BAB 6 Barisan dan deret

BAB VI

BARISAN DAN DERET BILANGAN

Standar Kompetensi

Memahami sifat-sifat bilangan berpangkat dan bentuk akar serta penggunaannya dalam memecahkan masalah sederhana

Kompetensi Dasar

1. Menentukan pola barisan bilangan sederhana

2. Menentukan suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri

3. Menentukan jumlah n suku pertama deret aritmatika dan deret geometri 4. Memecahkan masalah yang berkaitan dengan barisan dan deret

Tujuan Pembelajaran Siswa dapat :

1. Menyatakan masalah sehari-hari yang berkaitan dengan barisan bilangan.

2. Mengenal unsur-unsur barisan dan deret, misalnya; suku pertama, suku berikutnya, suku ke –n, beda, rasio.

3. Menentukan pola barisan bilangan.

4. Mengenal pengertian barisan aritmatika dan barisan geometri.

5. Menentukan rumus suku ke-n barisan aritmatika dan barisan geometri. 6. Mengenal pengertian deret aritmatika dan deret geometri naik atau turun. 7. Menentukan rumus jumlah n suku pertama deret aritmetika dan deret geometri.

dst.

Mewakili bilangan 1 Mewakili bilangan 3 Mewakili bilangan 5 dst.

1+3+5+7+… = n2

n bilangan

Fibonacci (1180–1250)

A. POLA dan BARISAN BILANGAN 1. Pola Bilangan

a. Pola Bilangan Ganjil

Dari pola-pola tersebut, kemudian akan ditentukan jumlah-jumlah bilangan asli ganjil. Jumlah dari n bilangan asli ganjil yang pertama adalah:

b. Pola Bilangan Genap

Dari pola-pola tersebut, kemudian akan ditentukan jumlah-jumlah bilangan asli genap. Pada gambar bunga matahari disamping, jika dihitung banyaknya biji kwaci dari dalam keluar maka akan membentuk pola bilangan tertentu. 1 , 1 , 2 , 3 , 5 , 8 , 13 , 21,…

Barisan bilangan ini dikenal sebagai barisan bilangan fibonacci. Setiap bilangan atau angka dalam barisan ini merupakan jumlah dari dua bilangan sebelumnya.

Barisan bilangan fibonacci ini ditemukan oleh Fibonacci yang nama lengkapnya adalah Leonardo of Pisa (1180 - 1250 ). Ia menjelaskan teka-teki barisan fibonacci dalam karyanya yang berjudul Liber Abaci.

Pola Bilangan adalah sebuah bilangan yang tersusun dari bilangan lain yang mempunyai pola tertentu.

Mewakili bilangan 2 Mewakili bilangan 4 Mewakili bilangan 6

Jumlah dari n bilangan asli genap yang pertama adalah:

c. Pola Bilangan Segitiga Pascal

Contoh Soal_1:

Berapa banyaknya bilangan asli yang pertama yang jumlahnya 144? Penyelesaian:

Jumlah dari n bilangan asli ganjil yang pertama = n2 Sehingga 144 = n2

n = 12, atau

n = –12 (tidak memenuhi)

Jadi, banyaknya bilangan ganjil adalah 12.

Contoh Soal_2:

Tentukan banyak bilangan asli genap yang pertama yang jumlahnya 121. Penyelesaian:

Jumlah n bilangan asli genap adalah n (n + 1), maka: n(n+1) = 121

n2_{+ n -121 = 0} (n - 10) (n +11) = 0 n - 10 = 0 atau n +11 = 0

n =10 atau n = - 11 (tidak memenuhi) Jadi, banyak bilangan asli genap adalah 10.

Contoh Soal_3:

Berapakah jumlah bilangan pada segitiga pascal pada baris ke-10. Penyelesaian:

Jumlah bilangan adalah Sn = 2n–1

= 210 – 1 = 29 = 512

Jadi, jumlah bilangan segitiga pascal pada baris ke-10 adalah 512.

2. Barisan Bilangan

Perhatikan pola bilangan-bilangan berikut.

Jumlah

2 + 4 + 6 + 8 + . . . +

n

=

n

(

n

+ 1)

n bilangan

Suku ke-1 = a Suku ke-2 = a+b Suku ke-3 = a+2b Suku ke-n = a+(n-1)b a. 2, 4, 6, 8

b. 1, 3, 5, 7, ... c. 3, 6, 9, 12, 15, ...

Bilangan pada (a), (b), dan (c) disusun mengikuti pola tertentu. Bilangan-bilangan tersebut disebut barisan bilangan . Adapun setiap bilangan dalam barisan bilangan disebut Suku Barisan . Suku ke-n suatu barisan bilangan dilambangkan dengan Un.

