Simbul skematik sumber tegangan AC adalah:

BAB II

ANALISA RANGKAIAN ARUS BOLAK BALIK Arus bolak-balik/Alternating Current (AC) adalah arus yang berubah tanda (polaritas) pada selang waktu tertentu. Arus bolak balik dapat berupa sinyal periodik maupun sinyal tak periodik. Sinyal periodik adalah suatu sinyal yang bersifat berulang untuk selang waktu tertentu yang sama (perioda) yang biasanya dinyatakan dalam fungsi sinusoidal.

Contoh sinyal AC diberikan pada gambar berikut, termasuk dibandingkan dengan sinyal DC.

AC _{DC DC}

Gambar 1, Perbandingan sinyal AC dan DC

Sinyal AC yang dibahas di sini hanya sinyal periodik dengan nilai tegangan atau arus rata-rata terhadap waktu sama dengan nol, atau

(

v t( ) = i t( ) =0

)

.

Tegangan AC dinyatakan sebagai v t( )=V_ocosωt diumpankan pada suatu komponen elektronik arusnya kemungkinan berbeda fasa dengan tegangan supply, misalnya dinyatakan sebagai

(

)

( ) _ocos

i t = I ω φt+ , seperti ditunjukkan pada gambar berikut ini.

Fasa (beda fasa) menunjukkan perbedaan dalam satu perioda, yang dinyatakan sebagai: 2 t

T

π

φ =

Secara umum sinyal listrik merupakan gabungan dari sinyal DC dan sinyal AC, yaitu ( )v t =V_DC +V_AC( )t .

Andaikan sinyal tegangan yang dikehendaki adalah sinyal tegangan DC (misalnya sumber tegangan DC), akibatnya komponen AC dari sinyal gabungan itu tidak dikehendaki dan sinyal AC ini dikenal sebagai tegangan ripple. Sebaliknya jika yang dikehendaki adalah sinyal AC dan ternyata masih ada sinyal DC-nya maka sinyal DC ini dikenal sebagai tegangan offset.

Tegangan ripple adalah tegangan AC yang terdapat dalam tegangan DC, untuk mengukurnya dilakukan dengan menggunakan osiloskop, dengan men-set kopling AC pada osiloskop sehingga kapasitor yang terdapat pada terminal input dipakai untuk mem-bypass tegangan AC dan menahan tegangan DC.

Tegangan offset adalah tegangan DC yang terdapat dalam sinyal AC. Untuk mengukurnya dapat dilakukan dengan men-set kopling DC

pada osiloskop. Naik/turunnya tegangan terhadap level tegangan nol (pada saat osiloskop di-set pada posisi GROUND) adalah tegangan offset yang dicari.

Gambar berikut yang menunjukkan gabungan dari sinyal AC dan DC yang diukur dengan osiloskop masing-masing dengan kopling AC dan kopling DC.

Gambar 2, Sinyal gabungan diukur dengan kopling AC dan DC Notasi

Notasi yang dipergunakan untuk besaran arus atau tegangan dalam elektronik mengacu pada standar IEEE, berikut ini adalah notasi yang biasa dipergunakan.

Tabel 1, Notasi besaran elektronika Besaran Variabel Indeks Contoh

Huruf Huruf

Sesaat total kecil besar iC , vBE

DC besar besar IC , VBE

Titik kerja besar besar + Q ICQ , VBEQ

Sesaat AC kecil kecil ic , vbe

RMS besar kecil Ic , Vbe

Maksimum

(sinusoidal) besar kecil + m Icm , Vbem Rata - rata besar besar + ave ICave , VBeave

PENGUKURAN RMS

Nilai rata-rata dari suatu sinyal listrik dinyatakan sebagai:

0 1 ( ) T V V t dt T

=

_∫

, untuk sinyal periodik

V t

( )

=

V

_o

cos

ω

t

diperoleh

0 0

1

1

2

cos

cos

0

T T o o

t

V

V

tdt

V

dt

T

T

T

π

ω

=

∫

=

∫

=

Sedangkan tegangan dan arus RMS dari sinyal sinusoida dinyatakan sebagai: 2 2_cos2 2 o rms o V V = v = V ωt =

(

)

2 2_cos2 2 o rms o I I = i = I ω φt+ =

Bentuk umum dari daya RMS adalah:

2_cos2 1 _cos

2

rms o o o

Untuk sinyal lainnya tidak lagi sama dengan 1 Amplitudonya

2× ,

misalnya untuk sinyal kotak (dengan duty cycle 50%) nilai RMS-nya = 1 Amplitudonya

2× .

Jika sumber tegangan AC diberikan ke hambatan secara seri, maka beda fasa antara tegangan dan arus adalah φ = atau cos0 φ = , 1 sehingga daya RMS yang diberikan pada hambatan R adalah:

1 2

rms o o

P = V I = V I_{rms rms}

BENTUK GELOMBANG

Bentuk gelombang: persamaan atau grafik yang menggambarkan karakteristik sinyal sebagai fungsi dari waktu.

