Pengembangan Model. Gambar 4.1 Strategi Layanan Yang Diusulkan. Penggantian. W waktu

(1)

31

Bab IV

Pengembangan Model

Pada bab IV ini akan dijelaskan pengembangan strategi layanan garansi untuk produk dengan pola penggunaan intermittent. Pada sub bab IV.1 akan dijelaskan formulasi model untuk strategi layanan yang dikembangkan.

IV.1 Formulasi Model

Sub bab IV.1 meliputi strategi layanan yang diusulkan, model kerusakan untuk pola penggunaan produk intermittent, dan ekspektasi ongkos garansi untuk strategi layanan yang diusulkan.

IV.1.1 Strategi Layanan Garansi

Strategi layanan yang dikembangkan adalah untuk produk penjualan tunggal dengan karakteristik produk yang dapat diperbaiki dan pola penggunaan produk intermittent. Kebijakan garansi yang diusulkan adalah garansi non renewing free replacement warranty (FRW) di mana seluruh biaya rektifikasi produk rusak dibebankan pada produsen tanpa mengubah periode garansi.

Usulan strategi layanan adalah perbaikan dan penggantian. Periode garansi [0,W] dibagi menjadi dua interval waktu yaitu [0,W1] dan [W1,W]. X adalah

variabel acak yang menyatakan waktu kerusakan pertama. Jika X terjadi sebelum

W1 maka seluruh kerusakan yang terjadi pada interval [0,W1] akan direktifikasi

dengan perbaikan minimal. Jika X terjadi setelah W1 maka kerusakan pertama

yang terjadi pada interval [W1,W] akan direktifikasi dengan penggantian dan

kerusakan-kerusakan selanjutnya pada interval ini akan diberikan perbaikan minimal. Strategi layanan yang diusulkan dapat dilihat pada Gambar 4.1.

Gambar 4.1 Strategi Layanan Yang Diusulkan

waktu

0 W1 X W

(2)

32 IV.1.2 Model Kerusakan

Pada Sub bab IV.1.2 akan dijelaskan tentang model kerusakan untuk produk dengan pola penggunaan intermittent. Pola kerusakan produk ditentukan oleh pola penggunaan produk serta karakteristik yaitu kualitas dan keandalan produk. Gambar 4.2 berikut menjelaskan faktor-faktor yang mempengaruhi pola kerusakan produk.

Gambar 4.2 Pola Kerusakan Produk

Sub bab ini terdiri atas dua bagian yaitu IV.1.2.1 yang menjelaskan tentang pola penggunaan produk serta IV.1.2.2 mengenai model kerusakan produk.

IV.1.2.1 Pola Penggunaan Produk

Pola penggunaan produk terdiri atas dua bagian yaitu pola penggunaan yang terus menerus (continuous) dan pola penggunaan yang tidak terus menerus (intermittent). Pada penelitian ini, pola penggunaan produk adalah intermittent di mana produk digunakan secara tidak terus menerus. Jika t adalah waktu penjualan produk, 0tT , maka pada saat t produk dapat berada dalam kondisi digunakan atau tidak digunakan. Transisi dari kondisi digunakan ke kondisi tidak digunakan dan sebaliknya dari kondisi tidak digunakan ke kondisi digunakan terjadi dengan pola acak dan dimodelkan dengan formulasi two-state continuous Markov Chain X(t). X(t) = 1 jika produk dalam kondisi digunakan dan X(t) = 0 jika produk dalam kondisi tidak digunakan. Gambar 4.3 berikut menjelaskan kondisi transisi penggunaan produk dengan formulasi two-state continuous Markov Chain. Karakteristik Produk Pola Penggunaaan Produk Pola Kerusakan Produk

(3)

33

Gambar 4.3 Transisi Untuk two-state continuousMarkov Chain.

Berdasarkan persamaan II.25 sampai II.29, maka probabilitas kondisi transisi



X



tt



 j X

 

t i



, 0 ≤ i, j ≤ 1, untuk t ≥ 0, δt ≥ 0, di mana Pij(t)

independen terhadap waktu δt sebagai berikut:

 

 _{ }_     X t t t t t t t X              1 0 1 1 0 1

dengan λ adalah laju dari kondisi tidak digunakan X(t) = 0 ke kondisi digunakan

X(t) = 1, dan μ adalah laju dari kondisi digunakan X(t) = 1 ke kondisi tidak digunakan X(t) = 0.

