Faktorisasi Aljabar Linear

TEAM SHINOBI INTRO SEJARAH ISI QUIS PENUTUP FAKTORISASI ALJABAR

Puji syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yang Maha Esa karena buku ini akhirnya dapat diselesaikan. Buku ini penulis hadirkan sebagai panduan bagi siswa dalam mempelajari matematika.

Saat ini, masih banyak siswa yang menganggap matematika sebagai pelajaran yang sulit dan membosankan. Biasanya, anggapan ini muncul karena cara penyampaian materi yang berbelit-belit dan menggunakan bahasa yang sulit dipahami.

Setelah mempelajari materi pada buku ini, siswa diharapkan memahami materi yang disajikan. Oleh karena itu, konsep yang disajikan secara logis, sistematis, dan menggunakan bahasa yang sederhana. Selain itu, buku ini juga memiliki tampilan yang menarik sehingga siswa tidak akan merasa bosan.

Akhir kata, penulis mengucapkan terima kasih pada semua pihak yang telah membantu terwujudnya buku ini. Semoga buku ini berguna dan dapat dijadikan panduan dalam mempelajari matematika. Percayalah, matematika itu mudah dan menyenangkan. Selamat belajar.

Tim shinobi INTRO SEJARAH ISI QUIS PENUTUP PRAKATA

INTRO

SEJARAH

ISI

QUIS

PENUTUP

Muḥammad bin Mūsā al-Khawārizmī (Arab: دمحم

نب ىسوم

يمزراوخلا ) adalah seorang ahli matematika, astronomi, astrologi dan geografi yang berasal dari Persia. Beliau disebut sebagai Bapak Aljabar meski sebagian orang banyak yang mengatakan dia sebagai "Penemu Angka Nol" dan itu sepertinya kurang tepat. Beliau lahir sekitar tahun 780 di Khwārizm (sekarang Khiva, Uzbekistan) dan wafat sekitar tahun 850 di Baghdad.

Hampir sepanjang hidupnya, ia bekerja sebagai dosen di Sekolah

Kehormatan di Baghdad. Buku pertamanya, al-Jabar, adalah buku pertama

yang membahas solusi sistematik dari linear dan notasi kuadrat. Translasi

bahasa Latin dari Aritmatika beliau, yang memperkenalkan angka India,

kemudian diperkenalkan sebagai Sistem Penomoran Posisi Desimal di

dunia Barat pada abad ke 12. Ia merevisi dan menyesuaikan Geografi

Ptolemeus sebaik mengerjakan tulisan-tulisan tentang astronomi dan

astrologi. Kontribusi beliau tak hanya berdampak besar pada matematika,

tapi juga dalam kebahasaan. Kata Aljabar berasal dari kata al-Jabr, satu dari

dua operasi dalam matematika untuk menyelesaikan notasi kuadrat, yang

tercantum dalam buku beliau. Kata logarisme dan logaritma diambil dari

kata Algorismi, Latinisasi dari nama beliau. Nama beliau juga di serap

dalam bahasa Spanyol Guarismo dan dalam bahasa Portugis, Algarismo

yang berarti digit. Sedikit yang dapat diketahui dari hidup beliau, bahkan

lokasi tempat lahirnya sekalipun. Nama beliau mungkin berasal dari

Khwarizm (Khiva) yang berada di Provinsi Khurasan pada masa kekuasaan

Bani Abbasiyah (sekarang Xorazm, salah satu provinsi Uzbekistan). Gelar

beliau adalah Abū ‘Abdu llāh atau Abū Ja’far.

ISI

ALJABAR BENTUK ALJABAR DAN APLIKASINY A OPERASI HITUNG BENTUK ALJABAR PEMFAKTOR AN ALJABAR PEMECAHAN BENTUK ALJABAR INTRO SEJARAH ISI QUIS PENUTUP

Berdasarkan Kamus Besar Bahasa Indonesia, aljabar (algebra) merupakan

cabang matematika yang menggunakan tanda-tanda atau huruf-huruf untuk

menggambarkan atau mewakili angka-angka.

