Faktorisasi Graf Baru Yang Dihasilkan Dari Pemetaan Titik Graf Lintasan Pada Bilangan Bulat Positif

(1)

383

Faktorisasi Graf Baru Yang Dihasilkan Dari Pemetaan Titik Graf Lintasan Pada Bilangan Bulat Positif

Corry Corazon Marzuki¹, Bella Safira², Fitri Aryani³

Jurusan Matematika, Fakultas Sains dan Teknologi, UIN Sultan Syarif Kasim Riau Jl. HR. Soebrantas No. 155 Simpang Baru, Panam, Pekanbaru, 28293 Email: corry@uin-suska.ac.id; bsafira833@gmail.com; khodijah_fitri@uin-suska.ac.id

Abstrak

Faktor dari suatu graf merupakan subgraf merentang dari suatu graf. Faktor dari suatu graf terdiri dari himpunan pasangan titik yang tidak saling terhubung dan selalu berbentuk 1-reguler, ini dapat disebut sebagai graf yang memiliki -faktor. Ketika himpunan titik dari graf lintasan dipetakan pada bilangan bulat positif yang dibatasi oleh derajatnya maka akan menghasilkan graf baru . Tujuan penelitian ini adalah untuk mengetahui ciri-ciri fungsi yang menghasilkan graf baru yang dihasilkan dari graf yang akan memiliki -faktor. Adapun langkah-langkah untuk memperoleh hasil dari penelitian ini adalah: (1) menggambarkan graf lintasan , (2) menentukan kemungkinan-kemungkinan dari fungsi ( ) * +, (3) menentukan ( ), (4) menentukan ( ) dan ( ), (5) menentukan graf baru ( ), (6) faktorisasi graf baru dengan menunjukkan himpunan pasangannya. Hasil dari penelitian ini adalah ciri-ciri fungsi yang mengakibatkan graf baru untuk genap yang dihasilkan dari kemungkinan fungsi f :V(P_n){1} dapat memiliki -faktor adalah fungsi dengan sebanyak titik dipetakan ke .

Kata kunci: Faktorisasi, -faktor, graf lintasan ( )

Abstract

Factor of a graph is a subgraph stretching from the graph. Factor of a graph consists of a set of point pairs that are not interconnected and are always 1-reguler, called as a graph that has . When a set of points of path graph ( ) mapped on a positive integerbordered by its degree, it will produce a new graph of

. The aim of this study is to determine the function’s characteristics that produc a new graph of obtained from of having . Therefore, the steps to provide the result of the research are: (1) drawing the Path Graph , (2) Determining the possibility function of ( ) * +, (3) Determining ( ), (4) Determining ( ) and ( ), (5) Determining a new graph ( ), (6) Factorizing the new graph with showing a set mathcing. The results of this research are the function’s characteristics that producing a new graph of for even obtained from possibility function of

f : V ( P

_n

)  { 1 }

of having a function of vertices is mapped to .

Keywords : Faktoritation, -factor, path

1. Pendahuluan

Graf digunakan untuk mempresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek- objek tersebut. Representasi visual dari graf adalah dengan menyatakan objek dinyatakan sebagai noktah, bulatan, atau titik, sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis. [1]

Faktor dari graf adalah suatu subgraf merentang dari graf Faktorisasi dari graf adalah penjumlahan sisi dari faktor-faktor graf Suatu -reguler faktor dari graf dapat dinyatakan sebagai -faktor dari . Jika permasalahan faktorisasi ini dikaitkan dengan sebuah pemetaan dari himpunan titik suatu graf pada bilangan bulat positif yang di batasi oleh derajatnya maka akan berkaitan terbentuknya graf baru yang mana graf baru tersebut tidak selalu memiliki -faktor.

