rumus dan materi Suku banyak (4)

Kata Pengantar

Alhamdulillah, segala puji kita panjatkan kepada Allah SWT atas limpahan Taufiq dan Hidayah-Nya, sehingga penulis dapat menyelesaikan tugas program komputer ini dengan baik.Tugas ini membahas tentang materi tentang SukuBanyak atau yang sering disebut dengan Polinom yang ada dalam matematika SMA kelas XI. kami semua berharap semoga buku ini dapat berguna bagi para penyusun dan umumnya bagi para pembaca. Tugas ini pada dasarrya mempunyai banyak kekurangan, untuk itu saya membutuhkan kritik dan saran yang membangun untuk menyempurnakan tugas program komputer ini dengan baik.

Cirebon, oktober 2013

Penulis

Daftar Isi

Tujuan Pembelajaran...5

SUKUBANYAK (POLINOM) 1. Pengertian SukuBanyak ...7

2. Nilai SukuBanyak ...11

3. Pembagian SukuBanyak ...13

4. Teorema Sisa...19

5. Teorema Faktor...22

6. Persamaan SukuBanyak...25

Penerapan SukuBanyak (Polinom) dalam Kehidupan Sehari-hari 28 Soal Latihan...30

Daftar Pustaka...33

Deskripsi Penggunaan Program Quis Makker...34

Biodata Kelompok dan Deskripsi Kerja Kelompok ...36

Kata Motivasi

Belajarlah selagi yang lain sedang tidur,

Bekerjalah selagi yang lain sedang bermalas-malasan, Bersiap-siaplah selagi yang lain sedang bermain, Dan bermimpilah selagi yang lain sedang berharap.

ward-Mulailah mempertanggung jawabkan atas semua apa yang telah kau lakukan.

Karna semua yang kau lakukan tak akan pernah terlewatkan atas semua perhitungan.

-inne

aryanti-Jika kamu tak mengejar apa yang kamu inginkan, Maka kamu tidak akan pernah memilikinya.

Jika kamu tidak bertanya, Maka jawabannya adalah tidak.

Jika kamu tidak mengambil langkah maju, Maka kamu selalu berada di tempat yang sama.

roberts-TujuanPembelajaran

1. Siswadapatmenentukanhasilbagisukubanyakolehbentuk linear.

2. Siswadapatmenghitungkoefisien x dankonstantadarisuatusukubanyak, biladibagiolehbentuk linear sisanyadiketahui.

3. Dapatmenentukanhasilbagidansisapembagiansukubanyakbiladibagibentukkuad rat.

4. Bilasisapembagiansukubanyakolehbentukkuadratdiketahui,

siswadapatmenentukansisapembagaiansukubanyakituolehbentuk linear yang merupakanfaktordaripembagikuadrattersebut.

5. Bilasisapembagiansuatusukubanyakolehduabentuk linear yang berbedamasing-masingdiketahui,

siswadapatmencarisisapembagiansukubanyakituolehfungsikuadrat yang merupakanhasilkalikeduabentuk linear tersebut. Habisdibagiolehbentukkuadrat yang dapatdifaktorkan.

6. Siswadapatmemilihhasilbagisuatupolinomolehbentuk linear ax+ b.

Masih ingatkah kamu peristiwa kecelakaan pesawat yang saat ini sering terjadi di Indonesia? Ternyata kecelakaan pesawat itu disebabkan oleh banyak sekali faktor. Beberapa diantaranya yaitu kesalahan manusia, masalah navigasi, cuaca, kerusakan mesin, badan pesawat yang sudah tidak memenuhi syarat, dan lain-lain. Jika faktor-faktor tersebut diberi nama suku x1, x2, x3, ...xn maka terdapat banyak suku dalam satu kesatuan. Dalam ilmu matematika, hal demikian dinamakan suku banyak.