Kita seringkali menjumpai masalah yang tidak dapat langsung kita

selesaikan, khususnya masalah yang berkaitan dengan aljabar. Agar lebih

mudah dalam menyelesaikan suatu masalah maka masalah tersebut harus

diubah dahulu dalam bentuk aljabar. Sebagai contoh, kita ingin

menentukan berapa banyak air yang harus ditambahkan ke 1 liter larutan

asam 30% agar larutan asam tersebut menjadi larutan asam 20%.

Materi yang akan kita pelajari antara lain bentuk aljabar dan

unsur-unsurnya, operasi bentuk aljabar, persamaan linear satu variabel, dan

pertidaksamaan linear satu variabel serta penyelesaiannya.

Perhatikan ilustrasi berikut.

Banyak boneka Rika 5 lebihnya dari boneka Desy. Jika banyak boneka

Desy dinyatakan dengan x maka banyak boneka Rika dinyatakan dengan x

+ 5. Jika boneka Desy sebanyak 4 buah maka boneka Rika sebanyak 9

buah.

Bentuk seperti (x + 5) disebut bentuk aljabar.

Bentuk aljabar adalah suatu bentuk matematika yang dalam penyajiannya

memuat huruf-huruf untuk mewakili bilangan yang belum diketahui.

Bentuk aljabar dapat dimanfaatkan untuk menyelesaikan masalah dalam

kehidupan sehari-hari. Hal-hal yang tidak diketahui seperti banyaknya

bahan bakar minyak yang dibutuhkan sebuah bis dalam tiap minggu, jarak

yang ditempuh dalam waktu tertentu, atau banyaknya makanan ternak yang

dibutuhkan dalam 3 hari, dapat dicari dengan menggunakan aljabar.

Contoh bentuk aljabar yang lain seperti 2x, –3p, 4y + 5, 2x ² – 3x + 7, (x +

1)(x – 5), dan –5x(x – 1)(2x + 3). Huruf-huruf x, p, dan y pada bentuk

aljabar tersebut disebut variabel. Selanjutnya, pada suatu bentuk aljabar

terdapat unsur-unsur aljabar, meliputi variabel, konstanta, faktor, suku

sejenis, dan suku tak sejenis.

Agar kalian lebih jelas mengenai unsur-unsur pada bentuk aljabar,

pelajarilah uraian berikut.

1. Variabel, Konstanta, dan Faktor

Perhatikan bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9.

Pada bentuk aljabar tersebut, huruf x dan y disebut variabel.

Variabel adalah lambang pengganti suatu bilangan yang belum diketahui nilainya

dengan jelas.

Variabel disebut juga peubah. Variabel biasanya dilambangkan dengan huruf kecil

a, b, c, ..., z.

Adapun bilangan 9 pada bentuk aljabar di atas disebut konstanta.

Konstanta adalah suku dari suatu bentuk aljabar yang berupa bilangan dan tidak

memuat variabel.

Jika suatu bilangan a dapat diubah menjadi a = p x q dengan a, p, q bilangan bulat, maka p dan q disebut faktor-faktor dari a.

Pada bentuk aljabar di atas, 5x dapat diuraikan sebagai 5x = 5 x x atau 5x = 1 x 5x. Jadi, faktor-faktor dari 5x adalah 1, 5, x, dan 5x.

Adapun yang dimaksud koefisien adalah faktor konstanta dari suatu suku pada bentuk aljabar.

Perhatikan koefisien masing-masing suku pada bentuk aljabar 5x + 3y + 8x – 6y + 9. Koefisien pada suku 5x adalah 5, pada suku 3y adalah 3, pada suku 8x adalah 8, dan pada suku –6y adalah –6.

2. Suku Sejenis dan Suku Tak Sejenis

a) Suku adalah variabel beserta koefisiennya atau konstanta pada bentuk aljabar yang dipisahkan oleh operasi jumlah atau selisih.

b) Suku satu adalah bentuk aljabar yang tidak dihubungkan oleh operasi jumlah atau selisih.

c) Suku dua adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh satu operasi jumlah atau selisih.

d) Suku tiga adalah bentuk aljabar yang dihubungkan oleh dua operasi jumlah atau selisih.

