Koordinat sistemleri-I

1. KOORDNAT SSTEMLER 1. KOORDNAT SSTEMLER

Matematiin temel kavram

Matematiin temel kavramlarndan biri olan koordinat sistemleri, nlarndan biri olan koordinat sistemleri, n -boyutlu uzaylarn tanmlanmasnda ve-boyutlu uzaylarn tanmlanmasnda ve incelenmesinde kullanlan analitik ve geometrik kavramlar topluluudur. Uygulamal mühendislik bilimlerinin çalma incelenmesinde kullanlan analitik ve geometrik kavramlar topluluudur. Uygulamal mühendislik bilimlerinin çalma alan, yaygn olarak iki ya da üç boyutlu uzayda tanmland için kullanlan koordinat sistemleri de iki ya da üç boyutludur . alan, yaygn olarak iki ya da üç boyutlu uzayda tanmland için kullanlan koordinat sistemleri de iki ya da üç boyutludur .

Bir noktann konumu n-boyutlu uzayda sral n tane say ile belirlenir ve bu saylara noktann koordinatlar denir. Bir noktann konumu n-boyutlu uzayda sral n tane say ile belirlenir ve bu saylara noktann koordinatlar denir. Tanml her koordinat sisteminde her sral say tek bir noktay gösterir ve (X

Tanml her koordinat sisteminde her sral say tek bir noktay gösterir ve (X11, X, X22, ««X, ««Xnn) eklinde tanmlanr.) eklinde tanmlanr.

Koordinat sistemleri tek boyutlu, iki boyutlu ve üç boyutlu olarak ayrlabilir. Tek boyutlu koordinat sistemlerine örnek  Koordinat sistemleri tek boyutlu, iki boyutlu ve üç boyutlu olarak ayrlabilir. Tek boyutlu koordinat sistemlerine örnek  olarak sadece

olarak sadece yükseklii ölçülmü olan bir yükseklii ölçülmü olan bir yükseklik koordinat sistemi, iyükseklik koordinat sistemi, iki boyutlu koordinat sistemine örnek olarak X ve Yki boyutlu koordinat sistemine örnek olarak X ve Y koordinatlar ölçülmü olan yersel koordinat sistemleri, 3 boyutlu koordinat sistemine örnek olarak X,Y,Z koordinatlar koordinatlar ölçülmü olan yersel koordinat sistemleri, 3 boyutlu koordinat sistemine örnek olarak X,Y,Z koordinatlar ölçülmü olan GPS koordinat sistemi verilebilir.

Teknolojik gelimeler nda jeodezik çalmalarda kullanlan nokta koordinatlarnn üç boyutlu belirlenmesi gerekli Teknolojik gelimeler nda jeodezik çalmalarda kullanlan nokta koordinatlarnn üç boyutlu belirlenmesi gerekli ve kolay bir ilem olmutur. Bu nedenle koordinat sistemleri ve nokta koordinatlar üç boyutlu olarak tanmlanmaktadr. ve kolay bir ilem olmutur. Bu nedenle koordinat sistemleri ve nokta koordinatlar üç boyutlu olarak tanmlanmaktadr.

Arazi çalmalarnda koordinat kullanlan ve daha sonraki çalmalarda kullanlacak noktalarn birbirlerine göre Arazi çalmalarnda koordinat kullanlan ve daha sonraki çalmalarda kullanlacak noktalarn birbirlerine göre konumlarn belirlemek g

konumlarn belirlemek gereklidir. ereklidir. Bu nedenle Bu nedenle noktalarn belli bir noktalarn belli bir balangca (orjine) olan balangca (orjine) olan uzaklklar yada uzaklklar yada açlar belliaçlar belli eksen yönlerinde ölçülerek saysal deerler verilir. Orjin noktasnn saysal deeri sfr alnarak verilen bu deerlere nokta eksen yönlerinde ölçülerek saysal deerler verilir. Orjin noktasnn saysal deeri sfr alnarak verilen bu deerlere nokta koordinat denir ve bu ekilde tüm noktalarn birbirine göre koordinatlar yani konumlar belirlenmi olur. Boyutlarna göre koordinat denir ve bu ekilde tüm noktalarn birbirine göre koordinatlar yani konumlar belirlenmi olur. Boyutlarna göre tanmlanm koordinat sistemleri tek boyutlu (1D), iki boyutlu (2D) ve üç boyutlu (3D) olarak verilebilir.

