Analisis dan Implementasi Krill Herd Algorithm (KHA) dalam Masalah Pemotongan Bahan (Cutting Stock Problem) Non-guillotine Dua Dimensi

Analisis dan Implementasi Krill Herd Algorithm (KHA) dalam Masalah

Pemotongan Bahan (Cutting Stock Problem) Non-guillotine Dua Dimensi

Jeffrey1, Agung Toto Wibowo2, Mahmud Dwi Sulistiyo3 1, 2, 3_{Fakultas Informatika Institut Teknologi Telkom} Jalan Telekomunikasi 1, Dayeuh Kolot Bandung 40257 Indonesia

1

jeffrey7373@gmail.com , 2atwbox@gmail.com , 3mahmuddwis@gmail.com Abstrak

Cutting Stock Problem(CSP) merupakan masalah kombinatorial yang tergolong sulit untuk di pecahkan. Dalam satu kasus terdapat beberapa solusi yang mungkin dengan nilai fitness yang sama. Tujuannya adalah untuk mengoptimalkan pemakaian stock dalam memenuhi semua permintaan order.

Krill Herd Algorithm (KHA) adalah algoritma metaheuristik yang tergolong dalam Swarm Intellegent yang dibuat untuk menyelesaikan permasalahan optimasi kombinatorial yang sulit dan diharapkan dapat menghasilkan solusi yang optimal. Pada KHA terdapat 3 (tiga) gerakan utama krill (motion calculation) dalam pencarian solusi, yaitu motion induced, foraging motion, dan physical diffusion.

Dalam penelitian ini KHA diimplementasikan dalam memecahkan masalah CSP. Dengan menerapkan beberapa parameter dalam pencarian, KHA mampu menyelesaikan masalah CSP, namun bukan merupakan solusi optimal.

Kata kunci:

Cutting Stock Problem, Krill Herd ALgorithm, order, stock

Abstract

Cutting Stock Problem (CSP) is a hard-combinatorial problem. In one case there are some solutions with the same fitness value. The goal is to optimize the use of stock to complete all the request order.

Krill Herd Algorithm (KHA) is metaheuristics algorithms belonging to the Swarm Intellegent made to resolve difficult combinatorial optimization problems and is expected to produce an optimal solution. In KHA there are 3 (three) major motion krill (motion calculation) in the search for solutions, the induced motion, foraging motion, and physical diffusion.

In this research KHA is implemented in solving the CSP. With the setting of some parameter in process, KHA can found the solution of CSP, even not the optimum solution.

Keywords:

Cutting Stock Problem, Krill Herd Algorithm, order, stock

1. Pendahuluan

Cutting Stock Problem (CSP) merupakan

permasalahan optimasi yang sering ditemukan pada industri manufaktur. Hingga saat ini pun permasalahan CSP masih sering terjadi pada industri yang memiliki bahan baku seperti kertas, baja, kayu, plastik, tekstil dan sebagainya[13]. Industri yang memiliki bahan baku seperti ini biasanya harus bisa menemukan pola pemotongan bahan baku dengan sisa bahan (trim loss) yang paling sedikit agar perusahaan dapat mengurangi biaya produksi dan menjadi lebih efisien dalam penggunaan bahan bakunya untuk menghindari kerugian. Cutting Stock

Problem (CSP) tergolong masalah otimasi

kombinatorial yang sulit untuk di pecahkan dan membutuhkan waktu yang lama dalam pencariannya. Ada 2 (dua) jenis varian dari CSP, yaitu satu dimensi dan dua dimensi. Kasus CSP pada satu dimensi ditemukan pada pemotongan bahan yang memiliki satu atribut parameter seperti pada

batangan kayu, besi, gulungan kertas. Pada kasus CSP dua dimensi, kasus CSP ditemukan pada material bahan baku yang berbentuk bidang dua dimensi seperti lembaran kertas, kain, lempengan metal, dan lainnya. Pada tugas akhir ini difokuskan pada non-guillotine dua dimensi karena merupakan varian CSP yang sering dijumpai.

