ANALISIS PEMAHAMAN KONSEP BILANGAN BERPANGKAT BERDASARKAN TEORI APOS BAGI SISWA KELAS X ADMINISTRASI PERKANTORAN III
SMK NEGERI 1 SALATIGA TAHUN PELAJARAN 2016/2017
JURNAL
Disusun untuk memenuhi sebagian persyaratan mencapai Gelar Sarjana Pendidikan Program Studi Pendidikan Matematika
Oleh
LAMTIAR FRAMIKA SILALAHI 202009107
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS KRISTEN SATYA WACANA SALATIGA
ANALISIS PEMAHAMAN KONSEP BILANGAN BERPANGKAT BERDASARKAN TEORI APOS BAGI SISWA KELAS X ADMINISTRASI PERKANTORAN III SMK NEGERI 1 SALATIGA
TAHUN AJARAN 2016/2017
Lamtiar Framika Silalahi1, Tri Nova Hasti Yunianta2
Program Studi Pendidikan Matematika Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Kristen Satya Wacana Jl. Diponegoro 52 – 60 Salatiga 50711 1
Mahasiswa Pendidikan Matematika FKIP UKSW, email:lamtiarsigiro46@gmail.com 2
Dosen Pendidikan Matematika FKIP UKSW, email: trinova.yunianta@staff.uksw.edu
Abstrak
Hasil ulangan siswa pada materi bilangan berpangkat kelas X Administrasi Perkantoran III SMK Negeri 1 Salatiga tahun ajaran 2016/2017 menyatakan 84% siswa tidak lulus. Hasil ini terjadi diduga oleh karena kemampuan siswa dalam memahami konsep materi matematika masih kurang. Tujuan penelitian ini adalah perlu melihat lebih lanjut tentang pemahaman siswa kelas X Administrasi Perkantoran III SMK Negeri 1 Salatiga berdasarkan teori APOS terhadap konsep bilangan berpangkat yang terdiri dari topik bilangan berpangkat dan topik sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat. Teori APOS mengasumsikan bahwa konsep matematika yang dimiliki oleh seseorang merupakan hasil interaksi dengan orang lain dan hasil konstruksi-konstruksi mental dalam memahami ide-ide matematika. Konstruksi-konstruksi mental tersebut adalah aksi, proses, objek, skema yang disingkat dengan APOS. Jenis penelitian ini adalah penelitian deskriptif kualitatif untuk mendeskripsikan kemampuan pemahaman siswa. Subyek penelitian ini adalah 2 siswa yang sudah mempelajari materi bilangan berpangkat sebelumnya. Instrumen penelitian ini menggunakan instrument tes dan lembar pedoman wawancara. Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa tahap pemahaman kedua siswa tentang materi bilangan berpangkat berada pada tahap objek.
Kata kunci: Analisis, Pemahaman, APOS
PENDAHULUAN
Belajar matematika dengan pemahaman konsep memerlukan daya nalar yang tinggi dikarenakan objek matematika yang bersifat abstrak, sehingga belajar matematika harus diarahkan pada pemahaman konsep-konsep yang akan mengantarkan individu untuk berpikir secara matematis dengan jelas dan pasti berdasarkan aturan-aturan yang logis dan sistematis (Hudojo, 1993). Pencapaian pemahaman suatu konsep matematika bukan suatu hal yang mudah, dikarenakan kemampuan dalam memahami suatu konsep matematika setiap individu berbeda-beda. Proses belajar matematika di kelas pada saat ini masih cenderung berlangsung
satu arah yaitu guru lebih memfokuskan diri pada upaya penuangan pengetahuan kepada para siswa. Guru mendominasi kegiatan di kelas, pembelajaran hanya terpusat pada guru sehingga tidak terjadi interaksi yang baik antara siswa dengan siswa, dan orientasi guru lebih banyak tercurah pada target tercapainya materi pembelajaran. Proses belajar matematika yang dilakukan secara terisolasi tidak memberikan hasil yang positif. Pembelajaran matematika harus dihayati dan ditekankan untuk menanamkan konsep matematika berdasarkan pemahaman, karena pemahaman merupakan kemampuan untuk menangkap makna dan arti dari bahan yang dipelajari, sehingga pemahaman memudahkan terjadinya transfer (Hiebert dan Carpenter, 1992).
Keberhasilan siswa dalam memaknai dan memahami suatu konsep matematika perlu diupayakan. Konsep bilangan berpangkat (eksponen) sebelumnya telah dipelajari siswa di tingkat SD sehingga dapat membantu siswa kelas X SMK (sekolah Menengah Kejuruan) semester satu untuk mencapai pemahaman konsep bilangan berpangkat. Kurangnya pemahaman konsep bilangan berpangkat tentunya akan mempengaruhi bagaimana siswa menerapkan aplikasinya dalam kehidupan sehari-hari. Kenyataannya bilangan berpangkat masih sulit dipahami oleh siswa karena siswa masih belum memahami konsep. Hasil ulangan siswa pada materi bilangan berpangkat kelas X Administrasi Perkantoran III SMK Negeri 1 Salatiga tahun ajaran 2016/2017 menyatakan 84% siswa tidak lulus. Hasil ini terjadi diduga oleh karena kemampuan siswa dalam memahami konsep materi matematika masih kurang.
Guru mengharapkan pemahaman yang dicapai siswa tidak terbatas pada pemahaman yang bersifat menghubungkan, akan tetapi diharapkan pemahaman matematis siswa penting dalam mempelajari matematika secara bermakna. Purwanto (1994) mengemukakan pemahaman adalah tingkat kemampuan yang mengharapkan siswa mampu memahami arti atau konsep situasi serta fakta yang diketahui. Virlianti (2002) menyatakan pemahaman adalah konsepsi yang bisa dicerna atau dipahami oleh siswa sehingga siswa mengerti apa yang dimaksudkan, mampu menemukan cara untuk mengungkapkan konsepsi tersebut, serta dapat mengeksplorasi kemungkinan yang terkait. Derajat pamahaman ditentukan oleh tingkat keterkaitan suatu gagasan, prosedur atau fakta matematika dipahami secara menyeluruh jika hal-hal tersebut membentuk jaringan dengan keterkaitan yang tinggi. Siswa dikatakan memahami sesuatu jika siswa telah dapat mengorganisasikan dan mengutarakan kembali apa yang dipelajari siswa dengan menggunakan kalimat siswa itu sendiri. Siswa tidak hanya dapat mengingat dan menghafal informasi yang telah diperoleh, melainkan siswa harus dapat memilih dan mengorganisasikan informasi tersebut. Pemahaman bukan hanya sekedar
mengingat fakta, akan tetapi berkenaan kemampuan menjelaskan, menerangkan, menafsirkan atau kemampuan menangkap makna atau arti suatu konsep (Sanjaya, 2008).
