MTE3101_Mengenal_Nombor

Falsafah Pendidikan Kebangsaan Falsafah Pendidikan Guru

Panduan Pelajar Pengenalan

Tajuk Pembelajaran

Tajuk 1 : Sistem Pernomboran 1.0 Sinopsis

1.1 Hasil Pembelajaran 1.2 Kerangka Konsep

1.3 Sistem Pernomboran Awal 1.4 Sistem Pernomboran Hindu-Arab 1.5 Sistem Pernomboran Lain.

Tajuk 2 : Teori Asas Nombor 2.0 Sinopsis

2.1 Hasil Pembelajaran 2.2 Kerangka Konsep 2.3 Sistem Nombor

Tajuk 3: Nombor Asli 3.0 Sinopsis

3.1 Hasil Pembelajaran 3.2 Kerangka Konsep 3.3 Nombor Perdana 3.4 Teorem Asas Aritmetik 3.5 Nombor Modular 3.6 Rekreasi Nombor Bibliografi

Modul ini merangkumi tujuh topik daripada Pro Forma Kursus MTE 3101 Mengenal Nombor. Isi kandungan yang dibincangkan dalam topik ini adalah seperti berikut :

Topik 1 : Sistem Pernomboran  Sistem Pernomboran Awal  Sistem Pernomborab Hindu-Arab  Sistem Pernomboran Lain

Topik 2 : Teori asas Nombor  Sistem Nombor  Takrif

 Klasifikasi Set Nombor Nyata  Perwakilan Nombor

Topik 3 : Nombor Asli  Nombor Perdana  Nombor Modular  Teorem Asas Aritmetik  Nombor Rekreasi  Penyelesaian Masalah.

Topik 4: Nombor Nisbah  Ciri-Ciri Asas

 Kardinaliti (cardinality) nombor nisbah

 Nombor nisbah kompleks dan pecahan berterusan (continued fractions)  Penyelesaian masalah

Topik 5 : Nombor Bukan Nisbah  Ciri-Ciri Asas

 Punca kuasa dua dan Surd  Penyelesaian masalah

 modulus, argumen dan konjugat bagi nombor kompleks  operasi melibatkan nombor kompleks

 nombor kompleks dalam bentuk polar

Topik 7 : Penganggaran Kuantiti  pembundaran nombor

Tugasan disediakan di akhir modul. Anda digalakkan membaca semua modul dan melengkapkan tugasan yang diberi. Anda juga diingatkan untuk menyimpan semua nota dan penyelesaian di dalam folio masing-masing.

Kod & Nama Kursus: MTE 3101 MENGENAL NOMBOR

Kandungan modul ini dibahagi kepada Tujuh(7)) tajuk. Jadual di bawah menjelaskan agihan tajuk-tajuk untuk interaksi bersemuka atau pembelajaran melalui modul.

Bil. Tajuk/Topik Modul

(jam)

Jum. Jam

1 Sistem Pernomboran Teori Asas Nombor

 Sistem nombor o definisi

o klasifikasi set nombor nyata

6 jam

3 jam 9 jam

2 Teori Asas Nombor

 Sistem nombor

o perwakilan nombor

Nombor Asli

 Nombor perdana

o kebolehbahagi (divisibility)

o pemfaktoran nombor perdana- algoritma Euclid  Nombor modular

 Teorem Asas Aritmetik

(The Fundamental Theorem of Arithmetic)

3 jam

6 jam

9 jam

3 Nombor Asli

 Nombor rekreasi

o urutan Fibonacci dan Golden Ratio

o petak ajaib  Penyelesaian masalah

Nombor Nisbah

 Ciri-ciri asas

 Kardinaliti (cardinality) nombor nisbah

6 jam

3 jam

9 jam

4 Nombor Nisbah

 Nombor nisbah kompleks dan pecahan berterusan

(continued fractions)

 Penyelesaian masalah

Nombor Bukan Nisbah

 Ciri-ciri asas

 Punca kuasa dua dan Surd o Hukum hasil darab o Hukum hasil bahagi  Penyelesaian masalah

3 jam

6 jam

9 jam

5 Nombor Kompleks

 modulus, argumen dan konjugat bagi nombor kompleks

 operasi melibatkan nombor kompleks  nombor kompleks dalam bentuk polar

Penganggaran Kuantiti

 pembundaran nombor o nombor bulat

o pecahan dan perpuluhan o bentuk piawai

o punca kuasa dua dan surd

6 jam

3 jam

9 jam

(MATEMATIK PENDIDIKAN RENDAH)

NAMA KELAYAKAN

HO OEE JOO

PENSYARAH KANAN MATEMATIK IPG Kampus Perempuan Melayu Durian Daun

75400 Melaka

june2qing@gmail.com

Kelulusan:

M.Ed. (Mathematics Education), UM

B.Sc. Hons. With Education (Mathematics), USM

Pengalaman:

Pensyarah Matematik di IPG Gaya, Kota Kinabalu, Sabah (2 tahun).

Pensyarah Matematik di IPG Perempuan Melayu, Melaka (19 tahun).

MTDP Master Trainer (Mathematics).

Ketua Panitia Matematik di SMK Tamparuli, Tamparuli, Sabah (2 Tahun)

Guru Matematik, Matematik Tambahan dan Rampaian Sains (2 tahun) di SMK Tamparuli, Tamparuli, Sabah

Guru Matematik, Matematik Tambahan dan Kimia di SM All Saints, Kota Kinabalu, Sabah.

AZIZAH BINTI HJ TENGAH PENSYARAH MATEMATIK zah_ipis@yahoo.com

Master Sains(Applied Statistics) Bac Sains (Hons) Matematik

Diploma Sains Dgn Pendidikan (Matematik)

Guru Matematik Tambahan di Sek Men Teknik Kuala Lumpur ( 5 tahun)

Guru Matematik Tambahan Di Sek Men Keb Seri Indah Serdang Selangor ( 11 tahun )

Pensyarah Matematik di IPG Kampus Pendidikan Islam ( 5 tahun )

(NAMA) (JAWATAN) (EMEL) (KELULUSAN) PHD/SARJANA/SARJANA MUDA/DIPLOMA/SIJIL (PENGALAMAN KERJA)

(MATEMATIK PENDIDIKAN RENDAH)

NAMA KELAYAKAN

HO OEE JOO

PENSYARAH KANAN MATEMATIK IPG Kampus Perempuan Melayu Durian Daun

75400 Melaka

june2qing@gmail.com

Kelulusan:

M.Ed. (Mathematics Education), UM

B.Sc. Hons. With Education (Mathematics), USM

Pengalaman:

Pensyarah Matematik di IPG Gaya, Kota Kinabalu, Sabah (2 tahun).

Pensyarah Matematik di IPG Perempuan Melayu, Melaka (19 tahun).

MTDP Master Trainer (Mathematics).

Ketua Panitia Matematik di SMK Tamparuli, Tamparuli, Sabah (2 Tahun)

Guru Matematik, Matematik Tambahan dan Rampaian Sains (2 tahun) di SMK Tamparuli, Tamparuli, Sabah

Guru Matematik, Matematik Tambahan dan Kimia di SM All Saints, Kota Kinabalu, Sabah.

AZIZAH BINTI HJ TENGAH PENSYARAH MATEMATIK zah_ipis@yahoo.com

Master Sains(Applied Statistics) Bac Sains (Hons) Matematik

Diploma Sains Dgn Pendidikan (Matematik)

Guru Matematik Tambahan di Sek Men Teknik Kuala Lumpur ( 5 tahun)

Guru Matematik Tambahan Di Sek Men Keb Seri Indah Serdang Selangor ( 11 tahun )

Pensyarah Matematik di IPG Kampus Pendidikan Islam ( 5 tahun )

(NAMA) (JAWATAN) (EMEL) (KELULUSAN) PHD/SARJANA/SARJANA MUDA/DIPLOMA/SIJIL (PENGALAMAN KERJA)

Topik 1 Sistem Pernomboran

1.0 Sinopsis

Tajuk ini merangkumi perkembangan sistem pernomboran yang pelbagai bermula dari sistem pernomboran awal hingga ke sistem pernomboran Hindu-Arab sekarang. Sistem pernomboran awal yang dibincangkan termasuk Sistem pernomboran Gundalan(Tally), Sistem pernomboran Roman, Sistem pernomboran Mesir, Sistem pernomboran Mayan dan sistem pernomboran Babylonian. Di bawah sistem pernomboran Hindu-Arab, bilangan simbol dan kumpulan dalam pelbagai asas di titikberatkan. Anda juga akan mempelajari bagaimana untuk menukar dari satu asas kepada asas sepuluh dan sebaliknya.

1.1 Hasil Pembelajaran

1. Membandingkan perkembangan Sistem Pernomboran yang pelbagai. 2. Menukarkan asas b kepada asas 10 dan sebaliknya.

1.2 Kerangka konsep

Sistem pernomboran

Sistem pernomboran Awal Sistem pernomboran Yang lain.

Sistem Pernomboran Hindu-Arab

 Bilangan simbol dan kumpulan dalam pelbagai asas.  Menukar asas b kepada asas 10 dan sebaliknya.

1.3 Sistem pernomboran Awal

Pada masa lampau,manusia menggunakan pelbagai cara untuk merekod nombor yang diperlukan. Sebagai contoh untuk mewakilkan bilangan kambing biri-biri dalam kumpulan, pengembala kambing mengumpul batu-batu kecil. Dengan memadankan batu-batu kecil dengan kumpulan kambing, pengembala boleh mengetahui jika ada kambingnya yang hilang. Ahli Matematik pada masa ini menamakan cara padanan ini sebagai padanan satu dengan satu.

Kebelakangan ini , manusia menggunakan cara lain untuk merekod barang kepunyaan mereka. Mereka mengikat tali pada kulit kayu atau melukis tanda gundalan pada batu untuk memadankan tali dengan tanda gundalan. Sebenarnya, kayu gundalan dan batu-batu kecil adalah perkembangan penting ke arah penciptaan sistem pernomboran.