1.1. Tek Boyutlu Koordinat Sistemleri 1.1. Tek Boyutlu Koordinat Sistemleri

Genel jeodezik çalmalarda yükseklik koordinat sistemleri için kullanlan bir boyuttur. Özellikle nivelman koordinat Genel jeodezik çalmalarda yükseklik koordinat sistemleri için kullanlan bir boyuttur. Özellikle nivelman koordinat sistemleri için deniz seviyesinden olan yükseklik ölçülerek elde edilir. Teknolojik yetersizlikler ve uygulama kolayl sistemleri için deniz seviyesinden olan yükseklik ölçülerek elde edilir. Teknolojik yetersizlikler ve uygulama kolayl açsndan yatay ve düey alarn ayr olarak kurulduu durumda daha çok kurulmu ve kullanlmtr. Her nokta için tek bir  açsndan yatay ve düey alarn ayr olarak kurulduu durumda daha çok kurulmu ve kullanlmtr. Her nokta için tek bir  yükseklik deeri verilerek elde edilir. Eer bir bölge için yükseklik haritas (eyükseklik erisi haritas) yaplacaksa bir  yükseklik deeri verilerek elde edilir. Eer bir bölge için yükseklik haritas (eyükseklik erisi haritas) yaplacaksa bir    balangç noktasna herhangi bir yükseklik deeri verilerek lokal olarak bu harita elde edilebilecei gibi ortalama deniz   balangç noktasna herhangi bir yükseklik deeri verilerek lokal olarak bu harita elde edilebilecei gibi ortalama deniz

yüzeyine göre k

yüzeyine göre koordinat belirlenmi nokta balaoordinat belirlenmi nokta bala ngç noktas olarak kullanlarak da direk ngç noktas olarak kullanlarak da direk çözüm elde çözüm elde edilebilir.edilebilir.

RS 5 RS 5 172.36 172.36 RS 5 RS 5 182.93 182.93 RS 5 RS 5 180.60 180.60 RS 5 RS 5 175.63 175.63

1.1. ki Boyutlu Koordinat Sistemleri 1.1. ki Boyutlu Koordinat Sistemleri

Arazide noktalarn birbirine göre durumlarn belirlemek için yatay bir düzlem içerisinde birbirine dik olan iki doru Arazide noktalarn birbirine göre durumlarn belirlemek için yatay bir düzlem içerisinde birbirine dik olan iki doru kullanlr. Bu dorularn oluturduu sisteme iki boyulu dik (kartezyen) koordinat sistemi denir.

kullanlr. Bu dorularn oluturduu sisteme iki boyulu dik (kartezyen) koordinat sistemi denir.

Matematikte kullanlan koordinat sistemleri sa-sol dorultusu X ekseni, yukar-aa dorultusu Y eksenidir. Matematikte kullanlan koordinat sistemleri sa-sol dorultusu X ekseni, yukar-aa dorultusu Y eksenidir. Haritaclkta ise bu durum terstir. Ordinat ekseni olarak ad

Haritaclkta ise bu durum terstir. Ordinat ekseni olarak adlandrlan Y landrlan Y ekseni daima dou-bat (saekseni daima dou-bat (sa-sol) yönünü, abris olarak -sol) yönünü, abris olarak  adlandrlan X ekseni de kuzey-güney ( yukar-aa) yönünü göstermektedir.

adlandrlan X ekseni de kuzey-güney ( yukar-aa) yönünü göstermektedir.

Bunun nedeni, matematikte kullanlan açlarn balangç yönü +X olup art yönü saat ibresini tersi yönündedir. Bunun nedeni, matematikte kullanlan açlarn balangç yönü +X olup art yönü saat ibresini tersi yönündedir. Haritaclkta kullanlan aletlerin tümünde aç daireleri saat ibresi yönündedir. Matematikte kullanlan formüllerin Haritaclkta kullanlan aletlerin tümünde aç daireleri saat ibresi yönündedir. Matematikte kullanlan formüllerin deimemesi için jeodezik koordinat eksenlerinin yönü deitirilmi ve aç balangc olarak da kuzey yön alnmtr.

