Logika matematika Filsafat Matematika (1) Filsafat Matematika (1) Filsafat Matematika (1)

(1)

Transparansi Kuliah Pertama

Matematika Diskrit

Transparansi ini diadopsi dari bahan kuliah Matematika Diskrit

di Jurusan Teknik Elektro ITB

(2)

Matematika Diskrit Kuliah-1 2 Textbook:

Textbook:

Kenneth H. Rosen,

Kenneth H. Rosen, Discrete Mathematics and Discrete Mathematics and its Applications,

its Applications, Mc.Graw Hill, 5Mc.Graw Hill, 5thth Ed._Ed.

Isi : Isi : 1.

1. Penalaran Matematika: logika, metoda dan Penalaran Matematika: logika, metoda dan pembuktian.

pembuktian. 2.

2. Analisis Kombinatorial: counting, analisis cmbAnalisis Kombinatorial: counting, analisis cmb 3.

3. Struktur Diskrit: representasi dan keterkatian Struktur Diskrit: representasi dan keterkatian objek diskrit

objek diskrit 4.

4. Algoritma: spesifikasi, verifikasi, kompleksitasAlgoritma: spesifikasi, verifikasi, kompleksitas 5.

5. Aplikasi M. Diskrit: dalam Ilmu Komputer, Aplikasi M. Diskrit: dalam Ilmu Komputer, jaringan, kimia, botany, linguistik, geografi, jaringan, kimia, botany, linguistik, geografi, bisnis, internet.

(3)

Matematika Diskrit Kuliah-1 3

Rencana Penilaian

• Kegiatan Akademik Terstruktur (KAT)_{Kegiatan Akademik Terstruktur (KAT)} … %… %

• Ujian Tengah Semester (UTS) _{Ujian Tengah Semester (UTS)} … %… %

(4)

Silabus Kuliah (1)

1.

1. Logika, himpunan dan fungsi

Logika, himpunan dan fungsi

2.

2. Algoritma, Teori Bilangan dan

Algoritma, Teori Bilangan dan

matriks

3.

3. Penalaran Matematika, Induksi

_{Penalaran Matematika, Induksi}

dan Rekursi

4.

4. Dasar-dasar

Dasar-dasar

Counting



(5)

Silabus Kuliah (2)

7. 7. Teori Peluang Diskrit

Teori Peluang Diskrit

8. 8. Advanced Counting

Advanced Counting

9. 9. Relasi

Relasi

10. 10. Graph

Graph

11. 11. Tree

Tree

dan aplikasinya

_{dan aplikasinya}

12. 12. Aljabar Boole

Aljabar Boole



(6)

Tentang Handout

Handout ini adalah terjemahan dan modifikasi dari

CS320-Discrete Mathematics

CS320-Discrete Mathematics oleh Marc Pomplun oleh Marc Pomplun (

(http://www.cs.umb.edu/~marc/). Publikasi di Publikasi di internet telah dilakukan seijin Pof. Marc.

internet telah dilakukan seijin Pof. Marc.

This Lecture Notes is Indonesian translation and

modification of Marc Pomplun’s

modification of Marc Pomplun’s CS320-Discrete CS320-Discrete Mathematics

Mathematics (http:// (http://www.cs.umb.eduwww.cs.umb.edu/~marc//~marc/)). . Publication in my website has been permitted by

Publication in my website has been permitted by

Prof. Marc.

(7)

Mengapa matematika diskrit ?

• _{Komputer (dijital) beroperasi secara diskrit}_{Komputer (dijital) beroperasi secara diskrit} dengan unit terkecil yg disebut bit.

dengan unit terkecil yg disebut bit. • Dengan demikian, baik_{Dengan demikian, baik}

– Struktur (rangkaian) dan juga_{Struktur (rangkaian) dan juga} – Operasi (eksekusi algoritma)_{Operasi (eksekusi algoritma)}

(8)

Perangkat Matematika

Perangkat

Perangkat yang berguna dalam matematika diskrit:yang berguna dalam matematika diskrit: • _{Logika Matematika (Logic)}_{Logika Matematika (Logic)}

• _{Teori Himpunan (Set Theory)}_{Teori Himpunan (Set Theory)} • _{Fungsi (Functions)}_{Fungsi (Functions)}

(9)

Logika

• Berguna untuk melakukan penalaran matematika_{Berguna untuk melakukan penalaran matematika} • Digunakan dalam mendesain rangkaian elektronik._{Digunakan dalam mendesain rangkaian elektronik.}

• Logika adalah suatu sistem yang didasarkan pada _{Logika adalah suatu sistem yang didasarkan pada}

proposisi. proposisi.

