BEBERAPA SIFAT QUASI-IDEAL MINIMAL
PADA RING TRANSFORMASI LINEAR
1K a r y a t i
Jurusan Pendidikan Matematika FMIPA Universitas Negeri Yogyakarta e-mail : yatiuny@yahoo.com
Abstrak. Misalkan R adalah ring, Q R disebut quasi-ideal dari R jika RQ QR Q, dengan Q adalah subring. Quasi-ideal R yang dibangun oleh suatu himpunan X R adalah irisan semua quasi-ideal dari R yang memuat X, yang selanjutnya dinotasikan dengan X q. Quasi-ideal Q disebut quasi-ideal minimal jika dan hanya jika Q x q untuk semua
0 \ Q x .
Misalkan V dan W adalah ruang vektor atas lapangan F dan LF V,W menotasikan himpunan semua transformasi linear :V W. Misalkan k adalah bilangan kardinal tak hingga dan LF V,W,k LF V,W rank k . Himpunan LF V,W,k, membentuk grup abelian terhadap operasi jumlah biasa pada transformasi linear. Selanjutnya, untuk suatu LF W,V tertentu didefinisikan suatu operasi pada LF V,W,k , yaitu:
untuk semua , LF V,W,k . Himpunan LF V,W,k bersama operasi „+‟ dan „*‟ tersebut membentuk ring, yang selanjutnya dinotasikan dengan LF V,W,k , , . Dalam tulisan ini akan diselidiki sifat-sifat quasi-ideal minimal pada ring LF V,W,k, , . Diperoleh hasil sebagai berikut :Misal LF V,W sedemikian sehingga Ran Fu untuk suatu u W, Jika , LF W,W sedemikian sehingga u u maka dan Jika LF W,W sedemikian sehingga u au untuk suatu a F maka a . Hasil lain yang berhasil diselidiki adalah: Misal , LF V,W,k , jika q dalam ring
, , , ,W k V
LF maka Ran Ran . Misal LF V,W,k sedemikian sehingga memenuhi Ran Ker dan Ran Ker . Jika rank 1, maka q F dalam
, , , ,W k V
LF . Misal LF V,W,k sedemikian sehingga memenuhi Ran Ker dan Ran Ker . Jika rank 1, maka q adalah quasi- ideal minimal dalam
, , , ,W k V LF .
Kata Kunci: ring, quasi-ideal, quasi – ideal minimal
1. Pendahuluan
Ring merupakan struktur aljabar yang melibatkan dua operasi biner yang disebut operasi jumlah dan operasi perkalian. Terhadap operasi jumlah, ring membentuk grup abelian, sementara itu terhadap operasi perkalian membentuk semigrup. Selain itu harus bersifat distributif kiri maupun kanan. Ring terhadap operasi perkalian bersifat komutatif disebut ring komutatif. Selanjutnya jika memuat elemen satuan disebut ring dengan elemen satuan. Misalkan R adalah ring. Himpunan S R disebut subring jika S terhadap operasi yang sama pada R membentuk ring. Definisi ini ekuivalen dengan S membentuk sub grup terhadap operasi jumlah dan
membentuk sub semigrup terhadap operasi perkaliannya. Himpunan Q R disebut quasi-ideal dari R jika RQ QR Q, dengan Q adalah subring. Quasi-ideal R yang dibangun oleh suatu himpunan X R adalah irisan semua quasi-ideal dari R yang memuat X. Selanjutnya, quasi-ideal demikian dinotasikan dengan X q. Quasi-ideal Q disebut quasi-ideal minimal jika dan hanya jika Q x q untuk semua x Q\ 0 .
Diberikan V dan W adalah ruang vektor atas lapangan F dan LF V,W menotasikan himpunan semua transformasi linear :V W. Misalkan k adalah bilangan kardina tak hingga dan LF V,W,k LF V,W rank k . Diketahui bahwa
rank rank
rank untuk semua , LF V,W . Himpunan LF V,W,k , membentuk grup abelian terhadap operasi jumlah biasa pada transformasi linear ( [1]: p. 318 ). Selanjutnya, untuk suatu LF W,V tertentu didefinisikan suatu operasi pada
k W V
LF , , , yaitu: untuk semua , LF V,W,k . Terhadap operasi ini, k
W V
LF , , membentuk semigrup ( [3]: p.619 ). Juga berlaku distributif kiri dan kanan. Selanjutnya himpunan demikian dinotasikan dengan LF V,W,k, , ( [1]: p.317 ). Jelas bahwa himpunan ini membentuk ring. Perlu diingat bahwa semua quasi-ideal minimal dalam suatu ring adalah ideal utama ( [1]: p.318 ). Dalam tulisan ini akan diselidiki karakterisasi semua quasi-ideal minimal dalam suatu ring LF V,W,k, , dan mengindikasikan bilamana ring tersebut mempunyai quasi-ideal minimal.
