Pendugaan. Parameter HAZMIRA YOZZA IZZATI RAHMI HG JURUSAN MATEMATIKA FMIPA UNIV. ANDALAS LOGO

(1)

Pendugaan

Parameter

LOGO

Parameter

HAZMIRA YOZZA – IZZATI RAHMI HG

(2)

Kompetensi

menyebutkan 2 klp inferensia statistika & ruang lingkupnya

menjelaskan metode pendugaan klasik dan syarat-syarat penduga yang baik pada pendugaan klasik

Company Logo www.themegallery.com

menduga nilai tengah populasi, selisih nilai tengah dua populasi, proporsi dan selisih dua proporsi

(3)

Statistika Deskriptif

• Mengumpulkan dan

menyajikan data

Inferensia Statistika

• Melakukan generalisasi

atau menarik kesimpulan

Statistika

Pendugaan

Parameter

Pengujian

_hipotesis

menyajikan data

• Menerangkan data yang ada di tangan saja

atau menarik kesimpulan mengenai data induk

(4)

Pendugaan Klasik yang mendasarkan yang mendasarkan Met. Pendugaan Parameter Pendugaan Bayes yang menggabungkan yang menggabungkan Company Logo www.themegallery.com yang mendasarkan yang mendasarkan kesimpulannya kesimpulannya semata

semata--mata pada mata pada informasi yang

informasi yang

diperoleh dari sampel diperoleh dari sampel acak yang ditarik dari acak yang ditarik dari populasi tersebut populasi tersebut . yang menggabungkan yang menggabungkan pengetahuan subjektif ttg pengetahuan subjektif ttg sebaran peluang para sebaran peluang para--meter yang tidak diketa meter yang tidak diketa--hui dengan informasi hui dengan informasi yang didapatkan dari yang didapatkan dari data sampel

(5)

Θ

Misal adalah parameter populasi yang nilainya akan diduga.

Θˆ

Nilai dugaan bagi parameter populasi : Nilai bagi suatu penduga Penduga (Fungsi Keputusan) : Statistik yang digunakan untuk memperoleh nilai dugaan bagi parameter

•dinotasikan dengan

•Merupakan fungsi dari sampel acak

Θ

Misal adalah parameter populasi yang nilainya akan diduga.

Θ

Himpunan semua kemungkinan nilai dugaan yang dapat diambil oleh suatu penduga disebut sebagai ruang keputusan

Nilai dugaan bagi parameter populasi : Nilai bagi suatu penduga • merupakan “realisasi” dari fungsi keputusan atau penduga • dinotasikan dengan

• dihitung dengan menggunakan data sampel. Sampel yang berbeda akan menghasilkan nilai dugaan yang berbeda pula.

(6)

Parameter

Penduga

Nilai dugaan (tergantung

sampel)

µ

Data

_{: 2,3,5,2→}

Data : 4,2,5,1 →

:

Data : 6,2,5,1 →

5 .

2 =

x

n X X n i i

∑

= = 1

3 =

x

5 .

4 =

x

Data : 6,2,5,1 →

Data

_{: 2,3,5,2→}

Data : 4,2,5,1 →

:

Data : 6,2,5,1 →

dan lain-lain

5 .

4 =

x

median X =~ 2.5 ~ = X 3 ~ = X 5 . 3 ~ = X

(7)

Banyak penduga yang dapat digunakan untuk

menduga suatu parameter

Pertanyaan : penduga mana yang terbaik

Syarat penduga terbaik :

1. Tak bias

(8)

Sifat-sifat Penduga Terbaik

2

MEMILIKI RAGAM MINIMUM diantara semua penduga tak bias

1

TAK BIAS dikatakan penduga takbias bagi parameter θ bila E( ) = θ

Θ

ˆ

Θ

ˆ

(9)

Jenis-jenis penduga

PENDUGA TITIK

• Hanya memberikan 1 nilai dugaan saja

• Ketepatannya dapat

PENDUGA SELANG

• Dugaan berbentuk selang • Diharapkan parameter

berada dalam selang

• Ketepatannya dapat ditingkatkan dengan

menambah ukuran sampel

berada dalam selang tersebut

• Selang dinamakan selang dugaan

(10)

Selang kepercayaan

Dugaan selang bagi parameter populasi θ :

suatu selang yang berbentuk

dan tergantung pada nilai statistik untuk

suatu sampel tertentu dan sebaran penarikan

sampel dari .