Penelitian tentang faktorisasi graf baru sebelumnya telah diteliti oleh Johan Wijaya Simangunsong dan Mulyono [11] pada tahun 2015 dalam artikelnya yang berjudul “Pelabelan Total Titik Ajaib Pada Graf Petersen yang Diperumum”. Selanjutnya pada tahun 2016 Reyka Bella Despandai [5] dalam skripsinya yang berjudul “Analisis Himpunan Dominasi Lokasi Pada Model Topologi Graf Khusus dan Operasinya”, Kemudian penelitian selanjutnya yaitu artikel Vera Mandailina [6] pada tahun 2009 dengan judul skripsinya “Faktorisasi Pada Graf Komplit”. Pada makalah ini akan dibahas faktorisasi graf baru yang dihasilkan dari pemetaan titik graf lintasan pada bilangan bulat positif.

(2)

384 2. Bahan dan Metode Penelitian

a. Definisi Graf Lintasan (Rinaldi Munir, 2007)

Graf Lintasan yang panjangnya dari simpulan awal ke simpul tujuan di dalam graf ialah barisan yang berselang-seling, simpul-simpul dan sisi-sisi yang berbentuk

sedemikian sehingga ( ) ( ) ( ) ( ) adalah sisi dari graf .

Gambar 1 (a) Graf Lintasan ; (b) Graf Lintasan ; (c) Graf Lintasan

b. Definisi Subgraf Merentang (Chartrand dan Lesniak, 1996)

Subgraf dari graf yang memiliki himpunan simpul yang sama pada atau jika subgraf dengan ( ) ( ) maka disebut spanning subgraf (subgraf merentang) dari .

Gambar 2 merupakan Subgraf Merentang dari

c. Definisi Matching (Bondy dan Murty, 2008)

Matching (Pasangan) pada suatu graf adalah himpunan pasangan yang tidak saling terhubung. Jika adalah matching, dua atau lebih dari setiap sisi di disebut matching dari , dan setiap simpul yang terkait dengan sisi di menjadi tertutup oleh .

d. Definisi Perfect Matching (Chartrand dan Lesniak, 2008)

Jika adalah pasangan pada graf dan setiap simpul di terkait dengan sisi di , maka disebut perfect matching.

e. Definisi Faktor (Chartrand dan Lesniak, 1996)

Faktor dari graf adalah suatu subgraf merentang dari graf Jika adalah faktor yang disjoint sisi pada graf sedemikian hingga ( ) ( ) dimana disebut sebagai penjumlahan sisi dari faktor-faktor .

f. Definisi Faktorisasi (Chartrand dan Lesniak, 1996)

Faktorisasi dari graf adalah penjumlahan sisi dari faktor-faktor graf Suatu -reguler faktor dari graf dapat dinyatakan sebagai -faktor dari . Oleh karena itu, suatu graf memiliki - faktor jika dan hanya jika mengandung suatu perfect matching.

(𝑐) (𝑎) (𝑏)

𝑣

𝑣 𝑣 𝑣 𝑣

𝑣 𝑣

𝑣

𝐺 + 𝐺 𝐺

(3)

385 Gambar 3 (a) Graf (b) Graf adalah Faktor-Faktor dari graf

Adapun langkah untuk memperoleh faktorisasi graf baru dari suatu graf adalah sebagai berikut (Faizah dan Irawan, 2014):

1. Menentukan fungsi ( ) dengan ketentuan ( ) ( ) ( ) dimana ( ) adalah derajat titik .

2. Menentukan ( ) * adalah sisi yang terkait dengan ( )+.

3. Menentukan ( ) ( ) ( ) ( ) kemudian menentukan ( ) * ( ) ( )+.

4. Menentukan graf baru ( ) dengan dan didefinisikan sebagai berikut:

a. * _{( )} ( ) dan _{( )} ( )+.

b. * ⋃ ( )+dan * ( ) ( ) ( )+

5. Faktorisasi graf baru ( ) dengan menunjukkan adanya himpunan pasangan sempurna.

Contoh 2.3:

Diberikan graf komplit

Gambar 4 Graf

1. Menentukan fungsi ( ) dengan ketentuan ( ) ( ) ( )

𝑣

𝑣 𝑣

𝑣

𝑣 𝑣

𝐺

𝑣 𝑣

(𝑏)

