RELASI HOM-TENSOR DALAM KATEGORI KOMODUL

R

ELASI

H

OM

-T

ENSOR

D

ALAM

K

ATEGORI

K

OMODUL

Icih Sukarsih

Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Islam Bandung

Jalan Tamansari 1 Bandung, 40116, Indonesia e-mail: sukarsih@yahoo.com

Abstrak. Dalam kategori modul, terdapat hubungan antara Hom dan hasil kali tensor yang dikenal dengan relasi Hom-tensor. Hubungan seperti ini ternyata terdapat juga dalam kategori komodul. Dengan memandang C-komodul sebagai R-modul serta sifat-sifat dari C-komodul dan hasil kali tensor, ternyata relasi Hom-tensor untuk modul tersebut mensyaratkan berlakunya relasi Hom-tensor untuk komodul. Kata kunci : komodul, koaljabar, Hom, Hasil kali tensor

1. Pendahuluan

Dalam aljabar atau teori ring, kita senantiasa mempelajari modulnya, yaitu grup abelian terhadap penjumlahan yang dilengkapi dengan suatu action dari aljabar. Demikian juga dalam teori koaljabar, kita dapat mempelajari R-modul atas suatu R-koaljabar C dengan coaction. Modul seperti itu dikenal sebagai C-komodul, dan untuk setiap C yang diberikan, akan terdapat C-komodul dan C-morfisma atau pemetaan C-komodul yang membentuk suatu kategori komodul, yang dinotasikan dengan MC_.

Dalam kategori modul, jika M adalah R-modul kanan dan N adalah (R,S)-bimodul, maka hasil kali tensor M _R N adalah S-modul kanan, dan Hom (M,N)

S adalah R-modul kanan. Jika diberikan S-modul kanan C, maka terdapat isomorfisma

)) , ( , ( ) , (

:Hom M N C Hom M Hom N C

S R

R

S  



yang dinamakan relasi Hom-tensor. Selanjutnya, apakah relasi seperti di atas juga terdapat dalam kategori komodul? Mengingat setiap C-komodul dapat dipandang sebagai R-modul, tentunya relasi seperti di atas dapat dilakukan. Tulisan ini akan membahas bagaimana relasi Hom-tensor dalam kategori komodul.

2. Hasil Kali Tensor

Definisi 2.1.

Misalkan R ring (tidak harus komutatif). Misalkan M adalah R-modul kanan, N adalah R-modul kiri dan G grup abelian. Suatu fungsi :MN





G disebut balanced jika untuk setiap m,m₁,m₂M, n,n₁,n₂ N, dan r R dipenuhi



m₁ m₂,n

 

 m₁,n

 

 m₂,n



   



m,n₁ n₂

   

 m,n₁  m,n₂



    ) rn , m ( ) n , mr (   

Definisi 2.2.

Misalkan R ring. Misalkan M adalah R-modul kanan, dan N adalah R-modul kiri. Pasangan

 

T, dimana T grup abelian dan  :MN





T _{pemetaan balanced, disebut hasil kali}

tensor dari M dan N, dinotasikan dengan M_R N, jika untuk setiap grup abelian G dan untuk setiap pemetaan balanced :MN





G terdapat dengan tunggal homomorfisma

G T

:





 sedemikian hingga diagram berikut komutatif.

N M T G N M   





 yaitu,   . Definisi 2.3.

Misalkan M, M’ R-modul kanan, N, N’ R-modul kiri, dan :M





M' dan  :N





N' R-modul homomorfisma.

1) Terdapat dengan tunggal homomorfisma grup :M _R NM'_RN' sedemikian sehingga ()(mn)(m)(n) untuk setiap m Mdan n N.

2) Jika :M'





M" dan :N'





N" adalah R-modul homomorfisma, maka

) ( ) ( ) ( ) (      

3. Koaljabar

Definisi 3.1.