Kayu Gundalan

Kemudian manusia mula menggunakan simbol untuk mewakili nombor. Sebagai contoh, gambar “sayap” digunakan untuk mewakili dua objek. Pada kebanyakan sistem penomboran awal, manusia membentuk nombor dengan cara mengulangi simbol asas dan menambah nilai untuk mendapat nombor yang mereka kehendaki. Orang-orang Egypt, Greek dan Roman menggunakan sistem pernomboran seperti ini. Gambarajah di bawah memaparkan Sistem Pernomboran Greek..

Orang Hindu menggunakan sistem pernomboran yang lebih tinggi dari yang lain. Ia mengikut prinsip nilai tempat dan menggunakan sepuluh nombor. Sistem ini berkebang secara beransur-ansur ke dalam Sistem Hindu-Arab kita sekarang (juga dikenali sebagai sistem nombor perpuluhan) dan digunakan sekarang di seluruh dunia.

Perkembangan pelbagai Sistem Pernomboran awal ditunjukkan di bawah. 1.3.1 Sistem Pernomboran Gundalan (The Tally Numeration System)

Sistem pernomboran ini adalah yang paling mudah di antara semua sistem pernomboran. Ia terdiri daripada satu garisan tunggal ,mewakili setiap objek yang dikira. Walau bagaimanapun terdapat dua kelemahan menggunakan sistem ini iaitu (1) nombor yang besar memerlukan simbol individu yang banyak, (2) sangat sukar untuk membaca nombor yang terdiri daripada nombor yang besar. Contoh; bolehkah anda dengan cepat memberitahu apakah nombor yang diwakili oleh tanda gundalan di bawah? Tidak

mudahkan ?

IIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIIII

Sistem Gundalan di tambahbaik dengan cara “pengumpulan” , di mana gundalan yang kelima ditandakan dengan dan diletakkan melintang di setiap empat gundalan supaya menjadi satu kumpulan terdiri daripada lima seperti di bawah:

IIII

Mengumpul adalah cara paling mudah untuk mengenal nombor yang diwakilkan. Dengan menggunakan teknik pengumpulan, bolehkah anda sekarang beritahu apakah nombor yang di wakilkan oleh gundalan dalam contoh di atas.

1.3.2 Sistem Pernomboran Mesir ( Around 3400 BC)

Sistem hieroglifik Mesir (The Egyptian hieroglyphic system ) adalah contoh Sistem Pengumpulan Pernomboran mudah. Nombor-nombor dibentuk dengan menggabungkan simbol hieroglifik yang ditiru yang mewakili kuasa sepuluh.

Sistem pernomboran ini adalah berasaskan tanda gundalan, iaitu

I II III IIII IIIII IIIIII IIIIIII IIIIIIII IIIIIIIII 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Bagaimanapun, selepas 9, mereka memerlukan satu simbol baharu yang memerlukan “pengumpulan” untuk mewakili set nombor tertentu. Nilai berikutnya ialah ∩ (tulang tumit) yang mewakili 10.

Angka Mesir menggunakan cara untuk merekod kuantiti adalah berdasarkan asas 10 dengan simbol satu,sepuluh dan kuasa sepuluh berturut-turut. Suatu hieroglifik khusus digunakan untuk setiap nombor yang berkuasa sepuluh. Bagaimanapun tidak ada simbol untuk sifar. Oleh itu suatu simbol tertentu dihapuskan di dalam angka bila gandaan sepuluh bukan sebahagian dari nombor tersebut.

Sebahagian simbol yang digunakan di dalam angka Mesir ditunjukkan di bawah:

Sistem Mesir adalah mengikut sifat penambahan. (additive property); iaitu nilai sesuatu nombor Sebagai contoh:

Apakah nombor yang diwakili oleh heiroglifik berikut?

Tepat! heiroglifik di atas mewakili nilai 21,346.

Cuba tuliskan 465,123 menggunakan Sistem Pernomboran Mesir. Semoga Berjaya!

1.3.3 Sistem pernomboran Roman (Antara 500 B.C. dan A.D. 100)

Sistem pernomboran Roman adalah lebih canggih berbanding dengan sistem

 “Prinsip penolakan”(“subtractive principle”) yang membolehkan nombor diwakili secara lebih ringkas dan

 “Prinsip pendaraban (“multiplicative principle”) yang memudahkan untuk menulis nombor yang bernilai besar.

Jadual berikut menujukkan lapan abjad yang digunakan untuk mewakili nilai berbeza di dalam sistem Pernomboran Roman dan nilai sepadannya di dalam Sistem Pernomboran Hindu-Arab.

Angka Roman Angka Hindu-Arab

I 1 V 5 X 10 L 50 C 100 D 500 M 1000 Jadual 1

Peraturan tertentu mesti dipatuhi bila menggunakan Sistem Pernomboran Roman, iaitu:  Hanya simbol I, X, C, dan M boleh diulang, tetapi tidak boleh menulis simbol lebih

daripada 3 kali secara berturut-turut. Jika simbol keempat diperlukan, gunakan prinsip penolakan.

 Bila menggunakan prinsip penolakan, kita hanya boleh menolak I, X, C, dan M (tidak V, L, atau D – tanpa dengan “5”)

 Kita hanya boleh menolak angka daripada 2 angka bersebelahan yang paling tinggi. (contoh. kita boleh ada IV dan IX, tetapi kita tidak boleh ada IL, IC, ID, IM)

 Gunakan palang di atas simbol atau beberapa simbol untuk menandakan pendaraban dengan 1000 contoh;

V bermakna 5 x 1000 = 5000; IX bermakna 9 x 1000 = 9000  Gunakan palang menegak untuk menandakan pendaraban dengan 100 contoh; | V | bermakna 5 x 100 = 500 ; | L | bermakna 50 x 1000 x 100 = 5,000,000

Contoh contol lain diberi di bawah:



Jika angka Roman disenaraikan sedemikian hingga setiap angka mempunyai nilai lebih besar dari angka di sebelah kanannya, maka nilai angka boleh didapati menggunakan sifat penambahan. Setiap angka I, X, C dan M boleh diulang sebanyak tiga kali. Angka-angka V, L, dan D tidak diulang, contoh:

XVI = ? CCCVI = ? MMCCCLXII = ?



Jika angka yang disenarai sedemikian hingga setiap angka TIDAK mempunyai nilai yang besar daripada angka disebelah kanannya, maka nilai angka tersebut didapati menggunakan sifat penambahan dan sifat penolakan. Hanya angka I, X, dan C,

yang boleh ditolak daripada angka lain. Contoh:

IV = ? ; IX = ? ; XL = ? ; XC = ?; CD = ?; CM = ?; CXLIV = ?; MCDLXXI = ?



Selanjutnya penolakan nilai dibenarkan jika nilai bagi angka di sebelah kanan berada pada baris pertama dan kedua selepas angka sebelah kiri seperti dalam jadual 1.

Sebagai contoh:

XL = ? ; XC = ?

tetapi XD tidak sama dengan 490 kerana X terletak pada baris 3 daripada D di dalam Jadual di atas.

Apakah 490 menggunakan simbol Roman? 490 = ___________________

Tahniah! Anda berjaya!



Sistem Roman ialah sistem kedudukan ( positional system) kerana kedudukan suatu nombor boleh memberi kesan pada nilai nombor yang diwakili. Sebagai contoh:

XI ialah sebelas manakala IX ialah sembilan.



Bila menulis nombor besar, Sistem Pernomboran Roman juga menggunakan sifat pendaraban. Contoh:

Cuba ini:

Tulis menggunakan angka Roman:

 579 4,709 = ___________________________  304,536 8,070 = ___________________________

1.3.4 Sistem Pernomboran Mayan. ( Antara A.D. 300 dan A.D. 900)

Sistem Pernomboran Mayan berasaskan sistem 20 (vigesimal) yang menggunakan hanya tiga simbol terdiri dari sistem cengkerang, palang dan titik di dalam sistem nilai menegak.Suatu titik mewakili satu, palang mewakili lima dan cengkerang mewakili sifar. Carta di bawah menunjukkan kitaran pertama yang lengkap bagi nombor Mayan.

Angka Mayan

Seperti sistem nombor sekarang, nilai tempat digunakan untuk mengembangkan sistem Mayan bagi mendapatkan nilai yang besar. Bagaimanapun, sistem ini mempunyai dua perbezaan yang signifikan berbanding sistem kita gunakan sekarang ; iaitu 1) nilai tempat disusun secara menegak. dan 2) mereka menggunakan asas 20, atau sistem vigesimal.

Baca dan cari maklumat tentang nilai tempat dalam Sistem Mayan berbanding sistem kita yang menggunakan asas 10. Untuk mendapatkan semua nombor yang lain, Mayan hanya menggunakan 20 simbol daripada nombor 0 hingga 19 seperti mana kita gunakan simbol 0 hingga 9. Sistem asas 10 mempunyai nilai tempat berikut: 1’s ,10’s, 100’s, 1000’s d.l.l.

Bila ditulis sebagai eksponen ia menjadi: 1, 101, 102, 103, d.l.l. Maka, sistem asas 20 mempunyai nilai tempat seperti berikut: 1, 201, 202, 203, d.l.l. Walau bagaimanapun Mayan mempunyai satu penyimpangan daripada asas 20. Nilai tempat adalah:

1, 20, 20·18, 202·18, 203·18 etc.

Oleh kerana orang Mayan lebih berminat dalam mengira hari dan kalendar tahunan mereka mempunyai 360 hari, maka adalah lebih sesuai untuk nilai digit ketiga terkecil menjadi 20·18 = 360 dan bukan 20·20 = 400. Orang Mayan menyusun nombor mereka untuk menandakan nilai tempat berbeza. Prinsipal berkenaa ditunjukkan di dalam carta di bawah.