2. Kajian Teori
Pada bagian ini akan diberikan beberapa istilah dan sifat-sifat yang mendukung dalam pembahasan artikel ini.
Definisi 1. ( [2] : p.1 ) Himpunan tak kosong S yang dilengkapi dengan operasi biner “ ”
dikatakan semigrup jika bersifat asosiatif yaitu : x,y,z S (x y) z x (y z)
Definisi 2. ( [2] : p.1 ) Misalkan S suatu semigrup, P S disebut sub semigrup jika terhadap operasi yang didefinisikan pada S , Pmembentuk semigrup.
Definisi tersebut ekuivalen dengan P tertutup terhadap operasi yang didefinisikan pada S .
Berikut diberikan definisi quasi-ideal suatu ring:
Definisi .3. ( [1]: p.317 ). Misalkan R adalah ring, maka Q R disebut quasi-ideal dari R jika RQ QR Q, dengan Q adalah subring.
Quasi-ideal R yang dibangun oleh suatu himpunan X R adalah irisan semua quasi-ideal dari R yang memuat X. Selanjutnya, quasi-ideal demikian dinotasikan dengan X q. Quasi-ideal Q disebut quasi-Quasi-ideal minimal jika dan hanya jika Q x q untuk semua x Q\ 0 . Beberapa sifat yang berlaku bahwa:
Proposisi .1. ( [1] : p.317). Misal Q suatu quasi-ideal ring R, maka berlaku:
i. Jika Q quasi-ideal minimal maka Q adalahsubringnol atausubringpembagi dari R. ii. Jika Q subringpembagi dari R, maka Q adalah quasi-ideal minimal dari R.
Proposisi.2. ( [1] : p.318). Untuk suatu himpunan tak kosong X R, maka berlaku XR
RX ZX
X q , dengan Z adalah himpunan semua bilangan integer.
Dari Proposisi 2 diperoleh akibat sebagai berikut:
Akibat 1. ( [1] : p.318). Dalam LF V,W,k, , , berlaku: k W V L k W V L Z F F q , , , , untuk setiap LF V,W,k Bukti:
Menurut Proposisi 2 berlaku bahwa untuk suatu himpunan bagian tak kosong X dari suatu ring R berlaku X q ZX RX XR. Dalam hal ini LF V,W,k, , adalah ring dan
, , , ,W k V LF sehingga LF V,W,k , , = LF V,W,k, , serta , , , ,W k V
LF = LF V,W,k, , , akibatnya dipenuhi persamaan sebagai berikut : q Z LF V,W,k LF V,W,k
3. Pembahasan
Misalkan F adalah suatu lapangan dan adalah suatu transformasi linear dari ruang vektor atas lapangan F, yaitu transfprmasi linear dari ruang vector V ke ruang vektor W , serta
V v suatu untuk w v W w
Ran , . Lemma berikut sebagai akibat dari kondisi u
F
Ran untuk suatu u W.
Lemma 1 . ( [1] : p.318). Misal LF V,W sedemikian sehingga Ran Fu untuk suatu W
u
i. Jika , LF W,W sedemikian sehingga u u maka
Bukti:
( i ). Ambil sebarang c F, sehingga berlaku cu cu cu cu . Diketahui bahwa W u F c cu v W cu V v w v W w
Ran ,untuk suatu untuk setiap dan suatu
W u F
c cu
Ran ,untuk suatu .
Selanjutnya, diperoleh bahwa Ran :cu cu cu sehingga berlaku
Ran
Ran . Hal ini mempunyai konsekuensi :
Untuk sebarang v V berlaku v v cu cu v v .
Sebagai akibatnya berlaku
( ii ). Dapat dipandang bahwa a a1 dengan W 1 W adalah pemetaan identitas di W
W
LF , . Sehingga u au.1W. Menurut bagian (i) sebelumnya berakibat . 1 a a W ■
Lemma berikut memberikan hubungan antara suatu transformasi dalam quasi-ideal minimal dengan transformasi pembangun quasi-idealnya:
Lemma 2. ( [1] : p.318). Misal , LF V,W,k , jika q dalam ring ,
, , ,W k V
LF maka Ran Ran . Bukti:
Diketahui q, sehingga menurut Akibat 1 berlaku t untuk suatu t Z dan suatu LF V,W,k .
Selanjutnya ambil w Ran , maka terdapat v V sedemikian sehingga berlaku:
v vt v vt t v v w
Akibatnya w Ran . Dengan demikian Ran Ran
■
Lemma berikutnya menjelaskan suatu kondisi yang menjamin bilamana quasi-ideal minimal F
q :
Lemma 3. ( [1] : p.318). Misal LF V,W,k sedemikian sehingga memenuhi kondisi Ran Ker dan Ran Ker . Jika rank 1, maka q F dalam
, , , ,W k V LF .
