BAB III DIMENSI PARTISI GRAF KIPAS DAN GRAF KINCIR

(1)

BAB III

DIMENSI PARTISI GRAF KIPAS DAN GRAF KINCIR

3.1 Dimensi Partisi Graf Kipas (Fn)

Berdasarkan Proposisi 1 dan Proposisi 2, semua graf G selain graf Pn dan Kn

memiliki 3 ≤ pd(G) ≤ n - 1. Lebih khusus, graf Kipas memiliki dimensi partisi tidak kurang dari 3 dan tidak lebih dari n - 1. Misalkan terdapat graf Kipas (Fn)

ber-pd(Fn) = 3 dengan Π = {S1, S2, S3} resolving partition dan c

∈

S1 dimana c

adalah titik pusat maka koordinat c adalah r(c| Π) = (0, 1, 1) karena d(c, x) = 1 untuk setiap x

∈

V(Fn) \ {c} . Untuk setiap v

∈

S1 \ {c} koordinatnya adalah

r(v| Π) = (0, a, b). Karena diameter dari Fn adalah 2 berarti a dan b hanya boleh

diisi oleh angka 1 dan 2. Jadi, kombinasi koordinat yang mungkin adalah (0, 1, 2), (0, 2, 1), dan (0, 2, 2). Untuk setiap u

∈

S2, koordinatnya adalah r(u| Π) = (d, 0, e).

d = 1 karena untuk setiap u

∈

S2, d(u, S1) = d(u, c) = 1. Tanpa mengurangi

keumuman e hanya boleh diisi dengan angka 1 dan 2. Jadi, kombinasi koordinat untuk setiap u

∈

S2 adalah (1, 0, 1) dan (1, 0, 2). Dengan cara yang sama, untuk

setiap w

∈

S3, r(w| Π) adalah (1, 1, 0) dan (1, 2, 0). Dengan demikian, untuk

Π = {S1, S2, S3} resolving partition, terdapat paling banyak 8 koordinat berbeda

untuk 8 buah titik pada graf Kipas.

Akan ditunjukkan bahwa 8 koordinat tersebut dapat dikonversikan menjadi graf Kipas (Fn) dengan n = 8. (1, 0, 1) (1, 0, 2) (1, 1, 0) (1, 2, 0) (0, 1, 2) (0, 2, 1) (0, 2, 2)

(2)

Oleh karena itu, semua graf Kipas yang berjumlah titik tidak lebih dari 8 memiliki dimensi partisi 3.

Proposisi 3. Misalkan terdapat graf Kipas (Fn) dengan n jumlah titik. Jika

4 ≤ n ≤ 8, maka pd(Fn) = 3.

Proposisi 4. Misalkan terdapat graf Kipas (Fn) dengan n jumlah titik. Jika

9 ≤ n ≤ 13, maka pd(Fn) = 4.

Bukti : Oleh karena tidak terdapat 9 koordinat pada 3-partisi seperti yang telah disebutkan pada proposisi 3 di atas, maka F9 memiliki dimensi partisi

tidak kurang dari 4. Misalkan terdapat graf Fn dengan n = 13 dan

V(F13) = {v1, v2, ..., v13} seperti terlihat pada gambar berikut.

v7 v8 v6 v9 v5 v10 v4 v11 v3 v12 v2 v13 v1 Gambar 8

Misalkan pd(F13) = 4 dan misal Π = {S1, S2, S3, S4} dengan

S1 = {v1, v2, v3, v13}, S2 = {v4, v5, v10}, S3 = {v7, v8, v9}, S4 = {v6, v11, v12}.

Maka semua koordinat titiknya terhadap Π adalah : r(v1| Π) = (0, 1, 1, 1) r(v2| Π) = (0, 2, 2, 2) r(v3| Π) = (0, 1, 2, 2) r(v13| Π) = (0, 2, 2, 1) r(v4| Π) = (1, 0, 2, 2) r(v5| Π) = (1, 0, 2, 1) r(v10| Π) = (1, 0, 1, 1) r(v7| Π) = (1, 2, 0, 1) r(v8| Π) = (1, 2, 0, 2) r(v9| Π) = (1, 1, 0, 2)

(3)

r(v6| Π) = (1, 1, 1, 0) r(v12| Π) = (1, 2, 2, 0).

r(v11| Π) = (1, 1, 2, 0)

Oleh karena semua koordinat r(vi| Π) untuk vi

∈

V(F13), i = 1, 2, ..., 13,

berbeda, maka Π = {S1, S2, S3, S4} adalah resolving 4-partition dari F13.