 Jumlah di bawah, 31,781,148 ialah versi ringkas untuk nilai di dalam sisitem asas 10 kita.

 Nombor yang ditulis dengan ringkas di dalam sistem Mayan ialah: 11.0.14.0.17.8 di mana nombor yang ditulis antara masa ialah nombor untuk nilai tempat.

Ada dua kelebihan bila menggunakan sistem ini iaitu: 1) Nombor yang besar lebih senang untuk dinyatakan dan 2) aritmetik mudah untuk diselesaikan oleh pengguna.

Mayan number chart from: http://en.wikipedia.org/wiki/Maya_numerals = 11(2,880,000) = 31,680,000 = 0·144,000 = 0 = 14·7200 = 100,800 = 0·360 = 0 =17·20 = 340 = 8

Proses penambahan mudah boleh dilakukan dengan hanya menggabungkan dua atau lebih set simbol ( set yang sama) seperti di bawah:

Untuk aritmetik yang lebih rumit, kita boleh meminjam bila mencapai nilai 20 dan bukan 10. Seperti yang ditunjukkan di bawah.

Kita lihat contoh di bawah:

Contoh:

Tulis sebagai angka Hindu-Arab.

Penyelesaian:

Angka Mayan yang diberi mempunyai empat tempat. dari atas ke bawah, nilai tempatnya ialah 7200, 360, 20, dan 1.

Mula dengan mewakilkan setiap angka pada setiap baris sebagai angka Hindu-Arab seperti di bawah:

Darabkan setiap angka Hindu-Arab dengan nilai tempat yang berikutnya.

Carikan jumlah hasil pendaraban ini.

Sekarang, nyatakan angka Hindu-Arab berikut menggunkan angka Mayan .

 489  1813

1.3.5 Sistem Pernomboran Babylonian (Antara 3000 dan 2000 B.C.)

Sistem ini menggunakan dua angka, iaitu satu dan sepuluh seperti ditunjukkan di bawah.

Gambarajah di bawah menunjukkan Sistem Babylonian iaitu sistem kedudukan asas-60 (sexagesimal) system. Perhatikan bahawa dari nombor 1 hingga 59 ,sistem ini adalah berulang, iaitu sistem ini adalah sistem penambahan ( additive system).

Angka Babylonian

Walaupun sistem pernomboran Babylonian berkembang pada masa yang sama seperti sistem Mesir, namun Sistem Babylonian dalah lebih canggih dalam penggunaan nilai tempat, di mana simbol digunakan untuk mewakili nilai berbeza bergantung kepada tempat yang ditulis. Kedudukan setiap angka membrti kesan kepada nilainya.

contoh dua nilai sepuluh dalam Babylonian yang ditulis bersebelahan boleh ditafsirkan sebagai 20, atau 610 atau mungkin 3060. Dari tahun 300 B.C. berikutnya suatu simbol berasingan terdiri dari dua segitiga kecil disusun di atas satu sama lain bertindak sebagai penentu tempat (placeholder) untuk menandakan ruang kosong bagi mengelak kekeliruan. Walaupun penetu tempat bertindak seolah-olah nombor sifar, orang Babylonian tidak menganggap sifar sebagai suatu nombor.

Cuba lihat contoh di bawah.

Contoh: Tuliskan sebagai angka Hindu-Arab.

Penyelesaian:

Dari kiri ke kanan, nilai tempat ialah 602, 601, and 1.

Cuba ini.

Tuliskan 4, 571 sebagai angka Babylonian .

1.4 Sistem Pernomboran Hindu-Arab (Sekitar A.D. 800)

Sistem Pernomboran Hindu-Arab yang digunakan hari ini dikembangkan sekitar tahun A.D. 800. Nama ini diperolehi atas sumbangan dari kedua dua orang Hindu dan Arab kepada sistem ini. Orang Hindu memperkembangkan abjad dan menggunakan huruf untuk mewakilkan digit dalam sistem pernomboran ini.







 









 

 



7882 22 660 7200 1 22 60 11 3600 2 1 22 60 11 60 2 1 ) 1 1 10 10 ( 60 ) 1 10 ( 60 1 1 1 2 1 2                         

 Wakilkan setiap angka sebagai angka Hindu-Arab.

Darabkan setiap angka Hindu-Arab dengan nilai tempat yg sepatutnya.

Ciri penting dalam sistem ini ialah kita boleh menulis angka bagi sebarang nombor, sama ada besar atau kecil,menggunakan hanya sepuluh simbol yang disebut digit,

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9

Perkataan digit bermaksud “jari tangan” atau “jari kaki”. Disebabkan hanya sepuluh simbol asas yang digunakan,sistem Pernomboran Hindu-Arab dipanggil Sistem

Pernomboran Perpuluhan.

Satu lagi prinsip dalam sistem ini ialah “Pengumpulan sepuluh-sepuluh” (sistem perpuluhan) dimans sepuluh satu di ganti dengan satu sepuluh, dan sepuluh-sepuluh diganti dengan satu ratus. seratus sepuluh diganti dengan satu ribu dan seterusnya. Bilangan objek yang dikumpulkan sedemikian dipanggil asas bagi sistem itu. Oleh itu, sisitem Hindu-Arab ialah sistem asas sepuluh.

Angka Hindu-Arab boleh ditulis dalam bentuk cerakin ( expanded form), di mana nilai bagi setiap digit dalam setiap kedudukan adalah jelas. Sebagai contoh, kita menulis 663 dalam bentuk cerakin sebagai:

663 = (6 x 100) + (6 x 10) + (3 x 1) = (6 x 102) + (6 x 101) + (3 x 1)

Sistem Pernomboran Hindu-Arab ialah sistem nilai kedudukan atau sistem nilai tempat. Nilai kedudukan dalam sistem ini berasaskan kuasa 10, seperti ditunjukkan di bawah: …, 105, 104, 103, 102, 101, 10

Untuk memahami dan menghargai mengapa sistem Hindu-Arab lebih superior berbanding yang lain dan digunakan di seluruh dunia, baca lebih mengenai sumbangan berikut kepada sistem ini:

 Digits

 Pengumpulan sepuluh-sepuluh  Nilai tempat

Contoh 1:

Tuliskan 3407 dalam bentuk cerakin.

Penyelesaian:

3407 = (3 x 103) + (4 x 102) + (0 x 101) + (7 x 1) , atau = (3 x 1000) + (4 x 100) + (0 x 10) + (7 x 1) Contoh 2:

Nyatakan bentuk cerakin berikut sebagai angka Hindu-Arab.l: (7 x 103) + (5 x 101) + (4 x 1).

Penyelesaian:

(7 x 103) + (5 x 101) + (4 x 1) = (7 x 103) + (0 x 102) + (5 x 101) + (4 x 1) = 7054

Cuba ini.

Tuliskan setiap berikut dalam bentu cerakin.  728,407

 60,006,060

Untuk membandingkan perkembangan sistem pernomboran awal, anda perlu mencari maklumat tentang sistem pernomboran lain. Baca dengan lebih lanjut dan teroka dalam sesawang untuk mendapat lebih maklumat tentang ini.

Selamat Membaca! Selamat Meneroka!

1.5 Sistem pernomboran Lain.

Pengumpulan sepuluh-sepuluh adalah ciri penting dalam sistem pernomboran Hindu-Arab dan kita panggil sistem ini sistem asas sepuluh. Asas bagi sitem penomboran mewakili bilangan simbol yang digunakan dalam pengumpulan. Semua nombor ditulis dalam bentuk kuasa mengikut asasnya.

1.5.1 Bilangan simbol dan kumpulan dalam pelbagai asas

Bilangan simbol yang digunakan dalam asas tertentu bergantung kepada cara asas itu dikumpulkan. Selain pengumpulan sepuluh-sepuluh, kita ada pengumpulan dud-dua,

lima-lima,dua belas-dua belas atau nombor lain. Untuk asas lebih daripada sepuluh, simbol lain boleh diperkenalkan. Pengumpulan sebelas-sebelas, atau dua belas-dua belas, simbol lain seperti huruf T, E dan U mungkin digunakan untuk mewakili nilai sepuluh, sebelas dan dua belas. Jadual di bawah menunjukkan beberapa contoh pengumpulan asas lain.

Asas Simbol Cara Pengumpulan Notasi

dua 0,1 1011dua atau 10112 tiga 0, 1, 2 102tiga atau1023 empat 0, 1, 2, 3 23empat atau 234 sepuluh 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 11sepuluh atau1110 sebelas 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, T 10sebelas atau1011 dua belas 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, T, E Eduabelas atau E12 tiga belas 0,1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, T, E, U Utigabelas atau U13

Pengumpulan dud-dua,lapan-lapan dan enam belas-enam belas memberi kita gambaran tentang sistem pernomboran yang di gunakan dalam komputer.

Binary-Quartet/Hexadecimal Conversion

Binary 0000 0001 0010 0011 0100 0101 0110 0111 1000 1001 1010 1011 1100 1101 1110 1111

Hexadecimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F

Decimal 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

Hubungan antara asas 2, 8 dan 16

Untuk merumuskan sistem pernomboran dengan asas selain daripada sepuluh, kita perlu mempelajari lebih tentang nombor dan jenis simbol yang digunakan selain mengetahui cara menukar daripada satu asas (katakan asas b) ke asas 10 dan sebaliknya.

1.5.2 Menukar asas b kepada asas 10 dan sebaliknya.

Untuk menukar asas b kepada asas sepuluh, kita perlu menulis angka dalam bentuk cerakin. Nombor yang dihasilkan ialah dalam asas sepuluh. Lihat contoh di bawah.

Contoh :

Tukarkan 1011dua kepada asas sepuluh.

Penyelesaian:

1011dua = (1 x 23 )+ (0 x 22)+ (1 x 21) + (1 x 20) = 8 + 0 + 2 + 1 + 0 = 11

Sekarang cuba buat sendiri.

