Korelasi. Acuan. Haan, C.T., 1982, Sta$s$cal Methods in Hydrology, 1 st Ed., 3 rd Prin4ng, The Iowa State Univ. Press, Ames, Iowa, USA

(1)

Universitas Gadjah Mada

Jurusan Teknik Sipil dan Lingkungan Progam Studi Pascasarjana Teknik Sipil

Statistika

Korelasi

8-‐Ap r-‐15 h1 p: // is 4ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

1

(2)

Korelasi

• Acuan

• Haan, C.T., 1982, Sta$s$cal Methods in Hydrology, 1

st

Ed., 3

rd

Prin4ng,

The Iowa State Univ. Press, Ames, Iowa, USA

•  Chapter 11, pp 222-‐235 8-‐Ap r-‐15 h1 p: // is 4ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

2

(3)

Korelasi

3

• Koeﬁsien korelasi antara dua variabel random

X

dan

Y

!!

ρ

_{X ,Y}

=

σ

X ,Y

σ

_X

σ

_Y

!!

r

_{X ,Y}

=

S

X ,Y

s

_X

s

_Y koeﬁsien korelasi populasi koeﬁsien korelasi sampel

!!

S

X ,Y

=

X

_i

− X

(

)

(

Y

_i

−Y

)

∑

n−1

s

X

=

X

_i

− X

(

)

2

∑

n−1

s

Y

=

Y

_i

−Y

(

)

2

∑

n−1

kovarian X dan Y simpangan baku X simpangan baku Y

!!

r

_{X ,Y}

= 1−

S

r

S

_t

= 1−

Y

_i

− ˆ

Y

(

)

2

∑

Y

_i

−Y

(

)

2

∑

, ˆY =Y

reg

(4)

Korelasi

4

• Koeﬁsien korelasi antara dua variabel random

X

dan

Y

!!

r

_{X ,Y}

=

S

X ,Y

s

_X

s

_Y MSExcel

!!

r

X ,Y

←

= COVARIANCE.S(X ,Y )

= STDEV.S(X)∗ = STDEV.S(Y )

!!

r

X ,Y

← = CORREL(X ,Y )

(5)

Koe>isien Korelasi

• Penger4an koeﬁsien korelasi

• Koeﬁsien korelasi menunjukkan 4ngkat keeratan hubungan linear

antara suatu variabel random Y dan suatu variabel kedua yang

merupakan fungsi linear dari satu atau lebih variabel(-‐variabel) X

•  Se4ap variabel X dapat berupa variabel random atau bukan variabel

random 8-‐Ap r-‐15 h1 p: // is 4ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

5

(6)

Koe>isien Korelasi

• Nilai koeﬁsien korelasi adalah −1 <

r

_X,Y

< 1

•  r_X,Y = ±1 menunjukkan hubungan linear sempurna antara X dan Y •  r_X,Y = 0 menunjukkan independensi (ke4dak-‐tergantungan) linear,

namun dapat saja keduanya memiliki hubungan

(ketergantungan) yang lain, yang 4dak linear

•  Jika X dan Y 4dak saling tergantung (independent), maka r_X,Y = 0

6

(7)

Inferensi terhadap Koe>isien Korelasi Populasi

•  Dua variabel random

•  tak berkorelasi, ρ_X,Y = 0 •  berkorelasi, ρ_X,Y ≠ 0

•  Situasi

•  Sampel yang diperoleh dari variabel random yang 4dak berkorelasi

•  jarang menunjukkan nilai r_X,Y = 0

•  koeﬁsien korelasi sering r_X,Y ≠ 0, karena kebetulan •  Oleh karena itu perlu pengujian

•  untuk mengetahui penyimpangan koeﬁsien korelasi dari nol tersebut benar disebabkan oleh kebetulan, atau

•  penyimpangan tersebut terlalu besar untuk dikatakan sebagai akibat kebetulan

7

(8)

Inferensi terhadap ρ

• Uji hipotesis

• H

₀

: ρ

_X,Y

= 0

• H

_a

: ρ

_X,Y

≠ 0

8 !!

t = r

n−2

1−r

2

"

#

$

%

&

'

1 2

!!

|t|>t

_{1−α 2,n−2}

(9)

Inferensi terhadap ρ

• Uji hipotesis

• H

₀

: ρ

_X,Y

= ρ* (ρ* konstanta)

• H

_a

: ρ

_X,Y

≠ ρ*

• Rentang keyakinan ρ

9

!!z = W −ω

(

)

(

n−3

)

1 2

!!

|z|> z

_{1−α 2}

sta4s4k uji H₀ ditolak

!! W = 1 2ln 1+r 1−r " # $ % & '= arctanhr ! ω = 1₂ln 1+ρ 1−ρ $ % & ' ( )= arctanhρ !! l = tanh W − z1−α 2 n−3

(

)

