Penghitungan Sumber Daya Atau Cadangan

(1)

BAB II

STUDI LITERATUR

2.1

2.1 Studi Studi Literatur Literatur tentang tentang Beberapa Beberapa Metode Metode Perhitungan Perhitungan Sumberdaya Sumberdaya atauatau Cadangan

Cadangan

Banyak penelitian yang telah dilakukan untuk mengembangkan metode perhitungan Banyak penelitian yang telah dilakukan untuk mengembangkan metode perhitungan sumberdaya atau cadangan. Penelitian-penelitian tersebut dilakukan untuk sumberdaya atau cadangan. Penelitian-penelitian tersebut dilakukan untuk menghilangkan dan mengkompensasi beberapa kelemahan dari metode perhitungan menghilangkan dan mengkompensasi beberapa kelemahan dari metode perhitungan sumberdaya atau cadangan yang telah ada. Berikut beberapa solusi metode sumberdaya atau cadangan yang telah ada. Berikut beberapa solusi metode perhitungan sumberdaya atau cadangan yang telah dikembangka

perhitungan sumberdaya atau cadangan yang telah dikembangka n.n.

Sulistianto et al (2000) memberikan kontribusi berupa usaha otomatisasi perhitungan Sulistianto et al (2000) memberikan kontribusi berupa usaha otomatisasi perhitungan cadangan tertambang menggunakan paket program Microsoft Excel.

cadangan tertambang menggunakan paket program Microsoft Excel.

Nusdaper

Nusdaper (2001) (2001) meneruskan meneruskan penelitian penelitian yang yang dilakukan dilakukan oleh oleh Sulistianto et Sulistianto et al al (2000)(2000) dengan kontribusinya berupa usaha semi otomatisasi yang didapat Sulistianto et al dengan kontribusinya berupa usaha semi otomatisasi yang didapat Sulistianto et al (2000). Semi otomatisasi dilakukan menggunakan

(2000). Semi otomatisasi dilakukan menggunakan macromacro paket program Microsoft paket program Microsoft Excel. Namun, penentuan perpotongan antara topografi dan

Excel. Namun, penentuan perpotongan antara topografi danhigh wall pit limit high wall pit limit masih masih menggunakan cara

menggunakan caratrial and error.trial and error.

Pratyaksa (2003) membuat perangkat lunak perhitungan cadangan tertambang Pratyaksa (2003) membuat perangkat lunak perhitungan cadangan tertambang batubara M-BLOCK yang

batubara M-BLOCK yang didasarkan pada metode didasarkan pada metode penampang vertikal dan penampang vertikal dan didukungdidukung oleh perangkat lunak grafis AutoCAD dan lembar kerja Microsoft Excel. Kedua oleh perangkat lunak grafis AutoCAD dan lembar kerja Microsoft Excel. Kedua perangkat pe

perangkat pendukung ndukung dihubungkan dihubungkan oleh perangkat oleh perangkat lunak lunak antarmuka, sehingga antarmuka, sehingga semuasemua proses identifikasi g

proses identifikasi geometri endapan eometri endapan batubara serta batubara serta perhitungan luas perhitungan luas yang dikerjakanyang dikerjakan oleh AutoCAD dapat ditransfer ke dalam Microsoft Excel.

(2)

Fujiono (2003) melakukan penelitian tentang cadangan tertambang batubara Fujiono (2003) melakukan penelitian tentang cadangan tertambang batubara didasarkan pada m

didasarkan pada metode penampang vertikal. etode penampang vertikal. Penampang geometri Penampang geometri endapan batubaraendapan batubara dibagi-bagi secara horizontal menjadi beberapa elevasi dan secara vertikal menjadi dibagi-bagi secara horizontal menjadi beberapa elevasi dan secara vertikal menjadi beberapa strip.

beberapa strip.

Widodo (2004) memberi kontribusi secara awal tentang cara menangani, Widodo (2004) memberi kontribusi secara awal tentang cara menangani, mengekspresikan, dan merangkum data-data berupa titik-titik menjadi sebuah model mengekspresikan, dan merangkum data-data berupa titik-titik menjadi sebuah model konseptual dan model matematik dengan ekspresi yang komprehensif untuk konseptual dan model matematik dengan ekspresi yang komprehensif untuk memudahkan perhitungan sumberdaya dan cadangan batubara. Di dalam penelitian memudahkan perhitungan sumberdaya dan cadangan batubara. Di dalam penelitian ini dijelaskan filosofi pemodelan menggunakan Metode Elemen Hingga (MEH) yang ini dijelaskan filosofi pemodelan menggunakan Metode Elemen Hingga (MEH) yang dapat diterapkan dalam perhitungan sumberdaya atau cadangan batubara.

dapat diterapkan dalam perhitungan sumberdaya atau cadangan batubara.

Augusman (2006) dalam penelitiannya menghasilkan paket program sebagai Augusman (2006) dalam penelitiannya menghasilkan paket program sebagai jembatan

jembatan penghubung penghubung untuk untuk mengintegrasikan mengintegrasikan aplikasi aplikasi Microsoft Microsoft Excel Excel dandan AutoCAD dengan menggunakan bahasa pemrograman sehingga optimasi cadangan AutoCAD dengan menggunakan bahasa pemrograman sehingga optimasi cadangan dapat berjalan dengan cepat.

dapat berjalan dengan cepat.

Anaperta (2006) memodelkan permukaan topografi dan batubara menggunakan Anaperta (2006) memodelkan permukaan topografi dan batubara menggunakan elemen-elemen segitiga. Dari masing-masing elemen ini dihitung ketebalan maupun elemen-elemen segitiga. Dari masing-masing elemen ini dihitung ketebalan maupun luas batubara dan

luas batubara danoverburdenoverburden untuk mendapatkan volume. untuk mendapatkan volume.

Widodo et al (2006) dalam penelitiannya telah memberikan estimasi sumberdaya Widodo et al (2006) dalam penelitiannya telah memberikan estimasi sumberdaya batubara

batubara menggunakan menggunakan metode metode elemen elemen hingga, hingga, dimana dimana metode metode elemen elemen hingga hingga dapatdapat digunakan sebagai estimator. Aplikasi metode elemen hingga untuk estimasi digunakan sebagai estimator. Aplikasi metode elemen hingga untuk estimasi sumberdaya didasarkan pada asumsi bahwa

sumberdaya didasarkan pada asumsi bahwastate variablestate variable pada endapan harus berada pada endapan harus berada pada kondisi

(3)

Widodo mencoba menerapkan metode deterministik yang direalisasikan oleh metode Widodo mencoba menerapkan metode deterministik yang direalisasikan oleh metode elemen hingga (MEH) sebagai

elemen hingga (MEH) sebagaicommon platformcommon platform untuk evaluasi sumberdaya batubara untuk evaluasi sumberdaya batubara dan evaluasi kondisi air permukaan dan air tanah, sehingga evaluasi terhadap dan evaluasi kondisi air permukaan dan air tanah, sehingga evaluasi terhadap keduanya dapat dilakukan secara terintegrasi.

keduanya dapat dilakukan secara terintegrasi.

