Elemen struktur atap mungkin terdiri dari balok. atau plat atau sistem balok dan plat. Bila elemen

^.1. UMUM

Elemen struktur atap mungkin terdiri dari balok atau plat atau sistem balok dan plat. Bila elemen struktur ini mempunyai defleksi awal dikarenakan beban mati atau beban kerja atau disebabkan karena lengkungan awal (ketidaklurusan balok) dan bila defleksi elemen tersebut terisi oleh zat cair, maka beban total di sembarang titik pada struktur atap tersebut akan bertambah sesuai dengan defleksi yang ada. Penambahan beban ini dapat menyebabkan terjadinya penambahan defleksi yang sudah ada sebelumnya, akibat penambahan defleksi ini, zat cair yang tertampung semakin bertambah yang mana akan menyebabkan bertambahnya defleksi yang ada, demikian seterusnya sampai defleksi yang terjadi menjadi stabil atau defleksi tersebut bertambah secara progresif yang mana akan menyebabkan terjadinya keruntuhan. Pada bab ini akan dibahas secara umum perilaku elastis balok dan plat dengan bermacam-macam

kondisi batas. ___

2.2. PERSAMAAN DIFERENSIAL k

memikul beban merata adalah:

(2 - 1 )

dimana V = operator biharmonic

w(x,y) = defleksi yang diukur dari bidang x-y 'D ' = kekakuan plat

p(x,y) beban merata

Pada kasus yang umum, plat diasumsikan mempunyai lendutan awal (sebelum beban bekerja) yang dihitung dari bidang x-y dan didefinisikan dengan w^(x,y) seperti yang ditunjukkan oleh gambar 2.1. Jika beban merata, q(x,y),

G b . 2 . 1 K a s u s u m u m d a r t p l a l y a n g

d e f l e k s t a v a l

m e m p u n y a v

bekerja, maka plat akan berdefleksi sebesar w^(x,y) yang diukur dari posisi w^(x,y). Bila kemudian bekerja beban zat cair dengan massa jenis y, akan mengakibatkan penambahan defleksi sebesar w^(x,y), sehingga defleksi total (w^) menjadi:

w z w . + M + w = w . + w

T V _ O 1 V.

dimana w = defleksi yang diukur dari w.

(2^-2⁾

Demikian juga beban merata total menjadi:

^ w = ^ (q + r w^) ... (2-4) Persamaan (2-4) merupakan persamaan diferensial yang menentukan untuk bentuk pembebanan seperti di atas.

Dengan cara yang sama, dapat ditunjukkan bahwa persamaan diferensial yang menentukan untuk sistem balok elastis yang berjarak antara sebesar S adalah sebagai berikut:

£ 7

- .. ..

<2-5)

dima na r = S r w = w(x) w^= w^(x)

Jika plat dan balok yang dimaksud oleh persamaan (2—4) dan (2— 5) tidak mengalami lendutan awal dan tidak dibebani (w^ = = 0), maka persamaan (2-4) dan (2-5)

tereduksi menjadi persamaan homogen sebagai berikut:

0 ⁽2^-6⁾

- ^ w

1 D 1

d w.4

1

F

d x “* E I w = 0 ... (2-7)

dimana sekarang diukur dari permukaan bidang datar atau garis horizontal mula-mula.

Penyelesaian persamaan homogen di atas akan me nghasilkan kekakuan minimum atau kritis untuk menc egah keruntuhan , elastis. Penyelesaian persamaan (2-4) dan (2— 5) menghasilkan defleksi atau respon elastis terhadap beban ponding.

Untuk menentukan kelakuan elastis balok yang mengalami beban ponding, persaniaan (2-5) harus diselesaikan lebih dahulu dan menetapkan konstanta- konstanta integrasi yang sesuai dengan kondisi syarat-syarat batas. Penyelesaian umum dari persamaan (2— 5) menurut pustaka [12] adalah:

w = A sin kx + A cos kx + A^ sinh kx + A cosh kx + w

1 2 3 4 p

(2-8)

dimana A = A, = A = A = konstanta integrasi

1 2 3 4

k" - ^ E I

Wp = penyelesaian partikulir yang bergantung pada beban mula-mula q dan lendutan awal

Berikut ini adalah sejumlah contoh penyelesaian.

