Hubungan Antara Konvergen Hampir di mana mana, Konvergen dalam ruang Lebesgue, Konvergen dalam ukuran pada fungsi terukur

Konvergen dalam ruang Lebesgue, Konvergen dalam

ukuran pada fungsi terukur

Firman



Abstrak

Dalam tulisan ini akan dibahas hubungan antara konvergen hampir dimana-mana dengan konvergen dalam ruang Lebesgue pada fungsi terukur, disamping itu juga akan dibahas hubungan antara konvergen dalam ruang Lebesgue dengan konvergen dalam ukuran pada fungsi terukur

Kata Kunci : fungsi terukur, konvergen hampir dimana-mana, konvergen dalam ruang Lebesgue, konvergen dalam ukuran, ukuran Lebesgue.

1. Pendahuluan

Salah satu cabang ilmu dalam bidang analisis yang cukup penting untuk dikaji sehubungan dengan kelompok bidang lain adalah mengenai kekonvergenan. Pada awalnya konsep konvergen yang kita kenal adalah konvergen barisan bilangan real, kemudian secara berurutan dikenal pula konvergen barisan fungsi.

Definisi 1.

Misalkan



adalah suatu keluarga himpunana bagian dari X.



disebut aljabar -



jika memenuhi:

(i)



,

X





(ii) jika

A





, maka Ac



(iii) jika An



,nN, maka An



Pasangan terurut



X,





disebut ruang terukur

Definisi 2.

Misal



X,





ruang terukur. Suatu fungsi

f

:

X



R

dikatakan terukur , jika untuk setiap

R





maka himpunan



xX:f(x)









Definisi 3.

Ukuran adalah sebuah fungsi



:





R

yang memenuhi (i)



 



0

(ii)



(

E

)



0

untuk semua

E







(iii)













 



1 n n

E



=



 

 1 n n

E



, dengan E_nadalah barisan disjoint di



Definisi 4.

Tripel



X,



,





, dengan

X

himpunan sebarang,



aljabar-



pada

X

dan



ukuran pada



disebut ruang ukuran.

Definisi 5.

Sifat

P

dikatakan berlaku hampir dimana-mana atau





a

.

e

,

jika



N





dengan



 

N 0

sehingga

P

berlaku pada X \N. Dalam hal ini

1

f



g

,





a

.

e

jika dan hanya jika



N





dengan



 

N 0sehingga

N

X

x

x

g

x

f

(

)



(

)

,





\

2 jika dan hanya jika



N





dengan



 

N 0sehingga

N X x x f x f( )lim n( ) ,  \ Definisi 6.

Misal

1



p





, ruang

L

p



L

p

(

X

,



,



)

adalah kelas fungsi terukur yakni:

)

,

,

(

X





L

_p =



f : f :XR dan



f pd







Dua fungsi di

L

_p dikatakan



-equivalent jika keduanya sama hampir dimana-mana. Kemudian norm di

L

_pdidefenisikan sebagai berikut :



p



p p f d f 1







Dengan norm tersebut ruang

L

_padalah ruang bernorm yang lengkap atau ruang Banach.

Definisi 7.

Suatu barisan

 

fn di

L

padalah barisan Cauchy di

L

pjika untuk setiap





0

terdapat

 



M sedemikian sehingga jika m,nM

 



, maka







.

p n m

f

f

Suatu barisan

 

f_n di p

L

adalah konvergen ke

f

di

L

_pjika untuk setiap





0

terdapat N

 



sedemikian sehingga jika nN

 



maka







.

p n m

f

f

Ruang linear bernorm adalah lengkap jika setiap barisan Cauchy konvergen ke elemen ruang tersebut.

Teorema 1.

Jika 1 p,maka ruang

L

_padalah ruang linear bernorm yang lengkap dengan norm



p



p p f d f 1







2. Pembahasan

2.1. Beberapa jenis kekonvergenan pada fungsi terukur

Misalkan

 

fn adalah barisan fungsi-fungsi terukur. Barisan ( fn) dikatakan kovergen hampir dimana-mana ke

f

jika terdapat himpunan

M





dengan



 

M = 0 sedemikian sehingga untuk setiap





0

dan

x



X

\

M

terdapat bilangan asli N

 



.x sedemikian sehingga jika nN

 



,x , maka fn(x) f(x) 



Definisi 9.

Misalkan

 

f_n adalah barisan fungsi-fungsi terukur.

Barisan ( fn) di

L

pkonvergen dalam

L

pke f , dengan

f



L

p, jika untuk setiap





0

terdapat bilangan asli N(



) sedemikian sehingga jika nN

 



, maka

p n

f

f



=





. 1





 



p p n f d f

Barisan ( fn) di

L

pdikatakan Cauchy dalam

L

p, jika untuk setiap





0

terdapat bilangan asli N(



) sedemikian hingga jika n,mN

 



.