1. step ( ) 0 untuk t-Ts < 0 untuk t-Ts > 0 S u t T A ⎧ − _{= ⎨} ⎩ 2. sinusoida v(t) = A sin (ωt + θ) 3. eksponensial v(t) = Au(t)e−t/TC

4. sinusoida teredam v(t) = Au(t)e−t/TC cos(ωt −φ)

5. pulse train

7. gelombang gigi gergaji 8. gelombang segitiga 9. dll

Bentuk gelombang lainnya merupakan gabungan sinyal dari fungsi step, sinusoida dan eksponensial.

Untuk sinyal eksponensial secara praktis akan menuju asimtotik setelah berdurasi 5× , dengan TT_c C adalah time constant (TC = RC)

yang berarti adalah waktu yang diperlukan oleh suatu sinyal untuk berkurang hingga 1 e dari sinyal maksimumnya, dengan e adalah bilangan natural (e = 2,7182828…).

Sinyal periodik

Untuk merepresentasi besaran sinyal periodik antara interval waktu 0 t T< < , parameter yang seringkali digunakan dalam satu observasi adalah:

1. Nilai peak: V_p = max

{ }

v t( )

2. Nilai peak to peak: V_pp = max ( )

{ }

v t −min ( )

{ }

v t

3. Nilai rata-rata: 0 1 ( ) T AVE V v t dt T =

∫

4. Nilai root-mean-square

[ ]

2 0 1 ( ) T RMS V v t dt T =

∫

5. Daya rata-rata: 2 RMS AVE V P R = 6. frequensi

7. fasa

REPRESENTASI BILANGAN KOMPLEKS

Untuk menyatakan sinyal periodik sinusoidal seringkali dinyatakan dalam bilangan kompleks A = x + j y, dengan x dan y adalah bilangan real dan j = √-1 (bilangan imajiner). Secara visual dapat dinyatakan dalam diagram phasor, seperti ditunjukkan pada gambar berikut.

R e a l

Ima

jiner

?

Gambar 3, Representasi bilangan kompleks A = x + j y = A (cos φ + j sin φ)

atau dalam representasi Euler

A = (x2 + y2)1/2 ejφ = A ejφ dengan _ejφ ₌cos_{φ + j}sin_φ

2 3 4 ( ) ( ) ( ) 1 2! 3! 4! j j j j e φ = + jφ + φ + φ + φ +" 2 4 3 5 1 2! 4! 3! 5! j e φ = −_⎜⎛ φ +φ − _⎟⎞+ j_⎜⎛φ −φ +φ − ⎞_⎟ ⎝ "⎠ ⎝ "⎠ Artinya cos_{φ =} Re

( )

_ejφ

( )

sin_{φ =}Im _ejφ

Representasi ini dapat dinyatakan dengan bentuk polar atau eksponensial yaitu A = A∠φ dengan: A = (x2 + y2)1/2 1 tan y x φ ₌ −

Dari besaran bilangan kompleks A = Aejφ dinyatakan garis radial seperti pada Gambar 3, jika garis tadi berotasi dengan kecepatan sudut ω, maka fungsi kompleks menjadi:

A= A ej(ωt+φ) Areal = A cos (ωt + φ)

Aimag = A sin (ωt + φ)

Kedua besaran tsb dipergunakan untuk mewakili besaran sinusoida, namun biasanya komponen real lebih umum dipergunakan.

Representasi Sinusoida

Sembarang sinyal periodik dapat digantikan menjadi kombinasi linear dari sinyal sinusoidal, dalam representasi Fourier dinyatakan sebagai:

( ) j ti

i

dengan Ai dan ωiadalah masing-masing amplitudo dan frekuensi dari

sinyal sembarang tsb.

Misal suatu sinyal arus sinusoida pada frekuensi tertentu dinyatakan dalam bentuk:

i = Io cos (ωt + φ)

Hal ini menunjukkan bahwa sinyal arus sinusoida periodik memiliki 3 parameter yaitu: ampltiduo Io, frekuensi ω, dan fasa φ. Namun dari

ketiga parameter tsb, dapat direduksi hingga menjadi dua parameter saja, yaitu Io dan φ. Reduksi dari tiga parameter menjadi dua

parameter, karena pada saat analisa hanya menganalisa pada frekuensi tertentu saja, dan besaran frekuensi itu tak berubah sehingga besaran frekuensi dapat diabaikan terlebih dahulu.

Sebagai contoh pada penjumlahan dua sinyal AC (i1 dan i2) dari

frekuensi yang sama pada satu titik simpul A akan menghasilkan arus listrik i3 dengan frekuensi yang sama pula, seperti ditunjukkan

berikut:

i

₁

i

₂

i

3

A

Gambar 4, Penjumlahan arus i3 = i1 + i2

= I1 cos (ωt + φ1) + I2 cos (ωt + φ2)

= I3 cos (ωt + φ3)

Terlihat bahwa frekuensi sinyal arus listrik i3 tetap tak berubah,

saja, yaitu amplitudo dan fasa. Dalam notasi phasor dituliskan sebagai 3 3 3 j i = I e φ . REPRESENTASI PHASOR

Suatu tegangan sesaat dinyatakan sebagai fungsi sinusoida yaitu : v(t) = Vm cos (ωt +φ) = V√2 cos (ωt +φ)

dengan Vm : amplitudo tegangan

V : tegangan efektif

Besaran v(t) tersebut dinyatakan sebagai komponen real dari suatu fungsi kompleks yaitu:

v(t) = Re {Vm ej(ωt+φ)} = Re { (Vejφ) (√2 ejωt) }

Terlihat ada dua komponen, yaitu komponen konstanta dan komponen fungsi waktu. Komponen konstanta dinyatakan dalam phasor V disebut transformasi tegangan v(t) sehingga :

V = V ejφ = V∠φ.