Untuk balok tanpa lendutan awal dan tanpa beban (termasuk berat sendiri), persamaan diferensialnya adalah homogen, yaitu:

, 4 , 4

d w — d w

--- - - w = 0 atau — - k"* w = 0 ... (2-9)

, 4 l i i l , 4 1

dx dx

P enyelesai annya adalah:

w^= A^sin kx + A^cos kx + A^sinh kx + A_^cosh kx... (2— 10) Syarat batas dan persamaan resultannya adalah:

x = d, = 0 ; A^(0) + A^(l) + Ag(0) + A^(l) = 0

X = 0,

d^w

— ^ r 0; - A ^ k ^ O ) - A ^ k ^ l ) + A g k ^ O ) dx

+ A k (1) = 0

X = L, = 0 ; A^ sin kL + A^ cos kL + A^ sinh kL + A cosh kL = 0

4

d^W^ 2 2

-j— = 0; — A^k sin kL — A^k cos kL X = L,

dx

+ A^k^ sinh kL + A k^ cosh kL = 0

3 4

0 1 0 1 r A4

0 -k" 0 k"

1

^2 s in kL cos kL sinh kL cosh kL

— k^sin kL -k^cos kL k^sinh kL k^cosh kL A

4

= 0

... (2- 1 1 )

Penyelesaian persamaan di atas hanya ada bila de terminan kurung pertama sama dengan 0 (nol).

Persamaan karakteristiknya menurut pustaka [3] adalah:

sin kL sinh kL = 0 ... (2— 12)

Persamaan di atas akan sama dengan nol, bila sinh kL = 0, yang mana berarti kL = 0 atau EX = oo. Ini berarti tidak ada lendutan atau ponding. Jawaban yang lain adalah bila sin kL = 0. Akar dasar terendah adalah kL = n atau

E Ir ^- n (2-13)

Dari persamaan (2— 11) didapat = A^ = 0, sehingga persamaan defle ksinya menjadi:

7T X

w = A sin kx = A sin 1 1 1 L— (2-14) dimana A^ = amplitude dari gelo mbang setengah sinus.

Berikut ini akan dibahas beberapa kasus, tetapi hanya di berikan hasil akhirnya saja. Untuk momen didapatkan dar i :

d^w dx

(2-15)

2.3.1.1. Untuk Beban Terbagi Rata.

Kasus ini dapat dilihat pada gambar 2.2a, Menurut pustaka [3]:

k L k L

tan -7T- sin kx + cos kx - tanh — sinh kx + cosh kx — 2

wmax ^_ _ q_

2 F

cos — 2 cos cosh + cosh k L I. k L

cos — cosh — IT—

2k'

k L k L

tan -o— sin kx + cos kx + tanh — o— sinh kx - cosh kx

M' m a x

2k^

oosh ^ - cos cos cosh

(2-16)

2.3.1.2. Untuk Beban Terpusat P, Yang Terletak Pada Tengah Bentang.

Kasus ini dapat dilihat pada gambar 2.2b.

Menurut pust aka [3]:

v _

/

y (b) p I '_'

?i

J .

(0

Gb .2.2 Kondi-sl-kondlsi. pembebanan

4 k El

sin k X sinh kx

0 < X < I 2

w

4 k" El tan - tanh

M = 4 kp sin k X ^ sinh kxcos k L ^ cosh k L2 0 < X < 1

M _max = 7_{4 k I} ^ ftan ₂ - tanh ₂

e =

4 k El cos cosh (2-17)

2.3.1.3. Untuk Beban Terpusat P, Yang Terletak Pada Sembarang Titik.

Kasus ini dapat dilihat pada gambar 2.2c.