Dalam bab ini, kita akan mempelajari lebih lanjut mengenai aturan suku banyak dalam penyelesaian masalah. Dalam mempelajarinya, kita akan dapat menggunakan algoritma pembagian suku banyak untuk mencari hasil bagi dan sisa, serta menggunakan teorema sisa dan teorema faktor dalam pemecahan masalah. Lihat peta modul untuk lebih memahami pembelajaran sukubanyak ini:

Anda telah memahami bahwa grafik y = (x + 2)2 _{diperoleh dengan cara}

menggeser grafik y = x2 _{sejauh 2 satuan ke kiri, seperti diperlihatkan pada}

gambar

Adapun grafik y = (x – 1)3 _{diperoleh dari grafik y = x dengan cara menggeser}

grafik dari y = x3 _{sejauh 1 satuan ke kanan seperti diperlihatkan pada Gambar}

berikut

Amati keempat persamaan berikut.

y = x2

y = (x + 2)2 _{= x2+ 4x+ 4}

y = x3

y = (x – 1)3 _{= x}3 _{– 3x}2 _{+ 3x – 1}

Derajat suatu suku banyak ditentukan oleh pangkat tertinggi dari variabel pada suku banyak tersebut. Jadi, derajat dari suku banyak x3 – 3x2 + 3x – 1 adalah 3. Koefisien sukubanyak dari x3, x2, dan x berturut-turut adalah 1, –3, dan 3. Adapun –1 dinamakan suku tetap (konstanta).

Maka bentuk umum, derajat Suku banyak adalah suatu bentuk yang memuat variable berpangkat. Suku banyak dalam x berderajat n dinyatakan dengan :

Dengan syarat : pangkat tertinggi x yaitu n disebut derajat dari sukubanyak tersebut, n € bilangan cacah dan a_{n ,} a_{n−1 ,….,} a_{0 disebut}

koefisien-koefisien suku banyak, a_{0 disebut suku tetap dan} a_{n ≠ 0.}

Perhatikan bahwa suku-suku pada suku banyak diatas diawali dengan suku yang peubahnya mempunyai pangkat tertinggi, yaitu anxn. Kemudian diikuti

oleh suku-suku berikutnya dan diakhiri dengan suku tetap a0. Suku banyak

yang disusun atau ditulis semacam ini dikatakan menurut aturan pangkat turun dalam peubah acak x . Perlu diketahui bahwa peubah suatu suku banyak tidak harus dalam peubah x , tetapi tetapi dalam peubah-peubah lain seperti peubah

a,b, c,..., s,t,u,..., y, dan z .

Sukubanyak-sukubanyak di atas adalah suku banyak yang hanya mempunyai satu variabel, dan biasanya disebut univariabel. Selain itu ada pula suatu suku banyak yang mempunyai lebih dari satu variabel atau bisa disebut

multivariabel.

Sebagai contoh suku banyak multivariabel:

x3 _{+ xy - y}4 _{- 10 merupakan suku banyak dalam dua peubah x dan y dengan x}

1. 6x3 - 3x2 + 6x – 8 adalah suku banyak berderajat 3, dengan koefisien

x3 _{adalah 6, koefisien x}2 _{adalah -3, koefisien x adalah 4, dan suku}

tetapnya -8.

2. 2x2 _{- 5x + 4 -} 7

x adalah bukan suku banyak karena memuat pangkat

negative yaitu 7_x atau 7x−1 dengan pangkat -1 bukan anggota bilangan

Nilai sukubanyak f(x) untuk x=k, adalah f(k). Untuk menentukan f(k) dapat dilakukan dengan dua cara, yaitu:

a. Cara substitusi

Misalkan suku banyak f(x) = ax3 + bx2 + cx + d. jika nilai x diganti k,

maka nilai suku banyak f(x) untuk x = k adalah f(k) = ak3 _{+ bk}2 _{+ ck + d.}

Penyelesaian:

b. Cara Horner/cara skematik

Dengan cara ini, koefisien tiap suku ditulis berurutan dari derajat tertinggi. Contoh soal

Hitunglah nilai suku banyak untuk nilai x yang diberikan berikut ini. 1)F(x) = x3 + 2x2 + 3x – 4 untuk x = 5

Penyelesaian

3. Pembagian Sukubanyak a. Bentuk umum

f(x) = P(x) . H(x) + S

dengan: f(x) = suku yang dibagi, berderajat n

P(x) = suku pembagi, berderajat k, dengan k ≤ n

H(x) = suku hasil bagi, berderajat (n-k)

