DISERTASI TE KLASIFIKASI DISTORSI AKUISISI CITRA SIDIK JARI BERBASIS MULTI FITUR MENGGUNAKAN METODE SUPPORT VECTOR MACHINE

PROGRAM DOKTOR

JURUSAN TEKNIK ELEKTRO FAKULTAS TEKNOLOGI INDUSTRI

INSTITUT TEKNOLOGI SEPULUH NOPEMBER SURABAYA

2012

RAHMAT SYAM 2207301011

DOSEN PEMBIMBING

Prof. Ir. Mauridhi Hery Purnomo, M.Eng., Ph.D. Mochamad Hariadi, ST., M.Sc., Ph.D.

DISERTASI TE 09 30099

KLASIFIKASI DISTORSI AKUISISI CITRA SIDIK JARI

BERBASIS MULTI FITUR MENGGUNAKAN METODE

SUPPORT VECTOR MACHINE

DOCTORAL PROGRAMS

JOB SKILL OF MULTIMEDIA ARTIFICIAL INTELLIGENT ELECTRICAL ENGINEERING DEPARTMENT

TECHNOLOGY INDUSTRY FACULTY

INSTITUTE OF TECHNOLOGY SEPULUH NOPEMBER SURABAYA

2012

RAHMAT SYAM 2207301011

SUPERVISOR

Prof. Dr. Ir. Mauridhi Hery Purnomo, M.Eng Mochamad Hariadi, ST., M.Sc, Ph.D

DISSERTATION TE 09 30099

CLASSIFICATION FOR DISTORTION ACQUISITION ON

FINGERPRINT IMAGES BASED-ON MULTIPLE FEATURES

USING SUPPORT VECTOR MACHINE

LEMBAR

PENGESAHAN

Klasilikasi

Distorsi

Akuisisi

Citra

Sidik

Jari

Berbasis

Multi Fitur

Menggunakan Metode Sapport

Vector Machine

Disertasi ini disusun untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar Doktor (Dr.)

di Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya

Oleh: Rahmat Syam NRP.2207 301 011

Tanggal Lfian: 18 April2012

Periode Wisuda: Semester Genap

20lll20l2

Prof. Ir.MauridhiHery Pumomo. M.Eng, Ph.D

NrP.19580916 198601 1 001

Mochamad Hariadi. ST.. M.Sc.. Ph.D

NrP. 19691209 199703 1002

Prof. Dr. Ir. Tati Latifah Erawati Rajab Mengko

NrP. 19s3 1004 197802 2 001

Dr.Ir. Wirawan" DEA NIP. 19631109 198903

I

011

I Ketut Eddv Puqarna" ST.. MT.. Ph.D

NrP. 19690730 199512 1 001

----#-Pembimbing)

@,pembimbing)

n

\

_l7\t--t-/

t-___-_--V

_Genguji r)

%-sujirr)

(Penguji

II|

ffiffi

DAFTAR ISI

Halaman

Halaman Judul ... i

Halaman Pengesahan ... iii

Pernyataan Keaslian Disertasi ... v

Abstrak ... vii

Abstract ... ix

Kata Pengantar ... xi

Daftar Isi ... xiii

Daftar Gambar ... xvii

Daftar Tabel ... xxi

Daftar Notasi ... xxiii

BAB 1 PENDAHULUAN ... 1

1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Rumusan dan Batasan Masalah ... 4

1.3. Tujuan dan Manfaat Penelitian ... 5

1.4. Kontribusi Penelitian ... 5

1.5. Susunan Penulisan Disertasi ... 6

1.6. Dukungan Grup Riset ... 7

BAB 2 KAJIAN TERKAIT ... 9

2.1. Definisi Citra Digital... ₁₀

2.2. Sidik Jari... ₁₁

2.3. Akuisisi Citra Sidik Jari... ₁₁

2.4. Binerisasi... ₁₂

2.5. Segmentasi Citra Sidik Jari... ₁₃

2.5.1. Segmentasi Citra Sidik Jari Berbasis Rata-rata Intensitas Keabuan Global Citra Sidik Jari ... ₁₅

2.5.2. Segmentasi Citra Sidik Jari Berbasis Standar Deviasi Global Citra Sidik Jari ... ₁₆

Halaman 2.5.3. Segmentasi Adaptif Citra Sidik Jari Berbasis Rata-rata Intensitas

Keabuan Lokal Citra Sidik Jari ... ₁₈

2.5.4. Segmentasi Adaptif Citra Sidik Jari Berbasis Standar Deviasi Lokal Citra Sidik Jari ... ₂₀

2.5.5. Segmentasi Citra Sidik Jari dengan Fixed Threshold... ₂₁

2.6. Pembagian Blok Citra Sidik Jari... ₂₃

2.7. Klasifikasi Citra Sidik Jari... ₂₃

2.7.1. Minutiae ... ₂₆

2.7.2. Minutiae Matching ... ₂₈

2.8. Metode Klasifikasi Support Vector Machine (SVM)... ₃₀

2.8.1. SVM Multi Class... ₃₄

2.8.1.1. One-Against-All... ₃₅

2.8.1.2. One-Against-One... ₃₆

2.8.1.3. Directed Acyclic Graph Support Vector Machine (DAGSVM)... ₃₈

2.8.2. One Class SVM... ₃₉

2.9. Sistem Biometrik... ₄₁

BAB 3 POHON PENELITIAN DAN EKSTRAKSI FITUR CITRA SIDIK JARI ... 49

3.1. Pohon Penelitian ... 49

3.2. Posisi Penelitian dalam Disertasi ... 50

3.3. Data yang Digunakan dalam Penelitian ... 52

3.4. Ekstraksi Fitur Citra Sidik Jari ... 52

3.4.1. Ekstraksi Fitur Rata-rata Intensitas Lokal Citra Sidik Jari ... 53

3.4.2. Ekstraksi Fitur Nilai Varians Lokal Citra Sidik Jari ... 55

3.4.3. Ekstraksi Fitur Standar Deviasi Lokal Citra Sidik Jari ... 57

3.4.4. Ekstraksi Fitur Nilai Koherensi Lokal Citra Sidik Jari ... 58

3.4.5. Ekstraksi Fitur Skor Kejelasan Ridge-Valley Citra Sidik Jari ... 59

3.4.6. Ekstraksi Fitur Rasio Ketebalan Ridge-Valley Citra Sidik Jari ... 64

3.5. Hasil Ekstraksi Fitur Citra Sidik Jari ... 65

BAB 4 PARAMETER NILAI STANDAR DISTORSI AKUISISI CITRA SIDIK JARI ... 73

Halaman

4.2. Parameter Distorsi Akuisisi Citra Sidik Jari ... 74

4.3. Penentuan Standar Nilai Parameter Distorsi Akuisisi Citra Sidik Jari .. 75

BAB 5 KLASIFIKASI JENIS DISTORSI AKUSISI CITRA SIDIK JARI .. 89

5.1. Klasifikasi Distorsi Akuisisi Citra Sidik Jari Menggunakan Metode Support Vector Machine ... 89

5.2. Analisis dan Evaluasi Unjuk Kerja ... 96

5.3. Hasil Penelitian Grup Riset yang Mendukung Penelitian Ini ... 99

BAB 6 KESIMPULAN DAN SARAN ... 101

6.1. Kesimpulan ... 101

6.2. Saran ... 102

DAFTAR PUSTAKA ... 103 Lampiran 1 Biodata Penulis

Lampiran 2 Paper yang Telah Dipublikasi Lampiran 3 Hasil Ekstraksi Fitur Citra Sidik Jari

Lampiran 4 Hasil Perhitungan Nilai Parameter Distorsi Akuisisi Citra Sidik Jari

Lampiran 5 Grafik Fitur Hasil Uji Hyperplane dan Akurasi Klasifikasi Distorsi Akuisisi Citra Sidik Jari Menggunakan Metode SVM

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 2.1. Contoh 4 SVM Biner dengan Metode One-Against-All ... 35

Tabel 2.2. Contoh 6 SVM Biner dengan Metode One-Against-One ... 37

Tabel 2.3. Contoh 6 SVM Biner dengan Metode DAGSVM... 38

Tabel 2.4. Aplikasi Biometrik pada Forensik, Sipil dan Komersial ... 43

Tabel 3.1. Perbandingan Penelitian Terdahulu Terhadap Penelitian yang Dilakukan dalam Disertasi ... 50

Tabel 3.2. Sampel Data Hasil Ekstraksi Fitur Citra Sidik Jari Kering... 66

Tabel 3.3. Sampel Data Hasil Ekstraksi Fitur Citra Sidik Jari Netral... 67

Tabel 3.4. Sampel Data Hasil Ekstraksi Fitur Citra Sidik Jari Berminyak .. 68

Tabel 4. 1. Hasil Perhitungan Nilai Parameter Distorsi Akuisisi Citra Sidik Jari yang Disegmentasi dengan Threshold Nilai Intensitas Rata-rata Keabuan Global Citra ... 77

Tabel 4.2. Interpretasi Rentang Nilai Parameter Distorsi Akuisisi Citra Sidik Jari yang Disegmentasi dengan Threshold Nilai Intensitas Rata-rata Global Citra... 79

Tabel 4.3. Hasil Penentuan Nilai Standar Parameter Distorsi Akuisisi Citra Sidik Jari yang Disegmentasi dengan Threshold Nilai Intensitas Rata-rata Keabuan Global Citra ... 80

