Modul 7 Aplikasi Transformasi Laplace

(1)

tetapi sebelum itu akan diberikan teori dan beberapa definisi tambahan mengenai tetapi sebelum itu akan diberikan teori dan beberapa definisi tambahan mengenai teorema harga aal dan

teorema harga aal dan harga akhir dan beberapa definisi harga akhir dan beberapa definisi dasar lainnya.dasar lainnya.

7.1 Teorema Harga Awal dan Harga A!"r 7.1 Teorema Harga Awal dan Harga A!"r !edu

!edua a teorteorema ema fundfundamenamental tal yang akan yang akan kita bicarakakita bicarakan n dikedikenal nal sebasebagai gai teorteoremaema har

harga ga aaal al dadan n harharga ga akhakhirir. . TTeeoreorema ma tertersebsebut ut akaakan n memmemungungkinkinkan kan kitkita a ununtuktuk menghitung f"#

menghitung f"#$$_{% dan f"&% dengan memeriksa harga-harga batas dari '"s%. (ntuk}_{% dan f"&% dengan memeriksa harga-harga batas dari '"s%. (ntuk} menurunkan teorema harga aal, maka kita tin)au sekali lagi transformasi Laplace menurunkan teorema harga aal, maka kita tin)au sekali lagi transformasi Laplace dari turunan, dari turunan, * *







₌₌







dt dt df df s'"s% + f"#%  s'"s% + f"#% 

∫ ∫

−− ~ ~ 0 0 dt dt dt dt df df e e st st

kita ambil sekarang s mendekati tak berhingga. engan demikian integral men)adi kita ambil sekarang s mendekati tak berhingga. engan demikian integral men)adi dua bagian, dua bagian, ~ ~ lim lim → → s s s'"s% + f"#%/ s'"s% + f"#%/ limlim s s→→~~ ""

∫ ∫

++ −− ++ −− −−

₊₊

~~ 0 0 0 0 0 0 dt dt dt dt df df e e dt dt dt dt df df e e st st st st ##

maka kita lihat baha integral kedua harus mendekati nol di dalam limit karena maka kita lihat baha integral kedua harus mendekati nol di dalam limit karena integral itu sendiri mendekati nol. 0uga f"#-% bukanlah fungsi dari s, dan itu dapat integral itu sendiri mendekati nol. 0uga f"#-% bukanlah fungsi dari s, dan itu dapat dipindahka

dipindahkan dari n dari limit kiri,limit kiri,

-f"#-% $

-f"#-% $ _s_slimlim_→_→_~_~ 11ss''""ss%%22  limlim_s_s_→_→_~_~

∫

+ + − − 0 0 0 0 df df $ $_s_slimlim_→_→_~_~ 1f"#$% + f"#-%21f"#$% + f"#-%2   f"#$% f"#$% + + f"#-%f"#-% dan akhirnya 3 dan akhirnya 3 f"#$%  f"#$%  _s_slimlim_→_→_~_~ 1s'"s%21s'"s%2 atau atau

==

++ → → (( )) lim lim 0 0 f f t t s s s s

lim

→→~~

[ [

sF

((

s

))

]]

PUSAT

(2)

Trusted by over 1 million members

Try Scribd FREE for 30 days to access over 125 million titles without ads or interruptions!

Start Free Trial

Cancel Anytime.

(3)

4ni adalah pernyataan matematis dari teorema harga aal "initial-value theorem%. 4ni adalah pernyataan matematis dari teorema harga aal "initial-value theorem%. Teorema ini mengatakan baha harga aal dari fungsi aktu f"t% dapat diperoleh dari Teorema ini mengatakan baha harga aal dari fungsi aktu f"t% dapat diperoleh dari trans

transformaformasi si LapLaplacelacenya nya '"s% '"s% dendengan gan mulamula-mul-mula a mengmengalikalikan an trantransform sform tersetersebutbut dengan s dan kemudian memasukkan nilai s menu)u tak berhingga. 5ebagai contoh dengan s dan kemudian memasukkan nilai s menu)u tak berhingga. 5ebagai contoh dipilih f"t%  cos

dipilih f"t%  cos ωω_#_#_{t, kita lihat bah}_{t, kita lihat baha f"#$%  6,}_{a f"#$%  6, sekarang kita h}_{sekarang kita hitung}_itung

[ [

((

))

]]

lim

~ ~

sF

s

s s→→   s slimlim→→~~ 22 11 0 0 2 2

   

==

 

 



 

 

++

ω ω s s s s s s

7arga ini ternyata cocok dengan f"#$%. 7arga ini ternyata cocok dengan f"#$%.