Konsep diperoleh dari fakta, peristiwa, pengalaman, melalui generalisasi dan bersifat abstrak. Menurut Gagne (Suherman, 2003) mengemukakan bahwa konsep adalah ide abstrak yang memungkinkan siswa dapat mengklarifikasikan atau mengelompokkan objek atau kejadian ke dalam contoh dan bukan contoh. Depdiknas (2003) berpendapat konsep diartikan sebagai ide abstrak yang dapat digunakan untuk menggolongkan sekumpulan objek. Siswa dapat mengembangkan suatu konsep ketika siswa telah mampu mengelompokkan objek atau kejadian serta dapat mengasosiasikan suatu nama dengan kelompok objek atau kejadian tertentu. Menanamkan pemahaman konsep terhadap siswa merupakan bagian yang sangat penting dalam proses pembelajaran matematika, karena dengan memahami konsep akan memudahkan siswa dalam mempelajari matematika. Menurut Skemp dan Pollatsek (Sumarmo, 1987) terdapat dua jenis pemahaman konsep yaitu pemahaman instrumental dan pemahaman rasional. Pemahaman instrumental dapat diartikan sebagai pemahaman atas konsep yang saling terpisah dan hanya rumus yang dihafalkan dalam melakukan perhitungan sederhana, sedangkan pemahaman rasional termuat satu skema atau struktur yang dapat digunakan pada penyelesaian masalah yang lebih luas. Siswa yang memahami suatu konsep matematika jika siswa telah mampu mendefinisikan, mengidentifikasi, memberi contoh dan bukan contoh dari suatu konsep matematika serta mampu mengembangkan kemampuan koneksi matematika antar berbagai ide dan memahami ide-ide matematika yang saling terkait satu dengan yang lain sehingga terbangun pemahaman secara menyeluruh. Pemahaman terhadap suatu konsep dapat berkembang dengan baik jika konsep yang paling umum disajikan terlebih dahulu dan dapat sebagai jembatan antar informasi baru dengan informasi yang telah ada pada kognitif siswa. Menurut Ausabel (Andriyani, 2008) informasi yang dipelajari siswa disusun sesuai dengan kognitif yang dimiliki siswa sehingga siswa dapat mengkaitkan informasi barunya dengan struktur kognitif yang dimilikinya. Oleh karena itu, untuk mengetahui tingkat pemahaman siswa terhadap konsep matematika dibutuhkan suatu pemecahan permasalahan yaitu melalui suatu analisis dekomposisi genetik sebagai operasionalisasi dari teori APOS (Action, Process, Object, and Schema).
Dubinsky & Tall (1991) berpendapat pemahaman terhadap suatu konsep matematika yang dimiliki oleh seseorang merupakan hasil interaksi dengan orang lain dan hasil konstruksi-konstruksi mental orang tersebut dalam memahami ide-ide matematika. Konstruksi-konstruksi mental tersebut adalah aksi (action), proses (process), objek (object), skema (schema) yang disingkat dengan APOS. Sejumlah kontruksi merupakan rekonstruksi
dari sesuatu yang sudah ada, tetapi rekontruksinya tidak persis sama seperti yang sudah ada sebelumnya. Sependapat dengan Dubinsky & Tall (1991), Asiala, dkk (1997) mengungkapkan bahwa teori APOS adalah sebuah teori untuk mempelajari bagaimana seseorang belajar suatu konsep matematika. Teori APOS dapat digunakan sebagai suatu alat analisis untuk mendeskripsikan perkembangan skema seseorang pada suatu topik matematika yang merupakan totalitas suatu pengetahuan yang saling terkait (secara sadar atau tidak sadar) terhadap topik tersebut sehingga dapat digunakan untuk menginterpretasikan tahap pemahaman siswa melalui empat tahap yaitu tahap aksi, tahap proses, tahap objek dan tahap skema.
Suryadi (2011) menjelaskan teori APOS adalah sebuah teori konstruktivisme tentang bagaimana seseorang belajar memahami konsep matematika. Pembelajaran dengan menggunakan teori APOS menekankan pada perolehan pengetahuan melalui konstruksi mental. Konstruksi mental dalam teori APOS adalah terbentuknya aksi, yang direnungkan menjadi proses, selanjutnya dirangkum menjadi objek, objek dapat diuraikan kembali menjadi proses. Akhirnya aksi, proses, dan objek dapat diorganisasikan menjadi suatu skema untuk memecahkan masalah matematika. Berikut ini akan diberikan gambaran secara singkat aplikasi kerangka kerja teori APOS dengan menggunakan analisis dekomposisi genetik yang diartikan sebagai analisis pemahaman siswa dalam merespon suatu masalah tentang konsep bilangan berpangkat berdasarkan teori APOS.
1. Aksi
Suryadi (2011) berpendapat aksi adalah suatu transformasi objek-objek mental untuk memperoleh objek mental lainnya. Seseorang yang mengalami suatu aksi, apabila orang tersebut memfokuskan proses mentalnya pada upaya untuk memahami suatu konsep yang diberikan.
Misalkan: Siswa diberikan soal, “Berapakah hasil dari . . . ?”.
Aksi siswa terhadap soal tersebut adalah siswa akan mencoba memahami suatu konsep yang diberikan atau pengertian terhadap soal tersebut. Pengertian dari suatu bilangan berpangkat
secara umum seperti dan
2. Proses
Suryadi (2011) menyatakan berbeda dengan aksi yang dapat terjadi manipulasi benda atau sesuatu yang bersifat konkrit, proses terjadi secara internal di bawah kontrol individu yang melakukannya. Seseorang dikatakan mengalami suatu proses tentang sebuah konsep, apabila berpikirnya terbatas pada ide matematika yang dihadapinya serta ditandai dengan munculnya kemampuan untuk melakukan refleksi terhadap ide matematika tersebut.
