aturan-sin-cos-dan-luas-segitiga.pdf

(1)

Kegiatan Belajar 5

A. Tujuan Pembelajaran

Setelah mempelajari kegiatan belajar 5, diharapkan siswa dapat a. Menentukan unsur-unsur segitiga dengan aturan sinus b. Menentukan unsur-unsur segitiga dengan aturan kosinus c. Menghitung luas segitiga sembarang

B. Uraian Materi 4

Aturan Sinus

Untuk memahami aturan sinus maka lakukan kegiatan di bawah ini.

Kegiatan 5.1

Tujuan kegiatan : Menemukan aturan sinus

Permasalahan : Bagaimana menetukan unsur-unsur segitiga (panjang sisi dan besar sudut) jika diketahui panjang sisi salah satu sudut dan besar sudut di hadapan sisi. Kegiatan ά θ ∟ A D B C E a b c β

Perhatikan gambar di samping, maka diketahui

∠ CAB = θ, ∠ ABC = ά, ∠ BCA = β AC = b, AB = cdan BC = a

(2)

1) Perhatikan∆ BDC maka panjang CD adalah. ) 1 ( sin .... ... sin ... sin persamaan CD CD CD α α α = ⇒ × = ⇒ = ⇒

2) Perhatikan∆ ADC maka panjang CD adalah

) 2 sin ... ... sin ... sin persamaan CD CD CD θ θ θ = ⇒ × = ⇒ = ⇒

Dengan cara subtitusi, persamaan 1) dan 2) maka didapat persamaan )

1 sin

... persamaan

CD = α dan CD =...sinθ persamaan2)

maka didapat persamaan

(

3

)

sin ... ... sin ... sin ... persamaan a α θ α = ⇒ = ⇒

3) Perhatikan∆ AEB maka panjang AE adalah.

) 4 ( sin .... ... sin ... sin persamaan AE AE AE α α α = ⇒ × = ⇒ = ⇒

4) Perhatikan∆ AEC maka panjang AE adalah.

) 5 ( sin .... ... sin ... sin persamaan AE AE AE β β β = ⇒ × = ⇒ = ⇒

Dari persamaan 4 dan 5 maka ) 4 (

sin

.... persamaan

AE= α dan AE=....sinβ (persamaan5)

Diperoleh persamaan

(

6

)

... sin ... sin ... persamaan a β α = ⇒ = ⇒

(3)

Dari persamaan 3 dan 6, dapat disimpulkan bahwa ... ... ... sin ... ...= = a

Dari kegiatan di atas, dapat dirumuskan bahwandalam setiap segitiga ABC dengan panjang sisi- sisi BC, AC dan AB berturut-turut adalah a, b dan c satuan panjang dan besar sudut di hadapan sisi-sisi berturut-turut adalah θ, ά, dan β (gambar tampak pada kegiatan 5.1) berlaku aturan sinus berikut :

β

α

θ

sin

c

b

a

=

Aturan ini dapat digunakan untuk mencari unsur-unsur suatu segitiga (panjang sisi dan besar sudut) apabila telah diketahui panjang sisi salah satu sudut dan besar sudut di hadapan sisi tersebut.

Contoh :

1. Deketahui segitiga ABC, dengan panjang AC = 25 cm, sudut A = 60o, dan sudut C =75o, jika sin 75o= 0,9659, tentukan panjang BC dan AB

Penyelesaian

Buat sketsa gambarnya

Sehingga A B C 25 cm 60o 75o a c

Maka besar sudut B adalah ∠ B = 180o– (∠ A + ∠ C) ∠ B = 180o– (60o+ 75o) ∠ B = 180o– 135o ∠ B = 45o

(4)

Panjang BC 6 2 25 2 3 25 2 2 2 3 25 2 3 25 2 2 2 2 1 25 3 2 1 45 sin 25 60 sin sin sin = ⇒ = ⇒ × = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ a a a a a a B AC A BC o o

Jadi panjang BC adalah 6

2 25 cm Panjang AB adalah

(

24,1475

)

2 34,15 2 1475 , 24 2 2 1475 , 24 1475 , 24 2 2 2 2 1 25 9659 , 0 45 sin 25 75 sin sin sin ≈ = ⇒ × = ⇒ × = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒ c c c c a c B AC C AB o o

(5)