1 2 # $ % % % & ' ( ( ( _!! u = tanh W + z1−α 2 n−3

(

)

1 2 # $ % % % & ' ( ( ( ukuran sampel n > 25

(10)

Inferensi terhadap ρ

• Ada sejumlah

k

populasi

bivariate

, distribusi normal, memiliki

• koeﬁsien korelasi populasi ρ

₁

, ρ

₂

, …, ρ

_k

• koeﬁsien korelasi sampel r

₁

, r

₂

, …, r

_k

• ukuran sampel n

₁

, n

₂

, …, n

_k

• Hipotesis

•  H₀: ρ₁ = ρ₂ = … = ρ_k = ρ* (ρ* konstanta) •  H_a: ρ₁ ≠ ρ₂ ≠ … ≠ ρ_k ≠ ρ* 8-‐Ap r-‐15 h1 p: // is 4ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

10

!!χ 2 =

(

arctanhr_i −arctanhρ∗

)

2

(

n_i −3

)

i=1 k

∑

_!!χ2 > χ2_1−α,k H₀ ditolak

(11)

Inferensi terhadap ρ

• Hipotesis

•  H₀: ρ₁ = ρ₂ = … = ρ_k (semua koeﬁsien korelasi sama) •  H_a: ρ₁ ≠ ρ₂ ≠ … ≠ ρ_k 8-‐Ap r-‐15 h1 p: // is 4ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

11

!!χ 2 =

(

W_i −W

)

2 n_i −3

(

)

i=1 k

∑

_!!χ2 > χ2_1−α,k−1 H₀ ditolak !!Wi = arctanh ri !!W = n_i −3

(

)

W_i i=1 k

∑

(

n_i −3

)

i=1 k

∑

(12)

Inferensi terhadap ρ

• Jika

• hipotesis bahwa semua koeﬁsien korelasi 4dak ditolak, maka

• perlu diketahui nilai koeﬁsien korelasi r yang mewakili nilai koeﬁsien

korelasi populasi ρ

12

!!r = tanh W −mρ ∗ 2

(

)

!!ρ ∗ = r_i k i=1 k

∑

!!W = n_i −3

(

)

W_i i=1 k

∑

(

n_i −3

)

i=1 k

∑

!! m= ni −3 n_i −1 " # $$ % & '' i=1 k

∑

(

n_i −3

)

i=1 k

∑

(13)

Korelasi Serial

• Korelasi serial (

serial correla$on

)

• dikenal pula sebagai autokorelasi (autocorrela$on)

• yaitu korelasi antara data hasil pengukuran pada suatu waktu dengan

data hasil pengukuran pada waktu sebelumnya

• elemen dalam sampel yang memiliki korelasi serial

bukan

elemen

random (ingat deﬁnisi variabel random)

13

(14)

Korelasi Serial

• Pada korelasi serial, dengan demikian

• sampel berukuran n yang memiliki korelasi serial akan memberikan

informasi yang lebih sedikit dibandingkan dengan informasi yang

dimiliki oleh sampel random berukuran n

• sebagian informasi pada sampel yang memiliki korelasi serial dapat

diperoleh dari atau telah diketahui dalam data hasil pengukuran pada

waktu sebelumnya

14

(15)

Korelasi Serial

• Korelasi serial (

serial correla$on

)

• dapat pula dijumpai antara suatu pengukuran pada waktu tertentu

dengan pengukuran pada waktu k periode waktu sebelumnya

(terdahulu), k = 1,2, …

• asumsi

•  selang waktu antar pengukuran adalah sama (seragam)

•  sifat-‐sifat sta4s4s proses atau peris4wa yang diukur 4dak berubah

terhadap waktu (bersifat permanen)

•  ρ(k) -‐-‐-‐ koeﬁsien korelasi serial populasi

r(k) -‐-‐-‐ koeﬁsien korelasi serial sampel

15

(16)

Korelasi Serial

16

!! r(k)= x_ix_i+k i=1 n−k

∑

− x_i i=1 n−k

∑

x_i+k i=1 n−k

∑

₍

n−k

₎

x_i2 i=1 n−k

∑

− x_i i=1 n−k

∑

# $ %% & ' (( 2 n−k

(

)

) * + + , -. . 1 2 x_i+k2 i=1 n−k

∑

− x_i+k i=1 n−k

∑

# $ %% & ' (( 2 n−k

(

)

) * + + , -. . 1 2

§  r(0) = 1 à korelasi suatu elemen data dengan dirinya sendiri adalah sama

dengan satu

§  semakin besar k, jumlah pasangan data untuk menghitung r(k) semakin sedikit; r(k) adalah nilai es4masi ρ(k)

§  oleh karena itu, k << n

§  jika ρ(k) = 0 untuk semua k, maka proses atau peris4wa atau populasi tersebut

bersifat random murni

!

x_i = X_i − X_i

(17)