CSP Sampai saat ini, pada CSP belum ditemukan suatu metode yang pasti dan dapat menjamin keberhasilan nilai optimalnya. Oleh karena itu, dibutuhkan suatu metode untuk menyelesaikan dengan menemukan pola pemotongan yang paling optimal. Sebelumnya banyak penelitian yang dilakukan untuk menyelesaikan CSP dengan menggunakan metode-metode pendekatan seperti Cuccko Search, Water

Drop, Artificial Bee Colony dan Ant Colony

Optimization[10]. Berdasarkan solusi yang

dihasilkan metode-metode tersebut didapatkan hasil yang yang baik tetapi belum optimal. Tugas akhir ini

menggunakan algoritma optimasi yang ditemukan pertengahan tahun 2012 yaitu Krill Herd Algorithm (KHA). Krill Herd Algorithm (KHA) adalah

algoritma metaheuristik yang tergolong dalam

Swarm Intelligence (kolonial). Kelebihan KHA dari

metode optimasi lainnya yaitu terletak pada proses utama pada sekumpulan krill yang dibangkitkan untuk melakukan pencarian posisi dengan menggunakan 3 (tiga) gerakan, motion induced,

foraging motion, dan physical diffusion. Gerakan motion induced dan foraging digunakan untuk

mendapatkan hasil solusi yang optimal (global dan lokal) menuju fitness terbaik dari setiap iterasi, karena pada motion induced terjadi proses dimana

krill yang memilik fitness paling baik memiliki

pengaruh yang besar untuk menarik krill-krill lain untuk mengikutinya, pada foraging motion posisi makanan memicu pergerakan menuju otimum global, sedangkan random diffusion digunakan untuk memperbesar pencarian pada ruang solusi karena selalu menghasilkan posisi yang random pada tiap iterasi [8]. Untuk melengkapi algoritma KHA dilakukan juga strategi untuk mendapatkan solusi yang optimal menggunakan algoritma genetika yaitu crossover. Berbeda dengan crossover yang sudah ada sebelumnya pada KHA crossover disini dikontrol oleh crossover probability. Fungsi

crossover pada KHA yaitu untuk meningkatkan fitness kearah yang lebih otimal (menjauhi solusi

buruk). Oleh karena itu pada tugas akhir ini akan diimplementasikan KHA dengna crossover untuk menyelesaikan CSP non-guillotine dua dimensi. 2. Dasar Teori

2.1 Cutting Stock Problem (CSP)

Cutting Stock Problem (CSP) adalah

permasalahan optimasi kombinatorial atau lebih spesifiknya disebut permasalahan integer linear

programming[12]. Cutting stock problem (CSP)

digolongkan sebagai kategori NP-Hard Problem yang arti bahwa usaha komputasi yang digunakan sulit dan waktu yang dibutuhkannya lama sehingga diperlukan suatu metode baru agar waktu komputasi lebih cepat dalam menemukan solusi yang optimal. Solusi optimal artinya adalah solusi yang terbaik yang dihasilkan dalam jangka waktu tertentu. Dalam tugas akhir ini akan difokuskan pemotongan bahan dua dimensi non-guillotine seperti pemotongan pada bahan baku plat kayu dan kertas. Masalah CSP yang akan dibahas dapat direpresentasikan secara sederhana seperti

(berbentuk persegi panjang) i yang memiliki panjang li dan lebar wi dengan sebuah stock S dengan bentuk segi empat pula, dengan panjang L dan lebar W[3]. Dalam penyelesaian CSP difokuskan bagaimana mendapatkan pola pemotongan yang optimal untuk memenuhi

order-order yang dipesan dengan pemakaian stock seminimal mungkin.