Matematik

Matematik Koordinat Koordinat SiSistemleri stemleri Jeodezik Jeodezik Koordinat Koordinat SistemleriSistemleri

Yukardan da görüldüü üzere bir koordinat sistemi tanmlanrken koordinat sisteminin balangç (orjin) noktas, Yukardan da görüldüü üzere bir koordinat sistemi tanmlanrken koordinat sisteminin balangç (orjin) noktas, eksenlerin says ve

eksenlerin says ve art yönü ve art yönü ve eksenler arasndaki açnn tanmlanmas geksenler arasndaki açnn tanmlanmas gereklidir. Jeodezik çalmereklidir. Jeodezik çalm alarda genelde alarda genelde dik dik  (kartezyen) koordinat sistemleri tanmlanr ve kullanlr.

(kartezyen) koordinat sistemleri tanmlanr ve kullanlr.

   O    O    R    R    D    D             N   N    A    A    T    T    E    E    K    K    S    S    E    E    N    N           ABSS EKSEN ABSS EKSEN -Y -Y +X +X -X -X _+X+X +Y +Y -Y -Y _-X-X +Y +Y

ki boyutlu uzayn geometrik yapsna uygun olarak kurulmu farkl parametrelerle ifade edilen birçok koordinat ki boyutlu uzayn geometrik yapsna uygun olarak kurulmu farkl parametrelerle ifade edilen birçok koordinat sistemi tanmlanabilir. ki boyutlu uzayda koordinat sistemi {P

sistemi tanmlanabilir. ki boyutlu uzayda koordinat sistemi {P00, , PP11, , PP22, , PP33}olarak tanmlanan dört noktann oluturduu}olarak tanmlanan dört noktann oluturduu

ii P P P

P_{00 11} !! _,, PP₀₀PP₂₂ !! j j _{birim vektörlerin tanmlad iki eksenli bir sistemdir.birim vektörlerin tanmlad iki eksenli bir sistemdir.}

ekil 1. ki boyutlu uzayda koordinat çats ekil 1. ki boyutlu uzayda koordinat çats

P P00 P P11 ii P P22

ekil 1¶de gösterilen koordinat çatsnda; P

ekil 1¶de gösterilen koordinat çatsnda; P00 sistemin balangç (orijin) noktasn, Psistemin balangç (orijin) noktasn, P11 ve ve PP22 ise eksenleriniise eksenlerini

tanmlamaktadr. Bu koordinat çatsnda herhangi bir noktann konumu a

tanmlamaktadr. Bu koordinat çatsnda herhangi bir noktann konumu aiideerleri skaler büyüklükler olmak üzere,deerleri skaler büyüklükler olmak üzere,

 j j aa ii aa P P P P aa P P P P 22 _{00 ii 11 22} 11 ii ii 00 T T T T   ! ! ! !

§

§

! ! (1) (1)

vektörel eitliiyle elde edilir. ki boyutlu uzayda herhangi bir noktann konumunu belirlemek için kullanlan reel saylar  vektörel eitliiyle elde edilir. ki boyutlu uzayda herhangi bir noktann konumunu belirlemek için kullanlan reel saylar  ikilisine noktann parametreleri yada ksaca noktann koordinatlar denir. Koordinat deerleri her nokta için daima deiik  ikilisine noktann parametreleri yada ksaca noktann koordinatlar denir. Koordinat deerleri her nokta için daima deiik  ve tek anlaml koordinat fonksiyonlaryla tanmlanrlar. Yani her noktann koordinat fonksiyonlar, koordinat ve tek anlaml koordinat fonksiyonlaryla tanmlanrlar. Yani her noktann koordinat fonksiyonlar, koordinat   parametrelerinin seçimine bal olarak bir sistem içerisinde belirlenir. Bu nedenle (X

  parametrelerinin seçimine bal olarak bir sistem içerisinde belirlenir. Bu nedenle (X11, , XX22) eklinde tanmlanm) eklinde tanmlanm

koordinatlar daima iki boyutlu uzayda {P

2

2.1.1. Üç Boyutlu Koordinat Sistemleri.1.1. Üç Boyutlu Koordinat Sistemleri

Üç boyutlu uzayn geometrik yapsna uygun olarak kurulmu farkl parametrelerle ifade edilen birçok koordinat Üç boyutlu uzayn geometrik yapsna uygun olarak kurulmu farkl parametrelerle ifade edilen birçok koordinat sistemi tanmlanabilir. Üç boyutlu uzayda koordinat sistemi {P

