ANALISIS TERHADAP FUNGSI KERNEL POLINOMIAL PADA METODE KDDA UNTUK PENGENALAN WAJAH

(1)

ANALISIS TERHADAP FUNGSI KERNEL POLINOMIAL PADA METODE KDDA UNTUK PENGENALAN WAJAH

ANALYSIS OF KERNEL POLYNOMIAL FUNCTION ON KDDA METHOD FOR FACE RECOGNITION

Rustam Efendi¹, Fazmah Arief Yulianto², Eddy Muntina Dharma³

¹Teknik Informatika, Fakultas Teknik Informatika, Universitas Telkom

Abstrak

nonlinier, sehingga tidaklah mengherankan apabila teknik linier ekstraksi feature wajah seperti principle component analysis (PCA) atau linier discriminant

analysis (LDA) tidak dapat memberikan solusi yang cukup baik dan handal dalam mengatasi permasalahan nonlinier. Salah satu solusi dari kegagalan teknik linier ekstraksi feature wajah dalam masalah nonlinier adalah gagasan penggunaan fungsi kernel. Beberapa algoritma yang menggunakan fungsi kernel telah terbukti dapat mengatasi permasalahan nonlinier yang dihadapi teknik linier ekstraksi feature wajah, salah satunya adalah algoritma kernel direct discriminant analysis (KDDA) yang merupakan pengembangan dari algoritma direct linier discriminant analysis (DLDA) dan generalized discriminant analysis (GDA).

Tugas akhir ini menganalisa performansi dari metode KDDA yang

menggunakan kernel polinomial dengan melakukan pengujian dan perbandingan dengan metode direct fractional linear discriminant analysis (DF-LDA). Hasil dari pengujian menunjukkan bahwa performansi dari metode KDDA yang diukur dengan tingkat akurasinya adalah 49%-60% (2 sampel), 69%-75% (3 sampel), 82%-88% (4 sampel), 90%-94% (5 sampel), dan 98%-99% (6 sampel), sedangkan performansi dari metode DF-LDA adalah 56% (2 sampel), 70% (3 sampel), 84%

(4 sampel), 94% (5 sampel), dan 98% (6 sampel).

Kata Kunci : pengenalan wajah, metode kernel, KDDA, DF-LDA.

Abstract

Feature extraction is the fundamental problem in pattern recognition. It is well known that the feature distribution of face images under a perceivable variation in viewpoint, illumination and facial expression is highly nonlinear, so it is not suprising that linear techniques, such those based on principle component analysis (PCA) or linear discriminant analysis (LDA), cannot provide reliable and robust solution to those problems. One of solution to failure of linear techniques on feature extraction to those nonlinear problem is the idea of using kernel function. Some algorithm that utilize kernel function have been proved to overcome those problems faced by linear techniques on feature extraction, one of those algorithm is kernel direct discriminant analysis (KDDA) algorithm which generalized from linear direct discriminat analysis (DLDA) and generalized discriminant analysis (GDA).

This final task analyze the performance of KDDA method with kernel polynomial by experiment and compared it with direct fractional linear discriminant analysis (DF-LDA) method. The result of experiments on KDDA method performance are 49%-60% (2 sample), 69%-75% (3 sample), 82%-88%

(4 sample), 90%-94% (5 sample), and 98%-99% (6 sample), otherwise DF-LDA performance are 56% (2 sample), 70% (3 sample), 84% (4 sample), 94% (5 sample), and 98% (6 sample).

Keywords : face recognition, kernel method, KDDA, DF-LDA.