• Suatu proposisi adalah sebuah pernyataan yang bisa _{Suatu proposisi adalah sebuah pernyataan yang bisa}

bernilai

bernilai benar benar (true/T)(true/T) atau atau salahsalah (false/F) tetapi tidak (false/F) tetapi tidak sekaligus keduanya.

sekaligus keduanya.

• Kita katakan bahwa _{Kita katakan bahwa}nilai kebenarannilai kebenaran (truth value)(truth value) dari dari sebuah proposisi adalah

sebuah proposisi adalah benarbenar atau atau salahsalah..

• Dalam rangkaian dijital, nilai ini dinyatakan sebagai _{Dalam rangkaian dijital, nilai ini dinyatakan sebagai}11 dan dan

(10)

“

Gajah lebih besar daripada tikus.”

Apakah ini sebuah pernyataan?

_YA

Apakah ini sebuah proposisi?

YA

Apakah nilai kebenaran

dari proposisi ini?

BENAR

(11)

“

520 < 111”

_{520 < 111”}

Apakah ini sebuah pernyataan?

_YA

Apakah ini sebuah proposisi?

YA

Apakah nilai kebenaran

dari proposisi ini?

SALAH

(12)

“

y > 5”

Nilai kebenaran dari pernyataan tersebut

bergantung pada y, tapi nilainya belum

ditentukan.

Apakah ini sebuah pernyataan?

_YA

Apakah ini sebuah proposisi?

TIDAK

Proposisi atau Pernyataan

Pernyataan jenis ini kita sebut sebagai

fungsi proposisi

(13)

“

Sekarang tahun 2004 dan 99 < 5.”

_{Sekarang tahun 2004 dan 99 < 5.”}

Apakah ini sebuah pernyataan?

_YA

Apakah ini sebuah proposisi?

YA

Apakah nilai kebenaran

dari proposisi ini?

SALAH

(14)

“

Tolong untuk tidak tidur selama kuliah”

TIDAK

Hanya pernyataanlah yang bisa menjadi

proposisi.

Ini adalah sebuah permintaan.

Apakah ini sebuah pernyataan?

Apakah ini sebuah proposisi?

(15)

“

x < y jika dan hanya jika y > x.”

Apakah ini pernyataan ?

YA

Apakah ini proposisi ?

YA

Apakah nilai kebenaran

dari proposisi ini ?

BENAR

…

karena nilai kebenarannya

tidak bergantung harga

spesifik x maupun y.

(16)

Penggabung Proposisi

Beberapa contoh terdahulu menunjukkan

bahwa beberapa proposisi dapat digabung

menjadi sebuah proposisi gabungan.

Hal ini kita formal-kan dengan

melambangkan proposisi sebagai

huruf-huruf; seperti

huruf; seperti

p

,

q

,

r

,

s

;

dan memperkenalkan

operator-operator logika.

(17)

Operator logika

Kita akan membahas operator-operator berikut: Kita akan membahas operator-operator berikut:

•_NegasiNegasi (NOT)(NOT) • _{Konjungsi (AND)}_{Konjungsi (AND)} • Disjungsi _Disjungsi (OR)(OR)

• _{Eksklusif OR}_{Eksklusif OR} _(XOR)_(XOR) • Implikasi (jika – maka)_{Implikasi (jika – maka)}

• Bikondisional (jika dan hanya jika)_{Bikondisional (jika dan hanya jika)}

Tabel logika (tabel kebenaran/

Tabel logika (tabel kebenaran/ truth tabletruth table) dapat ) dapat dipakai untuk menunjukkan bagaimana dipakai untuk menunjukkan bagaimana

operator-operator tsb diatas menggabungkan beberapa proposisi operator tsb diatas menggabungkan beberapa proposisi menjadi satu proposisi gabungan.

(18)

Negasi (NOT)

Operator Uner, Lambang:



_

P



P

Benar

Salah

_Salah

Salah

(19)

Konjungsi (AND)

Operator Biner, Lambang:



_

P

Q

P



Q

Benar

Salah

Benar

Salah

(20)

Disjungsi (OR)

Operator Biner, Lambang:



_

P

Q

P



Q

Benar

Salah

_Salah

Benar

_Benar

Salah

Benar

Salah

(21)

Eksklusif Or (XOR)

Operator Biner, Lambang:



_

P

Q

P



Q

Benar

Salah

Benar

Salah

_Salah

Benar

_Benar

Salah

Benar

Salah

(22)

Implikasi (jika - maka)

Operator Biner, Lambang:



_

P

Q

P



Q

Benar

Salah

_Salah

Salah

_Salah

Salah

Benar

Salah

(23)

Bikondisional (jika dan hanya jika)

Operator Biner, Lambang:



_

P

Q

P



Q

Benar

Salah

_Salah

Salah

_Salah

Salah

Benar

Salah

(24)

Pernyataan dan Operasi

Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat

digabungkan menjadi suatu pernyataan baru. digabungkan menjadi suatu pernyataan baru.