Bentuk aljabar yang mempunyai lebih dari dua suku disebut suku banyak. Suku-suku sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang sama.

Contoh: 5x dan –2x, 3a ² dan a ², y dan 4y, ...

Suku tak sejenis adalah suku yang memiliki variabel dan pangkat dari masing-masing variabel yang tidak sama.

Contoh: 2x dan –3x ², –y dan –x, 5x dan –2y, ...

Contoh: 3x, 2a

²

, –4xy, ...

Contoh: 2x + 3, a ² – 4, 3x ² – 4x, ... Contoh: 2x ² – x + 1, 3x + y – xy,

Catatan:

Bentuk aljabar suku dua disebut juga binom, bentuk aljabar

suku tiga disebut trinom, sedangkan bentuk aljabar suku

banyakdisebut polinom. Di kelas IX nanti, kalian akan

mempelajari pemfaktoran pada bentuk aljabar suku dua

.

Sebelum kita membahas mengenai operasi hitung pada bentuk aljabar sebaiknya terlebih dahulu kalian memahami tentang perkalian suatu konstanta dengan suku banyak dan tentang substitusi bilangan pada variabel (peubah) dari suku banyak. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh berikut ini.

1. 2(a + 3) = 2a + 6 (sifat distributif) 2. – (x – 3) = – x + 3

3. 3m(x + 2y + 3) = 3mx + 6my + 9m

Jika pada bentuk aljabar 3x + 5y, variabel x diganti dengan 2 dan variabel y diganti dengan 4, maka diperoleh:

3x + 5y = 3(2) + 5(4) = 6 + 20

Proses mengganti variabel dengan suatu bilangan disebut proses substitusi.

1. Penjumlahan dan Pengurangan

Sifat-sifat penjumlahan dan pengurangan pada bilangan bulat juga berlaku pada bentuk aljabar tetapi operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar hanya dapat dilakukan pada suku-suku yang sejenis saja. Operasi penjumlahan dan pengurangan pada bentuk aljabar dapat diselesaikan dengan menggunakan sifat distributif. Untuk lebih jelasnya, perhatikan contoh-contoh berikut ini.

Contoh

1. 3x + 5x = (3 + 5)x = 8x

2. 5a – 3a – 2a + 4a = (5– 3 – 2 + 4)a = 4a

3. 7a + 5b + a – 2b = 7a + a + 5b – 2b = (7 + 1)a + (5 – 2)b = 8a + 3b 4. 5x + 3y + 6

Operasi penjumlahan pada bentuk aljabar di atas tidak dapat dilakukan karena suku sukunya tidak sejenis, yaitu 5x, 3y, dan 6 tidak sejenis.

5. Kurangkan bentuk aljabar berikut. a. 8x –4y dari 5x – 7y

b. 6x ² + 5x + 2 dari 7x ² + 2x – 3 Penyelesaian:

a. 5x – 7y – (8x – 4y) = 5x – 7y – 8x+ 4y= –3x – 3y

2. Operasi Hitung Perkalian dan Pembagian

Pada bentuk-bentuk aljabar berlaku sifat-sifat penjumlahan dan perkalian seperti pada bilangan bulat. Beberapa sifat tersebut antara lain:

a. Sifat komutatif penjumlahan, yaitu a + b = b + a

b. Sifat asosiatif penjumlahan, yaitu a + (b + c) = (a + b) +c c. Sifat komutatif perkalian, yaitu a × b = b ×

d. Sifat asosiatif perkalian, yaitu a × (b × c) = (a × b) ×c e. Sifat distributif perkalian terhadap penjumlahan,

yaitu: a × (b + c) = (a × b) + (a × c). Pada perkalian antarsuku aljabar,kita dapat menggunakan sifat distributif sebagai konsep dasarnya.

Pada bahasan ini akan dipelajari mengenai perkalian suku satu dengan suku dua atau dengan suku banyak dan perkalian antara suku dua dengan suku dua.

