BILANGAN DOMINASI SISI PADA GRAF BUKU

(1)

BILANGAN DOMINASI SISI PADA GRAF BUKU

SKRIPSI

Rizki Dini Febri Anggraini 11150940000038

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA

(2)

i

BILANGAN DOMINASI SISI PADA GRAF BUKU

Skripsi

Diajukan kepada

Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta Fakultas Sains dan Teknologi

Untuk Memenuhi Salah Satu Persyaratan dalam Memperoleh Gelar Sarjana Matematika (S.Mat)

Oleh:

Rizki Dini Febri Anggraini 11150940000038

PROGRAM STUDI MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UIN SYARIF HIDAYATULLAH JAKARTA

(3)

(4)

iii

LEMBAR PENGESAHAN

Skripsi ini berjudul “Bilangan Dominasi Sisi Pada Graf Buku” yang ditulis oleh Rizki

Dini Febri Anggraini NIM. 11150940000038 telah diuji dan dinyatakan lulus dalam

sidang Munaqosah Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negeri Syarif Hidayatullah Jakarta pada hari Senin, 13 Januari 2020. Skripsi ini telah diterima untuk memenuhi salah satu persyaratan dalam memperoleh gelar sarjana strata satu (S1) Program Studi Matematika.

Menyetujui,

Pembimbing I Pembimbing II

Dr. Nur Inayah, M.Si Wisnu Aribowo, M.Si

NIP. 19740125 200312 2 001 NUPN. 9920113332

Penguji I Penguji II

Yanne Irene, M.Si

NIP. 19741231 200501 2 018

Muhaza Liebenlito, M.Si NIDN. 2003098802

Mengetahui,

Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Ketua Program Studi Matematika

Prof. Dr. Lily Surayya Eka Putri, M. Env.Stud Dr. Suma’inna, M.Si

(5)

iv

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN

PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini:

Nama : Rizki Dini Febri Anggraini

NIM : 11150940000038

Program Studi : Matematika Fakultas Sains dan Teknologi

Demi pengembagan ilmu pengetahuan, saya menyetujui untuk memberikan Hak Bebas Royalti Non-Esklusif (Non-Exclusive-Free Right) kepada Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta atas karya ilmiah saya yang berjudul :

“BILANGAN DOMINASI SISI PADA GRAF BUKU”

Beserta perangkat yang diperlukan (bila ada). Dengan Hak Bebas Royalti Non-Eksklusif ini, Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi UIN Syarif Hidayatullah Jakarta berhak menyimpan, mengalihmedia/formatkan, mengelolanya dalam bentuk pangkalan data (database), mendistribusikannya, dan menampilkan / mempublikasikannya di internet dan media lain untuk kepentingan akademis tanpa perlu meminta izin dari saya selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis/pencipta dan sebagai pemilik Hak Cipta. Segala bentuk tuntutan hukum yang timbul atas pelanggaran Hak Cipta karya ilmiah ini menjadi tanggung jawab saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini yang saya buat dengan sebenarnya. Dibuat di Jakarta

Pada tanggal: 13 Januari 2020 Yang membuat pernyataan

(6)

v

PERSEMBAHAN

untuk Papi Padianto dan Mami Karsini

terimakasih telah menjadi motivasi terbesar saya dalam

mengerjakan skripsi

MOTTO

“La Tahzan Innalaha Ma’ana“

(Q.S. At-Taubah:40)

“Hasbunallah Wani’mal Wakil Nikmal Maula Wani’man Nasir“

(Q.S. Ali Imron:173)

“Innalaha Ma’asshobirin“

(7)

vi

KATA PENGANTAR

Assalamu’alaikum Warahmatullahi Wabarakatuh

Alhamdu lillahi rabbilalamin, puj syukur atas kehadirat Allah SWT yang tela memberikan rahmat dan hidayah-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan judul “Bilangan Dominasi Sisi pada Graf Buku” . Tak lupa shalawat serta salam selalu tercurah kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan para sahabatnya hingga pada umatnya sampai akhir zaman.

Dalam menyelesaikan penyusunan skripsi ini banyak pihak yang telah berkontribusi, penulis mendapatkan bimbingan dan bantuan serta bentuk kontribusi lainnya sampai skripsi ini dapat terselesaikan. Untuk itu, pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terima kasih kepada :

1. Ibu Prof. Dr. Lily Surraya Eka Putri,M.Env.Stud, selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi Universitas Islam Negri Syarif Hidayatullah Jakartta. 2. Ibu Dr. Suma’inna, M.Si selaku Ketua Program Studi Matematika Fakultas

Sains dan Teknologi dan Ibu Irma Fauziah, M.Si, selaku Sekretaris Program Studi Matematika Fakultas Sains dan Teknologi.

3. Ibu Dr. Nur Inayah, M.Si selaku Dosen Pembimbing I dan Bapak Wisnu Aribowo, M.Si selaku Dosen Pembimbing II yang telah menyediakan waktunya untuk memberikan bimbingan, pengarahan, motivasi, serta saran dalam menyelesaikan skripsi ini.