Tabel 4.4. Hasil Perhitungan Nilai Parameter Distorsi Akuisisi Citra Sidik Jari yang Disegmentasi dengan Threshold Nilai Standar Deviasi Global Citra ... 81

Tabel 4.5. Interpretasi Rentang Nilai Parameter Distorsi Akuisisi Citra Sidik Jari yang Disegmentasi dengan Threshold Nilai Standar Deviasi Global Citra ... 82

Tabel 4.6. Hasil Penentuan Nilai Standar Parameter Distorsi Akuisisi Citra Sidik Jari yang Disegmentasi dengan Threshold Nilai Standar Deviasi Global Citra ... 82

Halaman Tabel 4.7. Hasil Perhitungan Nilai Parameter Distorsi Akuisisi Citra Sidik

Jari yang Disegmentasi dengan Threshold Adaptif Nilai

Intensitas Rata-rata Lokal Citra... 83 Tabel 4.8. Interpretasi Rentang Nilai Parameter Distorsi Akuisisi Citra

Sidik Jari yang Disegmentasi dengan Threshold Adaptif Nilai

Intensitas Rata-rata Lokal Citra... 83 Tabel 4.9. Hasil Penentuan Nilai Standar Parameter Distorsi Akuisisi

Citra Sidik Jari yang Disegmentasi dengan Threshold Adaptif

Nilai Intensitas Rata-rata Lokal Citra ... 84 Tabel 4.10. Hasil Perhitungan Nilai Parameter Distorsi Akuisisi Citra Sidik

Jari yang Disegmentasi dengan Threshold Adaptif Nilai

Standar Deviasi Lokal Citra ... 85 Tabel 4.11. Interpretasi Rentang Nilai Parameter Distorsi Akuisisi Citra

Sidik Jari yang Disegmentasi dengan Threshold Adaptif Nilai

Standar Deviasi Lokal Citra ... 85 Tabel 4.12. Hasil Penentuan Nilai Standar Parameter Distorsi Akuisisi

Citra Sidik Jari yang Disegmentasi dengan Threshold Adaptif

Nilai Standar Deviasi Lokal Citra ... 86 Tabel 4.13 Hasil Perhitungan Nilai Parameter Distorsi Akuisisi Citra Sidik

Jari yang Disegmentasi Menggunakan Threshold 160... 87 Tabel 4.14. Interpretasi Rentang Nilai Parameter Distorsi Akuisisi Citra

Sidik Jari yang Disegmentasi Menggunakan Threshold 160... 88 Tabel 4.15 Hasil Penentuan Nilai Standar Parameter Distorsi Akuisisi

Citra Sidik Jari yang Disegmentasi Menggunakan Threshold

160 ... 88 Tabel 5.1. Uji Klasifikasi Jenis Distorsi Akuisisi Citra Sidik Jari

Berdasarkan Nilai Parameter Kualitas Citra Menggunakan

SVM Multi-class Classifier... 91 Tabel 5.2. Hasil Uji Hyperplane SVM dengan Berbagai Threshold ... 92 Tabel 5.2. Hasil Evaluasi Unjuk Kerja Sistem ... 92 Tabel 5.3. Hasil Penelitian Grup Riset yang Mendukung Penelitian Ini .... 100

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 2.1. Ridge dan Valley pada Sidik Jari ... 11

Gambar 2.2. Proses Akuisisi Citra Sidik Jari ... 12

Gambar 2.3. (a) Citra Keabuan (b) Citra Biner ... 13

Gambar 2.4. Proses Segmentasi Citra Sidik Jari ... 14

Gambar 2.5. Citra Sidik Jari yang Dihasilkan Ketika Proses Segmentasi (a) Citra Input (b) Hasil Binerisasi (c) ROI (d) Hasil Segmentasi ... 14

Gambar 2.6. Proses Segmentasi Citra Sidik Jari Berdasarkan Rata-rata Intensitas Keabuan Global Citra Sidik Jari ... 16

Gambar 2.7. Segmentasi Citra Sidik Jari Berdasarkan Rata-rata Intensitas Keabuan Global Citra Sidik Jari (a) Citra Asli (b) Citra Hasil Segmentasi ... 16

Gambar 2.8. Proses Segmentasi Citra Sidik Jari Berdasarkan Nilai Standar Deviasi Global Citra Sidik Jari ... 17

Gambar 2.9. Segmentasi Citra Sidik Jari Berdasarkan Nilai Standar Deviasi Global Citra Sidik Jari (a) Citra Asli (b) Citra Hasil Segmentasi ... 17

Gambar 2.10. Proses Segmentasi Adaptif Citra Sidik Jari Berdasarkan Rata-rata Intensitas Keabuan Lokal Citra Sidik Jari ... 19

Gambar 2.11. Segmentasi Adaptif Citra Sidik Jari Berdasarkan Rata-rata Intensitas Keabuan Lokal Citra Sidik Jari (a) Citra Asli (b) Citra Hasil Segmentasi... 19

Gambar 2.12. Proses Segmentasi Citra Sidik Jari Berdasarkan Nilai Standar Deviasi Lokal Citra Sidik Jari ... 21

Gambar 2.13. Segmentasi Citra Sidik Jari Berdasarkan Nilai Standar Deviasi Lokal Citra Sidik Jari (a) Citra Asli (b) Citra Hasil Segmentasi ... 21

Halaman Gambar 2.15. Segmentasi Citra Sidik Jari dengan Fixed Threshold (a)

Citra Asli (b) Citra Hasil Segmentasi... 22

Gambar 2.16. Model Pembagian Blok Citra (a) Overlapping (b) Non-Overlapping... 23

Gambar 2.17. Klasifikasi Jenis Sidik Jari (a) Arch, (b) Loop, dan (c) Whorl 24 Gambar 2.18. Vektor Minutiae Ridge-Ending (x,y,θ) dan Ridge-Bifurcation (Maltoni, 2003)... 27

Gambar 2.19. Citra Sidik Jari dengan Kualitas yang Berbeda (a) Citra Berkualitas Baik (b) Citra Berkualitas Kurang Baik ... 27

Gambar 2.20. Minutiae matching dari sampel sidik jari masukan dan database template... 29

Gambar 2.21. Usaha SVM dalam Menemukan Hyperplane Terbaik yang Memisahkan Class -1 dan +1 (a) Alternatif Bidang Pemisah (b) Hyperplane Terbaik dengan Margin Terbesar (Christiani dan Taylor, 2000)... 31

Gambar 2.22. Contoh Klasifikasi dengan Metode One-Against-All ... 36

Gambar 2.23. Contoh Klasifikasi dengan Metode One-Against-One ... 37

Gambar 2.24. Contoh Klasifikasi dengan Metode DAGSVM... 38

Gambar 2.25. Transformasi ke Ruang Fitur... 40

Gambar 2.26. One Class SVM ... 41

Gambar 2.27. Perbedaan FAR dan FRR dari Aplikasi Sidik Jari (Jain, dkk., 2004) ... 43

Gambar 2.28. Proses Enrollment Sidik Jari (Maltoni, dkk., 2009) ... 44

Gambar 2.29. Proses Verifikasi Sidik Jari (Maltoni, dkk., 2009) ... 44

Gambar 2.30. Proses Identification Sidik Jari (Maltoni, dkk., 2009) ... 45

Gambar 2.31. Titik Pertemuan Antara Grafik FAR dan FRR Terhadap Threshold (Reid, 2003) ... 46

Halaman Gambar 3.1. Diagram Fishbone Klasifikasi Distorsi Akuisisi Citra Sidik

Jari... 49 Gambar 3.2. Pembagian Blok Piksel Citra untuk Ekstraksi Fitur ... 53 Gambar 3.3. Proses Ekstraksi Fitur Nilai Rata-rata Intensitas Lokal Citra

Sidik Jari... 54 Gambar 3.4. Fitur Hasil Ekstraksi Berdasarkan Local Mean Citra (a)

Citra Asli (b) Citra Hasil ... 55 Gambar 3.5. Proses Ekstraksi Fitur Nilai Varians Lokal Citra Sidik Jari.... 56 Gambar 3.6. Proses Ekstraksi Fitur Nilai Standar Deviasi Lokal Citra

Sidik Jari... 57 Gambar 3.7. Ekstraksi Fitur Sidik Jari Berdasarkan Standar Deviasi Lokal

Citra (a) Citra Asli (b) Citra Hasil Ekstraksi... 57 Gambar 3.8. Proses Ekstraksi Fitur Skor Kejelasan Ridge-Valley Citra

Sidik Jari... 59 Gambar 3.9. Ekstraksi Area Lokal dan Transformasi Rotasional ke Pola

Ridge Vertikal... 60

Gambar 3.10. Pemisahan Area dari Vektor V2... 61

Gambar 3.11. Distribusi Ridge dan Valley... 61 Gambar 3.12. Proses Ekstraksi Fitur Rasio Ketebalan Ridge-Valley Citra

Sidik Jari... 65 Gambar 3.13. Grafik Fitur Nilai Intensitas Rata-rata (RR) Citra Sidik Jari... 68 Gambar 3.14. Grafik Fitur Nilai Varians (VAR) Citra Sidik Jari ... 69 Gambar 3.15. Grafik Fitur Standar Deviasi (STD) Citra Sidik Jari... 70 Gambar 3.16. Grafik Fitur Nilai Koherensi (KOH) Citra Sidik Jari ... 71 Gambar 3.17. Grafik Fitur Skor Kejelasan Ridge-Valley (CS) Citra Sidik

Jari... 71 Gambar 3.18. Grafik Fitur Rasio Ketebalan Ridge-Valley (TR) Citra Sidik