Jadi, pd(F13) = 4. □

3.2 Dimensi Partisi Graf Kincir (Ki)

3.2.1 Beberapa dimensi partisi untuk n kecil

Berdasarkan Proposisi 1 dan Proposisi 2, graf Kincir memiliki dimensi partisi tidak kurang dari 3 dan tidak lebih dari n - 1. Misalkan terdapat graf Kincir ber-pd(G) = 3 dengan Π = {S1, S2, S3} resolving partition dan c

∈

S1 dimana c adalah

titik pusat. Maka tanpa mengurangi keumuman koordinat c adalah r(c| Π) = (0, 1, 1). Untuk setiap v

∈

S1 \ {c} koordinatnya adalah

r(v| Π) = (0, a, b). Tanpa mengurangi keumuman, a dan b hanya boleh diisi dengan angka 1 dan 2. Salah satu sifat graf Kincir adalah untuk setiap titik pada graf Kincir, kecuali titik pusat memiliki derajat 2 yaitu, terhadap titik pusat dan sebuah titik luar. Oleh karena itu, untuk setiap v

∈

S1 \ {c} paling banyak

bertetangga dengan satu buah titik dari partisi lain artinya paling banyak terdapat sebuah angka 1 pada koordinatnya.

Andaikan terdapat v

∈

S1 \ {c} yang tidak bertetangga dengan partisi lain, berarti v

bertetangga dengan titik yang ada di S1, sebut u. Jadi, koordinatnya adalah

r(v| Π) = (0, 2, 2) = r(u| Π), kontradiksi dengan Π adalah resolving partition. Jadi, untuk setiap v

∈

S1 \ {c} koordinatnya yang mungkin adalah (0, 1, 2) dan

(0, 2, 1).

Untuk setiap w

∈

S2, koordinatnya adalah r(u| Π) = (d, 0, e). d = 1 karena untuk

setiap w

∈

S2, d(w, S1) = d(w, c) = 1. Tanpa mengurangi keumuman e hanya boleh

(4)

(1, 0, 1) dan (1, 0, 2). Dengan cara yang sama, untuk setiap z

∈

S3, r(z| Π) adalah

(1, 1, 0) dan (1, 2, 0).

Dengan demikian, 3 partisi hanya memuat paling banyak 7 koordinat, yaitu (0, 1, 1), (0, 1, 2), (0, 2, 1), (1, 0, 1), (1, 0, 2), (1, 1, 0), dan (1, 2, 0).

Koordinat-koordinat tersebut bila dikonversi ke dalam graf Kincir 7 titik akan menjadi graf sebagai berikut.

(0, 1, 2) (1, 0, 2)

(1, 1, 0) (0, 1, 1) (0, 2, 1)

(1, 0, 1) (1, 2, 0)

Gambar 9

Dengan demikian, graf Kincir yang berjumlah batang 2 ≤ n ≤ 3 memiliki dimensi partisi sama dengan 3.

Proposisi 5. Misalkan terdapat graf Kincir Ki(n) dengan n buah batang. Jika 2 ≤ n ≤ 3, maka pd[Ki(n)] = 3.

Berdasarkan proposisi 5 di atas, graf Kincir Ki(n) dengan n ≥ 4 memiliki dimensi partisi tidak kurang dari 4. Misalkan terdapat graf Kincir ber-pd(G) = 4 dengan Π = {S1, S2, S3, S4} resolving partition dan c

∈

S1 dimana c adalah titik pusat maka

tanpa mengurangi keumuman koordinat c adalah r(c| Π) = (0, 1, 1, 1). Untuk setiap v

∈

S1 \ {c} koordinatnya adalah r(v| Π) = (0, a, b, d). Tanpa mengurangi

(5)

keumuman, koordinat-koordinat yang mungkin adalah (0, 1, 2, 2), (0, 2, 1, 2) dan (0, 2, 2, 1).