4. Seluruh Ibu dan Bapak Dosen Program Studi Matematika yang telah memberikan ilmu – ilmunya dan pengalaman yang bermanfaat selama penulis dimasa studi.

5. Kedua orangtua penulis, Papi Padianto dan Mami Karsini yang tidak pernah berhenti memberikan doa, kasih sayang, semangat, serta dukungan moril maupun materil sekaligus menjadi motivasi terbesar penulis sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Adik sepupu tersayang Lusi Eva Gustianingsih dan saudari Dwi Ratna yang telah memberikan doa dan semangat agar penulis secepatnya menyelesaikan skripsi ini.

(8)

vii

6. Teman seperjuangan skripsi penulis Maiyudi Mariska Windra Yahya yang telah menemani penulis dalam berdiskusi, memberikan masukan serta semangat dalam mengerjakan skripsi.

7. Kak Woro dan Kak Bagus yang telah memberikan masukan dan arahan serta membantu dalam penulisan hingga skripsi ini dapat terselesaikan.

8. Sahabat tercinta Anak Gadis. Nindita, Yase, Nda, Mba Ida, Agil dan Widhi terimakasih telah menjadi rumah dalam suka maupun duka selama kehidupan perkuliahan.

9. Tanjung dan Rahilda yang telah memberikan semangat untuk penulis dalam perkuliahan dan dalam menyelesaikan skripsi ini.

10. Aldo yang telah menjadi teman berangkat dan pulang bareng penulis serta Vika dan Bang Angga yang telah menjadi teman berbagi cerita kehidupan perkuliahan.

11. Seluruh teman – teman dari Matematika 2015 yang tidak dapat disebutkan satu persatu. Terimakasih untuk semuanya.

12. Keluarga Himpunan Mahasiswa Matematika yang telah memberikan ilmu, kepercayaan, dan pengalaman yang luar biasa.

13. Seluruh pihak yang telah membantu penulis dalam menyelesaikan skripsi yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

Penulis mohon maaf jika terdapat kesalahan yang kurang berkenan karena penulis menyadari masih banyak kekurangan dalam skripsi ini. Penulis sangat mengharapkan kritik dan saran demi perbaikan dan penyempurnaanya dimasa yang akan datang. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat dan memberikan kontribusi untuk kita semua, Aamiin.

Wassalamu’alaikum Warahmatullahi wabarakatuh

Jakarta. Januari 2020

(9)

viii

DAFTAR ISI

BILANGAN DOMINASI SISI PADA GRAF BUKU ... i

PERNYATAAN ... ii

LEMBAR PENGESAHAN ... iii

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS ... iv

PERSEMBAHAN ... v

MOTTO ... v

KATA PENGANTAR ... vi

DAFTAR ISI ... viii

DAFTAR GAMBAR 1.1. Latar Belakang Masalah ... ... 2.1 Graf ... ... ... 7

2.4 Hasil Kali Kartesian ... ... ... 12

3.1 Bilangan Dominasi Sisi pada Graf Buku B1 ... ... ... ... ... ... x ABSTRAK ... xi ABSTRACT 2.3 Beberapa Graf Khusus ..9

2.5 Graf Buku ... . 9

2.6 Himpunan Dominasi Sisi dan Bilangan Dominasi Sisi 10 III PEMBAHASAN 14 3.2 Bilangan Dominasi Sisi pada Graf Buku B2 14 3.3 Bilangan Dominasi Sisi pada Graf Buku B3 15 3.4 Bilangan Dominasi Sisi pada Graf Buku B4 16 3.5 Bilangan Dominasi Sisi pada Graf Buku B5 17 3.6 Konstruksi Hipotesis ... 17 ... xii I PENDAHULUAN ... 1 ...1 2 ... 3 3 1.5 Manfaat Penelitian 3 II LANDASAN TEORI ... 4 4

2.2 Jenis – Jenis Graf 5

1.2 Perumusan Permasalahan ... 1.3 Pembatasan Permasalahan

(10)

ix

3.7 Bilangan Dominasi Sisi pada Graf Buku 𝐵𝑛 ...

... ... ... 21 4.1 Kesimpulan 21 4.2 Saran 21 REFERENSI ... 22 18 IV PENUTUP

(11)

x

Gambar 2.1 Graf G1 ………. 4 Gambar 2.2 (a) Graf Sederhana, (b) Graf Ganda, (c) Graf Umum …….. 6 Gambar 2.3 (a) Graf Tak-berarah, (b) Graf Berarah ……… 6 Gambar 2.4 (a) Graf Lintasan 𝑃3, (b) Graf Lintasan 𝑃5….………... 7

Gambar 2.5 (a) Graf Lingkaran 𝐶5, (b) Graf Lingkaran 𝐶6....……….…. 8

Gambar 2.6 (a) Graf Bintang 𝑆₃, (b) Graf Bintang 𝑆₈……….. 8

Gambar 2.7 Graf Hasil Kali Kartesian………. 9 Gambar 2.8 (a) Graf Buku B2, (b) Graf Buku B3, (c) Graf Buku B4 …… 10