Dwiantoro dan Wibawa (2007) melakukan penelitian tentang perhitungan Dwiantoro dan Wibawa (2007) melakukan penelitian tentang perhitungan sumberdaya batubara menggunakan Metode Elemen Hingga. Pengolahan data sumberdaya batubara menggunakan Metode Elemen Hingga. Pengolahan data dilakukan menggunakan Metode Elemen Hingga untuk estimasi sumberdaya batubara dilakukan menggunakan Metode Elemen Hingga untuk estimasi sumberdaya batubara berdasarkan model konseptual dan model matematika.

berdasarkan model konseptual dan model matematika.

2.2

2.2 Analisis Analisis Statistik Statistik DeskriptifDeskriptif

Analisis Statistik dilakukan untuk mengetahui parameter-parameter atau karakteristik Analisis Statistik dilakukan untuk mengetahui parameter-parameter atau karakteristik populasi endapan

populasi endapan dari sampel yang dari sampel yang diambil serta melihat hubungan diambil serta melihat hubungan antara data dalamantara data dalam populasi yan

populasi yang sama g sama atau hatau hubungan ubungan antara dantara data-data dalam ata-data dalam satu psatu populasi dengan opulasi dengan datadata dalam populasi lainnya. Dalam analisis statistik terdapat beberapa metode yang dapat dalam populasi lainnya. Dalam analisis statistik terdapat beberapa metode yang dapat digunakan, antara lain :

digunakan, antara lain :

1.

1. Deskripsi univarian, merupakan deskripsi yang digunakan untuk melihatDeskripsi univarian, merupakan deskripsi yang digunakan untuk melihat hubungan antar data dalam satu populasi, tanpa mempertimbangkan faktor hubungan antar data dalam satu populasi, tanpa mempertimbangkan faktor posisi

posisi dari dari data-data data-data tersebut. tersebut. Deskripsi Deskripsi univarian univarian meliputimeliputi meanmean,, medianmedian,,

modus

modus, ukuran dispersi, ukuran kemiringan kurva, ukuran dispersi, ukuran kemiringan kurva (skewness)(skewness), ukuran, ukuran keruncingan kurva

keruncingan kurva(kurtosis)(kurtosis), dan histogram., dan histogram. 2.

2. Deskripsi bivarian, merupakan deskripsi yang dapat digunakan untuk melihatDeskripsi bivarian, merupakan deskripsi yang dapat digunakan untuk melihat hubungan antara dua populasi data yang berbeda, pada posisi yang sama.

hubungan antara dua populasi data yang berbeda, pada posisi yang sama. 3.

3. Deskripsi ruang, merupakan deskripsi yang dapat digunakan untuk melihatDeskripsi ruang, merupakan deskripsi yang dapat digunakan untuk melihat kumpulan data dengan mempertimbangkan faktor ruang (posisi) dari data kumpulan data dengan mempertimbangkan faktor ruang (posisi) dari data tersebut (geostatistik).

(4)

2.3

2.3 Pemodelan Pemodelan dan dan Perhitungan Perhitungan Cadangan Cadangan BatubaraBatubara

Secara umum, pemodelan dan perhitungan cadangan batubara memerlukan data-data Secara umum, pemodelan dan perhitungan cadangan batubara memerlukan data-data dasar sebagai berikut (Syafrizal, 2006) :

dasar sebagai berikut (Syafrizal, 2006) :



 Peta topografiPeta topografi



 Data penyebaran singkapan batubara (telah disesuaikan dengan format/datumData penyebaran singkapan batubara (telah disesuaikan dengan format/datum peta)

peta)



 Data dan sebaran titik borData dan sebaran titik bor 

 Peta geologi lokal (meliputi litologi, stratigrafi, dan struktur geologi)Peta geologi lokal (meliputi litologi, stratigrafi, dan struktur geologi)



 Peta situasi dan data-data yang memuat batasan-batasan alamiah seperti aliranPeta situasi dan data-data yang memuat batasan-batasan alamiah seperti aliran

sungai, jalan, perkampungan, dan lain-lain. sungai, jalan, perkampungan, dan lain-lain.

Data penyebaran singkapan batubara berguna untuk mengetahui

Data penyebaran singkapan batubara berguna untuk mengetahui croplinecropline batubara, batubara, yang merupakan posisi dimana penambangan dimulai. Dari pemboran diperoleh hasil yang merupakan posisi dimana penambangan dimulai. Dari pemboran diperoleh hasil berupa

berupa data data elevasi elevasi atap/atap/roof roof dan lantai/ dan lantai/ floor floor batubara yang akan digunakan dalam batubara yang akan digunakan dalam pemodelan lapisan batubara serta perhitungan cadangan.

pemodelan lapisan batubara serta perhitungan cadangan.

Peta situasi dan data-data yang memuat batasan-batasan alamiah (aliran sungai, jalan, Peta situasi dan data-data yang memuat batasan-batasan alamiah (aliran sungai, jalan, perkampungan,

perkampungan, dan dan sebagainya) sebagainya) berguna berguna untuk untuk menentukan menentukan batas/batas/boundaryboundary

perhitungan cadangan.

perhitungan cadangan. Endapan batubara yang Endapan batubara yang tidak dapat ditambang katidak dapat ditambang karena batasan-rena batasan- batasan alamiah tersebut tidak diperhitungkan dalam perhitungan cadangan.

batasan alamiah tersebut tidak diperhitungkan dalam perhitungan cadangan.

2.3.1

2.3.1 Metode Metode Perhitungan Perhitungan Cadangan Cadangan KonvensionalKonvensional

Pemilihan metode perhitungan cadangan didasari oleh faktor geologi endapan, Pemilihan metode perhitungan cadangan didasari oleh faktor geologi endapan, metode eksplorasi, data yang dimiliki, tujuan perhitungan, dan tingkat kepercayaan metode eksplorasi, data yang dimiliki, tujuan perhitungan, dan tingkat kepercayaan yang diinginkan.

(5)

Berdasarkan metode (teknik, asumsi, pendekatan), maka penaksiran dan perhitungan Berdasarkan metode (teknik, asumsi, pendekatan), maka penaksiran dan perhitungan sumberdaya atau cadangan terdiri dari metode konvensional yang terbagi menjadi sumberdaya atau cadangan terdiri dari metode konvensional yang terbagi menjadi dua, yaitu metode penampang vertikal (dengan menggunakan rumus

dua, yaitu metode penampang vertikal (dengan menggunakan rumus mean areamean area,, kerucut terpancung,

kerucut terpancung, obelisk)obelisk) dan penampang horizontal (metode dan penampang horizontal (metode isolineisoline, metode, metode poligon,

poligon, metodemetode triangletriangle, dan metode, dan metode Circular Circular USGS 1983). Selain itu, USGS 1983). Selain itu, dapat puladapat pula dilakukan dengan metode geostatistik dan metode blok.

dilakukan dengan metode geostatistik dan metode blok.