Perkalian Suku Satu dengan Suku Dua atau Suku Banyak

Berikut ini disajikan beberapa contoh perkalian suku satu, baik perkalian dengan suku dua atau dengan suku banyak.

Tentukan hasil penjumlahan dan pengurangan bentuk aljabar berikut ini! a.4x (x - 2y)

b.b. 8a (3ab - 2ab ² - 8ab)\

Penyelesaian:

Gunakan sifat distributif untuk menyelesaikan permasalahan di atas. a. 4x (x – 2y) = (4x . x) – (4x (2y))

= 4x2 – 8xy

b. 8a (3ab – 2ab ² – 8ab) = 8a ((3ab – 8ab) – 2ab ²) = 8a ((-5ab) – 2ab ²)

= (8a x (-5ab)) - (8a . 2ab ²)

= -40a ² b – 16a ² b ² (bagi dengan –8) = 5a ² b + 2a ² b ²

Perkalian Suku Dua dengan Suku Dua

Masih sama dengan perkalian sebelumnya, penyelesaian perkalian suku dua atau binomial tetap menggunakan konsep dasar sifat distributif. Misalkan kita mempunyai suku dua (binomial) yang berbentuk (a + b) dan (c + d). Langkah- langkah penyelesaian yang harus dilakukan adalah seperti terlihat pada gambar berikut. (a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd Jadi (a + b)(c + d) = (ac + bc) + (ad + bd). Perkalian suku dua dengan suku dua merupakan bentuk perkalian antara suku dua dengan dirinya sendiri atau dapat pula diartikan sebagai pengkuadratan suku dua. Misalkan kita mempunyai suku dua (x+y), maka langkah-langkah penyelesaiannya adalah sebagai berikut.

(x+y)² = (x + y)(x + y) (pengkuadratan) = x (x + y) + y (x + y) (sifat distributif)

= ((x.x) + (x.y)) + ((y.x) + (y.y)) (sifat distributif) = x² + xy + yx + y² (sifat komutatif)

= x² + 2xy + y² `

Contoh

Tentukan hasil kali dari (x + 2) ², kemudian

sederhanakan!

Penyelesaian:

(x + 2) ² = (x + 2)(x + 2)

= x ² + 2x + 2x + 2 × 2

= x ² + 2(2x) + 4

= x ² + 4x + 4

Jadi (x + 2)² = x ² + 4x + 4

Selisih Dua Kuadrat

Setelah kita mempelajari tentang perkalian suku dua dengan dirinya

sendiri (bentuk kuadrat), sekarang kita akan membahas perkalian suku

dua antara (x+y) dan (x-y).

Langkah-langkah penyelesaiannya sama saja dengan penyelesaian

bentuk (x + y) ² dan (x

– y) ² yaitu:

(x + y)( x

– y) = (x + y)(x - y) (selisih dua kuadrat)

= x (x - y) + y (x - y) (sifat distributif)

= ((x.x)

–(x.y))+((y.x)–(y.y)) (sifat distributif)

= x ² – xy + yx + y ² (sifat komutatif)

= x ² + y ²

Bentuk di atas dikenal dengan istilah selisih dua kuadrat.

Agar lebih memahami tentang selisih dua kuadrat, pehatikan contoh

berikut ini!

Contoh

Tentukan hasil kali dari (x – 3)(x + 3)!

Penyelesaian:

(x – 3)(x + 3) = (x - 3)(x + 3)

= (x.x) + (x.3) + ((-3)x) + ((-3)(3))

= x ² + (3x) –3x – 9

= x ² – 9

Jadi (x – 3)(x + 3) = x ² – 9

Kalian masih ingat dengan istilah faktor suku aljabar? Bentuk

aljabar xy merupakan perkalian dari x dengan y (xy = x × y).

Maka yang menjadi faktor dari xy adalah x dan y. Begitu juga

dengan bentuk a(x + y), dimana faktor dari a(x + y) adalah a

dan (x + y). Jadi, yang dimaksud dengan pemfaktoran bentuk

aljabar adalah menyatakan bentuk penjumlahan suku-suku ke

dalam bentuk perkalian atau faktor.