Masalah pemotongan bahan, memotong objek besar (stock material) menjadi objek kecil (order list), dapat diklarifikasikan menjadi empat kategori[13]:

CSP berdasarkan dimensionalitas: a. Satu dimensi

b. Dua dimensi c. Tiga dimensi

2. CSP berdasarkan penugasannya:

a. Menggunakan semua objek besar dan beberapa objek kecil (B)

b. Menggunakan beberapa objek besar dan semua objek kecil (V).

3. CSP berdasarkan jenis objek yang besar a. Hanya satu objek besar (O),

b. Banyak objek besar yang sama (I), c. Hanya objek besar yang berbeda (D).

4. CSP berdasarkan jenis objek yang kecil a. Sedikit objek kecil dengan ukuran yang

berbeda (F),

b. Banyak objek kecil dengan banyak ukuran (M),

c. Banyak objek kecil dengan relative sedikit ukuran (R),

d. Banyak objek kecil yang sama (C).

Untuk masalah CSP untuk bentuk regular

rectangular, ada dua pola pemotongan, yaitu:

1. Guillotine Pattern

Guillotine Pattern merupakan pola pemotongan

yang dimulai dari satu sisi segi empat yang kemudian dilanjutkan pada sisi lainnya. Pemotongan pertama dengan tipe Guillotine

Pattern adalah dengan memotong bahan baku

dengan panjang atau lebar yang sama. Pemotongan tersebut menghasilkan dua atau lebih pieces yang mempunyai panjang atau lebar yang sama, bukan kedua-duanya[4]. 2. Non- Guillotine

Disebut Non-Guillotine karena tidak memungkinan diperolehnya pola pemotongan, yang dapat “memotong” stock dari satu sisi ke sisi yang lain. Dalam tugas akhir ini, pola pemotongan di fokuskan pada Non-guillotine. Hal ini dipilih karena pada umumnya CSP berfokus pada meminumumkan sisa pemotongan yang stock, yang berarti pengoptimalan pemakaian stock. Sedangkan masalah guillotine maupun non-guillotine

adalah masalah kemudahan cara pemotongannya. Selain itu pada perakteknya didunia nyata pemotongan guillotine sangat jarang dijumpai, seperti pada industri garmen,

spare-part, dan lainnya[8].

Dibawah ini adalah gambar 2-1, terlihat perbedaan pola pemotongan Guillotine pattern dan Non-guillotine pattern:

Gambar 2. 1 Pola Guillotineable

Gambar 2. 2 Pola Non-Guill

2.2 Krill Herd Algorithm (KHA)

Krill Herd Algorithm (KHA) adalah sebuah

algoritma optimasi meta-heuristik yang tergolong Swarm Intelligence. KHA bertujuan untuk menyelesaikan masalah optimasi yang kompleks[6]. Algoritma ini perkenalkan oleh Amir Hossein Gandomi dan Amir Hossein Alavi pada pertengahan tahun 2012. Ide dasar dari algoritma ini adalah terinspirasi dari perilaku sekumpulan/sekawanan udang artik (krill) yang sedang bergerak untuk mencari keberadaan makanan disekitarnya kemudian diserang oleh pemangsa, kemudian pemangsa mengurangi kepadatan dari kawanan krill tersebut. Tujuan dari setiap individu krill adalah menambah kepadatan dari kumpulan

krill dan berhasil mendapatkan makanan[6].

Proses untuk mencapai tujuan tersebut dipengaruhi oleh tiga gerakan utama dari

krill, yaitu:

1. Motion Induced (gerakan yang diinduksi atau dipengaruhi oleh kehadiran individu krill lain disekitarnya),

2. Foraging activity (gerakan krill mencari makan),

3. Physical diffusion (gerakan acak

krill).