A.

A. Metode Metode Penampang Penampang VertikalVertikal

Metode penampang vertikal menggambarkan kondisi endapan, bijih, tanah penutup Metode penampang vertikal menggambarkan kondisi endapan, bijih, tanah penutup

(overburden)

(overburden) pada penampang-penampang vertikal. Perhitungan luas masing-masing pada penampang-penampang vertikal. Perhitungan luas masing-masing elemen tersebut dilakukan pada masing-masing penampang. Perhitungan tonase dan elemen tersebut dilakukan pada masing-masing penampang. Perhitungan tonase dan volume dilakukan dengan rumus-rumus yang sesuai.

volume dilakukan dengan rumus-rumus yang sesuai.

Metode penampang vertikal dilakukan dengan cara sebagai berikut : Metode penampang vertikal dilakukan dengan cara sebagai berikut : a.

a. Membuat irisan-irisan penampang melintang yang memotong endapan batubaraMembuat irisan-irisan penampang melintang yang memotong endapan batubara yang akan dihitung,

yang akan dihitung, b.

b. Menghitung luas batubara danMenghitung luas batubara danoverburdenoverburden tiap penampang, tiap penampang, c.

c. Setelah luasan dihitung, maka volume dan tonase dihitung dengan rumusanSetelah luasan dihitung, maka volume dan tonase dihitung dengan rumusan perhitungan.

perhitungan. Perhitungan Perhitungan volume volume tersebut tersebut dapat dapat dilakukan dilakukan dengandengan menggunakan satu penampang, dua penampang, tiga penampang, atau menggunakan satu penampang, dua penampang, tiga penampang, atau rangkaian banyak penampang.

rangkaian banyak penampang.

Perhitungan volume dengan menggunakan satu penampang digunakan jika Perhitungan volume dengan menggunakan satu penampang digunakan jika diasumsikan bahwa satu penampang mempunyai daerah pengaruh hanya terhadap diasumsikan bahwa satu penampang mempunyai daerah pengaruh hanya terhadap penampang

penampang yang dyang dihitung saja. ihitung saja. Volume yang Volume yang dihitung merupakan dihitung merupakan volume pvolume pada arealada areal pengaruh penampang tersebut.

(6)

P P e e n n a a m

m p p a a n n g g - - 1 1 Jarak pengaruh Jarak pengaruh Penampang - 1 Penampang - 1 (d1) (d1)

Luas Overburden Pada Luas Overburden Pada

Penampang - 1 Penampang - 1 Jarak pengaruh Jarak pengaruh Penampang - 1 Penampang - 1 (d2) (d2) Gambar 2.1.

Gambar 2.1. Perhitungan Volume Perhitungan Volume Menggunakan Satu Menggunakan Satu PenampangPenampang

Rumus perhitungan volume dengan menggunakan satu penampang adalah : Rumus perhitungan volume dengan menggunakan satu penampang adalah :

Volume = (A x d1) + (A x d2) Volume = (A x d1) + (A x d2)

Perhitungan volume dengan menggunakan dua penampang jika diasumsikan bahwa Perhitungan volume dengan menggunakan dua penampang jika diasumsikan bahwa volume dihitung pada areal di antara 2 penampang tersebut. Yang perlu diperhatikan volume dihitung pada areal di antara 2 penampang tersebut. Yang perlu diperhatikan adalah variasi (perbedaan) dimensi antar kedua penampang tersebut. Jika tidak terlalu adalah variasi (perbedaan) dimensi antar kedua penampang tersebut. Jika tidak terlalu berbeda,

berbeda, maka dapmaka dapat digunaat digunakan rumus kan rumus mean area mean area dan dan kerucut kerucut terpancung, terpancung, tetapi jikatetapi jika perbedaannya cukup besar maka digunakan

(7)

P P e e n n a a m m p

p a a n n g g - - 1 1

Penampang - 1 Penampang - 1

Jarak antara Jarak antara

Penampang-1 & Penampang-2 Penampang-1 & Penampang-2

p a a n n g g - - 2 2

Gambar 2.2.

Gambar 2.2. Perhitungan Volume Perhitungan Volume Menggunakan Dua Menggunakan Dua PenampangPenampang

Adapun rumus yang digunakan sebagai berikut : Adapun rumus yang digunakan sebagai berikut :

Rumus

Rumus Mean Area Mean Area

((

))

V V ==LL S S 1 1 + + SS22 2 2 S S₁₁ S S 2 2 L L S

S11,S,S22 = = luas luas penampang endapanpenampang endapan

L

L = = jarak jarak antar antar penampangpenampang V

(8)

Rumus Kerucut Terpancung Rumus Kerucut Terpancung

S S 2 2 S S₁₁ L L

((

SS₂₂

))

1 1 S S + + 2 2 S S + + 1 1 S S 3 3 L L V V

=

S

S11 = = luas luas penampang penampang atasatas

S

S22 = = luas luas penampang penampang alasalas

L

L = jarak = jarak antar antar SS11 dan S dan S22

V

V = volume = volume cadangancadangan

Rumus

RumusObeliskObelisk

a a 2 2 S S 2 2 S S 1 1 a a 1 1 b b 1 1 b b 2 2

( (

SS₁₁++4M4M++SS₂₂

))

6 6 L L V V

=

2 2 2 2 b b + + 1 1 b b 2 2 2 2 aa + + 1 1 aa = = M M S

S11 = = luas luas penampang penampang atasatas

S

S22 = = luas luas penampang penampang bawahbawah

L

L = = jarak jarak antara antara SS11 & S & S22

V

V = = volumevolume

Perhitungan volume dengan menggunakan tiga penampang digunakan jika diketahui Perhitungan volume dengan menggunakan tiga penampang digunakan jika diketahui adanya variasi (kontras) pada areal di antara 2 penampang, maka perlu ditambahkan adanya variasi (kontras) pada areal di antara 2 penampang, maka perlu ditambahkan penampang

penampang antara antara untuk untuk mereduksi mereduksi kesalahan. kesalahan. Perhitungannya Perhitungannya menggunakan menggunakan rumusrumus prismoida.

(9)

p a a n n g g - - 1 1

P P e e n n a a m

m p p a a n n g g - - 2 2 Luas Overburden Pada

Luas Overburden Pada Penampang - 1

Penampang - 1 Luas Overburden PadaLuas Overburden Pada_{Penampang - 2}_{Penampang - 2}

p a a n n g g - - 3 3

Gambar 2.3.