Hukum distributif dan faktor persekutuan al jabar

Masih ingat dengan hukum distributif untuk bilangan a, b, c anggota bilangan real? pada hukum distributif berlaku aturan a × (b + c) = (a × b) + (a × c) Faktor Penjumlahan suku-suku Untuk memfaktorkan bentuk aljabar dapat menggunakan hukum distributif. Langkah pertama yang harus dilakukan adalah mencari faktor persekutuan terbesar dari setiap suku aljabar.

Perhatikan contoh berikut:

Contoh

Faktorkanlah bentuk aljabar berikut ini! a. 2x ² + 8x ² y

b. 3x ² y – 15xy ² z

Penyelesaian:

a. 2x ² + 8x ² y = 2x ² (1 + 4y) (FPB 2x ² dan 8x ² y = 2x ²)

Faktorisasi Bentuk x ² + 2xy +y ²

Ayo kita tinjau kembali hasil perkalian bentuk (x + y) ². Hasil perkalian dari (x + y) ² adalah x ² + 2xy +

y ². Bentuk seperti ini disebut sebagai bentuk kuadrat sempurna. Bentuk kuadrat sempurna mempunyai

beberapa ciri khusus, yaitu:

a. Koefisien peubah pangkat dua (x ²) sama dengan 1.

b. Konstanta merupakan hasil kuadrat setengah koefisien x. Perhatikan contoh berikut ini!

Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x ² + 8x + 16!

Penyelesaian:

Konstanta = ( ½ × 8) ² = 42, maka x ² + 8x + 16 = x² + 8x + (4) ²

= (x +4) ² = (x + 4)(x + 4)

Selain dengan cara di atas, memfaktorkan bentuk kuadrat sempurna dapat diselesaikan dengan hukum distributif. Caranya adalah mengubah suku 2xy menjadi penjumlahan dua suku (xy + xy), kemudian suku-suku tersebut difaktorkan.

Perhatikan contoh berikut ini!

Contoh

Faktorkanlah bentuk kuadrat sempurna dari x ² + 8x + 16!

Penyelesaian: x ² + 8x + 16 = x ² + 4x + 4x + 16 = (x ² + 4x) + (4x + 16) = x (x + 4) + 4(x + 4 = (x + 4) (x + 4) = (x + 4) ²

Faktorisasi bentuk kuadrat ax2 + bx + 0

Selain faktorisasi bentuk x ² + 2xy + y ², faktorisasi bentuk kuadrat terdapat pula dalam bentuk ax ² + bx + c; dengan a, b, dan c merupakan bilangan real. a dan b merupakan koefisien, c adalah konstanta. Sedangkan yang menjadi peubah atau variabel adalah x ² dan x.

Memfaktorkan bentuk ax2 + bx + c, jika a = 1

Untuk memfaktorkan bentuk aljabar seperti ini, kalian harus memperhatikan bentuk perkalian suku (x + y) dengan (x + z) berikut.

(x + y)(x + z) = x(x + z) + y(x + z) (sifat distributif)

= ((x.x)+(x.z))+((y.x)+(y.z)) (sifat distributif) = x ² + xz + xy + yz

Contoh

Faktorkanlah bentuk aljabar dari x ² + 7x + 12!

Penyelesaian:

x ² + 7x + 12 = x ² + (y + z)x + yz y + z = 7

yz = 12

y dan z yang memenuhi adalah y = 3 dan z = 4

atau y = 4 dan z = 3.

Jadi bentuk kuadrat dari x ² + 7x + 12 adalah:

Penyelesaian:

Nilai p dan q yang memenuhi adalah p = –4 dan q = 7, atau p

= 7 dan q = –4.

