BAB 1 Konsep Dasar 1

(1)

BAB 1

Konsep Dasar

(2)

BAB 2

Solusi Persamaan Fungsi

Polinomial

(3)

BAB 3

Interpolasi dan Aproksimasi

Polinomial

(4)

BAB 4

Metoda Numeris untuk Sistem

Nonlinier

Suatu tekanan

p

dibutuhkan untuk menancapkan suatu plat sirkuler

dengan radius

r

kedalam permukaan keras yang mempunyai panjang

D

. Plat itu akan ditancapkan sejauh

d

(dengan

D > d

) dibawah

per-mukaan. Tekanan itu bervariasi tergantung besarnya radius dari plat

sirkuler tadi, semakin besar radius plat semakin besar pula tekanan

yang dibutuhkan, sehingga hubungan antara tekanan

p

dengan radius

plat

r

dapat disajikan sebagai

p = k1e k2r+k

3r

dimana

k1k2

dan

k3

adalah konstanta yang tergantung pada kedalaman

plat itu ditancapkan

d

dan konsistensi dari permukaan.

m 3 r _r r 1 ₂ 3 m m 1 2

Selanjutnya untuk menentukan radius minimal plat yang masih

memungkinkan plat dapat menahan beban besar akibat dari tekanan

(5)

BAB4. METODA NUMERISUNTUK SISTEMNONLINIER 56

dan permukaan keras tadi, pada gambar tiga plat sirkuler dengan

ra-dius, dan tekanan yang berbeda ditancapkan bersama dengan

kedala-man yang sama. Peristiwa ini menghasilkan persamaan tiga sistem non

linier

m1 =k1e k2r1+k 3r1 m2 =k1e k 2 r 1+k 3r1 m3 =k1e k 2 r 1+k 3r1:

Untuk menentukan

k1k2

dan

k3

, metoda numeris merupakan alternatif

yang baik.

Sistem persamaan non linier dapat disajikan dalam bentuk f1(x1x2:::xn) = 0

f2(x1x2:::xn) = 0

f3(x1x2:::xn) = 0 (4.1)

... fn(x1x2:::xn) = 0

Alternatif lain kita dapat menulis sistem itu dalam fungsi

F

, yang memetakan

R nterhadap R n.

F

(x1x2dotsxn) = ; f1(x1x2:::xn)f2(x1x2:::xn):::fn(x1x2:::xn) T

F

(x) =

0

(4.2)

Denisi 4.0.1

Suatu fungsi f yang memetakan D R

n kedalam

R dikatakan

kontinyu pada

x

0 bila

lim

x!x 0

f(

x

) =f(

x

0):

Selanjutnya untuk f yang kontinyu pada himpunan domain D dan kontinyu pula

(6)

Denisi 4.0.2

Suatu fungsi

F

yang memetakan D R

n kedalam R n dengan bentuk

F

= (f1(

x

)f2(

x

):::fn(

x

)) T maka lim x!x0

F

(

x

) =

L

= (L1L2:::Ln) T

jika dan hanya jikalimx!x0 fi(

x

) =Li untuk masing-masingi. Selanjutnya fungsi

F

akan kontinyu pada

x

0

2D bila lim x!x

0

F

(

x

) ada, dan lim

x!x

0

F

(

x

) =

F

(

x

0)

dan bila

F

kontinyu dalam domain D maka

F

akan kontinyu pada setiap

x

2D.

dengan simbol yang sama dengan teorema (

??

) dalam hal ini ditulis sebagai

F

2

C(D)

Teorema 4.0.1

Jika f adalah fungsi yang memetakan D R

n kedalam

R dan

x

0

2D, maka jika ditemukan suatu konstanta > 0danK > 0dengan ketentuan

@f(

x

) @xj K untuk j = 12:::n dan jj

x

;

x

0 jj<

x

2D

maka f adalah kontinyu pada

x

0.

4.1 Metoda Titik Tetap

Denisi 4.1.1

Suatu fungsi

G

yang memetakan DR

nkedalam

R

nmempunyai

(7)

Teorema 4.1.1

Jika D = (x1x2:::xn) T ja i x i b i i = 12:::n ,

dan

G

adalah fungsi kontinyu yang memetakan D R

nkedalam

Rdengan sifat

G

(

x

)2D untuk sebarang

x

2D, maka

G

mempunyai titik tetap padaD.