𝐺 𝐺

𝑣 𝑣

𝐺

(𝑎)

6

𝑐

𝑎 𝑏

𝑑

5 4

3

2

(4)

386 Gambar 5 Salah Satu Kemungkinan Fungsi ( )

2. Menentukan ( ) * ( ) adalah sisi yang terkaitdengan ( )+

( ) * ( ) dengan 4 dan 5+ maka diperoleh:

( ) * +

( ) * ( ) dengan 2 dan 6+ maka diperoleh:

( ) * +

( ) * ( ) dengan 2 3 dan 5+ maka diperoleh:

( ) * +

( ) * ( ) dengan 3 4 dan 6+ maka diperoleh:

( ) * +

3. Menentukan ( ) ( ( ) ( ) ( )) kemudian menentukan ( ) * ( ) ( )+

( ) ( ) ( ) 3 2 maka diperoleh:

( ) * ( ) + * ( )+

( ) * ( ) + * ( ) + ( ) ( ) ( ) 3 2 maka diperoleh:

( ) * ( ) + * ( )+

4. Kemudian, menentukan graf baru ( ).

₍ ₎ ( ) ( ) ( ) ( ) ( ).

* +.

₍ ₎ ( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+.

* ( ) ( ) ( ) ( )+.

Sehingga untuk diperoleh : * ( ) ( ) ( ) ( )+.

.

* ( )+

maka diperoleh 2 maka diperoleh 3 maka diperoleh 4 maka diperoleh 5 maka diperoleh 6 maka diperoleh

Jadi, * + * ( ) ( ) ( )+

* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

Sehingga untuk diperoleh:

* ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

𝑎 𝑏 𝑐 𝑑

2 3

𝑉(𝐾) 𝑍

(5)

387 Jadi, graf baru ( ) adalah :

Gambar 6 Graf Baru

5. Faktorisasi graf baru ( ) dengan menujukkan adanya himpunan pasangan sempurna, yaitu :

* ( ) ( ) ( )+.

Karena graf baru ( ) memuat pasangan sempurna maka graf baru ( ) memiliki -faktor.

2.7. Metodologi Penelitian

Adapun langkah-langkah yang akan digunakan oleh peneliti dalam membahas penelitian ini adalah:

1. Menggambar graf lintasan ( ) dengan bilangan bulat positif dan 4.

2. Menentukan fungsi ( ) dengan ketentuan ( ) ( ) ( ), karena derajat pada graf lintasan ( ) selalu satu maka himpunan * + sehingga fungsinya dapat ditulis ( ) * + Kemudian menuliskan kemungkinan pemetaan yang terjadi.

3. Menentukan ( ) * ( ) + adalah sisi yang terkait dengan * ( )+.

4. Menentukan ( ) ( ) – ( ) ( ) yang didefinisikan sebagai bilangan yang dihasilkan dari selisih antara derajat titik di graf lintasan ( ) dan bilangan bulat positif dari fungsi ( ) , kemudian menentukan ( ) * ( ) ( )+ yang berupa himpunan titik dari ( )

5. Menentukan graf baru ( ), yang masing-masing dari dan didefinisikan sebagai berikut:

a. dengan ₍₎ ( ) dan ₍ ₎ ( )

b. dengan * * ( )+ dan * ( ) ( ) ( )+

6. Faktorisasi graf baru dengan menunjukkan adanya pasangan sempurna.

3. Hasil dan Pembahasan

3.1. Faktorisasi Graf Baru yang dihasilkan dari Fungsi ( ) * +

Faktorisasi graf baru yang dihasilkan dari fungsi ( ) * + adalah sebagai berikut:

a. Menggambarkan graf lintasan baru dengan 2 dan 3.