Tugas Akhir - 2007

(2)

Analisis Terhadap Fungsi Kernel Polinomial Pada Metode KDDA untuk Pengenalan Wajah

2. Landasan Teori

2.1 Kernel Trick

Kernel trick seperti yang dijelakan pada referensi [6] adalah metode untuk mengubah algoritma klasifikasi linier ke bentuk nonlinier-nya, dengan cara memetakan data pada real space, vektor ruang dari citra asli ke high-dimensional space, vektor ruang hasil transformasi citra asli, sehingga klasifikasi linier pada high-dimensional space akan ekivalen dengan klasifikasi nonlinier pada real space. Kernel trick akan mengganti dot product pada algoritma linier yang terdapat pada high-dimensional space dari fungsi transformasi x dengan fungsi kernel K x, y sehingga

y x y x

K , (2.1)

dan fungsi transformasi tidak perlu dikomputasi secara eksplisit. Fungsi yang dapat dikatakan sebagai fungsi kernel adalah fungsi yang memenuhi teorema Mercer’s :” setiap fungsi K x, y yang symetric non-negative definite dapat diekspresikan sebagai dot product pada high-dimensional space.”, secara formal, jika

0 ,

1 1

n

i n

j

j i j i x cc x

K (2.2)

Persamaan diatas menyatakan untuk setiap finite subset x_i, ,x_j dari X dan setiap subset c_i, ,c_j dari bilangan real, akan terdapat sebuah fungsi seperti pada persamaan (2.1).

2.2 Metode KDDA

Permasalahan pengenalan wajah seperti yang disebutkan pada referensi [5]

biasanya dinyatakan secara formal sebagai berikut : sejumlah L citra wajah training z_i ^L_i ₁ telah tersedia dan setiap citra wajah didefinisikan sebagai vektor dengan ukuran N I_w I_h dan z_i ^N, dimana I_w I_h adalah ukuran citra wajah dan ^N merupakan real space berdimensi N, dan setiap citra wajah merupakan anggota dari salah satu C kelas, W_i ^C_i ₁. Tujuan yang ingin dicapai adalah menemukan fungsi transformasi f , berdasarkan optimasi dari kriteria pembeda tertentu yang menghasilkan fungsi pemetaan y_i z_i , dengan

M

yi yang merupakan nilai pemisah antar objek wajah.

(3)

Penyelesaian masalah pengenalan wajah diatas menggunakan metode KDDA akan dijabarkan sebagai berikut [5]. Pertama kita misalkan : z ^N z H merupakan pemetaan non-linier dari real space ke high-dimensional feature space H, dimana kelas-kelas yang berbeda akan terpisahkan secara linier [5]. Matrik between-class scatter S , matrik within-class scatter _b S , mean populasi _w , dan vektor mean dari kelas ke-i _i pada feature space bisa didapatkan dari citra wajah training. dan _i dinyatakan sebagai

L

j

zj

L ₁ 1

(2.3)

Si

j j i

i z

S ₁ 1

(2.4)

dengan S adalah jumlah sampel citra untuk kelas ke-i. _i

Metode KDDA menggunakan dua buah matrik sebaran pada feature space yaitu S dan _b S , berikut adalah tahapan-tahapan dalam algoritma KDDA. _w

2.2.1 Analisa Eigen Matrik Sebaran S pada Feature Space _b

Tahap pertama dalam metode KDDA adalah analisa eigen dari matrik sebaran S pada feature space untuk mendapatkan eigenvector dan eigenvalue-nya. b

Persamaan dari matrik sebaran S adalah sebagai berikut : _b

C

i

T b b C

i T i i T

i i i

i

b L

S L

S S

1 1

~

(2.5)

dengan _i ⁱ _i

L

~ S

dan _b ~ ~_C

1 , karena dimensi dari feature space H memiliki ukuran yang sangat besar maka tidak mungkin untuk melakukan komputasi eigenvector secara langsung dari matrik S _b dengan dimensi sebenarnya, akan tetapi t C 1 eigenvector pertama yang paling signifikan dari S , yang memiliki eigenvalue tak nol bisa didapatkan secara tidak langsung dari b

matrik ^T_b _b (dengan ukuran C C) [7]. Komputasi ^T_b _b memerlukan perhitungan dot product pada H, hal ini dapat dilakukan dengan menggunakan pendekatan kernel, yaitu untuk setiap z_i , z_j H , terdapat sebuah fungsi kernel k seperti k z_i,z_j z_i z_j . Penggunaan fungsi kernel

(4)

memungkinkan kita menghindari perhitungan fungsi pemetaan ke high- dimensional space secara langsung. misal, untuk dua kelas W dan _l W dapat _h didefinisikan sebuah C_l C_h matrik dot product K sebagai _lh

h

l j C

C ij i

lh k

K 1, , ; 1, ,

(2.6)

dengan k_ij k z_li,z_hj _li _hj, kemudian untuk semua C kelas W_i ^C_i ₁, kita definisikan matrik kernel K_r berukuran L L.