Teorema harga akhir tidaklah begitu berguna seperti teorema harga aal, karena Teorema harga akhir tidaklah begitu berguna seperti teorema harga aal, karena banyak fungsi f"t% yang tidak atau tak dapat ditentukan harga akhirnya, misalnya cos banyak fungsi f"t% yang tidak atau tak dapat ditentukan harga akhirnya, misalnya cos ω

ω_#_#_{t dan si}_{t dan sin}_n ωω_#_#_{t. engan cara yang hampir sama dapat diturunkan teorema harga}_{t. engan cara yang hampir sama dapat diturunkan teorema harga} akhir sebagai berikut 3

akhir sebagai berikut 3

==

→ → (( )) lim lim ~ ~ f f t t s s

lim

s s

lim

→→00

[ [

sF

((

s

))

]]

5ebagai contoh langsung dari pemakaian teorema ini, kita tin)au fungsi 5ebagai contoh langsung dari pemakaian teorema ini, kita tin)au fungsi f"t% 

"6-e-f"t%  "6-e-atat_{%u"t%, dengan a 8 #, kita lihat baha f"&%}_{%u"t%, dengan a 8 #, kita lihat baha f"&% 6. Transformasi dari f"t% adalah 3}_{6. Transformasi dari f"t% adalah 3} '"s%  '"s%  )) (( 1 1 1 1 a a s s s s a a a a s s s s

−−

++

==

++

engan mengalika

engan mengalikan dengan s n dengan s dan memasukkan nilai s mendekati nol, kita dapatdan memasukkan nilai s mendekati nol, kita dapat

[ [

((

))

]]

lim

0 0

sF

s

s s→→   limlim→→00_s_s

++

_a_a

==

11 a a s s

ternyata harga ini cocok dengan f"&%. ternyata harga ini cocok dengan f"&%.

7.+ F,ng-" Pem"nda! 

7.+ F,ng-" Pem"nda! Transfer FunctionTransfer Function_{# H-#}_{# H-#}

'ungsi Pemindah adalah perbandingan keluaran9output dalam bentuk transformasi 'ungsi Pemindah adalah perbandingan keluaran9output dalam bentuk transformasi Laplace dengan masukan9input dalambentuk fungsi Laplace )uga.

Laplace dengan masukan9input dalambentuk fungsi Laplace )uga. 5ecara matematis5ecara matematis 'ungsi Pemindah dapat ditulis 3

'ungsi Pemindah dapat ditulis 3

)) (( )) (( )) (( s s F F s s F F s s H H ii o o

==

(4)

(5)

Respon impuls adalah respon atau fungsi keluaran dalam fungsi t, )ika masukannya Respon impuls adalah respon atau fungsi keluaran dalam fungsi t, )ika masukannya adalah impuls satuan 1

adalah impuls satuan 1δδ_"t%2._"t%2.

7.2 H,3,ngan Re-0on Im0,l- dan F,ng-" Pem"nda! 7.2 H,3,ngan Re-0on Im0,l- dan F,ng-" Pem"nda!

!ita lihat pada persamaan 7"s%, )ika inputnya impuls satuan 1

!ita lihat pada persamaan 7"s%, )ika inputnya impuls satuan 1δδ_{"t%2, maka '}_{"t%2, maka '}_ii_{"s% 6}_{"s% 6} sehingga 7"s%  '

sehingga 7"s%  'oo"s% artinya keluarannya adalah 'ungsi "s% artinya keluarannya adalah 'ungsi pemindah 7"s%, sedangkanpemindah 7"s%, sedangkan menurut definisi )ika masukannya adalah impuls satuan, maka keluarannya dalam menurut definisi )ika masukannya adalah impuls satuan, maka keluarannya dalam fungsi t

fungsi t adalah respons impuls h"t%. :aka adalah respons impuls h"t%. :aka dapat diambil kesimpulan fungsi pemindahdapat diambil kesimpulan fungsi pemindah 7"s% transform Laplace dari respons impuls h"t% dan sebaliknya respons impuls h"t% 7"s% transform Laplace dari respons impuls h"t% dan sebaliknya respons impuls h"t% adalah inverse transform Laplace dari 7"s% atau dapat digambarkan 3

adalah inverse transform Laplace dari 7"s% atau dapat digambarkan 3

4 4 h"t% 7"s% h"t% 7"s% 4 4(1(1

7.5 Tran-6orma-" La0lae 0ada Anal"-a Ranga"an RLC 7.5 Tran-6orma-" La0lae 0ada Anal"-a Ranga"an RLC (ntu

(ntuk k perhperhitunitungan gan rangrangkaiakaian n linilinier er mengmenggunagunakan kan transtransformaformasi si LaplLaplace ace biabiasanysanyaa induktor dan kapasitor langsung dibuat rangkaian penggantinya sehingga tidak lagi induktor dan kapasitor langsung dibuat rangkaian penggantinya sehingga tidak lagi mulai dari persamaan diferensial.

mulai dari persamaan diferensial.

