MODEL PROGRAM STOKASTIK DENGAN KEPUTUSAN KETIDAKPASTIAN YANG TAK BEBAS

KEPUTUSAN KETIDAKPASTIAN

YANG TAK BEBAS

TESIS

Oleh

FAJRIANA 067021002/MT

SEKOLAH PASCASARJANA

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2008

MODEL PROGRAM STOKASTIK DENGAN

KEPUTUSAN KETIDAKPASTIAN

YANG TAK BEBAS

TESIS

Untuk Memperoleh Gelar Magister Sains dalam

Program Studi Magister Matematika pada Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara

Oleh

FAJRIANA 067021002/MT

SEKOLAH PASCASARJANA

UNIVERSITAS SUMATERA UTARA

MEDAN

2008

KEPUTUSAN KETIDAKPASTIAN YANG TAK BEBAS

Nama Mahasiswa : Fajriana

Nomor Pokok : 067021002

Program Studi : Matematika

Menyetujui, Komisi Pembimbing

(Dr. Sutarman, M.Sc) (Prof. Dr. Herman Mawengkang)

Ketua Anggota

Ketua Program Studi, Direktur,

(Prof. Dr. Herman Mawengkang) (Prof. Dr. Ir. T.Chairun Nisa. B,M.Sc)

Telah diuji pada Tanggal 16 Juli 2008

PANITIA PENGUJI TESIS

Ketua : Dr. Sutarman, M.Sc

Anggota : 1. Prof. Dr. Herman Mawengkang

2. Dr. Tulus, M.Si

Perogram Stokastik berhubungan dengan suatu problem pengambilan keputusan yang optimal dalam keadaan ketidakpastian. Standar pendekatan untuk mem-formulasikan program stokastik didasarkan pada asumsi proses stokastik tidak bergantung pada keputusan-keputusan optimisasi. Penelitian ini menjelaskan suatu kelas problem keputusan optimisasi mempengaruhi waktu penemuan in-formasi untuk subset dari parameter-parameter ketidakpastian. Penelitian ini memperluas pendekatan standar pemodelan dengan mempresentasikan formulasi pemograman disjunctive yang mengakomodasikan program-program stokastik un-tuk problem pada kelas ini. Suatu sifat set secara teori unun-tuk reduksi ukuran dari model yang teridentifikasi.

ABSTRACT

Stochastic programming deals with the problem of making optimal decisions in the presence of uncertainty. The standard approach to formulating stochastic pro-grams is based on the assumption that the stochastic process is independent of the optimization decisions. We address a class of roblems where the optimization decisions influence the time of information discovery for a ubset of the uncertain parameters. We extend the standard modeling approach by presenting disjunctive programming formulation that accommodates stochastic programs for this class of problems. A set of theoretical properties that lead to reduction in the size of the model is identified.

Keywords : Stochastic programming, uncertainty, optimization.

Pertama penulis panjatkan syukur kehadirat Allah yang Maha Pengasih Lagi Penyayang atas segala Rahmat dan karunia-Nya yang telah diberikan kepada penulis, sehingga penulis dapat menyelesaikan tesis ini tepat pada waktunya. Tesis ini berjudul ”Model Program Stokastik Dengan Keputusan Ketidakpastian Yang Tak Bebas”. Tesis ini merupakan persyaratan tugas akhir pada Program Studi Matematika SPs Universitas Sumatera Utara. Pada kesempatan yang baik ini, penulis menyampaikan ucapan terimakasih dan penghargaan yang sebesar-besarnya kepada:

Prof. dr. Chairuddin P. Lubis, DTM&H, Sp.Ak selaku Rektor Universitas

Sumatera Utara

Prof. Dr. Ir. T. Chairun Nisa B, M.Sc selaku Direktur Sekolah Pascasarjana

yang telah memberikan kesempatan kepada penulis untuk mengikuti Program Studi Magister Matematika di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara Medan.

Prof. Dr. Herman Mawengkang selaku ketua Program Studi Magister

Ma-tematika SPs Universitas Sumatera Utara, dan juga sebagai anggota komisi pem-bimbing yang telah banyak membantu dalam penulisan tesis ini.

Dr. Saib Suwilo, M.Sc selaku sekretaris Program Studi Magister Matematika

SPs Universitas Sumatera Utara.

Dr. Sutarman, M.Sc selaku ketua komisi pembimbing yang telah banyak

Seluruh Staf Pengajar pada Program Studi Magister Matematika SPs Uni-versitas Sumatera Utara, yang telah memberikan ilmunya selama masa perkulia-han; Misiani, S.Si selaku staf Administrasi program studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara yang telah memberikan pelayanan yang baik kepada penulis.

Seluruh rekan-rekan mahasiswa angkatan ke-lima tahun 2006/2007 Program Studi Magister Matematika SPs Universitas Sumatera Utara atas kerjasama dan kebersamaan dalam mengatasi berbagai masalah yang dihadapi selama perkulia-han, sehingga tugas-tugas bersama dapat diselesaikan dengan baik.

Secara khusus penulis menyampaikan rasa terima kasih kepada suami ter-cinta Ibrahim Chalid, anak tersayang Rifa Maghfirah Chalid, dan bunda yang telah melahirkan Ati Roswar, serta seluruh keluarga berkat dorongan dan perhatiannya yang disertai dengan doanya, penulis dapat menyelesaikan pen-didikan ini.

Semoga tesis ini dapat bermanfaat bagi pembaca, dan pihak-pihak lain yang memerlukannya. Tentunya sebagai manusia tidak pernah luput dari kekurangan sehingga tulisan ini jauh dari sempurna.

Medan, Juli 2008 Penulis,

Fajriana

Penulis dilahirkan di Lhokseumawe pada tanggal 20 Juli 1976 dari seorang ayah bernama M. Yusuf Tom (Alm) dan Ibu bernama Hj. Ati Roswar, A.Ma. Penulis merupakan putri tunggal.

Jenjang pendidikan dasar mulai dari SD ditamatkan di daerah kelahiran penulis, yaitu di SD Muhammadiyah Lhokseumawe pada tahun 1989 dan lulus MTs Bustanul Ulum Langsa Aceh Timur pada tahun 1993. Pada tahun 1995 penulis lulus dari SMA Muhammadiyah Lhokseumawe Nanggro Aceh Darussalam (NAD) dan pada tahun yang sama juga lulus seleksi UMPTN masuk Univer-sitas Syiah Kuala Banda Aceh. Penulis memilih Program Studi Matematika pada Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam (FMIPA) UNSYIAH dan menamatkannya pada tahun 2001. Pada tahun 2006 penulis diterima di Sekolah Pascasarjana Universitas Sumatera Utara (USU) pada Program Studi Matema-tika FMIPA dengan beasiswa PEMDA NAD melalui Universitas Malikussaleh.

Saat ini penulis bekerja sebagai tenaga pengajar pada Fakultas Teknik Uni-versitas Malikussaleh Lhokseumawe Nanggro Aceh Darussalam (NAD)

DAFTAR ISI

Halaman

ABSTRAK . . . i

ABSTRACT . . . ii

KATA PENGANTAR . . . iii

RIWAYAT HIDUP . . . v

DAFTAR ISI . . . vi

DAFTAR GAMBAR . . . viii

BAB 1 PENDAHULUAN . . . 1 1.1 Latar Belakang . . . 1 1.2 Perumusan Masalah . . . 2 1.3 Tujuan Penelitian . . . 2 1.4 Kontribusi Penelitian . . . 2 1.5 Metode Penelitian . . . 3

BAB 2 TINJAUAN PUSTAKA . . . 4

BAB 3 LANDASAN TEORI . . . 9

3.1 Standar Program Stokastik . . . 13

3.2 Tipe-Tipe Ketidakpastian . . . 14

3.2.1 Ketidakpastian Exogenous . . . 15

3.2.2 Ketidakpastian Endogenous . . . 16

BAB 4 MODEL PROGRAM STOKASTIK DENGAN KEPUTUSAN KETI-DAKPASTIAN YANG TAK BEBAS . . . 20

4.1 Uraian Masalah . . . 20 vi

4.2.1 Pengembangan Kapasitas pada Proses Jaringan . . . 22

4.2.2 Problem Ukuran-ukuran . . . 23

4.3 Notasi dan Definisi . . . 25

4.4 Model . . . 27

BAB 5 KESIMPULAN . . . 32

DAFTAR GAMBAR

Nomor Judul Halaman

3.1 Pohon Skenario dengan parameter-parameter tidak pasti ξ1, ξ2 11

3.2 Penyajian alternatif untuk pohon skenario pada gambar 3.1; variabel-variabel xs

t . . . 13

3.3 Keputusan bergantung pohon-pohon skenario untuk problem ladang gas . . . 18 4.1 Penyajian menurut bagan problem proses jaringan . . . 21

PENDAHULUAN

1.1 Latar Belakang

Program stokastik berhubungan dengan problem pengambilan keputusan yang optimal dalam keadaan ketidakpastian. Ketidakpastian yang disajikan oleh distribusi probabilitas. Interaksi antara stokastik dan proses pengambilan kepu-tusan dimodelkan sedemikian sehingga pengambil kepukepu-tusan mempunyai pilihan yang sesuai berdasarkan bagaimana ketidakpastian itu berkembang. Dari per-spektif pemodelan, terdapat banyak kajian dalam literatur program stokastik yang berkaitan dengan problem ketidakpastian exogenous (Jonsbraten (1998)). Yaitu keputusan optimal yang tidak dapat mempengaruhi proses stokastik.