Ketiga gerakan diatas dapat disimbolkan dengan rumus:

𝑑𝑋𝑖 𝑑𝑡

= 𝑁

𝑖

+ 𝐹

𝑖

+

𝐷

_𝑖

(2 −

1)

Dimana, Ni = Motion induced Fi = Foraging motion Di = Physical diffusion Salah satu bagian menarik dari algoritma ini adalah bahwa KHA ini mensimulasikan perilaku

krill menggunakan riset studi dunia nyata untuk

mendapatkan koefisien. Karena fakta-fakta yang didasarkan dari hasil riset bukan hanya terinspirasi dari alam, hal ini menjadi keuntungan tersendiri dibandingkan algoritma-algoritma lainnya. Tahapan validasi menunjukkan bahwa metode KHA memiliki hasil yang sangat baik untuk diaplikasikan pada pengoptimasian.

2.3 Motion Induced

Motion Induced merupakan gerakan pertama dari

ketiga gerakan yang mempengaruhi pencarian solusi dari KHA .Gerakan ini dipengaruhi oleh gerakan tetangga-tetangga disekitar krill. Individu krill mencoba untuk mempertahankan serta meningkatkan kepadatan kawanannya. Gerakan ini dipengaruhi sifat attractive dan repulsive (α) dari setiap individu krill. Sifat tersebut dipengaruhi oleh kepadatan (untuk mencari tetangga mana saja yang berpengaruh) serta jarak krill tetangga yang paling dekat dengan makanan (dilihat dari fitness yang dihasilkan). Gerakan ini memiliki rumus:

𝑁

_𝑖𝑛𝑒𝑤

=

𝑁

𝑚𝑎𝑥

_𝛼

𝑖

+

𝜔

𝑛

𝑁

𝑖𝑜𝑙𝑑

(2 −

2)

dimana,

𝛼

_𝑖

= 𝛼

_𝑖𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙

+ 𝛼

_𝑖𝑡𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡

(2

− 3)

dimana,

𝛼

_𝑖𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙

= 𝐾

_𝑖𝑗

𝑋

_𝑖𝑗

𝑁𝑁 𝑗 =1

(2

− 4)

𝑋

_𝑖𝑗

=

𝑋𝑗 −𝑋𝑖 𝑋𝑗 −𝑋𝑖 + 𝜀

(2 −

5)

𝐾

𝑖𝑗

=

𝐾

𝑖−

𝐾

𝑗

𝐾

𝑤𝑜𝑟𝑠𝑡

_{− 𝐾}

𝑏𝑒𝑠𝑡

(2

− 6)

dan

𝛼

_𝑖𝑡𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡

=

𝐶

𝑏𝑒𝑠𝑡

_𝐾

𝑖,𝑏𝑒𝑠𝑡

𝑋

𝑖,𝑏𝑒𝑠𝑡

(2 −

7)

𝐶

𝑏𝑒𝑠𝑡

= 2 𝑟𝑎𝑛𝑑 0,1

+

𝐼

𝐼

𝑚𝑎𝑥

(2

− 8)

Pada iterasi pertama

𝑁

_𝑖𝑜𝑙𝑑 di set nol, dikarenakan pencarian pertama baru akan dimulai belum memiliki nilai. Pengaruh paling besar adalah

𝛼

_𝑖, dimana

𝛼

_𝑖 merupakan kombinasi dari efek tetangga yang disekitar krill yang memiliki efek

attractive/repulsive (efek tersebut dipengaruhi dari fitness yang dimiliki setiap individu krill) dan efek

dari krill yang memiliki fitness terbaik.

Untuk bagian pencarian tetangga (sensing neighbor) digunakan rumus:

𝑑

_𝑠,𝑖

=

1

5𝑁

𝑋

𝑗 −

𝑋

𝑖 𝑁 𝑗 =1

(2

− 9)

Dibawah ini adalah gambar 2-2 bagaimana pengaruh

Gambar II-2: Sensing neighbor

Sensing neighbor digunakan untuk mencari tetangga

untuk setiap krill ke-i, kemudian setelah di dapatkan tetangganya maka akan diketahui

𝑋

_𝑖,

𝑋

_𝑗,

𝐾

_𝑖, dan

𝐾

_𝑗-nya. Keterangan:

𝑁

_𝑖𝑛𝑒𝑤 _{= kecepatan induksi} maksimum[0.01]

ω

𝑛 = berat inersia gerakinducedrange[0,1]

𝑁

_𝑖𝑜𝑙𝑑 _{= gerakan induksi sebelumnya} (iterasi awal di set nol)

𝛼

_𝑖𝑙𝑜𝑐𝑎𝑙 _{= efek lokal dari tetangga}

𝛼

_𝑖𝑡𝑎𝑟𝑔𝑒𝑡= efek arah dari krillyang terbaik

saati itu

𝑋

_𝑖 = posisi krillke-i

𝑋

_𝑗 = posisi tetangga krillke-j

𝐾

𝑖 = fitnesskrill ke-i

𝐾

𝑗 = fitness tetangga krill ke-j

= bilangan positif terkecil

I = iterasi

Imax = iterasi maksimal

= fitness terbaik dari semua krill saat

itu

= fitness terburuk dari semua krill

saat itu.

2.4 Foraging Motion

Foraging motion atau gerakan mencari makan

merupakan gerakan dipengaruhi oleh dua parameter utama, yang pertama adalah lokasi dari makanan itu sendiri dan yang kedua adalah pengalaman

sebelumnya tentang lokasi makanan. Gerakan pencarian makanan setiap individu krill dapat di rumuskan dengan rumus:

,

Hampir sama dengan motion induced pada iterasi pertama di set nol, karena pada iterasi pertama belum memiliki pengalaman terhadap lokasi makanan. Tetapi setelah dilakukan iterasi pertama, maka nilai pada iterasi kedua akan didapatkan dari nilai pada iterasi pertama dan begitu seterusnya (  ). Pada gerakan ini disimpulkan bahwa bahwa memiliki pengaruh yang besar pada gerakan ini, dapat dilihat bahwa merupakan kombinasi dari sifat attractive dari makanan dan efek dari krill yang memiliki best

fitness pada saat itu. Pada gerakan ini lokasi

makanan juga memiliki efek terhadap krill, yang dirumuskan sebagai berikut:

Sedangkan rumus dari sifat attractive dari makanan dapat dirumuskan sebagai berikut:

Pada foraging motion efek dari individu krill yang memiliki fitness terbaik dapat dirumuskan sebagai berikut:

Keterangan:

= kecepatan pencarian makanan [0.02]

= berat inersia gerak

foragingrange[0,1]

= gerakan foraging sebelumnya (iterasi awal di set nol)

= gerakan attractive makanan = efek krill yang memiliki fitness terbaik

= posisi krill ke-i

= posisi tetangga krillke-j

= fitnesskrill ke-i

= fitness tetangga krill ke-j

= lokasi makanan (posisi)

= fitness dari lokasi makanan

I = iterasi

Imax = iterasi maksimal

2.5 Physical Diffusion

Physical diffusion disebut juga sebagai gerakan krill

yang acak (random process), yang artinya gerakan ini dipengaruhi oleh kecepatan difusi maksimum dan vektor arah yang acak. Gerakan ini diformulasikan dengan rumus:

Keterangan:

= kecepatan difusi maksimum

range[0.002,0.010]

= vektor acak random[-1,1]

I = iterasi

Imax = iterasi maksimal

2.6 Genetic operator (cross over)

P

ada Krill Herd Algorithm dilakukan improvisasi terhadap performansinya, yaitu dengan menambahkan genetic reproduction algorithm yaitu

crossover, untuk KHA sendiri pada referensi

paper-nya digunakan juga teknik mutasi. Berdasarkan validasi hasil yang dikeluarkan paper terlihat bahwa kombinasi KHA dengan crossover menghasilkan solusi yang lebih baik dibandingkan KHA dengan mutasi atau KHA dengan mutasi dan crossover. Probabilitas crossover (Cr) merupakan parameter pengontrol algoritma genetik crossover pada KHA.