7.5

7.5.1.1 ReRela-la-" E"8" E"8alealen ,n,n ,n, Re- Re-"-"-or daor dalam Dlam Domaoma"n -"n

-!arakteristik tegangan arus dalam domain s suatu resistor, R adalah3 !arakteristik tegangan arus dalam domain s suatu resistor, R adalah3

; ;RR"s%  R 4"s%  R 4RR"s%"s% R  R 

))

((

))

((

s

I

s

V

R R R R 7.5.2

7.5.2 _{Rela-" E"8alen ,n, Ind,or dalam Doma"n -}_{Rela" E"8alen ,n, Ind,or dalam Doma"n} -Persamaan untuk 4nduktor "dalam diferensial% 3

Persamaan untuk 4nduktor "dalam diferensial% 3

dt dt di di L L v v

==

0ika persamaan tersebut di transformasikan dalam bentuk Laplace akan men)adi 3 0ika persamaan tersebut di transformasikan dalam bentuk Laplace akan men)adi 3

;"s%

;"s%   L1s4"s% L1s4"s% + + i"#%2i"#%2  sL 4"s% + Li"#%  sL 4"s% + Li"#%

(6)

(7)

∫ ∫

+

=

11 ₀₀~~vv((t t ))d d ((t t )) ii((00)) L L ii

0ika persamaan tersebut di transform Laplace akan men)adi 3 0ika persamaan tersebut di transform Laplace akan men)adi 3

s s ii s s s s V V L L s s I I (( ))

==

11 (( ))

++

((00)) s s ii s s V V sL sL s s I I (( ))

==

11 (( ))

++

((00)) 7.5.3

7.5.3 _{Rela-" E"8alen ,n, Ka0a-"or dalam Doma"n -}_{Rela" E"8alen ,n, Ka0a"or dalam Doma"n} -Persamaan untuk !apasitor "dalam integral% 3

Persamaan untuk !apasitor "dalam integral% 3

∫ ∫

+

=

~~ 0 0 (( )) (( )) ((00)) 1 1 v v t t d d t t ii c c v v

0ika persamaan tersebut di transformasikan dalam bentuk Laplace akan men)adi 3 0ika persamaan tersebut di transformasikan dalam bentuk Laplace akan men)adi 3

s s v v s s s s I I C C s s V V (( ))

==

11 (( ))

++

((00)) s s v v s s I I sC sC s s V V (( ))

==

11 (( ))

++

((00))

Persamaan untuk !apasitor "dalam diferensial% 3 Persamaan untuk !apasitor "dalam diferensial% 3

dt dt dv dv c c ii

=

0ika persamaan tersebut di transform Laplace akan men)adi 3 0ika persamaan tersebut di transform Laplace akan men)adi 3

4"s%  C1s;"s% + v"#%2 4"s%  C1s;"s% + v"#%2   sC sC ;"s% ;"s% + + Cv"#%Cv"#% Cono! -oal9 Cono! -oal9

Tin)au rangkaian yang ditun)ukan pada gambar <.6 "a%, dengan 4

Tin)au rangkaian yang ditun)ukan pada gambar <.6 "a%, dengan 4LL"#"#--%  6, v%  6, vCC"#"#--%  %  == dan >"t% 

(8)

(9)

?ambar <.6 Rangkaian RLC ?ambar <.6 Rangkaian RLC 'awa39

'awa39

Persamaan pada node 63 Persamaan pada node 63

0 0 )) (( )) (( 2 2 2 2 // 1 1 )) (( 2 2



−−

==











++

−−

sY sY s s Y Y ss

s s s s s s Y Y atau, atau, )) 3 3 3 3 (( 1 1 6 6 2 2 )) (( ₂₂ 2 2

++

==

s s s s s s s s s s s s Y Y  

( (

))

22 2 2 2 2 // 3 3 )) 5 5 ,, 1 1 (( 5 5 3 3 // )) 5 5 (( 3 3 1 1

++

s s s s s s   ₂₂ ₂₂ ₂₂ ₂₂ )) 2 2 // 3 3 (( )) 5 5 ,, 1 1 (( 2 2 // 3 3 3 3 5 5 )) 2 2 // 3 3 (( )) 5 5 ,, 1 1 (( 5 5 ,, 1 1 3 3 5 5 3 3 1 1