Misalkan: Berapakah hasil dari . . . ?
Siswa tidak melakukan aksi dalam menginteriorisasikan pencarian hasil perkalian bilangan berpangkat, siswa akan melakukan aksi tersebut dalam imajinasi serta dapat menjelaskan proses mencari perkalian bilangan berpangkat tersebut, meskipun siswa masih menggunakan definisi dari suatu bilangan berpangkat secara umum, sehingga dapat dinyatakan bahwa
3. Objek
Suryadi (2011) menyatakan bahwa seseorang dikatakan telah memiliki konsepsi objek dari suatu konsep matematika apabila seseorang telah mampu memperlakukan ide atau konsep tersebut sebagai sebuah objek kognitif yang mencakup kemampuan untuk melakukan aksi atas objek tersebut, serta memberikan alasan atau penjelasan tentang sifat-sifatnya. Selain itu individu itu telah mampu melakukan penguraian kembali suatu objek yang dimaksud dan digunakan.
Misalkan: Berapakah hasil dari . . . ?
Siswa yang telah mampu memperlakukan/memahami ide atau konsep bilangan berpangkat sebagai objek, siswa akan dapat menjelaskan bahwa penentu dari perkalian bilangan berpangkat diperoleh dengan hanya menjumlahkan pangkatnya saja, dikarenakan bilangan pokoknya sama, maka dapat ditentukan dengan menggunakan rumus yang didapat dari definisi perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama yaitu
4. Skema
Suryadi (2011) menyatakan bahwa suatu skema dari suatu materi matematika tertentu adalah suatu koleksi aksi, proses, objek, skema lainnya yang saling terhubung sehingga membentuk suatu kerangka kerja saling terkait di dalam pikiran atau otak seseorang.
Misalkan: Berapakah hasil dari . . . ?
Siswa yang telah mampu mentematisasikan bilangan berpangkat serta dapat menjelaskan bahwa penentu perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama tersebut merupakan proses mencari perkalian bilangan berpangkat. Perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama merupakan salah satu sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat, dan siswa mampu mengkaitkan pemahaman konsep bilangan berpangkat dengan konsep matematika lainnya yaitu bentuk akar.
Keempat komponen dari teori APOS yaitu aksi, proses, objek, dan skema telah dibahas pengertiannya secara berurutan karena setiap pembahasan satu komponen saling berkaitan
dengan komponen yang lainnya, namun pada kenyataannya ketika seseorang mengembangkan pemahamannya terhadap suatu konsep matematika, konstruksi-konstruksi tersebut tidaklah selamanya dilakukan secara linear (Nurdin, 2005). Misalnya, ketika seseorang dihadapkan pada suatu bilangan berpangkat dan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat, maka kemungkinan seseorang tersebut tidak mulai dari tahap aksi tapi mulai dari tahap objek kemudian baru tahap lainnya.
Kerangka teori APOS sangat berguna dalam menganalisis kemampuan pemahaman siswa bagaimana pemahaman siswa mempelajari konsep-konsep matematika. Menggunakan teori APOS untuk mengetahui tahap pemahaman siswa tentang konsep materi bilangan berpangkat akan sangat menolong guru dalam mengembangkan pembelajaran yang lebih efektif sehingga masalah pemahaman konsep siswa terhadap materi bilangan berpangkat dapat diatasi. Berdasarkan uraian diatas, maka penting untuk dilakukan penelitian tentang analisis pemahaman siswa kelas X Administrasi Perkantoran III SMK Negeri 1 Salatiga terhadap konsep bilangan berpangkat berdasarkan teori APOS.
METODE PENELITIAN
Jenis penelitian yang digunakan dalam penelitian ini adalah penelitian kualitatif yang memiliki karakteristik bersifat deskriptif atau sering disebut penelitian deskriptif kualitatif. Penelitian deskriptif kualitatif bertujuan untuk memperjelas fenomena dan mengumpulkan data dengan sedalam-dalamnya (Sugiyono, 2012). Data yang dikumpulkan dalam penelitian ini yaitu menjelaskan cara-cara yang digunakan siswa dalam menyelesaikan soal-soal uraian serta menganalisis tahap pemahaman konsep bilangan berpangkat berdasarkan kerangka teori APOS bagi siswa kelas X Administrasi Perkantoran III SMK Negeri 1 tahun ajaran 2016/2017 Salatiga.
Instrumen dalam penelitian ini berupa 7 soal tes uraian yaitu terdiri dari 4 soal uraian bilangan berpangkat yaitu soal nomor 1 sampai nomor 4 sedangkan 3 soal uraian sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat yaitu soal nomor 5 sampai nomor 7. Subjek juga diwawancarai untuk menggali pemahaman subjek tentang jawaban-jawaban yang sudah dituliskan subjek pada lembar jawab siswa. Kisi-kisi instrumen pemahaman siswa tentang bilangan berpangkat berdasarkan kerangka teori APOS dapat dilihat sebagai berikut.
Tabel 1. Kisi-kisi Instrumen Pemahaman Siswa tentang Bilangan Berpangkat Berdasarkan Kerangka Teori APOS.
Topik
Kerangka Teori APOS
Indikator Butir soal
Bilangan Berpangkat
Aksi
Siswa dapat:
Membedakan suatu bilangan berpangkat positif dengan bilangan lainnya (bilangan berpangkat negatif, bilangan berpangkat nol, serta bilangan berpangkat pecahan) dengan memperhatikan bentuk dari beberapa pemangkatan dari suatu bilangan berpangkat.
Menyatakan perbedaan bentuk bilangan berpangkat antara bilangan berpangkat positif dengan bilangan berpangkat lainnya (bilangan berpangkat negatif, bilangan berpangkat nol, serta bilangan berpangkat pecahan).
1
1
Proses
Siswa dapat menjelaskan cara menentukan nilai pemangkatan tertentu dari suatu bilangan berpangkat positif, bilangan berpangkat negatif, bilangan berpangkat nol, serta bilangan berpangkat pecahan.
2
Objek
Siswa dapat menyatakan contoh suatu bilangan berpangkat positif, bilangan berpangkat negatif, bilangan berpangkat pecahan, bilangan berpangkat nol
3a
Skema
Siswa dapat:
Menghubungkan aksi, proses, objek, bilangan berpangkat dengan objek matematika lainnya yaitu bentuk akar. Menentukan bilangan tertentu (nilai ) dari suatu hasil
pemangkatan bilangan dengan menghubungkan aksi, proses, objek dari bilangan berpangkat.
