Analisis Rangkaian Listrik Di Kawasan s

Analisis Analisis Analisis Analisis

Rangkaian Listrik Rangkaian Listrik Rangkaian Listrik Rangkaian Listrik

Di Kawasan s

Sudaryatno Sudirham

BAB 4

Tanggapan Frekuensi Rangkaian Orde Pertama

Sebagaimana kita ketahui, kondisi operasi normal rangkaian pada umumnya adalah kondisi mantap dan dalam operasi tersebut banyak digunakan sinyal sinus baik pada pemrosesan energi maupun pemrosesan sinyal listrik. Dalam teknik energi listrik, tenaga listrik dibangkitkan, ditransmisikan, serta dimanfaatkan dalam bentuk sinyal sinus dengan frekuensi yang dijaga konstan yaitu 50 atau 60 Hz. Dalam teknik telekomunikasi, sinyal sinus dimanfaatkan dalam selang frekuensi yang lebih lebar, mulai dari beberapa Hz sampai jutaan Hz. Untuk hal yang kedua ini, walaupun rangkaian beroperasi pada keadaan mantap, tetapi frekuensi sinyal yang diproses dapat bervariasi ataupun mengandung banyak frekuensi (gelombang komposit), misalnya suara manusia ataupun suara musik. Karena impedansi satu macam rangkaian mempunyai nilai yang berbeda untuk frekuensi yang berbeda, maka timbullah persoalan bagaimanakah tanggapan rangkaian terhadap perubahan nilai frekuensi atau bagaimanakah tanggapan rangkaian terhadap sinyal yang tersusun dari banyak frekuensi. Dalam bab inilah persoalan tersebut akan kita bahas.

4.1. Tanggapan Rangkaian Terhadap Sinyal Sinus Keadaan Mantap

Pernyataan di kawasan s dari sinyal masukan berbentuk sinus x(t) = Acos(ωt+θ) adalah (lihat tabel Transformasi Laplace) :

2 2

sin ) cos

( +ω

θ ω

−

= θ s As s

X (4.1)

Jika T(s) adalah fungsi alih, maka tanggapan rangkaian adalah

) ) ( )(

(

sin cos

) sin ( ) cos

( ) ( )

( 2 2

s j T s j s A s

s T s

As s s T s

ω + ω

−

θ ω

−

= θ

ω +

θ ω

−

= θ

= X

Y

(4.2)

Sebagaimana telah kita bahas di bab sebelumnya, T(s) akan memberikan pole-pole alami sedangkan X(s) akan memberikan pole paksa dan pernyataan (4.2) dapat kita uraikan menjadi berbentuk

n n

p s

k p

s k p s

k j s

k j s s k

+ −

⋅

⋅

⋅

− +

− + ω+ + + ω

= −

2 2 1

* 1

) (

Y (4.3)

yang transformasi baliknya akan berbentuk

t p n t

p t p t j t

j _n

e k e

k e K e

k ke t

y()= ^ω + ^{* − ω} + ₁ ¹ + ₂ ² +⋅⋅⋅+ (4.4) Di kawasan t, pole-pole alami akan memberikan komponen transien yang biasanya berlangsung hanya beberapa detik (dalam kebanyakan rangkaian praktis) dan tidak termanfaatkan dalam operasi normal.

Komponen mantaplah yang kita manfaatkan untuk berbagai keperluan dan komponen ini kita sebut tanggapan mantap yang dapat kita peroleh dengan menghilangkan komponen transien dari (4.4), yaitu :

t j t

tm t kej k e

y ()= ^ω + ^{* −ω} (4.5) Nilai k dapat kita cari dari (4.2) yaitu

) 2 (

sin cos

) ) (

(

sin ) cos

( ) (

θ ω +

= θ

ω +

θ ω

−

= θ ω

−

=

ω ω =

=

j j T

A

s j T

s As s

j s k

j s j

Y s

(4.6)

Faktor T(jω) dalam (4.6) adalah suatu pernyataan kompleks yang dapat kita tuliskan dalam bentuk polar sebagai |T(jω)|e^jϕ dimana

|T(jω)| adalah nilai mutlaknya dan ϕ adalah sudutnya. Sementara itu menurut Euler (cosθ + jsinθ) = e^jθ. Dengan demikian (4.6) dapat kita tuliskan

θ ϕ

ω

= e^j T j e^j A

k ( ) (4.7)