Menurut pustaka [3]:

w =

M =

2 k El P

'sin k b sin k L sin k X — ^. I sinh k b sinh k L— T- sinh k x• . ,

sin k b , , sinh k b • , , sin k X + sinh k x sin k L sinh k L

2 k El

Momen terbesar terjadi tepat dibawah b e b a n : M P

2 k El

e = --- ---- 2 k V El

e

2 k El

'sin k a sin k b - sin k L

'sin k b sinh k b ,sin k L sinh k L

'sin k a sinh k a""

sin k L sinh k _lJ

sinh k L

(2-18)

2.3.2. Balok Sederhana Dengan Lendutan Awal Dan Beban Lexl

Kita tinjau balok pada gambar 2.3 yang mempunyai lendutan awal menurut pustaka [12] sebesar:

* . rr X

w = A sin V o L—

dimana = defleksi balok di tengah bentang L = panjang balok

(2-19)

Gb .2.3 B a l o k s e d e r h a n a d e n g a n l e n d u t a n a v a l d a n b e b a n l e r b a g i . r a t a

Penyelesaian partikuiir untuk kasus ini menurut pustaka [12] adalah:

w

k L

n

1 ^- k L n

q r

(2-20)

Kondisi batas untuk balok ini adalah:

w(0) = w"(0) :: w(L) = w"(L) = 0 ... (2 ~ 2 1) Kombinasi persamaan (2— 8) dan (2— 20) dengan mengingat kondisi batas pada persamaan (2-21) m e n g h a s i I k a n :

w =

2 r

tan k L

sin kx + cos kx - tanh k L sinh kx

+ cosh kx - 2

■k L

TZ

1 - k L

n r

(2-22) yang merupakan persamaan kurva elastis dan sesuai dengan pustaka [8]. Bagian terakhir dari persamaan (2— 22) berhubungan dengan lendutan awal, sedangkan bagian yang lain mempunyai hubungan dengan beban merata q. Jika q - 0 dan ^ 0, persamaan (2— 2 2 ) m e n j a d i :

w =

k Ln

1 ^- k L

n (2-23)

diiriana H = faktor pembesar yang mendekati tak terhingga bila (kh/n)* mendekati s a t u . Hal ini menghasilkan kekakuan kritis yang sesuai dengan pustaka [12]:

(E I)

C r -(2-24)

Kembali ke kasus A^ = 0 dan q 0, persamaan (2— 22)

dapat ditulis dalam bentuk:

_________ q_____________

2 r cos cosh

2 2

(cos kx + cosh kx - 2)

sinh kx + cos 2 k L

sin kx

cosh k L

(2-25) Defleksi yang didefinisikan oleh persamaan (2— 25) menjadi tak terbatas bila cos(kL/2) cosh(kL/2) mendekati O(nol). Kondisi ini tercapai bila:

cos k L = 0 (2-26)

dimana nilai terkecil adalah kL = n. Sehingga kekakuan kritisnya adalah sama dengan persamaan (2-24).

.B a l o k Sederhana__ Yang Mendapat Beban Momen Pada Salah Satu U.iungnva

Sebuah balok tanpa lendutan awal (pada gambar 2.4) mendapat beban momen pada ujung sebelah kanan (di titik B) dengan beban q = 0. Kondisi batasnya adalah sebagai berikut:

w(0) = w"(0) = w(L) = 0 dan w"(L) = - M.

(2-27)

Gb .2.4 B a lo k s e d e r h a n a y a n g u ju n g n y a m e n d a p a t b o b a n moTtion

dengan penyelesaian partikulir w = 0. Dengan memakai

p

persamaan (2— 8) serta mengingat kondisi batas pada persamaan (2-27), menurut pustaka [12] akan didapatkan:

W M, sinh kL sin kx - sin kL sinh kx'

sin kL sinh kL -(2-28)

2 k El

yang menjadi tak terbatas bila kL mendekati n, dan akan menghasilkan kekakuan kritis untuk balok sederhana seperti yang diberikan oleh persamaan (2— 24).

