Probabilitas. Hermita

Probabilitas

Hermita DP @2014

Materi

 Sejarah Probabilitas

 Konsep Dasar Probabilitas  Definisi Probabilitas

 Teori Dasar Probabilitas  Hukum Probabilitas

 Probability Theorem  Teknik Cacah

PERCOBAAN (TARUHAN)

3

TARUHAN Rp1.000.000,00

X Kalah Menang Y

Strategi??? _Menang??? Persentase

TARUHAN

PERCOBAAN (TARUHAN)

Pada permainan berturut-turut dari 2 pihak

dengan strategi :

“Apabila pada suatu permainan suatu pihak

mengalami kekalahan, maka maka pada

permainan selanjutnya, pihak yang kalah

memasang sejumlah uang yang lebih besar

dari uang yang dipasang pada permainan

sebelumnya”.

MANTINGAL

12/09/2014 5 -- indwi--

Probability is the

chance

that

something will happen

We can say that the probability of an event occurring will be somewhere between

impossible (0) and certain (1)

12/09/2014 6

exercise

a) The sun will rise tomorrow.

b) I will not have to learn maths at IT Telkom.

c) If I flip a coin it will land heads up.

d) If you have a choice of red, yellow, blue or

green you will choose red.

12/09/2014 7

Remember



The probability of an event will not be more than

1.

This is because 1 is certain that something will

happen.



And the probability of an event will not be less

than 0.

This is because 0 is impossible (sure that

something will not happen).

12/09/2014 8

12/09/2014 9 -- indwi--

Sejarah Probabilitas

 Tahun 1550 : Gerolamo Cardano (The Book on Dice Games)

 The Probability that one of two exclusive event occurs equals the sum their probabilities

 The Probability that two independent event occurs simultaneously equals the product of their probabilities.

Gerolamo Cardano dijuluki “The father of the theory probability”

 Penerus / pengembang teori probabilitas : Piere de Fermat (1600 -1665)

Blaise Pascal (1623-1662)

Christiaan Huyghens (1629-1695) Bernoulli (1654-1705)

Sejarah Probabilitas

 Tahun 1709 : Jaques (Jacob) Bernoulli menulis buku “Ars

Conjectandi”, yang terdiri 5 bagian, yaitu:

1. Menulis ulang “Liber de Ludo Aleae” (Book on Games of Chance) karya Cardano

2. Permutasi dan Kombinasi

3. Distribusi Binomial dan Multinomial 4. Teori Peluang/Probabilitas

Sejarah Probabilitas

 Abraham de Moivre :

- Teorema Limit Pusat (Central Limit Theorem)

- Distribusi Normal (1737), pendekatan distribusi Binomial untuk n yang besar (1738, The Doctrine of Chances)

- Diperluas oleh Laplace dalam buku Analytical Theory of Probabilities (1812)  Teorema De Moivre-Laplace.

- Jouffret (1872), memberi nama kurva lonceng (bell curve) terhadap distribusi Normal

- Nama distribusi Normal diberikan oleh S.Pierce, Francis Galton dan Wilhelm Lexis pada tahun 1875.

Pada abad ke 18, para pelopor teori probabilitas berikut aplikasinya :

Pierre – Simon Laplace (1749-1827) Simeon Denis Poisson (1777-1855)

Pada abad ke- 19 para ahli matematika terkemuka melanjutkan karya pendahulunya, yaitu:

P. Chebyshev (1821-1894) A. Markov (1856-1922) A. Lyapunov (1857-1918)

Konsep Dasar Probabilitas

Unsur peluang/probabilitas : 1. Random experiments 2. Sample space

PROBABILITAS

Konsep Dasar Probabilitas

Experiments Deterministic Experiments Random / Stochastic Experiments

If the results of the repeated experiments are exactly the same

If the results very in spite of all efforts to keep the experimental conditions the same

Sample spaces / ruang sampel ( Ω ):