Untuk setiap w

∈

S2, r(w| Π) = (1, 0, e, f). Oleh karena tidak boleh ada titik yang

bertetangga dengan titik dalam partisi yang sama, koordinat yang mungkin adalah (1, 0, 1, 2), (1, 0, 2, 1) dan (1, 0, 2, 2).

Dengan cara yang sama, untuk setiap x

∈

S3, r(x| Π) yang mungkin adalah

(1, 1, 0, 2), (1, 2, 0, 1), dan (1, 2, 0, 2). Untuk setiap z

∈

S3, r(z| Π) yang mungkin

adalah (1, 1, 2, 0), (1, 2, 1, 0), dan (1, 2, 2, 0).

Dengan demikian, 4 partisi hanya memuat paling banyak 13 koordinat, yaitu (0, 1, 1, 1), (0, 1, 2, 2), (0, 2, 1, 2) (0, 2, 2, 1) (1, 0, 1, 2), (1, 0, 2, 1), (1, 0, 2, 2), (1, 1, 0, 2), (1, 2, 0, 1), (1, 2, 0, 2), (1, 1, 2, 0), (1, 2, 1, 0), dan (1, 2, 2, 0).

Koordinat-koordinat tersebut dapat dikonversikan ke dalam graf Kincir 13 titik (6 batang) berikut. (1, 0, 2, 2) (0, 1, 2, 2) _{(0, 2, 1, 2)} (1, 2, 1, 0) _{(1, 2, 0, 2)} (0, 1, 1, 1) (1, 2, 0, 1) _{(0, 2, 2, 1)} (1, 1, 2, 0) _{(1, 2, 2, 0)} (1, 0, 1, 2) (1, 0, 2, 1) (1, 1, 0, 2) Gambar 10

(6)

Berdasarkan proposisi 6 di atas, graf Ki(n) dengan n ≥ 7 memiliki dimensi partisi tidak kurang dari 5. Misalkan terdapat graf Kincir ber-pd(G) = 5 dengan Π = {S1, S2, S3, S4, S5} resolving partition dan c

∈

S1 dimana c adalah titik pusat

maka tanpa mengurangi keumuman koordinat c adalah r(c| Π) = (0, 1, 1, 1, 1). Dengan cara yang sama didapat :

- Untuk setiap v

∈

S1 \ {c}, koordinat yang ada adalah:

(0, 1, 2, 2, 2) (0, 2, 1, 2, 2) (0, 2, 2, 1, 2) (0, 2, 2, 2, 1).

- Untuk setiap u

∈

S2, koordinat yang ada adalah:

(1, 0, 1, 2, 2) (1, 0, 2, 1, 2) (1, 0, 2, 2, 1) (1, 0, 2, 2, 2).

- Untuk setiap w

∈

(1, 1, 0, 2, 2) (1, 2, 0, 1, 2) (1, 2, 0, 2, 1) (1, 2, 0, 2, 2).

- Untuk setiap x

∈

(1, 1, 2, 0, 2) (1, 2, 1, 0, 2) (1, 2, 2, 0, 1) (1, 2, 2, 0, 2).

- Untuk setiap z

∈

(1, 1, 2, 2, 0) (1, 2, 1, 2, 0)

(7)

(1, 2, 2, 1, 0) (1, 2, 2, 2, 0).

Koordinat tersebut dapat dikonversikan ke dalam graf Kincir 21 titik (10 batang) berikut. (0, 1, 2, 2, 2)(1, 0, 2, 2, 2)(0, 2, 1, 2, 2) (1, 2, 2, 1, 0) (1, 2, 0, 2, 2) (1, 2, 2, 0, 1) (0, 2, 2, 1, 2) (1, 2, 1, 2, 0) (1, 2, 2, 0, 2) (0, 1, 1, 1, 1) (1, 2, 0, 2, 1) (0, 2, 2, 2, 1) (1, 2, 1, 0, 2) (1, 2, 2, 2, 0) (1, 2, 0, 1, 2) (1, 0, 1, 2, 2) (1, 1, 2, 2, 0) (1, 1, 0, 2, 2) (1, 0, 2, 2, 1) (1, 0, 2, 1, 2) (1, 1, 2, 0, 2) Gambar 11

Dengan cara yang sama, akan didapat pola graf Kincir Ki(n) sebagai berikut. Untuk 11 ≤ n ≤ 15, dimensi partisinya adalah 6.