G b . 2 . 5 B a l o k d e n g a n l u m p u a n s e d e r h a n a - j e p i l

Balok Dengan Tutnpuan Sederhana-Jepit

Dengan menggunakan prinsip superposisi, kurva defleksi untuk balok dengan tumpuan sederhana-jepit tanpa lendutan awal yang dibebani dengan beban terbagi rata q, seperti ditunjukkan pada gambar 2.5, dapat dip eroleh dengan menjumlahkan kedua penyelesaian sebelumnya (persamaan (2-16a) dan (2-28)), sehingga didapatkan seperti yang terdapat pada pustaka [12]:

w =

2 r

t an k L sin kx + cos kx tanh k L sinh kx

+ cosh kx — 2 + ^M. sin kx sinh kx

sin kL sinh kL (2-29) 2 k El

dimana = momen yang tak diketahui besarnya yang

D

dicari melalui persamaan (2— 29) dengan syarat bahwa slope pada tumpuan jepit = 0. Hal ini m e n g h a s i l k a n :

M. COL kL - coth kL (2-30)

yang sesuai dengan pustaka [12], kemudian bila nilai tersebut disubstitusikan ke persamaan (2— 29) m e n g h a s i l k a n ;

2 r

tan k L

sin kx + cos kx - tanh k L

sinh kx

+ cosh kx — 2 + tan 2 - tanh k L'^

2 ■"sin kx sinh kx‘

cot kL — coth kL

J

^{.sin kL sinh kLj}

(2-31) yang persamaan karakteristiknya menurut pustaka [12]

ada 1ah:

cos kL sinh kL = sin kL cosh kL ... (2-32) dimana nilai terkecil adalah kL = 3,927 yang raemberikan kekakuan kritis minimum yang diperlukan, yaitu:

(E I), ^l“

(3,927)' (2-33)

2.,3-...5. Balok Dengan Tumpuan J epit.-..!l.e.Rit

Dengan cara yang sama, kurva defleksi untuk balok terjepit pada kedua ujungnya dan memikul beban terbagi rata q, menurut pustaka [12] dapat ditulis sebagai berikut:

tan k L sin kx - tanh k L sin kx + cos kx

+ cosh kx — 2

~sin k(L-x)

J .

tanh k L

2 tan k LI

2 'sin kx sinh kx]

tanh tan k L

2

J

^{,sin kL sinh kLj}

sin kL

sinh k ( L - x )

sinh kL -(2-34)

Menurut pust aka [12] kekakuan minimum yang diperlukan untuk kasus ini diperoleh dari kasus sebelumnya, yaitu:

(E I)

(4,73)* (2-35)

2 . 3 . 6 . B a l o k Jlenerus

Kurva defleksi untuk balok menerus yan g mengalami beban ponding didapatkan dengan cara memutus kesinambungan balok menerus tersebut pada perletakan bagian tengah, kemudian kesinambungan tersebut dinyatakan dengan slope dan m o m e n .

Hal ini akan menghasilkan persamaan simultan, dari sini kurva defleksi dan persamaan karakteristik didapat. Pada gambar 2.6a terdapat balok menerus yang dibebani dengan beban yang tidak sama besar dan secara serempak mendapat beban genangan zat cair yang mempunyai massa jenis y.

Pada semua bentang, defleksi dapat diasumsikan ke atas/

ke bawah, atau ke atas dan ke bawah pada ben tang yang sama seperti yang dipe rlihatkan oleh gambar 2.6b. Pada metode ini diharapkan bahwa defleksi ke atas yang paling

(a)

(b) .

Gb .2.6 B a lo k tn e n e r u s di. a t o s IQ p e r l d t o k a n

besar masih kurang dari kedalaman air sebesar A. Bila kondisi ini tidak terpenuhi, ketidaksinambungan beban air tersebut akan terjadi dan ini akan menyulitkan dalam mencari p e n y e l e s a i a n n y a . Pada sebuah balok menerus tanpa lendutan awal dengan beban terbagi rata q , pada

n

ma sing-masing bentang, dan beban air dengan kedalaman A, penyelesaian untuk masing-masing be ntang menurut pu staka

[12] dlperoleh dengan menggabungkan persamaan <2-22) dan (2-28). Defleksi yang dihasil kan untuk bentang ke n a d a l a h :