Suatu set dari seluruh kemungkinan hasil Contoh: Pengundian sebuah dadu

Pengambilan kartu bridge yang lengkap

Ruang sampel diskrit

ruang sampel yang memuat perubah (variabel) acak diskrit, dimana

banyaknya elemen dapat dihitung sesuai dengan bilangan cacah (digunakan untuk data yang berupa cacahan atau dapat dihitung). Misalnya: banyak produk yang cacat, banyaknya kecelakaan lalu lintas di suatu kota dan sebagainya

Ruang sampel kontinu

ruang sampel yang memuat perubah (variabel) acak kontinu, yaitu memuat semua bilangan dalam suatu interval (digunakan untuk data yang dapat diukur). Misalnya: indeks prestasi, tinggi badan, bobot, suhu, jarak, umur dan sebagainya

18

Sample Spaces / Ruang Sampel

Events adalah subset dari sample spaces Contoh :

Misalkan kita ingin mempelajari seluruh keluarga yang memiliki 1, 2, atau 3 anak

Ω = {l, p , ll, lp, pl, pp, lll, llp, lpl, lpp, pll, plp, ppl, ppp} Keluarga manakah yang memiliki anak pertama laki-laki?

A = keluarga yang memiliki anak pertama laki-laki A = {l, ll, lp, lll, llp, lpl, lpp}

Konsep Dasar Probabilitas

• Sebuah event E dikatakan subset dari event F, jika pada saat E terjadi maka F juga terjadi. 

• Event E dan F dikatakan sama, jika dan

• Sebuah event dikatakan irisan (intersection) dari E dan F jika dia hanya terjadi pada saat E dan F terjadi  EF atau

• Sebuah event dikatakan gabungan (union) dari event E dan F, jika dia terjadi pada saat paling sedikit salah satu event

tersebut terjadi. 

• Sebuah event dinamakan complement dari suatu event E, jika dia terjadi hanya jika E tidak terjadi. 

F E  F E  F  E F E  F E  E Ec  

Chap 4-21

Visualizing Events



Contingency Tables



Tree Diagrams

Red 2 24 26 Black 2 24 26 Total 4 48 52

Ace Not Ace Total

Full Deck of 52 Cards Sample Space Sample Space 2 24 2 24

B

A



A

_B

B

A



A

B

A

B

B

dan

A

A

_B

B

A



A

A

c

S



A



A

c





S

A Sample space, S

Event, A

 Simple event

 Sebuah outcome (kemungkinan hasil) dari sample space dengan satu karakteristik event

Misal : Terambil sebuah kartu merah dari kartu bridge

 Complement of an event A (ditulis A’)

 Semua kemungkinan hasil yang bukan bagian dari event A Misal : Kartu yang bukan diamond

 Joint event

 Melibatkan dua atau lebih karakteristik event

Misal : Terambilnya kartu As warna merah dari kartu bridge

Jenis-jenis Events

 Mutually exclusive events

 Event yang tidak terjadi secara bersama-sama (saling asing)  tidak ada irisan

Contoh :

A = queen dari diamonds ; B = queen dari clubs

Konsep Dasar Probabilitas

 Collectively exhaustive events

 One of the events must occur

 The set of events covers the entire sample space

Konsep Dasar Probabilitas

Contoh : A = As ; B = Kartu warna hitam C = Diamonds; D = Hearts

A, B, C dan D adalah collectively exhaustive event (tetapi bukan mutually exclusive – sebuah As mungkin saja heart) B, C dan D adalah collectively exhaustive event dan juga mutually exclusive event

Experiment : Pelemparan/pengundian dua koin uang logam.

T

T

4 kemungkinan hasil

T

T

H

H

H

H

X : Event muncul “H” X Value Probability 0 1/4 = 0.25 1 2/4 = 0.50 2 1/4 = 0.25

Definisi Probabilitas

 Sebuah ukuran tingkat peluang

(likelihood of occurrence) dari sebuah kejadian yang tidak

pasti (uncertain event).