3b 4 Sifat-Sifat Pengoperasian Bilangan Berpangkat Aksi Siswa dapat:
Membedakan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat seperti sifat perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, sifat pembagian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, sifat pemangkatan bilangan berpangkat, sifat pemangkatan dari perkalian dua bilangan, sifat pemangkatan dari pembagian dua bilangan.
Menyatakan perbedaan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat antara sifat perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama dengan sifat bilangan berpangkat lainnya (sifat pembagian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, sifat pemangkatan bilangan berpangkat, sifat pemangkatan dari perkalian dua bilangan, sifat pemangkatan dari pembagian dua bilangan).
5a
5a
Proses
Siswa dapat menjelaskan cara menentukan nilai pemangkatan tertentu dari suatu sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat.
5b
Objek
Siswa dapat:
Menyatakan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat. Menyatakan contoh suatu sifat-sifat pengoperasian
bilangan berpangkat.
6a 6a
Skema
Siswa dapat:
Menghubungkan aksi, proses, objek, bilangan berpangkat dengan objek matematika lainnya yaitu bentuk akar. Menentukan sifat-sifat pengoperasian bilangan tertentu
dengan menghubungkan aksi, proses, objek, dan skema dari suatu bilangan berpangkat.
6b dan 6c 7
Data tersebut kemudian dianalisis mengunakan alur analisis data yang dikembangkan oleh Miles dan Huberman (1992) dengan langkah-langkah sebagai berikut: (1) menelaah terlebih dahulu semua data yang terkumpul dan sumber data yang hasilnya berupa deskripsi data meliputi hasil tes tertulis dan hasil wawancara, (2) membuat klarifikasi dari hasil tes tertulis menurut konstruksi mental tertentu siswa dalam menyelesaikan soal tes tertulis dari kerangka kerja teori APOS, (3) menstranskipkan data hasil wawancara yang dibuat menurut urutan pemahaman siswa tentang bilangan berpangkat berdasarkan kerangka kerja teori APOS, kemudian (4) menarik kesimpulan data dan sumber data yang sudah diklarifikasi dan ditranskipkan pada penyajian data. Adapun tahap-tahap pelaksanaan penelitian yang dilakukan yaitu (1) peneliti terlibat secara langsung melihat lokasi/latar subjek, (2) peneliti menyiapkan soal uraian tes tertulis pemahaman siswa pada materi bilangan berpangkat berdasarkan kerangka teori APOS, (3) peneliti memberikan waktu 90 menit kepada siswa yang terpilih untuk menyelesaikan tes tertulis berupa soal uraian, (4) peneliti memeriksa hasil pekerjaan siswa, (5) peneliti akan melakukan wawancara kepada siswa yang terpilih dengan memberikan pertanyaan yang berkaitan dengan jawaban tes tertulis siswa, (6) peneliti kemudian mengumpulkan data dan sumber data sehingga data dapat dianalisis dan ditarik kesimpulan sesuai perolehan hasil data tes tertulis dan wawancara siswa.
HASIL DAN PEMBAHASAN PENELITIAN
Penelitian ini dilakukan di SMK Negeri 1 Salatiga. Peneliti mengadakan pertemuan dengan guru matematika kelas X, setelah itu melakukan wawancara dengan guru matematika. Guru yang mengajar matematika di kelas X menyarankan mengambil Kelas X Administrasi Perkantoran III SMK Negeri 1 Salatiga, dari penjelasan guru matematika tersebut, peneliti hanya mengambil satu kelas yaitu kelas X Administrasi Perkantoran III yang terdiri dari 32 siswa kemudian diambil 2 siswa sebagai subjek penelitian secara acak. Siswa yang pertama berinisial ACD, siswa yang kedua berinisial FKD.
Berdasarkan 7 soal tes uraian yaitu terdiri dari 4 soal uraian bilangan berpangkat (soal nomor 1 sampai nomor 4) dan 3 soal uraian sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat (soal nomor 5 sampai nomor 7) serta hasil wawancara, maka ditemukan pemahaman siswa tentang bilangan berpangkat (bilangan berpangkat dan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat) menurut teori APOS adalah umumnya pemahaman siswa terhadap topik bilangan berpangkat berada pada tahap objek sedangkan topik sifat-sifat bilangan berpangkat berada pada tahap proses, siswa sudah mengetahui adanya hubungan yang berkaitan erat dengan bentuk akar namun belum dapat menjelaskan pendapatnya dengan baik.
Kemampuan siswa menyelesaikan soal pemahaman terhadap konsep bilangan berpangkat, ada empat tahap tertentu menurut teori APOS yaitu aksi, proses, objek dan skema terhadap topik bilangan berpangkat dan topik sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat.
1. Tahap Aksi
Penyelesaian pada soal nomor 1a pada topik bilangan berpangkat diketahui bahwa , , , , ... merupakan bilangan berpangkat yang pangkatnya positif sedangkan pada soal nomor 1b diketahui bahwa , , , , ... merupakan bilangan berpangkat yang pangkatnya negatif. Dilihat dari penyelesaiannya, subjek mampu memahami apa yang sudah diketahui dalam soal nomor 1a dan 1b dengan memperhatikan kumpulan bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama namun bilangan pangkatnya berbeda. Oleh karena itu subjek dengan mudah mengetahui adanya perbedaan pangkat pada soal 1a dan 1b.