2. Pada segitiga ABC, sisi AC = 16 cm, AB = 8 2 cm, sudut B = 45otentukan sudut-sudut segitiga ABC yang lainnya.

Penyelesaian

( )

o o C C C C C C AB B AC 30 2 1 sin 16 8 sin 2 8 2 2 1 sin 16 sin 2 8 45 sin 16 sin sin = ⇒ = ⇒ = ⇒       = ⇒ = ⇒ = ⇒ maka ∠ A = 180o– (∠B +∠C) ∠A = 180o– (45o+ 30o) ∠A = 105o

Jadi besar sudut A adalah 105odan besar sudut C = 30o

Aturan Kosinus

Untuk memahami aturan kosinus maka kerjakan kegiatan di bawah ini.

Kegiatan 5.2

Tujuan kegiatan : Menemukan aturan kosinus

Permasalahan : Bagaimana menetukan unsur-unsur segitiga (panjang sisi dan besar sudut) jika diketahui panjang ketiga sisi dan salah satu sudut.

A B C 16 cm 45o a 8 2 cm

(6)

Kegiatan 1) Perhatikan∆ ADC

(

)

(

2

)

cos . ... ... cos 1 sin ... sin persamaan b AC persamaan CD AC CD β β β β = ⇒ = ⇒ = ⇒ = ⇒

2) Perhatikan ∆ BDC, dengan menggunakan teorema pythagoras, dengan mensubtitusikan persamaan 1 dan 2 diperoleh

CB2= DB2+ CD2

CB2= (AB – AD)2+ CD2

CB2= (AB2– 2(AB)(AD) + AD2) + CD2

a2= (c2- 2c.b.cosβ +( ... cos β)2) + (…… sinβ)2 a2= c2- 2cb.cosβ + b2………. + b2………

a2= c2- 2cb.cosβ + b2(…………+ ………) a2= ……+ …… - 2cb.cosβ

Dengan cara yang sama kita juga bisa melakukan langkah untuk sudut ά dan sudut θ. Secara umum dalam setiap segitiga ABC dengan panjang sisi-sisi BC, AC dan AB berturut-turut adalah a, b dan c satuan panjang dan besar sudut di hadapan sisi-sisi tersebut adalah β, ά dan θ, berlaku aturan kosinus sebagai berikut :

θ

β

α

cos

.

2 cos

.

2 cos

.

2

2 ab

b

a

c

ac

c

a

b

bc

c

b

a

−

+

=

• −

+

=

• −

+

=

•

A D B C a c b β ά θ ∟

(7)

Contoh :

1. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang BC = 4 cm, AC = 6 cm dan sudut C = 60o, tentukan panjang sisi AB

Penyelesaian

( )

7 2 28 24 52 ) 24 ( 2 16 36 60 cos ). 4 )( 6 ( 2 4 6 cos ). )( ( 2 2 1 2 2 2 2 2 2 = ⇒ = ⇒ − = ⇒ − + = ⇒ − + = ⇒ − + = ⇒ AB AB AB AB AB C BC AC BC AC AB o

Jadi panjang sisi AB adalah 2 7 cm

2. Diketahui segitiga ABC, dengan AB = 7 cm, AC = 8 cm, BC = 5 cm, tentukan sin A Penyelesaian r x A A A A A A bc c b a → = ⇒ = ⇒ − = − ⇒ − + = ⇒ − + = ⇒ − + = ⇒ 14 11 cos 112 88 cos cos . 112 113 25 cos ). 56 ( 2 49 64 25 cos ). 7 )( 8 ( 2 7 8 5 cos . 2 2 2 2 2 2 2 A B C 6 cm 60o 4 cm A B C 8 cm 60o 5 cm 7 cm

(8)

maka 3 5 75 121 196 2 2 = = − = − = y y y x r y Sehingga nilai 14 3 5 sinA=

Luas Segitiga

Untuk memahami menentukan luas segitiga maka kerjakan kegiatan di bawah ini.

Kegiatan 5.3

Tujuan kegiatan : Menemukan rumus menghitung luas segitiga dengan perbandingan trigonometri

Permasalahan : Bagaimana menetukan luas segitiga yang diketahui unsur-unsur segitiga (panjang sisi dan besar sudut).