Pflug (1990) yang pertama mengajukan kasus tentang ketidakpastian

en-dogenous, yaitu proses stokastik tergantung pada keputusan yang optimal.

Peneli-tian sebelumnya pada kelas ketidakpasPeneli-tian ini terbatas pada beberapa makalah saja. Penelitian ini berkaitan dengan ketidakpastian endogenous. Jadi hanya mengkaji ulang penelitian sebelumnya dalam literatur program stokastik untuk ketidakpastian jenis ini. Literatur review terhadap problem ketidak-pastian

ex-ogenous dapat ditemukan di dalam Sahinidis (2004), Schultz (2003) dan Birge

(1997).

Secara umum, rancangan keputusan dapat mempengaruhi proses stokastik dalam dua cara. Pada satu sisi, pengambil keputusan dapat menyebabkan pe-rubahan distribusi probabilitas dengan membuat satu keputusan kemungkinan.

2

Pada sisi lain, pengambil keputusan tidak dapat secara langsung mempengaruhi distribusi probabilitas, tetapi dapat untuk mendapatkan informasi yang lebih aku-rat dengan menyelesaikan ketidakpastian (secara parsial). Perbedaannya adalah bahwa ketika kasus pertama pengambil keputusan dapat memaksa satu keputu-san yang mungkin untuk menjadi yang lebih mungkin, kasus kedua pengambil keputusan hanya dapat menjadi lebih yakin mana keputusan yang dapat terjadi pada masa depan.

1.2 Perumusan Masalah

Model program stokastik yang diperhatikan dalam penelitian ini memiliki karakteristik tertentu. Karakteristik ini memiliki adanya ketergantungan antara peubah. Sehingga metode penyelesaian yang harus digunakan untuk program stokastik ini tidak dapat mengunakan program stokastik yang umum. Disini akan dikembangkan model program stokastik dan metode penyelesaiannya.

1.3 Tujuan Penelitian

Adapun tujuan dalam penelitian ini adalah untuk memperoleh suatu model keputusan dengan parameter tidak pasti dan teknik penyelesaiannya.

1.4 Kontribusi Penelitian

Kontribusi penelitian ini adalah mengembangkan suatu model program stokastik untuk dapat menyelesaikan problem keputusan tidak pasti.

1.5 Metode Penelitian

Penelitian ini bersifat literature dan dilakukan dengan mengumpulkan infor-masi dari jurnal- jurnal. Adapun langkah-langkah yang dilakukan adalah sebagai berikut:

1. Menguraikan program stokastik

2. Memodelkan peubah keputusan dengan parameter tidak pasti

BAB 2

TINJAUAN PUSTAKA

Viswanath et al. (2004) menyajikan suatu contoh tipe pertama ketidakpas-tian endogenous di mana keputusan-keputusan optimisasi dapat mempengaruhi distribusi probabilitas. Mereka menganggap bahwa problem suatu jaringan traver-sal two stage pada masing-masing busur (arc) dihubungkan dengan suatu proba-bilitas yang menunjukkan probaproba-bilitas pada busur yang ada ke traversal setelah suatu kejadian acak. Seluruh tujuannya adalah untuk meminimumkan panjang lintasan terpendek yang diharapkan dari sumber ke tujuan setelah suatu keja-dian acak yang akan membawa sebagian dari busur di dalam jaringan yang tidak tersedia ke traversal. Pada stage pertama, investasi-investasi dibuat pada bebe-rapa busur dengan meningkatkan probabilitas-probabilitas busur ini akan ada ke traversal setelah kejadian acak. Ini diikuti oleh kejadian acak. Di dalam stage kedua, suatu alur (path) dari sumber ke tujuan itu harus dilewati dengan meng-gunakan busur-busur yang tersedia. Problem ini muncul di dalam merencanakan pembebasan bencana antara kota-kota dengan possibilitas bahwa beberapa rute-rute saling berhubungan yang tidak dapat dipakai sebagaimana mestinya karena suatu bencana (kejadian acak).

Problem perencanaan pembangunan ladang gas ( Goel & Grossmann (2004)) merupakan suatu contoh dunia nyata dari tipe kedua ketidakpastian

endoge-nous, dimana keputusan-keputusan yang optimal mengontrol resolusi

ketidakpas-tian. Pada problem ini, suatu set ladang (reservoir-reservoir gas) yang tersedia untuk produksi. Ukuran dan kualitas cadangan dari ladang ini adalah tidak

pasti. Ketidakpastian di dalam suatu ladang terselesaikan hanya ketika suatu fasilitas dipasangkan di ladang tersebut. Jadi, keputusan-keputusan investasi mengontrol waktu kapan ketidakpastian akan diselesaikan. Oleh karena itu, ter-lepas dari pertimbangan pengeluaran modal yang besar dan pendapatan yang dihubungkan dengan investasi pada suatu ladang, itu juga penting untuk menen-tukan potensi memperoleh informasi berharga sebagai hasil investasi. Informasi ini dapat berperan penting untuk keputusan-keputusan yang baik pada masa men-datang.

Jonsbraten et al. (1998) pertama mengajukan problem dengan ketidak-pastian endogenous dimana keputusan-keputusan optimisasi menentukan waktu kapan beberapa ketidakpastian akan diselesaikan. Pengarang-pengarang mem-perkenalkan suatu versi ”problem ukuran-ukuran” (Jorjani et al., 1999), suatu pabrik yang berhubungan dengan problem dimana permintaan untuk suatu pro-duk harus dicukupi dalam berbagai ukuran-ukuran sepanjang suatu time-span yang diberikan. Komponen variabel dari biaya produksi untuk masing-masing ukuran merupakan tidak-pasti dan ketidakpastian yang dihubungkan dengan suatu ukuran diselesaikan hanya setelah ukuran itu dihasilkan untuk pertama kali. De-ngan demikian, keputusan-keputusan produksi membantu pengambil keputusan mengendalikan waktu ketika ketidakpastian-ketidakpastian di dalam biaya pro-duksi untuk berbagai ukuran-ukuran akan diselesaikan. Pengarang-pengarang menyajikan suatu enumerasi algoritma implisit untuk problem-problem dengan limitasi yang ada hanya dua keputusan stage.

Held dan Woodruff (2003) menyajikan metode-metode solusi heuristik un-tuk problem interdiksi jaringan multistage. Contoh lain tentang menentukan

6

waktu kapan keputusan-keputusan ketidakpastian-ketidakpastian yang optimal dalam berbagai parameter-parameter akan diselesaikan. Problem ini melibatkan dua pemain bersaing: operator dan interdiktor. Masing-masing stage di dalam problem ini, sasaran operator untuk melewati jaringan sepanjang alur terpen-dek yang tersedia. Sementara interdiktor menginginkan untuk memperpanjang alur yang diambil oleh operator sedapat mungkin dengan penghapusan sebagian dari gambar node di dalam jaringan. Struktur jaringan yang tepat diketahui un-tuk operator tetapi bukan unun-tuk interdiktor. Berbagai struktur jaringan yang mungkin didalilkan untuk interdiktor dalam bentuk suatu set skenario. Selama masing-masing stage, interdiktor mengeliminasikan beberapa node dari jaringan didasarkan pada skenario yang didalilkan. Operator kemudian melewati jaringan sepanjang alur yang terpendek yang ada menggunakan sisa node-node di dalam jaringan. Karena interdiktor itu dapat mengamati operator melewati jaringan, bagian dari ketidakpastian di dalam struktur dari jaringan itu diselesaikan se-lama masing-masing stage. Diberikan alur terpendek di dalam jaringan secara implisit yang ditentukan oleh keputusan-keputusan yang interdiksi, tujuan dari interdiktor adalah untuk menginterdiksikan node-node yang informasi diperoleh sangat berharga dan panjang yang diharapkan dari alur terpendek adalah dimak-simalkan. Problem ini dihadapi oleh pegawai pabean (interdiktor) berusaha untuk mencegah penyelundup-penyelundup (operator) dari barang-barang penyelundu-pan ke dalam negeri.