Gambar 7 Graf Lintasan

𝑎 𝑏 2 𝑐 3 𝑑

𝑑( )

𝑎 𝑎

𝑏 𝑎

𝑏 𝑏

𝑑 𝑐

𝑐 𝑐

𝑑 𝑑

𝑐( )

𝑏( )

𝑎( )

(6)

388 b. Menentukan fungsi ( ) * + dengan ketentuan ( ) ( ) ( )

Gambar 8 Kemungkinan Fungsi ( ) * +

c. Menentukan ( ) * ( ) adalah sisi yang terkait dengan ( )+

( ) * ( ) dengan + ( ) * +

( ) * ( ) dengan dan 2+

( ) * +

( ) * ( ) dengan 2 dan 3+

( ) * +

( ) * ( ) dengan 3+

( ) * +

d. Menentukan ( ) ( ( ) ( ) ( )), kemudian menentukan ( ) * ( ) ( )+.

( ) ( ) ( ) maka diperoleh : ( ) * ( ) + * +

( ) ( ) ( ) 2 maka diperoleh : ( ) * ( ) + * ( )+

( ) ( ) ( ) maka diperoleh : ( ) * ( ) + * +

e. Menentukan graf baru ( )

₍₎ ( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+

* + ₍₎ ( ) * ( ) ( ) ( ) ( )+

* ( ) ( )+

Sehingga untuk diperoleh : * ( ) ( )+

* ( )+

maka diperoleh 2 maka diperoleh 3 maka diperoleh Jadi, * +

* ( ) ( ) ( )+

* ( ) ( ) ( ) ( )+

Sehingga untuk diperoleh:

* ( ) ( ) ( ) ( )+

𝑐

𝑏 𝑎

𝑑

𝑽(𝑷_𝟒) 𝒁

𝒇

(7)

389 Jadi, graf baru ( ) dari kemungkinan fungsi ( ) ( ) ( ) dan ( ) adalah:

Gambar 9 Graf Baru

Faktorisasi graf baru ( ) dengan menunjukkan adanya himpunan pasangan sempurna, yaitu:

* ( ) ( ) +

Karena graf baru ( ) memuat pasangan sempurna maka graf baru ( ) memiliki -faktor.

2. Faktorisasi Graf Baru yang dihasilkan dari Fungsi ( ) * +

Faktorisasi graf baru yang dihasilkan dari fungsi ( ) * + adalah sebagai berikut:

Menggambar graf lintasan dengan 2 3 4 dan 5

Kemungkinan fungsi yang menghasilkan graf baru yang memiliki faktor sebagai berikut :

Menggambar graf lintasan dengan 2 3 4 𝑑

𝑏( )

𝑐

𝑐 𝑏 𝑎 𝑏

𝑐( )

𝑎 𝑏 2 𝑐 3 𝑑 4 𝑒 5 𝑓

𝑎 𝑏 𝑐 b 𝑑 𝑒

𝑓

𝒇

𝑽(𝑷_𝟔) 𝒁

(8)

390 5 6 dan 7

Gambar 13 Kemungkinan Fungsi ( ) * + Faktorisasi Graf Baru yang dihasilkan dari Fungsi ( ) * +

Menggambar graf lintasan dengan 2 3 4 5 6 7 dan 8

𝒇

𝑎 𝑏 2 𝑐 3 𝑑 4 𝑒 5 𝑓 6 𝑔 7

𝑎 𝑏 𝑐 b 𝑑 𝑒

𝑽(𝑷_𝟖) 𝒁

𝑓 𝑔

𝒇

𝑎 𝑏 𝑐 b 𝑑

𝑒 1

𝑽(𝑷_𝟏𝟎) 𝒁

𝑓 𝑔

‘𝑖

‘𝑗

‘

(9)

391 Gambar 15 Kemungkinan Fungsi ( ) * +

Menggambar graf lintasan dengan 2 3 4 5 6 7 8 9 dan

5. Ciri – Ciri Fungsi ( ) yang Mengakibatkan Graf Baru Memiliki -Faktor Teorema 1:

Fungsi yang mengakibatkan graf baru yang dihasilkan dari kemungkinan-kemungkinan fungsi ( ) dapat memiliki -faktor untuk genap ( 4) adalah fungsi dengan sebanyak titik dipetakan ke .