Misalkan Y(t) adalah umur produk pada saat t. Kemudian 0Y

 

t t, dengan Y(t) = t hanya jika produk yang dijual pada 𝑡 = 0 tidak diganti dengan produk baru selama periode garansi t. Y

 

t tjika produk yang dijual pada 𝑡 = 0 telah diganti dengan produk baru selama periode garansi t, dan produk pengganti telah digunakan saat t – Y(t). Gambar 4.4 berikut menjelaskan umur produk Y(t) pada saat t.

a.

b.

Gambar 4.4 Umur Produk Y(t) Untuk a. Y(t) = t , b. Y(t) < t

Y(t) = t 0 t Y(t) = t - x 0 x t P10 0 (Idle) 1 (Usage) P01 P00 P₁₁

(4)

34

Andaikan τ[Y(t)], 0 ≤ τ ≤ Y(t), merepresentasikan durasi penggunaan produk hingga saat t. Kemudian Y – τ[Y(t)] merepresentasikan durasi kondisi produk idle (tidak digunakan). Gambar 4.5 berikut menjelaskan durasi penggunaan produk hingga saat t.

Gambar 4.5 Durasi Penggunaan Produk τ[Y(t)]

Dari Gambar 4.5, diperoleh durasi penggunaan produk hingga saat t adalah

τ[Y(t)] = τ1 + τ2 + τ3.

Misalkan N[Y(t)] merepresentasikan frekuensi penggunaan produk hingga saat t. Gambar 4.6 berikut menjelaskan frekuensi penggunaan produk pada hingga saat t.

Gambar 4.6 Frekuensi Penggunaan Produk N[Y(t)]

Dari Gambar 4.6, terlihat bahwa frekuensi penggunaan produk hingga saat t

adalah N[Y(t)] = 3. X(t) 1 0 t τ 1 τ 2 τ 3 waktu X(t) 1 0 t U 1 U 2 U 3 waktu

(5)

35 IV.1.2.2 Kerusakan Produk

Tiga cara yang dapat digunakan untuk memodelkan kerusakan produk adalah laju kerusakan, fungsi distribusi dan jumlah kerusakan. Pada penelitian ini, model kerusakan produk dijelaskan dengan laju kerusakan.

Andaikan r(t)δt merepresentasikan probabilitas produk mengalami kerusakan pada interval (t, t+δt). r(t)δt diberikan oleh Y(t ), τ[Y(t)], dan N[Y(t)], serta produk tidak rusak hingga saat t. r(t) adalah laju kerusakan dengan kondisi bersyarat.

r(t) ditentukan oleh umur produk Y(t) dan riwayat penggunaan produk. Riwayat penggunaan dimaksud adalah durasi penggunaan produk τ[Y(t)] dan frekuensi penggunaan produk N[Y(t)]. Gambar 4.7 berikut menjelaskan faktor-faktor yang mempengaruhi laju kerusakan produk.

Gambar 4.7 Laju Kerusakan Produk

r(t) dapat diformulasikan sebagai berikut:

 

t G



Y

 

t

 

Y

 

t N

 

Y

 

t



r  , , …(IV.1)

di mana G{Y(t), τ[Y(t)], N[Y(t)]} merupakan fungsi menaik dengan kenaikan Y(t),

τ[Y(t)] dan N[Y(t)].

Fungsi laju kerusakan r(t) dapat berbentuk linier. Murthy (1992) memformulasikan fungsi laju kerusakan sebagai berikut:

   

 

 



Y t , Y t ,NY t



₀ ₁Y(t) ₂

 

Y(t) ₃N

 

Y(t)

G       …(IV.2)

dengan θi= 1, i = 0,…3, merupakan parameter dari fungsi laju kerusakan.