Seperti dijelaskan sebelumnya besaran ω tidak dimasukkan pada saat menganalisa, namun baru diperhitungkan bila diperlukan, yaitu pada saat untuk menyatakan hasil akhir.

Contoh:

Arus listrik dinyatakan sebagai i(t) = 2 sin ( 100t + π/6), hendak dinyatakan dalam repersentasi phasor. Karena definisi phasor menggunakan fungsi cosinus, persamaan arus tsb diubah menjadi:

i = 2 cos (100t + π/6 - π/2) = 2 cos (100t - π/3) atau dalam representasi phasor

OPERASI BILANGAN KOMPLEKS

Dua bilangan kompleks A dan Z dinyatakan sebagai: A = a + j b = A ejα = A∠α

Z = x + j y = Z ejβ = Z∠β Kesamaan

Besaran kompleks A dan Z sama jika a = x dan b = y Penjumlahan

A + Z = (a + x) + j (b + y) A - Z = (a - x) + j (b - y)

Dalam bentuk polar operasi penjumlahan tidak menyenangkan, berbeda dengan bentuk kartesia seperti di atas.

Perkalian

Dalam bentuk polar operasi ini jauh lebih menyenangkan, yaitu: A Z = (A ejα) (Z ejβ) = AZ ej(α+β) = AZ∠(α+β)

Namun jika dinyatakan dalam bentuk kartesia

A Z = (a + j b) (x + j y) = (ax - by) + j (bx - az) Pembagian

Dalam bentuk polar:

(

α β

)

β α − = =

∠

Z A Ze Ae j j Z A

Dalam bentuk kartesia 2 2 ) ( ) ( y x ay bx j by ax jy x jy x jy x jb a + − + + = − − × + + = Z A

Pangkat dan Akar

An = (A ejα)n = An ejnα =An ∠nα

1

n

n _{Α A= = (A e}jα₎1/n _{= A}1/n _ejα/n _{= A}1/n _∠α/n

Contoh 1

Hitung i3 =i1 + i2, jika ii = 3 cos ωt dan i2 = - 4 sin ωt, kedua besaran

tsb dinyatakan dalam satuan ampere Jawab:

i1 = 3 cos ωt = 1,5√2 ej0 Æ x1 = 1,5√2; y1 = 0

i2 = - 4 sin ωt = 4 cos (ωt + π/2) = 2√2 ejπ/2 Æ x2 = 0; y2 = 2√2

Diperoleh I3 = 2,5√2 ∠I3

dengan ∠I3 = tan-1 4/3

Sehingga i3 = I3 cos (ωt +∠I3 )

I3 = 2,5√2 √2 A = 5 A

artinya i3 = 5 cos (ωt + 53o) A

Contoh 2:

Carilah representasi phasor untuk bentuk gelombang: v1(t) = cos ωt,

v2(t) = - 2 sin ωt, v3 = - 3 cos ωt dan v4 = 4 sin ωt. Hitung :

v3(t) + v4(t)

Jawab:

Gunakan relasi cos (α + β) = cos α cos β - sin α sin β: Untuk v1 = cos (ωt) = cos (ωt+0)

V1 = ½√2 ej0 = 0,5√2 cos 0o + j 0,5√2 sin 0o = 0,5√2 + 0 j

Untuk v2 = - 2 sin ωt = 2 cos (ωt + 90o)

V2 = √2 ej90 = √2 cos 90o + j √2 sin 90o = 0 + √2 j

Untuk v3 = - 3 cos ωt = 3 cos (ωt + 180o)

V3 =1,5√2 ej180 = 1,5√2 cos 180o + j 1,5√2 sin 180o

= - 1,5√2 + 0 j

Untuk v4 = 4 sin ωt = 4 cos (ωt + 270o)

V4 = 2√2 ej270 = 2√2 cos 270o + j 2√2 sin 270o = 0 - 2√2 j

Diperoleh:

a. V1 + V2= 0,5√2 + √2 j = √5 ∠tan-1 3

atau v1 + v2 = √10 cos (ωt + tan-1 3)

b. V3 + V4 = -1,5√2 - 2√2 j = 2,5√2 ∠307o

atau v3 + v4 = 5 cos (ωt + 307o)

Contoh 3 :

Diketahui ZA = 3 ∠0o, ZB = 4 ∠90o dan ZC = 3 ∠-90o, tentukan Z11,

Z12, Z21 dan Z22 dari parameter-Z untuk rangkaian umum dua-port,

ZA ZB ZC I1 I2 V2 V1 Gambar 5, Rangkaian T Parameter dua port model-Z dinyatakan sebagai:

V1 = Z11 I1 + Z12 I2

V2 = Z21 I1 + Z22 I2

Atau dalam representasi matriks:

1 11 12 1 21 22 2 2 V Z Z I Z Z V I ⎛ ⎞ ⎛ ⎞⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠

Indeks 1 menunjukkan input dan 2 menunjukkan output. Diketahui bahwa 2 1 11 1 I 0 V Z I ₌ = , 1 1 12 2 I 0 V Z I ₌ = , 2 2 21 1 I 0 V Z I ₌ = dan 1 2 22 2 I 0 V Z I ₌ = . Jawab:

Dari parameter dua port tadi, diperoleh nilai Z11, Z12, Z21 dan Z22

adalah :

Pada saat I₂ = , tegangan 0 V₁ = I Z₁( _A +Z_C) Æ Z11 = ZA + ZC

Z11 = 3 ∠0o + 3 ∠-90o = 3√2 ∠-45o

Pada saat I₁ = 0, tegangan V₁ = I Z_{2 C} Æ Z12 = ZC = 3 ∠90o

Pada saat I₂ =0, tegangan V₂ = I Z_{1 C} Æ Z21 = ZC = 3 ∠90o

Z22 = 4 ∠90o + 3 ∠-90o = 1 ∠90o ZA ZC ZB _Z 1 1 Z22 Z12 =Z 21 IMPEDANSI

Ada tiga komponen pasif yang dibahas di sini yaitu R, L dan C. Resistif

Dalam sinyal DC hukum Ohm dinyatakan sebagai V =R I, demikian pula untuk sinyal AC untuk hambatan ohmik ideal hukum Ohm tetap berlaku, yaitu:

( ) ( )

v t = Ri t

dengan nilai R konstan terhadap frekuensi. Pembahasan berkaitan dengan hambatan telah diberikan pada bab sebelumnya.

Kapasitif

Kapasitor dipergunakan untuk menyimpan energi listrik. Konstruksi dasar kapasitor disusun atas dua buah plat metal sejajar, di antaranya diberi bahan dielektrik. Gambar berikut menujukkan konstruksi dasar kapasitor berikut dengan simbolnya.

Gambar 6, Konstruksi dasar kapasitor (a) , simbol kapasitor (b) dan simbol kapasitor non polar (c)

Kapasitansi C antara dua bidang permukaan didefinisikan sebagai: Q

C V =

dengan: V adalah beda potensial antara kedua permukaan bidang, Q adalah jumlah muatan positif yang terdistribusi di salah

satu permukaan bidang tsb.

Sebuah plat datar bermuatan dengan kerapatan muatan σ , dan luas penampang A, muatan totalnya adalah Q A= σ . Dengan menganggap luas penampang besar sekali A→ ∞ dari hukum Gauss diperoleh:

2 o Q E dA EA ε ⋅ = =

∫

G G

v

, sehingga medan listrik yang keluar dari plat bermuatan itu adalah

2 _o

E σ

ε

Jika ada dua buah plat bermuatan, masing-masing kerapatan muatan yang sama namun berbeda jenis dipisahkan dengan jarak d, maka akan timbul beda potensial di antara plat bermuatan itu sebesar

o

d V Ed σ

ε

= = , karena masing-masing plat memberikan kontribusi

muatan sebesar 2 _o

σ

ε , sehingga:

o total medan listriknya adalah

o E σ ε = o kapasitansinya adalah _C Q oA V d ε = =

Rating kapasitor dalam rentang 10 V hingga 104 V, dengan nilai pF (10-12 F) hingga dalam orde F. Seringkali menggunakan kode warna sama seperti pada hambatan, namun kadang pakai kode bilangan dengan 3 digit, misalnya 103 artinya _{10 10 pF 10 pF 0.01μF×} 3 ₌ 4 _{= ,}

sedang untuk 223 artinya _{22 10 pF 22 pF 0.022μF×} 3 ₌ 4 ₌

Kapasitor terbuat dari keramik, mylar, mika, tantalum, dan elektrolit dengan karakteristik ditunjukkan sbb:

Bahan Rentang Keterangan

Keramik 1 pF – 1 μF murah, akurasi rendah

Mylar 0.001μF – 100 μF murah, akurasinya lebih baik dari keramik

Mika 1 pF – 10,000 pF kualitasnya lebih baik

Tantalum 0.1 μF – 1000 μF akurasi rendah, polar (tak dapat digunakan pada sembarang rangkaian) Elektrolit 0.1 μF – 1 F tidak akurat dan polar

Kapasitor juga memiliki kapasitor variabel dengan simbol

Nilai C pada kapasitor variabel menunjukkan nilai maksimumnya. Kapasitor dalam rangkaian AC

Sebuah kapasitor dihubungkan dengan sumber tegangan AC seperti ditunjukkan pada gambar berikut.

Relasi antara tegangan dan arus dari rangkaian di atas adalah :

1 1

dv dQ

i dt = C dt = C

Dengan pemberian tegangan AC juga akan terjadi arus AC, untuk keadaan steady seringkali digunakan besaran reaktansi kapasitif XC,

pada kapasitor berlaku :

1

( ) _C ( ) ( )

v t X i t i t j Cω

= = ,

dengan: ω = 2 πf, f = frekuensi dalam hertz C : kapasitas dari kapasitor dalam farad.