Halaman Gambar 4.1. Kualitas Citra Sidik Jari (a) Netral (b) Kering (c) Berminyak

(d) Kotor (e) Terotasi (f) Terambil Sebagian ... 74 Gambar 4.2. Tahapan Penentuan Standar Nilai Distorsi Akuisisi Citra

Sidik Jari... 78 Gambar 5.1. Jenis Citra Sidik Jari Terdistorsi Akuisisi (a) Kering (b)

Netral (c) Berminyak ... 89 Gambar 5.2. Klasifikasi Jenis Distorsi Akuisisi Citra Sidik Jari... 90 Gambar 5.3. Grafik Hasil Uji Hyperplane SVM Berdasarkan Threshold ... 93 Gambar 5.4. Grafik Akurasi Klasifikasi Distorsi Akuisisi Citra Sidik Jari

Menggunakan Metode SVM pada Database DB_ITS_2009 .. 94 Gambar 5.5. Grafik Akurasi Klasifikasi Distorsi Akuisisi Citra Sidik Jari

Menggunakan Metode SVM pada Database DB_B

FVC_2000 ... 95 Gambar 5.6. Grafik Nilai False Acceptance Rate ... 98 Gambar 5.7. Grafik Nilai Specificity... 99

DAFTAR NOTASI

Notasi Makna / Arti

F Matriks / Citra

f Amplitudo pada posisi koordinat

i Koordinat/Indeks baris citra

j Koordinat/Indeks kolom citra

Σ Sum (total beberapa set nilai )

M Tinggi citra

N Lebar citra

R Intensitas rata-rata keabuan global citra

Gx Gxx Gradien lokal horisontal

Gy Gyy Gradien lokal vertikal

T Threshold

w Ukuran window/blok

Gs,x,Gs,y Gradient kuadrat

d Dimensi

xi Data yang tersedia

yi Label keluaran

l Banyaknya data

αi Lagrange multiplier

C Parameter untuk mengontrol trade-off antara margin dan kesalahan klasifikasi

ξ Kesalahan klasifikasi θ Sudut ridge bifurcation

RB Rata-rata intensitas keabuan lokal citra sidik jari

VB Varians lokal citra sidik jari

StdB Standar deviasi lokal citra sidik jari

KB Nilai koherensi lokal citra sidik jari

RR Fitur nilai rata-rata intensitas keabuan citra sidik jari

VAR Fitur nilai varians citra sidik jari

STD Fitur nilai standar deviasi citra sidik jari

KOH Fitur nilai koherensi citra sidik jari

CS Skor kejelasan ridge-valley citra sidik jari

TR Skor ketebalan ridge-valley citra sidik jari

P Korelasi antara vektor minutiae masukan dan vektor minutiae template

MPQ Jumlah vektor minutiae query dan template yang bersesuaian

MQ Jumlah vektor minutiae query

Maxf Nilai maksimum parameter fitur setiap jenis citra sidik jari

Minf Nilai minimum parameter fitur setiap jenis citra sidik jari

Medf Nilai tengah parameter fitur setiap jenis citra sidik jari

Rup Nilai rentang atas fitur setiap jenis citra sidik jari

KATA PENGANTAR

Alhamdulillahirabbil’alamin penulis panjatkan puji syukur kepada Allah SWT, atas rahmat, nikmat dan hidayah-Nya serta salawat dan salam kepada Rasulullah SAW, sehingga buku disertasi ini dapat dirampungkan.

Sepenuhnya penulis sadar bahwa selama penyusunan disertasi ini banyak pihak yang telah memberikan bantuannya, sehingga pada kesempatan ini penulis ingin menyampaikan terima kasih yang tulus kepada:

1. Bapak Prof. Dr. Ir. Adi Suprijanto, M.Sc. selaku Direktur Program Pascasarjana Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya.

2. Bapak Ir. Djoko Purwanto, M.Eng., Ph.D. selaku Koordinator Pengelola Program Studi Pascasarjana Jurusan Teknik Elektro ITS Surabaya beserta segenap staf dosen dan karyawan.

3. Bapak Prof. Ir. Mauridhi Hery Purnomo, M.Eng, Ph.D. dan Bapak Mochamad Hariadi, S.T., M.Sc., Ph.D. selaku Pembimbing dan Co-Pembimbing yang telah memberikan bimbingan dan dorongan semangat dengan tulus dan penuh kesabaran.

4. Ibu Prof. Dr. Ir. Tati Latifah Erawati Rajab Mengko, Bapak Dr. Ir. Wirawan, DEA dan Bapak I Ketut Eddy Purnama, ST., MT., Ph.D sebagai tim penguji yang telah memberikan sumbang saran dalam rangka penyempurnaan buku disertasi ini.

5. Beasiswa BPPS DIKTI (2007 – 2010) dan Hibah Disertasi Doktor DP2M DIKTI (2010) yang telah membantu membiayai penulis selama kuliah di program Doktor Bidang Keahlian Jaringan Cerdas Multimedia Teknik Elektro ITS.

6. Bapak Prof. Dr. H. Arismunandar, M.Pd. selaku Rektor Universitas Negeri Makassar yang telah memberikan dukungan dan kesempatan kepada penulis untuk menempuh studi lanjut.

7. Bapak Prof. Dr. H. Hamzah Upu, M.Ed. selaku Dekan FMIPA Universitas Negeri Makassar yang telah memberikan nasihat, dukungan dan kesempatan kepada penulis untuk menempuh studi lanjut.

8. Bapak Dr. Muhammad Darwis, M.Pd. selaku Ketua Jurusan Matematika FMIPA Universitas Negeri Makassar yang telah memberikan dukungan dan kesempatan kepada penulis untuk menempuh studi lanjut.

9. Yang tercinta Ibunda Hj. Andi Sitti Maemunah dan Ayahanda H. Andi Syamsul Bachri (Insya Allah Rahimahullah), Bapak dan Ibu mertuaku H. Ince Abd. Radjab dan Hj. Mariati yang dengan tulus memberikan do’a dan dukungannya.

10. Istriku tercinta Hj. Ince Suciati yang dengan tulus telah memberikan kesempatan, dukungan, do’a, pengorbanan, dan pengertian dengan kesabaran dan ketabahan yang sangat luar biasa, sehingga penulis dapat menyelesaikan semua ini.

11. Terkhusus kepada kakanda Hj. Rosmala dan H. Misbachussueb sekeluarga yang telah menampung penulis dirumahnya dan segala bantuan serta dukungannya selama masa studi.

12. Saudara-saudaraku, khususnya kepada Hj. Kurnia Syam sekeluarga, kakak dan adik iparku khususnya kepada Hj. Rosmiati dan H. Syamsuddin sekeluarga yang telah memberikan banyak bantuan, dukungan dan do’anya.

13. Bapak H. Nurjaya sekeluarga dan H. Rustam sekeluarga atas bantuan dan dukungannya.

14. Rekan-rekanku Bapak Irfan Syamsuddin, Sabri, Arif Muntasa, Yoyon Kusnendar Suprapto, Eko Mulyanto, Sjamsiar A Rachman, Rimuljo Hendradi dan Ibu Inggrid Nurtanio atas bantuan diskusi, dukungan dan do’anya.

15. Anggota grup riset sidik jari: Bapak Sila M. Syakri, Abdel Wahed M., Yoyok Supriyono, Muhammad Nasir, dan Cahyo Darujati, kawan-kawan di Lab. Thesis A.204 antara lain: Al-Akh Giri Wahyu Wiriasto, Bapak Heru Aroko, Ibu Mursyidah, Al-Akh Ikhsan, Al-Akh Putra Wisnu A.S., dan lain-lain.

16. Pihak-pihak lain yang tidak dapat kami sebutkan satu-persatu dan telah memberikan bantuan dan do’anya selama ini.

Akhirnya penulis pun sadar bahwa sebagai manusia biasa memiliki keterbatasan dan kekurangan sehingga karya ini mungkin masih belum sempurna. Untuk itu saran dan kritik yang membangun akan diterima dengan tangan terbuka.

Surabaya, 18 April 2012

DAFTAR LAMPIRAN

Halaman Lampiran 1 Biodata Penulis ... L-1 Lampiran 2 Paper yang Telah Dipublikasi ... L-2 Lampiran 3 Hasil Ekstraksi Fitur Citra Sidik Jari ... L-3 Lampiran 4 Hasil Perhitungan Nilai Parameter Distorsi Akuisisi Citra

Sidik Jari ... L-4 Lampiran 5 Grafik Fitur Hasil Uji Hyperplane dan Akurasi Klasifikasi

Distorsi Akuisisi Citra Sidik Jari Menggunakan Metode

Klasifikasi Distorsi Akuisisi Citra Sidik Jari Berbasis Multi Fitur

Menggunakan Metode

_{Support Vector Machine}

Nama Mahasiswa : Rahmat Syam

NRP : 2207301011

Pembimbing : Prof. Ir. Mauridhi Hery Purnomo, M.Eng., Ph.D. Co-Pembimbing : Mochamad Hariadi, S.T., M.Sc., Ph.D.

ABSTRAK

Kualitas data citra sidik jari merupakan faktor utama penentu tingkat akurasi keberhasilan proses pengenalan sidik jari dalam sistem biometrik. Kualitas citra sidik jari yang mengandung beberapa parameter penting sebagai prasayarat pemrosesan data lebih lanjut, terdefenisi dengan jelas pada saat proses akuisisi. Permasalahannya adalah pada tahap ini, ditemui fakta bahwa sangat dibutuhkan informasi jenis distorsi citra sidik jari agar dapat ditentukan metode perbaikan citra yang tepat sehingga dihasilkan tingkat akurasi pengenalan yang tinggi.

