ANALISA KESTABILAN PERSAMAAN
GERAK ROKET TIGA DIMENSI TIPE
RKX-200 LAPAN DAN SIMULASINYA
MOHAMMAD RIFA’I 1208100703
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER
SURABAYA 2012
1.1 Latar Belakang Indonesia sebagai negara yang berkembang Roket kendali 6 derajat kebebasan Tidak stabil Persamaan non linear Longitudinal dan lateral-directional
1.2 Rumusan Masalah
Bagaimana melinearisasi persamaan non linear gerak roket ?
Bagaimana menentukan kestabilan sistem persamaan gerak roket tipe RKX-200 LAPAN ?
1.3 Batasan Masalah
Roket dianggap rigid body (benda tegar)
Massa roket diasumsikan konstan
Sudut serang (angle of attack) dianggap nol
Fase yang diamati hanya pada fase sustainer (fase setelah pembakaran propelan atau bahan bakar utama habis pada
ketinggian tertentu)
Diasumsikan tidak terjadi coupling antara gerak longitudinal dan gerak lateral-directional
1.4 Tujuan
Untuk melinearisasi persamaan
nonlinear gerak roket
Untuk menentukan kestabilan
1.5 Manfaat
Memperdalam dan mengembangkan wawasan disipilin ilmu, terutama sistem persamaan
gerak roket
Sebagai dasar untuk mendesain sistem kendali yang tepat
Geometri Roket RKX-200 LAPAN
Didesain :
boosting stage sustaining stage
Karakteristik RKX-200 LAPAN
massa roket (m) 65.26 kg
luas sirip 0.04875 m2
busur aerodinamika rata-rata (c) 0.3249 m momen inersia roll (Ix) 0.012 kg m2
momen inersia pitch (Iy) 84.43 kg m2
momen inersia yaw (Iz) 84.43 kg m2
volume 0.0216 m3
Sistem
Sumbu Roket
Sumbu
badan
Sumbu
bumi
Sistem Sumbu Roket
No. Parameter sistem
sumbu badan
Sumbu-x Sumbu-y Sumbu-z
1. Kecepatan linear u v w
2. Kecepatan sudut p q r
3. Gaya aerodinamik X Y Z
4. Momen aerodinamik L M N
5. Momen kelembaman Ix Iy Iz
Model Persamaan Gerak Roket
Persamaan gaya
Linearisasi
Sistem
Karena adalah titik setimbang, maka
Dengan memisalkan
Kestabilan Sistem
Kestabilan ditentukan melalui nilai karakteristik
suatu sistem pada titik setimbangnya dapat dikatakan :
• Stabil, jika bagian real dari nilai eigen bernilai non-positif .
• Stabil asimtotis, jika bagian real dari nilai eigen bernilai
negatif .
• Tidak stabil, jika bagian real dari nilai eigen bernilai
positif .
Kriteria Kestabilan Routh Hurwitz
Jika diketahui suatu persamaan karakteristik
dengan orde ke-n sebagai berikut :
Dengan menggunakan akar karakteristik (nilai eigen), sistem dikatakan stabil atau mempunyai bagian real negatif jika dan hanya jika suku-suku pada kolom pertama memiliki tanda yang sama (positif atau negatif semua)
Obyek Penelitian
menganalisa kestabilan sistem persamaan gerak roket
tiga dimensi tipe RKX-200 LAPAN serta mensimulasikan dengan matlab.
Langkah Pengerjaan
Studi Pendahuluan
Linearisasi Model Persamaan gerak roket
Membentuk State Space dan Analisa Kestabilan
Simulasi Matlab
Linerisasi
4.1
4.2
4.3
4.4
Ketika kondisi rata-rata gangguan sangat kecil, maka dipenuhi asumsi :
a. perkalian (product) antar gangguan dapat dianggap nol.
b. sinus dari sudut gangguan dapat dianggap sama dengan sudut gangguan, sedangkan cosinus dari sudut gangguan dianggap sama dengan satu.
4.7
Persamaan 4.7-4.8 merupakan persamaan gerak roket yang terdiri dari persamaan pada kondisi trim dan persamaan gangguan
Karena pelinearan, maka persamaan pada kondisi setimbang diabaikan
Kasus khusus
• Kondisi terbang lurus (staight) menyebabkan • Kondisi terbang symetric menyebabkan
• Kondisi terbang dengan sayap mendatar • menyebabkan
• Kondisi terbang setimbang (trimmed)
persamaan gerak untuk perubahan kecil disekitar nilai kesetimbangannya atau disebut persamaan gangguan dari gaya dan momen.
Gangguan dalam analisa gerak roket sangat
berpengaruh pada gaya dan momen roket. Gangguan-gangguan ini secara tidak langsung ditransformasi ke dalam bentuk fungsi gangguan.