Jonsbraten (1998b, hal. 149-174) mengajukan problem dari rangkaian se-cara optimal pengeboran sumur-sumur produksi dalam suatu reservoir minyak. Tidak hanya mengebor sumur minyak meningkatkan kapasitas produksi di

Dengan demikian, kontribusi keputusan-keputusan investasi untuk resolusi keti-dakpastian. Pengarang beranggapan bahwa algoritma enumerasi implisit resolusi ketidakpastian di modelkan mengunakan pendekatan Bayes.

Ahmed (2000) menyajikan problem dimana distribusi probabilitas bergan-tung pada keputusan-keputusan yang optimal didasarkan pada aksioma pilihan Luce (Luce, 1977), yang menyebutkan bahwa state probabilitas dengan individ-ual memilih item x dari suatu pilihan set R yang diberikan oleh PrR =

U (x) P

x0 ∈R

U (x0₎,

di mana U (x) adalah utiliti dari item x kepada setiap individu. Di dalam pro-blem lokasi fasilitas yang diperkenalkan di dalam pekerjaan ini, fasilitas-fasilitas harus menset p ke luar dari tempat-tempat yang potensi n yang bahwa biaya keseluruhan yang diharapkan seperti melayani pelanggan-pelanggan pada lokasi-lokasi m diperkecil dan permintaan-permintaan pada semua lokasi-lokasi-lokasi-lokasi pelang-gan dipenuhi. Variabel optimisasi xj ∈ {0, 1} mewakili apakah suatu fasilitas

akan menset pada lokasi j, pengarang menggunakan aksioma pilihan Luce untuk menyimpulkan bahwa probabilitas suatu pelanggan akan memilih untuk menda-patkan pelayanan pada lokasi j adalah yang diberikan oleh pi,j =

ui,jxj

P

k∈Ni

ui,kxk,

dimana parameter ui,j adalah utiliti yang dilihat oleh pelanggan-pelanggan pada

lokasi i di dalam melayani pada lokasi j dan Ni adalah himpunan dari

fasilitas-fasilitas menempatkan di sekitar lokasi pelanggan i. Sasaran dari problem itu adalah untuk mengoptimalkan keputusan-keputusan xj yang biaya pelayanan

di-harapkan semua pelanggan adalah diminimumkan. Pengarang menyajikan banyak contoh-contoh berkenaan dengan pemilihan mendesain jaringan dan server di-mana pengambil keputusan itu dapat mempengaruhi distribusi probabilitas. Pe-ngarang menyajikan suatu perumusan pemrograman hiperbolik 0-1 dan solusi algoritma eksak untuk versi-versi single stage pada problem ini.

8

Dicatat bahwa Jonsbraten et al. (1998), Held dan Woodruff (2003) dan Jons-braten (1998b) telah mengajukan problem perencanaan dengan ketidakpastian-ketidakpastian endogenous bahwa keputusan-keputusan optimal seperti menen-tukan waktu kapan ketidakpastian-ketidakpastian akan diselesaikan. Pengarang-pengarang ini hanya memperkenalkan algoritma-algoritma penyelesaian hampiran untuk versi-versi yang disederhanakan pada problem yang sesuai. Model opti-misasi rigorous belum diperkenalkan oleh pengarang-pengarang yang manapun.

LANDASAN TEORI

Beberapa tahun terakhir, isu ketidakpastian dalam mendesain dan peren-canaan sistem proses telah memberikan perhatian penting pada masyarakat ran-cang bangun kimia. Tiga tipe pendekatan utama yang telah digunakan untuk menunjuk isu ini. Didasarkan pendekatan fleksibilitas (Swaney dan Grossmann, 1985; Pistikopoulos, 1995; Banerjee dan Lerapetritou, 2002) telah dikembangkan untuk menyajikan problem dimana perhatian utama adalah untuk memastikan op-erasi yang feasibel atas suatu nilai cakupan yang diberikan pada proses parameter-parameter. Sebaliknya program stokastik didasarkan pada pendekatan-pendekatan, kebanyakan dalam bentuk model-model two-stage (Clay dan Grossmann, 1997; Liu dan Sahinidis, 1996) atau aproksimasi rencana-rencana (Subramanian et al., 2000), telah dikembangkan untuk menunjukkan problem dimana tujuannya adalah untuk memperoleh keputusan perencanaan atau mendesain keputusan-keputusan yang mengoptimalkan kinerja ekonomi.

Sementara banyak model-model telah dipertimbangkan harapan-harapan yang mengoptimalkan kinerja metriks, telah pula beberapa pekerjaan (Ahmed dan Sahinidis, 1998; Bok et al., 1998) untuk menunjuk resiko atau variabilitas di dalam kinerja. Ketiga tipe pendekatan didasarkan pada porograman parametrik (Hene et al., 2002). Tujuan ini untuk mengkarakteristikkan secara sistematis ruang dari proses parameter-parameter dalam bentuk daerah-daerah yang opti-mal. Pendekatan ini secara khusus digunakan untuk problem dimana banyaknya parameter-parameter yang tidak pasti relatif kecil. Pendekatan lain yang

digu-10

nakan untuk menunjuk isu dari ketidakpastian termasuk pemrograman matema-tika fuzzy (Balasubramanian dan Grossmann, 2003) dan proses-proses keputusan Markov (Cheng et al., 2003).

Program stokastik (Birge dan Louveaux, 1997; Kail dan Wallace, 1994) menawarkan suatu kerangka yang sistematis untuk problem-problem keputusan-keputusan yang harus dibuat secara optimal atas suatu time-span yang diberikan, selama nilai-nilai dari beberapa parameter optimisasi bersifat tidak pasti dan keti-dakpastian itu dapat diwakili oleh distribusi probabilitas. Pendekatan model da-lam program stokastik didasarkan pada asumsi time-span yang menyeluruh meru-pakan diskret ke dalam periode-periode waktu keputusan tersebut harus dibuat se-tiap kali periode waktu, sedangkan ketidakpastian menyelesaikan antara periode-periode waktu. Keputusan-keputusan di dalam banyak periode-periode waktu dapat saja disesuaikan didasarkan pada realisasi- realisasi untuk parameter-parameter keti-dakpastian yang telah diselesaikan pada waktu lalu. Fleksibilitas ini dikenal se-bagai recourse dan merupakan salah satu dari fitur yang paling menarik pada program stokastik. Sasaran dari program stokastik merupakan untuk memba-tasi keputusan-keputusan atas seluruh time-span secara simultan sehingga secara keseluruhan performan yang diharapkan adalah optimal, di mana ekspektasi di-hitung didasarkan pada distribusi probabilitas yang diberikan.

Kita akan membatasi penelitian ini untuk problem yang distribusi probil-itas diskrit. Proses stokastik dapat diwakili oleh suatu pohon skenario (seperti pada gambar 3.1). Masing-masing node untuk periode waktu t dalam pohon ske-nario mewakili suatu informasi state yang mungkin untuk waktu periode. Masing-masing busur mewakili suatu transisi yang mungkin dari suatu state informasi

da-lam periode waktu t ke satu dada-lam periode waktu t + 1 dan dihubungkan dengan suatu transisi probabilitas. Multiple busur-busur yang berasal dari suatu node untuk periode waktu t mewakili kemungkinan multiple untuk transisi. Karenanya ketidakpastian dalam beberapa parameter akan diselesaikan pada akhir periode waktu t. Suatu alur (path) dari akar daun (root node) ke suatu simpul daun (leaf node), yang dikenal sebagai skenario. Skenario mewakili suatu kombinasi yang mungkin dari nilai-nilai parameter-parameter yang tidak pasti. Probabili-tas dari skenario merupakan probabiliProbabili-tas mencapai simpul daun dari akar daun. Himpunan dari periode-periode waktu dengan tingkat informasi yang sama (atau ketidakpastian) terdiri dari stage. Problem-problem lebih dari two stage dikenal sebagai problem multistage. Dicatat bahwa penyelesaian suatu problem program stokastik multistage secara siknifikan lebih sulit dibanding menyelesaikan problem program stokastik two stage. Jadi dengan demikian, menggunakan model two

stage lebih umum dibanding menggunakan model multistage.

