Agritek Volume 11 Nomor 2 September 2010 MODEL PERAMBATAN PANAS ... 68
MODEL PERAMBATAN PANAS ARAH RADIAL BENDA-BENDA
SILINDRIK MULTILAYER
Tomi Tristono 1 1
adalah Dosen Fakultas Teknik Universitas Merdeka Madiun
Abstract
A heat transfer model of a-multilayers cylindrical shape with different values of physical properties was developed by considering that heat will flow continuously in the process such that the layers. First step of this research would investigate deeply about heat distribution of three layers that covered cylindric shape and then took the mathematical modelling solution as a one dimensionally problem. Numerical solution method would apply Finite Volume Method with discritisation technique QUICK (Quadratic Upwind Interpolation Conective Kinematic). Then the result will tested about the stability and its convergence and finally made the design of simulation program with using mathematical computer software matlab. Final result of this research was the verification and validation that the model can use as the simulator of heat diffusion that apply composit wall of a-multilayers cylindrical
shape.
Keywords: Heat transfer model, cylindrical shape, Finite Volume Method.
PENDAHULUAN.
Perpindahan panas konduksi adalah proses dimana panas mengalir dari daerah yang mempunyai temperatur lebih tinggi ke daerah yang bertemperatur lebih rendah dalam suatu medium (padat, cair, atau gas) atau antara medium – medium lain yang bersinggungan secara langsung. Dalam aliran panas konduksi perpindahan energi terjadi karena hubungan molekul secara langsung tanpa adanya perpindahan molekul yang cukup besar. Energi yang dimiliki oleh suatu elemen zat yang disebabkan oleh kecepatan dan posisi relatif molekul – molekul yang bergerak. Semakin tinggi energi dalam elemen zat tersebut maka semakin cepat pula molekul – molekulnya bergerak (J. P. Holman, 2002).
Katagori sistem dalam satu dimensi termasuk berbagai bentuk fisik yang berlainan yaitu sistem silinder dan bola adalah satu dimensi bilamana suhu benda hanya merupakan fungsi jarak radial dan tidak bergantung dari sudut azimut atau letak
pada poros. Beberapa masalah dalam dua dimensi pengaruh koordinat ruang kedua mungkin kecil sekali sehingga dapat diabaikan. Perpindahan kalor dimensi rangkap dalam hal ini dapat didekati dengan analisis satu dimensi saja. Persamaan differensial konduksi panasnya menjadi sederhana dan sebagai akibat penyederhanaan ini penyelesaian akan mudah didapat. Hukum Fourir tentang konduksi thermal menjadi sederhana pula jika digunakan untuk menghitung aliran thermal dalam sebuah sistem satu dimensi (J. P. Holman, 2002).
Sedangkan pemodelan perambatan panas dari benda-benda silindrik multilayer ini menggunakan metode volume hingga yaitu suatu konsep metode pembaganan yang dapat diterapkan pada masalah aliran fluida dan aerodinamika (Apsley, 2005 ).
Aliran fluida memenuhi sifat fisis tertentu, dengan memperhatikan sifat – sifat fisis tersebut dapat dibangun persamaan matematikanya. Pada umumnya fluida
Agritek Volume 11 Nomor 2 September 2010 MODEL PERAMBATAN PANAS ... 69 memenuhi hukum kekekalan massa,
kekekalan energi, hukum kekekalan momentum, dan hukum fisika lainnya sesuai dengan permasalahannya(White F.M, 1994). Diskritisasi QUICK digunakan pada langkah penyelesaian secara numerik dari model yang dibentuk. Adapun alasan dari penggunaan Diskritisasi QUICK pada penelitian ini karena menurut David Aspley (2005) hasil yang dicapai dijamin stabil. Matrik yang diperoleh sebagai hasil Diskritisasi QUICK adalah simetris
berbentuk matrik multidiagonal dan mempunyai invers.
Penelitian ini bertujuan untuk melakukan kajian untuk mendapatkan model perambatan panas arah radial pada benda-benda silindrik multilayer yang dipandang sebagai persoalan konduksi satu dimensi.
Salah satu aplikasi model perambatan panas multilayer yaitu terdapat pada pengisolasian tanur tinggi atau ruang bakar dan ruang mesin yang biasanya menggunakan dinding komposit seri. Bahan lapisan untuk dinding komposit bermacam – macam sesuai dengan kebutuhan. Ketebalan masing – masing lapisan bervariasi untuk bahan – bahan yang berbeda.