++

s s s s s s s s maka, maka, )) (( 2 2 3 3 sin sin 2 2 3 3 cos cos 3 3 1 1 2 2 3 3 exp exp 3 3 5 5 1 1 3 3 1 1 )) (( 2 2 3 3 sin sin 2 2 3 3 exp exp 3 3 5 5 )) (( 2 2 3 3 cos cos 2 2 3 3 exp exp 3 3 5 5 )) (( 3 3 1 1 )) (( t t u u t t t t t t t t u u t t t t t t u u t t t t t t u u t t y y





























+













 −−

+

=

























 −−

+

























 −−

+

=

(10)

(11)

Aplikasi

Aplikasi transformasi transformasi Laplace Laplace banyak banyak di)umpai di)umpai dalam dalam sistem sistem kendali. kendali. @anyak@anyak persoalan praktis yang dapat diformulasikan sebagai persoalan kendali9pengaturan. persoalan praktis yang dapat diformulasikan sebagai persoalan kendali9pengaturan. 5ebagai contoh, tun)au sistem yang ditun)ukkan pada gambar <.=.

5ebagai contoh, tun)au sistem yang ditun)ukkan pada gambar <.=.

?ambar <.= 5istem

?ambar <.= 5istem !endali!endali

5ub

5ub sissistem tem perpertamtama a didisebsebut ut sebsebagagai ai plplant ant yayang ng memmemiliiliki ki funfungsi gsi tratransfnsfer er 7"s7"s%.%. 5ubsistem kedua disebut kontroler didesain untuk memperoleh performansi sistem 5ubsistem kedua disebut kontroler didesain untuk memperoleh performansi sistem te

tertrtenentutu. . 4n4npuput t sisiststem em tetersrsebebut ut adadalalah ah sisinynyal al rerefefererensnsi i r"r"t%t%, , sesedadangngkakan n ""t%t% meng

menggambgambarkan gangguaarkan gangguan n atau atau noinoise se daladalam m sistesistem. m. PerbPerbedaedaan an antaantara ra refereferensrensii dan

dan outpoutput ut disedisebut but galagalat t atau erroratau error, , e"t%e"t%r"t%-yr"t%-y"t%. "t%. 5iny5inyal al galagalat t ini dikenakini dikenakan an padapada kontroler, yang berfungsi mamaksa sinyal galat men)adi nol untuk t

kontroler, yang berfungsi mamaksa sinyal galat men)adi nol untuk t∞∞_..

!ondisi ini menyebabkan output sistem mengikuti sinyal referensi r"t%. Performansi !ondisi ini menyebabkan output sistem mengikuti sinyal referensi r"t%. Performansi sistem )enis ini disebut pen)e)akan "tracking%. :isalkan sistem LT4 memiliki fungsi sistem )enis ini disebut pen)e)akan "tracking%. :isalkan sistem LT4 memiliki fungsi transfer3 transfer3 )) (( )) (( )) (( s s D D s s N N s s H H

=

0ika input r"t%  A u"t% dan sinyal gangguan "t%  @ u"t% dimana A dan @ adalah 0ika input r"t%  A u"t% dan sinyal gangguan "t%  @ u"t% dimana A dan @ adalah konstanta. :aka dengan menggunakan sifat superposisi dapat ditun)ukkan baha. konstanta. :aka dengan menggunakan sifat superposisi dapat ditun)ukkan baha.

[ [

]]

[ [

11 (( )) (( ))

]]

)) (( )) (( )) (( )) (( )) (( 1 1 )) (( )) (( )) (( )) (( 1 1 )) (( )) (( )) (( s s H H s s H H s s B B A A s s H H s s H H s s W W s s H H s s H H s s H H s s R R s s H H s s H H s s H H s s H H s s Y Y C C C C C C C C c c

++

==

++

==

4ngin didesain 7

4ngin didesain 7CC"s% sedemikian hingga r"t% men)e)aki y"t% yaitu3"s% sedemikian hingga r"t% men)e)aki y"t% yaitu3

A A t t y y(( ))

==

lim lim

(12)

(13)

Start Free Trial Cancel Anytime. )] )] (( )) (( )) (( )) (( [[ ]] )) (( )) (( )[ )[ (( )) (( s s Nc Nc s s N N s s Dc Dc s s D D s s B B s s Dc Dc A A s s Nc Nc s s N N s s Y Y