 Diukur dengan nilai antara 0 dan 1 (atau antara 0% dan 100%)

 Jumlah probabilitas dari mutually

exclusive dan collectively exhaustive event adalah 1 Pasti Mustahil 0.5 1 0 1 P(C) P(B) P(A)   

jika A, B, dan C mutually exclusive dan collectively exhaustive event

Pendekatan Perhitungan Probabilitas

Aksiomatik

Andrei N. Kolmogrov (1903-1987)

Subyektif

Frank P. Ramsey (1903-1930)

Pendekatan Klasik

Pendekatan

Frekuensi Relatif

Obyektif

Richard Von Mises

Definisi :

Misal Ω adalah sample space dan S merupakan event space. Probabilitas sebuah event A dinyatakan dengan P(A), mengikuti 3 aksioma berikut :

1. P(A) > 0 2. P(Ω) = 1

3. Jika A₁, A₂, A₃, … merupakan mutually exclusive events maka



           1 1 ) ( j j j j P A A P



Pendekatan Aksiomatik

Definisi Probabilitas

Didasarkan pada asumsi bahwa seluruh hasil dari suatu

eksperimen mempunyai peluang yang sama (equally-likely)  Tidak memperhatikan keyakinan perorangan.

 Dianggap sama untuk setiap peneliti (objektif).  Probabilitas ini dapat diketahui tanpa harus

melakukan suatu percobaan

Contoh: pelemparan/pengundian koin atau dadu.

Pendekatan Obyektif – Pendekatan Klasik

Pendekatan ini mendefinisikan probabilitas sebagai:

1. proporsi terjadinya peristiwa dalam jangka panjang bila semua kondisi stabil

2. frekuensi relatif peristiwa yang diamati melalui sejumlah besar percobaan

Contoh:

Jika 1000 kali pelemparan/pengundian koin menghasilkan kemunculan 529 tanda gambar,maka frekuensi relatif-nya adalah 529/1000

Pendekatan Obyektif – Pendekatan Frekuensi Relatif

Berlandaskan pada keyakinan individu, pengalaman, intuisi, dan justifikasi personal.

Ada perbedaan untuk setiap peneliti (subjektif). Contoh: pemasaran produk baru, ramalan cuaca, hasil pertandingan olah raga.

Jika tidak ada pengamatan masa lalu sebagai dasar,

maka pernyataan probabilitas tersebut bersifat subyektif.

Pendekatan Subyektif

Teori Probabilitas

Probabilitas (Peluang) :

Jika sebuah event dapat muncul dalam N cara yang “equally likely”, dan jika terdapat n buah cara diantaranya memiliki atribut A, maka probabilitas atau peluang terjadinya A,

dinyatakan dengan P(A), didefinisikan sebagai N

n A

P( ) 

Syarat Probabilitas (Peluang) : 1. P(A) > 0

Contoh :

Misalkan kita ingin mempelajari seluruh keluarga yang

memiliki 1, 2, atau 3 anak. Berapa peluang sebuah keluarga memiliki 2 anak perempuan?

Ω = {l, p , ll, lp, pl, pp, lll, llp, lpl, lpp, pll, plp, ppl, ppp} n(Ω) = N = 14

A = memiliki 2 anak perempuan

A = {pp, lpp, plp, ppl}  n(A) = 4 7 2 14 4 ) (    N n A P

Teori Probabilitas

Hukum Probability

 Hukum Penjumlahan (Additive Rule) P(A atau B) = P(A or B)

• Hukum Perkalian (Multiplicative Rule)

P(A dan B) = P(A and B) = P(A ∩ B) = P(A) P(B)



A

B



P

(

A

)

P

(

B

)

P

(

A

B

)

P











 Identity laws : (A∪∅ = A, A∩∅ = ∅)

 Idempotent law : (A∪A = A, A∩A = A)

 Complement law : (A∪A = S, A∩A =∅)

 Commutative law : (A∪B = B∪A, A∩B = B∩A)

 De morgan’s law : (A∪B = B∩A, A∩B = B∪A)

 Associative law : A∩(B∩C) = (A∩B)∩C A∪(B∪C) = (A∪B)∪C

 Distributive law : A∩(B∪C) = (A∩B)∪(A∩C)

