G R A F I K A
Penerbit Tisara Grafika SALATIGA
2014
Dr. Adi Setiawan, M.Sc
DASAR-DASAR ALJABAR MODERN:
TEORI GRUP & TEORI RING
Hak Cipta dilindungi oleh Undang-undang
Dilarang mengutip atau memperbanyak sebagian atau seluruh buku ini tanpa seijin penulis
Cetakan pertama : Juni 2014
ISBN :
Hak Cipta : Pada Penulis
Desain Sampul : Tisara Grafika Tata letak : Harrie Siswanto Percetakan : Tisara Grafika
Penerbit : Tisara Grafika
978-602-9493-15-3
Diterbitkan oleh:
JL. DIPONEGORO 98 D - SALATIGA 50714 - JAWA TENGAH Telp.: 0298-321798 | Fax : 0298-321798
Mobile: 081 228 598 985 | 0819 0488 340| 0298-6138702 email: [email protected], [email protected] Bank: BNI Cabang Salatiga No. Rek. 369 57809
G R A F I K A G R A F I K A
Katalog Dalam Terbitan
512.24
ADI Adi Setiawan
d Dasar-dasar aljabar modern: teori grup & teori ring / Adi Setiawan. -- Salatiga : Tisara Grafika, 2014.
v, 182 hlm. ; 25 cm.
ISBN 978-602-9493-15-3
1. Group algebras. 2. Rings (Algebra) I. Title.
iii
KATA PENGANTAR
Aljabar abstrak atau struktur aljabar merupakan suatu mata kuliah yang memerlukan kemampuan berfikir logis yang berbeda dengan kemampuan berfikir yang diperlukan untuk mempelajari mata kuliah-mata kuliah lain seperti kalkulus misalnya. Liku-liku berfikir logis yang ditemui dalam mata kuliah ini memerlukan latihan yang cukup agar terbentuk cara berfikir yang diperlukan dalam pemecahan masalah yang ada dalam mata kuliah ini. Untuk membantu tercapainya tujuan itu, penulis dengan sengaja membuat tata letak penulisan bukti- bukti seperti yang digunakan dalam buku ini sehingga nantinya akan memudahkan pemahaman. Buku ini diharapkan bisa memberikan dasar-dasar aljabar modern yang nanti akan banyak digunakan dalam aljabar komputasi.
Materi kuliah Aljabar Abstrak dalam buku ini dibingkai dalam judul “Dasar-dasar Aljabar Modern: Teori Grup & Teori Ring” yang berisi tentang tentang teori grup dan teori ring. Sebagian besar bahan yang dipergunakan untuk menulis diktat kuliah ini mengambil dari pustaka [2] dan beberapa bagian lain mengambil dari pustaka [4], sedangkan pustaka yang lain dipergunakan untuk melengkapi latihan- latihan.
Penulis berharap bahwa buku ini nantinya dapat berguna untuk meningkatkan mutu dalam proses pembelajaran mata kuliah Aljabar Abstrak atau Struktur Aljabar di perguruan tinggi.
Salatiga, Juni 2014
Penulis
iv
v
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR iii
DAFTAR ISI v
I PENDAHULUAN 1
II GRUP 20
III GRUP BAGIAN 26
IV GRUP SIKLIK 32
V GRUP Zn* 45
VI TEOREMA LAGRANGE 49
VII HOMOMORFISMA GRUP 54
VIII GRUP NORMAL 66
IX GRUP FAKTOR 71
X HASIL KALI LANGSUNG 83
XI RING DAN RING BAGIAN 88
XII DAERAH INTEGRAL DAN FIELD 102
XIII IDEAL DAN RING KUOSEN 112
XIV HOMOMORFISMA RING 121
XV RING POLINOMIAL 131
XVI RING KUOSEN DARI RING POLINOMIAL 143
XVII FIELD PERLUASAN 153
XVIII DAERAH FAKTORISASI TUNGGAL, DAERAH IDEAL UTAMA DAN DAERAH EUCLID
164
XIX PENUTUP 181
DAFTAR PUSTAKA 182
Dasar-dasar Aljabar Modern: Teori Grup dan Teori Ring 1
BAB I PENDAHULUAN
Dasar-dasar Aljabar Modern yang akan dibahas dalam buku ini adalah tentang teori grup dan teori ring. Dasar-dasar teori tentang teori himpunan, operasi biner, bukti dengan induksi, algoritma pembagian, relasi ekuivalensi dan penyekatan berikut ini sangat penting dalam pembahasan tentang teori grup dan teori ring.
