Pada bab ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar teori graf dan dimensi partisi pada suatu graf sebagai landasan teori pada penelitian ini.
2.1 Konsep Dasar Graf
Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa konsep dasar dari graf yang diambil dari Deo (1989). Graf G adalah himpunan terurut ) )), dengan ) menyatakan himpunan titik ( vertex) { } dari dengan ) , dan ) menyatakan himpunan sisi ( edge) { } yakni pasangan tak terurut dari ). Banyaknya himpunan titik ) disebut orde dari graf . Jika dan dihubungkan oleh sisi maka dan dikatakan bertetangga (adjacent), sedangkan titik dan dikatakan menempel (incident) dengan sisi , demikian juga sisi dikatakan menempel dengan titik dan . Himpunan tetangga (neigborhood) dari suatu titik v, dinotasikan dengan N(v) adalah himpunan titik- titik yang bertetangga dengan v.
v2
e1
e7
e4
v1
e5
e3
v3
v4
v5
e2
e6
Gambar 2. Contoh graf dengan 5 titik dan 7 sisi
Pada Gambar 2, graf ( V, E ) dengan ) { } dan ) { }. Titik bertetangga dengan titik , , dan sedangkan dan menempel dengan . Sebaliknya, sisi menempel pada titik dan titik , ) { } .
Derajat suatu titik v pada graf G adalah banyaknya sisi yang menempel pada titik v, dinotasikan dengan d(v). Daun (pendant vertex) adalah titik yang berderajat 1.
Pada Gambar 2, ) , ) , ) , ) dan adalah daun karena berderajat satu.
Loop adalah sisi yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Sisi paralel adalah sisi yang memiliki dua titik ujung yang sama. Graf yang tidak mempunyai sisi ganda dan loop disebut graf sederhana. Graf pada Gambar 2 bukan merupakan graf sederhana karena pada graf tersebut terdapat loop yaitu di titik
.
Pada graf terhubung G, jarak diantara dua titik dan adalah panjang lintasan
terpendek diantara kedua titik tersebut, dinotasikan dengan ). Istilah lain
yang sering muncul pada pembahasan graf adalah jalan (walk), lintasan (path)
sirkuit (circuit) dan siklus (cycle). Jalan (walk) adalah barisan berhingga dari titik
dan sisi dimulai dan diakhiri sedemikian sehingga setiap sisi menempel dengan
titik sebelum dan sesudahnya. Contoh jalan berdasarkan Gambar 2 adalah
. Lintasan
(path) adalah jalan yang melewati titik yang berbeda-beda. Graf G dikatakan graf
terhubung jika terdapat lintasan yang menghubungkan setiap dua titik yang berbeda. Lintasan berdasarkan graf pada Gambar 2 adalah
. Sirkuit (circuit) adalah lintasan tertutup (closed path), yaitu lintasan yang memiliki titik awal dan titik akhir yang sama. Sirkuit dibedakan menjadi dua macam, yaitu sirkuit genap dan sirkuit ganjil. Sirkuit genap adalah sirkuit dengan banyaknya titik genap, dan sirkuit ganjil adalah sirkuit dengan banyaknya titik ganjil. Contoh sirkuit berdasarkan pada Gambar 2 adalah . Siklus (cycle) adalah jalan tertutup (walk) yang semua titiknya berbeda. Contoh siklus berdasarkan pada Gambar 2 adalah
Dari Chartrand dkk. (2000) pewarnaan graf adalah kasus khusus dari pelabelan graf. Pelabelan di sini maksudnya yaitu memberikan warna pada titik-titik batas tertentu. Ada tiga macam pewarnaan graf, yaitu:
Pertama, pewarnaan titik yaitu memberikan warna berbeda pada setiap titik yang bertetangga sehingga tidak ada dua titik yang bertetangga mempunyai warna yang sama.