Untuk tegangan DC atau tegangan yang invarian terhadap waktu (steady state) arus yang mengalir di kapasitor sama dengan nol, sedangkan untuk tegangan AC atau tegangan yang varian terhadap

waktu arus yang mengalir di kapasitor sebanding dengan perubahan tegangan terhadap waktu atau secara matematik dinyatakan sebagai: Dengan menggunakan relasi: Q = CV

( ) ( )

dq t dv t

i C

dt dt

= =

Dengan menggunakan representasi variabel kompleks: vc = Re [ Vc ejωt ] c c dV i C dt = = Re [ jωC Vc ejωt ] = Re [ Ic ejωt ] Ic = jωC Vc Atau V_C 1 I_c j Cω = Dengan demikian: X_C 1 j Cω = Æ reaktansi kapasitif

Dari hasil ini dapat disimpulkan bahwa:

1. Untuk besaran Ic dan Vc adalah besaran bilangan kompleks,

nilai XC mengecil terhadap membesarnya frekuensi (XC

berbanding terbalik dengan frekuensi).

2. Tegangan jatuh di kapasitor tidak dapat berubah sesaat jika arusnya finite. Hal ini dinyatakan dalam persamaan

1 1 1 ( ) ( ) ( ) t t v t i t dt v t C

=

∫

+ , untuk i(t) finite, berlaku:

1 1

lim ( ) 0 ( )

t t→ v t = +v t .

Ada empat fungsi dasar kapasitor yang biasa digunakan dalam suatu rangkaian listrik:

1. Karena kapasitor dapat menyimpan energi, sehingga kapasitor dapat digunakan sebagai sumber arus atau tegangan (non ideal). 2. Karena kapasitor dapat melewatkan arus AC namun mem-blok

arus DC, sehingga dapat digunakan untuk menghubungkan suatu rangkaian yang beroperasi pada level tegangan DC yang berbeda.

3. Sebuah kapasitor dan resistor yang dipasang secara seri akan membatasi arus, sehingga sinyal tegangan lancip (sharp) dapat diperhalus.

4. Pengisian (charging) ataupun pembuangan (discharging) kapasitor dengan arus konstan mengakibatkan slope tegangan juga konstan, yaitu dV I

dt = C = konstan.

Perhatikan:

1. Kapasitor elektrolit bersifat asimetrik dengan polaritas yang tidak dapat ditukar.

2. Rangkaian listrik real (non-ideal) selalu ada stray capacitance, arus bocor dan kopling induktif pada frekuensi tinggi. Æ Untuk menganalisa problem ini biasanya diabaikan.

3. Kapasitor tidak bisa menyimpan energi secara terus menerus (indefinite), karena bahan dieletrik yang dipakai bukan bahan insulator sempurna.

4. Beda potensial yang terdapat di antara plat kapasitor masih ada walaupun sistem telah dimatikan! Buanglah energi yang tersimpan di kapasitor terlebih dahulu, sebelum memeriksa rangkaian.

Rating tegangan

Bahan dielektrik yang mengisi antara dua plat kapasitor, bisa sangat tipis dengan tujuan untuk mendapatkan nilai kapasitansi yang besar. Namun perlu diingat bahwa dengan pemberian beda potensial antara kedua plat akan akan merusak bahan dielektrik yang berakibat hubung singkat antara kedua plat kapasitor tsb. Kemampuan bahan dielektrik tsb dikenal sebagai dielectric strength. Untuk memperbesar rating tegangan dapat dilakukan dengan menyusun kapasitor secara seri, namun kapasitansi-nya berkurang.

Induktif

Dalam suatu loop kawat tertutup yang dialiri arus I, menurut Ampere berlaku:

o

B dl⋅ =μ NI

∫

G G

v

Hal ini menunjukkan bahwa medan magnet dari lilitan kawat yang dialiri listrik besarnya adalah:

o

B=μ nI,

dengan n : jumlah lilitan per-satuan panjang n N L

⎛ ₌ ⎞

⎜ ⎟

⎝ ⎠.

Jumlah garis gaya magnet yang melewati lilitan kawat itu adalah:

B dA

Induktansi dari suatu loop didefinisikan sebagai: 2 o BA A L I I r μ π Φ = = = ,

sedangkan hubungan tegangan dengan arus listrik pada induktor dinyatakan dari hukum Henry-Faraday, yaitu:

L

di

V L

dt = − ,

tanda minus menunjukkan bahwa potensial listrik berlawanan dengan perubahan arus.

Dengan L adalah induktansi lilitan, satuannya adalah henry (H). Satuan yang lebih umum digunakan adalah μH atau mH.

Dari persamaan hukum Henry-Faraday dapat diasosiasikan bahwa persamaan yang berlaku pada kapasitor dapat digantikan juga untuk induktor, dengan mengganti C dengan L dan saling tukar i(t) dan v(t). Artinya bahwa induktor berkecenderungan memperhalus perubahan arus, sama seperti pada kapasitor akan memperhalus perubahan tegangan. Namun perlu diingat bahwa untuk arus konstan (DC) tidak ada tegangan induksi.