Jadi,

• Untuk p = –4 dan q = 7

2x

2

_{+ 3x – 14 = 2(x + -42 )( x + 72 ) = (x - 2)(2x + 7)}

• Untuk p = 7 dan q = -4

2x

2

+ 3x – 14 = 2( x + 72 )(x + -42 ) = (2x + 7)(x - 2)

Menyederhanakan pecahan bentuk aljabar

Suatu pecahan bentuk aljabar dapat disederhanakan apabila

pembilang dan penyebutnya memiliki faktor persekutuan atau

faktor yang sama. Maka untuk menyederhanakan pecahan ini,

kita harus mencari faktor persekutuan dari pembilang dan

penyebutnya terlebih dahulu. Perhatikan contoh berikut ini!

Sederhanakanlah bentuk aljabar berikut ini!

Contoh

8ax

2

+ 24xy

2

Penyelesaian:

8ax

2

+ 24xy

2

= 8x (ax + 3y2)

Penggunaan Sifat Operasi Aljabar dalam Aritmetika

Pada awal bab ini kalian disuguhi persoalan tentang

pembelian barang di sebuah supermarket.

Kalian harus menghitung berapa harga yang harus

dibayar oleh si pembeli.

Persoalan seperti ini merupakan salah satu hal yang

dipelajari dalam aritmetika.

Aritmetika merupakan cabang ilmu matematika yang

berhubungan dengan kegiatan ekonomi, bisnis, dan sosial.

Dengan adanya bentuk aljabar dan operasi hitungnya,

kita dapat menyelesaikan perhitungan aritmetika sosial

dan bidang ilmu lainnya

.

QUIS

1. Sederhanakanlah bentuk berikut.

a. (x – 5y + 2z) + (–10x + 3y – 10z)

b. (2x ² + 5x + 3) – (x ² + x – 3)

Penyelesaian:

a. x – 5y + 2z

–10x + 3y – 10z +

–9x – 2y – 8z

b. 2x ² + 5x + 3

x ² + 5x – 3 +

x ² + 4x + 6

PENUTUP

DAFTAR PUSTAKA

•

http://tokoh-ilmuwan-penemu.blogspot.com/2009/08/ilmuwan-matematika-aljabar-islam.html

• Dame Rosida Monik.2009.Penunjang Belajar untuk SMP dan MTs kelas

7.Jakarta : pusat pembukuan Departemen Nasional

• Nuharini Dewi:2008;Matematika konsep dan Aplikasinya 1.Jakarta pusat

perbuatan, Departemen Nasional

•

Nama: Senna surya sentana

Tempat, tanggal lahir: Kuningan, 12 september 1993

Alamat: Ds. Cirea

Kec. Mandirancan Kab.Kuningan

Cita – cita : Menjadikan seseorang berguna Hobi : Bermain catur

Motto hidup : Sukses semuda mungkin dan tetap berkarya hingga nafas terakhir Deskripsi kerja sebagai pembuat link

dan msik n vidio di tim ini. Nama: Afif Jamalullael

Tempat, tanggal lahir : Cirebon, 14 Agustus 1993

Alamat: Ds. Gombang Kec.Plumbon Kab.Cirebon

Cita – cita :Membahagiakan orang-orang terdekat

Hobi : Main game

Motto hidup : Bahagia dunia akherat Deskripsi kerja sebagai pembuat skenario pembelajaran di tim ini.

Nama: Nandi Gunardi

Tempat, tanggal lahir: Cirebon, 24 Februari 1994

Alamat: Ds. Wangunharja Kec.Jamblang Kab.Cirebon

Cita – cita : Mengamalkan ilmu yang bermanfaat.

Hobi: Membantu Orang tua

Motto hidup: Tiada hari tanpa bernapas Deskropsi kerja sebagai pembuat komik di tim ini.

Nama : Ramadhan Rahmatullah

Tempat, tanggal lahir: Cirebon, 22 Maret 1993

Alamat: BTN Karangsembung Permai Cita – cita: Menjadi pengusaha yang sukses

Hobi: Bulutangkis

Motto hidup: Hadapi masalah dengan pikiran yang tenang, maka masalah akan terselesaikan

Deskripsi kerja sebagai pembuat data, slide dan animasi di tim ini.

Waawww………, Bagus sen Pinjem doong hehehe

Mauuuu ??? cari aja di