12

Gambar 3.1 memberi penyajian standar suatu pohon skenario untuk suatu problem dengan parameter-parameter yang tidak pasti ξ1, ξ2dan realisasi-realisasi

tiga periode waktu yang mungkin termasuk nilai-nilai untuk kedua parameter-parameter H (”Ketinggian”) dan L (”Rendah”) dengan realisasi kedua-duanya memiliki kemungkinan yang sama. Secara berurutan ketidakpastian-ketidakpastian di dalam ξ1 dan ξ2 diselesaikan pada akhir periode-periode waktu pertama dan

kedua. Pohon skenario memiliki empat kemungkinan skenario yang sama dan tiga stage, dengan stage pertama, kedua dan ketiga yang sesuai dengan periode waktu

t = 1, t = 2 dan t = 3, secara berurutan. Dalam gambar 3.1, angka-angka pada

simpul daun mewakili indeks untuk skenario yang sesuai.

Gambar 3.2 memberi penyajian alternatif (Ruszczynski, 1997) untuk po-hon skenario yang telah diperlihatkan dalam gambar 3.1. Dalam penyajian ini, masing-masing skenario diwakili oleh suatu himpunan node yang unik. Node-node skenario-skenario s, s0pada periode waktu t dihubungkan oleh garis horizontal jika mereka berpasangan dengan state informasi yang sama. Pada kasus tersebut, ske-nario s, s0disebut indistinguishable dalam periode waktu t. Secara umum skenario

s, s0 disebut indistinguishable pada beberapa waktu jika mereka bersifat identik dalam merealisasikan untuk semua parameter yang tidak pasti dimana ketidak-pastian telah diselesaikan pada masa lalu. Konsep dari indistinguishability adalah central ke nonanticipativitas didasarkan pendekatan untuk merumuskan program-program stokastik.

Gambar 3.2 : Penyajian alternatif untuk pohon skenario pada gambar 3.1; variabel-variabel xs

t

3.1 Standar Program Stokastik

SSP adalah ”standar” program stokastik (Jonsbraten et al., 1998) untuk

suatu problem linier dengan periode-periode waktu T dan pohon skenario S.

(SSP ) minX s ps X t cs_txs_t (3.1a) s.tX τ ≤t As_τ,txs_τ ≤ as_t ∀ (t, s) (3.1b) xs_t ∈ χs_t ∀ (t, s) (3.1c) xst = x s0 t ∀ (s, s 0 , t) ∈ NSe (3.1d)

Pada (SSP), parameter ps _{mewakili probabilitas dari skenario s dengan}

variabel-variabel xs

t mewakili variabel keputusan untuk periode waktu t di dalam

skenario s. (3.la) mewakili fungsi objektif meminimisasi harapan dari beberapa

14

Konstrain (3.1c) mewakili pembatasan-pembatasan integralitas dan batas pada variabel-variabel xts_{. (3.1d) mewakili nonanticipativitas atau implementabilitas}

(Rockafellar dan Wets, 1991; Ruszczynski, 1997) konstrain-kontrain yang men-jalankan pembatasan keputusan tersebut tidak dapat didasarkan pada informasi yang diungkapkan di masa datang. State konstrain-konstrain ini yang jika ske-nario s, s0 _{bersifat indistinguishable pada periode waktu t. Keputusan-keputusan}

untuk skenario s, s0 _{pada periode waktu t harus sama. N}e

S mewakili himpunan

dari (s, s0_{, t) skenario s dan s}0 _{merupakan bersifat indistinguishable pada periode}

waktu t karena proses stokastik yang diwakili oleh pohon skenario S. Sebagai contoh, aturan nonanticipativitas untuk pohon skenario pada gambar 3.2 akan memberikan batasan-batasan x1

1 = x21 = x31 = x41, x12 = x22 dan x32 = x42. Dicatat

bahwa himpunan Ne

S dan konstrain nonanticipativitas pada (SSP) bergantung

pada struktur dari pohon skenario.

3.2 Tipe-Tipe Ketidakpastian

Suatu pohon skenario berisi semua informasi yang diperlukan untuk menggam-barkan proses stokastik pada problem. Yakni, realisasi-realisasi yang mungkin untuk masing-masing parameter yang tidak-pasti, probabilitas-probabilitas yang sesuai untuk masing-masing realisasi, dan waktu kapan ketidakpastian akan dise-lesaikan di setiap parameter-parameter ini. Didasarkan pada ketergantungan dari proses stokastik pada keputusan-keputusan yang optimal, Jonsbraten (1998b) go-longkan ketidakpastian dalam dua kategori.

3.2.1 Ketidakpastian Exogenous

Hampir semua penelitian yang sebelumnya dalam literatur program stokastik berhubungan dengan problem proses stokastik ketidakpastian exogenous. Oleh karena itu pohon skenario, tidak terikat pada keputusan-keputusan optimisasi. Jadi dengan demikian, probabilitas skenario p(·) _{dan himpunan N}e

S merupakan

suatu priori yang diketahui dan merupakan input ke (SSP). Pada pasar yang kompetitif, ketidakpastian di dalam harga pasar gas berasal dari sifat yang ex-ogenous ketika yang ditujukan di dalam investasi dan perencanaan operasional untuk membangun ladang-ladang gas yang optimal. Ini karena pada pasar yang kompetitif keputusan-keputusan investasi dan operasi tidak dapat mempengaruhi harga gas pada masa depan maupun menentukan waktu kapan ketidakpastian di dalam harga gas akan diselesaikan.

Karena (SSP) mereplikasikan masing variabel keputusan dan masing-masing konstrain di suatu model deterministik untuk setiap skenario. Ukuran dari (SSP) tumbuh dengan cepat peningkatan di dalam banyaknya skenario. Hal ini mengharuskan pemakaian algoritma dekomposisi untuk solusi problem ukuran secara realistis, terutama ketika beberapa variabel-variabel keputusan bersifat diskrit. Sahinidis (2004), Schultz (2003) dan Birge (1997) menyajikan tinjauan ulang terbaru dari penelitian sebelumnya dalam komoditas program stokastik pada problem dengan ketidakpastian yang exogenous. Metode L-shaped (Vanslyke dan Wets, 1969; Laporte dan Louveaux, 1993), yang merupakan adap-tasi dari metode dekomposisi Bender (Geoffrion, 1972), merupakan kemungki-nan menggunakan algoritma paling umum untuk menyelesaikan program-program stokastik linier two-stage dengan variabel-variabel integer di dalam stage pertama.

16

Algoritma-algoritma lain untuk menyelesaikan program-program stokastik

two-stage termasuk algoritma membatasi nilai yang progresif oleh Rockafellar dan

Wets (1991), dualitas Lagrangean didasarkan algoritma branch and bound oleh Caroe dan Schultz (1999) dan algoritma optimisasi global branch and bound oleh Ahmed et al. (2004).

Dalam teori, algoritma membatasi nilai yang progresif dapat digunakan un-tuk menyelesaikan program-program stokastik multistage linier, dimana algoritma branch and bound yang diperkenalkan oleh Caroe dan Schultz (1999) dapat diap-likasikan untuk setiap program stokastik multistage. Bagaimanapun riset dalam algoritma-algoritma untuk menyelesaikan program-program stokastik multistage merupakan langkah-langkah yang perkembangan dalamnya. Satu pendekatan un-tuk menemukan solusi ”yang baik” pada program stokastik multistage merupakan untuk mengaproksimasikan pohon skenario multistage oleh suatu urutan dari po-hon skenario two stage dan menggunakan solusi-solusi program-program stokastik

two-stage yang sesuai untuk menetapkan keputusan-keputusan di dalam program

stokastik multistage.

3.2.2 Ketidakpastian Endogenous

Problem-problem proses stokastik bergantung pada keputusan-keputusan yang optimal dikatakan ketidakpastian endogenous. Secara umum, pengambil keputusan dapat mempengaruhi proses stokastik dengan pengendalian waktu ketika ketidakpastian-ketidakpastian dalam berbagai parameter-parameter akan disele-saikan, atau dengan menyebabkan perubahan di dalam probabilitas-probabilitas skenario. Perbedaan adalah bahwa di dalam kasus yang pertama, pengambil

kepu-tusan dapat mengetahui nilai yang benar suatu parameter sebelumnya dibanding kemudian, kasus yang kedua, pengambil keputusan dapat membuat suatu real-isasi yang mungkin lebih baik. Dari beberapa literatur, beberapa problem dengan dua tipe dari ketidakpastian-ketidakpastian endogenous. Gagasan-gagasan untuk merumuskan (SSP) dapat digunakan untuk merumuskan program stokastik untuk problem ini. Sifat ketidakpastian endogenous memperkenalkan kesulitan-kesulitan yang sangat tinggi merintangi penggunaan langsung dari (SSP).