Bukti:
( i ). Dibuktikan F q
Misal u Ran \Ker dan u' Ran \Ker , maka u 0, u V dan W
u
u' 0, ' dan z u' untuk suatu z W \ 0 . Karena rank 1, sehingga Fu
Ran dan akibatnya u' a.u untuk suatu a F dan a 0
Misal B adalah basis untuk V yang memuat u dan B' adalah basis untuk W yang memuat u . Selanjutnya didefinisikan suatu transformasi linear sebagai berikut:
u B v jika u v jika u v \ 0 jikaw B u u w jika z a w '\ 0 1
Jelas bahwa LF V,W dan LF W,W . Dari definisi tersebut diperoleh bahwa W
V LF ,
, rank 1 , rank 1 sehingga , LF V,W,k . Berdasarkan definisi tersebut juga diperoleh:
a z a z a u a au u u u
u 1 1 1 ' 1 .
Karena Ran Fu, menurut Lemma 1, diperoleh . Sehingga untuk setiap b F, maka berlaku :
b b b , sehingga b LF V,W,k dan b b b , sehingga b LF V,W,k . Akibatnya k W V L b F , , LF V,W,k
Dengan kata lain jika b F , maka b LF V,W,k LF V,W,k dan menurut Akibat 1 maka b q . Dengan demikian terbukti F q. ( ii ). Dibuktikan q F
Ambil q, maka menurut Lemma 2 berakibat Ran Ran , dan menurut
Akibat 1 berlaku t untuk suatu t Z dan untuk suatu LF V,W,k . Akibat selanjutnya : Ran Ran t Ran .
Akan tetapi u Ran Fu (sebab rank 1), maka terdapat v V sedemikian sehingga v u. Akibat selanjutnya v v u cu untuk suatu c F.
Dengan demikian dipenuhi kondisi: W
V
LF , , Ran Fu, LF W,W sehingga u cu untuk suatu F
Dari (i) dan (ii) maka terbukti q F
■
Sebagai hasil akhir dari penelitian ini diperoleh hasil suatu kondisi yang dapat menjamin bilamana q membentuk quasi- ideal minimal dalam LF V,W,k , , .
Lemma 4. ( [1]: p.318). Misal LF V,W,k sedemikian sehingga memenuhi kondisi Ran Ker dan Ran Ker . Jika rank 1, maka q adalah quasi- ideal minimal dalam LF V,W,k, , .
Bukti:
Menurut Lemma 3, kondisi ini berakibat q F . Ambil q \ o , maka a untuk suatu a F, a 0
Akibatnya Ker Ker , sebab:
0 0 0 0 v a va va v v Ker v v Ker 0 ' ' Ker v
v , tetapi v' av" untuk suatu v" V. Akibatnya : 0
" "
" v a v
av , sehingga v" Ker dan karena v' av" sehingga a 1v' Ker atau a 1v' 0 atau a 1 v' 0. Diketahui a 0, sehingga a 1 0. Dengan demikian
0 '
v atau v' Ker
Akibat lain adalah Ran Ran , sebab:
Ambil w Ran , sehingga terdapat v V yang memenuhi v w, akibatnya va
a v
w . Disimpulkan bahwa w Ran .
Ambil w' Ran , sehingga terdapat v' V yang memenuhi, v' w'. Karena v' V, maka terdapat a F, a 0 dan v V sedemikian sehingga v' av. Akibatnya
v a v av
w' . Dengan kata lain w' Ran
Karena Ran Ran , maka rank 1 (sebab rank 1). Menurut Lemma 3, berakibat
q F , sehingga berlaku juga F F a Fa F . Akibatnya q= q.
■
4. Simpulan
Berdasarkan hasil penyelidikan di atas dapat disimpulkan bahwa:
i. Misal LF V,W sedemikian sehingga Ran Fu untuk suatu u W, maka berlaku: a. Jika , LF W,W sedemikian sehingga u u maka
ii. Misal , LF V,W,k , jika q dalam ring LF V,W,k, , maka Ran
Ran .
iii. Misal LF V,W,k sedemikian sehingga memenuhi Ran Ker dan Ker
Ran . Jika rank 1, maka q F dalam LF V,W,k, , .
iv. Misal LF V,W,k sedemikian sehingga memenuhi Ran Ker dan Ker
Ran . Jika rank 1, maka q adalah quasi- ideal minimal dalam , , , ,W k V LF . Daftar Pustaka
[1] Chinram, R., Kemprasit, Y. 2002. Minimal Quasi-Ideals of Generalized rings of Linear Transformations. PU.M.A Vol. 13, No. 3, p: 317 – 324.
[2] Howie, J.M, 1976. An Introduction to Semigroup Theory. Academic Press, Ltd, London [3] Kemprasit, Y. 2002. Regularity and Unit-Regularity of Generalized Semigroup of Linear