1 4
3
2
Gambar 3. Contoh pewarnaan titik dengan 4 titik dan 5 sisi
Kedua, pewarnaan sisi yaitu memberikan warna berbeda pada sisi yang bertetangga sehingga tidak ada dua sisi yang bertetangga mempunyai warna yang sama.
3 2 1
Gambar 4. Contoh pewarnaan sisi dengan 4 titik dan 5 sisi
Ketiga, pewarnaan bidang yaitu memberikan warna pada bidang sehingga tidak ada bidang yang bertetangga mempunyai warna yang sama.
5
4
3
1
2
Gambar 5. Pewarnaan pada bidang dengan 5 titik dan 8 sisi
Lemma 2.1.1 (Deo 1989) Jumlah derajat semua titik pada graf G adalah genap, yaitu dua kali jumlah sisi pada graf tersebut, maka:
∑ )
)
Sebagai contoh pada Gambar 2 yaitu jumlah derajat seluruh titik pada graf tersebut adalah ) ) ) ) = = 14 sama dengan dua kali jumlah sisi.
Teorema 2.1.2 (Deo 1989) Untuk sembarang graf G, banyaknya titik yang berderajat ganjil selalu genap.
Bukti : Misalkan V
genapdan V
ganjilmasing – masing adalah himpunan titik yang berderajat genap dan berderajat ganjil pada G(V,E). Persamaan (1) dapat ditulis sebagai berikut :
∑ )
∑ ( )
∑ )
)
Karena ( ) untuk setiap
,maka suku pertama dari ruas kanan persamaan harus bernilai genap. Ruas kiri persamaan (2) juga harus bernilai genap. Nilai genap pada ruas kiri hanya benar bila suku kedua dari ruas kanan juga harus genap. Karena ) untuk setiap
, maka banyaknya titik di dalam
harus genap agar jumlah seluruh derajatnya bernilai genap.
Jadi banyaknya titik yang berderajat ganjil selalu genap.
2.2 Graf Pohon dan Beberapa Sifatnya
Graf pohon (tree) adalah suatu graf terhubung yang tidak memuat siklus. Daun
adalah titik di graf yang mempunyai derajat satu.
v3
v1
v2
v5
v4
v6
Gambar 6. Contoh pohon G dengan enam titik
Pada Gambar 6, graf ) merupakan graf pohon karena graf tersebut merupakan graf terhubung dan tidak memuat siklus. Titik disebut titik pendant atau daun. Gabungan dari beberapa pohon disebut hutan (forest).
Gambar 7. Contoh hutan (forest)
Selanjutnya, akan diberikan definisi beberapa kelas graf pohon.
Suatu graf bintang
K1,nadalah suatu graf terhubung yang mempunyai satu titik berderajat n yang disebut
pusat dan titik lainnya berderajat satu (Chartrand dkk., 1998).
Gambar 8. Contoh graf bintang K1,6
Graf pohon disebut graf bintang ganda (double star) jika graf pohon tersebut mempunyai tepat dua titik dan berderajat lebih dari satu. Jika dan berturut-turut berderajat a+1 dan b+1, dinotasikan dengan
Sa,b,(Chartrand dkk.1998)
Gambar 9. Contoh graf bintang ganda S4,3
Graf ulat (caterpillar graf) adalah graf pohon yang memiliki sifat apabila dihapus
semua daunnya akan menghasilkan lintasan (Chartrand dkk., 1998).
Gambar 10. Contoh graf ulat C(3, 3, 3, 3)
Graf pohon pisang
adalah graf yang diperoleh dari n buah graf bintang dengan cara menghubungkan sebuah daun dari setiap ke suatu titik baru (Chen dkk.(1997)).
Gambar 11. Contoh graf pohon pisang
Graf kembang api seragam,
adalah graf yang diperoleh dari n buah graf bintang dengan cara menghubungkan sebuah daun dari setiap melalui sebuah lintasan (Chen dkk.(1997)).
Gambar 12.Contoh graf kembang api
Selanjutnya diberikan beberapa teorema mengenai graf pohon sebagai berikut :
Teorema 2.2.1 (Harsfield dan Ringel, 1994) Jika adalah pohon dengan titik dan sisi, maka .