Hukum Probability

Probability Theorems

Theorem 1 : P(Φ) = 0

Theorem 2 : If A

ϵ S

 P(A) < 1 then implies : 0 < P(A) < 1

Probability Theorems



A

B





B

A



A



















A

B

 

P

A

B



P

A

B

P

B

A

P

A

P

















)

(

Theorem 3 : If A, B

ϵ

S

then ) ( ) ( ) (A B P A P A B P     Proof : A B

B

A

B

A







)

(

)

(

)

(

A

B

P

A

P

A

B

P









Probability Theorems

 Corollary, theorem 3 :

If B A, then P(A – B) = P(A) – P(B)  Proof :

If B A, then A ∩ B = B

 P(A – B) = P(A) – P(A ∩ B) = P(A) – P(B)  Corollary :

_P

₍

_B

₎



₁



_P

₍

_B

₎

Proof : let A = Ω Theorem 3  P(Ω – B) = P(Ω) – P(Ω ∩ B) ) ( ) ( ; 1 ) ( ; ) ( ) ( B P B P P B P B P      

)

(

1

)

(

)

(

B

P

B

P

B

P











 

Probability Theorems

P(A

υ

B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) Proof :

A

B

A

υ

B = (A – B)

υ

(B – A)

υ

(A ∩ B)

P(A

υ

B) = P(A – B)

+

P(B – A)

+

P(A ∩ B) A = (A – B)

υ

(A ∩ B)

B = (B – A)

υ

(A ∩ B)

 P(A

υ

B) = P(A – B)

+

P(B – A)

+

P(A ∩ B)

P(A

υ

B) = P(A)

-

P(A ∩ B) + P(B) - P(A ∩ B) +P(A ∩ B) P(A

υ

B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B)

Probability Theorems

 Corollary 1 : P(A

υ

B) < P(A) + P(B)

Corollary 1 can be extended to an arbitrary of events

υ

A _j :

 



       j j j j P A A P



 Corollary 2 : if B = and A and B are disjoint, then

A

)

(

1

)

(

)

(

)

(

1



P

A



P

A



P

A





P

A

Probability Theorems

 Theorem 5 : if A,B



_S

and B A, then P(B) < P(A) Proof :

Corollary, theorem 3  P(A – B) = P(A) – P(B) And by axiom 1, P(A – B) > 0

P(A – B) > 0  P(B) < P(A)

Contoh

Seorang mahasiswa mengambil dua mata kuliah kalkulus ( I, II ). Misal A adalah event bahwa dia lulus kalkulus I

dan B adalah event bahwa dia lulus kalkulus II.

Jika dia menduga bahwa P(A) = 0,8 ; P(B) = 0,9 ; dan

P(A⋂B) = 0,75

a. Tentukan sample space untuk kasus tersebut

b. Dengan menggunakan diagram Venn, gambarkan Ω c. Nyatakan dengan kata-kata untuk events :

d. Tentukan probabilitas dari events pada bagian (c)

B

A



A



B

A



B

_A



_B

Contoh

Example

Solusi :

Misalkan pasangan ( x₁, x₂ ) masing-masing menyatakan lulus atau tidak lulus kalkulus I dan Kalkulus II.

Misal x_i = 1 menyatakan lulus, dan x_i = 0 menyatakan tidak lulus, maka

a. Ω = { (1,1),(1,0),(0,1),(0,0)} Ω

b. _{Region 1 2 3 4}

Outcomes (1,0) (0,1) (1,1) (0,0)

Contoh

c. (i) : lulus paling sedikit satu mata kuliah tersebut; lulus kalkulus I atau kalkulus II atau keduanya (regions 1,2 and 3)

(ii) : tidak lulus paling sedikit 1 mata kuliah tersebut; tidak lulus kalkulus I atau kalkulus II atau

keduanya. (regions 1,2 and 4)

(iii) : lulus kalkulus I dan tidak lulus kalkulus II ( region 1)

(iv) : tidak lulus kedua mata kuliah tersebut; (region 4)