sistemi tanmlanabilir. Üç boyutlu uzayda koordinat sistemi {P00, , PP11, , PP22, , PP33}olarak tanmlanan dört noktann oluturduu}olarak tanmlanan dört noktann oluturduu

ii P P P

P_{00 11} !! ,, _{00 22} !! ,, _{00 33} !!k k  birim vektörlerin tanmlad üç eksenli bir sistemdir.birim vektörlerin tanmlad üç eksenli bir sistemdir.

ekil 1. Üç boyutlu uzayda koordinat çats ekil 1. Üç boyutlu uzayda koordinat çats

00 X XHAHA Eks Eks 33 22 k  k 

ekil 1¶de gösterilen koordinat çatsnda; P

ekil 1¶de gösterilen koordinat çatsnda; P00 sistemin balangç (orijin) noktasn, Psistemin balangç (orijin) noktasn, P11, , PP22 ve ve PP33 ise eksenleriniise eksenlerini

tanmlamaktadr. Bu koordinat çatsnda herhangi bir noktann konumu a

tanmlamaktadr. Bu koordinat çatsnda herhangi bir noktann konumu aiideerleri skaler büyüklükler olmak üzere,deerleri skaler büyüklükler olmak üzere,

k  k  aa  j j aa ii aa P P P P aa P P P P 33 _{00 ii 11 22 33} 11 ii ii 00 T T T T T T     ! ! ! !

§

§

! ! (1) (1)

vektörel eitliiyle elde edilir. Üç boyutlu uzayda herhangi bir noktann konumunu belirlemek için kullanlan reel saylar  vektörel eitliiyle elde edilir. Üç boyutlu uzayda herhangi bir noktann konumunu belirlemek için kullanlan reel saylar  üçlüsüne noktann parametreleri yada ksaca noktann koordinatlar denir. Koordinat deerleri her nokta için daima deiik  üçlüsüne noktann parametreleri yada ksaca noktann koordinatlar denir. Koordinat deerleri her nokta için daima deiik  ve tek anlaml koordinat fonksiyonlaryla tanmlanrlar. Yani her noktann koordinat fonksiyonlar, koordinat ve tek anlaml koordinat fonksiyonlaryla tanmlanrlar. Yani her noktann koordinat fonksiyonlar, koordinat   parametrelerinin seçimine bal olarak bir sistem içerisinde belirlenir. Bu nedenle (X

  parametrelerinin seçimine bal olarak bir sistem içerisinde belirlenir. Bu nedenle (X11, , XX22, , XX33) eklinde tanmlanm) eklinde tanmlanm

koordinatlar daima üç boyutlu uzayda {P

koordinatlar daima üç boyutlu uzayda {P00, P, P11, P, P22, P, P33}çatsnda tanmlanm bir sisteme göre tanmlanmlardr.}çatsnda tanmlanm bir sisteme göre tanmlanmlardr.

Üç boyutlu koordinat sistemleri koordinat çatlarnn geometrik yapsna göre iki gruba ayrlabilirler. Üç boyutlu koordinat sistemleri koordinat çatlarnn geometrik yapsna göre iki gruba ayrlabilirler.

2

2.1.1.1. Üç Boyutlu Afin Koordinat Sistemleri.1.1.1. Üç Boyutlu Afin Koordinat Sistemleri

Üç boyutlu afin koordinat sisteminin koordinat çatsn oluturan birim vektörler 

Üç boyutlu afin koordinat sisteminin koordinat çatsn oluturan birim vektörler  PP₀₀PP₁₁!!ii_,, PP₀₀PP₂₂ !! j j_,, PP₀₀PP₃₃ !!k k _{arasndakiarasndaki}

iliki belli bir aç ile

iliki belli bir aç ile tanmldr. Bu vektörler birbirine paralel yatanmldr. Bu vektörler birbirine paralel yada dik dda dik deildir. Bu özellik sebebiyle eildir. Bu özellik sebebiyle koordinat sistemkoordinat sistem inininin eksenleri birbirine göre eik konumdadr ve eik çatl koordinat sistemleri olarak da adlandrlabilirler.

eksenleri birbirine göre eik konumdadr ve eik çatl koordinat sistemleri olarak da adlandrlabilirler.