Gambar 2.3. Perhitungan Volume Perhitungan Volume Menggunakan Tiga Menggunakan Tiga PenampangPenampang

Rumus prismoida sebagai berikut : Rumus prismoida sebagai berikut :

S S₂₂ M M S S 1 1 L L 1/2 1/2 L L 6 6 )) S S 4M 4M (S (S L L 11

+

22

=

V V S

S11,S,S22 = = luas luas penampang ujungpenampang ujung

M

M = luas = luas penampang tengahpenampang tengah L

L = = jarak jarak antara antara SS11 dan S dan S22

V

(10)

a.

a. Metode Penampang HorizontalMetode Penampang Horizontal

Metode penampang horizontal yang biasa digunakan adalah metode poligon, Metode penampang horizontal yang biasa digunakan adalah metode poligon, isoline

isoline,, triangulasitriangulasi, dan metode circular , dan metode circular USGS 1983. USGS 1983.

Metode poligon

Metode poligon sebenarnya merupakan contoh penerapan dari aturan sebenarnya merupakan contoh penerapan dari aturan nearestnearest point

point . Metode poligon adalah suatu metode perhitungan dengan konsep dasar. Metode poligon adalah suatu metode perhitungan dengan konsep dasar yang menyatakan bahwa seluruh karakteristik endapan suatu daerah diwakili oleh yang menyatakan bahwa seluruh karakteristik endapan suatu daerah diwakili oleh satu titik tertentu. Jarak titik bor di dalam poligon dengan batas poligon sama satu titik tertentu. Jarak titik bor di dalam poligon dengan batas poligon sama dengan jarak batas poligon ke titik bor terdekat. Di dalam poligon nilai kadar dengan jarak batas poligon ke titik bor terdekat. Di dalam poligon nilai kadar diasumsikan konstan sama dengan kadar pada titik bor di dalam poligon diasumsikan konstan sama dengan kadar pada titik bor di dalam poligon (Hustrulid & Kuchta, 1995).

(Hustrulid & Kuchta, 1995).

10 10 2 2 3 3 9 9 8 8 77 4 4 5 5 6 6 1 1  

= titik bor/sumur uji = titik bor/sumur uji = daerah pengaruh = daerah pengaruh

Gambar

Gambar 2.4. 2.4. Metode Metode PoligonPoligon

Perhitungan volume dengan rumus berikut : Perhitungan volume dengan rumus berikut : V

V = = A A . . t t dimana dimana V V = = volumevolume A

A = = luas luas poligonpoligon t

t = = tebal tebal lapisan batubara lapisan batubara di di titik titik contoconto

Metode

Metode isolineisoline_{adalah suatu metode yang menggunakan prinsip dasar}_{adalah suatu metode yang menggunakan prinsip dasar isoline}_isoline.. Isoline

Isoline adalah kurva yang menghubungkan titik-titik yang memiliki nilai adalah kurva yang menghubungkan titik-titik yang memiliki nilai kuantitatif sama. Metode ini digunakan dengan asumsi nilai yang berada di antara kuantitatif sama. Metode ini digunakan dengan asumsi nilai yang berada di antara

(11)

dihitung dengan cara menghitung luas daerah yang terdapat di dalam batas kontur, dihitung dengan cara menghitung luas daerah yang terdapat di dalam batas kontur, kemudian menggunakan prosedur-prosedur yang umum dikenal.

kemudian menggunakan prosedur-prosedur yang umum dikenal.

Gambar

Gambar 2.5. 2.5. Metode Metode IsolineIsoline

Metode triangulasi

Metode triangulasi dilakukan dengan konsep dasar menjadikan titik yang dilakukan dengan konsep dasar menjadikan titik yang diketahui menjadi titik sudut suatu prisma segitiga. Prisma segitiga diperoleh diketahui menjadi titik sudut suatu prisma segitiga. Prisma segitiga diperoleh dengan cara menghubungkan titik-titik yang diketahui tanpa berpotongan.

dengan cara menghubungkan titik-titik yang diketahui tanpa berpotongan.

1 1 2 2 33 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 1 1 2 2 33 4 4 5 5 6 6 7 7 8 8 Layout

Layoutdari dari segitiga-segitiga segitiga-segitiga Prisma-prisma Prisma-prisma triangulertrianguler

1 1 2 2 3 3 tt 2 2 tt 1 1 tt 3 3 Volume = Volume = 11 3 3(t(t11 + t + t22 + t + t33) S) S S

S = luas = luas segitigasegitiga 123123

tt11, t, t22, t, t33 = = ketebalan ketebalan endapan endapan padapada

masing-masing titik masing-masing titik

Gambar

(12)

Metode

Metode CircularCircular _{USGS 1983}_{USGS 1983}

Prosedur atau teknik perhitungan dalam sistem

Prosedur atau teknik perhitungan dalam sistem U.S. Geological SurveyU.S. Geological Survey adalah adalah dengan membuat lingkaran-lingkaran pada setiap titik informasi endapan dengan membuat lingkaran-lingkaran pada setiap titik informasi endapan batubara,

batubara, yaitu yaitu singkapan singkapan batubara batubara dan dan lokasi lokasi titik titik pemborapemboran. n. Daerah Daerah dalamdalam radius lingkaran 0-400 m adalah untuk perhitungan cadangan terukur dan daerah radius lingkaran 0-400 m adalah untuk perhitungan cadangan terukur dan daerah radius 400-1200 m adalah untuk perhitungan cadangan terunjuk (USGS, 1983). radius 400-1200 m adalah untuk perhitungan cadangan terunjuk (USGS, 1983).

Selain itu aspek-aspek geologi daerah penelitian seperti perlipatan, sesar, intrusi Selain itu aspek-aspek geologi daerah penelitian seperti perlipatan, sesar, intrusi dan singkapan batubara di permukaan, turut mengontrol perhitungan cadangan dan singkapan batubara di permukaan, turut mengontrol perhitungan cadangan batubara

batubara..

Selanjutnya untuk perhitungan Selanjutnya untuk perhitungan tonase (W) batubara digunakan tonase (W) batubara digunakan rumus sebagai berikut :

rumus sebagai berikut : W = L x t x BJ,

W = L x t x BJ, dimana :

dimana : L

L = Luas = Luas daerah daerah terhitung terhitung (m(m22)) t

t = Tebal = Tebal rata-rata rata-rata batubarabatubara sejenis (m)

sejenis (m) BJ

BJ = = Berat Berat jenis jenis batubara batubara (ton/m(ton/m33))

Gambar

Gambar 2.7. 2.7. Metode Circular Metode Circular USGS USGS 19831983

2.3.2

2.3.2 Metode Metode Elemen Elemen HinggaHingga

Metode elemen hingga

Metode elemen hingga (Finite Element Method)(Finite Element Method) merupakan metode yangmerupakan metode yang didalamnya diterapkan prinsip-prinsip kalkulus. Konsep dasar metode elemen didalamnya diterapkan prinsip-prinsip kalkulus. Konsep dasar metode elemen hingga adalah prinsp diskritisasi, yaitu membagi suatu benda menjadi hingga adalah prinsp diskritisasi, yaitu membagi suatu benda menjadi benda- benda

(13)

didekati dengan menggambarkan segi banyak di dalam lingkaran. Semakin didekati dengan menggambarkan segi banyak di dalam lingkaran. Semakin banyak

banyak jumlah jumlah sisi, sisi, maka maka akan akan semakin semakin mendekatmendekati i luas luas lingkaran lingkaran yangyang sebenarnya. Berikut digambarkan pendekatan luas lingkaran yang berjari-jari satu sebenarnya. Berikut digambarkan pendekatan luas lingkaran yang berjari-jari satu satuan panjang.

satuan panjang.