Model perambatan panas arah radial pada benda-benda silindrik multilayer yang dikaji terdiri atas tiga lapisan medium. Lapisan pertama medium perambatan panas dari arah paling dalam sesudah dinding pipa dengan ketebalan 5 mm yaitu asbestos dengan ketebalan 4 cm, lapisan kedua berikutnya yaitu sekat udara tertutup yang lebarnya adalah 2 cm dan selanjutnya lapisan ketiga yaitu asbestos dengan tebal 4 cm. Perlu diketahui juga bahwa asbestos adalah medium perambatan panas dengan struktur fiberous yang mempunyai konduktifitas sangat rendah sehingga tergolong sebagai bahan isolator (Holman, 2002). Lapisan asbestos pertama, lapisan udara dan lapisan asbestos kedua dipisahkan oleh sekat dari pipa baja tipis SS600. Ketiga benda silindrik dengan total ketebalan 10 cm tersebut
terbungkus dalam frame terluar berupa plat tipis yang terbuat dari MPAl (Melamine
Aluminium Plat).
KONDUKSI PANAS.
Konduksi panas dalam medium yang padat biasanya tergabung dengan konveksi dan dalam beberapa hal juga radiasi. Laju perpindahan kalor itu berbanding lurus dengan gradien temperatur (Holman, 2002). Jika dimasukkan konstanta proporsionalitas ( Proporsionality Constant ) atau tetapan kesebandingan maka : kdT dr A q − = (1) dengan :
q : laju perpindahan kalor (W)
k : hantaran thermal / konduktifitas ( thermal conductivity ) (W/m. °C)
dT : gradien temperatur ke arah perpindahan kalor.
A : luas penampang dimana panas mengalir (m2)
dr: selisih jari – jari.
Tanda negatif pada Persamaan (1) menyatakan bahwa kalor mengalir ke tempat yang lebih rendah dalam temperatur (untuk memenuhi hukum kedua Thermodinamika). Persamaan (1) di atas merupakan Hukum Fourir tentang konduksi kalor yang juga merupakan persamaan dasar dari konduktivitas thermal. Jika sistem ini berada dalam keadaan steady state atau tunak maka temperatur tidak bergantung pada perubahan waktu. Permasalah dalam keadaan steady
state menjadi sederhana dan hanya perlu
mengintegrasikan persamaan tersebut untuk memecahkan persoalan yang ada (Holman, 2002)
Laju perpindahan panas dapat ditulis dengan bentuk : konduksi q = –kA dr dT
Agritek Volume 11 Nomor 2 September 2010 MODEL PERAMBATAN PANAS ... 70 dr dT = ∆ − → ∆ = ∆ + = r T T r r r r r r 0 lim = gradien temperatur (°C/m). (2)
Gambar 1. Perambatan panas pada benda silindrik secara simetri melaui r1 dan r2.
Neraca energi perambatan panas pada benda silindrik adalah sebagai berikut :
1. Energi yang dihantarkan masuk melalui jari – jari dalam benda silindrik.
Energi yang dibangkitkan dalam unsur = Adrq&
Perubahan energi dalam =
t T cA ∂ ∂ ρ
2. Energi yang dihantarkan keluar melalui jari – jari luar benda silindrik. = dx x t T kA + ∂ ∂ − = ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − dr r T k r r T k A Dengan :
q& : energi yang dibangkitkan per satuan volume W/m3.
c : kalor spesifik bahan ( J/kg.K)
ρ: kerapatan atau densitas bahan (kg/m3). Jika energi yang masuk dan keluar digabungkan maka diperoleh bentuk sebagai berikut : Adr q r T kA + & ∂ ∂ − = t T cA ∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − dr r T k r r T k A (3)
Selanjutnya kedua ruas kiri dan kanan dari Persamaan (3) dibagi dengan A maka diperoleh : dr q r T k + & ∂ ∂ − = t T c ∂ ∂ ρ ∂ ∂ ∂ ∂ + ∂ ∂ − dr r T k r r T k (4)
Jika Persamaan (4) disederhanakan akan diperoleh persamaan :
∂ ∂ ∂ ∂ r T k r + q& = t T c ∂ ∂ ρ (5) Persamaan (5) di atas berlaku untuk konduksi panas satu dimensi dengan harga
α
=
c k
ρ
adalah difusifitas thermal (m2 /dt).