INDUKTOR DALAM RANGKAIAN AC

Perhatikan rangkaian berikut ini yang terdiri atas sebuah induktor dihubungkan dengan sumber tegangan AC.

Relasi antara arus dan tegangan dari rangkaian di atas adalah: 0

di v L

dt

atau

∫

vdt Li= .

Dengan memanfaatkan relasi tegangan dan arus AC, yaitu:

v

vdt Li

jω

= =

∫

, sehingga v= j Liω . Dari hukum Ohm besaran

L

X = j Lω dapat dikatakan sebagai reaktansi induktif (XL sebanding

dengan frekuensi).

Nilai XL membesar terhadap pertambahan frekuensi. Namun perlu

diingat bahwa induktor tidak ada yang benar-benar induktor murni, melainkan selalu ada hambatan pada lilitan kawat dan juga ada kapasitansi diantara lilitan kawat tsb

Dengan menggunakan representasi variabel kompleks , dari : di

v L dt = ,

dengan iL = Re [IL ejωt], diperoleh vL = Re [j ω L IL ejωt]. Hasil ini

sama seperti yang diperoleh sebelumnya, yaitu X_L = j Lω .

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan untuk memilih induktor (seringkali juga disebut choke), diantaranya adalah:

1. nilai induktasinya dapat bernilai 1 μH hingga 1 H, menggunakan kode warna sama seperti hambatan (namun dalam μH)

2. nilai hambatan DC dari coil tsb,

3. nilai induktansi dapat diperbesar dengan menyisipkan inti besi atau ferrite yang permeabilitasnya besar

4. arus maksimum yang diperkenankan dari coil tsb, 5. tegangan breakdown antara coil dengan frame, 6. rentang frekuensi yang diperkenankan.

Perhatikan bahwa pada rangkaian arus DC, kapasitor akan berkelakuan sebagai rangkaian-open, sedangkan pada induktor akan berkelakuan sebagai rangkaian-short.

RANGKAIAN RC SERI

Kapasitor dihubungkan seri dengan hambatan seperti pada gambar berikut.

vs

(t) _R

C i

Gambar 7, Rangkaian RC seri Berdasarkan KVL untuk rangkaian AC, berlaku:

Σ emf - Σ IZ = 0 Vs - _{j Cω}1 Ic - Ic R = 0 Vs = Ic [_{j Cω}1 + R] ⇒ Ic = V R _{j C} s + _ω1

Contoh untuk Vs = 5 cos ωt volt ; R = 2 Ω dan Zc = 2 Ω, diperoleh:

Ic = V R _{j C} s + _ω1 = V R j _C s − _ω1 = 5 2− j2 = 5 2 2 ∠ −π /4 = 1,25 √2 ∠π/4

Jadi untuk vs = 5√2 cos ωt

Rangkaian RC seri tanpa sumber seperti ditunjukkan pada Gambar 8, dengan menganggap bahwa kapasitor sudah terisi.

R C

Gambar 8, Rangkaian RC tanpa sumber.

Dengan menggunakan hukum Kirchoff, Gambar 8 dapat dinyatakan sebagai d V_i 0 dt

∑

= Æ 0 C R dV dV dt + dt = , atau I RdI 0

C + dt = . Solusi persamaan differensial ini adalah /

( ) t RC

o I t = I e−

dengan I_o = I t( = 0) adalah arus awal, yaitu: o o V I R = , ( 0) o

V =V t = adalah tegangan awal, RC

τ = adalah konstanta waktu.

Terlihat bahwa untuk waktu t → ∞ , arus I t( )→0. Rangkaian RL seri

Dengan mengganti kapasitor dengan induktor pada rangkaian Gambar 7, dan dengan mengikuti KVL, diperoleh : V = I R + I jωL = I (R + jω). Sehingga impedansi total untuk RL seri adalah:

Rangkaian LC

Perhatikan rangkaian LC berikut ini:

L C

Berdasarkan hukum Kirchoff, berlaku: V_L +V_C =0 . Dengan melakukan subsitusi untuk V dan _L V , diperoleh: _C

0 dI Q L dt + C = dengan menggunakan I dQ dt

= , diperoleh persamaan atas menjadi:

2

2 0

d Q Q L

dt + C =

Persamaan ini adalah persamaan differensial orde dua, dengan salah satu solusi umum berbentuk:

cos( )

o

Q Q= ω φt+ ,

dengan Q_o, dan ω φ masing-masing adalah muatan total mula-mula, frekuensi sudut dan sudut fasa. Dengan menggunakan syarat batas

max o

Q =Q , diperoleh tegangan dan arus pada kapasitor adalah:

( ) cos ( ) sin cos( / 2) ( ) ( ) cos cos o r r o r o r o r o r Q t Q t dQ I t Q t I t dt Q Q t V t t V t C C ω ω ω ω π ω ω = = = − = − + = = =

dengan _r 1 LC

ω = adalah frekuensi sudut alami.

Perhatikan bahwa pada rangkaian LC, arus yang mengalir pada rangkaian itu berosilasi, karena energi yang tersimpan di rangkaian tsb akan digunakan bersama-sama secara berulang antara kapasitor dan induktor. Sedangkan pada rangkaian RL dan RC berupa arus transien, energi yang tersimpan di induktor atau di kapasitor akan dibuang ke hambatan.