Gambar 2.9 Ilustrasi Himpunan Dominasi Sisi pada Graf Lingkaran C6.. 11

Gambar 3.1 Sisi Pendominasi dari Beberapa Graf Buku 𝐵_𝑛……… 13

Gambar 3.2 Bilangan Dominasi Sisi Minimal pada Graf Buku B1 …….. 14

Gambar 3.3 Bilangan Dominasi Sisi Minimal pada Graf Buku B2……... 14

Gambar 3.6 Bilangan Dominasi Sisi Minimal pada Graf Buku B5……... 17

Gambar 3.7 Bukti Bilangan Dominasi Sisi pada Graf Buku B1………… 18

Gambar 3.8 Bukti Bilangan Dominasi Sisi pada Graf Buku B2………… 19

Gambar 3.9 Bukti Bilangan Dominasi Sisi pada Graf Buku Bn………… 19

Gambar 3.10 Graf Buku 𝐵_𝑛 dengan 𝑛 = 𝑘 + 1……… 20

(12)

ABSTRAK

Rizki Dini Febri Anggraini, Bilangan Dominasi Sisi pada Graf Buku, dibawah

bimbingan Dr. Nur Inayah, M.Si dan Wisnu Aribowo, M.Si.

Himpunan dominasi sisi adalah sebuah himpunan 𝐹 yang merupakan subset dari 𝐸(𝐺) jika setiap sisi di 𝐸(𝐺) berada di 𝐹 atau bertetangga dengan sisi di 𝐹. Himpunan 𝐹 dikatakan himpunan dominasi sisi minimal jika tidak ada subset 𝐹′ dari 𝐹 yang merupakan himpunan dominasi sisi. Bilangan dominasi sisi minimal 𝛾′_{(𝐺) adalah kardinalitas dari himpunan dominasi sisi yang minimal dari graf 𝐺.}

Penulisan ini membahas tentang bilangan dominasi sisi pada graf buku 𝐵_𝑛. Pembuktian teorema akan dilakukan dengan menggunakan prinsip induksi matematika. Bilangan dominasi sisi pada graf buku 𝐵𝑛 adalah:

𝛾′(𝐵𝑛) = {_𝑛,2, 𝑛 = 1_{𝑛 ≥ 2}

Kata Kunci : Himpunan Dominasi Sisi, Bilangan Dominasi Sisi Minimal, Graf

Buku, Hasil Kali Kartesian.

xi

(13)

ABSTRACT

Rizki Dini Febri Anggraini, Edge Domination Number of Book Graph, under the

guidance of Dr. Nur Inayah, M.Si and Wisnu Aribowo, M.Si.

The edge dominating set is a subset 𝐹 of 𝐸(𝐺) such that every edge on 𝐸(𝐺) is either in 𝐹 or adjacent to elements in 𝐹. Set 𝐹 is a minimum edge dominating set if there is no subset 𝐹′ of 𝐹 such that 𝐹 is the edge dominating set. Edge domination number 𝛾′(𝐺) is cardinality of the minimal edge dominating set of graph 𝐺. In this paper are exploring the edge domination number on book graph 𝐵_𝑛. We will prove the theorem will the aid of principle of mathematical induction. The edge domination number on book graph 𝐵𝑛 are as follows:

𝛾′_(𝐵

𝑛) = {_𝑛,2, 𝑛 = 1_{𝑛 ≥ 2}

Keywords: Edge Dominating Set, Minimum Edge Domination Number, Book

Graph, Cartesian Product.

(14)

BAB I

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang Masalah

Mempelajari ilmu matematika tidak akan pernah ada habisnya, layaknya alam semesta beserta isinya. Sangat luas untuk mempelajari ilmu matematika karena se-gala aspek kehidupan yang ada di dunia ini selalu berkaitan dengan ilmu matema-tika. Seperti yang dinyatakan dalam surah Ali Imron (3) Ayat 190:

Artinya ”Sesungguhnya dalam penciptaan langit dan bumi, dan silih bergantinya malam dan siang terdapat tanda-tanda bagi orang-orang yang berakal.”

Bilangan dominasi dalam graf merupakan salah satu konsep dalam teori graf yang sangat menarik minat banyak peneliti karena memiliki beragam aplikasi, se-perti desain dan analisis jaringan komunikasi, ilmu kemasyarakatan, dan pengawas-an militer. Bilpengawas-angpengawas-an dominasi sisi diperkenalkpengawas-an pertama kali pada tahun 1977 oleh Mitchell dan Hedetniemi yang merupakan perluasan dari topik titik dominasi pada graf.