Persamaan (5) dapat ditulis kembali dalam bentuk : ∂ ∂ ∂ ∂ r T r + k q& =
α
1 t T ∂ ∂ (6)Persamaan (6) merupakan persamaan konduksi panas pada satu dimensi yang berubah terhadap waktu atau bisa disebut dengan konduksi panas unsteady dengan energi yang dibangkitkan dari dalam unsur. Persamaan (6) dapat ditulis menjadi :
2 2 r T ∂ ∂ + k q& =
α
1 t T ∂ ∂ (7) qr qr +dr drAgritek Volume 11 Nomor 2 September 2010 MODEL PERAMBATAN PANAS ... 71
METODE VOLUME HINGGA.
Metode volume hingga adalah salah satu metode yang dapat digunakan untuk pemodelan Matematika. Metode ini diterapkan sesuai pada masalah aliran fluida dan aerodinamika (Apsley, 2005). Aliran fluida memenuhi sifat fisis tertentu, dengan memperhatikan sifat – sifat fisis tersebut dapat dibangun persamaan matematikanya. Pada umumnya fluida memenuhi hukum kekekalan massa, hukum kekekalan momentum, dan hukum fisika lainnya sesuai dengan permasalahannya.
Prosedur dalam metode volume hingga menurut David Apsley (2005) adalah:
1. Mendefinisikan bentuk geometri aliran.
2. Domain dari aliran diuraikan dalam mesh atau grid dari volume kendali yang tidak tumpang tindih yang dapat membentuk persamaan integral yang dapat dibagankan.
3. Persamaan integral yang didiskretkan nilainya merupakan pendekatan dari nilai pada masing-masing titik. 4. Persamaan yang didiskretkan
diselesaikan secara numerik
Bentuk geometris dari aliran fluida pada masing-masing volume kendali dibuat dalam bentuk grid. Grid dari volume kendali dapat berupa grid yang terstruktur atau yang tidak terstruktur ataupun grid dalam koordinat kartesius atau grid yang non kartesius. Masing-masing grid memiliki kontrol face dan kontrol node. Kontrol face
terdiri dari
φ φ φ φ
e, w, n, s sedangkan kontrol node terdiri dariφ φ φ φ
E, W, N, S. Grid yang terbentuk digunakan untuk mendiskritkan persamaan matematika yang terbentuk yaitu dengan mengubah kontrol face menjadi kontrol Node. Terdapat beberapa teknik pendiskritan dalam volume hingga, pemilihan teknik pendiskretan disesuaikan dengan permasalahan yang akan diselesaikan. Teknik – teknik pendiskritan tersebut yaitu dengan menggunakan metodeUpwind Interpolation, Linear Interpolation,
Quadratic Upwind Interpolation dan central
differencing.
MODEL MATEMATIKA
Model matematika pada permasalahan
perambatan panas konduksi pada sistem
isolasi dibangun berdasarkan fenomena-fenomena alam yaitu hukum kekekalan massa, hukum kekekalan momentum dan hukum kekekalan energi. Persamaan matematika yang dibangun berdasarkan hukum-hukum fisika yang berlaku tersebut didasari oleh Teorema Pengangkutan Reynold (Chow, dkk., 1988).
Model matematika dari sistem isolasi silinder berlobang yang di dalamnya dialiri dengan uap panas bertemperatur tinggi diperoleh dari bentuk model fisiknya yaitu seperti pada Gambar 1. Berikut ini adalah bahan–bahan penyusun struktur pipa dengan pembungkusnya beserta konduktifitas thermalnya.
Tabel 1. Konduktifitas thermal medium
No Nama medium k watt/m °C 1 Aliran uap panas bertemperatur tinggi 30 2 Pipa Baja ST 60 54
3 asbestos 0,043
4 MPAL (Melamin Plat Aluminium) 204 5 Udara tertutup 30 6 Frame baja SS 400 54
7 asbestos 0,043
8 MPHB 0,053
Agritek Volume 11 Nomor 2 September 2010 MODEL PERAMBATAN PANAS ... 72
4.1.Persamaan Koservasi Massa.