Penelitian ini dilakukan untuk menghadirkan cara alternatif proses klasifikasi jenis distorsi akuisisi citra sidik jari ke dalam tiga kategori (kering, netral dan berminyak) menggunakan metode Support Vector Machine (SVM) berbasis multi fitur citra sidik jari. yang terdiri dari: nilai intensitas rata-rata (RR), nilai varians (VAR), standar deviasi (STD), nilai koherensi (KOH), skor kejelasan

ridge-valley (CS) dan rasio ketebalan ridge-valley (TR). Penelitian ini

dititikberatkan pada penentuan nilai strandar parameter jenis distorsi akuisisi citra sidik jari dan analisis metode klasifikasi yang difokuskan pada pengaruh perbedaan penggunaan fungsi kernel SVM terhadap rasio kebenaran klasifikasi sidik jari.

Hasil penelitian menunjukan bahwa fungsi kernel SVM yang paling optimal untuk klasifikasi jenis distorsi akuisisi citra sidik jari berbasis multi fitur ke dalam tiga kategori kering, netral dan berminyak adalah kernel polynomial dengan nilai c=108.

Classification for Distortion Acquisition on Fingerprint Images

Based-on Multiple Features

Using Support Vector Machine

Name of Student : Rahmat Syam ID Number : 2207301011

Supervisor : Prof. Ir. Mauridhi Hery Purnomo, M.Eng., Ph.D. Co-Supervisor : Mochamad Hariadi, S.T., M.Sc., Ph.D.

ABSTRACT

The quality of fingerprint image at the input side biometric system is the main factor to determining accuracy of fingerprint recognition result. The one of major problems is fingerprint image distorted at the time of acquitition process. Therefore, the classification of distortions type is riquired to set the right image enhancement method and produce the optimum accuracy value of recognition process.

These research is done to classify kind of distortition fingerprint image acquitition into three category (dry, neutral, and oily) using support vector machine methode base on multi feature fingerprint image data are mean of grey intensity (RR), variance (VAR), standard of deviation (STD), coherence (KOH), ridge-valley clarity score (CS) and ridge-valley thickness ratio (TR). Focused to determining standard value parameter type fingerprint image distortion and to analysis the performance kind of kernel function with ratio of truth classification fingerprint image methods.

The result shows that the optimum support vector machine kernel function used to classify fingerprint image acquitition distortion into three category (dry, neutral, and oily) is polynomial kernel with c=108.

BAB 1

PENDAHULUAN

1.1. Latar Belakang

Identifikasi menggunakan ciri-ciri fisik atau anggota tubuh manusia, seperti sidik jari (fingerprint), wajah, suara, iris dan retina mata disebut dengan sistem biometrik. Sistem biometrik memiliki beberapa kelebihan seperti tidak mudah hilang, tidak dapat lupa, tidak mudah dipalsukan, dan memiliki keunikan yang berbeda antara manusia satu dengan yang lain (Ross, dkk., 2002: Espinosa, 2001).

Sidik jari merupakan salah satu anggota tubuh manusia yang paling populer dan telah lama digunakan dalam sistem biometrik dengan kehandalan sangat tinggi dalam identifikasi seseorang pada berbagai kondisi sosial seperti kontrol akses, aplikasi komersial, penyelidikan kejahatan dan tindak kriminal, serta identitas pribadi (Ratha, dkk., 1996).

Teknologi identifikasi dengan sidik jari sampai saat ini terus dikembangkan dan dikompetisikan. Salah satu kompetisi internasional adalah

Fingerprint Verification Competition (FVC). Kompetisi ini mengukur akurasi dan

waktu yang dibutuhkan dalam identifikasi. Metode identifikasi yang dapat menghasilkan data tunggal yang benar (singularity) dalam data yang besar membutuhkan waktu proses identifikasi yang lama. Oleh karena itu metode yang banyak diaplikasikan adalah metode minutiae-based (Maltoni, 2003), karena metode ini dapat melakukan identifikasi dengan cepat pada data sidik jari dengan

jumlah besar, namun kelemahannya adalah identifikasi yang dihasilkan lebih dari satu sidik jari (non-singularity).

Kinerja sebuah algoritma identifikasi citra sidik jari sangat bergantung pada kualitas citra sidik jari input (Ratha, dkk., 1996). Namun pengenalan sidik jari dengan metode minutiae-based mengalami kesulitan pada citra sidik jari yang memiliki kualitas rendah (poor quality). Citra sidik jari berkualitas rendah antara lain disebabkan oleh kondisi kulit (berminyak, kering, kotor, cacat) ataupun karena kualitas peralatan fingerprint yang digunakan. Penyebab lain rendahnya kualitas citra sidik jari dapat pula disebabkan oleh distorsi pada saat pengambilan (akuisisi) citra sidik jari. Hal ini sangat mempengaruhi persentase akurasi pengenalan. Apabila jenis distorsi akuisisi citra sidik jari dapat diklasifikasi lebih dini sebelum dilakukan pengenalan, maka dapat diterapkan metode yang tepat untuk memperbaiki kualitas citra sehingga bisa meningkatkan akurasi hasil pengenalan sidik jari dengan kualitas yang baik (singularity).

Penelitian di bidang klasifikasi citra sidik jari secara umum telah banyak dilakukan oleh para peneliti di bidang citra, antara lain adalah: (a) (Bhuyan dan Bhattacharyya, 2009) mengusulkan sebuah metode klasifikasi sidik jari berdasarkan pada sebuah teknik hierarchical agglomerative clustering, akurasi retrieval metode pencarian yang ditemukan ternyata efektif dalam pencahayaan hanya pada beberapa database real-life; (b) (Yun dan Cho, 2006) mengusulkan sebuah metode preprocessing adaptive, yang mengekstraksi lima ciri dari citra sidik jari dan mengklasifikasi kualitas citra dari sisi ukuran: poor, good, dan

excellent dengan metode Ward’s Algorithm, dan memperbaiki citra sesuai dengan

untuk klasifikasi sidik jari berdasarkan pada analisis singularities dan traced

pseudoridge, klasifikasi didasarkan pada kebenaran pasangan dari singularities,

namun gagal dalam beberapa kondisi. Klasifikasi dikelompokkan pada lima kelas:

arch, tented arch, left loop, right loop, dan whorl; (d) (Ratha, dkk., 1996) mengusulkan sebuah metode untuk memperkirakan kualitas citra dari citra-citra

wavelet scalar quantization (WSQ), ini hanya untuk format WSQ yang telah

dikompresi dan bukan untuk kasus citra sidik jari secara umum.

Namun dari penelitian-penelitian terdahulu di atas terbatas pada: database real-life; sidik jari diklasifikasi berdasarkan ukuran kualitas dari sisi:

poor, good, dan excellent; sidik jari diklasifikasi berdasarkan jenis tekstur ridge (arch, tented arch, left loop, right loop, dan whorl); terbatas untuk format WSQ yang telah dikompresi dan bukan untuk kasus citra sidik jari secara umum.

Penelitian ini dilakukan untuk menetapkan standar nilai parameter jenis distorsi akuisisi citra sidik jari dan mengklasifikasi jenis distorsi akuisisi citra sidik jari menggunakan metode support vector machine (SVM) dengan penggunaan kernel yang berbeda berbasis multi fitur (rata-rata intensitas, standar deviasi, skor kejelasan ridge-valley, dan rasio ketebalan ridge-valley citra sidik jari). Ada empat tahapan utama pada penelitian ini, yakni segmentasi, ekstraksi ciri, standarisasi nilai parameter distorsi akuisisi, dan klasifikasi jenis distorsi akuisisi citra sidik jari.

Data berupa citra sidik jari diambil dari subyek penelitian dengan berbagai latar belakang pekerjaan (mahasiswa, pegawai, karyawan, buruh, dan petani). Proses pengambilan data dilakukan dengan merujuk pada pedoman pengambilan data Fingerprint Verification Competition (FVC) Database-2 (DB2),

yakni menggunakan optical sensor fingerprint. Scanner fingerprint yang digunakan saat pengambilan data adalah optical sensor fingerprint “U.are.U 4000” yang diproduksi oleh digital persona.

1.2. Rumusan dan Batasan Masalah

Dengan demikian permasalahan yang harus dipecahkan dalam penelitian ini adalah:

1. Bagaimana menentukan metode segmentasi yang tepat untuk mengklasifikasi jenis distorsi akuisisi (kering, netral, dan berminyak) citra sidik jari.

2. Bagaimana mengekstraksi fitur citra sidik jari untuk keperluan klasifikasi jenis distorsi akuisisi citra sidik jari.

3. Bagaimana menentukan karakteristik dan standar nilai parameter jenis distorsi akuisisi citra sidik jari.

4. Bagaimana mengklasifikasi jenis distorsi akuisisi citra sidik jari menggunakan metode Support Vector Machine.

Penelitian ini dibatasi pada pengklasifikasian jenis distorsi akuisisi citra sidik jari yang diambil menggunakan scanner fingerprint jenis optical sensor ke dalam tiga kategori, yakni kering, netral, dan berminyak berdasarkan ukuran kualitas citra.