Dengan menyamakan antara persamaan gaya dan fungsi gangguan
Pembentukan Matriks State Space
Persamaan Gerak Longitudinal
Dalam analisa kestabilan, ada beberapa parameter yang
diabaikan seperti karena tidak berpengaruh terhadap
Disamping itu, Dengan menggunakan sumbu kestabilan
(keseimbangan) roket, dapat dianggap nol.
Sedangkan sama dengan sudut jalur terbang jika sudut
Untuk sudut lintas terbang = 0, maka persamaan gerak longitudunal menjadi :
State space persamaan longitudinal
Matriks output
No Output Matriks output
1.
2.
3.
Pada gerak lateral directional, parameter diabaikan karena tidak berpengaruh terhadap respon gerak roket.
Dengan memisalkan
Maka persamaan menjadi :
Dalam analisa kestabilan sideslip angles
Sering digunakan sebagai variabel state dari pada sideslip
velocity . untuk sudut serang yang sangat kecil maka
dipenuhi . Sehingga persamaan menjadi :
output gerak lateral-directional
No output Matriks output
1.
2. p
3. r
Analisa kestabilan
Stabil merupakan suatu kondisi sistem yang jika
mengalami gangguan dari dalam maupun luar mampu kembali ke kondisi titik kesetimbangan. Dalam hal ini, sebelum analisa kestabilan diperlukan suatu titik tetap kesetimbangan suatu sistem.
Titik tetap gerak longitudinal
Analisa kestabilan Routh Hurwitz
Gerak Longitudinal
Mencari nilai karakteristik Diperoleh
Sistem Dikatakan Stabil, Bila Kolom Pertama Bernilai Positif . Sehingga menurut kriteria Routh-Hurwitz, sistem persamaan gerak longitudinal dikatakan stabil apabila :
1. 2. 3. 4.
Analisa Kestabilan Routh Hurwitz
Gerak lateral-directional
Mencari nilai akar karakteristik : Diperoleh
Sistem Dikatakan Stabil Bila Kolom Pertama Bernilai
Positif. Sehingga menurut kriteria Routh-Hurwitz sistem
persamaan gerak lateral-directional dikatakan stabil apabila : 1.
2. 3. 4.
Uji Kestabilan Dan Simulasi
Gerak longitudinal
Matriks state space pada kecepatan 0.2 mach
Matriks state space pada kecepatan 0.5 mach
Matriks state space pada kecepatan 1.1 mach
Matriks state space pada kecepatan 1.3 mach
Matriks state space pada kecepatan 1.5 mach
Simulasi gerak longitudinal 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50 -2 0 2 4 6 8 Respon Sistem Waktu (detik) Kece pa ta n Li nea r Sum bu-z mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0 5 10 15 20 25 30 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 Respon Sistem Waktu (detik) la ju s udu t a ng g uk mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0 5 10 15 20 25 30 35 -5 -4 -3 -2 -1 0 Respon Sistem Waktu (detik) Kece pa ta n Li nea r Sum bu-x mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0 5 10 15 20 25 30 35 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 Respon Sistem Waktu (detik) Sud ut A ng g uk mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -40 -30 -20 -10 0 10 Respon Sistem Waktu (detik) Kece pa ta n Li nea r Sum bu-x mach 1.1 mach 1.3 mach 1.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -40 -20 0 20 40 60 80 Respon Sistem Waktu (detik) Kece pa ta n Li nea r Sum bu-z mach 1.1 mach 1.3 mach 1.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -15 -10 -5 0 5 Respon Sistem Waktu (detik) la ju s udu t a ng g uk mach 1.1 mach 1.3 mach 1.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -80 -60 -40 -20 0 20 Respon Sistem Waktu (detik) s udu t a ng g uk mach 1.1 mach 1.3 mach 1.5
Gerak Lateral Directional
Matriks state space pada kecepatan 0.2 mach
Matriks state space pada kecepatan 0.5 mach
Matriks state space pada kecepatan 1.1 mach
Matriks state space pada kecepatan 1.3 mach
Simulasi gerak lateral directional
Pengaruh Defleksi Rudder
0 10 20 30 40 50 60 70 80 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 Respon Sistem Waktu (detik) si des li p a ng le mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 2 4 6 8 10 12 Respon Sistem Waktu (detik) la ju sudu t ro ll mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0 20 40 60 80 100 120 0 10 20 30 40 50 Respon Sistem Waktu (detik) la ju sudu t y a w mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0 20 40 60 80 100 120 0 50 100 150 200 250 300 Respon Sistem Waktu (detik) s udu t ro ll mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0