Didasarkan pada teori bahwa massa tidak dapat diciptakan dan juga tidak dapat dimusnahkan sehingga keberadaannya konstan terhadap waktu maka prinsip persamaan konservasi massa adalah :
Laju perubahan dalam volume kendali + Net flux yang masuk dan keluar melalui permukaan kendali = Net production produced by source
Dari persamaan konservasi massa diatas dapat dinyatakan dalam persamaan matematika yang disebut sebagai Teorema
Pengangkutan Reynold dibawah ini
(Apsley, 2007): ( ) ( ) adveksi faces difusi d C A Source dt n φ ρ φ∀ + φ − Γ∂ = ∂
∑
(8) dengan: ∀= volume fluida,ρ=massa jenis fluida,
φ= konsentrasi flux, C= konvektivitas,
Γ= diffusivitas, A= luas permukaan
Persamaan umum skalar transport untuk konservasi massa perambatan panas konduksi satu dimensi adalah
( ) 0
d
massa net outward mass flux
dt + = (9) ) ( ∀ ∂ ∂
ρ
t + (ρAu)e −(ρAu)w= 0 (10) Persamaan (10). adalah persamaan konservasi massa dengan keadaan yang unsteady.4.2. Persamaan Momentum.
Persamaan momentum
dikembangkan dari persamaan konservasi massa. Persamaan momentum diturunkan dari Prinsip Kontinum sehingga diperoleh dalam bentuk dibawah ini:
) (ρ∀φ ∂ ∂ t +(ρuA)eφe−(ρuA)wφw=Fw–Fe (11)
Persamaan (11) adalah persamaan momentum dalam keadaan yang unsteady. Sedangkan Fw – Fe menyatakan beda potensial arah longitudinal perambatan panas konduksi sebagai energi dalam (internal
energy) yang dibangkitkan dalam unsur
tersebut.
Dengan menyertakan persamaan energi maka Persamaan momentum perambatan panas konduksi satu dimensi dapat ditulis sebagai berikut : 0 = + e w dr dT kA dt dT c ρ (12)
Persamaan kontinuitas dan persamaan momentum di atas disebut sebagai persamaan pembangun (governing
equation) yang akan diselesaikan
menggunakan metode volume hingga dengan teknik diskritisasi QUICK.
METODOLOGI PENELITIAN.
Penelitian ini termasuk penelitian terapan (applied research) dengan menggunakan data sekunder sistem isolasi ruangan genset pada kereta power . Data sekunder diperoleh dari PT INKA (Industri Kereta Api) yang berlokasi di Madiun. Sistem isolasi tersebut menggunakan ”rock woll” sebagai bahan utama penyusun isolator. Rock woll merupakan bahan isolator yang berfungsi menahan panas, bahan tersebut mudah terbakar pada suhu yang ekstrem tinggi sehingga untuk pemakaian pada perpipaan (sebagai salah satu contoh benda silindrik) untuk penyaluran uap panas tidak cocok.
Pelaksanaan penelitian dilakukankan pada bulan januari 2010 sampai dengan April 2010 dengan melakukan kajian pipa saluran uap panas dan dengan tambahan selubung pembungkus beberapa bahan yang sesuai. Medium pembungkus pipa yang terpilih adalah bahan yang bersifat isolator yaitu asbestos. Dan diharapkan dengan struktur benda silindrik pipa dengan selubung asbestos yang terdiri dari dua lapis dapat dikaji perambatan panas yang terjadi.
Agritek Volume 11 Nomor 2 September 2010 MODEL PERAMBATAN PANAS ... 73 Pembaganannya model menggunakan
konsep metode volume hingga (Finite
Volume Method) dengan teknik diskritisasi
QUICK (Quadratic Upwind Interpolation
Conective Kinematics )..
Langkah-langkahnya meliputi analisa perambatan panas pada pipa beserta sistem isolasinya, mendesain model matematika, pembaganan dengan konsep metode volume hingga (FVM), uji stabilitas model dan uji
konvergensi (Versteg, 1995), pembuatan algoritma dan program, menyelesaikan model secara numerik, verifikasi hasil dan validasi hasil.
PENYELESAIAN NUMERIK
Persamaan kontinuitas diatas akan diselesaikan dengan melakukan diskritisasi QUICK.
Tabel 2. Struktur pipa dengan pembungkus bahan isolator Lapisan
Nama medium L (m)
tebal Aliran uap panas bertemperatur tinggi
1 Pipa Baja ST 60 diameter 6” 0,005
2 Asbestos 0,04
3 MPAL (Melamin Plat Aluminium) 0,0016
4 Udara tertutup 0,02
5 Frame baja SS 400 0,005
6 asbestos 0,04
7 MPHB 0,002
8 Konveksi udara bebas
Tampak pada Tabel 2. di atas yaitu bagian utama potongan melintang dari pipa dengan pembungkus bahan isolator. Pipa pada bagian dalam dengan diameter 3”, dinding dengan medium bahan isolator, kemudian pipa bagian luar dengan diameter 15”. Total tebal medium rambatan panas dari silinder dalam ke lapisan terluar adalah 10 cm.