+

=

engan menggunakan teorema harga akhir engan menggunakan teorema harga akhir

)) (( )) (( )) (( )) (( )) (( } } )) (( )) (( ){ ){ (( lim lim )) (( lim lim )) (( lim lim 0 0 0 0 t t y y s s Nc Nc s s N N s s Dc Dc s s D D B B s s Dc Dc A A s s Nc Nc s s N N s s sY sY t t y y s s s s t t

++

==

→ → → → ∞ ∞ → → Agar,

Agar, limlim_t_t_→_→_∞_∞ y y((t t ))

==

A A maka harus dipenuhi

maka harus dipenuhi lim_slim_s_→_→₀₀ D D(( s s))

==

00 atau 

atau cc"s% memiliki Bero di s#"s% memiliki Bero di s#

7.7 Tran-6orma

7.7 Tran-6orma-" La0lae -" La0lae Un, Menen,an Sol,-" Per-amaan D"6eren-"alUn, Menen,an Sol,-" Per-amaan D"6eren-"al Pro

Prosedsedur ur untuntuk uk menmenyeyeleslesaikaikan an suasuatu tu P P dendengan gan menmenggggunaunakan kan tratransnsforformasmasii Laplace adalah sebagai berikut 3

Laplace adalah sebagai berikut 3 6.

6. engengan kondian kondisi mula yansi mula yang diketag diketahuihui, ambil trans, ambil transformaformasi Laplasi Laplace kedua sisce kedua sisii dari persamaan

dari persamaan diferensialdiferensial =.

=. 5ele5elesaikasaikan pen persamarsamaan an al)al)abar abar untuk untuk "s%"s% D.

D. AmbiAmbil il invernvers-nys-nya ua untuk ntuk mempmemperoleroleh eh y"t%y"t%

Cono!9 Cono!9

5elesaikan P 3 yE"t% $ FyG"t% $

5elesaikan P 3 yE"t% $ FyG"t% $ Hy"t%  e>p"-t%I yG"#% 6, y"#%  Hy"t%  e>p"-t%I yG"#% 6, y"#%  == 6.

6. AmbAmbil TL il TL kedkedua siua sisi mesi menghnghasiasilkalkan 3n 3

1 1 1 1 )) (( 6 6 )) 2 2 )) (( (( 5 5 )) 1 1 2 2 )) (( (( 22

++

==

++

−−

++

−−

s s s s Y Y s s sY sY s s s s Y Y s s =.

=. iiseselelesasaikikan unan untutuk "k "s%s%

)) 6 6 5 5 )( )( 1 1 (( 12 12 13 13 2 2 )) (( ₂₂ 2 2

++

==

s s s s s s s s s s s s Y Y

(14)

Cancel Anytime.

Cancel Anytime. )) )...( )...( )( )( (( )) (( )) (( )) (( )) (( 2 2 1 1 s s s s s s s sN N s s s s s s N N s s D D s s N N s s H H

++

==

ilai s yang men)

ilai s yang men)adikan 7"s%  adikan 7"s%  disebut Jpoldisebut JpoleE. 0adi pole dari 7"seE. 0adi pole dari 7"s% di atas adalah s % di atas adalah s  -s

-s66, s  -s, s  -s==, K, s  -s, K, s  -s

Persamaan di atas dapat pula ditulis sebagai berikut 3 Persamaan di atas dapat pula ditulis sebagai berikut 3

N N N N s s s s A A s s s s A A s s s s A A s s H H

++

==

... )) (( )) (( 2 2 2 2 1 1 1 1

5ecara umum, pole dapat berbentuk kompleks, yaitu3 5ecara umum, pole dapat berbentuk kompleks, yaitu3

s

skk   σσkk $ ) $ )ωωkk

Respon impuls dari sistem dapat ditulis ")ika tidak ada pole yang berulang9multiple Respon impuls dari sistem dapat ditulis ")ika tidak ada pole yang berulang9multiple pole%

pole%

h"t%  A

h"t%  A66 e>p"-s e>p"-s66t% $ At% $ A== e>p"-s e>p"-s==t% $ K $ At% $ K $ A e>p"-s e>p"-st%t% atau secara umum,

atau secara umum,

)) exp( exp( )) (( 1 1 t t s s A A t t h h _k_k _k_k N N k k

−−

==

∑

== 0ika s

0ika skk   σσkk $ ) $ )ωωkk, maka 3, maka 3

)) exp( exp( )) exp( exp( )) (( 1 1 k k k k k k N N k k j j t t A A t t h h

==

∑

−−

σ σ

−−

ω ω == 0elas baha agar stabil @4@, maka

0elas baha agar stabil @4@, maka sistem tersebut harus memiliki pole yang bagiansistem tersebut harus memiliki pole yang bagian riilnya negative, atau pole-poleny