1

ˆ

θ

2 1 ˆ ˆ θ θ θ _< _< 2

ˆ

θ

Θˆ Θˆ

%

100 )

1 (

)

ˆ

(

θ

₁

_<

θ

_<

θ

₂

₌

₋

α

P

Artinya : kita mempunyai peluang 1- α untuk memperoleh suatu sampel acak yang akan menghasilkan suatu selang yang

(11)

Selang kepercayaan

%

100 )

1 (

)

ˆ

(

θ

₁

_<

θ

_<

θ

₂

₌

₋

α

P

Selang kepercayaan (1-)100% bagi θ Derajat kepercayaan Selang kepercayaan (1-)100% bagi θ Derajat kepercayaan

Batas bawah

kepercayaan Batas atas kepercayaan

(12)

Selang kepercayaan

2

1

ˆ

θ

_<

Selang Kepercayaan (1-)100% bagi θ adalah

Interpretasi :

Kita (1- α)100% percaya bahwa parameter yang

sesung-guhnya θ akan berada dalam selang

2

1

ˆ

θ

_<

(13)

1. Kita percaya bahwa rata-rata usia penduduk dunia

berada dalam selang 40- 100

2. Kita percaya bahwa rata-rata usia penduduk dunia

berada dalam selang 50-60 tahun

MANA YANG LEBIH DAPAT DIPERCAYA??

Pernyataan :

1. Kita percaya dengan derajat kepercayaan 95%

bahwa rata-rata usia penduduk dunia berada dalam

selang 40- 100

2. Kita percaya dg derajat kepercayaan 95% bahwa

rata-rata usia penduduk dunia berada dalam selang

50-60 tahun

MANA YANG LEBIH DAPAT DIPERCAYA??

(14)

Selang dugaan yang baik :

Memiliki derajat kepercayaan yang tinggi

Selang sempit

(15)

Pendugaan Nilai Tengah Populasi

Penduga Titik (terbaik)

X

=

µ

ˆ

Ingin diketahui nilaitengah waktu yang diperlukan oleh anak usia 8-10 tahun untuk menyusun puzzle 100 keping. Untuk itu, diambil sampel

tahun untuk menyusun puzzle 100 keping. Untuk itu, diambil sampel acak, diperoleh hasil sebagai berikut.

22.8, 29.3, 27.2, 30.2, 24.0, 23.2, 22.9, 30.3, 27.1, 31.2, 27.0, 32.0, 28.6, 24.1, 28.9, 26.8, 26.6, 23.4, 25.1, 26.6, 25.7, 28.1, 31.5, 24.8, 25.2

(16)

x

Bila

adalah mean sampel acak berukuran n yang diambil

dari suatu populasi dengan ragam

yang diketahui, maka

selang kepercayaan (1-α) 100 % bagi

µX adalah :

Sedangkan zα/2

adalah nilai z yang luas daerah di bawah

kurva normal baku yang berada di sebelah kanannya adalah

α/2.

2 X

σ

n

z

x

n

z

x

X X X

µ

σ

α α /2

<

+

/2

−

Selang kepercayaan bagi nilai tengah populasi (ragam populasi diketahui)

α/2.

dinamakan selang kepercayaan (1-α) 100 % bagi µ_X disingkat SK (1-α) 100 %)

n

z

x

n

z

x

X X X

µ

σ

α α /2

<

+

/2

−

Kita percaya dengan derajat kepercayaan (1-α) 100 %) bahwa µ_X berada dalam selang

n

z

x

n

z

x

X X X

µ

σ

α α /2

<

+

/2

−

(17)

Contoh :

Ingin diketahui nilaitengah waktu yang diperlukan oleh anak usia 8-10 tahun untuk menyusun puzzle 100 keping. Untuk itu, diambil sampel acak, diperoleh hasil sebagai berikut.