S = suku sisa pembagian, paling tinggi berderajat (k-1) b. Pembagian sukubanyak oleh (x-k)

Dapat dilakukan dua cara, yaitu: 1)Cara tersusun

Contoh soal:

a)Berapa hasil bagi dari (x3 _{+ 4x}2 _{- 2x + 4) : (x - 1)?}

Jadi hasil baginya adalah x5 _{+ 5x + 3 dn sisanya adalah 7.}

b)F(x) = 2x3 _{– 3x}2 _{+ x + 5 dibagi dengan P(x) = 2x}2 _{– x – 1}

Jadi hasil baginya: H(X) = x – 1, sisanya S(x) = x+4 2)Cara skematik atau cara horner

Contoh soal:

Melalui pembagian panjang, kita akan mendapatkan bahwa pembagian (5x2 + 6x + 4):(x +2) memberikan hasil bagi 5x – 4 dan sisa 12.Sekarang kita akan mengerjakan kembali pembagian tersebut dengan suatu metode yangdisebut metode Horner.

Ada 2 cara menggunakan metode Horner, sebagaimana ditunjukkan sebagai berikut ini.

Keterangan:

(a) Koefisien-koefisien dari 5x2 + 6x + 4. (b) Konstanta dari pembagi x + 2

(c) Pindahkan 5 ke bawah

(d) 5 × 2 = 10, angka 2 berasal dari (b) (e) 6 – 10 = -4

(f) -4 × 2 = -8 (g) 4 – (-8) = 12

Jadi Hasil bagi : 5x – 4 dan sisa : 12  Cara kedua:

Keterangan:

(h) Koefisien-koefisien dari 5x2 + 6x + 4. (i) Negatif dari konstanta pembagi x + 2 (j) Pindahkan 5 ke bawah

(l) 6 + (-10) = -4 (m)(-4) × (-2) = 8 (n) 8 + 4 = 12

Dan seperti sebelumnya, hasil bagi : 5x – 4 dan sisa : 12 c. Pembagian sukubanyak oleh bentuk linear (ax + b)

Jika sukubanyak f(x) dibagi dengan (ax + b), maka didapat hubungan:

f(x) =

(

x+b

Contoh soal:

Selanjutnya hasil pembagian tersebut yakni (x2 _{+ 2x – 10) dibagi lagi}

dengan (x–2)

2 1 2 -10

2 8 +

1 4 -2

Artinya x2 _{+ 2x – 10 = (x – 2) (x + 4) – 2 ... (2)}

Dari persamaan (1) dan (2) diperoleh:

x3 _{+ 3x}2 _{– 8x + 3 = (x + 1) (x}2 _{+ 2x – 10) + 13}

= (x + 1) ((x – 2)(x + 4) – 2) + 13 = (x + 1)(x – 2)(x + 4)–2x– 2+13 = (x2 _{+ x – 2) (x + 4) + (-2x + 11)}

Jadi, hasil baginya adalah x + 4 dan sisanya (-2x + 11).

b)Cara keidentikan

derajat 3 derajat 2 derajat 1 derajat 1

Sudah dijelaskan diatas, silahkan coba sendiri untuk latihan 

2) Pembagi tidak dapat difaktorkan sering muncul adalah bagaimana menentukan sisa pembagian sukubanyak tanpa harus mengetahui hasil baginya. Untuk itulah kita gunakan Teorema Sisa.

a. Pembagian Sukubanyak f(x) oleh ax+b

Jika f(x) dibagi ax+b bersisa S, maka f(x) dapat dinyatakan sebagai: f(x) = (ax+b) . H(x) + S

dengan mengambil x = −_ab , maka kita memperoleh:

f

(

−_ab

)

= 0 . H(x) + S

ini berarti bahwa sisa pembagian sukubnayak f(x) oleh ax+b adalah S = f

(

−_ab

)

contoh soal:

f

(

−_ab

)

= (px + q) ... (1)

Dengan mengambil x =

(

−_dc

)

, maka kita memperoleh:

f

(

−_dc

)

= (ax + b) . 0 . H(x) + (px + q)

f

(

−_dc

)

= (px + q) ... (2)

ini berarti bahwa sisa pembagian sukubanyak f(x) oleh (ax + b) (cx + d) adalah S(x) = (px + q), dengan p dan q merupakan penyelesaian simultan dari

jadi, sisanya adalah 7x + 5.