Tukarkan kepada asas sepuluh.  1110012

 12345  307628  54297  652349

Menukar asas 10 kepada asas b :

Untuk menukar asas 10 kepada sebarang asas, kita perlu lihat pada suatu pola, sebagai contoh:

 Untuk menukar asas 10 kepada asas 2, kumpulkan dua-dua.  Untuk menukar asas 10 kepada asas 3, kumpulkan tiga-tiga.  Untuk menukar asas 10 kepada asas 4, kumpulkan empat-empat.  Untuk menukar asas 10 kepada asas 5, kumpulkan lima-lima.

Pengumpulan bagi pola di atas dirumuskan dalam jadual di bawah.

Asas Nilai Tempat

2 25 = 32 24 = 16 23 = 8 22 = 4 21 = 2 20 = 1 3 35 = 243 34 = 81 33 = 27 32 = 9 31 = 3 30 = 1 4 45 = 1,024 44 = 256 43 = 64 42 = 16 41 = 4 40 = 1 5 55 = 3,125 54 = 625 53 = 125 52 = 25 51 = 5 50 = 1 8 85 = 32,768 84 =4,096 83 = 512 82 = 64 81 = 6 80 = 1 12 125 =248,832 124 = 20,736 123 = 1,728 122 = 144 121 = 12 120= 1

Carta Nilai tempat

Proses pengumpulan di atas boleh diterjemahkan menggunakan pembahagian mudah. Berikut adalah contoh untuk menjelaskan proses ini.

Contoh: Tukarkan 53 kepada asas 2

Gunakan proses berikut untuk menukar nombor perpuluhan kepada bentuk binari.

 Bahagikan nombor perpuluhan dengan 2 dan ambil bakinya.Ulang proses ini sehingga mendapat hasil 0.

 Nombor binari dibentuk dengan mengambil baki dari bawah ke atas. 5310 => 53 ÷ 2 = 26 baki 1 26 ÷ 2 = 13 baki 0 13 ÷ 2 = 6 baki 1 6 ÷ 2 = 3 baki 0 3 ÷ 2 = 1 baki 1 1 ÷ 2 = 0 baki 1

Baca dari bawah ke atas ,kita akan dapat 1101012 .

Sekarang, cuba sendiri . Selamat Mencuba!

 Tukarkan 678 kepada asas 2  Tukarkan 2345 kepada asas 5

Perkara perlu di buat:

Sub-topik 1.3 dan 1.4

1. Cari maklumat tambahan mengenai tajuk di atas dari sumber berlainan. Anda di galakkan untuk meneroka sesawang “Numeration Systems”.

2. Tuliskan nota ringkas.

Sub-topik 1.5

1. Rujuk pada ‘Resource Materials’ dan baca Smith, K. J. (2001). “The Nature of Mathematics”. Pacific Grove CA: Brooks and Cole : muka surat. 129 -140

2. Buat latihan tentang cara menukar asas b kepada asas 10 dan sebaliknya. Anda boleh pilih soalan yang relevan dari muka surat. 78 – 79 dan muka surat.139 – 140 .

Peringatan : Simpan nota dan bahan yang dicetak termasuk penyelesaiannya di dalam portfolia masing-masing.

Rujukan

Musser, G. L., et al.(2006). Mathematics for Elementary Teachers. 7th ed. USA: John Wiley

Smith, K.J. (2001). The Nature of Mathematics. 9th ed. Pacific Grove CA: Brooks /Cole Thomson Learning

1. The Development of Ancient Numeration Systems: http://mtl.math.uiuc.edu/projects/2/Wood/frame.htm 2. Mayan Numeration: http://www.hanksville.org/yucatan/mayamath.html http://72.40.235.132/search?q=cache:uuG7HTn90kJ:lacosta.cs.txstate.edu/Mmath lessons/Year3Fall/MayanNumberingsystem. 3. Number bases: http://www.macdonald.egate.net/CompSci/Pascal/hnumeration.html

Topik 7

Penganggaran Kuantiti

7.0 Sinopsis

Tajuk ini merangkumi kemahiran pembundaran nombor nyata termasuk nombor bulat, pecahan, dan perpuluhan. Definisi bentuk piawai, punca kuasa dua dan surd juga diberi. Panduan untuk membundarkan nombor dan mencari anggaran yang baik diberi untuk mengingat kembali apa yang anda telah belajar semasa di sekolah menengah.

7.1 Hasil Pembelajaran

Menganggar kuantiti dengan membundarkan nombor nyata termasuk nombor bulat, pecahan, dan perpuluhan.

7.2 Kerangka Konsep

7.3 Penganggaran kuantiti

Penganggaran adalah kemahiran matematik yang penting dan ia sangat berguna dalam kehidupan harian kita. Dengan demikian, kita perlu mengajar anak-anak kita untuk menganggar wang, panjang masa, jarak, dan lain-lain lagi

Penganggaran Kuantiti Membundarkan nombor:  Nombor Bulat Membundarkan nombor:  Pecahan

Bentuk Piawai Punca Kuasa Dua dan Surd

kuantiti fisikal. Pelbagai teknik boleh digunakan untuk menganggar kuantiti dengan menggunakan panduan tertentu. Proses penganggaran boleh dibuat dengan mencari anggaran atau penghampiran jawapan . Ia biasanya melibatkan penggunaan matematik mental.

Pembundaran biasanya digunakan untuk menggantikan nombor yang kompleks dengan nombor yang mudah. Ia adalah paling berguna untuk membuat penganggaran dalam pengiraan. Pembundaran sentiasa digunakan untuk mendapat jawapan sebelum pengiraan tepat dilaksanakan.

7.4 Pembundaran nombor

Kita sentiasa membuat pembundaran semasa membuat anggaran. Pembundaran memberi jawapan yang hampir. Terdapat beberapa teknik pembundaran yang boleh digunakan untuk mendapat anggaran. Setiap teknik melibatkan pembundaran ke nilai tempat yang tertentu. Contohnya, apabila membundar sesuatu nombor anda mencari gandaan 10 yang terhampir ( atau ratus yang hampir atau kepada nilai tempat yang hampir). Pembundaran adalah sejenis penganggaran. Apabila membundar sesuatu nombor, kita sama ada

round up atau round down. Terdapat beberapa peraturan tertentu yang perlu

diikuti apabila membuat pembundaran sama ada nombor bulat, pecahan atau perpuluhan.

7.4.1 Pembundaran nombor bulat

Nombor bulat boleh dibundar kepada puluh terhampir, ratus terhampir, ribu terhampir, dan sebagainya. Manakala, nombor perpuluhan boleh dibundarkan kepada persepuluhan yang hampir, perseratus yang hampir, perseribu yang hampir, dan sebagainya.

Pembundaran nombor biasanya digunakan untuk permudahkan pengiraan mental. Nombor yang dibundarkan hanya akan mendapat jawapan yang hampir sahaja semasa pengiraan dibuat. Terdapat dua sebab yang penting untuk membuat anggaran: (1) untuk menyelesaikan masalah dengan cepat, atau (2) untuk menyemak jawapan yang munasabah.

Pada garis nombor, anda boleh lihat bagaimana pembundaran nombor menghampiri nilainya.

Teknik pembundaran yang biasa digunakan di sekolah adalah membundarkan nombor yang diakhiri dengan 5. Salah satu keburukan kaedah ini adalah anggaran yang diperoleh apabila terdapat beberapa 5 yang terlibat akan menghasilkan jawapan yang besar. Contohnya, cari anggaran hasil tambah bagi 35 + 45 + 55 + 65 + 75 akan menghasilkan nilai yang tinggi , lebih sebanyak 25 kalau dibandingkan dengan nilai tepatnya, 275, kerana 40 + 50 + 60 + 70 + 80 = 300.

Mari kita lihat contoh pembundaran nombor kepada kuasa sepuluh seperti di bawah:

Contoh:

Populasi England lebih kurang 60 juta. Populasi bagi lima bandar besar, kepada ratus ribu yang hampir adalah seperti yang ditunjukkan di bawah:

London 6.4 juta Birmingham 1.0 juta Liverpool 0.5 juta Sheffield 0.4 juta Leeds 0.4 juta

(a) Apakah kemungkinan bilangan populasi terbesar bagi London?

(b) Coventry ialah bandar ke sepuluh besar dengan populasi 0.3 juta. Anggarkan peratus populasi England yang tinggal di sepuluh bandar terbesar itu?

Penyelesaian

(a) 6.4 juta bersamaan 6 400 000 dan telah dibundarkan kepada ratus ribu yang hampir. Nombor yang terbesar yang mungkin dibundarkan kepada 6 400 000 ialah 6 449 999. Jika bilangannya 6 450 000, ia akan dibundarkan kepada 6.5 juta.

(b) Bandar keenam ke bandar kesembilan besar mesti mempunyai populasi antara 0.3 juta dan 0.4 juta. Kita menganggar min bagi populasi ini sebanyak 0.35 juta.

Maka,

Jumlah pupulasi dalam 10 bandar terbesar itu =( 6.4 + 1 + 0.5 + 0.4 + 0.4 + 4 x 0.35 + 0.3) juta = 10.4 juta

Jadi, peratus populasi dalam 10 bandar terbesar

= x 100%

= 17 % kepada peratus yang hampir.

7.4.2 Pembundaran pecahan dan perpuluhan

Seperti yang tersebut diperingkat awal, nombor perpuluhan boleh dibundarkan kepada persepuluh ,perseratus, perseribu yang hampir atau kepada lain tempat perpuluhan yang hampir. Terdapat peraturan yang perlu diikuti apabila membundarkan nombor kepada suatu tempat perpuluhan yang tertentu.

10.4 60

Ikutilah langkah di bawah untuk membundarkan nombor kepada bilangan tempat perpuluhan yang dikehendaki.

(i) Tambah 1 kepada digit pada tempat perpuluhan itu jika digit di sebelah kanannya sama atau lebih besar daripada 5.