Dengan (4.7) ini maka tanggapan mantap (4.5) menjadi

) cos(

) (

) 2 (

) 2 (

) 2 ( ) (

) ( ) (

ϕ + θ + ω ω

=











 +

ω

=

ω +

ω

=

ϕ + θ + ω

− ϕ + θ + ω

ω

− ϕ θ −

ω − θ ϕ

t j

T A

e j e

T A

e e j e T A e e j e T A t y

t j t

j

t j j j

t j j j

tm

(4.8)

Persamaan (4.8) ini menunjukkan bahwa tanggapan keadaan mantap dari suatu rangkaian yang mempunyai fungsi alih T(s) dengan masukan sinyal sinus, akan :

• berbentuk sinus juga, tanpa perubahan frekuensi

• amplitudo berubah dengan faktor |T(jω)|

• sudut fasa berubah sebesar sudut dari T(jω), yaitu ϕ.

Jadi, walaupun frekuensi sinyal keluaran sama dengan frekuensi sinyal masukan tetapi amplitudo maupun sudut fasanya berubah dan perubahan ini tergantung dari frekuensi. Kita akan melihat kejadian ini dengan suatu contoh.

CO%TOH-4.1 : Carilah sinyal keluaran keadaan mantap dari rangkaian di samping ini jika masukannya adalah vs = 10√2cos(50t + 60^o) V.

Penyelesaian :

Transformasi rangkaian ke kawasan s memberikan rangkaian impedansi seperti di samping ini.

Fungsi alih rangkaian ini adalah

50 50 100 2 ) 100

( = +

= +

s s s

T_V .

Karena frekuensi sinyal ω = 50 , maka

o 1

45 )

50 / 50 ( tan 2

2 2

1 50

50

50 50

50 ) 50 50

( ^j

V j e

j e j

T = ⁻

+ + =

= ₋

Keluaran keadaan mantap adalah :

+ vo

− + −

2H 100Ω vs

+ Vo

− + −

2s 100 Vs

) 15 50 cos(

10 ) 45 60 50 2 cos(

2 ) 10

( ^{o o o}

o t = t+ − = t+

v

Pemahaman :

Frekuensi sinyal keluaran sama dengan sinyal masukan, yaitu ω

= 50 rad/sec.

Amplitudo sinyal masukan v_maks=10 2 V, sedangkan

2 ) 1 50 ( )

(jω = _V j =

V T

T .

Amplitudo sinyal keluaran

V 10 2 2 1 10 )

o =v T(jω = × =

v _{maks smaks}

Sudut fasa sinyal masukan θ = 60^o, sedang sudut |T(jω)| = −45^o. Sudut fasa sinyal keluaran : θ + ϕ = 60^o − 45^o = 15^o.

4.2. Pernyataan Tanggapan Frekuensi 4.2.1. Fungsi Gain dan Fungsi Fasa

Faktor pengubah amplitudo, yaitu |T(jω)| yang merupakan fungsi frekuensi, disebut fungsi gain yang akan menentukan bagaimana gain (perubahan amplitudo sinyal) bervariasi terhadap perubahan frekuensi. Pengubah fasa ϕ yang juga merupakan fungsi frekuensi disebut fungsi fasa dan kita tuliskan sebagai ϕ(ω); ia menunjukkan bagaimana sudut fasa sinyal berubah dengan berubahnya frekuensi.

Jadi kedua fungsi tersebut dapat menunjukkan bagaimana amplitudo dan sudut fasa sinyal sinus berubah terhadap perubahan frekuensi atau dengan singkat disebut sebagai tanggapan frekuensi dari rangkaian. Pernyataan tanggapan ini bisa dalam bentuk formulasi matematis ataupun dalam bentuk grafik.

CO%TOH-4.2: Selidikilah perubahan gain dan sudut fasa terhadap perubahan frekuensi dari rangkaian orde pertama di bawah ini.

Penyelesaian :

Setelah di transformasikan ke kawasan s, diperoleh

tan 1000 )

( : fasa fungsi

1000 ) 500 ( : fungsi

1000 ) 500

(

1000 ) 500 ( : rangkaian alih

fungsi

1

2 2

− ω

= ω ϕ

⇒

ω +

= ω

⇒

+

= ω ω

⇒

= +

−

j T gain j j T

s s T

V V

V

Untuk melihat dengan lebih jelas bagaimana gain dan fasa berubah terhadap frekuensi, fungsi gain dan fungsi fasa di plot terhadap ω. Absis ω dibuat dalam skala logaritmik karena rentang nilai ω sangat besar. Hasilnya terlihat seperti gambar di bawah ini.