Untuk 16 ≤ n ≤ 21, dimensi partisinya adalah 7. Untuk 22 ≤ n ≤ 28, dimensi partisinya adalah 8.

(8)

3.2.2 Pola umum dimensi partisi graf Kincir Ki(n)

Penelitian ini bertujuan untuk memberikan pola umum dimensi partisi graf Kincir untuk n batang dengan n ≥ 2. Perhitungan sebelumnya diberikan untuk memudahkan penulis untuk menemukan pola umum. Akan tetapi hanya berlaku untuk n kecil, tidak untuk n besar. Sebelumnya, diperlukan 2 buah proposisi yang berhubungan dengan kardinalitas partisi yang memuat atau tidak memuat titik pusat.

Lemma 4. Misalkan terdapat graf Kincir Ki(n) dengan n batang dan V(Ki(n)) adalah himpunan dari titik-titiknya. Misal c adalah titik pusat dan Π = {S1, S2, ..., Sk} adalah resolving k-partition dari V(Ki(n)). Jika c

∈

S1, maka

k S₁ ≤ .

Bukti : Koordinat titik pusat c adalah r(c| Π) = (0, 1, 1, ..., 1) dan untuk setiap v

∈

S1 \ {c}, r(v| Π) = (0, ...). Elemen vektor dari koordinat r(v| Π) untuk

v

∈

S1 \ {c} hanya boleh diisi oleh 1 dan 2 karena diameter graf Kincir

adalah 2. Akan tetapi, hanya boleh ada paling banyak 1 elemen yang bernilai 1. Hal ini disebabkan oleh derajat setiap titik v

∈

S1 \ {c} adalah 2,

yaitu terhadap titik pusat dan sebuah titik u

∈

V \ {c, v}. Lebih lanjut, untuk setiap titik v

∈

S1 \ {c}, tidak boleh bertetangga dengan titik

u

∈

S1 \ {c} karena akan mengakibatkan r(v| Π) = r(u| Π) = (0, 2, 2, ..., 2).

Pada akhirnya, hanya terdapat (k – 1) posisi yang hanya boleh diisi dengan sebuah angka 1 dan sisanya dapat diisi oleh angka 2. Jadi, bila ditambahkan dengan koordinat titik pusat, hanya terdapat paling banyak

koordinat yg berbeda atau ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ + − 1 1 1 k S₁ ≤k. □

Lemma 5. Misalkan terdapat graf Kincir Ki(n) dengan n batang dan V(Ki(n)) adalah himpunan dari titik-titiknya. Misal c adalah titik pusat dan

(9)

Π = {S1, S2, ..., Sk} adalah resolving k-partition dari V(Ki(n)). Jika c

∈

S1, maka

1 − ≤ k

S_i untuk 2 ≤ i ≤ k.

Bukti : Ambil sebuah himpunan selain S1, tanpa mengurangi keumuman, sebut S2

yang tidak memuat titik pusat. Koordinat untuk setiap w

∈

S2 adalah

r(w| Π) = (1, 0, ...). Terdapat (k – 2) posisi di dalam vektor koordinat yang dapat diisi oleh paling banyak sebuah nilai 1 dan sisanya dapat diisi oleh nilai 2. Jadi, hanya terdapat paling banyak koordinat yang berbeda untuk setiap w

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − 0 2 1 2 k k

∈

S2 atau S_i ≤ k−1 untuk 2 ≤ i ≤ k. □

Teorema 5. Untuk setiap titik n ≥ 2 batang,

( )

[

]

=_⎢⎢⎡

(

1+ 8 +1

)

_⎥⎥⎤ 2 1 n n Ki pd

Bukti batas bawah.