Pemahaman berdasarkan teori APOS pada tahap aksi, penyelesaian dengan pemahaman yang diketahuinya, subjek dapat melakukan penyelesaian pada soal nomor 1a dan 1b dengan langkah hanya melihat perbedaan pangkatnya saja dan menyatakan perbedaan pangkat suatu bilangan berpangkat dengan pangkat suatu bilangan berpangkat lainnya. Hasil yang diperoleh dari kedua subjek menunjukkan bahwa subjek ACD dan FKD mampu memahami dan melakukan penyelesaian soal nomor 1 seperti pada Gambar 1.
a) Subjek ACD b) Subjek FKD
Gambar 1. Pemahaman pada Tahap Aksi Soal Nomor 1a dan 1b
Soal nomor 5 pada topik sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat diketahui bahwa “Perhatikan operasi dari bilangan berikut! Bagian pertama yaitu ; bagian kedua yaitu ; bagian ketiga yaitu ”. Soal nomor 5a diketahui bahwa “Sebutkan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat tersebut!”. Langkah penyelesaiannya, subyek terlebih dahulu mengetahui perbedaan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat. Penyelesaian soal nomor 5a bagian pertama yaitu termasuk sifat operasi perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama; bagian kedua yaitu termasuk sifat operasi pembagian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama; dan bagian ketiga adalah termasuk sifat operasi pemangkatan bilangan berpangkat. Subjek ACD dan FKD bisa melihat
perbedaan sifat-sifat pengoperasi bilangan berpangkat namun belum mampu menyatakan perbedaan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat terhadap apa yang sudah diketahui dalam soal nomor 5a.
Pemahaman berdasarkan teori APOS pada tahap aksi, penyelesaian dengan pemahaman yang diketahuinya, subjek dapat melakukan penyelesaian pada soal nomor 5a dengan langkah hanya melihat perbedaan sifat-sifat pengoperasi bilangan berpangkat dan dapat menyatakan perbedaan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat antara sifat perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, sifat pembagian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama, sifat pemangkatan bilangan berpangkat, sifat pemangkatan dari perkalian dua bilangan, dan sifat pemangkatan dari pembagian dua bilangan. Pemahaman konsep subyek pada tahap aksi ini belum dipahami subjek ACD dan FKD dengan benar. Subjek ACD dan FKD mengaku hanya dapat melihat perbedaan sifat-sifat pengoperasian melalui penghafalan rumus sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat yang telah diajarkan guru matematika subjek ACD dan FKD belum bisa menyatakan perbedaan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat. Kedua subjek bisa menuliskan jawaban setelah peneliti memberitahu maksud soal nomor 5a pada saat diwawancara seperti pada Gambar 2.
a) Subjek ACD
b) Subjek FKD
Gambar 2. Pemahaman pada Tahap Aksi Soal Nomor 5a
2. Tahap Proses
Soal nomor 2a pada topik bilangan berpangkat diketahui sedangkan pada soal nomor 2b diketahui Langkah penyelesaiannya, subjek terlebih dahulu memahami definisi dari bilangan berpangkat tersebut kemudian subjek mengetahui adanya perbedaan pangkat dari suatu bilangan berpangkat yang telah diketahui pada soal nomor 2a dan 2b agar subjek dapat menentukan nilai pemangkatan. Subjek mengetahui bahwa definisi dari bilangan berpangkat adalah perkalian suatu bilangan dengan dirinya sendiri sebanyak faktor, sebagai pangkat. Penyelesaian soal nomor 2a diketahui merupakan bilangan berpangkat positif dan dapat langsung diselesaikan dengan definisi perkalian 5 dengan dirinya sendiri sebanyak 2 faktor sehingga diperoleh . Adapun penyelesaian soal nomor 2b
diketahui merupakan bilangan berpangkat pecahan. Namun ada cara-cara tersendiri untuk menyelesaikan soal bilangan berpangkat pecahan yaitu mengubahnya dalam operasi akar atau mengubah bilangan pokok menjadi bilangan yang berpangkat sama dengan penyebut pada pangkat pecahan. Pada penyelesaian soal 2b subjek menggunakan cara mengubah bilangan pokok menjadi bilangan yang berpangkat sama dengan penyebut. bilangan pokoknya 4 diubah menjadi bilangan yang berpangkat sama dengan penyebutnya 2 dari pangkat pecahan yaitu kemudian subjek mengalikan pangkatnya saja maka hasilnya dengan definisi perkalian 2 dengan dirinya sendiri sebanyak 3 faktor sehingga diperoleh
.
Pemahaman berdasarkan teori APOS pada tahap proses ini subjek ACD dan FKD dapat menyelesaikan soal nomor 2a dan 2b seperti pada Gambar 3 dalam tahap proses sesuai dengan pemahaman konsep yang dimilikinya. Subjek dapat menuliskan cara menentukan nilai pemangkatan tertentu dari suatu bilangan berpangkat positif dan bilangan berpangkat pecahan.
a) Subjek ACD b) Subjek FKD
Gambar 3. Pemahaman pada Tahap Proses Soal Nomor 2a dan 2b
Soal nomor 5b pada topik sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat digunakan untuk mengetahui apakah subjek berada pada pemahaman tahap proses. Soal nomor 5b membutuhkan pemahaman dari kedua subjek ACD dan FKD dalam menginteriosasikan kemampuan menjadi suatu proses dengan menjelaskan cara bagaimana subjek menentukan hasil penyelesaian sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat. Penyelesaian soal nomor 5a diketahui: bagian pertama yaitu merupakan sifat perkalian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama. Langkah penyelesaiannya, subyek dapat secara langsung menuliskan definisi dari bilangan berpangkat dari dan . Definisi bilangan berpangkat
adalah perkalian bilangan 2 dengan dirinya sendiri sebanyak 5 faktor (
sedangkan definisi bilangan berpangkat adalah perkalian bilangan 2 dengan dirinya sendiri sebanyak 2 faktor ( sehingga dapat dituliskan sesuai definisinya dan sifat
pengoperasiannya perkalian maka kemudian dapat
sehingga dapat diperoleh . Bagian kedua yaitu merupakan sifat pembagian bilangan berpangkat yang bilangan pokoknya sama. Langkah penyelesaiannya, subyek dapat secara langsung menuliskan definisi dari bilangan berpangkat dan . Definisi bilangan berpangkat adalah perkalian bilangan 2 dengan dirinya sendiri sebanyak 5 faktor
( sedangkan definisi bilangan berpangkat adalah perkalian
bilangan 2 dengan dirinya sendiri sebanyak 2 faktor ( sehingga dapat dituliskan sesuai definisinya dan sifat pengoperasiannya pembagian maka kemudian dapat dilihat bahwa hasilnya menjadi perkalian bilangan 2 dengan dirinya sendiri sebanyak 3 faktor sehingga dapat diperoleh . Bagian ketiga yaitu merupakan pemangkatan bilangan berpangkat. Langkah penyelesaiannya , subyek dapat secara langsung menuliskan definisi dari bilangan berpangkat . Definisi bilangan berpangkat
adalah perkalian bilangan 2 dengan dirinya sendiri sebanyak 5 faktor ( kemudian dipangkatkan kembali sebanyak 2 faktor
kemudian dapat dilihat hasilnya menjadi perkalian 2 dengan dirinya sendiri sebanyak 10 faktor ( sehingga diperoleh .