+ vo

− + −

1 H vs 500Ω 500Ω

-90 -45 0

1 10 100 1000 10000 1E+05

ϕ [^o]

Gain passband stopband

0 0.5

1 10 100 1000 10000 1E+05 0.5/√2

ω ωC

Pemahaman:

Kurva gain menunjukkan bahwa pada frekuensi rendah terdapat gain tinggi yang relatif konstan, sedangkan pada frekuensi tinggi gain menurun dengan cepat. Kurva fungsi fasa menujukkan bahwa pada frekuensi rendah sudut fasa tidak terlalu berubah tetapi kemudian cepat menurun mulai suatu frekuensi tertentu.

Gain tinggi di daerah frekuensi rendah pada contoh di atas menunjukkan bahwa sinyal yang berfrekuensi rendah mengalami perubahan amplitudo dengan faktor tinggi, sedangkan gain rendah di frekuensi tinggi menunjukkan bahwa sinyal yang berfrekuensi tinggi mengalami perubahan amplitudo dengan faktor rendah.

Daerah frekuensi dimana terjadi gain tinggi disebut passband sedangkan daerah frekuensi dimana terjadi gain rendah disebut stopband. Nilai frekuensi yang menjadi batas antara passband dan stopband disebut frekuensi cutoff , ωC . Nilai frekuensi cutoff biasanya diambil nilai frekuensi dimana gain menurun dengan faktor 1/√2 dari gain maksimum pada passband.

Dalam contoh-4.2 di atas, rangkaian mempunyai satu passband yang terentang dari frekuensi ω = 0 (tegangan searah) sampai frekuensi cuttoff ωC , dan satu stopband mulai dari frekuensi cutoff ke atas.

Dengan kata lain rangkaian ini mempunyai passband di daerah frekuensi rendah saja sehingga disebut low-pass gain. Inilah tanggapan frekuensi rangkaian pada contoh-4.2.

Kebalikan dari low-pass gain adalah high-pass gain, yaitu jika passband berada hanya di daerah frekuensi tinggi saja seperti pada contoh 4.3. berikut ini.

CO%TOH-4.3: Selidikilah tanggapan frekuensi rangkaian di bawah ini.

Penyelesaian :

Fungsi alih rangkaian adalah

+ vo

−

+ − 500

vs 500

10⁵/s

2 1 o 4

2

2 2

5

10 tan 90 ) (

; 10 5 , ) 0 (

10 5 , ) 0 ( 10

5 , 0 1000 /

10 ) 500 (

− ω

= ω ϕ

⇒ +

ω

= ω ω

⇒

+ ω

ω

= × ω + →

+ =

=

j −

T

j j j T s

s s

s T

V

V V

Kurva gain dan fasa terlihat seperti pada gambar di bawah ini.

Stopband ada di daerah frekuensi rendah sedangkan passband ada di daerah frekuensi tinggi. Inilah karakteristik high-pass gain

4.2.2. Decibel

Dalam meninjau tanggapan frekuensi, gain biasanya dinyatakan dalam decibel (disingkat dB) yang didefinisikan sebagai

) ( log 20 dB dalam

Gain = T jω (4.9)

Gain dalam dB dapat bernilai nol, positif atau negatif. Gain dalam dB akan nol jika |T(jω)| bernilai satu, yang berarti sinyal tidak diperkuat ataupun diperlemah; jadi gain 0 dB berarti amplitudo sinyal keluaran sama dengan sinyal masukan. Gain dalam dB akan positif jika |T(jω)| >1, yang berarti sinyal diperkuat, dan akan bernilai negatif jika |T(jω)| < 1, yang berarti sinyal diperlemah.

0 45 90

1 10 100 1000 10000 100000

ϕ [^o] 0.5/√2

ω_C 0

0.5

1 10 100 1000 10000 1E+05 ω Gain stopband passband

Frekuensi cutoff adalah frekuensi dimana gain telah turun 1/√2 = 0.707 kali nilai gain maksimum dalam passband. Jadi pada frekuensi cutoff, nilai gain adalah

dB 3 )

(

2 log )

( log 20 )

( 2 log 1 20

dB − ω

=

− ω

=







 ω

maks maks maks

j T

j T j

T (4.10)

Dengan demikian dapat kita katakan bahwa frekuensi cutoff adalah frekuensi di mana gain telah turun sebanyak 3 dB.