C h C lh l

r K

K ₁_, _, _; ₁_,

(2.7)

Matrik kernel K memungkinkan kita untuk menuliskan _r ^T_b _b sebagai berikut :

C j C j i T i C T

C b

T

b 1 1 1, , ; 1, ,

~

(2.8)

dengan

T j T T

i j T i j i j T

i N

S

~ S

~

(2.9)

Selanjutnya tiap term pada persamaan (2.9) diatas ditulis ulang menggunakan matrik kernel K _r

C

l S

k C

h S

m km lh C

h S

m hm C T

l S

k lk

T ^l ^h ^l ^h

L k L

L ₁ ₁ ₁ ₁ ² ₁ ₁ ₁ ₁

1 1

1

(2.10)

LC r T LC C

j C i

T K

L1 1 1

, 2 , 1

; , , 1

(2.11)

C

l S

k S

m km lj j

S

m jm j C T

l S

k lk j

T ^l

j l j

LS k S

L ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁

1 1

1

(2.12)

LC r T C LC j C j i

T K A

L 1 1

, , 1

; , , 1

(2.13)

i l

l

i S

m C

l S

k mk il i

C

l S

k lk S T

m im i T

i k

LS L

S ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁

1 1

1

(2.14)

LC r T C LC

j C i T

i A K

L1 1

, , 1

; , , 1

(2.15)

(5)

i j

i j S

m S

n mn ij j

i S

n jn j S T

m im i j T

i k

S S S

S ₁ ₁ ₁ ₁

1 1

1

(2.16)

LC r T C LC j C j i T

i A K A

, , 1

; , , 1

(2.17)

sehingga

B L K

A L K

K L A A K A

LB ^r ^LC

T LC LC

r T LC LC

r T LC b

T

b 1 1 1

11 1 1

1

: 2 (2.18)

dengan B diag S₁ S_C , 1 _LC adalah matrik berukuran L C dengan semua nilai term sama dengan 1,

CC

c

LC diag a a

A 1 adalah sebuah matrik diagonal berukuran L C, dan

Ci

a adalah sebuah vector S _i 1 dengan semua nilai term sama dengan 1 S_i , misalkan _i dan e _i i 1 C adalah eigenvalue ke-i dan eigenvector yang bersesuaian dari ^T_b _b yang terurut dalam urutan decreasing berdasarkan eigenvalue-nya, karena _b ^T_b _be_i _i _be_i , maka v_i _be_i adalah eigenvector dari S . Eigenvectors yang digunakan hanya _b t C 1 eigenvectors yang pertama, V v₁ v_t _bE, yang memiliki eigenvalue lebih besar dari 0, dengan E e₁ e_t , hal ini dilakukan untuk menghilangkan null space pada S . Kesimpulan yang didapatkan dari penjabaran diatas adalah _b

b b TSV

V , dengan _b diag ₁² _t² merupakan sebuah matrik diagonal berukuran t t.

2.2.2 Analisa Eigen Matrik Sebaran S pada Feature Space _w

Analisa eigen S _w dimulai dengan mendefinisikan matrik U V _b¹², selanjutnya S dan _b S diproyeksikan ke subspace yang direntangkan oleh U _w yang menghasilkan U^TS_bU I dan U^TS_wU dapat dijabarkan sebagai

12 12

b b w T b T b w

TS U E S E

U (2.19)

dengan memamfaatkan matrik kernel K_r, ^T_bS_w _b dapat diuraikan sebagai

C j C j i w T i C w

T C b

w T

bS S S

, , 1

; , , 1 1

1

~

(2.20)

dengan

(6)