Impedansi total dari komponen LC tsb adalah:

(

)(

)

(

) (

)

1 1 1 1 1 1 L C L C L C j C j C Z Z j L C Z Z Z Z Z j C j C C C ω ω ω ω ω ω − ⎛ ⎞ − =_⎜ + _⎟ = = = + + − ⎝ ⎠ 2 1 j L Z LC ω ω = −

Pada saat ω =1 LC , diperoleh Z → ∞. Rangkaian RLC seri

R C

L

Dengan menerapkan hukum Kirchoff:

2 2 0 0 di Q L Ri dt C d Q dQ Q L R dt dt C + + = + + =

Solusi persamaan ini tidak hanya bergantung pada syarat awal melainkan juga dengan nilai relatif dari komponen masing-masing. Ada tiga kemungkinan solusi, yaitu:

1. Under damped (_R2 _{< 4L C) Æ Ae}−t/τ _cos

(

ω φ_{t +}

)

2. Over damped (_R2 _{> 4L C) Æ} / ₁ / ₂ 1 2 t t A e− τ + A e− τ 3. Critically damped (_R2 _{= 4L C) Æ} / 1 2 (_{A + A e}) −t τ Rangkaian RLC paralel v(t ) iC iL iR i

Gambar 9, Rangkaian RLC paralel

Jika komponen R, L dan C dipasang paralel dengan sumber tegangan V, seperti ditunjukkan pada Gambar 9. Arus yang mengalir pada masing-masing komponen adalah :

R R = V I , _L j Lω = V I dan I_C = j Cω V . Sehingga arus total adalah:

I = j C

R + j Lω + ω

V V

V,

impedansi dapat dicari dari konduktansi total Y = 1 1 1 j C

Contoh:

Jika pada rangkaian RLC paralel menggunakan sumber tegangan 12√2 cos (1000t + π/4) volt dan masing masing komponen adalah 10 Ω, 30 mH dan 100 μF, tentukan arus total yang mengalir dihitung dengan cara menghitung arus yang mengalir di masing-masing komponen. (tegangan efektif = 12 volt)

Jawab Dengan V = 12∠45o R R = V I = 1/10 x 12∠45o = 1,2∠45o = 0,6√2 + j 0,6√2 L j Lω = V I = 12∠45o : 30∠90o = 0,4∠-45o = 0,2√2 - j 0,2√2 C = j Cω I V =0,1∠90o x 12∠45o = 1,2∠135o = -0,6√2 + j 0,6√2 Sehingga Itotal = 0,2√2 + j = 1,08∠tan-1 2,5√2 = 1,08∠74,2o

Jadi i(t) = 1,08√2 cos (1000t + 74,2o_{) ampere.}

Contoh

Rangkaian LC paralel dioperasikan pada frekuensi dibawah frekuensi resonansinya ω_o =1 LC. Apakah bersifat induktif atau kapasitif?

Frekuensi resonansi rangkaian LC adalah ω_o =1/ LC . Impedansi rangkaian LC paralel adalah

2 1 1 1 LC j C Z j L j L ω ω ω ω − = + = , atau 2 2 2 1 1 / _o j L j L Z LC ω ω ω ω ω = = − − .

Untuk frekuensi dibawah frekuensi resonansi, penyebutnya selalu positif sehingga rangkaian LC tersebut bersifat induktif

Contoh:

Rangkaian berikut ini diberi tegangan bolak balik dengan amplitudo Vo dan frekuensi ω=1/ LC . Tentukan:

a. arus yang mengalir di hambatan dalam L, R, C, dan Vo.

b. beda fasa antara arus dan tegangan.

L C

R

V

Jawab:

Anggap sumber ideal (tidak ada informasi hambatan dalamnya). Impedansi rangkaian tsb adalah:

2 2 2 2 1 1 1 1 R R j CR Z j L j L j L R j C j CR C R ω ω ω ω ω ω ω − = + = + = + + + + 2 2 2 2 2 2 2 1 1 R CR Z j L C R C R ω ω ω ω ⎛ ⎞ = + _⎜ − _⎟ + _⎝ + _⎠ 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 R L LC R CR Z j C R C R ω ω ω ω ω ⎛ + − ⎞ = _{+ ⎜ ⎟} + _⎝ + _⎠

dengan memanfaatkan ω =1/ LC, diperoleh impedansi adalah: 2 2 2 1 RL L Z j L CR L CR LC ⎛ ⎞ = _{+ ⎜ ⎟} + _⎝ + _⎠

Arus total yang mengalir di rangkaian tsb adalah: I_tot V Z =

Sedangkan arus yang mengalir di hambatan adalah: 1 1 R tot i I j CRω = × +

{

}

2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) R V V i j CR RL L ja b jc j L CR L CR LC V b ac j c ab V b ac j c ab b ac c ab ω = × = × + ⎛ ⎞ + + + ⎜ ⎟ + _⎝ + _⎠ − − + = = − + + − + + dengan 2 2 2 , RL , L a CR b c L CR L CR ω ω = = = + +

Dengan demikian beda fasa antara tegangan sumber dan arus di hambatan sebesar _tan 1 c ab

b ac

δ ₌ − +

−

Konsep Penguatan

Penguatan adalah rasio dari tegangan (arus) output dengan tegangan (arus) input. Untuk memahami konsep penguatan, perhatikan gambar dua port berikut ini.