Perencanaan optimal untuk pembentukan ladang-ladang gas di bawah keti-dakpastian dalam kualitas cadangan merupakan suatu problem dunia nyata, di-mana keputusan-keputusan optimal mempengaruhi waktu ketika ketidakpastian-ketidakpastian dalam berbagai parameter-parameter akan diselesaikan. Secara umum, banyak informasi penting tentang kualitas cadangan pada suatu ladang dapat diperoleh dengan penerapan suatu WP (Well Platform) di ladang. Asumsi bahwa ketidakpastian dalam persediaan dari suatu ladang gas dipecahkan dengan WP diinstallkan. Dengan demikian, keputusan-keputusan investasi memenuhi pengambil keputusan untuk mengendalikan waktu ketika ketidakpastian di suatu ladang gas akan diselesaikan.

Gambar 3.3 memperlihatkan bahwa untuk suatu problem dengan dua ladang gas, A dan B, dan empat periode waktu. Struktur dari pohon skenario bergantung pada ketika investasi-investasi pada ladang-ladang ini akan selesai. Mengasum-sikan bahwa ukuran-ukuran dari ladang-ladang A dan B bersifat tidak pasti dan kedua parameter-parameter dapat memberikan nilai-nilai High atau Low. Ukuran dari suatu ladang mewakili total volume gas yang dapat diperoleh dari ladang.

18

Pohon skenario di dalam gambar 3.3 (a) hasil oleh sautu kebijakan investasi dimana WP pada ladang A dipasangkan pada tahun pertama. WP pada ladang B dipasangkan di tahun ke 2 atau 3 tergantung pada ukuran dari ladang A (karena ukuran dari ladang A akan diketahui seperti ketika WP dipasangkan pada ladang itu). Pohon skenario di dalam gambar 3.3 (b) hasil oleh suatu kebijakan investasi di mana WP pada ladang A dipasangkan pada tahun ke 2 WP di ladang B dipasangkan di tahun ke 3 dengan tidak mengabaikankan ukuran dari ladang A.

Gambar 3.3 : Keputusan bergantung pohon-pohon skenario untuk problem ladang gas

Seperti yang digambarkan pada contoh tersebut, struktur dari pohon

ske-nario tidak dapat diidentifikasikan suatu priori jika pengambil keputusan

mengen-dalikan waktu ketika ketidakpastian-ketidakpastian dalam berbagai

parameter-parameter akan diselesaikan. Dengan demikian himpunan Ne

S tidak diketahui

sebelumnya dan standar program stokastik (SSP) tidak bisa digunakan untuk

pro-blem seperti itu. Pada kasus dimana keputusan-keputusan yang optimal

mempen-garuhi distribusi probabilitas. Sebaliknya, probabilitas skenario p(·) _{tidak dapat}

diperlakukan sebagai parameter-parameter. Ini memperkenalkan

seba-gai akibat dari ketergantungan dari Ne

S dan p

(·) _{pada keputusan-keputusan yang}

optimal, penelitian sebelumnya dalam komoditas pemrograman stokastik pada problem dengan ketidak-pastian endogenous yang dibatasi pada beberapa paper saja.

BAB 4

MODEL PROGRAM STOKASTIK DENGAN KEPUTUSAN KETIDAKPASTIAN YANG TAK BEBAS

Dalam bab ini, menyajikan tentang problem perencanaan dimana keputusan-keputusan harus dioptimalkan dalam ketidakpastian. Keputusan-keputusan-keputusan opti-misasi menentukan waktu ketika ketidakpastian-ketidakpastian dalam beberapa parameter-parameter itu akan diselesaikan. Ketidakpastian-ketidakpastian di da-lam parameter-parameter (exogenous) akan diselesaikan pada waktu yang diten-tukan.

Kita mulai dengan suatu uraian problem yang umum dari kelas dalam pem-bahasan. Pengembangan kapasitas proses jaringan dan problem ukuran-ukuran (Jorjani et al., 1999; Jonsbraten et al., 1998) diperkenalkan sebagai kejadian-kejadian yang spesifik dari problem pada kelas ini. Ini diikuti oleh suatu uraian yang singkat notasi yang digunakan di dalam bab ini dan model pemrograman stokastik yang diusulkan.

4.1 Uraian Masalah

Kita mempertimbangkan problem dengan suatu horizon waktu yang diskret, T = {1, 2, . . . , T }, dan suatu himpunan hingga dari ”sumber” dari ketidakpas-tian endogenous, X = {1, 2, . . . , I}. Keputusan-keputusan yang sesuai dengan variabel-variabel bi,t untuk semua i ∈ X , dan variabel-variabel yt dan xt harus

dioptimalkan atas seluruh horizon waktu.

Gambar 4.1 : Penyajian menurut bagan problem proses jaringan

Variabel bi,t menunjukkan keputusan-keputusan biner, variabel-variabel yt

dan xt adalah vektor-vektor yang komponen-komponennya kontinu dan diskret.

ξt menunjukkan parameter yang tidak pasti exogenous dihubungkan dengan

periode waktu t ∈ T . θi adalah parameter endogenous yang tidak pasti yang

dihubungkan dengan sumber i ∈ X . Ketidakpastian di dalam ξt akan diselesaikan

secara otomatis pada periode waktu t resolusi ketidakpastian di θi bergantung

pada keputusan-keputusan bi,t. Urutan kejadian pada setiap periode waktu adalah

sebagai berikut. Keputusan-keputusan yt dan xt diterapkan pada awal periode

waktu t. Ini diikuti oleh resolusi ketidakpastian di dalam parameter-parameter

yang exogenous ξtdan di dalam parameter-parameter endogenous θiuntuk sumber

i seperti bahwa bi,t = 1 dan bi,τ = 0 untuk semua τ < t. Keputusan-Keputusan

xt diterapkan pada akhir periode waktu.

Kita mengasumsikan suatu himpunan diskret dari realisasi yang mungkin,

Ξ, untuk vektor ξ = {ξ1, ξ2, . . . , ξT} suatu himpunan diskret dari realisasi yang

endoge-22

nous yang tidak pasti yang dihubungkan dengan sumber i untuk semua i ∈ X .

Jadi; Dengan demikian, θi adalah suatu skalar untuk semua i ∈ X .

4.2 Contoh-contoh Problem

4.2.1 Pengembangan Kapasitas pada Proses Jaringan

Problem pengembangan kapasitas dalam proses jaringan adalah suatu con-toh yang spesifik dari problem dari kelas dalam pembahasan. Gambar 4.1 menun-jukkan suatu proses jaringan dapat digunakan untuk menghasilkan bahan kimia

A. Bahan kimia A dihasilkan dalam unit 3 dari bahan kimia B, yang sedang dibeli

dari pasar. Bagaimanapun, teknologi baru kini tersedia dalam bentuk unit-unit 1 dan 2 yang dapat menghasilkan B dari bahan baku C dan D, berturut-turut. Ba-han kimia C dan D dapat dibeli dari pasar. Jika diperlukan, baBa-han kimia A juga dapat dibeli dari pasar. Juga, inventori dari bahan kimia A dapat dipertahankan.

Permintaan untuk bahan kimia A harus dipenuhi pada setiap periode waktu

t atas suatu waktu yang diberikan pada suatu horizon waktu T .

Keputusan-keputusan dibuat dalam periode waktu t termasuk menentukan apakah unit-unit yang spesifik harus dioperasikan pada periode waktu t atau tidak (variabel-variabel bi,t ∈ {0, 1} untuk i = 1, 2, 3). Apakah unit-unit yang spesifik harus

dipasangkan atau diperluas (variabel-variabel y_i,texp∈ {0, 1} untuk i = 1, 2, 3), per-luasan di dalam kapasitas dari unit-unit (variabel-variabel y_i,tQE untuk i = 1, 2, 3), laju alur penilaian (variabel-variabel yrate

j,t untuk j = 1, 2, 3), dan jual beli untuk

Hasil-hasil (ton dari produk per ton dari bahan baku) dari unit-unit 1 dan 2, yang diwakili oleh θ(·), bersifat tidak pasti. Juga, permintaan mendatang untuk

bahan kimia A, yang diwakili oleh ξt untuk t ∈ T , bersifat tidak pasti.

Ketidak-pastian dalam hasil dari suatu unit akan diselesaikan hanya setelah unit itu sudah dipasangkan dan dioperasi untuk satu periode waktu. Ketidakpastian permintaan di suatu periode waktu yang spesifik diselesaikan secara otomatis pada periode waktu tersebut.