Penelitian terkait topik bilangan dominasi sisi pada teori graf semakin berkem-bang, diantaranya adalah penelitian yang dilakukan S.K Vaidya dan R.M. Pandit pada tahun 2014 dengan judul Edge Domination in Some Path and Cycle Related Graphs. S.K Vaidya dan R.M Pandit mengkaji bilangan dominasi sisi dengan meng-gunakan operasi shadow pada graf path dan cycle. Penelitian tersebut menghasilkan beberapa teorema bilangan dominasi sisi. Untuk bilangan dominasi sisi pada ope-rasi shadow graf path dirumuskan denganγ0(D2(Pn))=2

_n−1

3 , sedangkan untuk

(15)

bilangan dominasi sisi pada graf cycle dirumuskan dengan

γ0(Cn(P2)) =  



2dn−1₃ e, untukn = 0ataun ≡ 2mod 3 2dn+1₃ e, untuknlainnya,

Selain itu, pada tahun 2017 Robiatul Adawiyah, dkk melakukan penelitian de-ngan judul On Edge Dominating Number of Tensor Product of Cycle and Path. Penelitian tersebut menghasilkan beberapa teorema bilangan dominasi sisi, dianta-ranya : γ0(Cn⊗ P2) =    d2n 3 e, untuknganjil dn 3e, untukngenap, γ0(Cn⊗ P3) =    n, untuknganjil dn 2e, untukngenap,

Pada tahun 2018 penelitian yang dilakukan oleh Woro Nurul Fitri Qomariyah dengan judul Bilangan Dominasi Sisi Pada Graf Antiprisma(APn)menghasilkan beberapa teorema bilangan dominasi sisi dari graf antiprisman ≥ 3dengan

γ0(APn) =          2n 3 , untukn ≡ 0mod3 2n+1 3 , untukn ≡ 1mod3, 2n+2 3 , untukn ≡ 2mod3,

Oleh karena itu, kami tertarik dengan penelitian yang berjudul ”Bilangan Do-minasi Sisi pada Graf Buku”. Graf buku merupakan hasil kali kartesian antara graf lintasan yang memiliki dua titik dengan graf bintang dengan (n + 1) titik yaitu

Bn = P2× Sn.

1.2. Perumusan Permasalahan

Berdasarkan latar belakang yang telah diuraikan, maka permasalahan pada pe-nelitian ini adalah bagaimana menentukan bilangan dominasi sisi pada graf buku

Bn.

(16)

1.3. Pembatasan Permasalahan

Dalam penulisan ini, agar pembahasan tidak meluas maka peneliti membatasi objek kajian, yaitu graf khusus yang digunakan adalah graf bukuBn.

1.4. Tujuan Penelitian

Tujuan dalam penelitian ini adalah menentukan bilangan dominasi sisi pada graf bukuBn.

1.5. Manfaat Penelitian

Manfaat yang akan didapat dalam melakukan penelitian ini adalah: 1. Dapat menentukan bilangan dominasi sisi pada graf bukuBn.

2. Menambah wawasan bagi peneliti dan pembaca tentang pelabelan graf.

(17)

BAB II

LANDASAN TEORI

2.1. Graf

Graf G = (V (G), E(G)) didefinisikan sebagai suatu sistem yang terdiri atas

dua himpunan, yaitu himpunan tak kosongV (G)yang elemennya disebut titik dan himpunan (mungkin kosong),E(G) ⊆ V2₌_{₍_u_,_v₎_{| u, v ∈ v, u 6= v}}_{. Setiap elemen} diE(G)disebut sisi, jikae={u, v}ditulise = u · vdan grafG(V (G), E(G)) [1].

Gambar 2.1 Graf G1

Gambar 2.1 diatas GrafG1 memiliki jumlah titik|V (G)| = 4dan jumlah sisi |E(G)| = 5, yaituV ={v1,v2,v3,v4}danE={(v1v2), (v2v3), (v3v4), (v4v1), (v2v4)}. Teori graf memiliki beberapa istilah yang sering digunakan. Di bawah ini di-definisikan beberapa istilah yang sering dipakai.

Jalan dariv0 kevn dengan panjangn adalah barisan hinggav0,e0,v1,e1,· · · vn−1,en−1,vndari titik-titik dan sisi-sisi diGsedemikian sehinggavivi+1adalah sisi diGuntuk setiapi < n. Lintasan adalah suatu jalan yang semua titiknya berbeda. Titik u dikatakan terhubung dengan titik v jika terdapat lintasan dari u ke v di

(18)

G. Graf G dikatakan terhubung jika setiap dua titik berbeda u, v ∈ V (G) yang terhubung [2].

Sisi dan titik dalam graf mempunyai hubungan yang biasa dikenal dengan ber-tetangga dan bersisian, jika e = (uv) adalah sebuah sisi dari G, maka u dan v

adalah titik yang bertetangga yang dihubungkan oleh sebuah sisie. Dalam hal ini berarti titikudan sisie(begitu juga titikvdan sisie) dapat dikatakan bersisian satu sama lain, sedangkan sisi berbeda yang bersisian dengan titik yang sama disebut sisi yang bertetangga [3].

Derajat titik pada graf G dinotasikan dengan d(v) adalah jumlah sisi yang bersisian dengan titikv [4]. Berdasarkan gambar 2.1 dapat diperoleh untuk derajat titik grafG1 sebagai berikut :

d(v1) = 2 d(v2) = 3 d(v3) = 2 d(v4) = 3.