5. Teorema Faktor

ax + b adalah sebuah faktor dari suku banyak f(x) jika dan hanya jika f(-b/a) = 0.

Kasus khusus adalah jika a = 1 dan b = -n yaitu: x-n adalah sebuah faktor dari suku banyak f(x) jika dan hanya jika f(n) = 0.

Berikut bunyi dari teorema faktor tersebut :

Selanjutnya jika diketahui a1, a2, a3, . . . ,an adalah akar-akar dari polynomial

P(x) berderajat n maka diperoleh,

P(x) = A(x - a1)(x - a2)(x - a3), . . . ,(x - an)

Contoh soal yang berkaitan dengan teorema faktor di atas.

1. Polinom P(x) dibagi oleh x2 _{+x+1 menghasilkan hasil bagi H(x) dan sisa x - 7.}

Jika H(x) dibagi (x - 1) menghasilkan sisa 2, tunjukkan bahwa (x-1) adalah faktor dari P(x).

Penyelesaian :

Berdasarkan keterangan pada soal diperoleh P(x) = (x2 _{+ x + 1)H(x) + x - 7}

danH(1) = 2. Untuk menunjukkan (x - 1) adalah faktor dari P(x) cukup ditunjukkanbahwa P(1) = 0. Untuk keperluan itu, perhatikan bahwa P(1) = 3H(1) + 1 - 7

= 3 . 2 - 6 = 0

Jadi, terbukti bahwa (x - 1) adalah faktor dari P(x).

2. Tentukan penyelesaian dari x3 _{– 2x}2 _{– x + 2 = 0}

Faktor-faktor dari konstantanya, yaitu 2, adalah ±1 dan ±2 Misalkan P(x) suatu polynomial, (x - k) merupakan

Karena jumlah seluruh koefisien + konstantanya = 0 (1 – 2 – 1 + 2 = 0), maka, pasti x = 1 adalah salah satu faktornya, jadi:

Jadi x3 _{– 2x}2 _{– x + 2 = (x – 1)(x}2 _{– x – 2)}

= (x – 1)(x – 2)(x + 1) x = 1 x = 2 x = –1

Jadi himpunan penyelesaiannya: {–1, 1, 2}

3. Diketahui polinom P(x) berderajat n sedemikian sehingga P(k) = _kk₊₁ untuk

k = 0, 1, 2, 3 , . . . , n. Tentukanlah nilai dari P(n + 1). (USAMO 1975) Penyelesaian :

Misal Q(x) = (x + 1) P(x) - x, maka Q(x) adalah polinom derajat n + 1 dengan Q(0) = Q(1) = Q(2) = . . . = Q(n) = 0 sehingga

Q(x) = Ax (x - 1)(x - 2) . . . (x - n)

dengan mensubstitusikan nilai x = - 1 diperoleh

1 = Q(-1) = -A(-2)(-3) . . . (-1 - n) = A . (-1)n+1_{(n + 1)! sehingga diperoleh A =}

(−1)n+1 (n+1)!

Oleh karena itu untuk x = n + 1 diperoleh (n + 2) P (n + 1) – (n + 1) = Q (n + 1)

= (−_(n+1)₁n₎+_!1 (n + 1) n (n – 1) (n – 2) .... 2 . 1

= (-1)n+1

Dari sini diperoleh:

 Jika n ganjil diperoleh P (n + 1) = 1

6. Persamaan sukubanyak a.Pada persamaan berderajat 3:

ax3 _{+ bx}2 _{+ cx + d = 0 akan mempunyai akar-akar x}

1, x2, x3dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 = – b/a

Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x2.x3 = c/a

Hasil kali 3 akar: x1.x2.x3 = – d/a

b.Pada persamaan berderajat 4:

ax4 _{+ bx}3 _{+ cx}2 _{+ dx + e = 0 akan mempunyai akar-akar x}

1, x2, x3, x4

dengan sifat-sifat:

Jumlah 1 akar: x1 + x2 + x3 + x4 = – b/a

Jumlah 2 akar: x1.x2 + x1.x3 + x1.x4 + x2.x3 + x2.x4 + x3.x4 = c/a

Jumlah 3 akar: x1.x2.x3 + x1.x2.x4 + x2.x3.x4 = – d/a

Hasil kali 4 akar: x1.x2.x3.x4 = e/a

Dari kedua persamaan tersebut, kita dapat menurunkan rumus yang sama untuk persamaan berderajat 5 dan seterusnya

(amati pola: –b/a, c/a, –d/a , e/a, …) c. Pembagian Istimewa

Jika akar-akar dari x3 _{– 4x}2 _{+ 3x + 2 = 0 adalah x}

1 , x2 , dan x3, tentukan nilai

dari:

a. x1 + x2 + x3

b. x1 . x2 + x1 . x3 + x2 . x3

c. x1 . x2 . x3

Penyelesaian:

a. x1 + x2 + x3 = −_ab

= −(−₁4) = 4

b. x1 . x2 + x1 . x3 + x2 . x3 = c_a

= 3₁ = 3

c. x1 . x2 . x3 = −_ad

Penerapan SukuBanyak (Polinom) dalam kehidupan sehari-hari

Suku banyak merupakan suatu konsep pengerjaan dalam proses hitung berbentuk (anxn + an-1xn-1 +an-2xn-2 + … + xo). Dalam kehidupan sehari-hari penghitungan dalam

suku banyak tidak terlalu digunakan karena prosesnya terlalu banyak dan rumit. Dalam penerapannya suku banyak biasanya digunakan untuk membuat suatu alat transportasi atau yang lainnya. Misal pada alat transportasi, suku banyak digunakan untuk menentukan perbandingan antara bagian yang satu dengan bagian yang lainnya. Dalam hal ini penggunanya bisa mengukur dan mempertimbangkan suatu ukuran yang diinginkan agar bisa mengetahui keseimbangan, berat, struktur, bentuk, dan ukuran alat tersebut. Jika unsur-unsur tersebut diketahui maka pengerjaan suatu alat transportasi tersebut bisa dipermudah selain itu tidak perlu ada perasaan was-was dalam pembentukan maupun pengerjaannya. Sehingga benda tersebut akan cepat selesai dengan hasil yang memuaskan.

Dalam bidang lain suku banyak digunakan untuk menghitung suatu tumpukan-tumpukan barang yang berbentuk sama dengan jumlah isi yang berbeda. Dengan demikian sipengguna bisa mengetahui berapa banyak barang yang ada dalam beberapa tumpukan yang berbeda tempatnya dan jumlahnya.

f(x) = x3 _{+ 4x}2 _{+ 2x}

f(20) = 203 _{+ 4.20}2 _{+ 2.20}

f(20) = 80000 + 1600 + 40 f(20) = 81640

Jadi jumlah keseluruhan jumlah telur yang ada dari tumpukan-tumpukan tersebut berjumlah 81640 butir telur.

Soal latihan Suku Banyak

Pilihan Ganda

1. Jika f(x) dibagi ( x – 2 ) sisanya 24, sedagkan jika f(x) dibagi dengan ( 2x – 3 ) sisanya 20. Jika f(x) dibagi dengan ( x – 2 ) ( 2x – 3 ) sisanya adalah ….

a.8x + 8 d. – 8x – 8 b.8x – 8 e. –8x + 6 c.–8x + 8

2. Sisa pembagian suku banyak ( x4 _{– 4x}3 _{+ 3x}2 _{– 2x + 1 ) oleh ( x}2 _{– x – 2 )}

adalah ….

c. 6x + 5

3. Suatu suku banyak dibagi ( x – 5) sisanya 13, sedagkan jika dibagi dengan ( x – 1 ) sisanya 5 . Suku banyak tersebut jika dibagi dengan x2 _{– 6x + 5 sisanya}