Bukti:

Misal adalah graf lintasan dengan genap ( 4) dengan ( ) * + dan ( ) *

+ dengan untuk 2 Misalkan adalah graf baru yang dihasilkan dari kemungkinan ( ) * +. Akan ditunjukkan bahwa memiliki -faktor jika fungsinya memetakan sebanyak titik ke . Misal gambar graf adalah:

𝑎 𝑏 𝑐 b 𝑑 𝑒

1 𝑽(𝑷

_𝟏𝟐

) 𝒁

⁺

𝑓 𝑔

‘

𝒇

𝑖

‘ 𝑗

‘ 𝑘

‘ 𝑙

‘

𝑎 𝑏 2 𝑐 3 𝑑 4 𝑒 5 𝑓 6 𝑔 7

(10)

392 Gambar 18 Graf Lintasan untuk genap

Selanjutnya menentukan fungsi berdasarkan ciri-ciri yang telah ditentukan, yaitu:

a) Fungsi dengan sebanyak titik dipetakan ke .

Misalkan fungsi dari ( ) ke * + dengan ( ) untuk 2 . Maka diperoleh:

Untuk ( ) * ( ) adalah sisi yang terkait dengan ( )+

( ) * ( ) dengan +, maka diperoleh:

( ) * +

( ) * ( ) dengan dan +, maka diperoleh:

( ) * +

( ) *

+

( ) *

+

( ) * ( ) dengan +, maka diperoleh:

( ) *

+

Selanjutnya untuk ( ) ( ( ) ( ) ( )), dan ( ) * ( ) ( )+

( ) ( ) ( ) , maka diperoleh:

( ) * ( ) + * +

( ) ( ) ( ) 2 , maka diperoleh:

( ) * ( ) + * ( )+

( ) * + * 3 +

( ) * ( ) + * ( )+

( ) ( ) ( ) , maka diperoleh:

( ) * ( ) + * +

Selanjutnya graf baru ( )

₍ ₎ ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

*

+

₍ ₎ ( ) * ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

* ( ) ( ) ( ) ( )+

Sehingga untuk diperoleh :

*

( ) ( )

( ) ( )+

𝑣 𝑣

₂

𝑣

₃

𝑣

₄

𝑣

_{𝑛 2}

𝑣

_𝑛

𝑣

_𝑛

𝑒 𝑒

₂

𝑒

₃

𝑒

_{𝑛 2}

𝑒

_𝑛

(11)

393 * ( )+

maka diperoleh maka diperoleh maka diperoleh

maka diperoleh

Jadi, *

+

* ( ) ( ) ( )+

* ( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )+

Dan untuk , maka diperoleh:

*

( ) ( ) ( )

( )

( )+

Jadi, graf baru ( ) dengan ( ) untuk 2 adalah:

Gambar 19 Graf Baru untuk n Genap dari Fungsi ( ) untuk 2

Selanjutnya dari Gambar 19 dilakukan faktorisasi dengan menunjukkan adanya pasangan sempurna yaitu dengan melihat pengembangan titik yang terjadi dari setiap titik digraf lintasan berdasarkan pemetaannya sebagai berikut:

𝑣

_𝑒

𝑣

_2𝑒

𝑣

_2𝑒

2

𝑣

_3𝑒

2

𝑣

_3𝑒

3

𝑣

_4𝑒

3

𝑣

_{𝑛 2𝑒}

𝑛 2

𝑣

_{𝑛 𝑒}

𝑣

_{𝑛 𝑒} 𝑛 2

𝑛

𝑣

_𝑛𝑒

𝑛

𝑣

₂

( ) 𝑣

₃

( ) 𝑣

_{𝑛 2}

( ) 𝑣

_𝑛

( )

(12)

394 Untuk dipetakan ke 1, maka diperoleh ( ) * + dan ( ) * +. Jadi titik berkembang menjadi * +.

Untuk dipetakan ke 1, maka diperoleh ( ) * + dan ( ) * ( )+. Jadi titik berkembang menjadi * ( )+.