Selan-jutnya bila G kontinyu pada turunan partialnya dan ditemukan konstanta K < 1

dengan @gi(

x

) @xj K n untuk sebarang

x

2D

untuk masing-masing j = 12:::n dan masing-masing komponen gi. Maka

sederetan bilangan f

x

k ] g

1

k =0 yang didenisikan sebagai

x

k ] =G(

x

k ;1]) untuk masing

;masingk1

akan konvergen terhadap titik tetap tunggal

p

2D dan

jj

x

k ] ;

p

jj 1 Kk 1;K jj

x

(1) ;

x

(0) jj 1: (4.3)

Contoh 4.1.1

Buktikan bahwa sistem non linier berikut ini mempunyai titik

tetap tunggal pada D =

(x1x2x3) T j;1 x i 1 i = 123 . 3x1 ;cos(x 2x3) ; 1 2 = 0 x2 1 ;81(x 2+ 0:1) 2+ sinx 3+ 1:06 = 0 e;x 1 x 2 + 20x 3+ 10 ;3 3 = 0:

Teorema 4.1.1

Selesaikan persamaan diatas untuk xi maka

x1 = 13cos(x2x3) + 16 x2 = 19 q x2 1+ sinx 3 + 1:06 ;0:1 x3 = ; 1 20e;x 1 x 2 ; 10;3 60 :

(8)

dengan demikian untuk

G

: R

n ! R n didenisikan

G

(

x

) = (g 1

x

)g2

x

)g3

x

)) T dimana g1(x1x2x3) = 13cos(x2x3) + 16 g2(x1x2x3) = 19 q x2 1+ sinx 3+ 1:06 ;0:1 g3(x1x2x3) = ; 1 20e;x1x2 ; 10;3 60 : Untuk

x

= (x1x2x3) T 2D maka jg 1(x1x2x3) j 1 3jcos(x 2x3) j+ 16 0:50 jg 2(x1x2x3) j = 19 q x2 1+ sinx 3 + 1:06 ;0:1 = 19p 1 + sin1 + 1:06;0:1 < 0:09 jg 3(x1x2x3) j j; 1 20e;x 1 x 2 j+ 10 ;3 60 : = 120e+ 10;3 60 < 0:61 sehingga ;1 g i(x1x2x3)

1, untuk i = 123, dengan demikian

G

(

x

) 2 D

untuk sebarang

x

2D.

Slanjutnya kita tentukan

@gi @xj K n untuk sebarang

x

2D

(9)

Dalam hal ini

@g1 @x1 = 0 @g1 @x2 1 3jx 3 jjsinx 2x3 j 1 3 sin1 < 0:281 @g1 @x3 1 3jx 2 jjsinx 2x3 j 1 3 sin1 < 0:281 @g2 @x1 = 0 @g2 @x2 = jx 1 j 9p x2 1 + sinx 3+ 1:06 < 1 9p 0:218 < 0:119 @g2 @x3 = jcosx 3 j 18p x2 1+ sinx 3 + 1:06 < 1 18p 0:218 < 0:119 @g3 @x1 = 0 @g3 @x2 = jx 2 j 20 e;x1x2 1 20e < 0:14 @g3 @x3 = jx 1 j 20 e;x1x2 1 20e < 0:14:

Karena g1g2g3 terbatas dalam D maka dengan teorema (

??

) gi kontinyu pada

D, dengan demikian G kontinyu pada D. Selanjutnya dapat disimpulkan bahwa

@gi(

x

) @xj 0:281 i = 123 j = 123:

Dan akhirnya

G

mempunyai titik tetap tunggal.

Kemudian untuk menentukan aproksimasi dari titik tetap

p

itu, kita pilih

x

0]= (0:10:1 ;0:1)

T, dan kalkulasi berikutnya mengikuti proses iterasi berikut

xk ] 1 = 13cos(x k ;1] 2 x k ;1] 3 ) + 16 xk ] 2 = 19 q ; xk ;1] 1 ) 2+ sinx k ;1] 3 + 1:06 ;0:1 xk ] 3 = ; 1 20e;x k ;1] 1 x k ;1] 2 ; 10;3 60 :

(10)

BAB4. METODA NUMERISUNTUK SISTEMNONLINIER 61 k xk ] 1 x k ] 2 x k ] 3 e n= jjx k ] 1 ;x k ;1] 1 jj 1 0 0.10000000 0.10000000 -0.10000000 1 0.49998333 0.00944115 -0.52310127 0.423 2 0.49999593 0.00002557 -0.52336331 9:410 ;3 3 0.50000000 0.00001234 -0.52359814 2:310 ;4 4 0.50000000 0.00000003 -0.52359847 1:210 ;5 5 0.50000000 0.00000002 -0.52359877 3:110 ;7