Hanya pada lapisan medium asbestos, udara tertutup dan asbestos kedua saja yang akan didiskritkan. Sedangkan pada silinder dalam dan silinder luar yang tebalnya tidak lebih dari 2 mm dan mempunyai konduktifitas thermal non isolator diabaikan.
Medium rambatan dibagi menjadi beberapa pias. Tiap – tiap pias lapisan isolasi mempunyai panjang yang sama. Hal tersebut dilakukan agar dapat mempermudah penyelesaian permasalahan yaitu misalnya 10 atau 20 pias dengan masing – masing
δ
r= 10/pias cm. Jumlah keseluruhan pias adalah sama dengan tebal lapisan selubung pipa.
Permasalahan tersebut akan dibahas dengan kondisi syarat batas Dirichlet TA =
200°C yaitu suhu uap panas yang mengalir di silinder dalam. TB adalah syarat batas suhu udara ruangan sekitar dimana pipa silinder tersebut berada yaitu 28 °C.
Dari diskritisasi di atas maka model dinyatakan dalam perkalian matriks AT = B. Dengan A merupakan matriks koefisien T (suhu) yaitu matriks berukuran 20 x 20. T merupakan matriks kolom suhu yang mempunyai ukuran 20 x 1dan B merupakan nilai hasilnya di ruas kanan yang juga merupakan matriks kolom berukuran 20 x 1.
Matriks Koefisien Suhu A dan Matriks Hasil B.
Jika matriks A adalah matriks bujursangkar berukuran 20 x 20, matriks B
Agritek Volume 11 Nomor 2 September 2010 MODEL PERAMBATAN PANAS ... 74 berupa matriks kolom yang berukuran 20 x
1. Matriks hasil diskritisasi QUICK tampak
seperti berikut : : − − − − − − − − − − − − − − − − = 13 6 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 7 5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 3 7 5 1 0 0 0 0 0 0 ... ... ... .... ... ... .... .... ... 0 ... 0 3 7 5 1 0 0 0 0 ... 0 0 3 7 5 1 0 0 0 ... 0 0 0 3 7 5 1 0 0 .... 0 0 0 0 3 7 5 1 0 ... 0 0 0 0 0 9 28 39 0 ... 0 0 0 0 0 0 3 9 A
KESTABILAN DAN AKURASI MODEL
Dalam menyusun penyelesaian numerik perlu diperhatikan kestabilan dan keakurasiannya. Hal ini dibutuhkan bila penyelesaian eksaknya itu tidak diketahui. Sehingga untuk meyakinkannya perlu ditunjukkan seberapa akurat penyelesaian ini.
Menurut Versteg dan Malalasekera (1995) dalam bukunya menyebutkan bahwa diskritisasi QUICK bisa tidak stabil utamanya disebabkan karena munculnya koefisien negatif. Tetapi hal ini bisa dikurangi dengan cara memformulasi kembali dengan cara yang berbeda sehingga dapat meningkatkan kestabilan. Beberapa dari pendekatan yang terkenal lebih baik yaitu yang didiskripsikan oleh Han et al, Pollard dan Siu; daan Hayase et al. Pengarang terakhir mengeneralisasi pendekatan untuk merancang kembali pembaganan QUICK dan menurunkan kestabilan serta kekonvergenan yang sangat cepat.
Keuntungan pendekatan ini adalah bahwa koefisiennya selalu positif sehingga memenuhi syarat untuk konservatif, terbatas dan transportif. Oleh karena itu diskritisasi QUICK yang dikembangkan oleh Hayase et
al, memberikan penyelesaian yang konvergen.
Selain konvergen, diskritisasi QUICK memiliki keakurasian yang lebih tinggi dibandingkan diskritisasi yang lainnya, dan juga mempertahankan karakteristik bobotnya. Hasil yang salah sangat kecil diperoleh, bahkan penyelesain yang diperoleh dengan grid yang sangat kasar lebih akurat dibandingkan diskritisasi yang lainnya. Diskritisasi QUICK dapat meminimalisir kesalahan tetapi sedikit secara komputasional stabil.
Diskritisasi QUICK dapat menghitung nilai qe pada east face dari node
umum sebagai berikut
3
6
1
8
8
8
e E P W
q
=
q
+
q
−
q
(16)Diskritisasi QUICK memiliki tingkat keakurasian sampai order tiga untuk grid yang sama yaitu ∆x.