Gambar 2.8.

Gambar 2.8. Evaluasi pendekatan luas lingkaran (r Evaluasi pendekatan luas lingkaran (r = 1 = 1 satuan panjang)satuan panjang)

Metode elemen hingga melakukan pendekatan terhadap harga-harga yang tidak Metode elemen hingga melakukan pendekatan terhadap harga-harga yang tidak diketahui (u) pada setiap titik-titik secara diskrit, dimulai dari pemodelan suatu diketahui (u) pada setiap titik-titik secara diskrit, dimulai dari pemodelan suatu benda

benda dengan dengan membagmembagi-bagi i-bagi dalam dalam bagian/elbagian/elemen emen yang yang kecil kecil yang yang secarasecara keseluruhan masih mempunyai sifat sama dengan benda yang utuh sebelum keseluruhan masih mempunyai sifat sama dengan benda yang utuh sebelum terbagi dalam bagian yang kecil. Elemen inilah yang disebut sebagai

terbagi dalam bagian yang kecil. Elemen inilah yang disebut sebagai finite finite element

element . Diskritisasi domain solusi menjadi elemen-elemen tidaklah harus teratur,. Diskritisasi domain solusi menjadi elemen-elemen tidaklah harus teratur, ukuran dan jenis elemen dapat berbeda. Pemilihan elemen yang digunakan ukuran dan jenis elemen dapat berbeda. Pemilihan elemen yang digunakan tergantung pada karakteristik sistem massanya. Misalnya untuk suatu struktur tergantung pada karakteristik sistem massanya. Misalnya untuk suatu struktur yang berbentuk batang maka elemen ynag dipakai adalah elemen garis. Untuk yang berbentuk batang maka elemen ynag dipakai adalah elemen garis. Untuk massa berbentuk plat dapat dipilih bentuk elemen segitiga atau segiempat.

(14)

Gambar 2.9.

Gambar 2.9. Diskritisasi Domain Solusi Diskritisasi Domain Solusi Kasus 2-D Kasus 2-D dengan Elemen Segitigadengan Elemen Segitiga

Diskritisasi tersebut dapat diterapkan pula pada endapan batubara. Berdasarkan Diskritisasi tersebut dapat diterapkan pula pada endapan batubara. Berdasarkan data elevasi

data elevasi roof roof dan dan floor floor batubara maka batubara dapat didiskritisasi dengan batubara maka batubara dapat didiskritisasi dengan menggunakan elemen segitiga, segiempat, dan sebagainya. Endapan batubara menggunakan elemen segitiga, segiempat, dan sebagainya. Endapan batubara dapat ditaksir secara kuantitatif melalui masing-masing elemen tersebut. Dengan dapat ditaksir secara kuantitatif melalui masing-masing elemen tersebut. Dengan menghitung luas atau volume, maka jumlah cadangan batubara dapat diperoleh. menghitung luas atau volume, maka jumlah cadangan batubara dapat diperoleh.

A.

A. Pemodelan Pemodelan Endapan Endapan Batubara Batubara Berdasar Berdasar Model Model DeterministikDeterministik

Pemodelan endapan batubara bertujuan untuk menggambarkan atau menyatakan Pemodelan endapan batubara bertujuan untuk menggambarkan atau menyatakan endapan batubara secara sistematis untuk memudahkan proses evaluasi terhadap endapan batubara secara sistematis untuk memudahkan proses evaluasi terhadap endapan tersebut secara kuantitatif. Pemodelan secara deterministik mencakup endapan tersebut secara kuantitatif. Pemodelan secara deterministik mencakup tiga tahapan yang dilakukan, yaitu pemodelan konseptual, pemodelan matematik, tiga tahapan yang dilakukan, yaitu pemodelan konseptual, pemodelan matematik, dan pemodelan numerik (Widodo, 2004).

dan pemodelan numerik (Widodo, 2004).

Pemodelan konseptual merupakan pemodelan endapan batubara yang Pemodelan konseptual merupakan pemodelan endapan batubara yang direpresentasikan secara kualitatif, misalnya menggunakan kontur struktur bidang direpresentasikan secara kualitatif, misalnya menggunakan kontur struktur bidang perlapisa

(15)

diskritisasi terhadap endapan batubara menggunakan elemen-elemen dua dimensi diskritisasi terhadap endapan batubara menggunakan elemen-elemen dua dimensi maupun tiga dimensi.

maupun tiga dimensi.

Pemodelan matematik endapan batubara dapat didefinisikan sebagai pernyataan Pemodelan matematik endapan batubara dapat didefinisikan sebagai pernyataan matematik berkait dengan endapan batubara, yaitu berupa topografi, struktur matematik berkait dengan endapan batubara, yaitu berupa topografi, struktur batubara,

batubara, serta serta distribusdistribusi i parameteparameter r kualitas kualitas batubara. batubara. Peta Peta struktur struktur batubarabatubara merupakan medan tempat distribusi titik-titik kedudukan/ketinggian atap/

merupakan medan tempat distribusi titik-titik kedudukan/ketinggian atap/ roof roof dan dan lantai/

lantai/ floor floor lapisan batubara. Pernyataan matematik tentang distribusi titik-titik lapisan batubara. Pernyataan matematik tentang distribusi titik-titik tersebut dapat berupa fungsi garis (1-D) dan fungsi bidang (2-D) atap atau lantai tersebut dapat berupa fungsi garis (1-D) dan fungsi bidang (2-D) atap atau lantai lapisan batubara. Demikian juga untuk parameter kualitas batubara.

lapisan batubara. Demikian juga untuk parameter kualitas batubara.