Untuk mempercepat konvergensi proses iterasi dapat dilakukan dengan cara

xk ] 1 = 13cos(x k ;1] 2 x k ;1] 3 ) + 16 xk ] 2 = 19 q ; xk ] 1 ) 2+ sinx k ;1] 3 + 1:06 ;0:1 xk ] 3 = ; 1 20e;x k ] 1 x k ] 2 ; 10;3 60 :

dengan hasil sebagai berikut

k xk ] 1 x k ] 2 x k ] 3 e n= jjx k ] 1 ;x k ;1] 1 jj 1 0 0.10000000 0.10000000 -0.10000000 1 0.49998333 0.02222979 -0.52304613 0.423 2 0.49997747 0.00002815 -0.52359807 9:410 ;2 3 0.50000000 0.00000004 -0.52359877 2:310 ;5 4 0.50000000 0.00000000 -0.52359877 1:210 ;8 4.2 Metoda Newton

Metoda Newton untuk menentukan akar persamaan polinomial dapat ditulis sebagai pn =pn;1 ; f(pn;1) f0(p n;1) untuk n 1:

(11)

Bila pn=g(pn;1) maka metoda ini dapat disajikan dalam

g(pn;1) =pn;1 ; f(pn;1) f0(p n;1) untuk n 1: atau g(x) = x; f(x) f0(x): g(x) = x;(x)f(x) untuk = 1=f 0(x):

Dan dapat juga ditulis dalam

G

(

x

) =

x

;

A

(

x

)

;1

F

(

x

)

dimana

A

(

x

) adalah matrix nonsingular (nn). Salah satu pilihan terbaik untuk

matrik ini adalah matrikJacobian, yaitu

J

(

x

) = 2 6 6 6 6 6 6 6 6 4 @f 1 (x) @x 1 @f 1 (x) @x 2 ::: @f 1 (x) @x n @f 2 (x) @x 1 @f 2 (x) @x 2 ::: @f 2 (x) @xn ... ... ... @f n (x) @x 1 @f n (x) @x 2 ::: @f n (x) @x n 3 7 7 7 7 7 7 7 7 5 sehingga

G

(

x

) =

x

;

J

(

x

) ;1

F

(

x

):

Selanjutnya iterasi functional yang diawali dengan pemilihan

x

0] sebagai nilai

awal, dapat disajikan dalam bentuk

x

k ] =

G

(

x

k ;1])

=

x

k ;1]

;

J

(

x

k ;1]);1

F

(

x

k ;1]) (4.4)

(12)

Teorema 4.2.1

Misal

p

adalah solusi dari

G

(

x

) =

x

dimana

G

= (g1g2:::gn) T

memetakan memetakan R

nkedalam

R

n. Jika ditemukan > 0 dengan sifat

1. @g i @x j kontinyu pada N = fxjjj

x

;

p

jj< g, 2. @ 2 g i (x) @x j @x k juga kontinyu, @ 2 g i (x) @x j @x k

M, untuk sebarang konstanta M dan

se-barang

x

2N , 3. @g i (p) @x k = 0, dimana i = 12:::nj = 12:::n dan k = 12:::n

maka terdapat bilangan ^ sedemikian hingga

x

k ] =G(

x

k ;1])

konvergen terhadap titik tetap tunggal

p

untuk sebarang nilai awal

x

0] sepanjang

jj

x

;

p

jj< ^. Selanjutnya jj

x

k ] ;

p

jj 1 n2M 2 jj

x

k ;1] ;

p

jj 2 1 untuk masing ;masingk1

Contoh 4.2.1

Ulangi persoalan (

??

), gunakan metoda Newton untuk

menen-tukan aproksimasi terhadap

p

.