1. Himpunan
Himpunan adalah suatu kumpulan objek (kongkrit maupun abstrak) yang didefinisikan dengan jelas. Objek-objek dalam himpunan tersebut dinamakan elemen himpunan.
Contoh I.1
Ditulis A = {0, 1, 2, 3} untuk menunjukkan bahwa himpunan A mengandung elemen 0, 1, 2, 3 dan tidak ada elemen lain. Simbol
{0, 1, 2, 3}
dibaca sebagai “himpunan dengan elemen 0, 1, 2, dan 3”.
Contoh I.2
Himpunan B terdiri dari semua bilangan bulat non negatif dan ditulis B = { 0, 1, 2, 3, … }.
Tanda tiga titik dinamakan pemendekan (ellipsis) yang berarti bahwa pola dikenalkan sebelumnya akan terus berlanjut. Simbol
{ 0, 1, 2, 3, … }
dibaca sebagai himpunan elemen 0, 1, 2, 3 dan seterusnya.
Contoh I.3
Himpunan B dalam Contoh I.2 dapat digambarkan dengan menggunakan simbol pembangun himpunan sebagai berikut
2 Dr. Adi Setiawan, M. Sc B = { x | x adalah bilangan bulat tidak negatif }.
Garis tegak merupakan pemendekan untuk sedemikian hingga dan kita menulis sebagai “himpunan semua x sehingga x adalah bilangan bulat tidak negatif.”
Untuk menyatakan simbol elemen atau elemen himpunan dapat digunakan x A dan dibaca x elemen A sedangkan untuk menyatakan simbol x bukan elemen A digunakan x A. Pada Contoh I.1 diperoleh 2 A dan 7 A.
Definisi I.1
Misalkan himpunan A dan himpunan B. Himpunan A dinamakan himpunan bagian (subset) dari B jika untuk setiap elemen dari A merupakan elemen dari B. Salah satu simbol A B atau B A menunjukkan bahwa A merupakan himpunan bagian dari B.
Definisi I.2
Dua himpunan dikatakan sama jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang tepat sama.
Himpunan A dan B sama dan kita menulis sebagai A = B jika setiap elemen A juga menjadi elemen B dan jika setiap elemen B juga menjadi elemen A. Biasanya, bukti bahwa dua himpunan sama dinyatakan dalam 2 bagian. Pertama, menunjukkan bahwa A B dan yang kedua bahwa B A sehingga dapat disimpulkan bahwa A = B.
Definisi I.3
Jika A dan B himpunan maka A himpunan bagian sejati dari B jika dan hanya jika A B dan A B.
Sering kali ditulis A B untuk menyatakan bahwa A himpunan bagian sejati dari B.
Dasar-dasar Aljabar Modern: Teori Grup dan Teori Ring 3 Contoh I.4
Pernyataan berikut ini untuk menggambarkan simbol himpunan bagian sejati dan kesamaan himpunan :
{ 1, 2, 4 } { 1, 2, 3, 4, 5 }, { a, c } = { c, a }.
Pada himpunan, terdapat dua operasi dasar yaitu gabungan (union) dan irisan (intersection) yang digunakan untuk meng- kombinasikan.
Definisi I.4
Jika A dan B himpunan, gabungan A dan B adalah himpunan A B (yang dibaca A gabung B) yaitu
A B = { x | x A atau x B }.