Pada grafGjuga terdapat derajat sisi. Derajat sebuah sisi e=uv dariG dide-finisikan dengand(e) =d(uv) =d(u) +d(v) - 2 [8]. Berdasarkan gambar 2.1 dapat diperoleh juga untuk derajat sisi grafG1sebagai berikut:

1. d(v1v2) = d(v1) + d(v2) − 2 = 2 + 3 − 2 = 3 2. d(v2v3) = d(v2) + d(v3) − 2 = 3 + 2 − 2 = 3 3. d(v3v4) = d(v3) + d(v4) − 2 = 2 + 3 − 2 = 3 4. d(v4v1) = d(v4) + d(v1) − 2 = 3 + 2 − 2 = 3

2.2. Jenis-Jenis Graf

Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa kategori bergantung pada penge-lompokannya. Pengelompokan graf dapat dilihat berdasarkan ada atau tidaknya sisi ganda berdasarkan orientasi arah pada sisi [5].

Berdasarkan ada atau tidaknya sisi ganda pada suatu graf, maka secara umum graf dapat dikelompokan menjadi dua jenis yaitu graf sederhana dan graf tak se-derhana. Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung sisi ganda ataupun gelang, sedangkan graf tak sederhana adalah graf yang mengandung sisi ganda dan

(19)

jika mengandung sisi loop disebut graf semu. Sisi loop adalah sisi yang menghu-bungkan sebuah titik dengan dirinya (titik itu) sendiri. Graf yang terbentuk dari sebuah sisi ganda dan loop disebut graf umum[5].

Gambar 2.2 (a) Graf Sederhana, (b) Graf Ganda, (c) Graf Umum

Berdasarkan orientasi arah dapat dikelompokkan menjadi dua jenis yaitu graf tak-berarah dan graf berarah. Graf tak-berarah adalah graf yang tidak memiliki ori-entasi arah. Graf berarah adalah graf yang memiliki oriori-entasi arah. Graf berarah G terdiri dari himpunan titikV (G)dan himpunan sisiE(G)dan suatu fungsiψyang memetakan setiap sisi dalam E(G)ke suatu pasangan berurutan titik (vi, vj). Jika ekadalah suatu sisi dalamG, makavidisebut titik awalekdanvjdisebut titik akhir ek, dengan arah sisi adalah darivikevj [4].

Gambar 2.3 (a) Graf Tak-Berarah, (b) Graf Berarah

Berdasarkan gambar 2.3(b) dapat dilihat bahwa V = {v1,v2,v3,v4} dan E = {e1, e2, e3, e4}. Fungsi ψ memetakan sisi-sisi graf G dengan pasangan titik-titik 6

(20)

grafGsebagai berikut:ψ (e1) ={v1,v2},ψ (e2) ={v2,v3},ψ (e3) ={v3,v4},ψ (e4) ={v4,v1},ψ (e4) ={v4,v2}

2.3. Beberapa Graf Khusus

Terdapat beberapa graf khusus dalam teori graf, namun dalam penelitian ini yang akan dikaji meliputi:

1. Graf Lintasan

Graf lintasan adalah Graf yang terdiri dari satu lintasan. Graf lintasan dengan

n titik dituliskan dengan Pn. Gambar 2.4(a) adalah graf lintasan dengan 3 titik dan gambar 2.4(b) adalah graf lintasan dengan 5 titik [5].

Gambar 2.4 (a) Graf Lintasan P3, (b) Graf Lintasan P5

2. Graf Lingkaran

Graf lingkaran adalah sebuah graf terhubung yang tiap-tiap titiknya berdera-jat 2. Graf lingkaran dengan n titik dinotasikan sebagai Cn. Gambar 2.5(a) merupakan graf lingkaran dengan 5 titik, sedangkan gambar 2.5(b) merupak-an graf lingkarmerupak-an dengmerupak-an 6 titik [5].

(21)

Gambar 2.5 (a) Graf Lingkaran C5, (b) Graf Lingkaran C6

3. Graf BintangSn

Graf bintangSn adalah graf dengan (n + 1) titik, dimana terdapat titik pusat dengan satu titik berderajatndanntitik berderajat satu. Gambar 2.6(a) ada-lah graf bintang dengan 3 titik, sedangkan gambar 2.6(b) adaada-lah graf bintang dengan 8 titik [3].

Gambar 2.6 (a) Graf Bintang S3, (b) Graf Bintang S8

Adapun graf yang tiap-tiap titiknya berderajat sama disebut graf teratur. Jika masing-masing titik itu berderajatr, maka grafnya disebut graf beraturan berderajat

r[5].

(22)

2.4. Hasil Kali Kartesian

Hasil kali kartesian adalah graf yang dinotasikanG1 = (V (G1), E(G1)danG2 = (V (G2), E(G2) adalah grafG1 × G2 =G= (V, E) sehingga

V (G) = {(u1, u2)|a ∈ V (G1), b ∈ V (G2)}

dan dua titik (u1,u2)∈ V (G)dan (v1, v2)∈ V (G)bertetangga diG=G1× G2jika dan hanya jikau1 =v1 danu2v2∈ E(G2)atauu2 =v2 danu1v1∈ E(G1)[3].