(ii) Kalau digit di sebelah kanannya kurang daripada 5 biarkan digit tersebut (iv) Keluarkan digit-digit yang tidak berkaitan.

Apakah nombor yang anda akan dapat apabila anda membundarkan 3.417824 kepada 2 titik perpuluhan? Ya, anda betul! Jawapannya ialah 3.42.

Bagaimana anda membundarkan nombor perpuluhan yang diberi kepada nombor bulat yang hampir? Bolehkah kita mengguna kaedah yang sama seperti yang dinyatakan di atas? Adakah peraturan yang sama dipatuhi apabila membundarkan nombor perpuluhan kepada nombor bulat yang hampir?

Peraturan adalah sama seperti di atas. Dalam perkataan lain, apabila membundarkan nombor perpuluhan kepada nombor bulat yang hampir, kita sebenarnya membundarkan nombor itu kepada 0 tempat perpuluhan.

Mari kita lihat contoh di bawah: Contoh:

6.5489 dibundar kepada nombor bulat yang hampir ialah 7

Cuba buat soalan berikut:

Bundarkan nombor berikut kepada nombor bulat yang hampir.  0.985

 325.092  45.7

 ¼

 ⅞

Catatan: Apabila membundarkan pecahan, kita perlu menukarnya kepada nombor perpuluhan dahulu sebelum membundarkannya kepada tempat perpuluhan yang dikehendaki.

Apabila menganggar kuantiti, kita sentiasa menanya diri sendiri, adakah anggaran kita betul atau salah. Perkara yang penting dalam penganggaran berkaitan dengan berapa tepat anggaran yang diperoleh. Apabila membundarkan nombor, darjah ketepatan boleh berubah. Kadang-kadang jawapan yang tepat tidak diperlukan tetapi anggaran sudah memadai. Kadang-kadang jawapan tepat diperlukan dan penganggaran tidak perlu.

Tip yang berguna: Jangan membundarkan nombor terlalu awal sehingga jawapan akhir diperoleh supaya jawapan yang lebih tepat didapati.

Contoh:

Jika kita hendak mencari jawapan untuk jangan membundarkan

sebelum mendarab dengan 4.8. Laksanakan operasi darab itu dahulu

sebelum membundarkan jawapan akhir. Iaitu, jawapan akhir sepatutnya 22.03 kepada 2 tempat perpuluhan bukanlah 22.08.

Darjah ketepatan bagi nombor yang dibundarkan bergantung kepada situasi dan keperluan pengguna. Contohnya:

 Anggaran telah memadai apabila mengira bilangan minuman yang diperlukan untuk sesuatu majlis.

 Jawapan yang tepat diperlukan apabila mengira jumlah dos yang perlu disuntik pada pesakit. .

Tentukan darjah ketepatan yang diperlukan untuk situasi berikut dengan menggunakan pilihan yang dibekalkan. Beri sebab untuk pilihan anda.

9.64

2.1 X 4.8 9.64

2.1

A. Setepat yang mungkin B. Anggaran sudah memadai

(i) Doktor haiwan menggunakan berat kucing untuk mengira berapa banyak ubat yang perlu disuntik kepada kucing itu.

(ii) Kontraktor mengira jumlah kayu yang perlu dibeli untuk membina pondok. (iii) Tukang masak mengira berapa banyak tepung dan gula yang perlu untuk

membuat kek.

(iv) Wartawan mengira bilangan orang yang telah menghadiri pameran Seni minggu lepas.

Penganggaran adalah penting dalam penyelesaian masalah yang melibatkan pemikiran mental untuk menentukan jawapan yang munasabah. Menurut kamus Webster’s New World Dictionary, ‘menganggar’ bermakna ‘membina pendapat atau penghakiman sesuatu’ atau mengira secara hampir. Maka, perkembangan kemahiran penganggaran adalah aspek yang penting dalam kelas matematik kerana ia boleh diaplikasi dalam kehidupan harian kita. Beberapa panduan untuk penganggaran diberi seperti berikut:

Panduan untuk penganggaran

 Cari nombor yang sesuai supaya anda dapat membuat pengiraan secara mental.

Contoh: 200 ÷ 5.8 ≈ 200 ÷ 5 lebih baik daripada 200 ÷ 6

Contoh:

( ≈ bermakna ‘menghampiri’ )

 Mencari nombor yang boleh dibahagi .

Contoh:

 Apabila mendarab atau membahagi jangan menghampirkan nombor kepada sifar.

Guna 0.1, 0.01 atau 0.001, dan lain-lain. 72.6 x 347.05 0.86

≈

(100 x 350) ÷ 1 12 x 500 4

≈

=

1500 12.46 x 486.21 3.78

Contoh:

105.6 x 0.014 sepatutnya tidak dianggarkan sebagai 100 x 0. Ia lebih baik

mengguna 100 x 0.01 atau 100 x , yang menghasilkan anggaran 1.

 Apabila mendarab dua nombor, cuba membundarkan one up dan one

down.

Apabila membahagi dua nombor, cuba membundarkan dua nombor up atau

down.

Contoh: Lebih baik menganggar 4.5 x 3.5 sebagai 5 x 3 atau 4 x 4 daripada 5 x 4 kerana 4.5 x 3.5 = 15.75. Lagipun 5 x 3 = 15 atau 4 x 4 = 16 kedua-duanya memberi anggaran yang lebih dekat dengan jawapan tepat jika dibandingkan dengan 5 x 4 = 20.

Contoh: Lebih baik menganggar sebagai daripada

kerana

yang lebih dekat dengan jawapan tepat kalau dibanding dengan = 9

( Catatan: Biasanya terdapat lebih daripada satu anggaran yang mungkin sebagai jawapan )

7.5 Bentuk piawai

Bentuk piawai adalah satu cara untuk menulis nombor yang sangat besar atau sangat kecil dalam bentuk yang lebih senang dan kemas. Sebagai contoh, 10³ = 1000, jadi 4 × 10³ = 4000 . Maka, 4000 boleh ditulis sebagai 4 × 10³. Nombor yang lebih besar daripada contoh itu juga boleh ditulis dengan menggunakan bentuk piawai.

83.2

8.5

=

9.79 (2 t.p.) dan

=

10 memberi anggaran 81 9 83.2 8.5 80 ₈ 81 ₉ 80 8 1 100

Nombor yang kecil juga boleh ditulis dalam bentuk piawai tetapi indeksnya akan menjadi negatif (contoh di atas indeksnya adalah positif 3).

Bentuk am nombor dalam bentuk piawai boleh ditulis seperti ditunjukkan di bawah:

Ahli sains dapat mengesan jarak dari bumi ke planet yang lain dan mengukur berat bumi dalam kilogram dan sebagainya. Semua ukuran ini adalah sangat besar. Mereka menggunakan notasi saintifik seperti yang ditunjukkan di atas untuk menulis ukuran yang besar itu. Nilai A ialah nombor perpuluhan antara 1 dan 10, termasuk 1; iaitu , 1 ≤ A < 10. Secara ringkas, notasi saintifik atau juga dikenali bentuk piawai adalah satu kaedah menulis nombor dalam bentuk perpuluhan yang berada dalam lingkungan 1 dan 10 darab dengan kuasa 10. Sebagai contoh, 10,592 ditulis sebagai 1.0592 × 104 dalam bentuk notasi saintifik. Bukan sahaja ahli sain, malahan ahli matematik dan jurutera juga munggunakan kaedah ini untuk mewakili nombor yang sangat besar atau sangat kecil.

Beberapa contoh ukuran menggunakan notasi saintifik atau bentuk piawai diberikan di bawah:

 Halaju cahaya ialah 2.99792458×108 _{m/s .}  Jisim elektron lebih kurang

0.000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 910 938 22 kg. Dalam notasi

saintifik, ia ditulis sebagai 9.109 382 2×10-31 kg  Jisim bumi lebih kurang 5,973,600,000,000,000,000,000,000 kg. Dalam

notasi saintifik, ia ditulis sebagai 5.9736×1024 _kg.

 Perimeter bumi menghampiri 40,000,000 m. Dalam notasi saintifik, ia ditulis sebagai 4×107 m.

Notasi saintifik atau bentuk piawai juga dikenali notasi eksponen. Sebagai kesimpulan notasi saintifik digunakan untuk menulis nombor yang sangat besar atau sangat kecil.

Carta di bawah menunjukkan lain contoh untuk mewakili nombor dalam notasi saintifik atau bentuk piawai.

Notasi nombor

perpuluhan yang biasa Notasi saintifik

300 3×102

4,000 4×103

5,720,000,000 5.72×109

−0.000 000 006 1 −6.1×10−9

Sebagai kesimpulan, nombor dalam bentuk piawai boleh dibundarkan kepada tempat perpuluhan yang tertentu.

Mari kita lihat contoh yang lain. Contoh 1

Tulis 81 900 000 000 000 dalam bentuk piawai. 81 900 000 000 000 = 8.19 × 1013

Catatan: 1013 kerana titik perpuluhan telah bergerak 13 tempat ke kiri untuk mendapat nombor 8.19.

Contoh 2

Tulis 0.000 001 2 dalam bentuk piawai.

0.000 001 2 = 1.2 × 10-6

10-6 kerana titik perpuluhan telah bergerak 6 tempat ke kanan untuk mendapat 1.2

Sekarang, selesaikan yang berikut:

Tulis dalam bentuk piawai. Bundarkan jawapan anda ke 2 tempat perpuluhan.

 7 891 124  0.000 005 437  124 809

 Bermain dengan kalkulator!

Kalkulator juga boleh digunakan dengan senang untuk menolong anda menulis nombor yang sangat besar atau sangat kecil dalam bentuk piawai. Anda biasanya menaip nombor dengan menggunakan kalkulator dalam bentuk piawai seperti berikut:

Taipkan nombor pertama yang terletak di antara 1 dengan 10. Tekan EXP . Taipkan kuasa nombor yang dikehendaki. Teruskan penerokaan anda.