1.3. Tujuan dan Manfaat Penelitian

Adapun tujuan yang ingin dicapai dalam penelitian ini adalah:

1. Melakukan segmentasi citra sidik jari yang tepat dalam mengklasifikasi jenis distorsi akuisisi citra sidik jari.

2. Melakukan ekstraksi fitur citra sidik jari untuk keperluan klasifikasi distorsi akuisisi citra sidik jari.

3. Menentukan karakteristik dan parameter nilai standar distorsi akuisisi citra sidik jari.

4. Menetapkan penggunaan kernel terbaik dalam mengklasifikasi jenis distorsi akuisisi citra sidik jari pada metode Support Vector Machine. Adapun manfaat yang diharapkan dari penelitian ini adalah agar dapat: 1. Mendeteksi dan mengklasifikasi jenis distorsi akuisisi (kering, netral,

dan berminyak) citra sidik jari.

2. Membangun classifier yang tepat dalam mengklasifikasi distorsi akuisisi citra sidik jari jenis kering, netral, dan berminyak.

3. Memudahkan dalam mengidentifikasi sidik jari pada database yang besar dengan kualitas akurasi yang baik (singularity).

1.4. Kontribusi Penelitian

Adapun penelitian terkini dari penelitian ini adalah mengklasifikasi jenis distorsi akuisisi citra sidik jari ke dalam tiga kategori: kering, netral, dan berminyak menggunakan metode Support Vector Machine berbasis multi fitur

(rata-rata intensitas keabuan, varians, standar deviasi, koherensi, skor kejelasan

ridge-valley, dan rasio ketebalan ridge-valley citra sidik jari).

1.5. Susunan Penulisan Disertasi

Disertasi ini terdiri dari tujuh bab. Bab 1 adalah sebuah pendahuluan, dijelaskan tentang latar belakang, rumusan dan batasan masalah, tujuan dan manfaat penelitian, kontribusi penelitian, susunan penulisan disertasi, dan dukungan grup riset pada penelitian ini. Kajian yang terkait dengan topik penelitian dijelaskan pada Bab 2, terdiri dari teori-teori tentang sidik jari; akuisisi, segmentasi, dan ekstraksi citra sidik jari; dan support vector machine (SVM) sebagai sebuah classifier. Pohon penelitian dan ekstraksi fitur citra sidik jari yang diterapkan pada penelitian ini dijelaskan pada Bab 3. Bagaimana menenentukan nilai standar distorsi akuisisi citra sidik jari dijelaskan pada Bab 4. Bab 5 diusulkan sebuah model classifier untuk klasifikasi jenis distorsi akuisisi citra sidik jari menggunakan support vector machine (SVM). Akhirnya Bab 6 adalah kesimpulan penelitian dan saran untuk peneliti selanjutnya. Peta jalan penelitian ini dapat dilihat pada Gambar 1.1.

Gambar 1.1. Peta Jalan Penelitian

1.6. Dukungan Grup Riset

Penelitian ini didukung beberapa penelitian oleh grup riset (tesis magister (S2)). Dukungan tersebut adalah penelitian tentang perbaikan kualitas citra sidik jari berminyak menggunakan metode unsharpening (Syakri, 2009b), perbaikan kualitas citra sidik jari kering menggunakan proses smoothing, skeletonizing, dilasi, dan union (Motwakel, 2010b), deteksi kerusakan citra sidik jari menggunakan metode learning vector quantization (Supriyono, 2010b),

enhancement citra sidik jari kotor menggunakan teknik hybrid morphology dan gabor filter (Nasir, 2010c), dan deteksi distorsi citra sidik jari terotasi menggunakan metode phase only correlation (Darujati, 2010b).

b 1

Ross, A., Jain A., dan Resimen, J., (2002), “A Hybrid Fingerprint Matcher”, dalam Proceeding Of International Conference on Pattern Recognition

(ICPR), August 11-15, Quebec City.

Espinosa, V., (2001), “Minutiae Detection Algorithm for Fingerprint Recognition”, ICCST.

Ratha, N.K., Karu, K., Chen, S., dan Jain, A.K., (1996), “A Real-time Matching System for Large Fingerprint Databases”, IEEE Transaction on Pattern

Analysis and Machine Intelligence, 18 (8), hal. 799–813. Maltoni, 2003

Bhuyan dan Bhattacharyya, 2009 Zhang, dkk., 2006

BAB 2

KAJIAN TERKAIT

Sistem biometrik adalah sistem untuk melakukan identifikasi menggunakan ciri-ciri fisik atau anggota tubuh manusia, seperti sidik jari (fingerprint), wajah, iris dan retina mata, suara. (Jain, dkk., 2002 : Espinosa, 2001).

Sejak dahulu sidik jari telah diketahui keunikannya, bahwa tidak ada seorangpun di dunia ini yang memiliki sidik jari yang sama persis. Sehingga telah dimanfaatkan untuk pengenalan dan pelacakan identitas seseorang. Dalam satu dekade terakhir, penelitian tentang sidik jari berdasarkan sistem biometrik telah tumbuh secara signifikan. Tentu saja harapan adanya sistem identifikasi yang cepat dan tepat bukan hanya untuk melacak dan mengungkap pelaku kejahatan, tetapi juga diharapkan dapat menjadi pengganti cara-cara pengamanan konvensional misalnya dengan password dan Personal Identification Number (PIN).

Sistem pengenalan sidik jari harus mampu mengidentifikasi sidik jari seseorang dari sekumpulan besar basis data sidik jari. Hal ini merupakan masalah tesendiri bagi efisiensi sistem identifikasi. Sehingga digunakan berbagai pendekatan klasifikasi berdasarkan ciri yang tampak pada sidik jari.

Sebuah sistem klasifikasi sidik jari terdiri dari empat sub sistem yakni akuisisi, ekstraksi fitur, analisis kualitas, dan klasifikasi citra sidik jari (Tabassi, dkk., 2004). Akuisisi citra sidik jari dapat dilakukan dengan cara citra diambil dari jari seseorang menggunakan alat scanner fingerprint secara langsung maupun dari

sidik jari yang diambil pada selembar kertas dengan terlebih dahulu ujung jari seseorang di tempelkan pada bantalan yang berisi tinta. Ekstraksi fitur adalah proses menginterpretasi citra yang telah diambil ke dalam beberapa space (ruang) untuk memunculkan ciri yang dimiliki. Analisis kualitas adalah perhitungan tingkat kualitas citra sebagai acuan dalam klasifikasi. Klasifikasi kualitas berarti pengelompokan citra sidik jari ke dalam beberapa jenis citra berdasarkan tingkat kualitasnya. Kinerja sistem secara keseluruhan tergantung pada seberapa baik kualitas citra sidik jari.

Realitas pada saat pengambilan sidik jari pada berbagai aplikasi seperti kependudukan, kriminalitas, maupun bisnis menunjukkan bahwa sangat besar kemungkinan terjadinya distorsi pada saat akuisisi citra sidik jari dilakukan. Sehingga kualitas citra sidik jari yang dihasilkan pun berkualitas rendah. Apabila jenis distorsi akuisisi citra sidik jari dapat diklasifikasi lebih dini sebelum dilakukan pengenalan, maka dapat diterapkan metode yang tepat untuk memperbaiki kualitas citra sehingga bisa meningkatkan akurasi hasil pengenalan sidik jari dengan kualitas yang baik (singularity).

2.1. Definisi Citra Digital

Sebuah citra digital dinyatakan sebagai suatu fungsi dua dimensi f(i,j), dengan i dan j adalah posisi koordinat citra, f adalah amplitudo pada posisi koordinat (i,j) yang disebut sebagai intensitas (Gonzales, 2002). Nilai intensitas 8 bit mulai dari 0 hingga 255. Citra hasil tangkapan kamera ataupun scanner yang telah dikuantisasi dalam nilai diskrit inilah yang disebut dengan citra digital. Citra digital dapat dinyatakan sebagaimana pada persamaan (2.1).

                = ) , ( ) 3 , ( ) 2 , ( ) 1 , ( ) , 3 ( ) 3 , 2 ( ) 2 , 3 ( ) 1 , 2 ( ) , 2 ( ) 3 , 2 ( ) 2 , 2 ( ) 1 , 2 ( ) , 1 ( ) 3 , 1 ( ) 2 , 1 ( ) 1 , 1 ( ) , ( n m F m F m F m F n F F F F n F F F F n F F F F j i F L M O M M M L L L (2.1)

Persamaan (2.1) dinyatakan sebagai sebuah matriks F dengan koordinat i dan j. Jumlah baris dinyatakan sebagai m dan n adalah jumlah kolom matriks.

2.2. Sidik Jari

Sidik jari adalah suatu bentuk pola garis pada permukaan sebuah ujung jari. Sebuah citra sidik jari terdiri dari ridge (punggung) dan valley (lembah) sebagaimana pada Gambar 2.1. Ridge didefinisikan sebagai satu bagian lengkung dan valley adalah wilayah antara dua ridge yang berdekatan. Secara umum, garis-garis hitam berarti ridge dan garis-garis-garis-garis putih berarti valley. Kualitas citra sidik jari bergantung pada kebersihan/kejelasan ridge yang dipisahkan oleh valley.

Gambar 2.1. Ridge dan Valley pada Sidik Jari

2.3. Akuisisi Citra Sidik Jari

Akuisisi citra sidik jari adalah proses untuk mendapatkan data-data citra sidik jari secara digital atau dengan kata lain penerjemahan data dari suatu sensor

ke dalam bit-bit data sidik jari. Proses akuisisi citra sidik jari dapat dijelaskan pada Gambar 2.2. Data yang dihasilkan diinterpretasi dalam bentuk vektor dua dimensi.