22.8, 29.3, 27.2, 30.2, 24.0, 23.2, 22.9, 30.3, 27.1, 31.2, 27.0, 32.0, 28.6, 24.1, 28.9, 26.8, 26.6, 23.4, 25.1, 26.6, Company Logo www.themegallery.com 27.0, 32.0, 28.6, 24.1, 28.9, 26.8, 26.6, 23.4, 25.1, 26.6, 25.7, 28.1, 31.5, 24.8, 25.2

Dugalah selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah waktu menyusun puzzle bila diketahui ragam waktu adalah 9

(18)

Bila dan s2 adalah mean dan ragam dari suatu sampel acak yang diambil dari suatu populasi berbentuk genta yang ragamnya tidak diketahui, maka selang kepercayaan (1-α) 100 % bagi µX adalah :

Selang kepercayaan bagi nilai tengah populasi (ragam populasi tidak diketahui)

x

n

s

t

x

n

s

t

x

₋

_<

_µ

_<

₊

Sedangkan tα/2 adalah nilai t yang luas daerah di bawah kurva t yang berada di sebelah kanannya adalah α/2

n

s

t

x

n

s

t

x

X /2 2 / α α

<

µ

<

+

−

(19)

Ingin diketahui nilaitengah waktu yang diperlukan

oleh anak usia 8-10 tahun untuk menyusun puzzle

100 keping. Untuk itu, diambil sampel acak,

diperoleh hasil sebagai berikut.

Contoh :

22.8, 29.3, 27.2, 30.2, 24.0, 23.2, 22.9,

30.3, 27.1, 31.2, 27.0, 32.0, 28.6, 24.1,

28.9, 26.8, 26.6, 23.4, 25.1, 26.6, 25.7,

28.1, 31.5, 24.8, 25.2

Dugalah selang kepercayaan 90% bagi nilai tengah

waktu menyusun puzzle

(20)

Sebuah contoh 100 pemilik mobil di Jakarta

menunjukkan bahwa secara rata-rata sebuah mobil

menempuh 23500 km per tahun dengan simpangan

baku 3900 km. Buatlah selang kepercayaan 99%

Contoh :

bagi mean jarak yang ditempuh oleh sebuah mobil

per tahun di Jakarta.

(21)

Ingin diduga selisih skor bakat anak kelompok pertama dan anak kelompok kedua. Untuk itu, diambil sampel bebas

berukuran n1=36 skor bakat anak pertama dan n2=49 skor bakat anak kedua. Diperoleh hasil :

Pendugaan Selisih Nilai Tengah Dua Populasi

Pop 1: skor anak klp-1 Pop 2: skor anak klp-2

n₁=36 n₂=49

Selisih Nilai Tengah Dua Populasi : Penduga titik bagi :

1 x 2

x

=525 =614 S₁=15 s₁=10 2 1

µ

µ −

2 1

X

X −

2 1

µ

µ −

2 1

µ

µ −

^

=

X −

₁

X

₂

=525-614=-89

(22)

Sampel bebas dan sampel tak bebas

Pengamatan Tinggi suami Pengamatan Tinggi istri

1 172 1 160 2 181 2 157 3 166 3 155 : : : : : : : : 50 160 50 160

(23)

Sampel bebas dan sampel tak bebas

Pengamatan Tinggi laki-laki Pengamatan Tinggi perempuan

1 172 1 160 2 181 2 157 3 166 3 155 : : : : : : : : 50 160 50 160

SAMPEL BEBAS

(24)

Data berpasangan

Data sebelum-sesudah.

Data pengamatan yang memiliki

karakteristik sama.

Data pengamatan-pengamatan yang

dipasangkan berdasarkan lokasi

Data pengamatan-pengamatan yang

(25)

( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 / 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 / 2 1 n n z x x n n z x x σ σ _µ _µ σ σ α α + < − < − + + − − ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 / 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 / 2 1 n s n s t x x n s n s t x x ₋ ₋ ₊ _< ₋ _< ₋ ₊ ₊ α α µ µ

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

[

1 2 1

]

2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 1 2 1 − + − + = n n s n n s n s n s db ( ) ( ) 2 1 2 / 2 1 2 1 2 1 2 / 2 1 1 1 1 1 n n s t x x n n s t x x p p + < − < − + + − − α µ µ α ;

Kondisi Selang kepercayaan (1- )100% bagi µ_D=(µ₁ – µ₂)

Contoh bebas, ragam populasi diketahui

Contoh bebas, ragam populasi tidak diketahui, contoh berukuran kecil

Contoh bebas, ragam populasi tidak diketahui, tapi diketahui bahwa ragam kedua populasi sama, contoh

Company Logo 2 1 2 1 n n n n

(

)

(

)

