Untuk contoh 1, mendefinisikan suatu fungsi (namakan (x,y) sehingga x dan y memenuhi :

Sesi XI

FUNGSI dan GRAFIK

e-Mail : zacoeb@ub.ac.id www.zacoeb.lecture.ub.ac.id Hp. 081233978339

Mata Kuliah : Matematika Rekayasa Lanjut Kode MK : TKS 8105

Pengampu : Achfas Zacoeb

FUNGSI

Secara intuitif, y dapat dipandang sebagai fungsi dari x, jika terdapat aturan dimana nilai y (tunggal) menghubungkan nilai x.

Contoh :

1.𝒚 = 𝟐𝒙𝟐+ 𝟓

FUNGSI

(Lanjutan)

Definisi :

Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain) dan himpunan semua nilai y = f(x) disebut daerah hasil (ko-domain) dari fungsi.

1. Himpunan : A, B 

2. Fungsi : y = f(x)

xpeubah bebas

ypeubah tak bebas, bergantung pada x

3. Daerah asal fungsi:

Ada beberapa cara penyajian suatu fungsi yaitu : a. Secara verbal : dengan uraian kata-kata. b. Secara numerik : dengan tabel

c. Secara visual : dengan grafik

PENYAJIAN FUNGSI

(Lanjutan)

a. Secara verbal

 Contoh biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalahB(w).

 Aturan yang digunakan di Kantor Pos adalah sebagai berikut :

 Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan sampai 5 ons.

b. Secara numerik

 Contoh biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan pada Tabel berikut :

Berat w

c. Secara visual

 Contoh biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan dalam grafik berikut :

PENYAJIAN FUNGSI

(Lanjutan)

d. Secara aljabar

 Contoh biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi berikut :

𝑩 𝒘 =

𝟏. 𝟎𝟎𝟎, jika 𝟎 < 𝒘 ≤ 𝟏 𝟏. 𝟐𝟓𝟎, jika 𝟏 < 𝒘 ≤ 𝟐 𝟏. 𝟓𝟎𝟎, jika 𝟐 < 𝒘 ≤ 𝟑 𝟏. 𝟕𝟓𝟎, jika 𝟑 < 𝒘 ≤ 𝟒 𝟐. 𝟎𝟎𝟎, jika 𝟒 < 𝒘 ≤ 𝟓

JENIS FUNGSI

1. Fungsi linear

Bentuk umum :

y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta

a = kemiringan garis

b = perpotongan garis dengan sumbu-y

Daerah asal, D_f=  dan daerah hasil, W_f = 

Grafik :

JENIS FUNGSI

(Lanjutan)

2. Polinomial

Bentuk umum :

y = f(x) = a_nxn_{+ a}

n-1xn-1+ … + a2x2+ a1x + a0

a_n, a_n-1, …, a₁, a₀ = konstanta

n = derajad polinom (a_n0)

Daerah asal, D_f= 

3. Fungsi Pangkat

Bentuk umum :

y = f(x) = xn_{, n}  _N

Daerah asal, D_f= 

Grafik :

JENIS FUNGSI

(Lanjutan)

4. Fungsi Akar

Bentuk umum :

y = f(x) = 𝒏 𝒙, n =2, 3, 4, …

Daerah asal dan daerah hasil :

Df= [0,), Wf= [0,), jika n genap D_f= , W_f= , jika n ganjil Grafik :

5. Fungsi Kebalikan Bentuk umum :

𝒚 =𝟏_𝒙, 𝒙 ≠ 𝟎

Daerah asal dan daerah hasil :

D_f=  - {0}, W_f=  - {0} Grafik :

JENIS FUNGSI

(Lanjutan)

6. Fungsi Rasional

Bentuk umum : 𝒚 =𝑷(𝒙)

𝑸(𝒙),dengan : P, Q adalah polinom Daerah asal :

Df=  - {xQ(x) = 0}

7. Fungsi Aljabar

Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu: penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.

Catatan :

Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar.

8. Fungsi Trigonometri

a. Fungsi Sinus b. Fungsi Cosinus c. Fungsi Tangen

d. Fungsi trigonometri lainnya.