Pada tabel II-1 dibawah ini adalah bukti kuat berbentuk tabel validasi digunakannya crossover pada KHA, dibandingkan dengan algoritma-algoritma optimasi lainnya.

3. Analisis dan Pengujian Sistem Skenario Pengujian

Dalam tugas akhir ini ada beberapa parameter dan kombinasi proses Krill Herd Algorithm yang akan menjadi fokus analisis, yaitu: jumlah krill (N), jumlah maksimum iterasi (cycles), dan sensing distances (upper bound dan

lower bound). Ketiga parameter tersebut

akan diteliti pengaruhnya terhadap nilai optimasi yang dihasilkan sistem, selain itu akan dikombinasikan juga untuk mendapatkan batasan nilai ideal (bawah, tengah dan atas) agar ditemukan berapa saja nilai dari parameter yang berpengaruh terhadap solusi. Adapun penjelasan tentang ketiga parameter diatas, berikut penjelasannya:

1. Jumlah maksimum iterasi (Cycles)

Cycles merupakan nilai dari

maksimum iterasi yang dinyatakan dari banyaknya pencarian yang dilakukan pada sistem untuk mencari solusi. Pada KHA iterasi mempengaruhi nilai solusi pada iterasi selanjutnya, artinya semakin banyak pencarian maka kemungkinan akan mendapatkan solusi ke-arah yang optimal. 2. Jumlah krill yang dibangkitkan (Jumlah Krill)

Pada KHA, kumpulan krill

direpresentasikan sebagai agen-agen yang akan mencari solusi. Karena pada setiap individu krill akan menghasilkan sebuah solusi, sehingga jumlah krill yang

dibangkitkan akan merepresentasikan banyaknya solusi yang dihasilkan pada setiap iterasi.

3. Batas atas dan bawah pada motion

induced (sensing distance).

Sensing distance pada KHA

berpengaruh pada proses motion

induced pada motion calculation.

Diketahui bahwa sensing akan membawa tetangga-tetangga disekitar krill yang memiliki

fitness tertentu ke arah yang lebih

baik,jadi semakin dekat jarak

sensing maka semakin banyak

keberadaan krill menuju ke arah

fitness yang terbaik.

Setting Parameter

Selama proses pengujian dilakukan observasi terhadap kombinasi parameter berikut :

 Cycles : 10, 50, 100

 Krill : 10, 50, 100

 Sensing Distance : 0.01, 0.3, 0.7

Terdapat 27 kombinasi dari parameter diatas, dengan 50 dan 200 iterasi. Setiap kombinasi diobservasi sebanyak 3 kali.

Selama proses pencarian berlangsung dihitung beberapa nilai pengujian antara lain rata fitnes, fitnes terbaik dan rata-rata iterasi. Deskripsi nilai-nilai tersebut adalah sebagai berikut :

 Rata-rata fitnes adala rata-rata dari sekumpulan nilai fitnes.

 Fitnes terbaik adalah nilai fitnes terbaik yang pernah dicapai selama proses pencarian

 Rata-rata iterasi adalah rata-rata iterasi dimana solusi paling optimal ditemukan.

Dari hasil observasi, didapatkan data empirik sebagai berikut:

Gambar IV-1: Grafik rata-rata nilai optimasi berdasarkan sensing distance

Gambar IV-2: Grafik rata-rata nilai optimasi berdasarkan jumlah krill

Gambar IV-3: Grafik rata-rata nilai optimasi berdasarkan cycles

Gambar IV-4: Grafik perbandingan rata-rata nilai optimasi dengan crossover dan tidak

91.000 92.000 93.000 94.000 95.000 96.000 97.000 98.000

Sensing =0.05 Sensing =0.1 Sensing =0.2

Jacob 25 Jacob 50 Risna 91.000 92.000 93.000 94.000 95.000 96.000 97.000

jumlah krill=10 jumlah krill=50 jumlah krill=100

jacob 25 jacob 50 risna 90.000 91.000 92.000 93.000 94.000 95.000 96.000 97.000 98.000

cycles=10 cycles=50 cycles=100

jacob 25 jacob 50 risna

3. Kesimpulan

Kesimpulan dan Saran 3.1 Kesimpulan

Kesimpulan yang dapat diambil dari hasil implementasi dan uji coba yang dilakukan pada Tugas Akhir ini adalah:

1. KHA dapat diimplementasikan pada CSP dua dimensi non-guillotine dan menyelesaikannya dengan rata-rata nilai optimasi diatas 90%.