Urutan dari kejadian pada setiap periode waktu adalah sebagai berikut. Keputusan-keputusan mengenai unit-unit untuk menginstal atau memperluas, perluasan-perluasan di dalam kapasitas unit-unit ini, yang unit-unit untuk bero-perasi dan laju alir penilaian diputuskan pada awal periode waktu. Konfigurasi hasil jaringan yang kemudian dioperasikan pada laju alir yang diputuskan untuk periode waktu. Ketidakpastian-ketidakpastian di dalam permintaan-permintaan untuk periode waktu yang spesifik dan di dalam hasil-hasil dari unit-unit 1 dan 2, bila ada unit-unit ini telah dioperasikan di dalam periode waktu untuk tama kali, yang kemudian diselesaikan. Didasarkan pada pengamatan untuk per-mintaan dan hasil-hasil, keputusan-keputusan penjualan dan pembelian untuk periode waktu dilakukan pada akhir periode waktu.

4.2.2 Problem Ukuran-ukuran

Problem ukuran-ukuran (Jorjani et al., 1999; Jonsbraten et al., 1998) adalah contoh spesifik yang lain dari problem dalam pembahasan. Di dalam problem ini, suatu lini produksi harus mengimbangi permintaan untuk suatu produk di dalam satu set ukuran-ukuran yang berbeda, X = {1, 2, . . . , I}, pada setiap periode

24

waktu ∈ T . Jika permintaan untuk ukuran tertentu tidak dapat dijumpai di suatu periode waktu yang spesifik, defisit itu dapat diisi oleh penyerahan dari suatu ukuran yang lebih besar. Bagaimanapun, hal ini melibatkan suatu biaya yang disubtitusikan. Biaya-biaya lain termasuk biaya produksi yang ditetapkan untuk menset peralatan untuk masing-masing ukuran yang dihasilkan pada setiap periode waktu, variabel biaya inventori dan variabel biaya produksi untuk masing-masing unit yang dihasilkan.

Permintaan-permintaan, yang diwakili oleh ξt selama periode waktu ∈ T ,

bersifat tidak pasti. Variabel biaya produksi, yang diwakili oleh θi untuk ukuran

i ∈ X , tinggal konstant atas horizon waktu adalah juga tidak pasti. Permintaan

pada periode waktu t akan diamati secara otomatis di periode waktu tersebut. Sebaliknya, ketidakpastian di dalam variabel biaya produksi untuk ukuran i, θi,

akan diselesaikan hanya ketika ukuran dihasilkan untuk pertama kali. Jadi de-ngan demikian, ketidakpastian permintaan adalah exogenous dan ketidakpastian di dalam variabel biaya produksi adalah endogenous.

Keputusan-keputusan diperlukan dalam setiap kali periode waktu terma-suk apakah untuk menghasilkan ukuran i atau tidak (variabel-variabel biner bi,t).

Banyak unit-unit dari ukuran i untuk dihasilkan (variabel-variabel yi,t) dan banyak

unit-unit dari ukuran i digunakan untuk memenuhi permintaan ukuran i0 (variabel-variabel xi,i0_,t). Keputusan-keputusan produksi (b_i,t, y_t) diterapkan pada awal

pe-riode waktu t.

Ini diikuti oleh resolusi ketidakpastian pada permintaan-permintaan un-tuk periode waktu t dan di dalam variabel biaya produksi unun-tuk ukuran-ukuran yang dihasilkan untuk pertama kali pada periode waktu t. Akhirnya,

keputusan-keputusan yang disubtitusikan (xi,i0_,t) untuk memenuhi permintaan-permintaan

pada periode waktu t diterapkan pada akhir periode waktu itu.

4.3 Notasi dan Definisi

Masing-masing skenario di dalam problem ini mewakili suatu realisasi yang mungkin untuk vektor (ξ1, ξ2, . . . , ξT, θ1, θ2, . . . , θI). Kita berasumsi bahwa

him-punan dari skenario yang diberikan oleh Ξ × (×i∈XΘi, yaitu, himpunan dari

skenario terdiri dari semua kombinasi realisasi yang mungkin untuk vektor dari parameter-parameter yang exogenous, (ξ1, ξ2, . . . , ξT}, dengan vektor dari

parameter-parameter endogenous. Himpunan realisasi untuk vektor dari parameter-parameter-parameter-parameter

endogenous adalah himpunan dari semua kombinasi untuk berbagai

parameter-parameter endogenous. Himpunan S = {1, 2, . . . , S} digunakan untuk indeks himpunan dari skenario-skenario yang individu bersifat indeks oleh s, di mana

s ∈ S. θsi dan ξ s

t mewakili perwujudan-perwujudan dari θi dan ξt berturut-turut,

di dalam skenario s.

Untuk skenario s, s0 ∈ S , himpunan D(s, s0) = {i|i ∈ X , θsi 6= θ s0

i }

menun-jukkan himpunan sumber ketidakpastian endogenous yang skenario distinguish s dan s0. Ekspresi |D(s, s0)| menunjukkan kardinalitas dari himpunan ini. Secara umum, D(s, s0) memenuhi 0 ≤ |D(s, s0)| ≤ I untuk semua s, s0 ∈ S, di mana I merupakan banyaknya sumber dari ketidakpastian endogenous. Menurut definisi, D(s, s0_{) = D(s}0_{, s).}

Untuk skenario, s, s0_{∈ S, t(s, s}0_{) merupakan akhir periode waktu t yang}

26

waktu t merupakan sama di dalam skenario s, s0_{. Dengan kata lain, t(s, s}0_{) kali}

yang terakhir periode waktu pada akhir skenario seperti, s, s0_{bersifat indistinguish}

yang didasarkan pada resolusi ketidakpastian exogenous. Secara Matematika,

t(s, s0) = max t {t|t ∈ T , ξ s τ = ξ s0 τ ∀τ ∈ T , τ ≤ t}

Kita menggambarkan t(s, s0_{) = 0 jika {t|t ∈ T , ξ}s τ = ξs

0

τ ∀τ ∈ T , τ ≤ t} = ∅.

Catat bahwa skenario tidak dapat terpisah s, s0 _{∈ S seperti |D(s, s}0_{)| = 0 dan}

t(s, s0_{) = T . Ini adalah karena skenario s, s}0 _{akan lengkap serupa jika mereka}

memenuhi kondisi-kondisi tersebut. Menurut definisi, t(s, s0_{) = t(s}0_{, s).}

L0 _{= {(s, s}0_{)|s, s}0 _{∈ S , s < s}0_{, |D(s, s}0_{)| = 0}, menunjukkan himpunan dari}

ske-nario yang memasangkan (s, s0) seperti bahwa skenario dan bersifat serupa di da-lam perwujudan-perwujudan untuk semua parameter endogenous. Kondisi s < s0 mencegah salinan di dalam L0 untuk pasangan yang sama dari skenario s, s0. L1+ = {(s, s0)|s, s0 ∈ S, s < s0, |D(s, s0)| > 1} menunjukkan himpunan dari ske-nario yang memasangkan (s, s0)|. s, s0berbeda di dalam perwujudan-perwujudan

θi untuk sedikitnya satu i ∈ X . Dengan cara yang sama, L1 = {(s, s0)|s, s0 ∈

S , s < s0, |D(s, s0)| = 1}.

L1_T = {(s, s0)|s, s0∈ L1, t(s, s0) = T } adalah himpunan dari skenario yang mema-sangkan (s, s0) skenario itu s, s0 seperti berbeda di dalam perwujudan persisnya satu parameter endogenous dan bersifat identik di dalam perwujudan-perwujudan untuk semua parameter yang exogenous.

4.4 Model

Wujud dari program-program stokastik untuk problem ini digambarkan da-lam bagian 4.1 (Grossmann, 2002), (P1).