Gambar 2.7 Graf Hasil Kali Kartesian

Pada gambar 2.7, G1 merupakan graf lintasan dengan n = 2, serta himpun-an titik-titikV (G1)={u1, u2}dan grafG2 merupakan graf bintang dengann = 3, serta himpunan titik-titikV (G2)={v1, v2, v3}. SelanjutnyaG1× G2memiliki him-punan titik-titik

VG = {(u1, v1), (u1, v2), (u1, v3), (u1, v4), (u2, v1), (u2, v2), (u2, v3), (u2, v4)}

2.5. Graf Buku

Graf buku dinotasikan sebagaiBn adalah suatu graf yang dibentuk dari hasil kali kartesian antara graf lintasan dengan dua titik dan graf bintang dengann + 1

titik yaituBn=P2× Sn[6].

(23)

Gambar 2.8 (a) Graf Buku B2, (b) Graf Buku B3, (c) Graf Buku B4

Pada gambar 2.8(a) merupakan graf buku dengann = 2yang memiliki sisi

E(G2) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7}

Pada gambar 2.8(b) merupakan graf buku dengann = 3yang memiliki sisi

E(G3) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10}

Pada gambar 2.8(c) merupakan graf buku dengann = 4yang memiliki sisi

E(G4) = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e7, e8, e9, e10, e11, e12, e13}

2.6. Himpunan Dominasi Sisi dan Bilangan Dominasi Sisi

Himpunan dominasi sisi adalah sebuah sub himpunanF dariE(G)sedemikian sehingga setiap sisi diE(G)berada diF atau bertetangga dengan sisi diF. Him-punan F dikatakan himpunan dominasi sisi minimal jika tidak ada subset F0 dari

F yang merupakan himpunan dominasi sisi, bilangan dominasi sisi γ0(G)adalah kardinalitas dari semua himpunan dominasi sisi minimal [7].

(24)

Gambar 2.9 Ilustrasi Himpunan Dominasi Sisi pada Graf Lingkaran C6

Gambar 2.9 merupakan graf C6 yang memiliki himpunan pendominasi sisi. Sisi yang berwarna biru adalah pendominasi sisi dari graf C6. Pada gambar 2.9(a) sisi e1 mendominasi sisi e2 dan sisie6, kemudian sisi e3 mendominasi sisi e2 dan sisi e4, selanjutnya sisi e5 mendominasi sisi e4 dan sisi e6. Berdasarkan definisi dari himpunan dominasi sisi didapatkan himpunan dominasi sisi yaitu{e1, e3, e5)} dengan kardinalitas dari himpunan dominasi sisi tersebut adalah 3.

Gambar 2.9(b) dapat dilihat bahwa sisi e2 mendominasi sisi e1 dan sisi e3, kemudian sisi e5 mendominasi sisie4 dan sisi e6. Berdasarkan definisi himpunan dominasi sisi diperoleh himpunan dominasi sisi dari grafC6 yaitu{e2, e5}dengan kardinalitas dari himpunan dominasi sisi tersebut adalah 2. Berdasarkan sifat dari grafC6, diketahui bahwad(v) = 2 untuk setiapv ∈ V(C6). Ini berarti tidak mungkin ada himpunan dominasi sisiF dari grafC6dengan|F | < 2. Jadi, dapat disimpulk-an bahwa bildisimpulk-angdisimpulk-an dominasi sisi minimal graf C6 adalah 2 atau dapat dinotasikan denganγ0(C6) = 2.

(25)

BAB III

PEMBAHASAN

Pada bab ini akan dijelaskan mengenai hasil penelitian mengenai bilangan do-minasi sisi pada graf bukuBn. Langkah awal adalah menentukan suatuF ⊆ E(G). Untuk menentukan apakahF tersebut merupakan himpunan dominasi sisi dilakuk-an percobadilakuk-an dengdilakuk-an melihat semua tetdilakuk-angga dari setiap sisi di F. JikaE(G) ter-muat dalamF atau tetangga-tetangga dari sisi diF, makaF adalah himpunan do-minasi sisi dari F. ApabilaF bukan himpunan dominasi sisi dari Gmaka penulis akan memulai dari langkah awal denganF yang baru dan lebih besar.

Sebagai contoh, penulis melakukan percobaan dengan mengambil satu sisi yang kemungkinan akan mendominasi seluruh sisi, tapi ternyata setelah dilakukan percobaan satu sisi tidak mendominasi semua sisi, maka penulis akan mengambil dua sisi yang kemungkinan akan mendominasi seluruh sisi, tapi ternyata dua sisi tidak mendominasi seluruh sisi, selanjutnya penulis akan mencoba mengambil tiga sisi dan seterusnya sampai semua sisi terdominasi. Penulis akan melakukan perco-baan sampai sebanyaknsisi hingga semua sisi terdominasi dan ditemukan bilangan dominasi sisi untuk graf buku.

