negatif dari matriks A ini didefinisikan sebagai berikut,
A0 = I An = A A A . . . A (n >0) n buah A
Suryadi Siregar Aljabar Linier
Aljabar Linier 33
Perkalian matriks yang mempunyai pangkat, sama dengan perkalian bilangan riil yang berpangkat seperti ditunjukkan dalam teorema di bawah ini.
Teorema II.3
Jika A adalah matriks bujursangkar, r dan s adalah bilangan bulat, maka ArAs = Ar+s dan (Ar) s = Ars Contoh II.12 Diketahui matriks A = 2 1 3 4 A3 = A A A = 2 1 2 1 2 1 3 4 3 4 3 4 = 1 6 2 1 18 13 3 4 = 16 25 75 34 A4 = A3 A1 = 16 25 2 1 75 34 3 4 = 107 84 252 61 Teorema II.4
Jika ukuran matriks seperti operasi yang diberikan dapat dilakukan, maka
a. (At ) t = A
b. (A + B) t = At + Bt
c. (kA) t = k At , di mana k adalah skalar sebarang Contoh II.13. Diketahui matriks 1 3 6 2 5 3 0 1 2 4 1 5 A dan 1 5 2 1 3 2 4 3 6 0 1 4 B
Aljabar Linier 34 1 5 2 3 3 4 6 0 1 2 1 5 t A 1 3 6 5 2 0 2 4 1 1 3 4 t B 1 3 6 2 ( ) 5 3 0 1 2 4 1 5 t t A A 1 3 6 2 1 5 2 1 0 8 8 1 5 3 0 1 3 2 4 3 8 1 4 2 2 4 1 5 6 0 1 4 8 4 2 9 A B (A + B)t = 0 8 8 8 1 4 8 4 2 1 2 9 t t A B = 1 5 2 3 3 4 6 0 1 2 1 5 + 1 3 6 5 2 0 2 4 1 1 3 4 = 0 8 8 8 1 4 8 4 2 1 2 9 1 3 6 2 2 6 12 4 2 2 5 3 0 1 10 6 0 2 2 4 1 5 4 8 2 10 A 2 10 4 1 5 2 6 6 8 3 3 4 (2 ) 2 2 12 0 2 6 0 1 4 2 10 2 1 5 t t A A
II.5 Latihan
1. Tentukanlah tranpos matriks-matriks berikut, (i) A = 2 4 7 5 (ii) B = 3 6 7 8 5 1 2 9 4 (iii) C = 1 4 9 5 7 5 2 6 9 6 4 10 10 8 3 7
Aljabar Linier 35 2. Tinjaulah matriks-matriks berikut,
A = 3 6 7 8 5 1 3 8 7 2 4 1 B 6 5 5 7 2 4 C 1 9 4 2 8 3 6 7 5 D 7 1 3 1 2 4 5 6 8 E 4 7 9 6 5 0 5 3 1 8 4 2 F Hitunglah : (a) A + B (b) A + D (c) B + C (d) C + B (e) C + E (f) D + E (g) D + F (h) E + F
3. Hitunglah untuk matriks-matriks pada soal nomor 2.
(a) A B (b) A D (c) B C (d) C B
(e) C E (f) D E (g) D F (h) E F
4. Untuk matriks-matriks dalam soal nomor 2, hitunglah,
(a) At B (b) A Dt (c) (B C)t (d) (C B)t (e) C E (f) (D E)t (g) (ED)t (h) EtD
Aljabar Linier 36 Y X ) 3 4 , 0 ( ( 2 , 0 )
BAB III. Sistem Persamaan Linier & Matriks
____________________________________________________
III. 1
Persamaan Linier
Persamaan linier umumnya ditulis sebagai
1 1 2 2 . . .
, konstanta, variabel peubah bebas
n n n i i i a x a x a x b a b x Ciri-cirinya
- Semua variabel berpangkat Satu
- Semua suku hanya memiliki satu variabel Secara geometri Persamaan Linier dengan ; - 2 variabel menyatakan suatu garis lurus - 3 variabel menyatakan suatu bidang Contoh :
1. Dua variabel 2x + 3y = 4
2
tan disebut gradien atau koefisien arah 3 y = -3 2 x + 3 4 2. Tiga variabel 3x + 4 y + z = 5 Z Y X ( 0 , 0 , 5 ) ( 0 , , 0 ) ( , 0 , 0 ) 4 5 3 5
Aljabar Linier 37 Jika bn = 0 , maka persamaan itu dinamakan “ Persamaan Linier
Homogen ” .
Secara geometri artinya
o 2 variabel garis lurus yang melalui (0,0)
o 3 variabel bidang datar yang melalui (0,0,0)
III. 2
Sistem persamaan linier
Sebuah himpunan berhingga dari persamaan-persamaan linier dalam peubah bebas x x1, 2, . . .,xn dinamakan sistem persamaan
linier atau sistem linier. Bentuk umum dari sistem persamaan linier yang terdiri dari m persamaan linier dan n bilangan tak diketahui adalah, a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . +
di manax x1, 2, . . .,xn adalah bilangan-bilangan tidak diketahui
(variabel), aij (i = 1, 2, ..., m, j = 1, 2, ..., n) adalah koefisien bilangan yang diketahui nilainya dan bi adalah konstanta. Tanda
Aljabar Linier 38 dalam menyatakan letak koefisien tersebut dalam persamaan.