Pada barisan bilangan 2, 4, 6, 8, diperoleh U1 = suku ke-1 = 2

U2 = suku ke-2 = 4 U3 = suku ke-3 = 6 U4 = suku ke-4 = 8

Jadi, barisan bilangan 2, 4, 6, 8 memiliki 4 buah suku.

B. BARISAN dan DERET ARITMATIKA 1. Barisan Aritmatika

Barisan Aritmetika adalah barisan bilangan yang mempunyai beda atau selisih yang tetap antara dua suku barisan yang berurutan.

Perhatikan uraian berikut. 1, 3, 5, 7, 9, 11, …. +2 +2 +2 +2 +2 +2

Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih 2 antara dua suku barisan yang berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika.

8, 4, 0, -4, -8, -12, -16 -4 -4 -4 -4 -4 -4

Barisan bilangan tersebut memiliki beda atau selisih -4 antara dua suku barisan yang berurutan. Berarti, barisan bilangan tersebut merupakan barisan aritmetika.

U1, U2, U3, …. Un

Contoh Soal_1:

Diketahui barisan aritmetika sebagai berikut. 10, 13, 16, 19, 22, 25, .... Tentukan Suku kedua belas barisan tersebut!

Penyelesaian:

Diketahui: U1 = a = 10

b = U2 – U1 = 13 – 10 = 3

Rumus Suku ke-n:

Un = a + (n – 1)b

U12 = 10 + (12 – 1)3 = 10 + (11)3 = 43

Untuk mencari suku kedua belas (U12), dilakukan cara sebagai berikut.

Un = a + (n – 1)b, maka

Jadi Suku ke-12 adalah 43

Contoh Soal_2:

Sebuah barisan aritmetika memiliki suku pertama 6 dan suku ketujuh 24. Tentukan beda dari barisan tersebut!

Penyelesaian: Diketahui: U1 = a = 6 U7 = a + 6b = 24

= 6 + 6b = 24 = 6b = 24 – 6 = 6b = 18 = b =3 Contoh Soal_3:

Setiap bulan, Ucok selalu menabung di bank. Pada bulan pertama, ia menabung sebesar Rp10.000,00, bulan kedua ia menabung sebesar Rp11.000,00, bulan ketiga ia menabung sebesar Rp12.000, 00. Demikian seterusnya, ia selalu menabung lebih Rp1.000,00 setiap bulannya.

a. Nyatakanlah uang yang ditabung Ucok (dalam ribuan rupiah) untuk 8 bulan pertama. b. Tentukan jumlah uang yang ditabung Ucok pada bulan ke-12.

Penyelesaian:

a. Dalam ribuan rupiah, uang yang ditabung Ucok untuk 8 bulan pertama adalah sebagai berikut. 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17

b. Un = a + (n – 1)b = 10 + (12 – 1)1 = 21

Jadi, uang Ucok pada bulan ke 12 adalah Rp.

21.000,-2. Deret Aritmatika

Deret aritmetika adalah jumlah suku-suku barisan dari barisan aritmetika.

Karena Un = a + (n – 1)b, maka

Contoh Soal_1:

Tentukan jumlah suku-suku berikut Sn = 1₂n (a +

Sn = 1₂n (a + a + (n – 1)b)

U10 = 3 + (10 – 1)4 = 3 + 36 = 39

S10 = ½.10 (2(3) + (10 – 1)4 = 5 (6 + 36)

= 210

Suku ke-1 = a Suku ke-2 = ar Suku ke-3 = ar2 Suku ke-n = arn-1 2 + 6 + 10 + …+ 62

Penyelesaian:

Un = 62

a + (n – 1)b = 62 2 + (n – 1)4 = 62 2 + 4n – 4 = 62 4n – 2 = 62 4n = 62 + 2

4n = 64

n = 16

Contoh Soal_2:

Diketahui deret aritmetika : 3 + 7 + 11 + 15 + 19 + .... Tentukan a. Suku kesepuluh (U10) deret tersebut,

b. Jumlah sepuluh suku pertama (S10). Penyelesaian:

a. Un = a + (n – 1)b maka

b. Sn = ½n (2a + (n – 1)b) maka

C. BARISAN dan DERET GEOMETRI 1. Barisan Geometri

Barisan geometri adalah barisan bilangan yang mempunyai rasio tetap antara dua suku barisan yang berurutan. Berbeda dengan barisan aritmetika, selisih antarsuku barisan disebut rasio (dilambangkan dengan r)

Perhatikan uraian berikut. 3, 6, 12, 24, 48, 96, x2 x2 x2 x2 x2

Barisan bilangan tersebut memiliki rasio yang tetap, yaitu 2 atau r = 2. Berarti, barisan tersebut merupakan barisan geometri.