Untuk memberikan gambaran lebih jelas, mengenai satuan decibel tersebut, berikut ini contoh numerik gain dalam dB yang sebaiknya kita ingat.

CO%TOH-4.4: Berapa dB-kah nilai gain sinyal yang diperkuat K kali , jika K = 1; √2 ; 2 ; 10; 30; 100; 1000 ?

Penyelesaian :

Untuk sinyal yang diperkuat K kali,

(

KT j

) (

T j

) ( )

K

gain= 20log ( ω) =20log ( ω) +20log

Jadi pertambahan gain sebesar 20log(K) berarti penguatan sinyal K kali.

dB 60 1000 log 20 : 1000

dB 40 100 log 20 : 100

dB 30 30 log 20 : 30

dB 20 10 log 20 : 10

dB 6 2 log 20 : 2

dB 3 2 log 20 : 2

dB 0 1 log 20 : 1

=

⇒

=

=

⇒

=

≈

⇒

=

=

⇒

=

≈

⇒

=

≈

⇒

=

=

⇒

=

gain K

gain K

gain K

gain K

gain K

gain K

gain K

Jika faktor K tersebut di atas bukan penguatan akan tetapi perlemahan sinyal maka gain menjadi negatif.

dB 60 : 1000 / 1

dB 40 : 100 / 1

dB 30 : 30 / 1

dB 20 : 10 / 1

dB 6 : 2 / 1

dB 3 : 2 / 1

−

⇒

=

−

⇒

=

−

⇒

=

−

⇒

=

−

⇒

=

−

⇒

=

gain K

gain K

gain K

gain K

gain K

gain K

4.2.3. Kurva Gain Dalam Decibel

Kurva gain dibuat dengan absis (frekuensi) dalam skala logaritmik (karena rentang frekuensi yang sangat lebar); jika gain dinyatakan dalam dB yang juga merupakan bilangan logaritmik sebagaimana didefinisikan pada (4.9), maka kurva gain akan berbentuk garis-garis lurus.

Low-pass gain. Dengan menggunakan satuan dB, kurva low-pass gain pada contoh-4.2 adalah seperti terlihat pada ganbar di bawah ini. Gain hampir konstan −6 dB di daerah frekuensi rendah, sedangkan di daerah frekuensi tinggi gain menurun dengan kemiringan yang hampir konstan pula.

High-pass gain. Dalam skala dB, high-pass gain pada contoh-4.3 adalah seperti terlihat pada ganbar di bawah ini. Gain hampir konstan −6 dB di daerah frekuensi tinggi sedangkan di daerah frekuensi rendah gain meningkat dengan kemiringan yang hampir konstan pula

-40 -20 0

1 10 100 1000 10000 1E+05 Gain

[dB]

ω

−6

ω_C

−9

Band-pass gain. Apabila gain meningkat di daerah frekuensi rendah dengan kemiringan yang hampir konstan, dan menurun di daerah frekuensi tinggi dengan kemiringan yang hampir konstan pula, sedangkan gain tinggi berada di antara dua frekuensi cutoff kita memiliki karakteristik band-pass gain.

Band-pass gain kita peroleh pada rangkaian orde kedua yang akan kita pelajari lebih lanjut di bab selanjutnya. Walaupun demikian kita akan melihat rangkaian orde kedua tersebut sebagai contoh di bawah ini.

CO%TOH-4.5: Selidikilah perubahan gain dari rangkaian orde kedua di samping ini. Gain belum dinyatakan dalam dB.

Penyelesaian :

Fungsi alih rangkaian ini adalah + −

+ Vo(s) Vin(s) 1100 −

s 10⁵/s Gain

[dB]

-40 -20 0

1 10 100 1000 10000 1E+05 ω

−6

ωC

−9

-40 -20 0

1 10 100 1000 10000 1E+05 Gain

[dB]

ω

−3

ωC

) 1000 )(

100 (

1100 10

1100 1100 /

10 1100 ) 1100

( _{5 2 5}

+

= + +

= + +

= +

s s

s s

s

s s

s s

T_V

2 2

2

2 100 1000

) 1000 (

) 1000 )(

100 (

) 1100 (

+ ω

× + ω

= ω ω

⇒

+ ω +

ω

= ω ω

j T

j j

j j T

V V

Kurva gain terlihat seperti gambar di bawah ini. Di sini terdapat satu passband , yaitu pada ω antara 100 ÷ 1000 dan dua stopband di daerah frekuensi rendah dan tinggi.