=

2 r

tan k L ■

n n

tanh k L ■

n n

sinh k X + cosh k x - 2

n ri n n

M 2 k E I

n n

sin k Xn n sin k Ln n

sinh k Xn n sinh k Ln n

Mn - 1

2 k E In n

sin k (L - X )n n n sin k L

n n

sinh k (L - X )n n n sinh k L n n

Slope pada ujung kanan bentang ke n adalah:

(2-36)

2 r

<p _{— n} 2 k E I -n n n a ₊ 2 k E l ^{M n}n n n (2-37) dan slope pada ujung kiri bentang ke n+1 adalah:

0 = k

n n+1

2 r M

^ . _____n-f 1

2 k n+1 E l n + 1 ^a n+1

2 k n+1 E l n+1 'n+1 (2-38)

dimana a -n sin k Ln n

tan k Lr» n

sinh k Ln n tanh k Lr» n

k L k L

tan — o-- — tanh — -- (2-39) Untuk memelihara kesinambungan balok pada perletakan ke n, maka kondisi 9ri - 0 n harus terpenuhi. Dari sini menurut pustaka [12] akan didapatkan:

a

M r 0. ftn+1

k In n k . I .n+1 n+1

a n+ 1

I M"n+l n + 1 n+1

*

•

4>

I k® I ^n+1

n n ^ n+1 n +1_

(2- ^ 0)

yang merupakan kondisi yang harus dipenuhi pada semua perletakan. Bila balok tersebut menerus di atas m

perletakan, maka akan didapatkan m persamaan seperti yang didefin isikan oleh persamaan (2-40) dalam bentuk m momen yang tak diketahui.

Sebagai contoh, sebuah balok dengan dua bentang di atas tumpuan sederhana seperti yang ditunjukkan pada gambar 2.7a. Momen pada tepi masing-masing bentang

= 1 dan n+1 = 2, persamaan (2—40) menjadi:

+ r A I.

r A

<p. +1 0 k" I ²

2 2

ft. (2-41)

Sehingga kurva defleksi untuk bentang kiri dan kanan masing- masing menjadi:

tan

k L 1

1 1

sin k^x^ - tanh

sinh + cos iK \ +

” ^{- «}

r A

*

r A

I. I.

<P.

k I k I

1 1 2 2

1 1

sin k^x^ sinh k^x^

sin k^L^ sinh

( 2 - i 2 ) dan

W,(x) = 2 tan sin k^Xj, - tanh sinh k^x^

+ cos k„x^ + cosh k X — 2

2 2 2 2

sin x^,) sin k2 2

( 2 - i 3 )

(b)

r- ‘ v

(c)

Gb- 2.7 B e n tu k l o n d u l a n a n t ia i .m e l r i d a n s i m e t r i p a d a b a lo k tn e n o r u s d e n g a n d u a b e n t a n g .

Defleksi pada bentang sebelah kiri dan /atau kanan seperti yang didefinisikan oleh persamaan (2-42) dan (2-43) menjadi tak terbatas bila:

cos — 2— cos — 2— ~ ... (2-44) kondisi ini terpenuhi untuk k^L^ = n atau k^^L^ = n, yang pe nyelesaiannya sama dengan balok berbentang tunggal di atas tumpuan se derhana dan mempunyai kekakuan kritis seperti yang dinyatakan oleh persamaan (2-24).

Nilai-nilai kekakuan kritis tambahan dapat di peroleh

dari ^ Dengan mengetahui

pe rbandingan (k^ : k^), (L^ : L^), dan (I^ : I^), akan didapat akar dasarnya. Untuk kejadian khusus dimana k^ =

k^ = k, = L, dan menurut pustaka

[12] akan didapatkan p e n y e l e s a i a n :

tan kL tanh kL = 0 ... (2-45)

yang akan menghasilkan akar dasar kL = 3,927, 7,069, 10,21, ... Akar-akar dasar ini sama dengan akar dasar yang diperoleh dari balok dengan tumpuan sederhana-jepit dan bentuk simetri untuk mode ini di tunjukkan oleh gambar 2.7c. Untuk contoh ini persamaan (2-44) dipakai untuk mode asimetri seperti yang dit unjukkan oleh gambar 2.7b dengan akar dasar kL = n, 2n, 3 n , ..., dan akar dasar terkecil kL = n. Dengan cara yang sama, balok dengan m bent ang dapat dianalisa.