(P 1) φ = minX s∈S psX t∈T w cstw s t + x cstx s t+ y csty s t + b X i∈I csi,tb s i,t ! (4.1) s.t. X τ ∈T ,τ ≤t w As_τ,tws_τ+xAs_τ,txs_τ +yAs_τ,ty_τs+ b X i∈I As_i,τ,tbs_i,τ ! ≤ as_t ∀s ∈ S, t ∈ T (4.2) bsi,1 = b s0 i,1 ∀s, s 0 ∈ S, s < s0, i ∈ I (4.3a) y₁s= ys₁0 ∀s, s0∈ S, s < s0 (4.3b) xst = x s0 t ∀(s, s 0 ) ∈ L0, t ∈ T , t ≤ t(s < s0) (4.3c) bs_i,t+1 = xs_i,t+10 ∀(s, s0) ∈ L0, t ∈ T , t ≤ t(s < s0), i ∈ I (4.3d) ys_i,t+1= y_t+1s0 ∀(s, s0) ∈ L0, t ∈ T , t ≤ t(s < s0) (4.3e) Zts,s0 ⇔ ^ i∈D(s,s0₎ "_^t τ =1 (¬bsi,τ # ∀(s, s0) ∈ L1+, t ∈ T , t ≤ t(s < s0) (4.4) Zts,s0 ⇔ ^ i∈D(s,s0₎ " _t ^ τ =1 (¬bs_i,τ0 # ∀(s, s0) ∈ L1+, t ∈ T , t ≤ t(s < s0) (4.5)     Z_ts,s0 xs t = x s,s0 t bs i,t+1= b s0 i,t+1 ∀i ∈ I if t ≤ T − 1 y_t+1s = y_t+1s0 if t ≤ T − 1    ∨ [¬Zs,s 0 t ] (4.6) ∀(s, s0) ∈ L1+, t ∈ T , t ≤ t(s < s0) wts ∈ W s t, x s t ∈ X s t, y s t ∈ Y s t, b s i,t∈ {0, 1} ∀s ∈ S, t ∈ T , i ∈ I Zs,s0 ∈ {T rue, F alse} ∀(s, s0) ∈ L1+, t ∈ T , t ≤ t(s < s0)

28

Pada (PI), variabel-variabel bs i,t, x

s t dan y

s

t menggambarkan keputusan

kepu-tusan yang diperlukan dalam periode waktu t dari skenario s. Vektor ws

t mewakili

variabel-variabel lain yang diasosiasikan dengan periode t di dalam skenario s. Da-lam proses kontrol bs

i,t, x s

t dan y s

t adalah ”variabel kendali”, w s

t adalah ”variabel

state (keadaan)”. bs

i,t adalah variabel-variabel biner, x s

t dan y s

t adalah variabel

vektor-vektor yang kedua-duanya komponen integer dan komponen-komponen kontinu. Seperti yang dijelaskan dalam bagian 4.1, keputusan ys

t dan

bs

I ,t diimplimentasikan pada awal periode waktu t. Keputusan-keputusan x s t

di-implementasikan pada akhir periode waktu t setelah resolusi ketidakpastian pada periode waktu tersebut.

Parameter bcs_i,t adalah perwujudan dalam scenario s, untuk koefisien biaya yang sesuai dengan variable keputusan bi,t. Dengan kata lain,bcs_i,t=b ci,t(ξ₁s, ξ₂s, . . . , ξs_T,

θ₁s, θs₂, . . . , θ_Is). Sama halnya, perwujudan-perwujudan untuk koefisien-koefisien bi-aya yang sesuai dengan variabel-variabel x(·)t , y

(·) t dan w

(·)

t dalam skenario s diwakili

olehxcst, y

cst dan w

cst, berturut-turut. Matriks (atau vektor-vektor) b Asi,τ,t, x Asτ,t, y Asτ,t

danwAsτ,tmenggambarkan perwujudan-perwujudan untuk koefisien konstrain

ma-triks (atau vektor-vektor) dari variabel-variabel ini di dalam skenario s. Per-samaan (4.1) menunjukkan fungsi objektif dengan meminimumkan harapan dari kriteria ekonomi. Ketidaksamaan (4.2) menunjukkan konstrain, untuk skenario tertentu, yang menentukan keputusan-keputusan pada periode waktu t dan yang menghubungkan keputusan-keputusan ke seberang periode-periode waktu. Ini ter-masuk sistim yang bujur sangkar dari persamaan konstrain-konstrain yang dapat digunakan untuk mengeliminasikan ”state” variabel-variabel ws

Keputusan-keputusan untuk skenario yang berbeda terhubung oleh batasan-batasan nonanticipativas, (4.3)-(4.7). Aturan nonanticipativitas memerlukan kepu-tusan di dalam skenario s dan s0 _{harus sama pada suatu waktu yang diberikan,}

jika skenario s dan s0 _{bersifat indistinguishable pada waktu itu. Didasarkan pada}

urutan dari kejadian digambarkan dalam bagian 4.1, resolusi ketidakpastian pada periode waktu t berlangsung setelah keputusan-keputusan ys

t dan b s

i,t telah

dit-erapkan. Dengan demikian, keputusan-keputusan x(·)t , b (·)

i,t+1 dan y (·)

t+1 harus sama

untuk scenario s, s0 _{jika skenario ini s, s}0 _{bersifat indistinguishable setelah}

res-olusi ketidakpastian pada periode waktu t. Catat bahwa, kita mengacu pada ”indistinguishability dari skenario s, s0 _{setelah resolusi ketidakpastian exogenous}

dan ketidakpastian endogenuous pada waktu periode t ”dengan hanya ”

indistin-guishability pada skenario ini dalam periode waktu t”.

Didasarkan pada urutan dari kejadian pada setiap periode waktu, semua skenario satu sama lain indistinguishable sebelum keputusan-keputusan bsi,t dan

yst diimplementasikan pada periode waktu pertama kali. Jadi dengan demikian,

keputusan-keputusan b·i,1 dan y (·)

1 harus sama untuk semua skenario

(konstrain-konstrain (4.3)). Catat bahwa kondisi s < s0 menentukan untuk menghindari penggandaan konstrain-konstrain (4.3) untuk pasang skenario yang sama s, s0.

Persamaan-persamaan (4.4) menunjukkan konstrain nonanticipativitas rangka-ian skenario s, s0 itu seperti (s, s0) ∈ L0;yaitu., realisasi untuk semua parameter

endogenous dalam skenario s dan s0bersifat identik. Dalam hal ini, skenario s, s0 akan indistinguishable pada periode waktu t, jika dan hanya jika skenario ini bersi-fat identik di dalam realisasi semua parameter exogenous diamati hingga dan ter-masuk periode waktu t. Persamaan- persamaan (4.4) memakai batasan-batasan

30

nonanticipativas pada keputusan-keputusan x(·)t , y (·)

t+1 dan b (·)

t+1untuk skenario s, s 0

hanya jika t memenuhi t ≤ t(s, s0_).

Kontrain-konstrain (4.5)-(4.7) adalah konstrain nonanticipativitas rangkaian skenario s, s0 _{itu seperti (s, s}0_{) ∈ L}1+_{; yaitu., skenario s dan s}0 _{berbeda di dalam}

merealisasikan sedikitnya satu parameter endogenous. Dalam hal ini,

indistin-guishability skenario s, s0 _{bergantung pada kedua-duanya, ketidakpastian}

endoge-nous dan ketidakpastian exogeendoge-nous diselesaikan pada masa lalu. Didasarkan pada

ketidakpastian-ketidakpastian exogenous dan endogenous diselesaikan pada masa lalu, batasan-batasan (4.5)-(4.7) secara implisit mengidentifikasi apakah skenario

s, s0 _{bersifat indistinguishable setelah keputusan-keputusan y}

(·) dan bi,(·) telah

di-implementasikan pada periode waktu t, dan memakai konstrain-konstrain nonan-ticipativitas secara setimpal. Dengan jelas, untuk t > t(s, s0_{) skenario s, s}0 _dapat

dibedakan hanya didasarkan pada realisasi parameter-parameter exogenous. Kare-nanya, konstrain-konstrain (4.5)-(4.7) digunakan hanya untuk t seperti t ≤ t(s, s0_),

di mana (s, s0_{) ∈ L}1+_.

Pada (PI), variabel Boolean Zts,s0 adalah benar jika dan hanya jika skenario

s dan s0 _{bersifat indistinguishable setelah resolusi ketidak-pastian pada periode}

waktu t. Menurut definisi t(s, s0_{) untuk t ≤ t(s, s}0_{), indistinguishability skenario}

s, s0 _{pada periode waktu t tergantung semata-mata ketidakpastian endogenous}

diselesaikan melalui keputusan-keputusan. Konstrain-konstran logika (4.5) dan (4.6) menghubungkan indistinguishability skenario s, s0 _{pada periode waktu t}

de-ngan keputusan-keputusan bsi,τ dan b s0

i,τ, berturut-turut. Skenario s, s 0

berbeda di dalam perwujudan-perwujudan suatu himpunan hingga dari parameter-parameter

ketidakpastian belum diselesaikan dalam parameter-parameter dan termasuk pe-riode waktu t dari skenario s. Dengan cara yang sama, konstrain logika (4.6) menghubungkan variabel Zts,s0 pada variabel keputusan yang sesuai untuk

ske-nario s0_.