Apabila kurva gain dibuat dalam dB, kurva yang akan diperoleh adalah seperti diperlihatkan di atas.

CO%TOH-4.6: Selidikilah perubahan gain dari rangkaian orde kedua di samping ini. Gain belum dinyatakan dalam dB.

Penyelesaian :

Fungsi alih rangkaian ini adalah

+ Vo(s) − Vin(s)

10 0,1s 10⁵/s + −

0 0.7 1.4

1 10 100 1000 10000

Gain 1 1/√2

ω passband

stopband stopband

2 8 2 2 6

6 2

6 4 2

6 2

6 4 2

6 2

5 5

10 ) 10 ( ) 10 (

10 10 ) 10

(

10 10

10

/ 10 1 , 0

/ 10 1 , 10 0 ) 10 (

ω + ω

− + ω

= − ω

⇒

+ ω + ω

−

+ ω

= − ω

+ +

= +

+ + ×

=

j T

j j

T

s s

s

s s

s s s

T

V V V

Kurva gain adalah seperti gambar di bawah ini.

Kurva ini menunjukkan bahwa ada satu stopband pada ω antara 100 ÷ 10000 dan dua passband masing-masing di daerah frekuensi rendah dan tinggi.

Karakteristik gain seperti pada contoh-4.5. disebut band-pass gain sedangkan pada contoh-4.6 disebut band-stop gain. Frekuensi cutoff pada band-pass gain ada dua; selang antara kedua frekuensi cutoff disebut bandwidth (lebar pita).

4.3. Bode Plot

Bode plots adalah grafik gain dalam dB ( |T(jω|dB ) serta fasa (ϕ(ω) ) sebagai fungsi dari frekuensi dalam skala logaritmik. Kurva-kurva ini berbentuk garis-garis lengkung. Walaupun demikian kurva ini mendekati nilai-nilai tertentu secara asimtotis, yang memungkinkan kita untuk melakukan pendekatan dengan garis lurus dengan patahan di titik-titik belok. Melalui pendekatan ini, penggambaran akan lebih mudah dilakukan. Bila kita ingin mendapatkan nilai yang lebih tepat, terutama di sekitar titik belok, kita dapat melakukan koreksi-koreksi pada kurva pendekatan ini.

passband ^stopband passband

ω 0

0.7 1.4

1 100 10000 1000000

1 1/√2 Gain

Manfaat Bode plots dapat kita lihat misalnya dalam proses perancangan rangkaian; kurva-kurva pendekatan garis lurus tersebut merupakan cara sederhana tetapi jelas untuk menyatakan karakteristik rangkaian yang diinginkan. Dari sini kita dapat menetapkan maupun mengembangkan persyaratan-persyaratan perancangan. Selain dari pada itu, tanggapan frekuensi dari berbagai piranti, perangkat maupun sistem, sering dinyatakan dengan menggunakan Bode plots. Pole dan zero dari fungsi alih peralatan- peralatan tersebut dapat kita perkirakan dari bentuk Bode plots yang diberikan. Berikut ini kita akan mempelajari tahap demi tahap penggambaran Bode plots dengan pendekatan garis lurus. Kita akan mulai dari rangkaian orde pertama disusul dengan rangkaian orde kedua.

4.3.1. Low-Pass Gain

Bentuk fungsi alih rangkaian orde pertama dengan karakteristik low- pass gain adalah

α

= + s s K

T_V( ) (4.11) K dapat bernilai riil positif ataupun negatif. Jika K positif berarti K mempunyai sudut θK = 0^o dan jika negatif mempunyai sudut θK =

±180^o. Pole fungsi alih ini haruslah riil negatif karena hanya pole negatif (di sebelah kiri sumbu imajiner dalam bidang s) yang dapat membuat rangkaian stabil; komponen transiennya menuju nol untuk t

→∞. Hanya rangkaian yang stabil sajalah yang kita tinjau dalam analisis mengenai tanggapan frekuensi.