2. Pengaturan parameter dengan cycles lebih besar dari 50, jumlah krill lebih besar 50 dan sensing diatas 0.1 merupakan kombinasi terbaik pada sekenario ini berdasarkan rata-rata nilai optimasi. 3. Crossover membuktikan performanya

dalam menghasilkan rata-rata nilai optimasi yang lebih baik dibandingkan hanya dengan

motion calculation saja.

4. Semakin besar nilai parameter sensing,

cycles, dan jumlah krill rata-rata nilai

optimasi semakin besar. 3.2 Saran

Saran-saran untuk pengembangan selanjutnya antara lain :

1. Mencoba memadukan KHA dengan algoritma optimasi lokal search seperti Tabu Search.

2. Mencoba mengimplementasikan order dengan bentuk lain yang lebih beragam. 3. Mencoba menganalisis hasil dari

proses-proses pada motion calculation.

4. Mencoba memodifikasi rumus crossover agar hasil optimasinya lebih baik.

Daftar Pustaka:

[1] Ahmed Mellouli, Abdel Aziz Danmak, “An

Algorithm for the Two-Dimensional Cutting-Stock Problem Based on a Pattern Generation Procedure”, Univeristy of Sfax, Tunisia.

[2] Alev Soke, Zafer Bingul. (2004). Applications

of Discrete PSO Algorithm to

Two-Dimensional Non-Guillotine Rectangular

Packing Problems. Kocaeli University,

Kocaeli, Turkey.

[3] Alvarez, Valdes R, Parren˜o, F, and M. Tamarit, 2006, “A tabu search algorithm for a two-dimensional non-guillotine cutting problem”, Valencia, Spain.

[4] Denny Nurkertamanda, Singgih Saptadi, Adhika Permanasari, Optimasi Cutting Stock

Pada Industri Pemotongan Kertas Dengan

Menggunakan Metode Integer Linear

Programming, Teknik Industri Universitas

Dipenogoro, Indonesia.

[5] Fitrian, Wahyu. 2011Pencarian Solusi Optimal

Cutting Stock Problem dengan Menggunakan Firefly Algorithm. Fakultas Informatika IT

Telkom, Bandung, Indonesia. .

[6] Gandomi AH., Alavi AH. “Krill herd: A new

bio-inspired optimization algorithm”,

Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 17

(2012), 4831-4845.

[7] Hopper, Eva. (2000). Two-dimensional Packing utilising Evolutionary Algorithms and other Meta-Heuristic Methods. University

of Wales.

[8] Juliansyah, Budi. 2012. Analisis dan Implementasi Ant Colony Optimization (ACO) dalam Masalah Pemotongan Bahan (Cutting Stock Problem) Non-guillotine Dua Dimensi.

Fakultas Informatika Institut Teknologi Telkom. Bandung.

[9] Prawitamurti, Risna. 2010. Pencarian Solusi

Optimal Pemotongan Bahan (Cutting

Material) dengan Menggunakan Adaptive Genetic Algorithm. Fakultas Informatika IT

Telkom, Bandung, Indonesia.

[10] Robert W. Haessler, Paul E Sweeney, “Cutting stock problems and solution

procedures”, School of Businnes

Administration, The Univeristy of Michigan,USA.

[11] Suyanto, 2008, “Evolutionary Computation:

Komputasi Berbasis “Evolusi” dan