Perhatikan ilustrasi berikut:

(26)

Gambar 3.1 Sisi Pendominasi dari Beberapa Graf Buku Bn

Berdasarkan ilustrasi diatas dapat dilihat bahwa perolehan sisi untuk sisi-sisi yang akan mendominasi adalah dua sisi bagian dalam dan sisi terluar pada bagian lembaran buku.

(27)

3.1. Bilangan Dominasi Sisi pada Graf BukuB1

Gambar 3.2 Bilangan Dominasi Sisi Minimal pada Graf Buku B1

Gambar 3.2 merupakan gambar graf buku untukn = 1denganV ={v1,v2,v3, v4},E ={e1,e2,e3,e4}dan himpunan sisi yang mendominasi. Sisi e1 mendomi-nasi sisie2 dan sisie4. Sisie3 mendominasi sisie2dan sisie4. Berdasarkan definisi himpunan dominasi sisi, maka didapatkan bahwa himpunan dominasi sisi minimal untuk graf buku dengann = 1adalahE0(B1)={e1,e3}dengan kardinalitas mini-mumγ0(B1) = 2.

Gambar 3.3 merupakan gambar graf buku dengan n = 2 yang memiliki V

= {v1,v2,v3,v4, v5, v6}, E = {e1, e2,e3, e4, e5,e6,e7} dan himpunan sisi yang

(28)

mendominasi. Sisie2 mendominasi sisie1,e3dan sisie5. Sisie7 mendominasi sisi e1, e4 dan sisie6. Berdasarkan definisi himpunan dominasi sisi, maka didapatkan bahwa himpunan dominasi sisi minimal untuk graf buku dengan n = 2 adalah

E0(B2)={e2,e7}dengan kardinalitas minimumγ0(B2) = 2.

Gambar 3.4 merupakan gambar graf buku dengann = 3yang memiliki

V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8}

E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10}

dan himpunan sisi yang mendominasi. Sisie2 mendominasi sisie1,e3,e5 dan sisi e10. Sisi e7 mendominasi sisi e1, e4, e6 dan sisi e8. Sisi e9 mendominasi sisi e8 dan sisie10. Berdasarkan definisi himpunan dominasi sisi, maka didapatkan bahwa himpunan dominasi sisi minimal untuk graf buku dengann = 3 adalahE0(B3)= {e2,e7,e9}dengan kardinalitas minimumγ0(B3) = 3.

(29)

V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8, v9, v10}

E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11, e12, e13}

dan himpunan sisi yang mendominasi. Sisie2 mendominasi sisie1,e3,e5,e10dan sisi e13 Sisi e7 mendominasi sisi e1, e4, e6, e8 dan sisi e11. Sisi e9 mendominasi sisie8 dan sisie10. Sisie12 mendominasi sisie11dan sisie13. Berdasarkan definisi himpunan dominasi sisi, maka didapatkan bahwa himpunan dominasi sisi minimal untuk graf buku dengann = 4adalahE0(B4)={e2,e7,e9,e12}dengan kardinalitas minimumγ0(B4) = 4.

(30)

V = {v1, v2, v3, v4, v5, v6, v7, v8, v9, v10, v11, v12}

E = {e1, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e10, e11, e12, e13, e14, e16}

dan himpunan sisi yang mendominasi. Sisie2 mendominasi sisie1,e3,e5,e10,e13 dan sisi e16. Sisi e7 mendominasi sisi e1,e4, e6,e8,e11 dan sisie14. Sisi e9 men-dominasi sisi e8 dan sisi e10. Sisi e12 mendominasi sisi e11 dan sisi e13. Sisi e15 mendominasi sisi e14 dan sisi e16 . Berdasarkan definisi himpunan dominasi sisi, maka didapatkan bahwa himpunan dominasi sisi minimal untuk graf buku dengan

n = 5adalahE0(B5)={e2,e7,e9,e12,e15}dengan kardinalitas minimumγ0(B5) = 5.

3.6. Konstruksi Hipotesis

Berdasarkan paper dari beberapa contoh sebelumnya dapat dilihat secara umum pendominasi sisi pada graf bukuBn. Jadi, dapat disimpulkan bahwaE0(Bn)adalah

(31)

{e2, e7}serta sisi terluar dari setiap komponen tambahan. Dengan kata lain, E0(Bn) = {e2, e7} ∪ {e9, e12, . . . , e3n} = {e2, e7} ∪ ( _n [ i=3 e3i )

Selanjutnya hipotesis ini akan dibuktikan dengan prinsip induksi matematika.

3.7. Bilangan Dominasi Sisi pada Graf BukuBn

Pada bab 3 akan dirumuskan bilangan dominasi sisi pada graf bukuBndilihat pada teorema 3.7.1

Teorema 3.7.1 MisalkanBn =P2 × Snadalah graf buku, denganSn adalah graf bintang dengan(n + 1)titik. Misalkan pulaE0(Bn)adalah himpunan dominasi sisi minimal denganγ0(Bn)=E0(Bn)adalah bilangan dominasi sisi minimal. Maka,

γ0(Bn) =    2, n = 1 n, n ≥ 2, Bukti. Untukn = 1

Gambar 3.7 Bukti Bilangan Dominasi Sisi pada Graf Buku B1

E(B1)={e1,e2,e3,e4}. PilihE0(B1)={e1,e3}dengan kardinalitas minimum γ0(B1) = 2.