Dari (4.11) kita dapatkan :

(

+ ω α

)

=α α +

= ω

ω) 1 /

( j

K j

j K

T (4.12)

Fungsi gain dan fungsi fasa dapat kita tuliskan

) / ( tan )

( dan ) / ( 1 ) /

( ¹

2 ϕω =θ − ω α

α ω +

= α

ω _K ⁻

V

j K

T (4.13)

Fungsi gain dalam satuan dB, menjadi

( )





 



 + ω α

− α

=

ω ²

dB 20log / 20log 1 ( / ) )

(j K

T_V (4.14)

Fungsi gain ini terdiri dari dua komponen, yang ditunjukkan oleh suku pertama dan suku kedua ruas kanan (4.14). Komponen pertama bernilai konstan untuk seluruh frekuensi. Komponen kedua tergantung dari frekuensi dan komponen inilah yang menyebabkan gain berkurang dengan naiknya frekuensi. Komponen ini pula yang menentukan frekuensi cutoff, yaitu saat (ω/α) =1 dimana komponen ini mencapai nilai −20log√2 ≈ −3 dB. Jadi dapat kita katakan bahwa frekuensi cutofff ditentukan oleh komponen yang berasal dari pole fungsi alih, yaitu

α

=

ω_C (4.15) Gb.4.1. memperlihatkan perubahan nilai komponen kedua tersebut sebagai fungsi frekuensi, yang dibuat dengan α = 1000. Dengan pola perubahan komponen kedua seperti ini maka gain total akan tinggi di daerah frekuensi rendah dan menurun di daerah frekuensi tinggi, yang menunjukkan karakteristik low-pass gain. Kurva ini mendekati nilai tertentu secara asimtotis yang memungkinkan dilakukannya pendekatan garis lurus sebagai berikut.

Gb.4.1. Pola perubahan−log√((ω/α)²+1); α=1000 ; dan pendekatan garis lurusnya.

Untuk frekuensi rendah, (ω/α) << 1 atau ω << α , komponen kedua dapat didekati dengan

( )

^{1 0}

log 20 )

/ ( 1 log

20 ²≈− =



 



 + ω α

− (4.17)

dB

ω [rad/s]

-60 -40 -20 0

1 10 100 1000 10000 1E+05 1E+06

−log√((ω/α)²+1)

pendekatan garis lurus

ω_C

yang akan memberikan kurva garis lurus horisontal di 0 dB.

Untuk frekuensi tinggi, (ω/α)>>1 atau ω>>α, komponen kedua tersebut didekati dengan

(

ω α

)

−

≈



 



 + ω α

−20log 1 ( / )² 20log / (4.18) sehingga kurvanya berupa garis lurus menurun terhadap log(ω).

Untuk setiap kenaikan frekuensi 10 kali, yang kita sebut satu dekade, penurunan itu adalah

(

10 /

)

20log

(

/

)

20log10 20dB log

20 ω α − ω α =− =−

−

Jadi pendekatan garis lurus untuk komponen kedua ini adalah garis nol untuk 1<ω<α dan garis lurus −20 dB per dekade untuk ω>α.

Titik belok terletak pada perpotongan kedua garis ini, yaitu pada (ω/α) =1, yang berarti terletak di frekuensi cutoff, seperti terlihat pada Gb.4.1.

Tanggapan fasa kita peroleh dari fungsi fasa (4.13) yaitu )

/ ( tan )

(ω =θ − ¹ ω α

ϕ _K ⁻ (4.16)

Komponen pertama fungsi ini bernilai konstan. Komponen kedua memberi pengurangan fasa yang juga menjadi penentu pola perubahan tanggapan fasa. Lengkung komponen kedua ini terlihat pada Gb.4.2.

Gb.4.2. Pola perubahan−tan⁻¹(ω/α); α=1000 ; dan pendekatan garis lurusnya.

ω [rad/s]

-90 -45 0

1 10 100 1000 10000 1E+05 1E+06

ωC

ϕ [^o]

−tan⁻¹(ω/α)

pendekatan garis lurus

Seperti halnya kurva pada Gb.4.1. kurva inipun mendekati nilai- nilai tertentu secara asimtotik yang juga memungkinkan kita untuk melakukan pendekatan garis lurus. Pendekatan garis lurus untuk komponen kedua fungsi fasa ini kita lakukan dengan memperhatikan bahwa pada (ω/α)=1, yaitu pada frekuensi cutoff, nilai −tan⁻¹(ω/α) adalah −45^o. Pada ω=0.1ωC , nilai −tan⁻¹(ω/α) kecil dan dianggap 0^o ; pada ω=10ωC , nilai −tan⁻¹(ω/α) mendekati

−90^o dan dianggap −90^o; untuk ω>10ωC , nilai −tan⁻¹(ω/α) adalah

−90^o . Jadi untuk daerah frekuensi 0.1ωC < ω < 10ωC perubahan fasa dapat dianggap linier −45^o per dekade, seperti terlihat pada Gb.4.2.