Bukti:
Jika adalah pohon dengan satu sisi maka teorema benar untuk . Asumsikan teorema benar untuk semua pohon dengan sisi kurang dari , artinya untuk maka . Misal pohon dengan sisi. Pilih satu lintasan terpanjang di dari ke . Titik harus berderajat . Karena kalau tidak, lintasan akan menjadi lebih panjang atau terbentuk siklus di . Selanjutnya buang titik dan akibatnya sisi terhubung titik terbuang. Sehingga berdasarkan asumsi bahwa pohon terbentuk dengan ) dan ) sisi adalah
) atau . ■
Teorema 2.2.2 (Harsfield dan Ringel, 1994) Graf adalah pohon jika dan hanya jika ada terdapat tepat satu lintasan diantara kedua titik tersebut.
Bukti:
(1) Akan ditunjukkan graf adalah pohon maka terdapat tepat satu lintasan
diantara kedua titik. Asumsikan adalah pohon, misal dan titik-titik di
, maka pohon dapat dihubungkan dari lintasan ke . Anggaplah terdapat
dua lintasan dari ke , dan
Selanjutnya jika pada akan ditemukan suatu titik yang terdapat dalam yang juga dalam , maka akan terdapat siklus. Jika , maka untuk suatu , , karena ada dua lintasan sebagai asumsi. Selanjutnya dari
sampai ditemukan suatu titik yang terdapat dalam yang juga dalam dan selanjutnya ambil kembali ke
, dan akan didapatkan siklus lagi. Tetapi adalah pohon, sehingga tidak ada siklus. Jadi asumsi bahwa ada dua lintasan salah.
(2) Akan ditunjukkan bahwa ada terdapat tepat satu lintasan diantara kedua titik maka graf adalah pohon. Asumsikan adalah graf dengan tepat satu lintasan diantara dua titik. Pertama perhatikan terhubung. Anggaplah bahwa pada terdapat siklus . Jelas bahwa ada dua lintasan dari ke . Ini kontradiksi, karena mempunyai tepat satu lintasan diantara dua titik. Jadi graf tidak mengandung siklus dan adalah pohon. ■
2.3 Dimensi Partisi Graf
Pada bagian ini akan diberikan definisi dan sifat-sifat dari dimensi partisi pada suatu graf yang diambil dari Chartrand dkk.(1998).
Misalkan ) suatu graf, ) dan ). Jarak dari titik ke
himpunan , dinotasikan dengan ) adalah { ) } dengan
) adalah jarak dari titik ke . adalah himpunan titik-titik yang diberi
label ke- , misalkan { } adalah himpunan k pasang terurut dari
) dengan adalah partisi-partisi. Representasi terhadap ,
dinotasikan dengan ∣ ) adalah k vektor ( ) ) )).
Selanjutnya disebut partisi pembeda dari ) jika ∣ ) ∣ ) untuk setiap dua titik berbeda ). Dimensi partisi dari , dinotasikan dengan ), adalah nilai terkecil sehingga mempunyai partisi pembeda dengan kelas.
v2
v1
v4 v5
v6
v9
v8
v10
v7
v3
2 2
1 1
2
3
1
2
1
1
Gambar 13. Contoh gambar graf G dengan 10 titik dan dimensi partisinya.
Pada Gambar 13 diberikan graf dipartisi sedemikian sehingga diperoleh
∏ { } dengan {
} { } dan { }. Perhatikan bahwa, ∣∣ ) ) ∣∣ ) );
∣∣ ) ) ∣∣ ) ) ∣∣ ) ) ∣∣ ) ) ∣∣ ) ) ∣∣ ) ) ∣∣ ) )
∣∣ ) ) Karena representasi dari setiap titik berbeda, maka adalah partisi pembeda dari graf dan ) . (3)
Untuk menunjukkan ) , andaikan terdapat partisi pembeda { }
dari . Perhatikan titik memiliki 3 daun yaitu dan . Jika hanya
terdapat dua kelas partisi pembeda, maka dua dari tiga daun tersebut akan
memiliki partisi yang sama. Akibatnya representasi kedua daun itu akan sama,
karena memiliki jarak yang sama terhadap titik-titik lainnya pada graf , kontradiksi. Jadi ) . (4) Berdasarkan Persamaan (3) dan (4) diperoleh ) .