2.4. PENYELESAIAN PERSAMAAN PLAT

2.4 ■ 1 ■___Plat Empat__ Persegi__ Pan.iang__ Hi__ AJias__ Tumpuan

Sebuah plat dengan panjang sisi a dan b terletak di atas tumpuan sederhana pada ke empat sisinya. Plat ini mempunyai lendutan awal w. = 0. Jika plat ini I dibebani dengan beban terbagi rata q^, menurut pu staka [12]

dapat didefinisikan sebagai berikut:

16 sin — sin

= - T — 7T D tn= 1 , 3 , . . n= 1 , 3 , . .> Z

mn

(2- ^ 6)

sedangkan untuk defleksi w^(x,y), .persamaan (2-4) dapat ditulis dalam bentuk:

- &

16 00 00

y

sin --- sin^ItlTTXa nrry

b

tt'^ D m = 3 , . . n =1 , 3 . . .

mn

2 2

m 1 n

2 .2

. a b

2

... (2-^7) syarat batas yang harus dipenuhi adalah:

w (0,y) = 1 X XX ■ w,(a,y) = w (a,y) X X XX = 0 w^(x,0) = w^(x,0)yy = w^(x,b) = w^(x,b)yy = 0

... (2-48) dimana x dan y (tulisan di bawah garis) masing-masing menunjukkan diferensial parsial untuk x dan y. Misalkan w mengambil bentuk deret sebagai berikut:

00 00 mTTx_ nny

n=lT3,.. " ....( 2 - 4 9 )

uu uu

w (x,y) = 1 La y y Li A mn sin —a sin

Masing-masing bagian dari deret di atas memenuhi syarat batas pada persamaan (2-48).Dengan memasukkan persamaan (2-49) ke . persamaan (2-47) akan didapatkan nilai konstanta A yang sesuai dengan pustaka [12], yaitu:

m n

<5 , ^ 2

n D m n m a

TT m n

(2-50)

Dengan memasukkan persamaan (2— 50) ke persamaan (2-49) dan membandingkan defleksi dengan defleksi

(persamaan (2-46)) dapat terlihat bahwa keberadaan zat cair akan tcietaperbesar defleksi sebesar:

f 2 212

m _T, n r

a b D

Faktor ini akan menjadi tak berhingga bila r/D mendekati + n^/b^)^, dan kekakuan kritis plat diperoleh bila m = n = 1, sehingga

D r

n

(2-51)

^ 1 *

_ a b _

Total defleksi ( ) untuk plat tanpa lendutan awal di atas tumpuan sederhana yang mendapat beban terbagi rata dan genangan zat cair dengan massa jenis r menurut pustaka [12] dapat didefinisikan dengan:

16 q. ^{00 00}

I . 1

niTTx nnry sin --- sin —a b n D m= i , 3,. . n= 1 , 3_{,. .}

mn _rr4 ^f 2 2_‘

ni , n 2

ft r

m

2 ,2

a b D

(2-52)

2.4.2.__ PlAt E.ers.£^i Pan.iang T a n g Bertumpu Pada Tumpuan S ^ d ^ h a a a __ Eada__ D-U..a-..S isl__ Yang Berhadapan Dan Tumpuan

Bila sumbu koordinat diletakkan pada pusat plat, maka tepi plat akan terletak pada x = ± a/2 dan y = ± b/2, sehingga persamaan (2-4) dapat diselesaikan dengan syarat batas:

w

. w

-a

X .

-,y -b

= w '-a L 2 r -b 1

= w X, 2 _

= w

= w

7->y

y

X , = w

—a ,y = 0

(2-53) Seperti pada kasus sebelumnya, diasumsikan bahwa w. = 0.

Penyelesaian diperoleh dengan menyelesaikan persamaan homogen:

terlebih dahulu

(2-54)

---^ W 0

yang mempunyai syarat batas seperti pada persamaan (2-53).