AC B E E C Io Ii Vo Vi

Gambar 10, Rangkaian dua port Penguatan tegangan o v i V A V = Penguatan arus o i i I A I = Penguatan daya o o o p v i i i i P V I A A A P V I = = =

(Perhatikan Vo, Vi, Io dan Ii adalah besaran rms).

Seringkali satuan penguatan adalah dB (desibel). Untuk penguatan tegangan dan arus: A_vdB =10logA_v

10log

idB i

A = A

Dan penguatan daya: A_pdB =10logA_p

Hambatan dalam input i i i V R I =

Hambatan dalam output _o o(max)

o V R

I

= ;

Io(max) : arus pada saat RL di short.

Daya yang diberikan oleh amplifier secara maksimum jika RL = Ro,

yaitu sebesar 2

o o L

P = I R , atau daya maksimum sebesar :

2 ₂ (max) (max) (max) 2 4 o o o o o o V V P R R R ⎛ ⎞ =_{⎜ ⎟} = ⎝ ⎠ Penguatan dalam dB 2 2 umumnya diabaikan / 10log 10log / =20log 10log o o L p i i i o L i i P V R A P V R V R V R = = −   atau 2 2 diabaikan

10log o 10log o L 20log o 10log L p i i i i i P I R V R A P I R V R = = = −   Sehingga 20log 20log o v i o i i V A V I A I = = Standarisasi

Untuk daya dalam telekomunikasi seringkali menggunakan besaran db(m) yaitu menggunakan standard 1 mW = 0 dB(m).

Untuk tegangan dipakai standard R = 600 Ω dalam hambatan terminal menggunakan patokkan tegangan standar sebesar 0,775 volt

(

V = P R× = 1mW ×600Ω .

)

Misalnya, untuk tegangan 5 V, 20log 5 16,2dB(V) 0,775

p

A = =

Contoh:

Perhatikan rangkaian berikut ini.

A

B C D

Tentukan:

a. fungsi transfer dari rangkaian ini, ( ) D i

V H s

V =

b. karakteristik frekuensi dari rangkaian ini.

c. penguatan tegangan K agar faktor damping ζ = 1/√2. Jawab:

a. Dengan mengganti R dengan konduktansi Y 1 R

= , diperoleh pada :

titik cabang B : (VB – VA) Y + (VB – VC) Y + (VB – VD) Cs = 0

- Y VA + (2 G + Cs) VB – Y VC – Cs VD = 0

- Y VB + (G + Cs) VC = 0

dengan VD = K VC = V2

VA = V1

Dari kedua titik cabang tsb digabung diperoleh:

-Y V1 + [(2Y + Cs) (Y +Cs)/Y – (Y + KCs)] VC = 0

atau

[(RCs)2 + (3 – K) RCs + 1] VC = V1

Sehingga fungsi transfer menjadi :

2 1 1 ( ) ( ) (3 ) 1 C D KV V K H s V V RCs K RCs = = = + − +

b. Dari fungsi transfer ini terlihat bahwa: |H(0)| = K Æ LPF dengan : frekuensi cut-off ωo2 = 1/RC,

faktor damping ζ = (3 – K)/2 Æ dapat diatur tergantung dengan pengutan

c. Agar ζ = 1/√2 Æ ( 3 – K ) = √2 Æ K = 1,29

Aplikasi lain dari kapasitor

Kapasitor dapat digunakan sebagai filter, rangkaian resonansi, diferensiator dan integrator. Disamping itu juga digunakan untuk by pass sinyal AC (mem-block sinyal DC) pem-filter-an sumber daya, pembangkit sinyal dan bentuk gelombang.

By pass sinyal AC dengan memanfaatkan sifat impedansi yaitu impedansi kapasitor berkurang terhadap kenaikan frekuensi.

Pem-filteran sumber daya: dasarnya adalah by pass sinyal AC. Umumnya sumber daya DC berasal dari sumber AC melewati suatu penyearahan dengan dioda, selanjutnya tegangan ripple dikurangi dengan menambahkan kapasitor yang bernilai besar ( ~ mF).

Pembentukan sinyal dan gelombang: dasarnya adalah jika kapasitor diberi sumber arus konstan akan membentuk tegangan ramp atau gigi-gergaji. Selanjutnya dengan memanfaatkan rangkaian RC dipakai untuk membentuk rangkaian timing atau delay.

LATIHAN

1. Arus listrik AC yang mengalir dalam rangkaian berikut ini dengan C = 0.25 μF dan R = 3 kΩ dan sumber tegangan V seperti gambar di bawah ini adalah :

i = 0,005 cos (1000 π t) (dalam satuan A)

V

R

C

a. tuliskan representasi kompleks dari persamaan arus di atas b. hitung tegangan jaruh pada kapasitor VC dan tegangan jatuh

pada hambatan VR

c. gambarkan diagram phasor (dalam 1 gambar) untuk I, VC,

VR dan V

d tuliskan representasi kompleks dari V (amplitudo dan fasanya)