Gambar 2.2. Proses Akuisisi Citra Sidik Jari

2.4. Binerisasi

Sebuah citra skala keabuan adalah mempunyai jumlah tingkat keabuan yang spesifik. Untuk citra skala keabuan 8 bit bisa merepresentasikan 28-1 = 255 intensitas. Sebagian besar citra sidik jari disimpan sebagai citra skala keabuan 8 bit dalam suatu citra jenis bitmap atau TIFF. Nilai intensitas tingkat keabuan yang besar, meningkatkan kompleksitas pemrosesan. Untuk mengatasi hal ini, citra dikonversi ke dalam citra biner dengan nilai intensitas citra yang dihasilkan hanya terdiri atas 0 dan 1 saja. Proses konversi ini disebut binerisasi.

Konversi citra keabuan ke citra biner dilakukan dengan mengisi kembali piksel-piksel citra dengan nilai 0 dan 1. Nilai 0 merupakan representasi warna hitam dan 1 merupakan representasi warna putih berdasarkan nilai ambang

(threshold) tertentu sesuai kebutuhan. Persamaan (2.2) dituliskan untuk konversi citra ke bentuk biner.

   = 0 1 ) , (i j F

jika

jika

selainnya T j i I(, )> (2.2)

Citra F dikonversi ke dalam suatu citra biner menggunakan nilai

threshold T. F(i,j) merepresentasikan nilai intensitas citra di posisi koordinat pixel

(i,j). Gambar 2.3 menunjukkan citra keabuan dan citra hasil binerisasi.

(a) (b)

Gambar 2.3. (a) Citra Keabuan (b) Citra Biner

2.5. Segmentasi Citra Sidik Jari

Suatu tahapan penting dalam sistem pengenalan citra sidik jari otomatis adalah segmentasi (Klein, dkk., 2002). Segmentasi adalah dekomposisi dari sebuah citra terhadap komponen-komponennya. Secara umum proses segmentasi citra sidik jari dapat dijelaskan sebagaimana pada Gambar 2.4. Citra yang dihasilkan selama proses segmentasi, dapat dilihat pada Gambar 2.5.

Gambar 2.4. Proses Segmentasi Citra Sidik Jari

Sebuah citra sidik jari yang telah diambil terdiri dari dua komponen yang disebut latar depan (foreground) dan latar belakang (background) (Bazen dan Gerez, 2001: Maltoni, dkk., 2009). Foreground adalah komponen asli dari hasil kontak sebuah ujung jari dengan sensor. Daerah noise pada batas citra disebut

background. Dalam sebuah citra sidik jari, area background secara umum

menghasilkan suatu nilai varian keabuan yang sangat rendah, sedangkan area

foreground itu mempunyai nilai varian yang sangat tinggi. Oleh karena itu

dibutuhkan algoritma segmentasi untuk memisahkan area foreground terhadap area background citra.

(a) (b) (c) (d)

Gambar 2.5. Citra Sidik Jari yang Dihasilkan Ketika Proses Segmentasi (a) Citra Input (b) Hasil Binerisasi (c) ROI (d) Hasil Segmentasi

2.5.1. Segmentasi Citra Sidik Jari Berbasis Rata-rata Intensitas Keabuan Global Citra Sidik Jari

Nilai intensitas rata-rata tingkat keabuan citra mengindikasikan tingkat keabuan citra secara umum (Bazen dan Gerez, 2001). Oleh karena itu, apabila nilai intensitas rata-rata tingkat keabuan citra secara global diketahui, maka mengindikasikan tingkat keabuan citra secara keseluruhan. Nilai rata-rata intensitas tingkat keabuan adalah salah satu fitur yang berguna untuk segmentasi citra sidik jari. Sensor sidik jari yang baik, dapat menghasilkan struktur

ridge-valley dengan pendekatan ridge dan valley yang baik. Background sebuah citra

sidik jari adalah bagian dari jari yang tidak menyentuh sensor, berwarna agak putih. Ini berarti bahwa nilai keabuan rata-rata pada foreground secara umum lebih rendah dari nilai keabuan rata-rata pada background. Intensitas rata-rata tingkat keabuan sebuah citra dapat dihasilkan berdasarkan persamaan (2.3).

∑ ∑

= = × = m i n j j i F n m R 1 1 ) , ( 1 _(2.3)

dimana R adalah rata-rata dari nilai intensitas tingkat keabuan citra F. m dan n secara berurut adalah representasi tinggi dan lebar citra F. Koordinat piksel kolom dan baris masing-masing diwakili oleh i dan j. Gambaran tentang proses segmentasi citra sidik jari berdasarkan nilai intensitas rata-rata global citra ditunjukkan pada Gambar 2.6. Contoh citra hasil proses segmentasi ini dapat dilihat pada Gambar 2.7.

Gambar 2.6. Proses Segmentasi Citra Sidik Jari Berdasarkan Rata-rata Intensitas Keabuan Global Citra Sidik Jari

(a) (b)

Gambar 2.7. Segmentasi Citra Sidik Jari Berdasarkan Rata-rata Intensitas Global Citra Sidik Jari (a) Citra Asli (b) Citra Hasil Segmentasi

2.5.2. Segmentasi Citra Sidik Jari Berbasis Standar Deviasi Global Citra

Sidik Jari

Standar deviasi untuk sebuah citra F yang berukuran m x n piksel didefinisikan menggunakan persamaan (2.4).

∑ ∑

= =

−

×

=

m i n j

R

j

i

F

n

m

Std

1 1 2

)

)

,

(

(

1

(2.4)

dimana Std adalah nilai standar deviasi citra sidik jari F. m dan n masing-masing adalah representasi tinggi dan lebar citra F. Koordinat piksel kolom dan baris masing-masing diwakili oleh i dan j. Proses segmentasi citra sidik jari berdasarkan standar deviasi global citra dijelaskan pada Gambar 2.8. Contoh citra hasil proses segmentasi ini dapat dilihat pada Gambar 2.9.

Gambar 2.8. Proses Segmentasi Citra Sidik Jari Berdasarkan Nilai Standar Deviasi Global Citra Citra Sidik Jari

(a) (b)

Gambar 2.9. Segmentasi Citra Sidik Jari Berdasarkan Nilai Standar Deviasi Global Citra Sidik Jari (a) Citra Asli (b) Citra Hasil Segmentasi

2.5.3. Segmentasi Adaptif Citra Sidik Jari Berbasis Rata-rata Intensitas Keabuan Lokal Citra Sidik Jari

Rata-rata nilai intensitas tingkat keabuan citra mengindikasikan tingkat keabuan citra secara umum (Yun dan Cho, 2006). Oleh karena itu, apabila rata-rata nilai intensitas tingkat keabuan citra secara lokal diketahui, maka mengindikasikan tingkat keabuan lokal citra.

Segmentasi adaptif citra sidik jari dilakukan berdasarkan ukuran rata-rata intensitas tingkat keabuan lokal dengan membagi citra ke dalam beberapa blok berukuran wxw piksel. Rata-rata tingkat keabuan lokal dari sebuah blok citra sidik jari didefinisikan pada persamaan (2.5).

∑ ∑

= = = w i w j B F i j w M 1 1 2 ( , ) 1 _(2.5)

di mana MB adalah rata-rata tingkat keabuan lokal citra F pada blok berukuran

wxw piksel. Koordinat piksel diwakili oleh i dan j. Proses segmentasi citra sidik jari berdasarkan rata-rata intensitas keabuan lokal citra dijelaskan pada Gambar 2.10.

Gambar 2.10. menjelaskan bahwa citra sidik jari F dipartisi ke dalam blok non-overlapping berukuran wxw piksel. Untuk setiap blok, nilai rata-rata

intensitas citra dihitung berdasarkan persamaan (2.5). Kemudian setiap blok disegmentasi berdasarkan distribusi nilai rata-rata intensitas lokal citra. Jika intensitas citra F pada blok di koordinat piksel (i,j) kurang dari rata-rata intensitas citra per blok (MB), maka citra hasil F2 pada koordinat tersebut diberi nilai 0 dan

selain itu diberi nilai 1. Proses ini dilakukan pada semua piksel. Contoh citra hasil proses segmentasi ini dapat dilihat pada Gambar 2.11.

Gambar 2.10. Proses Segmentasi Adaptif Citra Sidik Jari Berdasarkan Rata-rata Intensitas Keabuan Lokal Citra Sidik Jari

(a) (b)

Gambar 2.11. Segmentasi Adaptif Citra Sidik Jari Berdasarkan Rata-rata Intensitas Keabuan Lokal Citra Sidik Jari (a) Citra Asli (b) Citra Hasil Segmentasi

2.5.4. Segmentasi Adaptif Citra Sidik Jari Berbasis Standar Deviasi Lokal Citra Sidik Jari

Segmentasi adaptif citra sidik jari dilakukan dengan membagi citra ke dalam blok-blok non-overlapping berukuran w _x w piksel dan nilai standar deviasi citra setiap blok dihitung menggunakan persamaan (2.6). Jika nilai standar deviasinya kurang dari nilai standar deviasi lokal maka blok tersebut dianggap sebagai bagian area background, jika tidak maka dianggap sebagai foreground. Proses ini dilakukan hingga ke seluruh blok piksel pada citra sidik jari. Gambaran tentang proses segmentasi adaptif citra sidik jari berdasarkan standar deviasi keabuan lokal citra dijelaskan pada Gambar 2.12. Contoh citra hasil proses segmentasi ini dapat dilihat pada Gambar 2.13.