Afin koordinat sisteminde birim vektörlerden oluan koordinat çatsna göre üç boyutlu uzayda herhangi bir P Afin koordinat sisteminde birim vektörlerden oluan koordinat çatsna göre üç boyutlu uzayda herhangi bir P noktasnn konumu (1) eitlii de dikkate alnarak,

noktasnn konumu (1) eitlii de dikkate alnarak,

k  k  aa  j j aa ii aa P P P P aa P P P P 00 ii 11 22 33 33 11 ii ii 00 T T T T T T     ! ! ! !

_§

_§

! !

eitliiyle elde edilir. Buradaki a

eitliiyle elde edilir. Buradaki aii katsaylkatsaylar noktann afin koordinatlar noktann afin koordinatlardr. Afin ardr. Afin koorkoordinat sisteminde bir ndinat sisteminde bir n oktannoktann

koordinatlar da daima birbirinden farkl ve tek anlaml koordinat fonksiyonlaryla tanmlanr ve (X

koordinatlar da daima birbirinden farkl ve tek anlaml koordinat fonksiyonlaryla tanmlanr ve (X 11, , XX22, , XX33) eklinde) eklinde

gösterilir. gösterilir.

2

2.1.1..1.1.22. Üç Boyutlu Ortogonal Koordinat Sistemleri. Üç Boyutlu Ortogonal Koordinat Sistemleri

Üç

Üç boyutlu ortogonal koordinat boyutlu ortogonal koordinat sistesisteminde koordinat minde koordinat çatsn tançatsn tan mlayan birim vmlayan birim vektörler ektörler  PP₀₀PP₁₁!!ii_,, PP₀₀PP₂₂ !! j j_,, k 

k  P P P

P_{00 33}!! _{arasndaki açlar birbirine eit ve dik (90º) µdr. Bu özellikten dolayarasndaki açlar birbirine eit ve dik (90º) µdr. Bu özellikten dolay} TTii,, j jTT,,k k TTçatsnn birim vektörleri üç boyutluçatsnn birim vektörleri üç boyutlu uzayda P

uzayda P00orijin noktasnda her zaman ortogonal yapl koordinat çats oluturmaktadr.orijin noktasnda her zaman ortogonal yapl koordinat çats oluturmaktadr.

Ortogonal çatnn birim vektörlerinden biri dier iki birim vektörün belirledii düzleme dik ve bu yüzeyin yüzey Ortogonal çatnn birim vektörlerinden biri dier iki birim vektörün belirledii düzleme dik ve bu yüzeyin yüzey normali ile çak

normali ile çakktktr. Bu özellie r. Bu özellie paralel olarak, paralel olarak, ortogonal çatnn birim ortogonal çatnn birim vektörlerinin tanmlad vektörlerinin tanmlad düzlemler birbirine diktir [düzlemler birbirine diktir [

Üç boyutlu uzayda bu tür özelliklere sahip ortogonal çatl koordinat sistemleri geometrik yaplarna göre; kartezyen Üç boyutlu uzayda bu tür özelliklere sahip ortogonal çatl koordinat sistemleri geometrik yaplarna göre; kartezyen (doru eksenli) ve erisel (eri eksenli) koordinat sistemleri gibi farkl iki koordinat sistemi eklinde ele alnabilirler. Bu (doru eksenli) ve erisel (eri eksenli) koordinat sistemleri gibi farkl iki koordinat sistemi eklinde ele alnabilirler. Bu sistemlerde farkl koordinat parametreleri kullanlmasdr, fakat hepsi ortogonal yapdadr ve birbirine dönüümü sistemlerde farkl koordinat parametreleri kullanlmasdr, fakat hepsi ortogonal yapdadr ve birbirine dönüümü salanabilir.

y

yKartezyen Koordinat SistemleriKartezyen Koordinat Sistemleri

Üç boyutlu uzayda

Üç boyutlu uzayda tanmlanan kartezyen koordinat tanmlanan kartezyen koordinat sistemi basit olmas nedeniyle oldukça fazla uygsistemi basit olmas nedeniyle oldukça fazla uygulama alanulama alan  bulmutur. Bu koordinat sisteminin orijini O, öklid uzaynda tanmlanan ortogonal çatnn orijini P

 bulmutur. Bu koordinat sisteminin orijini O, öklid uzaynda tanmlanan ortogonal çatnn orijini P00ile çakktr. Eksenleriile çakktr. Eksenleri

de ortogonal sistemi tanmlayan birim vektörlerle çakktr. de ortogonal sistemi tanmlayan birim vektörlerle çakktr.