Pengaruh Defleksi Rudder 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -40 -30 -20 -10 0 10 Respon Sistem Waktu (detik) Kece pa ta n Li nea r Sum bu-x mach 1.1 mach 1.3 mach 1.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 -40 -20 0 20 40 60 80 Respon Sistem Waktu (detik) Kece pa ta n Li nea r Sum bu-z mach 1.1 mach 1.3 mach 1.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -15 -10 -5 0 5 Respon Sistem Waktu (detik) la ju sudu t a ng g uk mach 1.1 mach 1.3 mach 1.5 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 -80 -60 -40 -20 0 20 Respon Sistem Waktu (detik) sudu t a ng g uk mach 1.1 mach 1.3 mach 1.5
Simulasi gerak Lateral-directional
Pengaruh Defleksi Aileron
0 10 20 30 40 50 60 70 80 -0.01 -0.005 0 0.005 0.01 Respon Sistem Waktu (detik) si des li p a ng le mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 Respon Sistem Waktu (detik) la ju sudu t ro ll mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0 20 40 60 80 100 120 0 0.02 0.04 0.06 0.08 Respon Sistem Waktu (detik) la ju sudu t y a w mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0 20 40 60 80 100 120 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Respon Sistem Waktu (detik) sudu t ro ll mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0
Pengaruh Defleksi Aileron 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 -0.25 -0.2 -0.15 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 Respon Sistem Waktu (detik) si des li p a ng le mach 1.1 mach 1.3 mach 1.5 0 10 20 30 40 50 60 70 80 0 0.002 0.004 0.006 0.008 0.01 0.012 Respon Sistem Waktu (detik) la ju sudu t ro ll mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0 20 40 60 80 100 120 0 0.02 0.04 0.06 0.08 Respon Sistem Waktu (detik) la ju sudu t y a w mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0 0 20 40 60 80 100 120 0 0.1 0.2 0.3 0.4 Respon Sistem Waktu (detik) sudu t ro ll mach 0.2 mach 0.5 mach 1.0
Kesimpulan
1. Uji kestabilan sistem persamaan gerak roket
yang dianalisa pada tiga kecepatan yaitu, mach
0.5, mach 0.2, mach1.0 diketahui bahwa
sistem telah stabil.
2. Uji kestabilan sistem persamaan gerak roke
pada mach 1.1, mach 1.3, mach 1.5 diketahui
bahwa sistem tidak stabil, karena terdapat nilai
eigen pada bagian realnya bernilai positif.
3. Pada analisa uji kestabilan yang dianalisa
melalui berbagai
kecepatan terbang roket,
diketahui kecepatan diatas mach 1.0 sistem
cenderung tidak stabil.
Saran
1. Pada model persamaan gerak roket perlu memasukkan efek pergeseran titik pusat massa (Central of Gravity) roket, karena pada hakikatnya titik pusat massa roket selalu berubah terhadap waktu .
2. Pada tugas akhir ini, kestabilan roket hanya pada fase sustaining saja. Peneliti selanjutnya bisa mengamati kestabilan roket pada fase boosting juga demi bisa menggambarkan secara utuh tentang kestabilan roket.
3. Dalam analisa data parameter terbang, perlu hati-hati dalam membaca output yang dikeluarkan oleh missile DATCOM.
4. Perlu menvariasikan ketinggian serta sudut serang roket agar didapatkan hasil perbandingan yang optimal.
5. Pada penelitian selanjutnya diharapkan melakukan sistem kontrol pada analisa gerak roket.
DAFTAR PUSTAKA
[1] Blackelock, J. (1990). Automatic Control of Aircraf and Missiles, USA : Yellow springs.
[2] Donald, M.D. (1990). Automatic Flight Control System, New York : Pretince Hall Internasional (UK).
[3] Fitria, D. (2010). Desain dan Implementasi Pengontrol PI Optimal Pada Gerak Longitudinal Roket RKX-200 LAPAN, Bandung : Tugas Akhir S1 Departemen Teknik Fisika ITB.
[4] Finizio, N. dan Landas, G. (1988). Ordinary Differential Equations with Modern Applications. California : Wadsworth Publishing Company. [5] Husnul, A.dkk. (2010). Stucture and Mechanic DIV, Bogor : LAPAN
[6] Nelson, R. (1998). Flight Stability And Automatic Control, USA : MCGraw-Hill.
[7] Olsder, G.J., 1994, Mathematical Systems Theory, Netherlands : Delftse Uitgevers Maatschappij b.v.
[8] Siouris, G. (2003). Missile Guidance and Control Systems, New York : Spinger-Verlag.
[9]Wahyuni, A dan Humas, P. (2009). Aspek-Aspek Terkait Dalam Merancang Roket Kendali RKX Pada Tahap Awal, Bogor : LAPAN.