Misalkan R ring komutatif dengan satuan dan C adalah modul atas R. R-modul C disebut R-koaljabar jika terdapat R-pemetaan linear

   





2 1 c : c c C R C C  dan  :C





R

berturut-turut disebut coproduct dan counit, sedemikian hingga diagram berikut komutatif

C R C R C C I C R C C R C C     





 













  dan C C I C R C C R C C

























    

Secara eksplisit dinyatakan dengan :



I_C 







I_C



 dan



I_C 



I_C 



I_C





Definisi 3.2.

Diberikan R-koaljabar C dan C’. R-pemetaan linear f :C





C' disebut koaljabar morfisma jika diagram berikut komutatif

  C I   Ic I_c  

' C R ' C f f C R C ' C f C           R ' C f C 

Secara eksplisit dinyatakan dengan :



'f ( f  f ) dan 'f 

4. Komodul

Sebelumnya, R dinotasikan sebagai ring komutatif dengan satuan, MR adalah kategori R-modul, dan C, tepatnya (C,,) adalah R-koaljabar.

Definisi 4.1.

Misalkan MM_R. M disebut C-komodul kanan jika terdapat R-pemetaan linear

     1 m 0 m m C R M M : M 

(disebut coaction kanan dari C), sedemikian hingga diagram berikut komutatif

C R C R M C I C R M C R M M M M                 

M C R M M







M 

Secara eksplisit dinyatakan dengan :

M I ) M I ( ) M I ( ) C I ( M M M M              

Coaction M yang memenuhi sifat komutatif dari diagram diatas disebut koassosiatif dan mempunyai kounit. Untuk setiap m M , coaction M dikatakan koassosiatif dan mempunyai kounit jika ) 1 m ( 0 m m ) 1 m ( 0 m 1 m ) 0 m ( M _{  }    dan  Definisi 4.2.

Misalkan M dan N adalah C-komodul kanan. f :M





Ndisebut morfisma komodul (C-morfisma) jika dan hanya jika diagram berikut komutatif.

M  IM   M I M I  _'  '

C R N C I f C R M N f M   



 







 



Atau secara eksplisit dinyatakan dengan :

M M C I f f      ( )

dan untuk setiap m M:

1 m ) 0 m ( f )) m ( )( C I f ( 1 ) m ( f 0 ) m ( f )) m ( f ( M M _{      } 

Himpunan kelas-kelas C-komodul kanan bersama-sama dengan himpunan C-morfisma membentuk kategori komodul yang dinotasikan dengan MC_.

Definisi 4.3.

Misalkan MM_R. M disebut C-komodul kiri jika terdapat R-pemetaan linear

 _     0 m 1 m m M R C M : M 

disebut coaction kiri dari C ke M (C-coaction kiri), sedemikian sehingga diagram berikut komutatif. M R C R C C I M R C M R C M M M                  M M R C M M  







Secara eksplisit dinyatakan dengan :

M I ) M I ( ) M I ( ) C I ( M M M M              

Coaction M dikatakan koassosiatif dan mempunyai kounit jika

         m_1M(m₀) (m_1) m₀ m_2 m_1 m₀ dan m (m_1)m₀

C-morfisma diantara C-komodul kiri M, dan N didefinisikan secara simetris dengan C-morfisma dari C-komodul kanan. Himpunan kelas-kelas C-komodul kiri bersama-sama dengan himpunan C-morfisma membentuk kategori komodul yang dinotasikan dengan C_M.

M  _N  M M I   M I   M

I

5. Relasi Hom-tensor Dalam Kategori Komodul

Misalkan M MC dan X adalah R-modul. Hasil kali tensor X_R M adalah C-komodul kanan dengan coaction C M X M X I_X M : _R





_R _R

Lebih khusus, X_RC adalah C-komodul kanan dengan coaction

C C X C X I_X : _R





_R _R .

Relasi Hom-tensor dalam MC diperlihatkan dalam teorema berikut .

Teorema 5.1.

Misalkan X adalah R-modul.