(32)

Untukn = 2

Gambar 3.8 Bukti Bilangan Dominasi Sisi pada Graf Buku B2

E(B2)= {e1, e2,e3,e4, e5, e6, e7}. Pilih E0(B2) = {e2,e7}, sisi {e2} men-dominasi sisi{e1,e3,e5}, sedangkan sisi{e7}mendominasi sisi{e1,e4,e6}maka jelasE0(B2)={e2,e7}dengan kardinalitas minimumγ0(B2) = 2.

Misalkan benar untukn = k

Gambar 3.9 Bukti Bilangan Dominasi Sisi pada Graf Buku Bn

Sudah didominasi olehkwarna.

Untukn = k + 1, praktis grafnya akan serupa denganBk, hanya saja terdapat satu komponen baru.

(33)

Gambar 3.10 Graf Buku Bndengan n = k + 1

Perhatikan tiga sisi baru yang terbentuk e3(k+1) tetap mendominasi e3(k+1)−1

dane3(k+1)+1. Dengan kata lain,

γ0(Bk+1) = γ0(Bk) + 1 = k + 1

Dari prinsip induksi matematika dapat disimpulkan

γ0(Bn) =    2, n = 1 n, n ≥ 2, 20

(34)

BAB IV

Penutup

4.1. Kesimpulan

MisalkanBn=P2× Sn adalah graf buku, denganSnadalah graf bintang

de-ngan(n + 1) titik. Misalkan pulaE0(Bn)adalah himpunan dominasi sisi minimal

denganγ0(Bn)= E0(Bn)adalah bilangan dominasi sisi minimal. Berdasarkan pe-nelitian yang telah dilakukan bilangan dominasi sisi pada graf bukuBnadalah:

γ0(Bn) =    2, n = 1 n, n ≥ 2, 4.2. Saran

Saran yang dapat diberikan pada penelitian ini yaitu mengaplikasikan masalah bilangan dominasi sisi dalam kehidupan sehari–hari, misalnya tentang optimasi. Selain itu melakukan penulisan penentuan bilangan dominasi sisi pada graf khusus lainnya seperti graf petersen, dan graf antiprisma digabungkan dengan graf lain melalui operasi–operasi yang ada pada graf seperti operasi join ataupun tensor.

(35)

REFERENSI

[1] E. K. Lloyd, J. A. Bondy, and U. S. R. Murty, Graph Theory with Applica-tions, Math. Gaz., vol. 62, no. 419, p. 63, 1978.

[2] N.Hartsfield dan G. Ringel, Pearls in Graph Theory A Comprehensive Intro-duction, San Diego: Academic Press Limited, 1990.

[3] Chartrand, dkk. (2005). Applied and Algoritmic Graph Theory. New York: Mac Graw-Hill, inc.

[4] M. Drs. Jong Jek Siang,Matematika Diskrit dan Aplikasinya pada Ilmu Kom-puter, Yogyakarta: ANDI, 2006.

[5] R. J. Wilson.(2010). Pengantar Teori Graf. Jakarta: Erlangga.

[6] J. A. Gallian, A Dynamic Survey of Graph Labeling, Electron. J. Comb., pp. 1219, 2009.

[7] S K Vaidya, R M Pandit. (2014), Edge Domination in Some Path and Cycle Related Graphs. ISRN Discrete Mathematics, vol.2014, pp. 1-5, 2014.

[8] S. K. Vaidya and R. M. Pandit, Edge Domination in Various Snake Graphs, Int. J. Math. Soft Comput., vol. 7, no. 1, p. 43, 2017..

[9] R. Adawiyah, dkk. On Edge Dominating Number of Tensor Product of Cycle and Path, Int. J. Adv. Eng. Res. Sci., vol. 4, no. 12, pp. 3336, 2017.

[10] A. J. Mathias, Edge Domination Number on Graph Variations, vol. 6, no. 1, pp. 185193, 2018.

[11] J. Sreedevi and B. Maheswari, Edge Domination Number of Corona Product Graph of a Cycle with a Star, Int. J. Comput. Appl., vol. 157, no. 8, pp. 3436, 2017.

(36)

[12] S. Velammal and S. Arumugam, Equality of Edge Domination and Connected Edge Domination in Graphs, vol. 2, no. 2, pp. 218222, 2013.

[13] W. Nurul. ” Bilangan Dominasi Sisi pada Graf Antiprisma ”, Jakarta, 2019. [14] Y. Irene, Pelabelan Total, no. 2, pp. 152160, 2016.

[15] M. I. S. Musti and N. Inayah, Dekomposisi Antiajaib Super pada Graf Gene-ralized Petersen, no. 2, pp. 8495, 2016.