Misalkan w(x,y) pada daerah persegi panjang yang dibatasi oleh x = ± a/2 dan y = ± b/2 mempunyai bentuk:

00

I

^(2-55)

m = 1 , 3 , . .

Ma sing-masing bagian dari deret tersebut memenuhi syarat batas sepanjang x = ± a/2. Sekarang hanya tinggal persamaan (2— 54) dan syarat batas sepanjang y - ± b/2 yang harus dipenuhi olehnya. Dengan memasukkan persamaan (2— 55) ke dalam persamaan (2— 54) akan dihasilkan persamaan diferensial umum dalam Y , yaitu:

m

— 9 m rr

a Y +

m

-"m n' ² r ⁿ

a D Y = 0 -(2-56)

Untuk r/D 2 (mrr/4) , penyelesaian persamaan (2— 56) menurut [12] adalah:

X y O y \ y Cl y

XT A ^ l * « l ^ A • ^

= K = h *2 + *9 _—

... (2-57)

o = b

m

/ / ^ / / ^

m rr a m fT

= 2 m n

(2-58) Dengan memasukkan persamaan (2-57) ke dalam syarat batas yang terdapat pada pe rsamaan (2-53) sepanjang y = ± b/2, menurut [12] menghasilkan pe rsamaan k a r a k t e r i s t i k :

m O a X

cos ^ — O sin v^uc^it r)

2 m 2 2

Untuk masing-masing nilai m = 1, 3, 5, persamaan (2— 59) mempunyai nilai tak berhingga, sehingga diperlukan suatu karakter n untuk \ Tnn dan O TT)n (n = 1, 2, 3, ...), yang merupakan "eigenvalue" untuk y , yang

m

bersama persamaan (2— 58) mendefinisikan kekakuan kritis plat. Kekakuan kritis mi nimum (m = n = 1) adalah:

r

cosh (2-59)

r 111 2 ' n 2 1 b J a ,

(2-60)

dimana = akar dasar yang pertama yang sama dengan 5,789. Fungsi eigen (eigenfunction) yang memenuhi diferensial persamaan (2-54) dan syarat batas pada persamaan (2-53), menurut pustaka [12] dapat di tulis s e b a g a i :

w (x,y) = C

mn mn

r X y1 y1

cosh ^mn cos ^mn

L

^{L b .}

f ^

cosh cos

cos mTTx a

(2-81)

dima na C = konstanta. Fungsi ini memenuhi kondisi:

mn

a / 2 b / 2 -V ^ ^ 0, m=m & n=nn ' p

^ nn rn n

- a / 2 - b / 2

... (2-62)

= 0, ' & n ^ n '

dan orthogonal.

Dengan kesimpulan ini, untuk sebuah plat yang mula-mula datar dan mendapat beban merata q^, persamaan

(2-4) menjadi:

q

7^w - w = ... (2-63)

yang dapat diselesaikan dengan fungsi eigen (w ).

i nn

Menurut pustaka [12] hubungan q^/D dapat diekspresi kan s e b a g a i :

^ E ... (2-64)

m= 1 , 3 ,. . n = 1 , 3 , . . a / 2 b / 2

i* -T

U

w (x,y) dx dyTnn

- <^^^2 - b / 2 , ^ ,

dimana ... ... ... (2-65)

- a / 2 - b / 2

Demikian juga w(x,y) dapat diekspresikan dalam bentuk w sebagai berikut:

mn

CO 00

w(x,y) = y y C w (x,y) ... (2-86)

Zj

jLd

n^n mn

m= 1 , 3 , . . n = 1 , 2 , . .

Konsta nta C didapat dengan memasukkan persamaan (2-64)

mn

dan (2-66) ke dalam persamaan (2-63), menghasilkan C

mn

yang sesuai dengan pust aka [12] sebagai berikut:

C _mn = rr

r r 1

r ^ _I

r r ]

... (2-67)

I D J

_mn

I D ^

^.

dimana (lihat juga persamaan (2-58)) z

( r ] ^ 1 _mn 2

m n' ²'

I D _Jmn L b J a _. ^{(2-6 8)}

Pustaka [12] mengembangkan persamaan yang mendefinisikan permukaan plat yang terdefleksi sebagai:

00 00

w(x,y> = _{I I}

m = 1 , 3 , . . n = l , 2 , . .

r

^{r ']}

r

^{r ]}

L

^{D J}_mn

[

D J cosh r ^ _mn yl

cos ^mn

I b J L b

cosh mn cos mn

2 J _{I 2}

cos ^{m nx} (2-69)

Kondisi Kekakuan kritis min.