Bu sistemde bir P noktasnn konumu o noktadan her bir koordinat eksenine inilen dik boylar ile belirlenir ve noktann Bu sistemde bir P noktasnn konumu o noktadan her bir koordinat eksenine inilen dik boylar ile belirlenir ve noktann dik (kartezyen) koordinatlar olarak adlandrlrlar. (X,Y,Z ) kartezyen koordinatlar +

dik (kartezyen) koordinatlar olarak adlandrlrlar. (X,Y,Z ) kartezyen koordinatlar + gg ve -ve -gg arasnda deer alabilir.arasnda deer alabilir.

ii T T T T k  k TT O O P (x,y,z) P (x,y,z) P¶ P¶ X X Y Y Z Z

Bu durumda kartezyen koordinat sisteminde üç boyutlu uzayn herhangi bir P noktasnn konumu, Bu durumda kartezyen koordinat sisteminde üç boyutlu uzayn herhangi bir P noktasnn konumu,

k  k  zz  j j yy ii xx OP OP r  r  TT TT TT T T     ! ! ! ! ₍₂₎₍₂₎

vektörel bants ile elde edilir. vektörel bants ile elde edilir.

Kartezyen koordinat sistemleri Z ekseninin etrafnda döndürüldüünde X ve Y eksenleri 90º aç ile çakyorsa sa Kartezyen koordinat sistemleri Z ekseninin etrafnda döndürüldüünde X ve Y eksenleri 90º aç ile çakyorsa sa sistem, 270º aç ile çakyorsa sol sistem olarak adlandrlr. Bu iki sistem arasndaki fark sadece bir sistemdeki eksenin sistem, 270º aç ile çakyorsa sol sistem olarak adlandrlr. Bu iki sistem arasndaki fark sadece bir sistemdeki eksenin yönü pozitifken dierinde

yönü pozitifken dierinde negatif olmasdr. Bu durum kartezyen negatif olmasdr. Bu durum kartezyen koordinat koordinat sisteminde yansma olarak adlansisteminde yansma olarak adlandrldrlr.r. Kartezyen koordinat sisteminde eksenlerin tanmlad düzlemler daima birbirine diktir. Üç boyutlu uzayda herhangi bir P Kartezyen koordinat sisteminde eksenlerin tanmlad düzlemler daima birbirine diktir. Üç boyutlu uzayda herhangi bir P noktasnn konumu kartezyen

noktasnn konumu kartezyen koordinatlarla belirlendiinde bu düzlemlere koordinatlarla belirlendiinde bu düzlemlere göre dgöre de konumu bee konumu belirllirl enmi olur.enmi olur.

Kartezyen koordinat sistemleri üç boyutlu uzayda eksen parametrelerinin sabit ve deiken alnmalar durumuna göre Kartezyen koordinat sistemleri üç boyutlu uzayda eksen parametrelerinin sabit ve deiken alnmalar durumuna göre   birbirinden farkl konumda E

 bulundurur ve dier eksene dik olur. Bu yüzeylerden E

 bulundurur ve dier eksene dik olur. Bu yüzeylerden E11= xoy düzlemi kartezyen koordinat sisteminin asal düzlemi, E= xoy düzlemi kartezyen koordinat sisteminin asal düzlemi, E22= xoz= xoz

düzlemi birinci ana düey düzlemi ve E

düzlemi birinci ana düey düzlemi ve E33= yoz düzlemi ise ikinci ana düey düzlemi olarak adlandrlr.= yoz düzlemi ise ikinci ana düey düzlemi olarak adlandrlr.