_j

C

l S

k

T l lk l lk T

i j w T i

l

S ~ L1 ~ ~

~

1 1

_j

C

l

C

l

T l l l T

l S

k lk C

l S

k

C

l S

k T lk l T

lk lk T

i S

L

l

l l ~

1 ~

1 1 1

1 1 1 1

C

l S

k

C

l

j T l l T i l j

T lk lk T i

l

L 1 1 1S

~

~ 1 ~

(2.21)

selanjutnya, term ^C

l S

k j

T lk lk T i

l

1 1

~

~ diuraikan menjadi

C

l S

k

T lk lk T j T lk lk T T lk lk T i j T lk lk T i j

C i

l S

k

j T lk lk T i

l l

L S S

1 1

~

(2.22) kemudian matrik kernel digunakan untuk menguraikan setiap term pada persamaan (2.22) sebagai berikut :

C

l S

k

C

l S

k S

m S

n

kn lj mk il j

i S

n jn T lk S

m lk T im j

i C

l S

k

j T lk lk T i

l i j l i j

l

k S k

S S

S ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁

1 1

1

~ 1

~

(2.23)

LC r r T LC C j C i C

l S

k

j T lk lk T

i A K K A

l

, , 1

; , , 1 1 1

(2.24)

C

l S

k

C

l

C

l S

k S

n C

h S

m

km lh nk il i

S

k

C

h S

m

hm T lk S

n lk T in i

T lk lk T i

l l i h l i h

k LS k

1 1 LS 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

1 1

(2.25)

LC r r T LC C

j C i C

l S

k

T lk lk T

i A K K

L

l

1 1

, , 1

; , , 1 1 1

(2.26)

C

l S

k C

h S

m S

n

kn lj mk hl j

S

n jn T lk C

l S

k

C

l S

k C

h

lk S

m T hm j

j T lk lk

T ^l ^h

j

l l h j

k LS k

LS ₁ ₁ ₁ ₁ ₁ ₁

1 1 1 1 1 1

1 1

(2.27)

LC r r T LC C

j C i C

l S

k

j T lk lk

T K K A

L

l

1 1

, , 1

; , , 1 1 1

(2.28)

(7)

C

l

C

p S

q

pq T lk S

k C

h S

m

lk T hm C

l S

k

T lk lk T

l h p

l

L 1 1 1 1 1 1

2

1 1

1

C

l S

k C

h S

m C

p S

q

kq lp mk hl

l h p

k L 1 1 1 1 1 1 k

2

1 (2.29)

LC r r T LC C

j C i T lk lk C

l S

k

T K K

L

l

1 1 1

2 , , 1

; , , 1 1 1

(2.30)

dengan mendefinisikan

C j C i C

l S

k j

T lk lk T i

J l

, , 1

; , ,

1 1 1

~

1 ~ , didapatkan

^T_LC _r _r _LC A^T_N K_r K_r _LC

A L K K A LB

J 1 1 C 1

1

K K B

A L K

L K ^r ^r ^LC

T LC LC

r r T

LC 1 1 1

1 1

2 (2.31)

dan dengan memperluas term ^C _i^T _l _l^T _j

l Sl~ ~

1 pada persamaan (2.21), didapatkan

T l l T j T l l T T l l T i j T l l T i C

l l j C i

l S

k

j T l l T

i S

L S S

l

1

1 1

~

~ (2.32)

menggunakan matrik Kernel K_r, persamaan (2.32) diatas dapat diubah menjadi

LC r r r T LC C j C i C

l

j T l l T i

l A K W K A

S

, , 1

; , , 1 1

(2.33)

LC r r r T LC C

j C i C

l

T l l T i

l A K W K

S L1 1

, , 1

; , , 1 1

(2.34)

LC r r r T LC C

j C i C

l

j T l l T

l K W K A

S L1 1

, , 1

; , , 1 1

(2.35)

LC r r r T LC C

j C i C

l

T l l T

l K W K

S L1 1 1

2 , , 1

; , , 1 1

(2.36)

dengan W_r diag w₁ w_C merupakan matrik diagonal berukuran L L, dan w _i adalah matrik berukuran S_i S_i dengan semua term sama dengan 1 S_i, selanjutnya di definisikan