P

P QQ P_P Q_Q (₍P)_P)(₍Q)_Q)

Benar

Benar BenarBenar SalahSalah SalahSalah SalahSalah

Benar

Benar SalahSalah SalahSalah BenarBenar BenarBenar

Salah

Salah BenarBenar BenarBenar SalahSalah BenarBenar

Salah

(25)

Pernyataan dan Operasi

P

P QQ PPQ_Q  (P_(PQ)_Q) (₍P)_P)(₍Q)_Q)

Benar

Benar BenarBenar BenarBenar SalahSalah SalahSalah

Benar

Benar SalahSalah SalahSalah BenarBenar BenarBenar

Salah

Salah BenarBenar SalahSalah BenarBenar BenarBenar

Salah

Salah SalahSalah SalahSalah BenarBenar BenarBenar

Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat Pernyataan-pernyataan dan operator-operator dapat

(26)

Pernyataan-pernyataan yang ekivalen

P

P QQ (P(PQ)Q) ((P)P)((Q)Q) (P(PQ)Q)((P)P)((Q)Q)

Benar

Benar BenarBenar SalahSalah SalahSalah BenarBenar

Benar

Benar SalahSalah BenarBenar BenarBenar BenarBenar

Salah

Salah BenarBenar BenarBenar BenarBenar BenarBenar

Salah

Salah SalahSalah BenarBenar BenarBenar BenarBenar

Pernyatan

Pernyatan (P(PQ) dan (Q) dan (P)P)((Q) adalah ekivalen secara Q) adalah ekivalen secara logis, karena

(27)

Tautologi dan Kontradiksi

Suatu

Suatu tautologitautologi adalah pernyataan yang selalu adalah pernyataan yang selalu

bernilai benar

bernilai benar Contoh:

Contoh: • _R_R__₍₍___R)_R)

 ___(P_(P___Q)_Q)__₍₍___P)_P)__₍₍___Q)_Q)

Jika S

Jika ST sebuah tautologi, kita tulis S T sebuah tautologi, kita tulis S  T. T.

JIka S

(28)

Suatu

Suatu kontradiksikontradiksi adalah pernyataan yang adalah pernyataan yang selalu selalu bernilai salah

bernilai salah..

Contoh: Contoh: • R_R((R)R)

 __₍₍___(P_(P___Q)_Q)__₍₍___P)_P)__₍₍___Q))_Q))

Negasi dari sebarang tautologi adalah sebuah

kontradiksi, sebaliknya, negasi dari sebuah

kontradiksi adalah sebuah tautologi.

Kontradiksi

(29)

Latihan

Kita tahu tautologi berikut:



(P(PQ) Q)  ((P)P)((Q)Q)

Latihan di kelas :

Tunjukkan bahwa

Tunjukkan bahwa (P_(PQ) _Q) (₍P)_P)(₍Q)._Q).

Kedua tautologi ini disebut sebagai

Kedua tautologi ini disebut sebagai hukum De hukum De Morgan

(30)

Proposisi dan Fungsi

Fungsi proposisi (kalimat terbuka) :

Pernyataan yang mengandung satu buah variabel atau lebih.

Contoh :

Contoh : xx - 3 > 5. - 3 > 5.

Misalkan kita sebut fungsi proposisi ini sebagai P(

Misalkan kita sebut fungsi proposisi ini sebagai P(xx), dimana P ), dimana P adalah predikat dan

adalah predikat dan xx adalah variabel. adalah variabel.

Apakah nilai kebenaran dari P(2) ?

Apakah nilai kebenaran dari P(2) ? SalahSalah Salah Salah Benar Benar Apakah nilai kebenaran dari P(8) ?

(31)

Fungsi Proposisi

Tinjau fungsi proposisi Q(x, y, z) yg didefinisikan: Tinjau fungsi proposisi Q(x, y, z) yg didefinisikan:

x + y = z. x + y = z.

Disini, Q adalah

Disini, Q adalah predikatpredikat dan x, y, and z adalah dan x, y, and z adalah variabel

variabel..

Apakah nilai kebenaran dari Q(2, 3, 5) ?

Apakah nilai kebenaran dari Q(2, 3, 5) ? BenarBenar Apakah nilai kebenaran dari Q(0, 1, 2) ?