ii T T T T k  k TT O O X X Y Y Z Z E E11 E E33 E E22

y

yErisel Koordinat SistemleriErisel Koordinat Sistemleri

Erisel koordinat sistemlerinde (u

Erisel koordinat sistemlerinde (u11,u,u22,u,u33) koordinatlar, (X,Y,Z) kartezyen koordinatlarna dönüümü olan, üç boyutlu) koordinatlar, (X,Y,Z) kartezyen koordinatlarna dönüümü olan, üç boyutlu

uzayn her bir noktas için daima birbirinden farkl ve tek deerli parametrelerdir. (u

uzayn her bir noktas için daima birbirinden farkl ve tek deerli parametrelerdir. (u 11,u,u22,u,u33) parametrelerinin seçimine göre) parametrelerinin seçimine göre

 birçok farkl erisel koordinat sistemi tanmlanabilir. Bu koordinat sistemlerinin sahip olduu ortak koordinat çatsnda bir P  birçok farkl erisel koordinat sistemi tanmlanabilir. Bu koordinat sistemlerinin sahip olduu ortak koordinat çatsnda bir P

noktasnn kartezyen ve erisel koordinat parametrelerine göre, noktasnn kartezyen ve erisel koordinat parametrelerine göre,

)) uu ,, uu ,, (u (u r  r  k  k  zz yy ii xx P P r  r  11 22 33 T T T T T T T T T T ! !     ! ! ! ! (3)(3) eitliiyle tanmlanr. eitliiyle tanmlanr.

Üç boyutlu uzayda u

Üç boyutlu uzayda u11,u,u22,u,u33 parametrelerinin seçimine bal olarak erisel koordinat sistemleri aadaki isimlerleparametrelerinin seçimine bal olarak erisel koordinat sistemleri aadaki isimlerle

adlandrlrlar. adlandrlrlar.

y

y Küresel Koordinat SistemiKüresel Koordinat Sistemi

y

y _{Silindirik Koordinat Sistemi,Silindirik Koordinat Sistemi,} y

y Toroidal Koordinat Sistemi,Toroidal Koordinat Sistemi,

y

y Parabolik Silindirik Koordinat Sistemi,Parabolik Silindirik Koordinat Sistemi,

y

y _{Ekliptik Silindirik Koordinat Sistemi,Ekliptik Silindirik Koordinat Sistemi,} y

y Paraboloidal Koordinat Sistemi,Paraboloidal Koordinat Sistemi,

y

y Yayk (Prolate) Sferoidal Koordinat Sistemi,Yayk (Prolate) Sferoidal Koordinat Sistemi,

y

y _{Yass (oblate) Sferoidal Koordinat Sistemi,Yass (oblate) Sferoidal Koordinat Sistemi,} y

y Elipsoidal Koordinat Sistemi,Elipsoidal Koordinat Sistemi,

y

Bu koordinat sistemlerinin her biri ayn ortogonal koordinat çatsna sahip olmalarna ramen, kullanlan Bu koordinat sistemlerinin her biri ayn ortogonal koordinat çatsna sahip olmalarna ramen, kullanlan   parametrelerin

  parametrelerin matematiksel ve matematiksel ve geometrik farkllklar negeometrik farkllklar nedeniyle deniyle üç büç boyutlu uzayda oyutlu uzayda farkl kfarkl koordinat sistemleri olarak oordinat sistemleri olarak  karmza çkarlar. Bu koordinat sistemlerinden Küresel koordinat sistemi ve Elipsoidal koordinat sistemi burada karmza çkarlar. Bu koordinat sistemlerinden Küresel koordinat sistemi ve Elipsoidal koordinat sistemi burada açklanacaktr.

açklanacaktr.

y

y Küresel Koordinat Sistemi :Küresel Koordinat Sistemi :

Konum parametresi olarak aç ve uzunluklarn alnd küresel koordinat sistemleri astronomi ve jeodezi gibi bilim Konum parametresi olarak aç ve uzunluklarn alnd küresel koordinat sistemleri astronomi ve jeodezi gibi bilim dallarnda yaygn olarak

POP¶ POP¶ = =   ; ; 00      ee 22 xOP¶ xOP¶ = =   ; ; 00 ee  ee 22 OP OP = = r r ; ; r r uu 00 ii T T T T k  k TT O O P (x,y,z) P (x,y,z) P¶ P¶ X X Y Y Z Z r  r    