Dilakukannya pemodelan deterministik pada endapan batubara dikarenakan Dilakukannya pemodelan deterministik pada endapan batubara dikarenakan beberapa h

beberapa hal sebagai al sebagai berikut :berikut : a.

a. Endapan Endapan batubara batubara dapat dapat digolongkan digolongkan sebagai sebagai endapan endapan yang yang sederhanasederhana dengan

dengan state variablestate variable dianggap kontinu sehingga sesuai dengan pemodelan dianggap kontinu sehingga sesuai dengan pemodelan matematika deterministik. Demikian juga halnya dengan ekspresi geometri matematika deterministik. Demikian juga halnya dengan ekspresi geometri endapan batubara dapat dimodelkan dengan pemodelan deterministik.

endapan batubara dapat dimodelkan dengan pemodelan deterministik. b.

b. Model Model determindeterministik istik memungkimemungkinkan nkan pemodelapemodelan n endapan endapan batubara batubara secarasecara menyeluruh, mulai dari pemodelan konseptual, pemodelan matematika, dan menyeluruh, mulai dari pemodelan konseptual, pemodelan matematika, dan pemodela

pemodelan n numerik, sehingga dengan numerik, sehingga dengan menggunamenggunakan metode kan metode elemen hinggaelemen hingga endapan batubara dapat digambarkan secara diskrit menjadi elemen-elemen endapan batubara dapat digambarkan secara diskrit menjadi elemen-elemen dengan volume tertentu.

dengan volume tertentu.

Metode elemen hingga merupakan solusi numerik persamaan differensial yang Metode elemen hingga merupakan solusi numerik persamaan differensial yang didasarkan pada kalkulus dengan fungsi

didasarkan pada kalkulus dengan fungsi state variablestate variable yang kontinu. Fungsi yang kontinu. Fungsi statestate variable

variable dapat didefinisikan sebagai ekspresi matematik dari medan distribusi dapat didefinisikan sebagai ekspresi matematik dari medan distribusi state variable

state variable, misalnya distribusi titik-titik (kordinat) permukaan lapisan, misalnya distribusi titik-titik (kordinat) permukaan lapisan batubara

batubara (roof (roof ), dimana dapat dilekatkan atribut berupa nilai-nilai tertentu seperti), dimana dapat dilekatkan atribut berupa nilai-nilai tertentu seperti ketebalan, parameter kualitas, dan elevasi. Masing-masing

ketebalan, parameter kualitas, dan elevasi. Masing-masing state variablestate variable dapat dapat dinyatakan dengan fungsi satu dimensi maupun dua dimensi.

(16)

B.

B. Pemodelan Pemodelan Matematik Matematik Endapan Endapan Batubara Batubara dengan dengan Metode Metode ElemenElemen Hingga

Hingga

Metode elemen hingga dapat diterapkan untuk estimasi sumberdaya/cadangan Metode elemen hingga dapat diterapkan untuk estimasi sumberdaya/cadangan batubara,

batubara, dimana dimana distribusidistribusi state variablestate variable pada endapan batubara dianggap pada endapan batubara dianggap konstan terhadap waktu (Widodo, 2004), sehingga fungsi

konstan terhadap waktu (Widodo, 2004), sehingga fungsi state variablestate variable pada pada endapan batubara bersifat

endapan batubara bersifat steady state.steady state. Untuk penerapan kasus 2-D dapatUntuk penerapan kasus 2-D dapat dinyatakan dengan model matematik sebagai berikut :

dinyatakan dengan model matematik sebagai berikut :

( ( ))

00 y y u u x x u u )) y y , , x x (( u u u u L L ₂₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 ₌₌ ∂∂ ∂∂ + + ∂∂ ∂∂ = = ∇ ∇ ≡ ≡ (2.1)(2.1) u

u merupakanmerupakan state variablestate variable tidak bebas (dapat berupa elevasi, ketebalan, maupun tidak bebas (dapat berupa elevasi, ketebalan, maupun kualitas batubara), sedangkan

kualitas batubara), sedangkan x x dan dan y y adalah adalah state variablestate variable bebas yang berupa bebas yang berupa koordinat. Persamaan (2.1) menyatakan bahwa

koordinat. Persamaan (2.1) menyatakan bahwa state variablestate variable uu bervarias bervariasi i secarasecara spasial saja.

spasial saja.

Untuk endapan batubara diasumsikan tebal batubara bervariasi terhadap ruang Untuk endapan batubara diasumsikan tebal batubara bervariasi terhadap ruang atau bervariasi secara spasial, sehingga tebal batubara dapat ditetapkan sebagai atau bervariasi secara spasial, sehingga tebal batubara dapat ditetapkan sebagai state variable

state variable dengan distribusi spasial berdasar persamaan (2.1) dapat dinyatakan dengan distribusi spasial berdasar persamaan (2.1) dapat dinyatakan sebagai berikut : sebagai berikut :

( )

00 y y t t x x t t )) y y , , x x (( t t t t L L ₂₂ 2 2 2 2 2 2 2 2 == ∂∂ ∂∂ + + ∂∂ ∂∂ = = ∇ ∇ ≡ ≡ _(2.2)_(2.2)

Solusi analitik persamaan (2.2) dapat didekati dengan metode elemen hingga yang Solusi analitik persamaan (2.2) dapat didekati dengan metode elemen hingga yang didasarkan pada metode residual terbobot dengan formula estimasi (aproksimasi) didasarkan pada metode residual terbobot dengan formula estimasi (aproksimasi) berikut: berikut:

∑

= = N N t t (( x x , , y y)) t t ˆ ˆ _φ_φ _(2.3)_(2.3)

(17)

t t ˆ

ˆ _{harus memenuhi kondisi batas domain solusi.}_{harus memenuhi kondisi batas domain solusi.}

₍

_{( )}

_x_x_,_,_y_y

_{) (}

_,_,

_{( )}

_x_x_,_,_y_y

₎

_,_,_..._..._,_,

₍₍

_x_x_,_,_y_y

N N 2 2 1 1 φ φ φ φ

))

φ φ

merupakan fungsi-fungsi basis yang bebas linier yang besarnya tergantung dari merupakan fungsi-fungsi basis yang bebas linier yang besarnya tergantung dari geometri elemen yang digunakan. Untuk elemen segitiga dengan 3 titik vertex, geometri elemen yang digunakan. Untuk elemen segitiga dengan 3 titik vertex, maka fungsi basis bersifat linier, sehingga persamaan (2.3) dengan elemen maka fungsi basis bersifat linier, sehingga persamaan (2.3) dengan elemen segitiga merupakan estimasi berbasis kombinasi linier. Dalam persamaan (2.3), segitiga merupakan estimasi berbasis kombinasi linier. Dalam persamaan (2.3), t t ˆ ˆ hanya merupakan solusi pendekatan dari persamaan (2.2) atau

hanya merupakan solusi pendekatan dari persamaan (2.2) atau L( L( )) ≠ ≠ 00 , oleh, oleh karena itu

karena itu didapatkan :didapatkan :

t t ˆ ˆ (2.4) (2.4) )) t t ˆ ˆ (( L L )) y y , , x x (( R Rˆ ˆ == Persamaan

Persamaan (2.4) (2.4) disebut disebut residual, residual, yang yang diperoleh diperoleh dengan dengan cara cara mensubstitusi mensubstitusi keke dalam persamaan (2.2). Untuk memperoleh solusi dengan akurasi yang tinggi, dalam persamaan (2.2). Untuk memperoleh solusi dengan akurasi yang tinggi, maka harga residual ini dalam keseluruhan domain solusi

maka harga residual ini dalam keseluruhan domain solusi (R)(R) harus minimum dan harus minimum dan secara metematis dinyatakan:

secara metematis dinyatakan:

t t ˆ ˆ

∫∫

= = )) R R (( )) R R (( dy dy Wdx Wdx dy dy dx dx R Rˆ ˆ W W r r (2.5)(2.5)