Irisan dari A dan B adalah himpunan A B ( yang dibaca A irisan B) yaitu A B = { x | x A dan x B }.
Gubungan dua himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya berada di himpunan A atau di himpunan B atau di kedua himpunan tersebut. Irisan himpunan A dan B adalah himpunan yang elemennya berada di kedua himpunan tersebut.
Contoh I.5
Misalkan A = { 2, 4, 6} dan B = { 4, 5, 6, 7}, A B = { 2, 4, 5, 6, 7}
dan A B = { 4, 6 }.
Contoh I.6
Mudah dibuktikan bahwa A B = B A yaitu A B = { x | x A atau x B } = { x | x B atau x A } = B A.
4 Dr. Adi Setiawan, M. Sc Karena A B = B A maka kita katakan bahwa operasi gabungan mempunyai sifat komutatif. Jelas dan mudah dibuktikan juga bahwa A B = B A dan kita juga mengatakan bahwa operasi irisan mempunyai sifat komutatif.
Mudah untuk menemukan himpunan yang tidak mempunyai elemen bersama. Sebagai contoh, himpunan A = { 1, -1 } dan
B = { 0, 2, 3}
yang tidak mempunyai elemen bersama. Hal itu berarti bahwa tidak ada elemen bersama dalam irisan mereka yaitu dalam A B dan dikatakan bahwa irisannya merupakan himpunan kosong (empty set).
Himpunan kosong adalah himpunan yang tidak mempunyai elemen dan himpunan kosong disimbolkan dengan atau { }. Dua himpunan A dan B dinamakan saling asing (disjoint) jika dan hanya jika A B = .
Himpunan { 1, -1} dan { 0, 2, 3} saling asing karena { 1, -1} { 0, 2, 3} = .
Hanya terdapat 1 himpunan kosong dan merupakan himpunan bagian dari setiap himpunan. Untuk himpunan A dengan n elemen (n adalah bilangan bulat tidak negatif) dan dapat ditulis semua himpunan bagian dari A. Sebagai contoh, jika
A = { a, b, c } maka himpunan bagian dari A adalah
, { a }, { b }, { c }, {a, b }, { a, c}, {b, c }, A.
Definisi I.5
Untuk sebarang himpunan A, kuasa (power) dari himpunan A dinotasikan dengan P(A) yaitu himpunan semua himpunan bagian dari A dan ditulis dengan
P(A) = { X | X A }.
Contoh I.7
Untuk A = { a, b, c }, kuasa himpunan A adalah
P(A) = { , { a }, { b }, { c }, {a, b }, { a, c}, {b, c }, A }.
Dasar-dasar Aljabar Modern: Teori Grup dan Teori Ring 5 Sangatlah bermanfaat untuk mengambarkan himpunan yang menjadi perhatian dalam suatu gambar atau diagram. Apabila kita mengerjakan hal ini maka kita mengasumsikan bahwa himpunan yang menjadi perhatian merupakan himpunan bagian dari suatu himpunan semesta (universal set) yang disimbolkan dengan U yang dinyatakan dengan persegi panjang sehingga lingkaran termuat dalam persegi panjang. Irisan A dan B yaitu dinyatakan dengan daerah yang saling beririsan yaitu ketika dua buah lingkaran berhimpitan. Diagram yang digunakan untuk menyatakan hal ini dinamakan diagram Venn seperti diperlihatkan pada Gambar I.1.
Gambar I.1 Digram Venn Irisan Himpunan A dan B serta Himpunan Semesta
Definisi I.6
Sebarang himpunan bagian dari himpunan semesta U, komplemen B dalam A yaitu
A – B = { x U | x A }.
Simbol khusus Ac = U–A = {s U | x A }. Simbol Ac dibaca komplemen A sebagai pemendekan dari komplemen A dalam U.
Contoh I.8
Misalkan U = { x | x adalah bilangan bulat }, A = { x | x bilangan bulat genap } dan B = { x | x bilangan bulat positif } maka