Misal terdapat graf Kincir Ki(n) dengan n batang yang memiliki pd[Ki(n)] = k dan Π = {S1, S2, ..., Sk} resolving k-partition dari himpunan

titik V(Ki(n)). Misal c adalah titik pusat dan c

∈

S1, dari Lemma 4, kita

punya _⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ≤ 1 1 1 1 k

S dan dari Lemma 5, kita juga punya

⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − ≤ 0 2 1 2 k k S_i untuk 2 ≤ i ≤ k.

( )

(

)

(

)(

)

1 1 1 0 2 1 2 1 1 1 1 2 , 1 2 2 1 + − ≤ − − + ≤ ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − − + ⎥ ⎦ ⎤ ⎢ ⎣ ⎡ ⎟⎟ ⎠ ⎞ ⎜⎜ ⎝ ⎛ − + ≤ ≤ ≤ + = + = k k k k k k k k k k i S S n Ki V _n _i Jadi,

(

1 8 1

)

2 1 ₊ ₊ ≥ n k .

(10)

Bukti batas atas.

Misalkan Π = {S1, S2, ..., Sk} adalah partisi dari V(Ki) dan c

∈

S1 dimana c

adalah titik pusat di Ki. Misalkan {v1, v2, ..., v2n} adalah titik-titik di

V(Ki) \ {c} sedemikian sehingga v(2i-1)v(2i)

∈

E(Ki) untuk 1 ≤ i ≤ n.

• Perhatikan (k – 1) batang pertama. (k – 1) buah titik yang berlabel ganjil adalah anggota S1, sedangkan (k – 1) titik lainnya

yang berlabel genap adalah anggota (k – 1) partisi selain S1.

• Perhatikan (k – 2) batang selanjutnya. (k – 2) buah titik yang berlabel ganjil adalah anggota S2, sedangkan (k – 2) label

genapnya adalah anggota (k – 2) partisi selain S1 dan S2.

• Proses ini diteruskan sampai tersisa 1 batang dimana kedua titiknya belum tergabung dalam partisi manapun. Pada batang terakhir, titik berlabel ganjil adalah anggota Sk-1 dan titik berlabel

genap anggota Sk.

Selanjutnya, akan ditunjukkan bahwa koordinat setiap titik tersebut berbeda. Untuk c

∈

S1, koordinatnya adalah r(c| Π) = (0, 1, 1, ..., 1). Untuk

v

∈

S1 \ {c} terdapat w

∈

Si dimana 2 ≤ i ≤ k sehingga vw

∈

E(Ki).

Koordinatnya adalah r(v| Π) = (0, ...). Hanya elemen ke-i (2 ≤ i ≤ k) yang diisi oleh angka 1 dan sisanya diisi oleh angka 2 sehingga r(v| Π) berbeda untuk v

∈

S1 \ {c}. Koordinat titik yang berlabel genap bernilai 1 pada

elemen pertamanya, tetapi berelemen 0 untuk setiap i (2 ≤ i ≤ k) sehingga koordinatnya berbeda. Selanjutnya, untuk x

∈

S2, koordinatnya adalah

r(x| Π) = (1, 0, ...). Hanya elemen ke-j (3 ≤ j ≤ k) yang diisi oleh angka 1 sehingga r(x| Π) berbeda untuk x

∈

S2. Koordinat titik yang berlabel genap

bernilai 1 pada elemen pertama dan kedua, tetapi berelemen 0 untuk setiap j (3 ≤ j ≤ k). Dengan cara yang sama, koordinat r(z| Π) berbeda untuk semua z

∈

Si , 3 ≤ i ≤ k. Jadi, Π = {S1, S2, ..., Sk} adalah resolving

k-partition dari V(Ki). Jadi, terdapat (1 + 2 + ... +(k – 1)) batang atau

(

k −

)

≤ n + + +2 ... 1 1

(

k

)

_n k − _≤ 2 1

(11)

(

1 8 1

)

2 1 ₊ ₊ ≤ n k . Jadi, =_⎢⎢⎡

(

1+ 8 +1

)

_⎥⎥⎤ 2 1 n k . □