Pemahaman berdasarkan teori APOS pada tahap proses pada soal nomor 5b terdapat subjek ACD dan FKD memiliki penyelesaian yang sama pada tahap proses karena kedua subjek terlebih dahulu memahami bahwa soal nomor 5b seperti pada Gambar 4 dapat dikerjakan dengan mengunakan rumus yang telah diajarkan guru matematika namun pada tahap proses subjek ACD dan FKD belum mampu membuktikan rumus sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat tersebut.
a) Subjek ACD
b) Subjek FKD Gambar 4. Pemahaman pada Tahap Proses Soal Nomor 5b
3. Tahap Objek
Soal nomor 3 terdiri dari 2 tipe soal yaitu 3a dan 3b. Penyelesaian soal nomor 3 membutuhkan kemampuan melakukan pemahaman tahap aksi atas tahap objek. Tahap objek ini, subjek terlebih dahulu memahami perbedaan pangkat dari suatu bilangan berpangkat dan menuliskan cara menentukan nilai pemangkatan sehingga subjek dapat menyatakan contoh suatu bilangan berpangkat serta dapat memberikan penjelasan. Soal nomor 3a digunakan
untuk mengetahui apakah subjek mampu menyatakan contoh suatu bilangan berpangkat dan subyek telah menjadi suatu objek dalam diri subjek karena subjek akan melakukan pembuktian dalam menyelesaikan permasalahannya. Oleh karena itu, pemahaman pada tahap objek diperlukan penyelesaian dengan baik untuk menyelesaikan soal nomor 3a, yaitu apabila bilangan berpangkat telah menjadi objek dan dapat dibandingkan dengan objek lainnya.
Soal nomor 3a diketahui “Berikan masing-masing 1 contoh bilangan berpangkat yang termasuk bilangan berpangkat positif, bilangan berpangkat negatif, bilangan berpangkat nol, bilangan berpangkat pecahan?”. Langkah penyelesaiannya, subjek terlebih dahulu mengetahui adanya perbedaan pangkat dari suatu bilangan berpangkat sehingga subjek dapat memberikan masing-masing contoh bilangan berpangkat. Pemahaman tahap objek berdasarkan teori APOS, subjek telah memahami dan melihat dari soal-soal sebelumnya sebagai contoh untuk menyatakan contoh suatu bilangan berpangkat sebagai langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan soal 3a seperti pada Gambar 5.
a) Subjek ACD b) Subjek FKD
Gambar 5. Pemahaman pada Tahap Objek Soal Nomor 3a
Soal nomor 6 pada topik sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat terdiri dari 3 tipe soal yaitu 6a, 6b, 6c. Penyelesaian soal nomor 6a membutuhkan kemampuan melakukan pemahaman tahap aksi atas tahap objek. Tahap objek ini, subjek harus memahami terlebih dahulu sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat sehingga subyek dapat menyatakan dan memberikan contoh sifat-sifat bilangan berpangkat tersebut. Soal nomor 6a akan membuktikan apakah subjek mampu menyatakan dan memberikan contoh sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat. Oleh karena itu, pemahaman pada tahap objek diperlukan penyelesaian dengan baik untuk menyelesaikan soal nomor 6a, yaitu apabila sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat telah menjadi suatu objek dalam diri subyek, maka objek tersebut dapat dibandingkan dengan objek lainnya.
Soal nomor 6a diketahui “Tuliskan sifat-sifat operasi bilangan berpangkat yang kamu ketahui dan berilah masing-masing 1 contoh!”. Pada soal nomor 6a, subjek ACD dan FKD belum mampu menyatakan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat namun subjek dapat memberikan contoh sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat karena kedua subjek hanya mengandalkan hafalan rumus sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat.
Berdasarkan teori APOS pada tahap objek ini terhadap kedua subjek ACD dan FKD menunjukkan subjek belum memahami dari soal sebelumnya (soal nomor 5) dalam menyatakan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat namun subjek dapat memberikan contoh sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat sebagai langkah yang dilakukan untuk menyelesaikan soal 6a seperti pada Gambar 6. Tahap objek terhadap kedua subjek ACD dan FKD, subjek belum mencapai tahap aksi atas objek serta belum mampu menyatakan tentang sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat.
a) Subjek ACD b) Subjek FKD
Gambar 6. Pemahaman pada Tahap Objek Soal Nomor 6a
4. Tahap Skema
Soal nomor 3b dan soal nomor 4 pada topik bilangan berpangkat membutuhkan pemahaman tahap skema berdasarkan teori APOS. Soal nomor 3b dan soal nomor 4 melibatkan bentuk akar dan menentukan bilangan tertentu (nilai ) dari suatu hasil pemangkatan bilangan untuk memecahkan masalah. Subjek harus mampu menghubungkan aksi, proses, dan objek yang dimiliki untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan bilangan berpangkat. Subjek juga harus mampu mengkaitkan konsep bilangan berpangkat dengan konsep-konsep yang lainnya. Soal nomor 3b bilangan berpangkat erat kaitannya dengan permasalah bentuk akar sedangkan soal nomor 4 subjek menentukan bilangan tertentu dari suatu persamaan (menentukan nilai ) dengan menghubungkan aksi, proses, objek, skema dari bilangan berpangkat.
Soal 3b diketahui “Apakah bilangan berpangkat sangat erat kaitannya dengan bentuk akar? Jelaskan Pendapatmu!”. Langkah yang harus dilakukan adalah memahami hubungan antara bilangan berpangkat dengan bentuk akar karena bilangan berpangkat sangat erat kaitannya dengan bentuk akar, suatu bilangan berpangkat jika ditentukan nilai pemangkatan tertentu dari suatu bilangan berpangkat maka hasil nilai pemangkatan tersebut dapat diubah ke dalam bentuk akar dan begitupun sebaliknya kemudian jika suatu bilangan berpangkat pecahan juga dapat diubah ke dalam bentuk akar.