Subscript pertama yaitu i menyatakan persamaan yang ke-i dalam sistem persamaan linier tersebut, sedangkan subscript kedua yaitu j
menyatakan letak koefisien tersebut pada bilangan yang tidak diketahui sebagai padanan perkaliannya. Sebagai contoh a23 adalah
koefisien yang berada di persamaan kedua, kolom ke tiga yang dikalikan dengan x3.
III. 3
Operasi baris elementer
Perhatikan bentuk umum sistem persamaan linier yaitu,
a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b n n n n m m mn n m 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . +
Dapat juga ditulis dalam bentuk perkalian matri
11 12 1 1 1 21 22 2 2 2 1 2 n n m m mn n n a a a x b a a a x b a a a x b
Pemecahan sistem persamaan linier ini tidak akan berubah jika,
Dua baris dari sistem persamaan linier tersebut saling bertukar tempat.
Aljabar Linier 39
Suatu baris dari sistem persamaan linier tersebut dikalikan dengan suatu bilangan tetap 0.
Suatu baris diganti oleh jumlah baris tersebut dengan kali baris yang lain.
Ketiga operasi ini dinamakan operasi baris elementer (disingkat
OBE) dan masing-masing dinyatakan oleh simbol Oij, Oi() dan Oij(). Jadi,
Oij berarti baris ke-i dan baris ke-j saling tukar tempat Oi( ) berarti baris ke-i diganti dengan kali baris ke-i.
Oij( ) berarti baris ke-i diganti oleh baris ke-i yang sudah ditambah dengan kali baris ke-j.
Dengan menggunakan operasi baris elementer (disebut juga metode Gauss) ini kita dapat memecahkan sistem persamaan linier seperti pada contoh berikut,
Contoh I.3
Carilah pemecahan atau jawab sistem persamaan linier berikut,
x y z x y z x y z 2 9 2 4 3 1 3 6 5 0 J awab :
Aljabar Linier 40 Untuk memecahkan sistem persamaan di atas akan digunakan operasi baris elementer sebagai berikut,
x y z x y z x y z 2 9 2 4 3 1 3 6 5 0 Langkah pertama, baris kedua diganti
oleh baris kedua
yang sudah ditambah -2 kali baris pertama, diperoleh x y z y z x y z 2 9 2 7 17 3 6 5 0 Langkah kedua, baris ketiga diganti oleh
baris ketiga yang sudah ditambah -3 kali baris pertama, diperoleh 7 x y z y z y z 2 9 2 17 3 11 27 Langakah ketiga, baris kedua
diganti oleh baris
kedua yang sudah dikalikan dengan 1/2, diperoleh 2 x y z y z y z 2 9 3 11 27 17 2 7 Langkah keempat, baris ketiga diganti
oleh baris ketiga
yang sudah
ditambah
dengan -3 kali
baris kedua,
Aljabar Linier 41 2 1 2 x y z y z z 2 9 17 2 3 2 7 Langkah kelima, baris ketiga diganti oleh
baris ketiga yang
sudah dikalikan dengan - 1/2, diperoleh 2 x y z y z z 2 9 3 17 2 7 Langkah keenam, baris kedua diganti oleh
baris kedua yang sudah ditambah 2/7 kali baris ketiga, diperoleh x y z y z 2 9 2 3 Langkah ketujuh. baris pertama
diganti oleh baris
pertama yang sudah ditambah dengan -2 kali baris ketiga, diperoleh x y y z 3 2 3 Langkah kedelapan, baris pertama diganti oleh baris pertama yang sudah ditambah dengan -1 kali baris kedua, diperoleh x y z 1 2 3
Jadi pemecahannya adalah, x = 1, y = 2 dan
Aljabar Linier 42
III. 4
Sistem persamaan linier homogen
Sistem persamaan linier yang semua suku konstantanya berharga nol disebut sistem persamaan linier homogen. Bentuk umum dari sistem persamaan linier homogen adalah,
a x a x a x a x a x a x a x a x a x n n n n m m mn n 11 1 12 2 1 21 1 22 2 2 1 1 2 2 0 0 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . +
Tiap-tiap sistem persamaan linier homogen adalah sistem yang konsisten, karena x10, x2 0, . . ., xn 0 selalu merupakan
pemecahan dari sistem tersebut. Pemecahan seperti itu dinamakan
pemecahan trivial. Jika ada pemecahan lain selain pemecahan
trivial, maka pemecahan tersebut dinamakan pemecahan taktrivial/non trivial.
Karena sistem persamaan linier homogen harus konsisten, maka terdapat satu pemecahan atau takterhingga banyaknya pemecahan. Salah satu dari pemecahan tersebut adalah pemecahan trivial, karena itu dapat dibuat pernyataan berikut. Untuk sistem persamaan linier homogen, salah satu pernyataan berikut benar,
Sistem tersebut hanya mempunyai pemecahan trivial.