Produk berada pada kondisi baru saat t = 0. r(t)δt merepresentasikan probabilitas produk mengalami kerusakan pada interval (t, t+δt), diberikan bahwa

Y(t) τ[Y(t)] N[Y(t)]

(6)

36

produk tidak rusak hingga saat t. Jika Y(t) = t, maka diperoleh r(t), bersyarat pada

τ(t) dan N (t) diberikan oleh:

   



t t N t



t

 

t N

 

t

r  , ₀₁ ₂ ₃ …(IV.3)

Dengan melepas kondisi bersyarat, fungsi laju kerusakan r(t) dinyatakan sebagai:

 

 

t

 

N

 

t t t r( )₀ ₁ ₂ ₃ …(IV.4)

Ε[τ(t)] adalah ekspektasi durasi penggunaan produk sepanjang interval (0, t). Nilai Ε[τ(t)] ditentukan dengan:

 

 



_

 

 t dx x P t 0 11  …(IV.5)

dengan mensubtitusi nilai P11(t) dari persamaan II.42 ke persamaan IV.5 maka diperoleh nilai Ε[τ(t)] sebagai berikut:

 

 



 





 



     _                     t .t ₂ .1 e …(IV.6)

Ε[N(t)] adalah ekspektasi frekuensi penggunaan produk sepanjang interval (0, t). Nilai Ε[N(t)] ditentukan dengan proses Poisson.

 



N t



.t

 …(IV.7)

Dengan mensubtitusi persamaan IV.6 dan IV.7 ke dalam persamaan IV.4 maka diperoleh fungsi laju kerusakan r(t) sebagai berikut:

 







e  t



t t r               _                   _     ₀ ₁ 2 ₃ . 2 ₂ .1 …(IV.8)

Dari persamaan fungsi laju kerusakan r(t), dapat ditentukan persamaan untuk jumlah kerusakan selama periode t R(t), fungsi distribusi F(t), fungsi densitas f(t) dan fungsi keandalan 𝐹 𝑡 .

Jumlah kerusakan R(t)

 







 





_                   _     t x dx e x t R 0 2 2 3 2 1 0 . .1               …(IV.9) Fungsi distribusi F(t)

 







 



                                



  t x _dx e x Exp t F 0 2 3 2 3 2 1 0 1 1                 (IV.10)

(7)

37 Fungsi densitas 𝑓 𝑡

 







 









 



                                                   



    t x t dx e x Exp e t t f 0 2 2 3 2 1 0 2 2 3 2 1 0 1 . . . 1 . .                             …(IV.11) Fungsi keandalan F

 

t _

 







 



                              



  t x _dx e x Exp t F 0 2 2 3 2 1 0 _ 1 . .               …(IV.12)

IV.1.3 Ekspektasi Ongkos Garansi

Pada Sub bab IV.1.3 akan diperoleh ekspektasi ongkos garansi untuk strategi layanan yang diusulkan. Sub bab ini terdiri atas influence digram dan formulasi model matematika untuk ekspektasi ongkos garansi.

IV.1.3.1 Influence Diagram

Influence diagram adalah diagram yang mengGambarkan proses

transformasi struktural pada sistem serta hubungan kausatif antar komponen pembentuk sistem. Hubungan kausatif dimaksud adalah antar input yang masuk ke dalam sistem dengan komponen di dalam sistem, antar komponen di dalam sistem, serta antar komponen dengan output sistem termasuk ukuran performansi. Gambar 4.8 berikut adalah influence diagram dari sistem.

(8)

38

Gambar 4.8 Influence Diagram

Notasi

Notasi-notasi yang digunakan dalam model yang dikembangkan adalah:

Y(t) : Umur produk pada saat t.

τ(t) : Durasi penggunaan produk pada saat t.

N(t) : Fungsi frekuensi penggunaan produk pada saat t.

F(t) : Fungsi distribusi untuk time to failure.

f(t) : Fungsi densitas

r(t) : Fungsi laju kerusakan produk

R(t) : Fungsi jumlah kerusakan produk saat t

 

t F

_

: Fungsi keandalan produk

Jr(W) : Ekspektasi ongkos garansi dengan rektifikasi perbaikan (Murthy, 1992)

Parameter

W : Periode garansi

Cr : Ongkos penggantian per unit produk

Cm : Ekspektasi ongkos perbaikan minimal per kerusakan

λ : Laju kejadian dari kondisi produk tidak digunakan X(t) = 0 ke kondisi digunakan X(t)= 1 Ongkos Garansi Strategi Layanan Garansi Pola Kerusakan Pola Penggunaan Produk Keandalan Produk Laju Kerusakan Ekspektasi Ongkos Perbaikan Ekspektasi Ongkos Penggantian

(9)

39

μ : Laju kejadian dari kondisi produk digunakan X(t) = 1 ke kondisi tidak digunakan X(t) = 0

Variabel keputusan

W1 : Batas waktu perbaikan – penggantian produk rusak yang

meminimumkan nilai ekspektasi ongkos layanan garansi Ukuran performansi

Js(W1) : Ekspektasi ongkos garansi dengan strategi layanan

Asumsi

1) Laju kerusakan r(t) merupakan fungsi menaik.