Subjek ACD dan FKD pada soal 3b sama-sama menuliskan jawaban bilangan berpangkat sangat berkaitan erat dengan bentuk akar. Namun kedua subjek memiliki pendapat yang berbeda. Subjek ACD berpendapat hubungan bilangan berpangkat sangat erat dengan bentuk akar karena bilangan berpangkat merupakan satu unsur dengan bentuk akar
dan saling melengkapi satu sama lain untuk mencari jawaban. Subjek FKD berpendapat bilangan berpangkat sangat erat kaitannya dengan bentuk akar karena bilangan berpangkat nanti hasilnya akan memerlukan bentuk akar supaya menentukan jawaban. Kedua subjek mengaku sudah memahami bilangan pangkat dan bentuk akar akan tetapi setelah ditanyakan alasannya, kedua subjek masih bingung untuk mengungkapkan pendapatnya mengenai hubungan bilangan berpangkat dengan bentuk akar. Subjek ACD menjelaskan hubungan bilangan berpangkat dengan bilangan bentuk akar yang nantinya bilangan berpangkat kalau ada hasilnya tinggal diakar. Subjek ACD juga memberi contoh jika diakarkan untuk membuktikan bilangan berpangkat sangat erat kaitannya dengan bentuk akar namun subjek ACD belum mampu memberikan contoh bilangan berpangkat pecahan yang diubah ke bentuk akar. Adapun subjek FKD menjelaskan alasan hubungan bilangan berpangkat dengan bentuk akar yaitu bilangan berpangkat itu bisa dijadikan ke dalam bentuk akar. Subjek FKD memberi contoh , jika diakarkan . Selain itu, subjek FKD mampu memberikan contoh bilangan berpangkat yang pangkatnya pecahan yang dapat diubah ke bentuk pecahan yaitu diubah ke dalam bentuk akar .
a) Subjek ACD
b) Subjek FKD
Gambar 7. Pemahaman pada Tahap Skema Soal Nomor 3b
Soal nomor 4 pada topik bilangan berpangkat subjek ACD dan FKD melakukan penyelesaian yang sama dalam menentukan nilai dari suatu hasil pemangkatan bilangan. Subjek ACD dan FKD menyederhanakan terlebih dahulu kedua ruas bilangan pokok sehingga kedua ruas bilangan pokoknya sama yaitu 25 dan , disederhanakan menjadi (bilangan berpangkat positif) sedangkan disederhanakan menjadi (bilangan berpangkat negatif) setelah kedua ruas bilangan pokoknya sama kemudian subjek ACD dan FKD menentukan nilai dengan menghitung pangkatnya saja
lalu menjadi sehingga dengan hasil maka diperoleh
nilai . Berdasarkan teori APOS pada tahap skema diperoleh kesimpulan, pada soal nomor 4 seperti pada Gambar 8 yaitu untuk menentukan nilai dari suatu hasil pemangkatan bilangan dengan menghubungkan aksi, proses, objek sehingga membentuk skema lainnya
a) Subjek ACD
b) Subjek FKD
Gambar 8. Pemahaman pada Tahap Skema Soal Nomor 4
Soal nomor 6b, 6c dan 7 pada topik sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat membutuhkan pemahaman tahap skema berdasarkan teori APOS. Soal nomor 6b dan 6c melibatkan bentuk akar sedangkan nomor 7 menentukan bilangan tertentu (nilai ) dari suatu hasil pemangkatan bilangan untuk memecahkan masalah. Soal 6b dan 6c subjek harus mampu menghubungkan aksi, proses, dan objek yang dimiliki untuk menyelesaikan masalah yang berkaitan dengan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat. Subjek juga harus mampu mengkaitkan konsep bilangan berpangkat dengan konsep-konsep sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat serta konsep bentuk akar. Adapun soal nomor 7 subjek mampu menentukan sifat-sifat pengoperasian bilangan tertentu dengan menghubungkan aksi, proses, objek dan skema dari suatu bilangan berpangkat.
Soal 6b diketahui “Dapatkah dinyatakan ke dalam bentuk akar. Langkah penyelesaiannya, subjek terlebih dahulu memahami definisi dari bentuk akar, menyelesaikan perkalian yang terdapat dalam kurung kemudian mengubahnya dalam bentuk akar. Definisi bentuk akar adalah penyebutan untuk bilangan berakar yang hasil akarnya merupakan bilangan irrasional. (hasilnya berbentuk bilangan berpangkat pecahan)
kemudian diubah ke dalam bentuk akar sehingga menjadi . merupakan
bilangan irrasional sehingga penyelesaiannya dapat dinyatakan dalam bentuk akar.Subjek ACD dan FKD pada soal nomor 6b seperti pada Gambar 9, subjek sama-sama belum memahami soal sehingga subjek tidak dapat menentukan soal nomor 6b ke dalam bentuk akar.
a) Subjek ACD
b) Subjek FKD Gambar 9. Pemahaman pada Tahap Skema Soal Nomor 6b
Soal nomor 6c diketahui “Apakah sifat-sifat operasi bilangan berpangkat sangat erat kaitannya dengan bentuk akar? Jelaskan pendapatmu!” Langkah penyelesaiannya adalah memahami hubungan antara sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat dengan bentuk akar karena sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat sangat erat kaitannya dengan bentuk akar, bentuk akar dapat disederhanakan menjadi perkalian dua buahh akar pangkat bilangan dengan salah satu akar memenuhi definisi jika dan jika – jika
kemudian juga dapat mengubah bilangan berpangkat pecahan ke dalam bentuk akar dengan bilangan bulat tidak negatif dengan syarat tidak ada bilangan yang hasil kuadratnya sama dengan dan sebaliknya.
a) Subjek ACD
b) Subjek FKD Gambar 10. Pemahaman Subjek pada tahap skema soal nomor 6c
Subjek ACD dan FKD pada soal nomor 6c seperti pada Gambar 10, subjek sama-sama menjawab sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat sangat berkaitan erat dengan bentuk akar, namun kedua subjek memiliki alasan yang berbeda untuk mengungkapkan pendapatnya. Subjek ACD berpendapat sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat sangat erat kaitannya dengan bentuk akar karena menyelesaikan bilangan berpangkat diubah ke dalam bentuk akar supaya mudah dalam menyelesaikannya. Subjek FKD berpendapat sifat-sifat operasi bilangan berpangkat sangat erat kaitannya dengan bentuk akar karena bilangan berpangkat nanti hasilnya akan memerlukan bentuk akar supaya menemukan jawabannya. Dari pendapat kedua subjek tersebut, kedua subjek belum memahami sifat-sifat operasi bilangan berpangkat dan bentuk akar sehingga subjek tidak dapat menjelaskan pendapatnya dengan benar pada soal nomor 6c yang telah diketahui.