U1 U2 U3 Un

Sn = 1₂n (a + Un)

S16 = 1₂(16) (2 + 62)

= 512

Un = ar n–1 _{a = U1 = Suku pertama}

Contoh Soal_1:

Diketahui barisan bilangan sebagai berikut. 18, 6, 2, 2₃, 2₉ , ₂₇2

Tentukan suku kesepuluh dari barisan tersebut. Penyelesaian:

Diketahui suatu barisan geometri dengan suku ke-4 adalah 4 dan suku ke-7 adalah 32. Tentukan:

a. suku pertama dan rasio barisan geomeri tersebut, b. suku kesembilan barisan geometri tersebut. Penyelesaian:

Jadi suku pertama adalah ½ dan rasionya 2. 2. Deret Geometri

Deret geometri merupakan jumlah sukusuku dari suatu barisan geometri.

Contoh Soal_1:

b. Un = ar n – 1 U9 = ½ (2)9-1 U9 = ½ .(256) U9 = 128

Jadi suku kesembilan adalah 128

Diketahui deret geometri : 3+ 6+ 12+ 24+ 48+ ..., Tentukan jumlah tujuh suku pertamanya (S7). Penyelesaian:

Sn = a¿ ¿ ¿ maka

SOAL – SOAL LATIHAN

Pilihlah jawaban yang paling tepat! S7 =

3(1−2¿¿7)

1−2 ¿

= 3(1−128)₋₁

b. 1. Sebuah gedung pertunjukan,

banyaknya kursi pada baris paling depan adalah 15 buah, banyaknya kursi pada baris di belakang selali lebih 3 buah dari baris di depannya, berapa banyak kursi pada baris ke 12 dari depan?

a. 42 kursi c. 51 kursi

b. 48 kursi d. 54 kursi

2. Pada tumpukan batu bata, banyak batu bata paling atas adalah 8 buah, tepat di

bawahnya ada 10, dan seterusnya setiap tumpukan di bawahnya selalu lebih banyak 2 dari tumpukan di atasnya, jika ada 15 tumpukan batu bata (dari atas sampai bawah) maka banyak batu bata pada tumpukan paling bawah ada ...

a. 35 c. 38

b. 36 d. 40

3. Kompleks suatu perumahan ditata dengan teratur, rumah yang terletak di sebelah kiri menggunakan nomor rumah ganjil yaitu : 1, 3, 5, 7, ... nomor rumah yang ke 12 23, ... bilangan pada suku ke 15 adalah ...

a. 159 c. 213 setiap bulan pegawai tersebut mendapat kenaikan 10% dari gaji bulan pertama. tersedia 15 kursi. Baris di belakangnya selalu tersedia 3 kursi lebih lebih banyak dari baris di depannya. Jika pada ruang itu tersedia 10 baris, banyak kursi di ruang tersebut adalah ... a. 150 buah c. 300 buah

b. 285 buah d. 570 buah

8. Dalam gedung pertunjukan disusun kursi dengan baris peling depan terdiri dari 12 buah, baris kedua berisi 14 buah, baris ketiga berisi 16 buah dan seterusnyaselalu bertambah 2 baris, banyak kursi pada baris ke 20 adalah ....

a. 28 buah c. 300 buah

b. 50 buah d. 570 buah

9. Pola noktah-noktah berikut yang

menunjukkan pola bilangan persegipanjang adalah ...

10. Diketahui barisan bilangan sebagai berikut.

2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20.

Banyaknya suku barisan dari barisan bilangan tersebut adalah ....

a. 10 c. 8

b. 9 d. 7

11. Perhatikan barisan bilangan geometri sebagai berikut.

3, 6, 12, 24, ...

Nilai suku kesepuluh dari barisan tersebut adalah…

a. 1.356 c. 1.635

b. 1.635 d. 1.653

12. Diketahui deret bilangan aritmetika sebagai berikut.

12 + 15 + 18 + ...

Jumlah delapan suku pertama deret tersebut adalah ....

a. 160 c. 360

13. Suatu deret aritmetika memiliki suku ketiga 9 dan suku keenam adalah 243. Jumlah lima suku pertama deret aritmetika tersebut adalah ....

a. 242 c. 81

b. 121 d. 72

14. Barisan aritmetika yang memenuhi rumus umum: 3n – 1 adalah ....

a. 1, 4, 7, 10, 13, ...

b. 1, 5, 9, 13, 17, ... c. 2, 8, 14, 20, ...

d. 2, 5, 8, 11, 14, ...

15. Beda pada barisan aritmetika yang memiliki suku pertama 15 dan suku ketujuh 39 adalah ....

a. 3 c. 5