1) Untuk setiap M MC, R-pemetaan linear

) ) , ( , ( :HomC M X _R C Hom_R M X  , f  (I_X )f,

adalah bijektif, dengan pemetaan invers h (hI_C)M. 2) Untuk setiap M,NMC, R-pemetaan linear

 :HomC(X _R M,N)Hom_R(X,HomC(M,N)), g



x g(x)



, adalah bijektif, dengan pemetaan invers h



xm h(x)(m)



.

Bukti :

(1) Untuk setiap f HomC(M,X_RC)diagram berikut komutatif

C X I I C C X I f C M C X f M R R R R R C X C                          yaitu M C M C X M C C X I f I I f I f I I f (  )(  ) (( )  ) (( ) )

Hal ini mengakibatkan  injektif.

Karena M adalah C-morfisma, maka (hI_C)M juga C-morfisma untuk setiap

) , (M X Hom

h _R . Oleh karena itu

h I h I h I I h _C)M)( _X  )(  _C)M  ( _M  )M  ((    ,  surjektif. M  IX  

(2) Relasi Hom-tensor untuk modul terdapat suatu isomorfisma R-modul, )) , ) , ( , ( (

:Hom_R X _R M N Hom_R X Hom_R M N

 (*)

Untuk setiap x X, diagram berikut komutatif

C M X C M M X M R R R R C I _{ }                   ) x ( x _ _ yaitu

)

(

)

)(

(

))

)(

)((

(

)

))(

(

)

((

I_X M



x_ m  I_X M x_ m  I_X M xm xM m dan             ) )( ) ( ) ( ( )) (( ) )( ) (( 1 0 _ _ _ m m I x m I x m I x _C  M _C M _C 



  



  1 0 1 0) ( ) ( ) )( _ (x m I m x m m C

(

)

( ) 1 0 m x m m x   M 



Jadi x_ adalah C-morfisma. Oleh karena itu, untuk setiap gHomC(X_R M,N), komposisi g ( x _) adalah C-morfisma. Di lain pihak, untuk setiap

))

,

( , (X Hom M N Hom

h _R C diagram berikut komutatif,

C N C M X N M X R R R R               yaitu, ) ( ) ( ) ( ) )( ( ) ( ) ))( ( ) ((hI_C  I_X M xm  hI_X  I_C M xm  h x I_C M m dan       

)(

)(

)

(

( )( )

)

(

( )

)

( )

(

Nh

x

m m N h x m Nh x m (h(x)I_C)M(m) sebab ) , ( ) (x Hom M N h  C .

Ini menunjukkan bahwa 1(h) berada dalam HomC(X_R M,N) dan oleh karena itu  dalam (*) membatasi pemetaan bijektif  :HomC(X _R M,N)Hom_R(X,HomC(M,N)) adalah diperlukan.  M  M X I  N  M X I 

Serupa dengan MC, relasi Hom-tensor dalam M CM diberikan dalam teorema berikut. Teorema 5.2.

Misalkan X adalah R-modul.

1) Untuk setiap M CM,terdapat isomorfisma

) ) , ( , ( ':CHom M C_R X Hom_R M X  , f  (  I_X)f ,

dengan pemetaan invers h (I_C h)M.

2) Untuk setiap M,NCM, terdapat isomorfisma

':CHom(M_R X,N)Hom_R(X,CHom(M,N)), g



x g(x)



,

dengan pemetaan invers h



mx h(x)(m)



.

6. Kesimpulan

Seperti halnya pada kategori modul, hubungan yang istimewa antara Hom dan hasil kali tensor juga terdapat dalam kategori komodul, dan relasi ini merupakan relasi yang serupa dengan relasi Hom-tensor dalam kategori modul.

Daftar Pustaka

[1] Adkins, W.A. dan Weintraub(1992). Algebra: An Approach via Module Theory. Springer-Verlag. [2] Brzezinski, T. dan Wisbauer, R. (2003). Corings and Comodules.

[3] MacLane, S. dan Birkhoff, G. (1979). Algebra. Macmillan Publishing. Co, Inc. [4] Rotman, J.J. (1979), An Introduction to Homological Algebra, Akademic Press.