Kegiatan A D B C a c b β ά θ ∟

Perhatikan segitiga ABC di samping, panjang CD :

α β α β α β sin .... sin ... ... sin ... sin sin sin = = = = = = CD atau CD a atau b BC CD atau AC CD

(9)

Luas segitiga ABC di atas adalah

(

)(

)

(

)(

)

(

)(

)

... ... 2 1 ... ... 2 1 .. ... ... 2 1 ... ... ... 2 1 ... 2 1 ) )( .( 2 1 = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ = ∆ ABC ABC ABC ABC ABC ABC L atau L L atau L CD L tinggi alas L Contoh :

1. Tentukan luas segitiga ABC, jika diketahui AB = 15 cm, BC = 10 cm,∠B= 30o. Penyelesaian

2. Tentukan luas segitiga PQR, jika diketahui∠P = 120o,panjang PR = 10, PQ = 8 . Penyelesaian A B C 10 cm 15 cm 30o

(

)

(

)

( )( )

2 5 , 37 2 75 2 1 10 15 2 1 30 sin 2 1 cm L L L BC AB L ABC ABC ABC o ABC = ∆ = ∆       = ∆ = ∆ Q P R 10 cm 8 cm 120o

(

)(

)

( )( )

2 3 20 3 2 1 ) 8 ( 5 120 sin 8 10 2 1 sin 2 1 cm L L L P PR PQ L PQR PQR o PQR PQR = ∆       = ∆ = ∆ = ∆

(10)

3. Hitunglah luas segitiga ABC, dengan panjang sisi-sisinya a = 3 m, b= 8 m, c = 9 m Penyelesaian 27 35 4 sin 35 4 560 169 729 13 272 2 = = = − = − = B y y y y

Jadi luas segitiga ABC adalah

( )( )

2 35 2 35 27 4 2 27 sin 3 9 2 1 cm L L B L =       = = A B C 3 m 9 m 8 m

Dicari dahulu salah satu sudutnya dengan

menggunakan aturan kosinus.

27 13 cos 54 26 cos 54 90 64 cos cos . 54 9 81 64 cos ). 3 )( 9 ( 2 3 9 82 2 2 = = − − = − + = − + = B B B B B

(11)

C. Rangkuman 5

Pada segitiga ABC, jika panjang AB = c, AC = b, BC = a,∠A=β,∠B =ά,∠C =θ,

berlaku : 1. Aturan sinus β α θ sin sin sin c b a = = 2. Aturan kosinus a2= b2+ c2– 2bc.cosά b2= a2+ c2– 2ac.cosβ c2= a2+ b2– 2cb.cosθ 3. Luas segitiga sinβ 2 1 bc L∆_ABC = sinα 2 1 ac L∆_ABC = sinθ 2 1 ab L∆_ABC = A B C a c b β ά θ

(12)

D. Lembar Kerja 5

1. Diketahui segitiga ABC, dengan panjang BC = 13 cm,∠BAC =45odan∠ABC = 30o, tentukan panjang sisi AB.

... ... ... ... ... ... ... ...

2. Tentukan besar sudut dan panjang sisi yang belum diketahui dari segitiga di bawah.

a. b. ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... A B C 5 45o 30o P Q R 4 30o

(13)

3. Dalam segitiga ABC diketahui panjang sisi a = 7, b = 8 dan c = 9, tentukan nilai dari:

a. sin A c. sin B e. sin C

b. tan A d. tan B f. sin C

... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

4. Tentukan nilai sin x dan tan y dari gambar di bawah ini

... ... ... ... ... ... ... B A C D x y 3 1 30o ∟

(14)

... ... 5. Tentukan luas segitiga ABC jika diketahui∠ A = 120opajang AC = 10 cm dan

panjang AB = 8 cm ... ... ... ... ... ... ... ... ... ...

6. Tentukan luas Jajargenjang ABCD di bawah, jika diketahui panjang AB = 8 cm, AD = 6,∠BAD = 60o ... ... ... ... ... ... ... ... ...