B A L 0 K Tumpuan sederhana - Tumpuan

sederhana

Tumpuan sederhana - Jepit

Jepit - Jepit

Menerus di atas 3 perletakan (perletakan tepi adalah jepit)

Menerus di atas sejumlah perletakan sederhana

(El)c r rr4

(EI)_ =

(3,927)“*

(El) = — (4,73)*

(3,927)- V

(El) ^{= ^}

c r 4

Tl

P L A T

T u m p u a n s e d e r h a n a

(pada keempat sisi)

Perletakan sederhana pada sisi b dan jepit pada sisi a

Menerus di atas sejumlah be ntang dengan perletakan sederhana pada semua tepinya

Dcr

D

D =c r

789

2 .2

a b

Tabel 1. Ringkasan kekakuan kritis minimum untuk balok dan plat

Tabel di atas dapat langsung dipergunakan untuk mengecek apakah suatu plat atau balok masih tetap stabil bila mengalami ponding. Berikut ini akan diberikan contoh penggun aan tabel tersebut.

2.5. CONTOH

3,00 m

3,00 m

3,00 m

3,00 m

3,00 m

10,00 _m 10,00 _m

Dari perencanaan suatu bangunan beratap datar seperti yang tergambar di atas didapatkan hasil sebagai b e r i k u t :

plat atap balok anak balok portal

6 mm

WF 175>t^90*18 WF 250*125*26

Perencanaan tersebut belum mempe rhitungkan adanya efek p o n d i n g .

Data yang sudah ada tersebut akan kita pakai untuk dasar penyelidikan apakah bangunan tersebut tetap stabil bila mengalami ponding.

0

A. Plat dengan kondisi batas menerus di atas sejumlah bentang dengan perletakan sederhana pada semua tepinya.

D E t^

yang ada 12 (1

= 540 kgm

- 2,1*10^° » (0,006)^

12 (1 - 0,3)

n r ¹⁰⁰⁰

L/cr — A _{^ i ^} ² jA _{1 1 1} ²

* TT ^{a 2 b _2}

n4

. 3_" 10_{" .}

= 69.9,89 kgm

Ternyata tebal plat yang ada tidak memenuhi syarat minimum bila dicek terhadap ponding. Untuk itu akan dihitung berapa tebal plat minimum yang dibutuhkan sebagai berikut:

t. .

mv n

1 / 3

12 (1 - 0,3) 699,89 2 , 1* 1 0“^

= 0,00854 m ^ 7 mm

B. Balok anak dengan kondisi batas tumpuan seder h an a — tumpuan sederhana

WF 175*90*18 ----> I = 1210 cm‘‘

El = 2,1*10^*^ * 1210*10"® = 254100 kgm^

El = = IQQQ... -*-^ 0-- = 307979 kgm^

c r n 4 n4

T ernyata kekakuan minimum akibat ponding yang menentukan.

I , = = 1,46656 lO'"" m'^ = 1466,56 om“

WF 175*125*23 I = 1530 cm'^

C. Balok portal dengan kondisi batas jepit-jepit WF 2 5 0 * 1 2 5 * 2 6 ----> I = 3540 chi'*

El = 2 , 1 * 1 0 “’ * 3540*10"° = 7 4 3 4 0 0 kgm*

El = -- '°°° * 3 * 15- ^

" (4,73)* ( 4 , 7 3 ) ‘ ( „ e „ e n u h l )

Bila misalnya plat yang ada diganti dengan plat beton dengan ketebalan minimum 7 cm, akan didapatkan:

^ = 75031,25 kgm

yang nilainya jauh melebihi .