Persamaan (2.5) menyatakan residual rata-rata terbobot untuk mengukur residual Persamaan (2.5) menyatakan residual rata-rata terbobot untuk mengukur residual total dalam domain solusi

total dalam domain solusi (R)(R). Parameter. Parameter W(x,y)W(x,y) merupakan fungsi pembobot atau merupakan fungsi pembobot atau weighting function.

weighting function. Untuk orde Untuk orde N N , maka akan terdapat fungsi bobot sebanyak :, maka akan terdapat fungsi bobot sebanyak :

(2.6) (2.6) )) y y , , x x (( W W ...., ...., ), ), y y , , x x (( W W ), ), y y , , x x (( W W ₁₁ ₂₂ _N_N

Fungsi-fungsi pembobot ini dipilih sedemikian rupa, sehingga residual total dalam Fungsi-fungsi pembobot ini dipilih sedemikian rupa, sehingga residual total dalam domain solusi akan mempunyai harga sama dengan nol dan dinyatakan:

domain solusi akan mempunyai harga sama dengan nol dan dinyatakan:

(2.7) (2.7) )) N N ...., ...., , , 2 2 , , 1 1 ii (( , , 0 0 dy dy dx dx )) t t ˆ ˆ (( L L W W )) R R (( ii == ==

∫∫

(18)

Substitusi persamaan (2.2) ke dalam persamaan (2.7) dan dengan menggunakan Substitusi persamaan (2.2) ke dalam persamaan (2.7) dan dengan menggunakan formula Green akan didapatkan persamaan berikut:

formula Green akan didapatkan persamaan berikut:

0 0 dxdy dxdy y y t t ˆ ˆ y y W W x x t t ˆ ˆ x x W W dy dy dx dx )) t t ˆ ˆ (( L L W W )) R R (( (( R R)) ii ii ii ⎟⎟⎟⎟ == ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜⎜⎜⎜ ⎝ ⎝ ⎛ ⎛ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ + + ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ = =

∫∫∫

∫

∫∫∫∫

(2.8)(2.8)

Substitusi persamaan (2.3) ke dalam persamaan (2.8) akan diperoleh sistem Substitusi persamaan (2.3) ke dalam persamaan (2.8) akan diperoleh sistem persama

persamaan linier san linier simulataimulatan sebagai ben sebagai berikut :rikut :

(2.9) (2.9) ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬⎬ ⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨⎨ ⎧⎧ = = ⎪⎪ ⎪⎪ ⎭⎭ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎬⎬ ⎫⎫ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎩⎩ ⎪⎪ ⎪⎪ ⎨⎨ ⎧⎧ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎥⎥ ⎦⎦ ⎤⎤ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎢⎢ ⎣⎣ ⎡⎡ 0 0 0 0 0 0 0 0 t t ˆ ˆ .. .. t t ˆ ˆ A A .. .. A A .. .. .. .. .. .. .. .. A A .. .. A A n n 1 1 nn nn 1 1 n n n n 1 1 11 11 t t ˆ

ˆ _{adalah harga}_{adalah harga state variable}_{state variable yang dicari melalui estimasi menggunakan metode}_{yang dicari melalui estimasi menggunakan metode} elemen hingga. Matriks

elemen hingga. Matriks [A][A] mempunyai elemen sebagai berikut : mempunyai elemen sebagai berikut :

dxdy dxdy y y y y W W x x x x W W A A )) R R (( j j ii j j ii ij ij

∫∫

⎟⎟⎟⎟ ⎠ ⎠ ⎞ ⎞ ⎜⎜⎜⎜ ⎝ ⎝ ⎛ ⎛ ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ + + ∂∂ ∂∂ ∂∂ ∂∂ = = φ φ φ φ _(2.10)_(2.10)

Berdasar metode Galerkin, fungsi-fungsi basis dalam persamaan (2.3) digunakan Berdasar metode Galerkin, fungsi-fungsi basis dalam persamaan (2.3) digunakan sebagai fungsi-fungsi pembobot menggantikan persamaan (2.6), sehingga sebagai fungsi-fungsi pembobot menggantikan persamaan (2.6), sehingga persama

persamaan (2.10) dapan (2.10) dapat diubah mat diubah menjadi:enjadi:

dxdy dxdy y y y y x x x x A A M M 1 1 m m ₍₍_Rm_Rm₎₎ j j ii j j ii ij ij

∑

∑ ∫∫

∫∫

= = ⎠ ⎠⎟⎟⎟⎟ ⎞ ⎞ ⎜⎜⎜⎜ ⎝ ⎝ ⎛ ⎛ + + = = ∂ ∂ ∂φ ∂φ ∂ ∂ ∂φ ∂φ ∂ ∂ ∂φ ∂φ ∂ ∂ ∂φ ∂φ (2.11) (2.11)

Penelitian ini menggunakan elemen segitiga untuk bidang dua dimensi, di mana Penelitian ini menggunakan elemen segitiga untuk bidang dua dimensi, di mana merupakan suatu pendekatan linier terhadap besaran yang tidak diketahui

(19)

u

u (x,y) = (x,y) =αα₁₁₊₊αα₂₂_{x +}_{x +}αα₃₃_y_y _(2.12)_(2.12)

untuk elemen segitiga dengan tiga titik, maka nilai u dapat diperoleh dengan untuk elemen segitiga dengan tiga titik, maka nilai u dapat diperoleh dengan persama

persamaan linier san linier sebagai berebagai berikut :ikut : u u11 = =αα11 + +αα22xx11 + +αα33yy11 u u22 = =αα11 + +αα22xx22 + +αα33yy22 u u33 = =αα11 + +αα22xx33 + +αα33yy33

Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks : Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk matriks :

u u11 1 1 xx11 xx22 αα11 u u22 == 1 1 xx22 yy22 αα22 atau {qatau {q11} } = [ = [ AA11 ] ] {{ αα } } u u33 1 1 xx33 yy33 αα33

Kemudian persamaan di atas dapat diturunkan menjadi Kemudian persamaan di atas dapat diturunkan menjadi

{

{αα_}_{} =}_{= [}_{[ A}_A₁₁_]]-1-1 _{q_{q₁₁_}_} _(2.13)_(2.13)

di

di mana mana [A[A11]]-1-1adalah invers adalah invers matrik matrik dari dari AA11