2) Tidak ada perawatan pencegahan terhadap produk selama periode garansi. 3) Seluruh kerusakan produk segera terdeteksi dan segera diklaim oleh konsumen. 4) Seluruh klaim selama periode garansi adalah valid.

5) Waktu yang dibutuhkan untuk rektifikasi produk adalah nol. IV.1.3.2 Model Matematika

Pada bagian ini akan dijelaskan model matematika untuk ekspektasi ongkos layanan garansi Js(W1). Tujuan pengembangan model adalah menentukan W1 optimal yang meminimumkan ekpektasi ongkos garansi Js(W1). Fungsi

pembatas adalah 0W₁ W .

Jika X adalah variabel acak yang menyatakan waktu terjadinya kerusakan pertama setelah W1, maka ekspresi matematik dari ekspektasi ongkos layanan

garansi Js(W1) diperoleh dengan menggunakan kondisi bersyarat X = x. Dua

kondisi X yang dipertimbangkan adalah: 1. W₁xW

2. xW

Dua kondisi beryarat X = x yang menjadi pertimbangan, dijelaskan dengan Gambar 4.9 berikut.

(10)

40

Gambar 4.9 Dua Kondisi X Yang Dipertimbangkan

Jika J_s



W₁ X x



adalah ekspektasi ongkos garansi bersyarat X = x, maka: 1. J_s



W₁ X x,W₁xW



2. J_s



W₁ X x, X W



Untuk Kondisi 1, W₁xW

Jika produk yang rusak pada kondisi 1 mendapatkan rektifikasi berupa penggantian maka laju kerusakan dari produk dijelaskan dengan Gambar 4.10.

Gambar 4.10 Laju Kerusakan Vs Umur Produk

 



_

 

 

_







W x W m r m s W x C rt dt C C rt x dt J 1 0 1 ...(IV.13) r(t) umur W x 0 waktu 0 W1 X W X

(11)

41 Untuk Kondisi 2, X W

 



_

 

1 0 1 W m s W x C r t dt J ...(IV.14)

Dengan membuka kondisi bersyarat dan menjumlahkan kedua fungsi ongkos dari persamaan IV.13 dan IV. 14, maka diperoleh total ekspektasi ongkos layanan garansi sebagai berikut:

 



_



 

1 1 1 W s s W J W x dF x J

 









_



 





      W m W W m r m dx W F x f W R C dx W F x f x W R C C W R C ) ( ) ( . ) ( ) ( . 1 1 1 1 1

 









   

 

₁ 1 1 1 . ) ( ) ( . 1 W F W F W R C dx W F x f x W R C C W R C _m W W m r m     



…(IV.15)

Dengan mensubtitusi nilai r(t), R(t), F(t), f(t) dan F(t) dari persamaan IV.8 sampai IV.12 ke dalam persamaan IV.15, maka diperoleh total ekspektasi ongkos layanan garansi sebagai berikut:











 











_

_



 

_



_





  









 









 









 













 









 









 



_       _                              _                                                      _                                  _                                                         _                                                          



dx e t Exp dx e t Exp e W W W W C dx e t Exp dx du e u Exp e x e x W x W x W x W C C e W W W W C W J W t W t W m W t x u x x W m r W m W W s 1 1 1 1 1 0 2 2 3 2 1 0 0 2 2 3 2 1 0 3 1 2 1 2 2 2 1 3 2 1 1 0 0 2 2 3 2 1 0 0 2 2 3 2 1 0 2 2 3 2 1 0 3 2 2 2 2 3 2 1 0 3 1 2 1 2 2 2 1 3 2 1 1 0 1 1 . . 1 . . . 1 . . 2 . 1 . . 1 . . . 1 . 1 . . 2 . 1 . . 2 . ) (                                                                                                                             …(IV.16)