B

A



B

A



B

A



B

A



Contoh

d. (i) P(A⋃B) = P(A) + P(B) – P(A⋂B) = 0,8 + 0,9 – 0,75 P(A⋃B) = 0,95 (ii) P(Ā⋃ ) = P(Ā) + P( ) – P(Ā⋂ ) = 0,2 + 0,1 - P(Ā⋂ ) = Ā⋂  P( ) = P (Ā⋂ ) P(Ā⋂ ) = 1 – P(A⋃B) = 1 – 0,95 = 0,05 P(Ā⋃ ) = 0,2 + 0,1 – 0,05 = 0,25 B B B B

B

A



_{B B} B

B

A



B

Contoh

(iii) P(A⋂ ) = ?

P(A) = P(A⋂B) + P( ⋂A) P(A⋂ ) = 0,8 – 0,75 = 0,05

B

B B

 Aturan untuk mencacah (menghitung) semua kemungkinan hasil (outcomes)

 Counting Rule 1:

Jika ada n mutually exclusive dan collectively exhaustive event yang berbeda dimana tiap event terdapat k percobaan, maka jumlah semua kemungkinan caranya adalah :

n

k

– Pengundian sebuah dadu : n(Ω) = 6 – Pengundian dua buah dadu : n(Ω) = 36

= 61 = 62 .

. .

– Pengundian k buah dadu : n(Ω) = 6k

Contoh :

 Counting Rule 2:

Jika ada k₁ event pada percobaan pertama, k₂ event pada percobaan kedua, … dan k_n event pada percobaan ke-n, Jumlah semua kemungkinan cara susunannya adalah :

Contoh:

Hasil dua pelemparan/pengundian uang logam dapat muncul dalam 4 cara. Pengundian uang logam pertama memiliki 2 cara kemunculan dan pengundian uang logam kedua memiliki 2 cara kemunculan, sehingga secara

keseluruhan terdapat 4 (= 2 x 2) cara kemunculan hasil pengundian 2 kali uang logam.

(k

₁

)(k

₂

)…(k

_n

)

 Counting Rule 3 (FAKTORIAL):

Jumlah cara dimana n objek dapat diurutkan

Contoh :

Ada berapa cara untuk mengurutkan 6 huruf A, B, C, D, E, dan F? (6*5*4*3*2*1 = 720)

n! = (n)(n – 1)…(1)

Permutasi (Counting Rule 4) Kombinasi (Counting Rule 5)

• Jumlah cara yang dapat dilakukan sebuah set objek dengan

memperhatikan urutan • Formula :

• Jumlah cara yang dapat dilakukan sebuah set objek tanpa

memperhatikan urutan • Formula : )! ( ! ) 1 ( ) 2 )( 1 ( ) , ( r n n r n n n n P P r n P _{n r r}n           )! ( ! ! ! ) , ( r n r n r P r n C C r n C r n n r r n            

Teknik Cacah

LATIHAN

 Dari 11 buku sastra dan 3 buku akuntansi akan dipilih 4 buku sastra dan 1 buku akuntansi dan diatur pada sebuah rak buku sehingga buku akuntansi selalu di tengah. Berapa banyak pengaturan tersebut yang mungkin?

 banyak cara pengisisan tempat pertama = C(11,1) = 11 banyak cara pengisisan tempat kedua = C(10,1) = 10 banyak cara pengisisan tempat ketiga = C(3,1) = 3 banyak cara pengisisan tempat keempat = C(9,1) = 9 banyak cara pengisisan tempat kelima = C(8,1) = 8 N = 11 * 10 * 3 * 9 * 8

N =

Latihan Permutasi

1. Ada 9 buku. berapa cara buku-buku itu bisa disusun pada seluruh rak sehingga :

a) 3 buku tertentu selalu bersama-sama

b) 3 buku tertentu tidak pernah bersama-sama

2. 6 buku biologi, 5 buku kimia, 2 buku fisika disusun pada rak buku. Berapa banyak cara penyusunan sehingga: a) Buku biologi bersamasama, buku kimia bersama-

sama, buku fisika bersama-sama

b) Jika hanya buku kimia saja yang bersama-sama.