2 1 1 2 1 2 2 2 2 1 1 2 − + − + − = n n s n s n s p ( ) ( ) 2 2 2 1 2 1 2 / 2 1 2 1 2 2 2 1 2 1 2 / 2 1 n s n s z x x n s n s z x x ₋ ₋ ₊ _< ₋ _< ₋ ₊ ₊ α α µ µ n s t d n s t d d D d 2 / 2 / α α < µ < − − d d n i i ∑ = = 1 2 1 1 2 2 −       − = ∑ ∑ = = d d s n i i n i i d

ragam kedua populasi sama, contoh berukuran kecil

v = n₁+ n₂– 2 Contoh bebas, ragam populasi tidak

diketahui, contoh berukuran besar

(26)

Contoh :

Suatu penelitian dilakukan untuk membandingkan pengaruh dua jenis obat tidur yang biasa diberikan kepada penderita insomnia (penyakit sulit tidur). Seratus lima puluh pasien yang memiliki karakteristik yang serupa dibagi menjadi dua kelompok pasien, masing-masing terdiri berukuran 50 dan 100 orang. Kelompok pasien yang pertama diberikan obat jenis baru, sementara kelompok pasien yang kedua

diberikan obat biasa diberikan kepada penderita insomnia. diberikan obat biasa diberikan kepada penderita insomnia. Lamanya pasien tidur setelah diberikan obat tersebut

dicatat. Untuk pasien pada kelompok pertama, didapatkan mean lamanya waktu tidur adalah 7.82 jam dan simpangan baku 0.24 jam. Dari pasien pada kelompok kedua

didapatkan mean lamanya waktu tidur adalah 6.75 dan simpangan baku 0.30 jam. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi selisih mean lamanya waktu tidur pasien yang diberikan obat baru dan obat lama.

(27)

Contoh :

Data berikut adalah data masa putar film yang

diproduksi dua perusahaan

Prsh 1

103

94

110

87

98 Prsh 2

97

82

123

92

175 88 118

Buatlah selang kepercayaan 90% bagi selisih nilai

tengah masa putar film yang diproduksi kedua

(28)

Contoh :

Sebuah perusahaan taksi ingin menentukan

apakah akan memilih ban merek A atau B. Untuk

itu, perusahaan tersebut melakukan percobaan

dengan mengambil 12 ban dari masing-masing

merek. Semua ban tersebut dicoba sampai harus

diganti dan dicatat waktu tempuh dari

masing-masing ban tersebut. Diperoleh hasil sebagai

berikut :

Merek A :

Rata-rata 36300 km dan simpangan baku 5000

km

Merek B :

Rata-rata 38100 km dan simpangan baku 6100

km

(29)

Contoh :

Suatu ujian statistika elementer diberikan kepada

50 mahasiswa perempuan dan 75 mahasiswa

laki-laki. Mahasiswa perempuan mencapai nilai

rata-rata 76 dengan simpangan baku 6, sedangkan

mahasiswa laki-laki memperoleh nilai rata-rata 82

dengan simpangan baku 8. Tentukan selang

kepercayaan 96% bagi beda nilai tengah nilai

statistika elementer mahasiswa laki-laki dan

perempuan.

(30)

Contoh :

Orang 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Slim-Gym menawarkan suatu paket penurunan berat badan. Mereka mengiklankan bahwa program tersebut dapat menurunkan berat badan 10 kg dalam 30 hari. Untuk membuktikan kebenaran pernyataan Slim-Gym tersebut, 12 orang dipilih secara acak, dan dicatat berat badan sebelum program dan berat badan setelah mengikuti program. Diperoleh data sebagai berikut :

Sbl 72.2 61.6 96.4 107.9 81.7 123.5 77.0 93.1 78.4 85.4 101.0 90.8 Ssd 63.7 51.9 81.1 91.4 64.6 103.8 66.2 85.1 61.9 63.9 96.1 77.9

Tentukan selang kepercayaan 95% bagi nilai tengah penurunan berat badan setelah mengikuti program tersebut.

(31)

Contoh :

Orang 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Slim-Gym menawarkan suatu paket penurunan berat badan. Mereka mengiklankan bahwa program tersebut dapat menurunkan berat badan 10 kg dalam 30 hari. Untuk membuktikan kebenaran pernyataan Slim-Gym tersebut, 12 orang dipilih secara acak, dan dicatat berat badan sebelum program dan berat badan setelah mengikuti program. Diperoleh data sebagai berikut :

Sbl 72.2 61.6 96.4 107.9 81.7 123.5 77.0 93.1 78.4 85.4 101.0 90.8 Ssd 63.7 51.9 81.1 91.4 64.6 103.8 66.2 85.1 61.9 63.9 96.1 77.9