Apakah nilai kebenaran dari Q(0, 1, 2) ? Apakah nilai kebenaran dari Q(9, -9, 0) ? Apakah nilai kebenaran dari Q(9, -9, 0) ?

(32)

Kuantifikasi Universal

Mis. P(x) suatu fungsi proposisi. Mis. P(x) suatu fungsi proposisi.

Kalimat yg dikuantifikasi secara universal

Kalimat yg dikuantifikasi secara universal ::

Untuk semua x dalam semesta pembicaraan, P(x)

adalah benar.

Dengan kuantifier universal Dengan kuantifier universal ::



x P(x) “untuk semua x P(x)” x P(x) “untuk semua x P(x)” atau atau

“

“untuk setiap x P(x)”untuk setiap x P(x)”

(Catatan:

(Catatan: x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan sebuah sebuah proposisi

(33)

Contoh : Contoh :

S(x): x adalah seorang mahasiswa IT. S(x): x adalah seorang mahasiswa IT.

G(x): x adalah seorang yang pandai. G(x): x adalah seorang yang pandai.

Apakah arti dari

Apakah arti dari x (S(x) x (S(x)  G(x)) ? G(x)) ?

“

“Jika x adalah mahasiswa IT, maka x adalah Jika x adalah mahasiswa IT, maka x adalah seorang yang pandai”

seorang yang pandai” atau

atau “

“Semua mahasiswa IT pandai.”Semua mahasiswa IT pandai.”

Kuantifikasi Universal

(34)

Kuantifikasi Eksistensial

Kalimat yang di-kuantifikasi secara eksistensial

Kalimat yang di-kuantifikasi secara eksistensial::

Ada x di dalam semesta pembicaraan dimana P(x)

benar.

Dengan peng-kuantifikasi eksistensial Dengan peng-kuantifikasi eksistensial ::



x P(x) “Ada sebuah x sedemikian hingga P(x).”x P(x) “Ada sebuah x sedemikian hingga P(x).”

“

“Ada sedikitnya sebuah x sedemikian Ada sedikitnya sebuah x sedemikian

hingga P(x).”hingga P(x).”

(Catatan:

(Catatan: x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan x P(x) bisa benar atau salah, jadi merupakan sebuah proposisi, tapi bukan

(35)

Contoh :

P(x): x adalah seorang dosen IT.

G(x): x adalah seorang yang pandai.

Apakah arti

Apakah arti x (P(x) _{x (P(x)} G(x)) ?_{G(x)) ?}

“

“Ada x sedemikian hingga x adalah seorang dosen IT Ada x sedemikian hingga x adalah seorang dosen IT dan x adalah seorang yang pandai.”

dan x adalah seorang yang pandai.”

atau

“

“Sedikitnya satu orang dosen IT adalah seorang Sedikitnya satu orang dosen IT adalah seorang yang pandai.”

yang pandai.”

Kuantifikasi Eksistensial

(36)

Kuantifikasi

Contoh lain : Contoh lain :

Misalkan semesta pembicaraan adalah bilangan riil. Misalkan semesta pembicaraan adalah bilangan riil.

Apakah arti dari

Apakah arti dari x_xy (x + y = 320)_{y (x + y = 320)} ?_?

“

“Untuk setiap Untuk setiap xx ada ada yy sehingga sehingga x + y = 320x + y = 320.”.”

Apakah pernyataan ini benar ? Apakah pernyataan ini benar ?

Apakah ini benar untuk bilangan cacah? Apakah ini benar untuk bilangan cacah?

Ya

Tidak

(37)

Disproof

dengan

_dengan

counterexample

_{counterexample}

Counterexample

Counterexample dari dari x P(x) adalah sebuah _{x P(x) adalah sebuah}

objek c sehingga P(c) salah. objek c sehingga P(c) salah.

Pernyataan seperti

Pernyataan seperti x (P(x) x (P(x)  Q(x)) dapat di- Q(x)) dapat

di-disproof

disproof secara sederhana dengan memberikan secara sederhana dengan memberikan

counterexample

counterexample-nya.-nya.

Pernyataan: “Semua burung bisa terbang.” Pernyataan: “Semua burung bisa terbang.”

Disproved

(38)

Negasi



((x P(x)) ekivalen scr logis dengan x P(x)) ekivalen scr logis dengan x (x (P(x)).P(x)).



((x P(x)) ekivalen scr logis dengan x P(x)) ekivalen scr logis dengan x (x (P(x)).P(x)).

Lihat Table 3 dalam Section 1.3. Lihat Table 3 dalam Section 1.3.