Solusi No:1 Permutasi

 Latihan no 1a

Ada 9 buku (A, B, C, D, E, F, G, H, I)

3 buku tertentu (misal A, B, C) selalu bersama

kemungkinanya bisa ABC, ACB, BAC, BCA, CAB,CBA (walaupun mereka sudah BERURUTAN, ternyata letak antara A, B, dan C masih bisa DITUKAR)  PERMUTASI

9 Buku (3 selalu bersama-sama). Yg 3 buku ini kita anggap sebagai 1 kelompok, artinya sekarang ada 7 kelompok. Sehingga susunan yang mungkin = 7!* 3!

1. b

3 buku tertentu tidak pernah bersama, berarti 9!.dikurangi jawaban di atas, sehingga susunan yang mungkin= 9! - (7!*3!)

Solusi No: 2 permutasi

 2. a

Buku biologi bersama", buku kimia bersama", buku fisika bersama. Logikanya kitan anggap saja buku' yg sama itu sebagai 1 kelompok dan tiap kelompok bisa ditukar-tukar sedemikian rupa. Sehingga susunan yang

mungkin: 6! * 5! * 2! * 3! 2. b

Klo sekarang cuma buku kimia yang bersama-sama, berarti tinggal tiga kelompok. Sehingga susunan yang mungkin terjadi: 9! * 5! * 2!

Latihan Kombinasi

1. Terdapat 10 titik (A-J) pada suatu bidang. a) berapa garis yang dapat dibuat?

b) berapa garis yang tidak melalui A atau B? c) berapa segitiga yang dibentuk?

d) berapa segitiga yang mengandung sisi AB?

2. Seorang siswa diharuskan menjawab 8 dari 10 soal ulangan. berapa banyak cara jika menjawab 4 dari 5 pertanyaan pertama?

Solusi no: 1 Kombinasi

 Ada 10 titik

Berap garis yang dapat dibuat

kemungkinannya bisa AB, AC, AD,..., BC, BD, CD, ... dst (BA TIDAK TERMASUK karena BA dan AB adalah garis yang

sama, begitu juga dengan CA, DA, dst)

 1. a

Garis dapat terbentuk dari 2 titik artinya: 10C2 (Hitung sendiri)

 1. b

tidak lewat A atau B, berarti tinggal 8 titik, artinya: 8C2 (Hitung sendiri)

Solusi

 1. c

Segitiga terbentuk akibat tiga titik, jadi: 10 C 3 (Hitung sendiri)

 1. d

Artinya AB kita anggap 1 kelompok, sehingga sekarang terdapat 9 titik, jadi segitiga terbentuk 9C3 (Hitung

sendiri)

 2 cek lagi soalnya apa maksudnya, berapa banyak cara jika menjawab 4 dari 5 pertanyaan pertama

apa ya? Mungkin jika 4 soal pertama harus dikerjakan, jadi: 5C4

 Is a way of finding the coefficients for the binomial in a simple way.

 Start by writing the coefficients for n = 1: 1 1.

 Below this, the coefficients for n = 2 are found by putting 1’s on the

outside and adding up adjacent

coefficients from the line above: 1, 1 + 1 = 2, 1.

 Next line goes the same way: write 1’s on the outsides, then add up adjacent coefficients from the line above: 1, 1+2 = 3, 2+1 = 3, 1.

 For n = 5, coefficients are 1, 5, 10, 10, 5, 1.

Teknik Cacah

Teknik Cacah

Latihan :

• Misal terdapat 4 jenis pekerjaan yang dialokasikan untuk 7 orang pekerja. Jika 1 orang hanya dapat mengerjakan sebuah pekerjaan, berapa cara yang dapat dilakukan untuk menyusun pasangan pekerja dan pekerjaannya? • Misal 5 orang pekerja masing-masing akan ditempatkan

sebagai manajer atau pelatih suatu tim sepak bola. Berapa cara yang dapat dilakukan untuk menyusun pasangan

manajer dan pelatih, jika posisi jenis pekerjaan tidak diperhatikan?