Bu deerler P noktasn küresel koordinatlar olmakta ve pozitif yönleri x,y,z kartezyen koordinat sisteminin Bu deerler P noktasn küresel koordinatlar olmakta ve pozitif yönleri x,y,z kartezyen koordinat sisteminin kartezyen eksen

kartezyen eksenlerinin pozitif yönünü göstermektedir. Üç boyutlu uzayda lerinin pozitif yönünü göstermektedir. Üç boyutlu uzayda P noktasna P noktasna ait küresel koordinatlar ile kait küresel koordinatlar ile kartezyenartezyen koordinatlar arasndaki iliki;

koordinatlar arasndaki iliki;

Cos Cos Cos Cos r  r  xx!! N N  ,, r r !! XX22 YY22 ZZ22 in in Cos Cos r  r  yy!! N N  ,, ¹¹  º  º  ¸  ¸ ©© ªª ¨¨ ! ! ¹¹  º  º  ¸  ¸ ©© ªª ¨¨ ! ! r  r  zz arcsin arcsin xx yy arctan arctan  N  N  in in r  r  ! !  z   z  ,, _¹¹¹¹  º  º  ¸  ¸ ©© ©© ªª ¨¨   ! ! 22 22 _yy xx zz arctan arctan N  N 

Bu ekilde tanmlanan küresel koordinat sisteminde; (, , r) küresel koordinat parametrelerinden birinin deiken Bu ekilde tanmlanan küresel koordinat sisteminde; (, , r) küresel koordinat parametrelerinden birinin deiken dierlerinin sabit seçilmesi durumunda farkl geometrik yapda koordinat sistemleri olutururlar. r parametresinin deiken dierlerinin sabit seçilmesi durumunda farkl geometrik yapda koordinat sistemleri olutururlar. r parametresinin deiken olmas durumunda ayn merke

olmas durumunda ayn merkezli iç içe küzli iç içe küreler;  paramereler;  parametresinin deitresinin deiken ken olmas duruolmas durumunda Zmunda Z-ekseninin r yarçapl küreyi-ekseninin r yarçapl küreyi kestii noktalarda ( küresel kutup noktalarnda) birleen büyük daire (meridyen) yaylar;  parametresinin deiken olmas kestii noktalarda ( küresel kutup noktalarnda) birleen büyük daire (meridyen) yaylar;  parametresinin deiken olmas durumunda  deiken yaylarn dik olarak kesen er

 O O X X Y Y Z Z

y

y Kartezyen ve Küresel Koordinat Sistemleri Arasndaki Dönüüm:Kartezyen ve Küresel Koordinat Sistemleri Arasndaki Dönüüm:

Üç boyutlu uzayda bir P noktasnn yer vektörü kartezyen koordinatlar cinsinden; Üç boyutlu uzayda bir P noktasnn yer vektörü kartezyen koordinatlar cinsinden;

)) uu ,, uu ,, (u (u r  r  k  k  zz yy ii xx P P r  r  11 22 33 T T T T T T T T T T ! !     ! ! ! !

eitliiyle verilir. Ayrca bu noktann küresel ve kartezyen koordinatlar arasnda; eitliiyle verilir. Ayrca bu noktann küresel ve kartezyen koordinatlar arasnda;

N  N  N  N  N  N  in in r  r  in in os os r  r  yy os os os os r  r  xx ! ! ! ! ! !  z   z 

fonksiyonel ilikisi mevcuttur. fonksiyonel ilikisi mevcuttur.

Bu bantlar göz önüne alnarak üç boyutlu uzayda herhangi bir P noktasna ait

Bu bantlar göz önüne alnarak üç boyutlu uzayda herhangi bir P noktasna ait r r yer vektörünün küresel koordinatlar yer vektörünün küresel koordinatlar 

cinsinden ifadesi; cinsinden ifadesi; 22 22 22 _{YY ZZ} X X r  r !!   ¹¹  º  º  ¸  ¸ ©© ªª ¨¨ ! ! ¹¹  º  º  ¸  ¸ ©© ªª ¨¨ ! ! r  r  zz arcsin arcsin xx yy arctan arctan  ¹¹ ¹¹  º  º  ¸  ¸ ©© ©© ªª ¨¨   ! ! 22 22 _yy xx zz arctan arctan N  N