Dengan pendekatan garis lurus seperti di atas, baik untuk fungsi gain maupun untuk fungsi fasa, maka tanggapan gain dan tanggapan fasa dapat digambarkan dengan nilai seperti tercantum dalam dua tabel di bawah ini. Perhatikanlah bahwa nilai komponen pertama konstan untuk seluruh frekuensi sedangkan komponen ke- dua mempunyai nilai hanya pada selang frekuensi tertentu.

Gain Frekuensi

ωC = α

ω=1 1<ω<α ω>α Komponen 1 20log(|K|/α) 20log(|K|/α) 20log(|K|/α)

Komponen 2 0 0 −20dB/dek

Total 20log(|K|/α) 20log(|K|/α) −20dB/dek

ϕ Frekuensi

ω_C = α

ω=1 0,1α<ω<10α ω>10α

Komponen 1 θK θK θK

Komponen 2 0 −45^o/dek 0

Total θK θK −45^o/dek θK

Kurva pendekatan garis lurus tanggapan gain dan tanggapan fasa ini, dengan mengambil α = 1000, diperlihatkan pada Gb.4.3.a. dan Gb.4.3.b.

Gb.4.3. Pendekatan garis lurus tanggapan gain dan tanggapan fasa − lowpass gain. ωC = α = 1000 rad/s.

Karena kurva garis lurus adalah kurva pendekatan, maka untuk mengetahui gain sebenarnya, diperlukan koreksi-koreksi. Sebagai contoh, pada Gb.4.3.a. gain pada frekuensi cutoff sama dengan gain maksimum dalam pass-band; seharusnya gain pada frekuensi cutoff adalah gain maksimum dalam pass-band dikurangi 3 dB.

4.3.2. High-Pass Gain

Fungsi alih rangkaian orde pertama dengan karakteristik high-pass gain ini berbentuk

(

+ ω α

)

=α α +

= ω α ω

= +

/ ) 1

( sehingga )

( j

Ks j

j Ks s T

s Ks

T (4.19)

Berbeda dengan fungsi alih low-pass gain, fungsi alih ini mempunyai zero pada s = 0. Fungsi gain dan fungsi fasa-nya adalah

( )

) / ( tan 90 )

( dan ) / ( 1 ) /

( ^{o 1}

2 ϕω =θ + − ω α

α ω +

ω

= α

ω K _K ⁻

j

T (4.20)

(

^/

)

^{20log 20log 1 ( / )}

log 20 ) (

²

dB= α + ω− + ω α

ω

⇒ T j K (4.21)

ω [rad/s]

a).

-40 -20 0 20

1 10 100 1000 10000 1E+05 1E+06

Gain [dB]

20log(|K|/α)

−20dB/dek ωC = α

ω [rad/s]

b).

-135 -90 -45 0 45

1 10 100 1000 10000 1E+05 1E+06

ϕ [^o]

−45^o/dek

0.1ωC 10ωC

θK

Dengan hanya menggunakan pendekatan garis lurus, nilai fungsi gain dan fungsi fasa adalah seperti dalam tabel berikut.

Gain Frekuensi

ω_C = α

ω=1 1<ω<α ω>α Komponen 1 20log(|K|/α) 20log(|K|/α) 20log(|K|/α) Komponen 2 0 +20dB/dek 20log(α/1)+20dB/dek

Komponen 3 0 0 −20dB/dek

Total 20log(|K|/α) 20log(|K|/α) +20dB/dek

20log(|K|/α) +20log(α/1)

ϕ(ω) Frekuensi

ω_C = α

ω=1 0,1α<ω<10α ω>10α

Komponen 1 θK θK θK

Komponen 2 90^o 90^o 90^o

Komponen 3 0^o −45^o/dek −90^o

Total θK +90^o θK +90^o−45^o/dek θK

Pendekatan garis lurus dari tanggapan gain dan tanggapan fasa dengan α=100, diperlihatkan pada Gb.4.4.a.dan Gb.4.4.b.

Gb.4.4. Pendekatan garis lurus tanggapan gain dan tanggapan fasa – highpass gain. ωC = α = 100 rad/s.