7. Sebidang tanah seperti gambar di bawah akan di jual dengan harga Rp. 100.000 per

A B C D 6 8 60o

(15)

... ... ... ... ... ... ... ... ... E. Tes Formatif 5

1. Nilai kosinus sudut C pada segitiga di bawah ini adalah

a. 3 1 b. 7 4 1 c. 4 3 d. 6 3 1 e. 2 3 2

2. Suatu segitiga ABC dengan sisi BC = 7 , sisi AC = 6 dan sisi AB = 5, maka nilai sin A adalah

a. 12 5 6 d. 12 1 6 b. 5 2 6 e. 6 1 6 c. 15 1 6

3. Segitiga PQR siku-siku sama kaki, sudut Q = 900dan PR = 8 cm, maka panjang PQ = a. 16 2 D. 4 2 b. 10 2 E. 2 2 c. 8 2 100o 12 m 60o 6 m 12 m 80 o 12 m 120o 9 m 105o 15 m 15 10 A B C 30o

(16)

4. Sisi-sisi suatu segitiga ABC adalah 3, 5 , dan 7, maka sudut terbesar dari segitiga tersebut adalah

a. 750 d. 1200

b. 900 e. 1500

c. 600

5. Dari segitiga ABC diketahui a = 4 cm, b = 3 cm. Jika luas segitiga = 6 cm2, maka sudut C =….

a. 1200 d. 450

b. 900 e. 300

c. 600

6. Jika dalam segitiga ABC diketahui sisi BC = 10, AC = 40, dan ∠ C = 120o, maka AB =

a.10 13 d.10 17

b. 20 3 e. 50

c.10 21

7. Pada segitiga ABC diketahui ∠ A = 60o, ∠ B = 75o, dan BC = 3, maka panjang AB =…

a.

3

2

d. 6 2

b. 3 6 e. 3 3

c. 6

8. Jika diketahui titik O(0, 0), A(4 3, 4) dan B(6, 6 6) maka luas segitiga

AOBadalah…

a. 32 d. 72

b. 48 e. 96

c. 64

9. Suatu segitiga ABC diketahui panjang BC = 10 cm, AB = 6 cm, dan∠ B = 30o. luas segitiga ABC adalah…

a. 60 3 d. 30

b. 30 3 e. 60

c. 15

10. Diketahui segitiga ABC, dengan BC = 3 cm, AC = 4 cm, dan ∠ A = 30o,

maka cos∠ B adalah….

a. 5 5 2 d. 3 2 b. 5 3 1 e. 2 1 c. 3 2 1

11. Pada suatu jajargenjang ABCD

diketahui AB = 6 cm, AD = 4 cm, dan ∠ BAD = 60o. luas jajargenjang

ABCDadalah…

a. 24 3 d. 12

b. 24 e. 6 3

c.12 3

12. Dalam suatu segitiga ABC diketahui BC = 15 cm, AB = 12 cm, dan luas segitiga adalah 45 cm2, besar sudut C adalah…

a. 90o d. 30o

b. 60o e. 15o

(17)

13. Pada segitiga ABC diketahui sisi AB = 6 cm, AC =10 cm, dan ∠ A = 60o. Panjang BC adalah.. a. 2 19 d. 2 29 b. 3 19 e. 3 29 c. 4 29

14. Nilai sinus sudut terkecil dari segitiga yang panjang sisinya 5 cm, 6 cm dan

21 cm adalah.. a. 21 5 1 d. 21 6 1 b. 21 6 1 e. 21 3 1 c. 21 5 1

15. Pada segitiga ABC diketahui panjang sisi AB = 2 cm, AC = 3 cm, dan BC = 2 cm. nilai sin A adalah….

a. 3 2 1 d. 5 3 1 b. 5 3 1 e. 15 4 1 c. 7 4 1

16. Diketahui segitiga ABC dengan ∠ B = 45odan CT adalah garis tinggi dari

sudut C. jika BC = a dan AT =

2 2 5 a maka AC adalah… a. a 3 d. a 11 b. a 5 e. a 13 c. a 7

17. Pada segitiga ABC diketahui a + b = 10, sudut A = 30o, dan sudut B = 45o. maka panjang sisi b adalah….

a. 5

(

2−1

)

d.10

(

2+ 2

)

b. 5

(

2− 2

)

e.10

(

1+ 2

)

c.10

(

2− 2

)

18. Pada gambar di bawah, jika PQ = 3

10 maka panjang PS adalah…

a. 20 b. 20 3 c. 30 d. 30 3 e. 36 3

19. Diketahui segitiga ABC dengan

panjang AC = BC = 6 cm, AB =

3

6 . Luas segitiga ABC adalah...

a. 36 3 d. 9 2

b.18 3 e. 2

2 9

c. 9 3

20. Nilai (p x q) dari gambar di bawah ini adalah… a. 3 3 b. 6 c. 9 d. 6 3 e. 2 1 13 P Q R S 60o 30o _∟ 3 p 30o _∟ q

(18)