Sistem tersebut mempunyai tak terhingga banyaknya pemecahan
Aljabar Linier 43 Jika sistem persamaan homogen melibatkan lebih banyak bilangan tidak diketahui daripada banyaknya persamaan, maka sistem tersebut dipastikan mempunyai pemecahan taktrivial.
Contoh I.5
Carilah pemecahan sistem persamaan linier di bawah ini
x y z w x y w x y z w 2 0 0 4 3 0
Sistem persamaan linier terahir adalah
x z w y z 0 0 atau w x z z y
Untuk x = s dan y = t maka z = t dan w = -s - t. Berapa saja nilai s
dan t diambil akan merupakan pemecahan dari sistem persamaan linier homogen di atas. Pemecahan trivial dipenuhi untuk s = 0 dan
t = 0.
Catatan
1) Jika pada suatu persamaan diperoleh pernyataan
1 2 n n n
0x 0x . . .0x b , b 0 maka SPL tersebut dikatakan
inkonsisten, artinya sistim persamaan linier tidak mempunyai solusi
2) Jika pada suatu persamaan diperoleh pernyataan
1 2 n n n
0x 0x . . .0x b , b 0 maka persamaan tersebut dapat
Aljabar Linier 44
Soal Latihan
1. Carilah x,y, dan z dari sistim persamaan linier berikut dengan metode Gauss 2 2 9 2 4 3 1 3 6 5 0 x y z x y z x y z
2. Carilah solusi sistim persamaan linier x,y,z, dan u, berikut dengan metode Gauss,bila ada
2 9 2 4 3 2 1 3 6 5 0 3 6 5 3 0 x y z u x y z u x y z x y z u
III. 5
Operasi Matriks
Tidak setiap matriks dapat dijumlahkan atau dikalikan dengan matriks lain, karena ukuran matrik memegang peranan dalam penjumlahan dan perkalian matriks.
Definisi : Jika A dan B adalah dua matriks yang berukuran sama, misalkan m x n, maka A + B adalah matriks yang diperoleh dengan menjumlahkan semua komponen yang berkesesuaian (komponen yang menempati posisi yang sama) dalam kedua matriks tersebut. Sedangkan A B adalah matriks yang diperoleh dengan mengurangkan semua komponen A
dengan komponen yang berkesesuaian dari matriks B. Matriks baru hasil penjumlahan atau pengurangan tersebut, mempunyai ukuran yang sama yaitu m x n, karena itu matriks yang ukurannya berlainan tidak dapat dijumlahkan atau
Aljabar Linier 45 dikurangkan.
Contoh II.5
Tinjaulah matriks-matriks berikut,
1 5 3 3 2 6 4 0 5 2 1 2 A 2 1 4 5 2 3 6 3 2 3 1 2 B 2 5 4 3 6 1 1 4 5 C
Matriks A ditambah matriks B adalah,
1 5 3 2 1 4 1 2 5 1 3 4 3 2 6 5 2 3 3 5 2 2 6 3 4 0 5 6 3 2 4 6 0 3 5 2 2 1 2 3 1 2 2 3 1 1 2 2 A B 1 4 7 8 4 3 2 3 3 1 0 0
Matriks A + C dan B + C tidak didefinisikan karena ukurannya berbeda.
Untuk pengurangan dapat dilakukan langsung seperti penjumlahan dan syaratnya pun sama yaitu kedua matriks harus berukuran sama. Jadi matriks A C dan B C tidak terdefinisi karena ukurannya berbeda, sedangkan matriks A dikurangi matriks
B adalah, 1 5 3 2 1 4 1 ( 2) 5 ( 1) 3 4 3 2 6 5 2 3 3 5 2 2 6 3 4 0 5 6 3 2 4 (6) 0 ( 3) 5 ( 2) 2 1 2 3 1 2 2 ( 3) 1 1 2 2 A B
Aljabar Linier 46 3 6 1 2 0 9 10 3 7 5 2 4
Definisi : Jika k adalah sebuah skalar dan A adalah sebuah matriks, maka hasil kali kA adalah matriks yang diperoleh dengan mengalikan semua komponen matriks A dengan k.
Contoh II.6
Jika matriks A adalah,
9 2 5 7 4 3 A maka, 3 (3)(9) (3)( 2) (3)(5) 27 6 15 (3)(7) (3)(4) (3)( 3) 21 12 9 A dan ( 1) A ( 1)(9) ( 1)( 2) ( 1)(5) 9 2 5 ( 1)(7) ( 1)(4) ( 1)( 3) 7 4 3 Teorema II.1
Andaikan matrik A, B, C dan O (matriks nol) mempunyai ukuran yang sama, dan k serta l adalah skalar. maka
a) A + B = B + A (Hukum komutatif untuk penjumlahan)
b) A + (B + C) = (A + B) + C (Hukum assosiatif untuk
penjumlahan) c) k(A + B) = kA + k B = (A + B) k d) k(A B) = kA kB = (A B)k e) A + O = O + A = A f) A A = O g) 1.A = A h) (k + l)A = kA + lA = A(k + l)