∑ ∑

= =

−

=

w i w j B B

F

i

j

M

w

Std

1 1 2 2

(

(

,

)

)

1

(2.6)

di mana StdB adalah standar deviasi lokal citra F pada blok berukuran wxw.

Koordinat piksel diwakili oleh i dan j. MB adalah rata-rata tingkat keabuan lokal

citra F.

Gambar 2.12. menjelaskan bahwa citra sidik jari F dipartisi ke dalam blok non-overlapping berukuran wxw piksel. Untuk setiap blok, standar deviasi

citra sidik jari dihitung berdasarkan persamaan (2.5). Kemudian setiap blok disegmentasi berdasarkan nilai standar deviasi lokal citra. Jika standar deviasi lokal citra F pada blok di koordinat piksel (i,j) kurang dari nilai standar deviasi citra sidik jari per blok (StdB), maka citra sidik jari hasil F2 pada koordinat

tersebut diberi nilai 0 dan selain itu diberi nilai 1. Proses ini dilakukan pada semua piksel. Contoh citra hasil proses segmentasi ini dapat dilihat pada Gambar 2.13.

Referensi

Tabassi, E., Wilson, C.L., Watson, C.I., (2004), “Fingerprint Image Quality”, National Institute of Standards and Technology (NIST) Fingerprint Image Quality.

Gonzales, R., dan Woods, R.E., (2002), “Digital Image Processing”, Prentice Hall, International Edition, Second Edition.

Klein, S., Asker Bazen, and Raymond V., (2001), “Fingerprint Image Segmentation Based on Hidden Markov Models”, Image Sciences Institute.

Bazen, A.M., dan Gerez, S.H., (2001), “Segmentation of fingerprint images”, dalam ProRISC 2001 Workshop on Circuits, Systems and Signal

Processing, November 2001, The Netherlands, Veldhoven.

Maltoni, D., Maio, D., Jain, A.K, dan Prabhakar, A., (2009), “Handbook of

Fingerprint Recognition”, Springer-Verlag London Limited.

Ratha, N.K., Karu, K., Chen, S., Jain, A.K., (1996), “A Real-time Matching System for Large Fingerprint Databases”, IEEE Transaction on Pattern

Analysis and Machine Intelligence, Vol. 18 No. 8, hal. 799–813.

Schölkopf dan Bernhard, (2001), “Estimating the Support of High-Dimensional Distribution”, Neural Computation, MIT, Vol. 13, hal, 1443-1471.

Bazen_{, A.M., dan Gerez, S.H., (2001), “Segmentation of fingerprint images”, dalam} ProRISC 2001 Workshop on Circuits, Systems and Signal Processing, November 2001, The Netherlands, Veldhoven.

Yun

, E.K. dan Cho, S.B., (2006), “Adaptive Fingerprint Image Enhancement with Fingerprint Image Quality Analysis”, Science Direct, Image and Vision

Gambar 2.1. Proses Segmentasi Citra Sidik Jari Berdasarkan Nilai Standar Deviasi Lokal Citra Sidik Jari

(a) (b)

Gambar 2.2. Segmentasi Citra Sidik Jari Berdasarkan Nilai Standar Deviasi Lokal Citra Sidik Jari (a) Citra Asli (b) Citra Hasil Segmentasi

2.1.1. Segmentasi Citra Sidik Jari dengan Fixed Threshold

Segmentasi citra sidik jari dengan fixed threshold dilakukan dengan tahapan yang sama dengan proses segmentasi citra sidik jari berbasis rata-rata

intensitas keabuan global citra. Perbedaannya hanya terletak pada nilai thershold yang digunakan. Bila segmentasi citra sidik jari berbasis rata-rata intensitas keabuan global citra digunakan nilai rata-rata intensitas keabuan global citra sebagai thresholdnya, maka pada segmentasi citra sidik jari dengan fixed

threshold ini digunakan threshold dengan nilai yang telah ditentukan sebelumnya.

Segmentasi dengan fixed threshold dalam penelitian ini dilakukan dengan nilai

threshold mulai dari 110 s.d 200 dengan deret 10.

Gambar 2.3. Proses Segmentasi Citra Sidik Jari dengan Fixed Threshold

(a) (b)

Gambar 2.4. Segmentasi Citra Sidik Jari dengan Fixed Threshold (a) Citra Asli (b) Citra Hasil Segmentasi

2.2. Pembagian Blok Citra Sidik Jari

Perhitungan komponen citra secara lokal, biasanya dilakukan dengan membagi citra ke dalam beberapa blok. Pembagian blok citra memiliki dua model, yakni pembagian blok yang saling tumpang-tindih (overlapping) dan pembagian blok yang tidak saling tumpang-tindih (non-overlapping) (Gonzales, 2002). Pada model yang saling tumpang-tindih, antara satu blok dengan blok yang lain memiliki piksel yang saling tumpang-tindih sebagaimana pada Gambar 2.16 (a) terlihat bagian gambar yang berwarna abu-abu menunjukkan bagian yang saling tumpang-tindih. Model yang tidak saling tumpang tindih, blok satu dengan yang lainnya tidak memiliki piksel yang saling tumpang-tindih sebagaimana ditunjukkan pada Gambar 2.16 (b).

(a) (b)

Gambar 2.5. Model Pembagian Blok Citra (a) Overlapping (b) Non-Overlapping

2.3. Klasifikasi Citra Sidik Jari

Klasifikasi citra sidik jari telah menjadi topik yang menarik dan banyak dilakukan oleh para peneliti. Penelitian ilmiah pertama dan sangat populer tentang klasifikasi sidik jari dilakukan oleh F. Galton pada tahun 1892, yang membagi

sidik jari pada tiga kelas. Kemudian E.R Henry pada tahun 1900, memperbaharui klasifikasi Galton dengan menambah jumlah kelas. Skema klasifikasi inilah yang akhirnya digunakan oleh agen-agen polisi. Klasifikasi dilakukan berdasarkan pola garis (ridge) dan lembah (valley) sidik jari yang diklasifikasikan menjadi tiga kelas utama, yaitu: Arch, Loop dan Whorl (Prabhakar). Hal ini dapat dilihat pada Gambar 2.17.

(a) (b) (c)

Gambar 2.6. Klasifikasi Jenis Sidik Jari (a) Arch, (b) Loop, dan (c) Whorl

Dari klasifikasi ini dapat di bagi menjadi beberapa subklasifikasi (Prabhakar), yaitu:

1. Arch dibagi menjadi arch dan tented arch, dari beberapa populasi

arch mempunyai persentase sebesar 5%.

2. Loop dibagi menjadi left loop, right loop dan double loop. Berbeda dengan arch, jumlah individu yang mempunyai klasifikasi loop sangat besar yaitu sebesar 60%.

3. Whorl pada klasifikasi ini jumlah persentase individu sebesar 35%. Seiring dengan perkembangan penelitian yang dilakukan oleh para peneliti diseluruh dunia, penelitian tentang klasifikasi sidik jari telah dilakukan dari berbagai pendekatan. Diantaranya adalah berdasarkan kualitas citra sidik jari.

Penelitian tentang klasifikasi distorsi akuisisi citra sidik jari ini dilakukan berdasarkan pendekatan analisis kualitas citra.

Klasifikasi distorsi akuisisi sidik jari sangat erat kaitannya dengan identifikasi sidik jari. Identifikasi sidik jari merupakan metode dalam mencocokkan data input sidik jari terhadap semua data acuan (template). Ada beberapa langkah sebelum melakukan pencocokan citra sidik jari, diantaranya: 1. Akuisisi data, adalah penerjemahan data dari suatu sensor ke dalam bit-bit data

sidik jari. Ada beberapa metode dalam akuisisi data diantaranya: an inked

fingerprint, a latent fingerprint dan a live scan fingerprint. An inked

fingerprint adalah pengambilan data dengan memberikan tinta pada ujung jari

untuk di tempelkan ke suatu kertas putih, selanjutnya kertas putih tersebut

di-scan dan dimasukkan ke database. Sedangkan a latent fingerprint adalah metode yang banyak digunakan dalam mendeteksi masalah kriminal dimana pengambilan data dilakukan pada suatu barang bukti kriminal yang di berikan bubuk atau cairan kimia, dan kemudian di foto untuk mendapatkan sidik jari.

A live scan fingerprint adalah suatu alat yang embedded dalam suatu aplikasi

dimana alat ini mengambil data sidik jari pengguna secara langsung dengan menempelkan sidik jari ke alat tersebut. Akuisisi data penelitian ini menggunakan metode live scan fingerprint.

2. Ekstraksi fitur, adalah ekstraksi bit-bit data ke dalam parameter-parameter sesuai dengan metode yang digunakan dalam pencocokan. Pada metode

minutiae, bit-bit data di ekstraksi ke dalam vektor minutiae, metode image

matching based phase correlation bit-bit data diterjemahkan ke dalam

3. Pengambilan keputusan, adalah membandingkan antara ekstraksi data masukan dan data template yang dihasilkan apakah data benar atau salah.

Banyak metode identifikasi sidik jari yang telah dikembangkan, diantaranya: metode minutiae-based adalah metode yang mencocokkan berdasar pada vektor ekstraksi minutiae (vektor ridge ending dan ridge bifurcation sidik jari masukan terhadap sidik jari template) dan metode image-matching adalah metode yang mencocokkan berdasar pada pencocokan dua buah citra sidik jari. Penggolongan metode tersebut berdasarkan pada bagaimana cara mencocokkan sidik jari.