Korelasi Serial

• Time series sirkular

•  yaitu $me series yang berulang, X_n diiku4 oleh X₁ •  untuk $me series sirkular, normal, permanen

•  asumsi

•  dengan asumsi di atas, maka r(k) berdistribusi normal dengan

•  nilai rerata −1/(n−1) •  simpangan baku (n−2)/(n−1)2 8-‐Ap r-‐15 h1 p: // is 4ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

17

!! r(k)= x_ix_i+k i=1 n

∑

−nX2 n−1

(

)

s_X2

persamaan r(k) ini memberikan hasil hitungan yang mirip dengan

persamaan yang panjang pada hlm sebelumnya apabila n >> dan k << n

(18)

Korelasi Serial

18 §

Rentang keyakinan ρ(k)

!!l = 1 n−1

(

−l − z1−α 2 n−2

)

u = 1 n−1

(

−l + z1−α 2 n−2

)

§

Uji hipotesis

H

₀

: ρ(k) = 0

(19)

Korelasi dan Analisis Regional

19

§  Informasi yang dikandung dalam data dari sejumlah n stasiun di suatu wilayah

yang memiliki korelasi (rerata) interstasiun ρbar_{sama
dengan
informasi
yang}

dikandung dalam data dari sejumlah n’ stasiun yang 4dak saling berkorelasi

!! !

n = n

1+ n−1

₍

₎

ρ

§  Seiring dengan n yang besar, maka n’ mendeka4 1/ρbar

!!n >> ⇒ "n ≈ 1 ρ

§  Melihat hubungan antara n’ dan n, maka menempatkan sedikit stasiun yang

4dak saling bergantung (independent) lebih baik daripada menempatkan banyak stasiun yang saling berkorelasi

(20)

Korelasi dan Analisis Regional

• Korelasi dalam satu wilayah

• dapat dipakai untuk memperoleh nilai es4masi yang lebih baik

terhadap suatu variabel hidrologik di suatu 44k lokasi melalui korelasi

dengan variabel hidrologik lain di 44k lokasi tersebut atau dengan

suatu karakteris4ka yang mirip di 44k lokasi yang lain

• sebagai contoh

•  Y dan X adalah dua variabel random hidrologik yang 4dak berkorelasi

•  jumlah sampel Y adalah n₁

•  jumlah sampel X adalah n₁ + n₂

•  Y dan X memiliki koeﬁsien korelasi ρ_Y,X

20

(21)

Korelasi dan Analisis Regional

• Korelasi dalam satu wilayah

•  Data Y dapat diperpanjang dengan memakai korelasi antara Y dan X

•  pada dasarnya ini sama dengan regresi

•  persamaan hubungan Y dan X dibentuk dari n₁ pasangan data

•  persamaan di atas dipakai untuk memperoleh sejumlah n₂ nilai Y berdasarkan

n₂ data X

•  nilai rerata Y yang baru adalah:

•  syarat: 8-‐Ap r-‐15 h1 p: // is 4ar to .s taﬀ .u gm .ac .id

21

!!y = rY ,XsY y sX y dan x adalah deviasi (selisih) data terhadap nilai rerata _{masing-‐masing
variabel}

!!

Y = n1Y1+n2Y2

n₁+n₂

(22)

Korelasi dan Sebab-‐Akibat

•  Pen4ng diketahui

•  Korelasi yang 4nggi antara dua variabel 4dak selalu berar4 adanya hubungan

kausal, sebab-‐akibat antar kedua variabel tersebut

•  Adanya korelasi antara debit bulanan di suatu sungai dengan debit bulanan di sungai

tetangga 4dak berar4 bahwa perubahan debit bulanan di sungai yang satu akan mengakibatkan perubahan debit bulanan di sungai tetangga

•  Perubahan debit bulanan di kedua sungai mungkin saja disebabkan oleh faktor eksternal

•  Ingat

•  Variabel-‐variabel yang independent pas4lah tak saling berkorelasi, tetapi

•  Variabel-‐variabel yang tak saling berkorelasi 4dak selalu independent

•  Kebergantungan antar variabel yang saling berkorelasi adalah kebergantungan yang

bersifat stokas4k

•  bukan kebergantungan dalam ar4 ﬁsik, dan

•  bukan kebergantungan dalam ar4 sebab-‐akibat

22

(23)

Korelasi

Spurious

• Spurious correla$on

(korelasi “palsu”)

• Tampak seper4 ada korelasi

antar variabel-‐variabel, tetapi

variabel-‐variabel tersebut

sebenarnya 4dak berkorelasi

• Dapat terjadi karena adanya

data yang mengelompok

23

korelasi di masing-‐masing kelompok, r ≈ 0 “korelasi” bersama-‐ sama kedua kelompok, r 4nggi

(24)

Korelasi

Spurious

24

Y dan X 4dak berkorelasi

(Y dan X independent)

Y dan X dibagi Z à Y dan

X memiliki koeﬁsien

(25)

25