Definisi 10.

Misalkan

 

fn adalah barisan fungsi-fungsi terukur

Barisan ( fn) dikatakan kovergen dalam ukuran ke

f

, jika:







: ( ) ( )



0 lim ,n



xX fn x  f x 



 m , untuk setiap





0

2.2. Hubungan antara berbagai jenis konvergen pada fungsi terukur

Suatu barisan fn yang konvergen hampir dimana-mana ke suatu fungsi

f

di

L

p, tetapi tidak mengakibatkan konvergen dalam

L

_p. Hal ini dapat dilihat pada contoh berikut

Contoh 1. Misalkan





n n n n f ₂ , 1



 .

(i) Akan ditunjukkan barisan





n n n n

f 



1 _,2 konvergen hampir dimana-mana ke

f

=0

Ambil





0

sebarang Ambil

x

X

- Jika

x



0

, maka ( )



₂



0 , 1   n n n x n f



Jadi fn konvergen ke

f



0

- Jika

0



x



2

Pilih N0 sedemikian hingga N0

x 2  Akibatnya

f

 

x

0

n



1 _,2



0

n

N

0 n n n

















- Jika x2, maka fn

 

x 0, n

Dengan demikian fn konvergen ke

f



0

(ii) Akan dibuktikan barisan f_n tidak konvergen dalam

L

_p ke fungsi

f



L

_p Pilih 2 1 



Perhatikan nN berlaku p n

f

f



=





p n n

n

₂ , 1 `



= 1 1 1      p p n n Karena terdapat 2 1 



maka untuk setiap bilangan asli N

 



berlaku

2 1 0   _p n f

Jadi terbukti bahwa fn tidak konvergen dalam

L

p ke fungsi

f



0

.

Tetapi jika barisan didominasi oleh suatu fungsi dalam

L

_p , maka barisan fungsi di

L

_p

yang konvergen dimana-mana mengakibatkan konvergen dalam

L

_p, hal ini dapat dilihat dalam teorema berikut :

Teorema 2.

Misalkan

 

fn adalah barisan fungsi-fungsi terukur di

L

pyang konvergen hampir dimana-mana ke fungsi

f

. Jika terdapat g di

L

_psedemikian sehingga:

N n X x x g x f_n( ) ( )  , 

maka

f



L

_p dan fn konvergen dalam

L

pke

f

.

Bukti:

Pilih

N





dengan



(

N

)



0

sedemikian hingga f_n(x)f(x), xX \N

Karena fn(x)g(x) ,xX,nN dan fn(x) f(x), xX \N, maka

N

X

x

x

g

x

f

(

)



(

)

,





\

Ambil





0

sebarang Misal

x



X

\

N

sebarang. Pilih N₀N f_n(x) f(x)



,nN₀ Perhatikan f(x) f_n(x) f(x) f_n(x)







g

(

x

)

Maka f(x)g(x)xX \N. Dalam hal ini f(x)g(x),



.a.e

Karena

g



L

_p dan diketahui

f

terukur dan f(x)g(x) , maka

f

terintegralkan. Jadi

f



L

_p

Jadi

f

n

(

x

)



f

(

x

)

p



(

2

g

(

x

)

p

,



.

a

.

e

Karena fn x f x p ae n ( ) ( ) 0, . . lim  



  dan 2 g L1 p p 

, maka menurut teorema kekonvergenan terdominasi Lebesque diperoleh











  X X p n n

f

f

d

0

d

0

lim





Akibatnya lim  0   n p n f f

Hubungan Konvergen dalam

L

_p dengan konvergen dalam ukuran

Dari definisi, akan ditinjau hubungan konvergen dalam

L

_p dan konvergen dalam ukuran

Teorema 3.

Jika

 

fn adalah barisan dari fungsi-fungsi di

L

p yang konvergen dalam

L

p ke

f



L

p, maka

 

fn konvergen dalam ukuran

Bukti.

Ambil



> 0 sebarang Pilih bilangan asli















p



N

1

Karena

 

fn konvergen dalam

L

p, maka p n

x

f

x

f

(

)



(

)

=



fn x f x pd



p 1 ) ( ) (







< . 1





p , dengan n















p



N

1 Misalkan

 







xX f

   

x  f x 





En : n , maka



f_n

   

x  f x pd  f

   

x  f x p



E_n

 



 p



E_n

 

a



n











Perhatikan



   

p



p n

x

f

x

d

f

1









p



1  Sehingga

f

_n

(

x

)



f

(

x

)

p





E

_n

 









p Jadi:

 









.