Minutiae-based mempunyai keunggulan dalam kecepatan proses karena

jumlah data yang dicocokkan berbentuk vektor dengan ukuran yang relatif kecil dibandingkan dengan metode image-matching, namun akurasi data lebih rendah dari metode image-matching. Sebaliknya metode image-matching mempunyai keunggulan dari sisi akurasi data yang lebih tinggi dari metode minutiae-based, tetapi lambat dari sisi kecepatan proses. Klasifikasi distorsi akuisisi sidik jari ini termasuk ke dalam golongan metode image-matching (Jain, dkk., 2000).

2.3.1. Minutiae

Minutiae adalah vektor dari ridge-ending dan ridge-bifurcation sebuah

Gambar 2.7. Vektor Minutiae Ridge-Ending (x,y,θ) dan Ridge-Bifurcation (Maltoni, 2003)

Untuk mendapatkan hasil ekstraksi minutiae yang akurat, diperlukan suatu metode perbaikan citra. Hal ini disebabkan oleh akuisisi data yang seringkali menghasilkan data citra dengan kualitas kurang baik (distorsi akuisisi). Salah satu metode perbaikan citra adalah recovered terhadap ridge. Gambar 2.19 merupakan contoh sidik jari dengan kualitas yang baik dan kurang baik:

(a) (b)

Gambar 2.8. Citra Sidik Jari dengan Kualitas yang Berbeda (a) Citra Berkualitas Baik (b) Citra Berkualitas Kurang Baik

Vektor minutiae mempunyai dua jenis ridge yaitu ridge ending dan ridge

bifurcation. Vektor ridge ending adalah lokasi koordinat x, y dan sudut θ dari

sudut θ dari garis jari yang berbentuk cabang. Untuk menentukan suatu lokasi dari

ridge ending dan bifurcation dalam suatu citra sidik jari adalah dengan melihat

pixel tetangga dari suatu pixel citra setelah dilakukan proses sceletonized. Jika suatu pixel Z mempunyai pixel tetangga, X1, X2, …..Xk. Suatu pixel dikategorikan sebagai ridge ending jika pixel tersebut mempunyai kondisi sebagaimana persamaan (2.7). ) 1 ( ) 9 ( , 2 ) ( ) 1 ( 8 1Z k Z k Z Z k + − = =

∑

₌ (2.1)

Sedangkan suatu pixel dikategorikan sebagai ridge bifurcation jika hubungan pixel dan pixel tetangganya memenuhi kondisi pada persamaan (2.8).

) 1 ( ) 9 ( , 6 ) ( ) 1 ( 8 1Z k Z k Z Z k + − = =

∑

₌ (2.2) 2.3.2. Minutiae Matching

Minutiae matching adalah proses pencocokan vektor minutiae dari query

sidik jari dengan vektor minutiae yang ada pada database.

Gambar 2.20 menunjukkan minutiae pada query digambarkan dengan warna hitam sedangkan minutiae pada database digambarkan dengan warna merah. Jika minutiae pada database mempunyai lokasi (x,y) dan sudut yang sama atau hampir sama dengan minutiae input dianggap teridentifikasi. Daerah yang berwarna biru muda menunjukkan vektor minutiae query bersesuaian dengan vektor minutiae sidik jari pada database. Korelasi antara vektor minutiae masukan dan vektor minutiae template dapat dihitung berdasarkan persamaan (2.9).

Gambar 2.9. Minutiae matching dari sampel sidik jari masukan dan database template Q PQ M M P =100 (2.3)

P = Korelasi antara vektor minutiae masukan dan vektor minutiae

template

MPQ = Jumlah vektor minutiae query dan template yang bersesuaian

MQ = Jumlah vektor minutiae query

Beberapa faktor penyebab sehingga penilaian pada vektor minutiae tidak dapat dilakukan adalah karena:

1. Faktor usia, yakni garis sidik jari terlihat tidak jelas seperti pada orang tua.

2. Faktor kecelakaan, sehingga menyebabkan hilangnya garis-garis jari pada sidik jari.

3. Faktor cuaca, sehingga garis-garis jari tidak jelas pada individu yang tinggal pada cuaca yang sangat kering.

4. Faktor keturunan.

Gonzales, R., dan Woods, R.E., (2002), “Digital Image Processing”, Prentice Hall, International Edition, Second Edition.

Jain, A.K., Hong, L., and Pankanti, S., (2000), “Biometric Identification”,

Keempat faktor di atas menjadi penyebab kualitas citra pada akuisisi data sangat jelek. Dari seratus populasi, akuisisi data yang jelek adalah dua sampai lima persen.

2.1. Metode Klasifikasi Support Vector Machine (SVM)

Salah satu metode yang akhir-akhir ini banyak mendapat perhatian sebagai state of the art dalam pengenalan pola adalah Support Vector Machine (SVM) (Tsuda, 2000: Byun dan Lee, 2003). SVM adalah metode learning

machine yang bekerja atas prinsip Structural Risk Minimization (SRM) dengan

tujuan menemukan hyperplane terbaik yang memisahkan dua buah class pada ruang input (Nugroho, dkk., 2003), berbeda dengan strategi neural network yang berusaha mencari hyperplane pemisah antar class. SVM dikembangkan oleh Vapnik, Guyon, dan Boser. Pertama kali dipresentasikan di Annual Workshop on

Computational Learning Theory pada tahun 1992. Pada dasarnya konsep SVM

adalah kombinasi harmonis dari teori-teori komputasi yang telah ada sebelumnya, seperti margin dan hyperplane oleh (Duda dan Hart, 1973: Vapnik, 1964: Cover, 1965), kernel diperkenalkan oleh Aronszajin pada tahun 1950; demikian pula dengan konsep-konsep pendukung lainnya. Prinsip dasar SVM adalah linear

classifier dan dikembangkan agar dapat bekerja pada masalah non-linear dengan

memasukkan konsep kernel trick pada ruang kerja berdimensi tinggi (Vapnik, 1998; Hsu dan Lin, 2002; Wang, dkk., 2007).

Konsep SVM sebagai usaha mencari Hyperplane dalam ruang vektor berdimensi d adalah sub ruang affine berdimensi d-l yang membagi ruang vector tersebut ke dalam dua bagian, yang masing-masing berkorespondensi pada class

yang berbeda (Christiani dan Taylor, 2000). Gambar 2.21-(a) memperlihatkan beberapa pola yang merupakan anggota dari dua buah class : +1 dan –1. Pola yang tergabung pada class –1 disimbolkan dengan kotak berwarna hijau, sedangkan pola pada class +1, disimbolkan dengan lingkaran berwarna biru. Masalah klasifikasi dapat diterjemahkan dengan usaha menemukan hyperplane yang memisahkan antara kedua kelompok. Berbagai alternatif garis pemisah ditunjukkan pada Gambar 2.21-(a). Hyperplane pemisah terbaik antara kedua

class dapat ditemukan dengan mengukur margin hyperplane dan mencari titik

maksimumnya. Margin adalah jarak antara hyperplane dengan pola terdekat dari masing-masing class. Pola yang paling dekat ini disebut sebagai support vector. Garis solid pada Gambar 2.21-(b) menunjukkan hyperplane terbaik, yaitu terletak tepat dibagian tengah-tengah kedua class, sedangkan titik hijau dan biru yang berada dalam lingkaran hitam adalah support vector. Usaha untuk mencari lokasi

hyperplane ini merupakan inti dari proses pembelajaran pada SVM.

(a) (b)

Gambar 2.1. Usaha SVM dalam Menemukan Hyperplane Terbaik yang Memisahkan Class -1 dan +1 (a) Alternatif Bidang Pemisah (b) Hyperplane

Data yang tersedia dinotasikan sebagai xr_i ∈ Qd sedangkan label masing-masing dinotasikan yi ∈ {-1,+1} untuk i=1,2, ..., l, dimana l adalah banyaknya

data. Diasumsikan kedua class -1 dan +1 dapat terpisah secara sempurna oleh

hyperplane berdimensi d, yang didefinisikan pada persamaan (2.10).

0

.

x

+ b

=

u

r

r

_i (2.1)

Pola xr_i yang termasuk class -1 (sampel negatif) dapat dirumuskan sebagai pola yang memenuhi pertidaksamaan (2.11).

1

.

x

+ b

≤

−

u

r

r

_i (2.2)

sedangkan pola xr_i yang termasuk class +1 (sampel positif) dirumuskan sebagai pola yang sesuai dengan pertidaksamaan (2.12).

1

.

x

+ b

≥

+

u

r

r

_i (2.3)

Margin terbesar dapat ditemukan dengan memaksimalkan nilai jarak antara

hyperplane dan titik terdekatnya, yaitu 1/|| ur||. Hal ini dapat dirumuskan sebagai

masalah quadratic programming (QP), yakni mencari titik minimal berdasarkan persamaan (2.13) dengan memperhatikan batasan pada persamaan (2.14).

2

2

1

)

(

min

u

u

u

r

r

r

τ

=

(2.4)

0

1

)

.

(

x

u

+ b

−

≥

y

_i

r

_i

r

,

∀

i

(2.5)

Masalah ini dapat diselesaikan dengan berbagai cara komputasi, salah satunya adalah Lagrange multiplier berdasarkan persamaan (2.15).

))

1

)

.

((

(

2

1

)

,

,

(

1 2

−

+

−

=

∑

=

b

u

x

y

u

b

u

L

_{i i} l i i

r

r

r

r

α

α

,

i

=

1

,

2

,...,

l

(2.6)