C j C i C

l S

k j

T l l T i

J l

, , 1

; , ,

1 1 1

~

2 ~ , dengan

(8)

menggunakan persamaan-persamaan (2.33 – 2.36) diatas, persamaan J 2 dapat diubah menjadi

_LC^T _r _r _r _LC A_LC^T K_r W_r K_r _LC A L

K W K A LB

J 1 1 1

2

K W K B

A L K W

L K ^r ^r ^r ^LC

T LC LC

r r r T

LC 1 1 1

1 1

2 (2.37)

sehingga

2 1 1

~

, , 1

; , ,

1 J J

S L

S w j i C j C T

i b w T b

(2.38)

12 12

2 1 1

b T

b w

T J J E

E L U S

U (2.39)

Proses selanjutnya adalah diagonalisasi U^TS_wU, yang akan menghasilkan matrik berukuran t t. Eigenvector ke-i dari U^TS_wU kita misalkan g , dengan _i

t

i 1, , , terurut increasing berdasarkan eigenvalue-nya yang dilambangkan _i. Eigenvector dengan eigenvalue terkecil akan memaksimalkan ratio Fisher’s criterion dan merupakan feature paling diskriminatif.

w T

b T

S max S

arg (2.40)

untuk U^TS_wU 0 atau untuk U^TS_wU 0 digunakan

w T b

T

b T

S S

S max

arg (2.41)

Eigenvector dengan eigenvalue terbesar akan diabaikan, sedangkan eigenvector yang akan digunakan hanya sebanyak X t yang dilambangkan dengan G g₁ g_X , dengan mendefinisikan sebuah matrik Q UG, akan didapatkan Q^TS_wQ _w, dengan _w diag g₁ g_X yang merupakan matrik diagonal berukuran X X . Berdasarkan kalkulasi diatas, himpunan vektor feature diskriminan optimal dapat diperoleh melalui Q _w¹². Vektor feature akan membentuk low-dimensional subspace, subruang vektor berdimensi lebih kecil pada H, dimana ratio fisher’s criterion maksimal.

(9)

2.2.3 Reduksi Dimensi dan Ekstraksi Feature

Tahap selanjutnya adalah reduksi dimensi dan ekstraksi feature, untuk setiap input pattern z, proyeksinya kedalam vektor feature ? , dapat dikalkulasi sebagai berikut

z P

E z

y ^T _b¹² _w¹² ^T ^T_b (2.42)

dengan z z

T C T

b

~

1 , karena

C

p S

q T pq S

m T im i i T

i T i

i

i p

L z S z

L z S L

z S

1 1

1

~ 1

(2.43)

didapatkan

L z z A

L B

z _LC^T ^T_LC

T

b 1 11

(2.44)

dimana z ^T z ^T z _CC^T z ^T

12 C

11 adalah vektor kernel berukuran L 1, dengan menggabungkan (2.42) dan (2.43) kita dapatkan

z y

(2.45) dengan

T LC T

LC T

w

b P B A L

E

L 1 1

1 ¹² ¹²

(2.46) adalah matrik berukuran M L yang dapat dihitung secara offline. Persamaan (12.45) bisa kita gunakan untuk mendapatkan representasi low-dimensional y pada z.

2.3

Ilustrasi Metode KDDA

Ilustrasi dari metode KDDA dapat digambarkan sebagai berikut :

(10)

Gambar 2-1 : Ilustrasi Analisa Eigen matrik Sb

Proses pertama pada metode KDDA adalah analisa eigen matrik S untuk _b mendapatkan vektor eigen dan nilai eigen dari matrik S _b seperti yang digambarkan pada gambar 2-1, hal ini dilakukan dengan langkah-langkah berikut : - Pembuatan vektor wajah dari citra sampel, yaitu setiap citra dijadikan sebuah vektor 1 dimensi, dengan meletakkan setiap baris dari citra disamping baris yang lain yang disebut lexicographical ordering, seperti gambar dibawah ini :

Gambar 2-2 : Ilustrasi Pembuatan Vektor Wajah

Selanjutnya matrik vektor wajah yang dihasilkan di-transpose.