Untuk dipetakan ke 1, maka diperoleh ( ) *

+ dan ( ) * ( )+.

Jadi titik berkembang menjadi *

( )+.

Untuk dipetakan ke 1, maka diperoleh ( ) *

+ dan ( ) * ( )+.

Jadi titik berkembang menjadi *

( )+.

Untuk dipetakan ke 1, maka diperoleh ( ) * + dan ( ) * +. Jadi titik berkembang menjadi *

+.

Dari pengembangan titik ini dapat dilihat bahwa untuk setiap titik dan masing-masing berkembang menjadi titik, dan titik masing-masing berkembang menjadi 3 titik.

Sehingga banyak pengembangannya adalah 3( 2) + 2 3 4. Untuk genap maka 3 4 adalah bilangan genap. Kemudian dari simulasi Gambar 4.17 terlihat bahwa sisi-sisi yang terbentuk pada graf baru berupa lintasan, sehingga dapat ditunjukkan himpunan pasangannya adalah * ( ) ( )

( )

, ( )

₊+, maka dapat dipastikan graf baru dengan fungsi sebanyak titik dipetakan ke akan selalu memiliki faktor.

Gambar 20 Perfect Matching dari Graf Baru

4. Kesimpulan

Berdasarkan pembahasan, maka dapat diperoleh kesimpulan bahwa ciri-ciri fungsi yang mengakibatkan graf baru untuk 4 yang dihasilkan dari fungsi ( ) dapat memiliki - faktor adalah fungsi dengan sebanyak titik dipetakan ke .

𝑣

_𝑛𝑒

𝑛

𝑣

_{𝑛 𝑒}

𝑛 2

𝑣

_{𝑛 𝑒}

𝑛

𝑣

_{𝑛 2𝑒}

𝑛 2

𝑣

_3𝑒

3

𝑣

_4𝑒

3

𝑣

_𝑒

𝑣

_2𝑒

𝑣

_2𝑒

2

𝑣

_3𝑒

𝑣

_𝑛

( )

2

𝑣

_{𝑛 2}

( )

𝑣

₃

( )

𝑣

₂

( )

(13)

395 Daftar Pustaka

[1] Amir, Z. “Matematika Diskrit”. Edisi 1, halaman 1, Zanafa Publishing, Pekanbaru. 2010.

[2] Bondy, J., dan Murty, U. “Graph Theory”. Spiriger, USA. 2008.

[3] Budayasa, I.K. “Teori Graph dan Aplikasinya”. Unesa University Press. Surabaya. 1996.

[4] Chartrand, G., dan Lesniak, L. “Graph and Digraphs”. Washington. 1986.

[5] Despandai, R. B. “Analisis Himpunan Dominasi Lokasi Pada Model Topologi Graf Khusus dan

Operasinya”.Nov 2016. [Online] Available

http://repository.unej.ac.id/handle/123456789/77850, diakses 29 Maret 2018.

[6] Mandailina, Vera. Faktorisasi Graf Komplit. 2009. [online] Available http://ethes.uin- malang.ac.id/6413/1/0451004.pdf, diakses 29 Maret 2018.

[7] Manongga, D., dan Nataliani, Y. “Matematika Diskrit”. Kencana Prenada Media Grup. Jakarta.

2013.

[8] Munir, R. “Matematika Diskrit”. Informatika, Bandung. 2007.

[9] Prastomo, A. “ Metode Penelitian Kualitatif”. Ar-Ruzz Media, Jogjakarta. 2011.

[10] Rosen, Kenneth H. “Discrete Mathematics and Its Application”, McGraw-Hill Companies.

Singapore. 2007.

[11] Simangunsong, J. W., dan Mulyono, Pelabelan Total Titik Ajaib Pada Graf Petersen Yang Diperumum” Jurnal Karismatika. Vol 1, No. 3, Desember 2015