Soal nomor 7 diketahui “Tentukan nilai dari jika !”.
Langkah penyelesaianya sebagai langkah awal, subjek memasukan nilai yang telah diketahui menjadi , setelah itu menyelesaikan bilangan berpangkat yang terdapat
dalam kurung kemudian menyelesaikan pengurangan sehingga diperoleh .
a) Subjek ACD b) Subjek FKD
Gambar 11. Pemahaman Subjek pada tahap skema soal nomor 7
Subyek ACD dan FKD pada soal nomor 7 seperti pada Gambar 11, subjek telah memahami soal dalam menentukan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat. Subjek FKD melakukan kesalahan dalam melakukan perhitungan. Subyek FKD memasukan nilai yang telah diketahui pada soal nomor 7 jika , , , sehingga
subjek FKD menyelesaikan bilangan berpangkat yang terdapat di dalam kurung kemudian menyelesaikan pengurangan yang ada di dalam kurung dan diperoleh , namun subjek FKD melakukan kesalahan dalam menyederhanakan
bilangan pecahan sehingga diperoleh . Berbeda dengan subjek ACD
menyederhanakan bilangan berpangkat dengan benar sehingga diperoleh . Pemahaman berdasarkan teori APOS dalam tahap skema, kesimpulan analisis yang dicapai pada soal nomor 7 untuk menentukan sifat-sifat pengoperasian bilangan tertentu. Kedua subjek ACD dan FKD sudah mencapai kemampuan pemahaman pada tahap skema.
PENUTUP
Pemahaman siswa kelas X Administrasi Perkantoran III SMK Negeri 1 Salatiga berdasarkan teori APOS pada topik bilangan berpangkat dan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat bervariasi. Berdasarkan hasil penelitian ini, kedua siswa pada topik bilangan berpangkat sama-sama memiliki pemahaman pada tahap objek. Siswa yang memiliki pemahaman tahap aksi dapat membedakan suatu bilangan berpangkat positif dengan bilangan lainnya dan menyatakan perbedaan bentuk bilangan berpangkat. Siswa yang memiliki pemahaman tahap proses menjelaskan cara menentukan nilai pemangkatan tertentu
dari suatu bilangan berpangkat. Siswa yang memiliki pemahaman tahap objek menyatakan contoh suatu bentuk bilangan berpangkat.
Topik sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat, kedua siswa sama-sama memiliki pemahaman pada tahap proses. Siswa yang memiliki pemahaman aksi membedakan sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat dan menyatakan perbedaan sifat-sifat-sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat. Siswa yang memiliki pemahaman pada tahap proses menjelaskan cara menentukan nilai pemangkatan tertentu dari suatu sifat-sifat pengoperasian bilangan berpangkat.
DAFTAR PUSTAKA
Aga. 2014. Analisis Kesalahan Siswa Kelas X SMA 1 Islam Gamping Yogyakarta dalam Menyelesaikan Soal Matematika yang Berkaitan dengan Bilangan Berpangkat dan Bentuk Akar. Skripsi diterbitkan. Yogyakarta: FMIPA UNY
Andriyani, Dewi. 2008. Teori Belajar dan Pembelajaran. Jakarta: Universitas Terbuka.
Asiala, M., Cottril, J., Dubinsky, E., & Schwingendorf, K.E. 1997. The Development of Students’ Graphical Understanding of the Derivative. Journal of Mathematical Behavior. Vol 16(4) pp. 399-431.
Depdiknas. 2003. Pedoman Khusus Pengembangan Sistem Penilaian Berbasis Kompetensi SMP. Jakarta: Depdiknas.
Dubinsky, E. and Tall, D. 1991. Adveced Mathematical Thinking and Computer. Dalam D. Tall (ed) Adveced Mathematical Thinking. Dordrecht: Kluwer Academic Publishers. Hiebert, J. Carpenter, P. 1992. Learning and Teaching with Understanding. Dalam Douglas
A Growns (Ed.). Handbook of Research on Mathematics Teaching and Learning. New York: Mac millian Publising Company.
Hudojo, Herman. 1993. Mengajar Belajar Matematika. Surabaya: Usaha Nasional.
Nurdin, Lasmi. 2005. Analisis Pemahaman Siswa SMA Laboratorium Universitas Negeri Malang Tentang Barisan dan Deret Berdasarkan Teori APOS. Thesis tidak diterbitkan. Malang: Program Pasca Sarjana Universitas Negeri Malang.
Miles, M.B & Huberman, A.M. 1992. Analisis Data Kualitatif Terjemahan oleh Tjetjep R. Rohidi. Jakarta: Universitas Indonesia (UI-Press).
Purwanto, M. N. 1994. Prinsip-prinsip dan Teknik Evaluasi Pengajaran Pendidikan. Bandung: Remaja Rosdakarya.
Sanjaya, Wina. 2008. Kurikulum dan Pembelajaran Teori dan Praktik Pengembangan Kurikulum Tingkat Satuan Pendidikan (KTSP). Jakarta: Kencana.
Sugiyono. 2012. Metode Penelitian Kuantitatif, Kualitatif dan R&D. Bandung: ALFABETA Sumarmo, U. 1987. Kemampuan Pemahaman dan Penalaran Matematik Siswa SMA
Dikaitkan dengan Penalaran Logik Siswa dan Beberapa Unsur Proses Belajar Mengajar. Disertasi tidak diterbitkan. Bandung: Pascasarjana IKIP Bandung.
Suryadi, D. 2011. Membangun Budaya baru dalam Berpikir Matematika. Bandung: Rizqi Press. (online).
http://www.scribd.com/doc/93456342/Membangun-Budaya-Baru-Dalam-Berpikir-Matematika.Diakses 5 Juli 2016.
Virlianti, Y. 2002. Analisis Pemahaman Konsep Siswa dalam Memecahkan Masalah kontekstual pada Pembelajaran Matematika Melalui Pendekatan Realistik. Skripsi tidak diterbitkan. Bandung: Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA UPI.