Lemma 2.3.1 Diberikan graf terhubung dengan partisi pembeda dari ) untuk ) jika ) ) untuk setiap ) { }, maka dan merupakan elemen yang berbeda dari
Berikut ini akan diberikan teorema untuk menentukan dimensi partisi pada graf bintang ganda.
Teorema 2.3.2 (Chartrand dkk. 1998) Misalkan
graf bintang berorde , maka (
) .
Bukti :
v2
v2
v2
v2
v2 6
7 v2
1
2
4 3 5
v2
v2
8 vN-1
n
Gambar 14. Dimensi partisi graf bintang
Graf
dipartisi sedemikian sehingga diperoleh { } dengan { } { } { } { } { } dan
{
}. Perhatikan bahwa ∣∣ ) )
∣∣ ) ); ∣∣ ) ) ∣∣ ) ) ∣∣ ) )
∣∣ ) )
∣∣ ) ).
Karena representasi dari setiap titik berbeda, maka adalah partisi pembeda dari graf
dan (
) .
Untuk menunjukkan (
) , andaikan bahwa terdapat partisi pembeda {
} dari
maka ada representasi yang sama yaitu pada titik dan
. Maka bukan merupakan partisi pembeda dari graf
kontradiksi. Jadi (
) . Akibatnya (
) .
Berikut ini akan diberikan contoh penentuan dimensi partisi dari graf bintang
.
v3
v4 v5
v6
v7
v2
v1 1
1
2
3 4
5 6
Gambar 15. Dimensi partisi graf
Graf
dipartisi sedemikian sehingga diperoleh { } dengan { } { } { } { } { } dan { }.
Perhatikan bahwa ∣∣ ) ) ∣∣ ) );
∣∣ ) ) ; ∣∣ ) )
∣∣ ) ) ∣∣ ) )
∣∣ ) ). Karena representasi dari setiap titik berbeda, maka adalah partisi pembeda dari graf
dan (
) .
Untuk menunjukkan (
) , andaikan bahwa terdapat partisi pembeda { } maka akan ada representasi yang sama pada titik dan . Sehingga, bukan merupakan partisi pembeda dari graf
, kontradiksi. Jadi
(
) . Akibatnya, (
)
Selanjutnya akan diberikan beberapa lemma dan teorema hasil penelitian Asmiati dkk. (2012) tentang dimensi partisi dari graf amalgamasi bintang.
Lemma 2.3.3 Misal adalah partisi pembeda dari graf
dengan
| | . Partisi pembeda adalah hasil partisi dari graf
jika dan hanya jika dan dalam kelas yang sama pada kelas kombinasi {
| } dan jika {
| } adalah pembeda.
Bukti :
Misal adalah hasil partisi dari graf
dengan | | dan
adalah kelas yang sama dari . Jika kombinasi kelas dari
{
| } dan {
| } adalah sama. Karena
) ) untuk setiap maka representasi dari dan
adalah sama. Jadi bukan hasil dari partisi. Maka kontradiksi dengan
pengandaian.
Misalkan adalah partisi pembeda dari graf
dengan | | . Misal A dinotasikan dari kombinasi kelas graf {
| } dan B dinotasikan dari kombinasi kelas graf {
| }. Perbandingan dan adalah kelas yang sama dari . Karena A = B, maka dan dimana dan . Akan ditunjukkan bahwa representasi dari setiap
) adalah unik.
Jelas, | ) | ) karena representasinya berbeda dalam ordinat ke m dan ordinat ke n.