Teorema 4.2.1

Sistem persamaan nonlinier itu adalah

3x1 ;cos(x 2x3) ; 1 2 = 0 x2 1 ;81(x 2+ 0:1) 2+ sinx 3+ 1:06 = 0 e;x1x2 + 20x 3+ 10 ;3 3 = 0: sehingga

J

(

x

) = 2 6 6 6 6 6 4 3 x3sinx2x3 x2sinx2x3 2x1 ;162(x 2+ 0:1) cosx3 ;x 2e ;x 1 x 2 ;x 1e ;x1x2 20 3 7 7 7 7 7 5

(13)

BAB4. METODA NUMERISUNTUK SISTEMNONLINIER 64 dan

J

(

x

k ;1]) = 2 6 6 6 6 6 4 3 xk ;1] 3 sinx k ;1] 2 x k ;1] 3 x k ;1] 2 sinx k ;1] 2 x k ;1] 3 2xk ;1] 1 ;162(x k ;1] 2 + 0:1) cosx k ;1] 3 ;x k ;1] 2 e ;x k ;1] 1 x k ;1] 2 ;x 1e ;x k ;1] 1 x k ;1] 2 20 3 7 7 7 7 7 5 : Demikian juga

F

(

x

k ;1]) = 2 6 6 6 6 6 4 3xk ;1] 1 ;cos(x k ;1] 2 x k ;1] 3 ) ; 1 2 (xk ;1] 1 ) 2 ;81(x k ;1] 2 + 0:1) 2 + sinx k ;1] 3 + 1:06 e;x k ;1] 1 x k ;1] 2 + 20x k ;1] 3 + 10 ;3 3 : 3 7 7 7 7 7 5 :

Selanjutnya lakukan kalkulasi dengan prosedur iterasi newton dengan memilih

nilai awal

x

= (0:10:1;0:1)

T akan diperoleh hasil dalam tabel dibawah ini.

k xk ] 1 x k ] 2 x k ] 3 e n= jjx k ] 1 ;x k ;1] 1 jj 1 0 0.10000000 0.10000000 -0.10000000 1 0.49998333 0.00944115 -0.52310127 0.423 2 0.49999593 0.00002557 -0.52336331 9:410 ;3 3 0.50000000 0.00001234 -0.52359814 2:310 ;4 4 0.50000000 0.00000003 -0.52359847 1:210 ;5 5 0.50000000 0.00000002 -0.52359877 3:110 ;7

(14)

BAB4. METODA NUMERISUNTUK SISTEMNONLINIER 65 Latihan Tutorial 2

1. Persamaan nonlinier berikut ini mempunyai dua solusi.

;x 1(x1+ 1) + 2x2 = 18 (x1 ;1) 2+ (x 2 ;6) 2 = 25 Berikan pendekatan grak terhadap sistem itu. Tentukan solusi dengan toleransi 1e;5 dalaml

1 norm

2. Metoda Newton untuk menyelesaikan sistem persamaan nonlinier disajikan dalam rumus berikut

x

k ] =

x

k ;1]

;J(

x

k ;1]);1

F

(

x

k ;1])

Terapkan

teknik ini kedalam sistem persamaan berikut untuk menghitung

x

1] fgunakan

x

0]= (0:1 0:1 ;0:1) T g. 3x1 ;cos(x 2x3) ; 1 2 = 0 x2 1 ;81(x 2+ 0:1) 2+ sinx 3 + 1:06 = 0 e;x1x2 + 20x 3+ 10 ;3 3 = 0

3. Sistem nonlinier berikut: x2 1 ;10x 1+x 2 2+ 8 = 0 x1x 2 2+x 1 ;10x 2 + 8 = 0

dapat ditransformasikan dalam titik tetap x1 = g1(x1x2) = x 2 1 +x 2 2+ 8 10 x2 = g2(x1x2) = x 1x 2 2+x 1+ 8 10

(15)

BAB4. METODA NUMERISUNTUK SISTEMNONLINIER 66 Gunakan teorema yang tertera dalam buku ini untuk menunjukkan

bahwa

G

= (g1g2) t:D

2R 2

!R

2 mempunyai titik tetap unik dalam

D = (x1x2) t

j0x 1x2

1:5

Terapkan iterasi fungsional untuk menentukan solusi hampiran dari

sistem tersebut.

Apakah metoda Seidel dapat mempercepat tingkat konvergensinya.

4. Gunakan metoda Newton untuk menentukan solusi hampiran dari per-samaan nonlinier berikut ini.

x2 1 +x 2 ;37 = 0 x1 ;x 2 2 ;5 = 0 x1+x2+x3 ;3 = 0 x2 1+ 2x 2 2 ;x 2 ;2x 3 = 0 x2 1 ;8x 2 2 + 10x 3 = 0 x2 1 7x2x3 ;1 = 0 fgunakan

x

0] = (0:1 0:1 0)T g