- Pembuatan matrik kernel dengan menggunakan fungsi polinomial sebelumnya terhadap matrik transpose dari vektor wajah dan vektor wajah itu sendiri, sebagai contoh akan digunakan nilai a=b=d=1.

(11)

Gambar 2-3 : Ilustrasi pembuatan matrik kernel

- Pembuatan matrik 1 berukuran 6 x 3 (jumlah sampel x jumlah kelas) dengan semua nilai term-nya adalah 1.

- Pembuatan matrik diagonal A berukuran 6 x 3 (jumlah sampel x jumlah kelas) dengan bagian diagonal adalah sebuah matrik berukuran 2 x 2 (jumlah sampel tiap kelas x jumlah sampel tiap kelas) dan nilai term = 0,5 (1/jumlah sampel tiap kelas).

- Pembuatan matrik diagonal B berukuran 3 x 3 (jumlah kelas x jumlah kelas) dengan nilai term = 2 (2 = jumlah sampel tiap kelas).

- Kalkulasi vektor eigen dan nilai eigen dengan menggunakan persamaan (2.18) yang akan menghasilkan matrik vektor eigen berukuran 3 x 3 (jumlah kelas x jumlah kelas) dan matrik nilai eigen berukuran 1 x 3 (1 x jumlah kelas).

- Kemudian diambil d(jumlah kelas -1) nilai eigen terbesar dan juga vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen tersebut.

Gambar 2-4 : Ilustrasi Analisa Eigen matrik Sw

(12)

Proses kedua dari metode KDDA adalah analisa eigen matrik S untuk _w mendapatkan vektor eigen dan nilai eigen dari matrik S _w seperti yang digambarkan pada gambar 2-4, yang dilakukan dengan langkah-langkah berikut :

- Pembuatan matrik W berukuran 6 x 6 (jumlah sampel x jumlah sampel) dengan bagian diagonal merupakan sebuah matrik berukuran 2 x 2 (jumlah sampel tiap kelas x jumlah sampel tiap kelas) dan nilai term = 0,5 (1/jumlah sampel tiap kelas).

- Kalkulasi vektor eigen dan nilai eigen menggunakan persamaan (2.39) yang akan menghasilkan matrik vektor eigen berukuran 2 x 2 ((jumlah kelas-1) x (jumlah kelas-1)) dan matrik nilai eigen yang berukuran 1 x 2 (1 x (jumlah kelas-1)).

Gambar 2-5 : Ilustrasi Ekstraksi Feature

Proses ketiga pada metode KDDA adalah ekstraksi feature dan reduksi dimensi, yang dilakukan dengan langkah-langkah berikut :

- Ekstraksi feature dari citra training dengan menggunakan persamaan (2.46) seperti yang digambarkan pada gambar 2-5.

- Reduksi dimensi dari citra asli berdasarkan feature yang telah dipilih sebelumnya, seperti pada gambar dibawah ini.

Gambar 2-6 : Ilustrasi Reduksi Dimensi

(13)

6. Kesimpulan dan Saran

6.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat diambil dari hasil penelitian adalah sebagai berikut : 1. Performansi algoritma KDDA dengan menggunakan fungsi kernel

polinomial sangat bagus dengan tingkat akurasi pengenalan terbaik sebesar 99%.

2. Performansi algoritma KDDA dengan fungsi kernel polinomial linier (a=b=d=1) hampir sama dengan performansi algoritma DF-LDA.

3. Performansi algoritma KDDA dipengaruhi oleh parameter jumlah sampel tiap kelas dan konstanta d dari fungsi kernel polinomial yang digunakan, semakin besar jumlah sampel dan konstanta d maka performansi metode KDDA akan semakin baik, sedangkan parameter konstanta a dan b tidak mempengaruhi tingkat akurasi.

4. Hubungan antara tingkat akurasi pengenalan dari algoritma KDDA terhadap fungsi kernel polinomial yang digunakan dapat direpresentasikan dengan persamaan regresi:

016 , 36 296

. 0 808 ,

10 X₁ X₂

Y (6.1)

dengan Y merupakan tingkat akurasi pengenalan, sedangkan X ₁ adalah jumlah sampel training untuk tiap kelas dan X adalah konstanta d pada ₂ fungsi kernel polinomial.