1

1 xx11 xx22

[A

[A11]]-1-1 == 1 1 xx22 yy22 adjoint dari [Aadjoint dari [A11] ] dibagi dengan dibagi dengan determinan dari determinan dari [A[A11]]

1 1 xx33 yy33 1 1 aa11 aa11 aa11 = = b b11 bb22 bb22 Δ Δ _cc₁₁ _b_b₃₃ _b_b₃₃

Tinjau kembali pada persamaan

Tinjau kembali pada persamaan (1)(1) u u (x,y) = (x,y) =αα₁₁₊₊αα₂₂_{x +}_{x +} αα₃₃_{y, dapat pula ditulis}_{y, dapat pula ditulis} α

α₁₁

u

u = = [1 [1 x x y y ]] αα₁₁ _atau_{atau u}_u _{= [1}₌_{[1 x}_{x y}_{y ]}_{] {}_{αα_},_{}, substitusikan}_{substitusikan} αα_{ke persamaan (2.13)}_{ke persamaan (2.13)} α

(20)

u u = = [1 [1 x x y y ] ] [A[A11]]-1-1 { q{ q11 } } 1 1 aa11 aa11 aa11 uu11 u u = = [1 [1 x x y y ]] b b11 bb22 bb22 uu22 Δ Δ _cc₁₁ _b_b₃₃ _b_b₃₃ _u_u₃₃ u u11 u u = = 1/1/ΔΔ _{[ a}_{[ a}₁₁_{+ b}_{+ b}₁₁_{x + c}_{x + c}₁₁_y_y _aa₂₂_{+ b}_{+ b}₂₂_{x + c}_{x + c}₂₂_y_y _aa₃₃_{+ b}_{+ b}₃₃_{x + c}_{x + c}₃₃_{y ]}_{y ]} _u_u₂₂ u u33 u u11 u u = = [ [ NN11 NN22 NN33 ] ] uu22 u u33 di mana : di mana : N N11 = = 1/1/ΔΔ (a (a11 + b + b11x + cx + c11y)y) N N22 = = 1/1/ΔΔ (a (a22+ b+ b22x + cx + c22y)y) N N33 = = 1/1/ΔΔ (a (a33+ b+ b33x + cx + c33y)y) Δ

Δ ₌_{= determinan}_{determinan dari}_{dari matrik}_{matrik A}_A₁₁

a aii = x = x22yy33 – x – x33yy22, , bbii = y = y2 –2 –yy33, , cc11 = x = x3 –3 –xx22,, a a22 = x = x33yy11 – x – x11yy33, , bb22 = y = y3 –3 –yy11, , cc22 = = xx2 –2 –xx33 a a33 = x = x11yy22 – x – x22yy11, , bb33 = y = y1 –1 –yy22, , cc33 = = xx2 –2 –xx11,, Bila

Bila uu dianggap sebagai besaran yang dicari (tidak diketahui), maka fungsi dianggap sebagai besaran yang dicari (tidak diketahui), maka fungsi interpolasinya dapat dinyatakan sebagai berikut :

interpolasinya dapat dinyatakan sebagai berikut :

u u = = NN11uu11 + + NN22uu22 + ... + N+ ... + Nmmuunn = =[ [ N N ]{q} ]{q} (2.14)(2.14) di mana, di mana, u

u1,1,uu22, ...., u, ...., unn = = besaran besaran yang yang dicari dicari pada pada titik-titik titik-titik nodalnodal

N

(21)

Setelah semua langkah tersebut dilakukan, maka dapat diketahui nilai-nilai dari Setelah semua langkah tersebut dilakukan, maka dapat diketahui nilai-nilai dari besaran

besaran uu yang tidak diketahui di semua simpul yaitu yang tidak diketahui di semua simpul yaitu uu11 ,u ,u22 ,u ,u33 ,...u ,...umm..

Penentuan Luas Segitiga

Fungsi basis elemen segitiga disimbolkan dengan A. Misalkan titik-titik kordinat

pada

pada elemen elemen segitiga segitiga diberi diberi nama nama dengandengan PP11 ,P ,P22 ,P ,P33 , , masing-masing koordinatmasing-masing koordinat (x

(x1,1, y y11) ) (x(x22 ,y ,y22) dan (x) dan (x33 ,y ,y33)). Fungsi-fungsi basis dalam hubungannya dengan ketiga. Fungsi-fungsi basis dalam hubungannya dengan ketiga node tersebut didefinisikan sebagai fungsi basis linier yang mempunyai ekspresi

node tersebut didefinisikan sebagai fungsi basis linier yang mempunyai ekspresi

sebagai berikut : sebagai berikut : P P11 (x (x11 ,y ,y11)) P P22 (x (x22 ,y ,y22)) P P33 (x (x33 ,y ,y33)) M M 11 M M 22 M M 33 Gambar 2.10.

Gambar 2.10. Penentuan Luas Elemen Segitiga Penentuan Luas Elemen Segitiga dengan Fungsi Basis dengan Fungsi Basis Orde SatuOrde Satu

Luas segitiga pada gambar 3.11 dapat dinyatakan dalam titik-titik kordinat sebagai Luas segitiga pada gambar 3.11 dapat dinyatakan dalam titik-titik kordinat sebagai berikut :

berikut :

A = ½

A = ½ (x(x11 y y22 + x + x22 y y33 + x + x33 y y11 – x – x33 y y22 – x – x22 y y11 – x – x11 y y33)) (2.15)(2.15)

Penentuan luas (A) elemen segitiga tersebut dapat dibuktikan dengan cara Penentuan luas (A) elemen segitiga tersebut dapat dibuktikan dengan cara sederhana yaitu sebagai berikut :

(22)

Luas

Luas Segitiga = Segitiga = Luas Luas trapesiumtrapesium M M 33PP33PP22 M M 22+ Luas Trapesium M + Luas Trapesium M 22PP22PP11 M M 11 – –

Luas Trapesium

Luas Trapesium M M 33PP33PP11 M M 11

=

= ½½ (x(x33 – x – x11) (y) (y11+y+y33) + ½ (x) + ½ (x22 - x - x33) (y) (y22 + y + y33) – ½ (x) – ½ (x22 – x – x11) (y) (y11 + y + y22))

=

= ½½ (x(x11 y y22 + x + x22 y y33 + x + x33 y y11 – x – x33 y y22 - x - x22 y y11 - x - x11 y y33))

Luas segitiga tersebut dapat pula ditulis dalam bentuk determinan sebagai berikut: Luas segitiga tersebut dapat pula ditulis dalam bentuk determinan sebagai berikut:

x

x11 yy11 11

Luas

Luas Segitiga Segitiga (A) (A) = ½ = ½ xx22 yy22 1 1 (2.16)(2.16)

x