 Manipulasi dalam bentuk piawai

Contoh dibawah menerangkan maksud di atas:

Contoh

Jika nilai bagi p dan q ialah 8 × 105 dan 5 × 10-2 masing-masing, kira (i) p x q ; (ii) p ÷ q. Beri jawapan dalam bentuk piawai.

Penyelesaian

(i) Darab 8 x 5 dan 105 × 10-2 .

Maka, 8 × 5 × 105 × 10-2 = 40 × 103 (Ingat: 105 _{× 10}-2 _{= 10}3₎

Jawapan di atas bukan dalam bentuk piawai kerana 40 tidak ditulis dalam lingkungan 1 hingga 10. Jadi jawapan yang sepatutnya ialah 4 × 104 atau 4.0 x 104 .

(ii) Kali ini, bahagi 8 dengan 5 dahulu kemudian darab dengan hasil bahagi apabila 105 dibahagi oleh 10-2 .

Sekarang cuba yang berikut:

Kira dan memberi jawapan dalam bentuk piawai. Bundarkan jawapan anda kepada 2 tempat perpuluhan.

 67 X 1289  8942 ÷ 0.127

7.6 Punca kuasa dua dan surd

Punca kuasa dua bagi nombor tertentu ialah suatu nombor, apabila didarab dengan dirinya sendiri akan menghasilkan nombor yang diberikan itu. Punca kuasa dua adalah operasi songsangan bagi kuasa dua. Sebagai contoh, punca kuasa dua bagi 9 ialah 3, kerana 3 darab dengan diri sendiri akan mendapat 9.

Simbol di bawah menunjukkan simbol punca kuasa dua.

Ini adalah simbol khas yang bermakna punca kuasa dua. Ia nampak seperti tanda betul ( tick).

Ia dipanggil sebagai radical, dan digunakan dalam matematik.

Sebagai contoh, anda boleh menulis dalam bentuk ini: . Ia dibaca sebagai “punca kuasa dua bagi 9 sama dengan 3”.

Punca kuasa dua bagi nombor yang lain

Adalah mudah mencari punca kuasa dua bagi kuasa dua sempurna ( contoh: 4, 9, 25, 36 ...), tetapi agak sukar untuk mencari punca kuasa dua bagi nombor yang bukan kuasa dua sempurna. Sebagai contoh, apakah nilai punca kuasa dua bagi 10?

Penyelesaian

Apa yang kita perlu buat adalah dengan mencari nombor tertentu dan darabkan diri sendiri untuk mendapat 10. Oleh kerana 3 × 3 = 9 dan 4 × 4 = 16, kita boleh

Sebagai contoh,

 Cuba 3.5: 3.5 × 3.5 = 12.25  Cuba 3.2: 3.2 × 3.2 = 10.24  Cuba 3.1: 3.1 × 3.1 = 9.61

Dari atas, kita dapat meneka bahawa jawapan berada dalam lingkungan 3.1 dan 3.2 . Anggaran yang munasabah adalah lebih kurang 3.15 .

Kalau disemak dengan kalkulator, kita akan mendapat jawapan seperti berikut:

3.1622776601683793319988935444327

Tetapi, dalam kes ini,digit-digit itu akan bersambung panjang tanpa pola. Maka , jawapan daripada kalkulator pun merupakan anggaran sahaja! Untuk permudahkan jawapan, ia boleh dibundarkan kepada nilai tempat tertentu, misalan 3 tempat perpuluhan atau lebih. Berdasarkan nombor di atas, apakah nilai bagi √10 dalam bentuk piawai jika dibundarkan kepada 3 tempat perpuluhan? Betul! Ia bernilai 3.162 .

Jawapan untuk punca kuasa dua bagi nombor bukan kuasa dua sempurna sentiasa dibundarkan kepada 2 atau lebih tempat perpuluhan.

Bolehkah anda membundarkan punca kuasa dua bagi 10 kepada 2 titik perpuluhan atau 1 titik perpuluhan?

Apakah nilai jika ia dibundarkan kepada nombor bulat yang terhampir? Jawapannya ialah 3 tetapi ia sebenarnya nilai punca kuasa dua bagi 9 bukan 10! Jadi, kita akan mendapat anggaran yang agak rendah maka ia tidak tepat. Dengan demikian, membundar nombor kepada nombor bulat yang hampir akan menghasilkan jawapan yang agak rendah.

Surd adalah nombor yang tidak dapat dipermudahkan tanpa tanda punca kuasa dua atau punca kuasa tiga atau punca kuasa nombor yang lain. Dalam perkataan lain, terdapat nombor yang ditulis dalam bentuk punca kuasa dua atau punca kuasa nombor yang. Kita menulis nombor dalam bentuk surd kerana nombor berkenaan boleh ditulis sampai tidak terhingga apabila ditulis dalam bentuk perpuluhan,

seperti punca kuasa dua bagi 10 yang dibincang di atas. Jadi nombor tersebut menjadi tidak cermat ditulis. Kita juga boleh menganggar nilai bagi surd..

Sebagai contoh, √2 ( dibaca sebagai punca kuasa dua bagi 2) tidak dapat dipermudahkan lagi jadi ia adalah surd tetapi √4 (punca kuasa dua bagi 4) boleh dipermudahkan menjadi 2, maka ia bukan surd. Carta di bawah memberi gambaran yang lebih jelas mengenai surd:

Nombor Dipermudahkan Sebagai titik perpuluhan Surd atau _bukan?

√2 √2 1.4142135(etc) Surd √3 √3 1.7320508(etc) Surd √4 2 2 Bukan surd √(1/4) 1/2 0.5 Bukan surd 3_√(11) 3_{√(11) 2.2239800(etc) Surd} 3_{√(27) 3 3 Bukan surd} 5_√(3) 5_{√(3) 1.2457309(etc) Surd}

Apa yang dilihat di atas, surd mempunyai nombor perpuluhan yang tidak terhingga dan digitnya tidak berulang dengan demikian surd merupakan Nombor Bukan Nisbah.

Perkara yang menarik:

Adakah anda tahu asal usul perkataan "Surd" ?

Lebih kurang 820 T.M., ahli matematik Persian, al-Khwarizmi, di mana kita memperoleh nama “Algorithm", menamakan nombor bukan nisbah, (Irrational), “inaudible". Kemudian ia diperjemahkan ke bahasa Latin surdus ("pekak" atau "bisu"). Jadi, "Surd" juga dikenal sebagai "Irrational" yang bermakna tidak waras, tetapi sekarang ia digunakan untuk punca kuasa nombor bukan nisbah.

Sekarang, cuba lihat contoh berikut:

Contoh:

Anggarkan nilai bagi √29.

Penyelesaian

Oleh kerana √29 terletak di antara √25 = 5 dan √36 = 6 maka nilai bagi √29 adalah antara 5 dan 6.

Cuba soalan berikut:

Anggarkan surd yang diberi di bawah. Semak jawapan anda dengan

menggunakan kalkulator dan membundarkan jawapan anda kepada 2 tempat perpuluhan.

 √37  √230  √0.0078  √0.01 569

Perkara yang perlu dibuat:

1. Rujuk pada Bahan Resos dan baca nota mengenai “Place value, Ordering and Rounding” dalam Tipler, M. J. et al. (2003). New national framework mathematics. ( pp. 26 – 33 and 67–72.)

 Lengkapkan tugasan pada ms. 29 dan ms. 67  Buat latihan daripada Exercise 6 pada ms. 69 – 72.

2. Cari lagi latihan berkaitan dengan penganggaran kuantiti dari bahan resos yang lain seperti internet atau buku. Buatlah latihan yang diperoleh.

Tahniah! Anda telah sampai ke penghujung modul ini. Selamat belajar dan semoga anda berjaya !

Rujukan

Tipler, M. J. et al. (2003). New national framework mathematics. United Kingdom: Nelson Thornes Limited.

Laman web:

1. Pembundaran nombor::

http://www.enchantedlearning.com/math/rounding/ 2. Anggaran dan pembundaran nombor perpuluhan:

http://www.math.com/school/subject1/lessons/S1U1L3GL.html#

GCSE Maths/www.mathsrevision.net/gcse/pages324e.html?page=43 ?

3. Punca kuasa dua dan surd:

Topik 2 Teori Asas Nombor

2.0 Sinopsis

Topik ini merangkumi jenis-jenis sistem nombor dan memfokus kepada takrif sistem nombor, mengklasifikasi set nombor Nyata dan perwakilan nombor. Sistem nombor dalam topik ini merujuk kepada Nombor Nyata termasuk set nombor asli, Nombor Bulat, Integer, Nombor Nisbah dan Nombor bukan Nisbah.

2.1 Hasil Pembelajaran

1. Menjana satu set nombor kepada set nombor yang lain.

2. Mencirikan nombor Asli, nombor nisbah , nombor bukan nisbah dan nombor nyata.

2.2 Kerangka Konsep

2.3 Sistem Nombor

Teori Nombor ialah salah satu cabang tertua dalam matematik tulin dan memfokus kepada kajian tentang nombor asli. Aritmetik diajar di sekolah kepada kanak-kanak dan dimulakan dengan mempelajari nombor dan operasi nombor. Set nombor pertama diperkenalkan kepada kanak-kanak ialah set nombor yang boleh bilang atau nombor asli.

Di dalam matematik, sistem nombor ialah suatu set nombor. Kanak-kanak mula mempelajari nombor asli : 1,2,3, ... dengan empat operasi asas iaitu operasi

penambahan,penolakan,pendaraban dan pembahagian. Kemudian, nombor bulat 0,1,2, .... diperkenalkan, diikuti oleh integer termasuk nombor negatif. Langkah seterusnya

termasuklah nombor nisbah dan nombor bukan nisbah. Secara ringkasnya sistem nombor merangkumi topik nombor asli, nombor bulat,integer,nombor nisbah dan nombor bukan nisbah dan nombor nyata.