Jika
dan
adalah kelas yang sama pada dengan akan ditunjukkan bahwa (
| )
| ). Di bagi dalam 2 kasus, yaitu:
Kasus 1, jika dan adalah kelas yang sama pada maka diperoleh alasan pada teorema ini, yaitu A = B. Jadi (
| )
| ).
Kasus 2, misal dan maka (
| )dan
| ) adalah berbeda dalam ordinat ke x dan ordinat ke y.
Jadi (
| )
| ).
Jika dan
dalam kelas yang sama pada maka representasi | ) mempunyai setidaknya ada satu komponen yang bernilai 1. Sedangkan (
| ) mempunyai tepat satu komponen yang bernilai 1.
Maka | ) (
| ).
Jika dan
dalam kelas yang sama pada maka representasi | ) mempunyai setidaknya ada satu komponen yang bernilai 1. Sedangkan (
| ) mempunyai tepat satu komponen yang bernilai 1.
Maka | ) (
| ).
Jika dan dalam kelas yang sama pada . Di bagi dalam 2 kasus.
Kasus . Representasi (
| ) mempunyai ) komponen yang bernilai 1. Sedangkan | ) mempunyai kurang dari ) komponen yang bernilai 1. Maka | ) (
| )
Kasus . Karena ) ) maka | ) (
| ).
Lemma 2.3.4 Misal adalah ) partisi
, maka ) .
Bukti :
Misal adalah ) partisi pada
, tetap untuk , misal ,
maka jumlah kombinasi partisi {
| } adalah ). Karena
) partisi dari , untuk setiap ) berdasarkan Lemma
2.3.1 di peroleh jumlah dari adalah ) . Akan tetapi, jika dalam kelas
partisi yang sama dan ) ) maka harus menghilangkan , untuk
memastikan bahwa semua titik akan mempunyai representasi yang berbeda. Jadi
jumlah maksimum dari adalah ) -1.
Teorema 2.3.5
(
) {
) )
Bukti:
Akan ditunjukkan batas bawah dimensi partisi pada graf
untuk , berdasarkan Lemma 2.3.1 untuk setiap , terdapat 2 titik
dan
memiliki partisi yang berbeda.
Maka (
)
Akan ditunjukkan batas atas dimensi partisi pada graf
untuk . Misal
. Untuk menunjukkan bahwa setiap daun akan memiliki representasi yang berbeda, maka harus menempatkan , untuk setiap ke dalam kelas yang berbeda. Jadi, adalah penyelesaian -partisi dari
). Karena (
) , maka (
) .
Selanjutnya akan ditentukan batas bawah untuk . Misal
,
suatu partisi (
). Jika
dan
mempunyai kelas
yang sama, maka
hasil dari
| ) dan (
| ) keduanya memiliki 0
dalam ordinat ke k dan 1 lainnya. Maka salah, jadi (
) .
Untuk menentukan batas atas dari , berdasarkan Lemma 2.3.1, bahwa suatu daun untuk titik yang sama harus memiliki kelas yang berbeda, maka kombinasi dari memiliki partisi yang berbeda, yaitu
{ } . Untuk setiap , {
| } untuk . Amati jika {
| } dan {
| } adalah tetap untuk yang sama. Kemudian untuk menentukan bahwa akan ada daun yang memiliki representasi yang berbeda, maka dan memiliki kelas yang berbeda. Untuk jika diberikan untuk {
| } maka dapat menjadi dan tidak kehilangan sifat umum dari pada . Akan tetapi jika digunakan dalam pada setiap , kecuali . Ini menghindari dan mempunyai representasi yang sama. Jadi adalah . Kemudian (
) untuk
.
4 5
3
2 1
4 5
3 2
1
4 5
3 1 2
4
5 3
2 1
1 1
2
3 4
Gambar 16. Dimensi partisi graf amalgamasi bintang
4 3
1 3
4
3 1
2
4 3 1
1
4
3 1 4
4 3 1
3 4 3 1
2
1