Disjunction (4.7) menentukan konstrain-konstrain non anticipativas pada

variabel-variabel x(·)t , y (·)

t+1 dan b (·)

i,t+1 untuk skenario s, s

0 _{hanya jika Z}s,s0

t adalah

Benar. Catat bahwa untuk mempertanggungjawabkan offset di dalam indeks variabel-variabel ini, konstrain-konstrain nonanticipativas pada variabel-variabel

b(·)_i,t+1, y(·)_t+1 skenario s, s0 diterapkan hanya jika t ≤ T − 1. Meski mungkin keli-hatannya bahwa suatu pembatasan yang serupa diperlukan di dalam konstrain-konstrain (4.4b)-(4.4c), bagaimanapun, sebelum dijelaskan di dalam bagian ini, kita tidak bisa memisahkan skenario; jelas s, s0 ∈ S seperti yang (s, s0) ∈ L0 dan

t(s, s0) = T . Karenanya, di dalam konstrain-konstrain (4.4b)-(4.4c) kondisi bahwa

t ≤ T − 1 adalah implisit dalam kondisi t ≤ t(s, s0).

Wts, X s t dan Y

s

t menunjukkan pembatasan-pembatasan dan integralitas pada

variabel-variabel wts, x s t dan y

s

BAB 5 KESIMPULAN

Dalam penelitian ini, menentukan tentang program stokastik dengan kepu-tusan optimisasi menentukan waktu ketika ketidakpastian-ketidakpastian pada subset dari parameter-parameter yang akan diselesaikan. Kelas pada problem ini relevan pada aplikasi-aplikasi terutama dalam dunia nyata, dimana pengambil keputusan memiliki opsi informasi yang perolehan dari ahli yang aktif dengan membuat beberapa investasi. Penelitian ini telah memperluas kerangka modeling program stokastik dengan menggabungkan interaksi antara keputusan-keputusan optimisasi dan proses penemuan informasi melalui pemakaian program disjunc-tive.

Ketika fleksibilitas sangat bernilai pada pengambil keputusan, menuju si-tuasi dimana pohon skenario bergantung pada keputusan-keputusan yang opti-mal. Dan oleh karena itu, standar program stokastik yang umum tidak dapat digunakan. Penelitian ini mengusulkan suatu model optimisasi mixed-integer/ dis-junctive dimana ketergantungan dari pohon skenario pada keputusan-keputusan optimal yang dimodelkan dengan mengaplikasikan konstrain-konstrain non anti-cipativitas dengan kondisi dalam bentuk disjunctive.

Karena konstrain-konstrain non anticipativitas di dalam model yang diu-sulkan harus diaplikasikan pada masing-masing pasangan skenario, ukuran dari model dapat di explode dengan suatu peningkatan dari skenario. Kita menujukan bahwa isu ini dengan memberikan teoritis yang memenuhi oleh setiap penyelesaian layak model yang diusulkan. Ketika himpunan dari skenario berpasangan dengan 32

diskret Ξ × (×i ∈ χΘi), di mana Ξ mewakili himpunan diskret untuk vektor dari

parameter-parameter yang exogenous. Dan θi adalah himpunan diskret untuk

parameter endogenous berhubungan dengan sumber i. Konstrain-konstrain (2.5)-(2.7) perlu untuk digunakan pada pasangan-pasangan (s, s0_{) hanya jika skenario s}0

berbeda di dalam perwujudan parameter endogenous dan mereka bersifat identik di dalam perwujudan-perwujudan untuk semua parameter yang exogenous. Sifat ini digunakan untuk mengembangkan suatu model yang signifikan pada batasan-batasan lebih sedikit tetapi hanya pada ruang fesibel yang sama dengan model yang asli.

DAFTAR PUSTAKA

Ahmed, S., 2000. Strategic planning under uncertainty: Stochastic integer

program-ming approaches. Ph.D. thesis, University of Illinois at Urbana- Champaign.

Ahmed, S., Sahinidis, N. V., 1998. Robust process planning under uncertainty.

Industrial and Engineering Chemistry Research 37(5), 1883-1892.

Ahmed, S., Tawarmalani, M., Sahinidis, N. V., 2004. A finite branch-and-bond algorithm for two-stage stochastic integer programs. Mathematical

program-ming 100 (2) 355-377.

Balasubramanian, J., Grossmann, I. E., 2003. Scheduling optimization under un-certainty - an alternative approach. Computers and Chemical Engineering 27 (4), 469-490. Banerjee, I., Lerapetritou, M. G., 2002. Design optimization under parameter uncertainty for general black-box models. Industrial and

Engineering Chemistry Research 41 (26), 6687-6697.

Birge, J. R., 1997. Stochastic programming computation and applications.

IN-FORMS J. Comput. 9, 111133.

Birge, J. R., Louveaux, F. C., 1997. Introduction to stochastic programming. Springer-Verlag, New York.

Bok, J. K., Lee, H., Park, s., 1998. Robust investment model for long-range capacity expansion of chemical processing network under uncertain demand forecast scenarios. Computers and Chemical Engineering 22(7-8), 1037-1049.

Caroe, C. C, Schultz, R., 1999. Dual decomposition in stochastic integer program-ming. Oper. Res. Lett. 24, 37-45.

Cheng, L., Subrahmanian, E., Westerberg, A. W., 2003. Design and planning under uncertainty: issues on problem formulation and solution. Computers

and Chemical Engineering 27 (6), 781-801.

Clay, R. L., Grossmann, I. E., 1997. A disaggregation algorithm for the optimiza-tion of stochastic planning models. Computers and Chemical Engineering 21 (7), 751-774.

Geoffrion, A., 1972. Generalized benders’ decomposition. Journal of Optimization

Theory and Applications 10 (4), 237.

Goel, V., Grossmann, I. E., 2004. A stochastic programming approach to planning of offshore gas field developments under uncertainty in reserves. Computers

and Chemical Engineering 28 (8), 14091429.

Goel, V., Grossmann, I. E., 2005. Stochastic programming approaches for the

op-timal development of gas fields under uncertainty. A Dissertation. Cornegie

Mellon University.

Held, H. Woodruff, D. L., 2003. Heuristics for multi-stage interdiction of stochastic net-works. Journal of Heuristics (Submitted for publication)

Hene, T.S., Dua, V., Pistikopoulos, E. N., 2002. A hybrid parametric/stochastic programming approach for mixed-integer nonlinear problems under uncer-tainty. Industrial ang Engineering Chemistry Reseach 41(1), 67-77.

Jonsbraten, T. W., 1998b. Optimization models for petroleum field exploitation. Ph.D. thesis, Norwegian School of Economics and Business Administration. Jonsbraten, T. W., Wets, R. J. B., Woodruff, D. L., 1998. A class of stochastic

programs with decision dependent random elements. Annals of Operations

Research 82, 83106.

Jorjani, S., Scott, C. H., Woodruff, D. L., 1999. Selection of an optimal subset of sizez. International Journal of Production Research 37 (16), 3697-3710. Kall, P., Wallace, S., 1994. Stochastic Programming. Wiley, Chichester etc.

Laporte, G., Louveaux, F. V., 1993. The integer 1-shaped method for stochastic integer programs with complete recourse. Operations Research Letters 13 (3), 133-142.

Liu, M. L., Sahinidis, N. V., 1996. Optimization in process planning under uncer-tainty. Industrial and Engineering Chemistry Research 35 (11), 4154-4165. Luce, R. D., 1977. Choice axiom after 20 years. Journal of Mathematical Psychology

15 (3), 215-233.

Pflug, G., 1990. On-line optimization of simulated markovian processes. Math.

Oper. Res. 15, No.3, 381-395. Pistikopoulos, E. N., 1995. Uncertainty

in-process design and operations. Computers and Chemical Engineering 19, S553-S563, suppl. S.

Rockafellar, R., Wets, R. J.-B., 1991. Scenarios and policy aggregation in opti-mization under uncertainty. Math. Oper. Res. 16, 119-147.

Ruszczynski, A., 1997. Decomposition methods in stochastic programming.

Math-Programming (Ser. B) 79, 333353.

Sahinidis, N. V., 2004. Optimization under uncertainty: State-of-the-art and op-portunities. Comput. Chem. Eng. 28 (6-7), 971983.

Schultz, R., 2003. Stochastic programming with integer variables. Mathematical

Programming 97 (1-2), 285309.

Subramanian, D., Pekny, J. F., Reklaitis, G. V., 2000. A simulation-optimization frame work for addressing combinatorial and stochastic aspects of an r&d pipeline management problem. Computers and Chemical Engineering 24 (2-7), 10051011.

36

Swaney, R. E., Grossmann, I. E., 1985. An index for operational flexibility in chemical process design. I. formulation and theory. Aiche Journal 31 (4), 621- 630 Vanslyke, R. M., Wets, R., 1969. L-shaped linear programs with applications to optimal control and stochastic programming. Siam Journal

on Applied Mathematics 17 (4).

Viswanath, K., Peeta, S., Salman, S., 2004. Investing in the links of a stochastic network to minimize expected shortest path length (Working paper).