Nombor Nyata Nombor Asli Nombor Bulat Nombor bukan nisbah Nombor Nisbah Integer

Dengan mempelajari sistem nombor, ia boleh membantu anda untuk memahami dengan lebih baik teori asas nombor di dalam topik seterusnya.

2.3.1 Takrif

Untuk menjadi guru matematik yang baik, kita perlu menguasai pengetahuan yang mendalam tentang sistem nombor yang berbeza. Adalah suatu kemestian untuk tahu mentakrifkan set nombor yang berlainan.

 Nombor Nyata

Apakah dia nombor nyata?

Suatu nombor nyata merujuk kepada sebarang nombor yang terletak pada garisan nombor .Nombor nyata mengandungi semua nombor nisbah ( iaitu nombor perpuluhan berulang yang infiniti, nombor positif, negatif dan sifar) bersama dengan satu set nombor dipanggil nombor bukan nisbah. Dalam lain perkataaan, set nombor nyata ialah set semua nombor yang diwakilkan oleh nombor perpuluhan infiniti.

Di sekolah, nombor boleh bilang diajar terlebih dahulu, diikuti oleh nombor bulat,pecahan dan integer. Hubungan antara set nombor ini ditunjukkan di bawah.

Setiap anak panah mewakili “ialah subset bagi”, sebagai contoh, set nombor boleh bilang ialah subset bagi suatu set nombor bulat, dan seterusnya. Kedua dua nombor pecahan dan integer menjana sistem nombor bulat.

Nombor boleh bilang (Nombor Asli) Nombor Bulat Pecahan Integer

Gambarajah di atas boleh dijanakan untuk merangkumi set nombor nisbah seperti di bawah:

Mari kita ulangkaji takrif untuk set nombor yang berlainan seperti rumusan yang ditunjukkan dalam jadual di bawah. Takrif ditulis menggunakan set notasi. Penggunaan simbol { } ,dipanggil “kurungan” menandakan set tertutup dan terbuka bagi pungutan atau kumpulan nombor-nombor. Tiga titik selepas nombor 3 menandakan pola adalah berterusan.

Takrif bagi set nombor-nombor

Nama Set Nota dan contoh

Nombor

Asli {1, 2, 3, . . .} mewakili semua nombor boleh bilang bermula dengan 1 Nombor

bulat {0, 1, 2 , 3, . . .} Bermula dengan sifar termasuk semua nombor asli. Integer {0, ±1, ±2, ±3,. . .} termasuk nombor bulat negatif, 0 dan positif.

Nombor nisbah

{ | p dan q adalah integer, q ≠ 0 }

Dibaca sebagai p per q, di mana p dan q adalah integer,q ≠ 0 . Nombor nisbah boleh ditulis dalam bentuk perpuluhan, iaitu sama ada perpuluhan terhad atau berulang. Contoh:

67 . 0 3 2 5 . 0 2 1_{ } dan

di mana palang di atas 67 bermaksud nombor 6 dan 7 ditulis berulang iaitu 0.67676767676... Nombor bukan nisbah {x | x ialah nombor perpuluhan tak berulang dan tak terhad. } Contoh: pi (∏) ≈ 3.14159. . , ; e ≈ 2.71828… ; √2 , etc. Nombor nyata {x | x boleh ditulis sebagai nombor perpuluhan.}

Dibaca sebagai semua nombor x, sedemikian hingga x boleh ditulis sebagai perpuluhan.

Nombor boleh bilang Nombor Bulat Pecahan Integer Nombor Nisbah p q

2.3.2 Klasifikasi set nombor nyata.

Di dalam matematik, jenis nombor yang berlainan dikumpulkan bersama dan diberi nama khusus. Adalah mustahak untuk memahami organisasi set nombor ini.

Nombor nyata boleh diklasifikasikan di bawah set nombor yang berlainan. Perhatikan senarai nombor yang ada dalam jadual di atas.

Apakah yang dapat anda perhatikan?

Bila kita melihat senarai ke bawah, suatu set baru akan mengandungi semua set nombor di atasnya. Sebagai contoh,Nombor bulat mengandungi nombor asli di dalamnya. Hakikatnya, suatu set nombor bulat mengandungi semua nombor asli bersama satu nombor baharu iaitu sifar. Jika kita terus lihat senarai ke bawah, nombor menjadi lebih “rumit”. Pecahan diperkenalkan sebagai sebahagian daripada satu yang menyeluruh. Pada masa yang sama, bila kita belajar mengenai hutang dan nombor negatif, kita mula menggunakan integer.

Daripada penerangan di atas, tentang set yang berlainan yang terdapat dalan sistem nombor nyata, kita boleh lihat bagaimana suatu set nombor mempunyai hubungan antara satu sama lain dan diklasifikasikan secara progresif. Sekarang bolehkah anda menerangkan hubungan antara set?

Hubungan antara set nombor ditunjukkkan dalam gambarajah venn di bawah.

Uji kefahaman anda!

1. Tentukan sama ada pernyataan berikut betul atau salah. Beri sebab bagi jawapan anda. i. Setiap integer ialah nombor nisbah..

ii. Setiap nombor nisbah adalah juga nombor bukan nisbah. iii. Setiap nombor asli ialah suatu integer.

iv. Setiap integer ialh nombor asli.

2. Pertimbangkan set nombor berikut:

{ - √81, - 0.315, 1, 3 , ⅞, 23, 6∏, 27, √3, 89.4, 100 000 }

Klasifikasikan dan senaraikan nombor berikut di atas mengikut set yang betul. i Nombor asli ii Nombor Bulat Nombor Nisbah Nombor Nisbah Nombor Bulat Integer Nombor Asli Nombor bukan Nisbah 1,2,3.... 0 4 3 -1 -2 -3 11.23 245 . 3 2 3.1427....

iii integer

iv Nombor nisbah v Nombor bukan nisbah vi Nombor Nyata.

2.3.3 Perwakilan Nombor

Selain menggunakan set notasi untuk mewakili pelbagai jenis nombor nyata, kita juga boleh menggunakan abjad atau huruf untuk mewakilkan set nombor nyata.

Ini ditunjukkan dalam jadual di bawah.

Nama bagi set nombor Simbol yang mewakili set

Nombor asli N

Nombor Bulat W

Integer Z

Nombor Nisbah Q

Nombor Bukan Nisbah Q'

Nombor Nyata R

Nombor nyata juga boleh diwakilkan menggunakan garisan nombor. Menulis nombor pada garisan nombor memudahkan kita untuk mengenalpasti nombor yang kecil dan yang besar. Susunan nombor nyata adalah secara tertib pada garisan nombor. Titik disusun secara tertib supaya nombor yang besar terletak di sebelah kanan sifar dan nombor kecil berada di sebelah kiri, seperti yang ditunjukkan di bawah.

Garisan Nombor

Nombor di sebelah kanan lebih besar daripada nombor di sebelah kiri.  8 lebih besar daripada 5

 1 lebih besar daripada -1

 Tetapi perhatikan bahawa -8 lebih kecil daripada -5

Garisan nombor di atas menunjukkan

 Setiap nombor nyata berpadanan dengan jarak pada garisan nombor, yang bermula dengan sifar di titik tengah.

 Nombor negatif mewakili jarak ke kiri daripada sifar, dan nombor positif ialah jarak ke kanan.

 Anak panah di hujung menandakan garisan adalah berterusan di kedu dua arah.

Contoh : garisan nombor berikut menunjukkan set bagi Nombor asli.

Cuba wakilkan set nombor lain yang dibincangkan di atas menggunakan garisan nombor.

Kesimpulannya, Nombor Nyata terdiri daripada perkara berikut:  Nombor Nisbah + Nombor bukan Nisbah

 Semua titik terletak pada garisan nombor.

 Semua jarak yang mungkin terletak pada garisan nombor.

Perbincangan di atas bertujuan membantu anda untuk mengenali dan mencirikan set nombor berlainan yang terdapat dalam sistem nombor nyata. Di harap anda telah mendapat kefahaman yang mendalam tentang sistem nombor dan bersedia untuk topik seterusnya. SELAMAT BELAJAR!

Perkara yang perlu dibuat:

1. Rujuk pada “ Resource Materials” dan baca nota tentang ‘Numbers and Numeration’.

2. Cari sesawang yang bertajuk ‘Classification of number systems’. Cetak maklumat dari seswang tersebut dan simpan dalam portfolio anda.

Rujukan

Sesawang yang relevan:

1. Number theory:

http://www.math.niu.edu/~rusin/known-math/index/11-XX.html

2. Number Systems:

http://www.jamesbrennan.org/algebra/numbers/real_number_system.htm

3. The Real Number System:

http://www.jamesbrennan.org/algebra/numbers/real_number_system.htm

4. Whole Numbers and Integers

26

Topik 3 Nombor Asli

3.0 Sinopsis

Topik ini mengenai Nombor Asli yang merangkumi Nombor Perdana,Nombor Modular,Teorem Asas Arithmetik dan rekreasi nombor. Dalam Nombor Perdana peraturan kebolehbahagi dan pemfaktoran perdana dengan menggunakan pokok faktor dititikberatkan. Cara yang lain untuk mencari gandaan sepunya terkecil dan faktor sepunya terbesar khasnya untuk nombor besar dicari dengan menggunakan Algoritma Euclidean. Manakala, Nombor Modular melibatkan operasi asas dan aplikasinya dalam kehidupan juga dibincangkan. Perkaitan antara Nombor Fibonacci dengan Nisbah Keemasan (Golden Ratio) dan alam semula jadi akan dibincangkan dan diaplikasikan dalam rekreasi nombor dan penyelesaiaan masalah.