JENIS FUNGSI

(Lanjutan)

9. Fungsi Eksponensial

Bentuk umum :

𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝒂𝒙_{,a > 0} Daerah asal dan daerah hasil :

Df= , Wf= (0,)

Grafik :

10. Fungsi Logaritma

Bentuk umum :

𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝐥𝐨𝐠_𝒂x, a > 0

Daerah asal dan daerah hasil :

D_f= (0,), W_f= 

Grafik :

JENIS FUNGSI

(Lanjutan)

11. Fungsi Transenden

Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar. Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri, invers trigonometri, eksponensial dan logaritma.

12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong (piecewise function)

13. Fungsi genap dan fungsi ganjil

Definisi: jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap.

Catatan:

Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.

JENIS FUNGSI

(Lanjutan)

Definisi: Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil.

Catatan :

14. Fungsi naik dan fungsi turun

Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I, jika

f(x1) < f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.

2. Fungsi f disebut turun pada selang I, jika

f(x₁) > f(x₂) untuk setiap x₁ < x₂ di I.

JENIS FUNGSI

(Lanjutan)

Secara umum fungsi mengatur hubungan antara variabel bebas dan variabel terikat. Hubungan antara satu variabel dengan variabel lain atau antara kumpulan variabel dengan satu variabel lain banyak dijumpai dalam bidang teknik sipil, seperti contoh beberapa fungsi berikut :

BIDANG TEKNIK SIPIL

1. Hubungan antara momen lentur (Mx) suatu penampang

dengan absis penam-pang tersebut (x) pada balok sederhana sepanjang bentang (L) dengan beban merata (q) yang diberikan oleh fungsi :

2. Hubungan antara tegangan () dan regangan () suatu bahan yang bermodulus elastis (E) dalam batas elastis diberikan oleh fungsi :

𝝈 = 𝑬. 𝜺

BIDANG TEKNIK SIPIL

(Lanjutan)

3. Hubungan antara kecepatan aliran air (v) pada saluran terbuka yang memiliki keliling basah (R), koefisien kekasaran dinding (c) dan kemiringan dasar saluran (i), diberikan oleh fungsi :

𝒗 = 𝒄 𝑹. 𝒊

 Grafik fungsi adalah presentasi fungsi menggunakan gambar dengan mengacu pada sistem koordinat tertentu, misalnya koordinat kartesius, koordinat polar dan sebagainya.

 Dengan grafik fungsi, perilaku fungsi lebih mudah diamati misalnya, apakah fungsi naik, fungsi turun, mencapai maksimum/minimum atau mencapai nol.  Disamping itu dengan memahami bentuk-bentuk grafik

 Berikut ini diberikan contoh-contoh grafik fungsi yang digunakan dalam bidang teknik sipil :

GRAFIK FUNGSI

(Lanjutan)

1. Grafik fungsi gaya lintang pada balok sederhana yang mendapat beban terbagi merata sepanjang batang seperti gambar berikut :

2. Grafik fungsi momen lentur pada balok kantilever yang mendapat beban terbagi terbagi merata seperti gambar berikut :

GRAFIK FUNGSI

(Lanjutan)

3. Grafik hubungan antara defleksi puncak frame dua batang yang dianalisis secara non-linier geometri seperti gambar berikut :

4. Grafik hubungan antara kadar air dan volume tanah pada batas-batas konsistensi seperti gambar berikut :

GRAFIK FUNGSI

(Lanjutan)

1. Fungsi digunakan dalam bidang teknik sipil untuk menyatakan hubungan antara variabel bebas dengan variabel terikat.

2. Fungsi-fungsi tersebut digunakan dalam berbagai kajian bidang teknik sipil seperti rekayasa struktur, rekayasa geoteknik, rekayasa keairan, rekayasa transportasi, manajemen konstruksi, dan lain-lain.

3. Grafik fungsi digunakan untuk mempresentasikan fungsi secara visual dalam bentuk gambar.

LATIHAN

Gambarkan grafik dari fungsi SPL berikut : 1. 𝑥 + 2𝑦 = 1

3𝑥 − 𝑦 = 10 2. 4𝑥 + 𝑦 = 17

3𝑥 − 4𝑦 = 27 3. 4𝑥 + 5𝑦 = 2

11𝑥 + 𝑦 + 2𝑧 = 3 𝑥 + 5𝑦 + 2𝑧 = 1 4. 𝑥 + 𝑦 − 2𝑧 = 1

2𝑥 − 𝑦 + 𝑧 = 2 𝑥 − 2𝑦 − 4𝑧 = −4

Thanks for