5. Penggunaan fungsi kernel polinomial meningkatkan performansi dari metode KDDA sebesar 0,629 %.

6.2 Saran

Saran yang dapat penulis berikan untuk pengembangan metode KDDA adalah sebagai berikut :

1. Penggunaan nilai threshold dalam kelas perlu dipertimbangkan untuk meningkatkan akurasi pengenalan untuk kasus citra wajah tes belum memiliki sampel training.

2. Penelitian lebih lanjut terhadap metode KDDA dengan menggunakan fungsi kernel yang berbeda untuk mengetahui pengaruh dari variasi fungsi kernel yang digunakan terhadap tingkat akurasi pengenalan.

3. Penelitian lebih lanjut harus dilakukan untuk menentukan pose-pose yang ideal dari citra sampel training yang dapat meningkatkan tingkat akurasi pengenalan.

(14)

Daftar Pustaka

[1] A. Ruiz. P.E. L´opez de Teruel, 2001, “Nonlinear kernel-based statistical pattern analysis”, IEEE Transactions on Neural Networks, vol. 12, no. 1, pp. 16–32, January 2001.

[2] Bernhard Sch¨olkopf, Chris Burges, Alex J. Smola, 1999, “Advances in Kernel Methods - Support Vector Learning”, MIT Press-Cambridge- MA.

[3] G. Baudat, F. Anouar, 2000, “Generalized discriminant analysis using a kernel approach”, Neural Computation, vol. 12, pp. 2385–2404.

[4] Hua Yu, Jie Yang, 2001, “A direct lda algorithm for high-dimensional data with application to face recognition”, Pattern Recognition, vol. 34, pp. 2067–2070.

[5] Juewei Lu, K.N.Plataniotis, A.N. Venetsanopoulos, 2003, ”Face recognition using kernel direct discriminant analysis algorithms”, IEEE Trans. NN, vol.14, No.1, pp.117-126.

[6] Kernel Trick, http://en.wikipedia.org/wiki/Kernel_trick , didownload pada 6 Agustus 2006.

[7] K.R. Müller, S. Mika, G. Rätsch, K. Tsuda, B. Schölkopf, 2001, “An introduction to kernel-based learning algorithms”, IEEE Transactions on Neural Networks, vol. 12, no. 2, pp. 181–201, March 2001.

[8] Li-Fen Chen, Hong-Yuan Mark Liao, Ming-Tat Ko, Ja-Chen Lin, Gwo- Jong Yu, 2000, “A new LDA-based face recognition system which can solve the small sample size problem”, Pattern Recognition, vol. 33, pp.1713–1726, 2000.

[9] Matthew A. Turk, Alex P. Pentland, 1991, “Eigenfaces for recognition”, Journal of Cognitive Neuroscience,vol. 3, no. 1, pp. 71–86, 1991.

[10] M. Bichsel, A. P. Pentland, 1994, “Human face recognition and the face image set’s topology”, CVGIP: Image Understanding, vol. 59, pp. 254–

261, 1994.

[11] P. N. Belhumeur, J. P. Hespanha, D. J. Kriegman, 1997, “Eigenfaces vs.

Fisherfaces: recognition using class specific linear projection”, IEEE Transactions on Pattern Analysis and Machine Intelligence, vol. 19, no.

7, pp. 711–720, 1997.

[12] R.Chellappa, C. L. Wilson, S.Sirohey S, 1995, “Human and machine recognition of faces: a survey”, Proceedings of the IEEE, 83(5): 705-740, 1995.

[13] Santoso Singgih, 2003, “Mengatasi Berbagai Masalah Statistik dengan SPSS versi 11.5”, Elex Media Komputindo.

[14] Yuefei Guo, Shijin Li, Jingyu Yang, et al, 2003, ”A generalized Foley- Sammon transform based on generalized fisher discriminant criterion and its application to face recognition”, Pattern Recognition Letters, 2003, vol.24, Issues 1-3, pp147-158.