3.1 Hasil Pembelajaran

1. Menggunakan peraturan kebolehbahagi untuk menentu faktor bagi sesuatu nombor.

2. Mencari hasil darab faktor perdana bagi sesuatu nombor dengan menggunakan pokok faktor.

3. Mengguna algoritma Euclidean untuk mencari gandaan sepunya terkecil dan faktor sepunya terbesar.

4. Menggunakan Nombor Modular untuk menyelesaikan masalah harian.

5. Mengaplikasi nombor Fibonacci, nisbah Keemasan dan petak abjad dalam rekreasi nombor dan penyelesaian masalah.

3.2 Kerangka Konsep

3.3 Nombor Perdana 3.3.1 Bahagi

Katakan a dan b adalah sebarang nombor bulat dengan keadaan a ≠ 0. Kita kata a bahagi

b, dan ditulis sebagai a │b jika dan hanya jika terdapat satu nombor bulat x dengan

keadaan ax = b. Simbol a │b bermakna a tidak bahagi b.

Dalam perkataan lain, a bahagi b jika dan hanya jika a adalah faktor bagi b. Apabila a bahagi b, kita juga katakan a adalah pembahagi (divisor) bagi b, b adalah gandaan (multiper) bagi a, dan b boleh dibahagi oleh a.

Contoh:

Faktor bagi 12 adalah 1, 2, 3, 4, dan 12 kerana 1 x 12 = 12, 2 x 6 = 12, 3 x 4 = 12. Pembahagi 12 = 1, 2, 3, 4, 12 ( sama dengan faktor)

28

Tentukan sama ada yang berikut benar atau palsu. Jelaskan. (i) 3 │12 (ii) 8 adalah pembahagi bagi 96 (iii) 216 adalah gandaan bagi 6 (iv) 7 bahagi 34

Penyeleasaian

(i) Benar. 3 │12 kerana 3.4.= 12

(ii) Benar. 8 adalah pembahagi bagi 96 kerana 8. 12 = 96 (iii) Benar. 216 adalah gandaan bagi 6 kerana 6. 36 = 216

(iv) Palsu. 7 │34 kerana tiada nombor bulat x dengan keadaan 7 x = 34

3.3.2 Kebolehbahagi

Pernahkah anda lihat atau fikir bagaimana seseorang dapat menentukan sesuatu nombor itu boleh dibahagi dengan nombor tertentu secara cepat dan pantas? Pasti anda berasa ghairah, bukan?

Mari kita lihat ujian kebolehbahagi bagi nombor yang besar sertai contohnya.

Ujian Kebolehbahagi Contoh

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 2 jika

digit akhirnya ialah 0, 2, 4, 6 or 8. 168 boleh dibahagi oleh 2 kerana digit akhirnya ialah 8. Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 3 jika

jumlah semua digit boleh dibahagi oleh 3. 168 boleh dibahagi oleh 3 kerana jumlah digitnya ialah 15 (1+6+8=15), dan 15 boleh dibahagi oleh 3

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 4 jika

dua digit akhir nombor itu dibahagi 4. 316 boleh dibahagi oleh 4 kerana 16 boleh dibahagi oleh 4. Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 5 jika

digit akhir ialah 0 atau 5. 195 boleh dibahagi oleh 5 kerana digit akhirnya ialah 5. Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 6 jika

nombor itu boleh dibahagi oleh 2 DAN 3. 168 boleh dibahagi oleh 6 kerana nombor 168 boleh dibahagi oleh 2 DAN 3. Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 8 jika

tiga digit akhir boleh dibahagi oleh 8.

7,120 boleh dibahagi oleh 8 kerana 120 boleh dibahagi oleh 8.

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 9 jika jumlah semua digit boleh dibahagi oleh 9.

549 boleh dibahagi oleh 9 kerana jumlah semua digit ialah 18 (5+4+9=18), dan 18 boleh dibahagi oleh 9.

Sesuatu nombor boleh dibahagi oleh 10 jika

digit akhirnya ialah 0. 1,470 boleh dibahagi oleh 10 kerana digit akhirnya ialah 0.

Adakah anda sudah faham begitu mudah untuk menguji kebolehbahagi sesuatu nombor dengan mengingati beberapa peraturan di atas?

Nyatakan nombor-nombor yang boleh membahagi nombor berikut:

1. 450 2. 102, 3. 168, 4. 535, 5. 144, 6. 256 3.3.3 Algoritma Euclidean

Dalam sekolah menengah anda telah didedahkan cara mencari gandaan sepunya terkecil (GSTK) dan faktor sepunya terbesar(FSTB) (sila rujuk buku teks Matematik Tingkatan 1) .Terdapat satu cara lain untuk mencari GSTK dan FSTB khasnya untuk nombor yang besar. FSTB boleh dicari dengan mengaplikasi algoritma bahagi secara berulang.Cara ini dipanggil Algoritma Euclidean. FSTB bagi dua integer boleh dicari dengan membahagi pembahagi dengan baki secara berulang sehingga mendapat baki 0. FSTB adalah baki terakhir yang bukan sifar dalam algoritma ini. Contoh berikut menunjukkan algoritma Euclidean:

Contoh:

Cari FSTB bagi 81 dan 57 dengan menggunakan cara Algoritma Euclidean:

(Algoritma ini menggunakan nombor yang lebih kecil membahagi nombor yang lebih besar secara berulang dan cari bakinya)

FSTB(81,57), 81 = 1(57) + 24

57 = 2(24) + 9 24 = 2(9) + 6 9 = 1(6) + 3

30

(Mendapat baki 0 menunjukkan langkah akhir dalam algoritma Euclidean)

Jadi FSTB(81,57) = 3 iaitu baki terakhir yang bukan sifar. 3 adalah faktor bagi 6.

Keputusan di atas diperoleh berdasarkan algoritma Euclidean asas yang dinyatakan di bawah:

Berdasarkan contoh di atas, FSTB (81,57) = FSTB(57,24) =FSTB(24,9)= FSTB(9,6) = FSTB(6,3).

Seterusnya, gandaan sepunya terkecil boleh dicari dengan menggunakan rumus berikut:

Maka,, GSTK (81,57) = 3 57 . 81 = 1539

Cari FSTB bagi pasangan nombor berikut dengan menggunakan algoritma Euclidean dan seterusnya mencari GSTK bagi pasangan nombor tersebut. (a) FSTB(239, 51) ;

(b) FSTB(1403,549) ; (c) FSTB(2160,999) ; (d) FSTB (819,322)

Jika a dan b adalah integer, di mana a ≠ 0, dan

b = a q + r, di mana q dan r adalah integer,

maka FSTB(a,b) =FSTB(a,r)

GSTK (a,b) = ) , ( . b a FSTB b a

Perkara yang perlu dibuat:

Rujuk bahan resos dan baca

1. S.Groves (2006). Exploring Number and Space. Deakin University. Divisibility: m.s 201-205

2. S Groves (2006).Topic 2 – The natural numbers- Additional notes. Prime Factorization: The Euclidean Logarithm

3. Buat Tutorial 3.

4. Cari sumber yang lain untuk membuat latihan yang berkaitan.

3.4 Teorem Asas Aritmetik

Sebelum kita faham teorem di atas kita perlu faham beberapa definisi penting yang akan dibincangkan di bawah

 Definisi Nombor Perdana

Nombor perdana adalah integer positif p, dimana p > 1 (p lebih besar daripada 1) jika ia hanya boleh dibahagi oleh nombor positif 1 dan p (dirinya sendiri).

Dalam perkataan yang lain, nombor perdana adalah nombor yang mempunyai hanya dua faktor sahaja.

Maksud boleh dibahagi ialah, apabila dibahagi akan menghasilkan integer (rujuk atas) .  Definisi Nombor Komposit (Composite Number)

Nombor komposit adalah integer q, dimana q > 1 dan boleh dibahagi dengan nombor selain 1 dan dirinya sendiri.Biasanya nombor komposit boleh ditulis sebagai hasil darab nombor perdana. Sebagai contoh : 30 = 2×3×5

Dalam 10 integer positif pertama, 2,3,5,7 adalah nombor perdana dan 4,6,8,9,10 adalah nombor komposit (composite number). Integer 2 adalah satu-satunya nombor perdana yang genap (even). Cuba fikir kenapa 1 bukan nombor perdana?

32

3.4.1 Teorem Asas Aritmetik (TAR) memberitahui kita hubungan antara nombor komposit dengan nombor perdana. Teorem ini menyatakan bahawa

Apa maksud kenyataan di atas? Mari kita melihat contoh berikut: 60 = 2 × 2 × 3 × 5 atau = 3 x 5 x 2 x 2

TAR memberitahui kita bahawa tiada cara untuk memfaktorkan 60 dalam nombor perdana yang lain selain daripada yang ditulis di atas. Pemfaktoran ini adalah unik. Susunan faktor adalah tidak penting. ( Adalah benar kita boleh faktor 60 menjadi 4 x 15 tetapi 4 dan 15 bukan nombor perdana).

Seterusnya, mari kita lihat cara yang mudah untuk menulis sebarang nombor komposit dalam bentuk hasil darab nombor perdana.

3.4.2 Pokok Faktor

Bahagian ini menerangkan cara menulis nombor komposit dalam bentuk hasil darab nombor perdana dengan menggnakan pokok faktor.

40 630

2 20 2 315 2 10 3 105

2 5 3 35

5 7 Gambarajah di atas menunjukkan pokok faktor bagi 40 dan 630. Pokok faktor ini dibina dengan mencari satu faktor dahulu dengan menggunakan peraturan kebolehbahagi yang telah anda belajar dalam bahagian 3.3.2. Setiap faktor itu mungkin nombor perdana atau komposit. Jika nombor itu komposit teruskan pemfaktoran sehingga ia tidak dapat difaktorkan.

Jadi, 60 = 2 x 2 x 2 x 5 ( atau 23 _{x 5)}

Nombor asli boleh difaktorkan secara unik sebagai hasil darab nombor perdana dalam cara yang unik.