SIMULASI
Penyelesaian masalah kajian perambatan panas benda silindrik multilayer dilakukan dengan simulasi komputer menggunakan software matematika MATLAB. − − − − − − − − − + − − − − − = B A A T dt dT c k dr q dt dT c k dr q dt dT c k dr q dt dT c k dr q T dt dT c k dr q T dt dT c k dr q B 8 ) ( 3 ) ( 4 ... ... ) ( 4 ) ( 4 20 ) ( 16 6 ) ( 3 2 2 2 2 2 2 ρ ρ ρ ρ ρ ρ
Agritek Volume 11 Nomor 2 September 2010 MODEL PERAMBATAN PANAS ... 75
Gambar. 2. Simulasi pipa dengan selubung tiga lapisan dengan beberapa temperatur yaitu 35°C, 45°C, 55°C, 65°C, 75°C, 85°C, 95°C dan 105°C dengan source q= 130.62 Watt per meter persegi dan temperatur udara luar 25°C dengan 20 pias.
Gambar. 3. Simulasi pipa dengan selubung tiga lapisan dengan beberapa temperatur yaitu 75°C dengan beberapa source q dan temperatur dinding luar 28°C dengan 20 pias.
Tabel. 5. Simulasi temperatur dalam pipa 200°C dengan beberapa source q dan temperatur dinding luar 25°C dengan 20 pias.
Nod
e q=300 Watt q=400 Watt q=500 Watt q=600 Watt
1 197,541 198,154 198,767 199,38 0 2 192,450 194,230 196,011 197,79 1 3 186,854 189,634 192,414 195,19 4 4 180,858 184,504 188,150 191,79 6 5 174,496 178,886 183,276 187,66 6 6 167,779 172,795 177,811 182,82 7 7 160,712 166,237 171,762 177,28 7 8 153,295 159,212 165,130 171,04 7 9 137,742 143,664 149,586 155,50 9 10 130,395 136,575 142,756 148,93 7 11 122,303 128,494 134,685 140,87 6 12 113,583 119,575 125,566 131,55 8 13 98,471 103,854 109,238 114,62 1 14 89,934 95,019 100,104 105,18 9 15 80,941 85,576 90,211 94,846
Agritek Volume 11 Nomor 2 September 2010 MODEL PERAMBATAN PANAS ... 76 16 71,564 75,621 79,678 83,735 17 61,826 65,184 68,543 71,902 18 51,735 54,278 56,820 59,363 19 41,294 42,904 44,514 46,124 20 30,504 31,065 31,626 32,187 KESIMPULAN.
Dari kajian perambatan panas pipa dengan selubung asbestos secara numerik yang dilakukan penulis dalam penelitian ini, maka dapat ditarik beberapa kesimpulan antara lain:
1. Model matematika perambatan panas konduksi arah radial pada benda silindrik multi layer dengan seperti yang terjadi pada sistem isolasi dan berada pada kondisi unsteady serta source S dapat disajikan dalam bentuk satu dimensi yaitu : ) ( r T kA t ∂ ∂ − ∂ ∂
ρ
– 2 2 r T kA ∂ ∂ = S2. Model yang dapat mensimulasikan distribusi aliran panas pada benda silindrik multi layer dengan menggunakan konsep metode volume hingga dapat disajikan dalam bentuk perkalian matriks AT = B. A adalah matriks bujursangkar sebagai matriks koefisien suhu, Y adalah matriks kolom sebagai matriks suhu dan B matriks kolom sebagai matriks hasil. Matriks suhu T dapat dicari dengan mengalikan invers matriks A ke B. Perkaliannya dilakukan dengan bantuan software MATLAB.
DAFTAR PUSTAKA
Apsley, D.D., 2007, Quantitative Properties
of F.D. Schemes, Lecture handout:
CFD, University of Manchester, Manchester.
Holman, J.P, Jasjfi E, “Perpindahan
Kalor”, Erlangga , 2002.
Kreith, Frank , Principles of Heat Transfer. Mc Graw – Hill Book Company New York, 2002.
Versteg, H.K. dan Malalasekera, W., (1995),
An Introduction to Computational Fluid Dynamics The finite volume
Method, Longman Scientific &
Technical, London.
White, F.M. (1986), Fluid Mechanics, 2nd edition, McGraw-Hill, Inc. New York.