7. Suku banyak 6x3 _{+ 13x}2 _{+ qx + 12 mempunyai factor ( 3x – 1 ). Faktor linear}

yang lain adalah …. a. 2x – 1

b. 2x + 3 c. x – 4 d. x + 4 e. x + 2

8. Suku banyak P(x) = 3x3 _{– 4x}2 _{– 6x + k habis dibagi ( x – 2 ). Sisa pembagian}

P(x) oleh x2 _{+ 2x + 2 adalah ….}

a. 20x + 24 b. 20x – 16 c. 32x + 24 d. 8x + 24 e. –32x – 16

9. Selesaikan soal berikut:

a. Carilah hasil bagi dan sisa dari (6x3 _{+ 7x}2 _{+ 9x + 8) : (3x}2 _{+ 2x + 1)}

b. Carilah sisa dari setiap pembagian dengan menggunakan teorema sisa c. (2x4 _{+ 3x}3 _{+ x}2 _{– x - 3 ): (x - 1)}

10. Tentukan sisa dari setiap pembagian berikut: _(x−(x₁−₎₍3_x)₋4₂₎

http://mathematic-room.blogspot.com

http://ltobing1975.wordpress.com – 1

http://wing87.files.wordpress.com/2012/10/teorema_faktor.pdf

Deskripsi Penggunaan Quis Makker

Sebelum mengerjakan soal jangan lupa sebaiknya mengucapkan basmalah :) Mulailah dengan mengerjakan soal yang mudah terlebih dahulu.

2. Selama pengerjaaan soal, Anda dibatasi waktu pengerjaan soal selama 180 detik untuk masing – masing soal.

3. Untuk menjawab pertanyaan, klik bulatan/kotak pada jawaban yang Anda anggap paling benar.

4. Anda dapat melihat hasil pengerjaan soal pada akhir pengerjaan, Anda dianggap lulus atau tidak berdasarkan nilai yang didapat.

5. Anda dapat me-review jawaban Anda dengan menekan tombol submit yang berada pada tombol paling bawah dan restart.

6. Anda dapat melihat cara penyelesaian dari setiap soal dengan menekan pilihan review feedback yang berada paling bawah.

Periksa kembali jawaban anda selagi waktunya masih memungkinkan. Jangan menyerah ! mulailah percaya diri bahwa anda bisa mengerjakannya

dengan baik.

Jangan lupa ucapkan juga alhamdulilah setelah mengerjakan soal latihan ini.

“good luck and see you next time”

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

DATA PRIBADI

1. Nama Lengkap : Inne Aryanti

2. Tempat, Tanggal Lahir : Cirebon, 26 April 1995

3. Jenis Kelamin : Perempuan

4. Agama : Islam

5. Status : Belum menikah

6. Alamat : Jl. Sukasari Gg IX no. 5

RT/RW 07/03

7. Hobi : Membaca Buku

8. Cita-cita : Guru Matematika

RIWAYAT PENDIDIKAN

1. 1999 – 2000 : TK An-nawwa, Cirebon 2. 2000 – 2006 : SDN Sukasari, Cirebon 3. 2006 – 2009 : SMPN 10, Cirebon 4. 2009 – 2012 : SMAN 9, Cirebon

5. 2012 : Fakultas Pendidikan Matematika Unswagati, Cirebon

DAFTAR RIWAYAT HIDUP

1. Nama Lengkap :Aty riswanty

2. Tempat, Tanggal Lahir : Cirebon, 11 Februari 1993

3. Jenis Kelamin : Perempuan

4. Agama : Islam

5. Status : Belum menikah

6. Alamat : Ds. Gintung lor kec.

Susukan kab. Cirebon

7. Hobi :Bermain, bernyanyi,

membaca

8. Cita-cita :Guru dan Pengusaha

RIWAYAT PENDIDIKAN

1. 2000-2006 SDN 2 kedong-dong 2. 2006-2009 SMPN 1 Susukan

3. 2009-2012 SMAN 1 Arjawinangun