En  Akibatnya lim



 : ( ) ( ) 



0  



x X fn x f x



n

Dengan demikian

 

fn konvergen dalam ukuran ke

f

.

Tetapi konvergen dalam ukuran belum tentu konvergen dalam

L

_p. Hal ini dapat dilihat pada

contoh berikut : Contoh 2:

Barisan





n n n n

f 



1 _,2 konvergen dalam ukuran ke fungsi

f



0

, tetapi tidak konvergen

dalam

L

_p ke fungsi

f



0

(i) Akan ditunjukkan konvergen dalam ukuran Ambil



0 Perhatikan



































n

n

n

X

x

n n

2

,

1

:

₂ , 1





Ambil



0sebarang

Pilih N₁N sedemikian sehingga N₁



Pilih N2Nsedemikian sehingga



1 2 N Pilih N₀ maks



N₁ ,N₂



Jadi:





0 0

,

1

1

2

,

1

n

N

N

n

n

n















Akibatnya barisan





n n n n

f 



1 _,2 konvergen dalam ukuran ke fungsi

f



0

(ii) Akan ditunjukkan tidak konvergen dalam

L

_pke

f



0

Pilih 2 1 



Perhatikan



n

N

berlaku





p n n p n

f

n

f

₂ , 1







= 1 1 1      p p n n Jadi terdapat 2 1 



sedemikian sehingga 2 1  p n f Akibatnya barisan





n n n n

f 



1 _,2 tidak konvergen dalam

L

p ke fungsi

f



0

Tetapi jika f_n didominasi oleh oleh fungsi

g



L

_p, maka kekonvergenan dalam ukuran mengakibatkan konvergen dalam

L

_p.. Hal ini dapat dilihat pada teorema berikut:

Teorema 4.

Misalkan

 

fn adalah barisan fungsi-fungsi di

L

p.

Jika

 

fn konvergen dalam ukuran ke

f

dan

g



L

psedemikian sehingga

e a x g x fn( )  ( )



. .

maka

f



L

_p dan

 

f_n konvergen dalam

L

_pke

f

Bukti

Karena fn konvergen dalam ukuran ke

f

,

maka fn Cauchy dalam ukuran. Kemudian n

f di

L

_p, maka f_n terukur. Jadi terdapat sub barisan

k

n

f

yang konvergen hampir dimana–mana ke

h

,

dengan

h



f

hampir dimana – mana. Perhatikan

k

n

f

di

L

_p, dan terdapat

g



L

_p, sedemikian sehingga:

 

x

g

 

x

x

X

f

k

n



,





,

Jadi

f



L

_p.

(ii) Akan dibuktikan fn konvergen dalam

L

p ke

f

.

Andaikan f_n tidak konvergen dalam

L

_p ke

f

, maka terdapat subbarisan

 

g_k dari f_n

dan suatu 0sedemikian sehingga g_k  f untuk kN.

Karena

 

gk adalah subbarisan dari fn, dimana barisan fn konvergen dalam ukuran ke

f

. Karena gk konvergen ke fungsi

f

maka

 

gk adalah barisan Cauchy. Karena

 

gk Cauchy dalam ukuran maka terdapat subbarisan

 

hr dari

 

gk yang konvergen hampir dimana–mana dan dalam ukuran ke fungsi h. Dari ketunggalan

h



f

hampir dimana– mana. Karena hr konvergen hampir dimana – mana ke

f

dan didominasi oleh fungsi

g

dalam

L

_p dan fn

 

x  g

 

x maka

p

L

f



dan





0

p r

f

h

Jadi h_r konvergen dalam

L

_p ke

f



L

_p

Dengan demikian f_n konvergen dalam

L

_p ke

f

.

3.

Kesimpulan

a. Suatu barisan fungsi terukur yang konvergen hampir dimana – mana belum tentu konvergen dalam

L

_p, tetapi jika barisan fungsi terukur didominasi oleh suatu fungsi dalam

p

L

maka barisan yang konvergen hampir dimana – mana mengakibatkan konvergen dalam p

L

.

b. Suatu barisan fungsi terukur yang konvergen dalam

L

_p menyebabkan konvergen dalam ukuran, sebaliknya akan berlaku jika barisan fungsi tersebut didominasi oleh suatu fungsi dalam

L

_p.

Daftar Pustaka

[1]. Robert G Bartle, 1996, “The Elements Of Integration”, John Wiley & Sons, Inc New York.

London, Sidney.

[2]. H. Lieb Elliot dan Michael Loss, 1997, “Analysis, Graduate Studies In Mathematics”,

volume 14, American Mathematical Society.

[3]. Gabriel Klambauer, 1973, “Real Analysis”, American Elsevier Publishing Company, Inc.