CO%TOH-4.7: Gambarkan pendekatan garis lurus tanggapan gain dari dua rangkaian yang masing-masing mempunyai fungsi alih

100 dan 20

100 ) 20

( ₂

1 = +

= +

s (s) s s T

s T

Penyelesaian:

Fungsi gain rangkaian pertama adalah

(

1

)

²

1 dB

1 2 1

) 100 / ( 1 log 20 ) 2 . 0 log(

20 ) ( log 20 ) (

) 100 / ( 1

2 . ) 0

100 ( / 1

2 . 0 100 ) 20

(

ω +

−

= ω

= ω

⇒

ω +

= ω ω ⇒

= + +

= ω ω

j T j

T

j j T

j j T

Frekuensi dan nilai tanggapan gain rangkaian pertama terlihat pada tabel berikut ini.

Gain Frekuensi

ωC = 100 rad/s ω=1 1<ω<100 ω>100 Komponen 1 −14 dB −14 dB −14 dB

Komponen 2 0 0 −20dB/dek

Total −14 dB −14 dB −14 dB −20dB/dek 20log(|K|/α)

+20dB/dek

ω_C = α -40

-20 0 20 40

1 10 100 1000 10000 1E+05 1E+06

Gain [dB]

ω [rad/s]

a).

-45 0 45 90

1 10 100 1000 10000 1E+05 1E+06

ϕ [^o]

ω [rad/s]

−45^o/dek

0.1ωC

10ωC

θK

b).

θK+90^o

Fungsi gain rangkaian kedua adalah:

2 2 dB

2 2 2

) 100 / ( 1 log 20 ) log(

20 ) 2 . 0 log(

20 ) (

) 100 / ( 1

2 . ) 0

100 ( / 1

2 , 0 100 ) 20

(

ω +

− ω +

= ω

⇒

ω +

= ω ω ω ⇒

+

= ω + ω

= ω ω

j T

j j T

j j

j j T

Frekuensi dan nilai tanggapan gain rangkaian kedua terlihat pada tabel berikut ini.

Gain Frekuensi

ωC = 100 rad/s

ω=1 1<ω<100 ω>100

Komponen 1 −14 dB −14 dB −14 dB

Komponen 2 0 20 dB/dek 40+20 dB/dek

Komponen 3 0 0 −20 dB/dek

Total −14 dB −14 dB +20 dB/dek 26 dB

Gambar tanggapan gain ke-dua rangkaian adalah sebagai berikut.

-60 -40 -20 0 20 40

1 10 100 1000 10000

ω [rad/s]

Gain [dB]

(Rangkaian 1) ωC

Komp-1 Komp-2

Gain

ω [rad/s]

-60 -40 -20 0 20 40

1 10 100 1000 10000

Gain [dB]

(Rangkaian 2) Komp-2

Komp-1 Komp-3 Gain

4.3.3. Band-Pass Gain

Rangkaian dengan karakteristik band-pass gain dapat diperoleh dengan menghubungkan secara bertingkat dua rangkaian orde pertama dengan menjaga agar rangkaian yang di belakang (rangkaian kedua) tidak membebani rangkaian di depannya (rangkaian pertama).

Rangkaian pertama mempunyai karakteristik high-pass gain sedangkan rangkaian kedua mempunyai karakteristik low-pass gain.

Hubungan kaskade demikian ini akan mempunyai fungsi alih sesuai kaidah rantai dan akan berbentuk

β

× + α

= +

×

= s

K s

s T K

T

T _{1 2} ^{1 2} (4.22)

( ) ( )

{ }

( )

²

( )

²

2 1

2 1

2 1

/ 1 / 1 ) / (

/ 1 /

1 ) ( )

) ( (

β ω +

× α ω +

ω

= αβ ω

⇒

β ω +

×β α ω + α

= ω β +

× ω α + ω

= ω ω

K j K

T

j K j

j K j

K j

j j K

T

( )

) / ( 1 log 20 ) / ( 1 log 20

log 20 /

log 20 ) (

2 2

2 dB 1

β ω +

− α ω +

−

ω +

αβ

= ω

⇒ T j K K

Dengan membuat β >> α maka akan diperoleh karakteristik band- pass gain dengan frekuensi cutoff ωC1 = α dan ωC2 = β.

Sesungguhnya fungsi alih (4.22) berbentuk fungsi alih rangkaian orde kedua. Kita akan melihat karakteristik band-pass gain rangkaian orde ke-dua dalam bab berikut.