Modul ini adalah modul ke-8 dalam mata kuliah Matematika. Isi modul ini

Statistika

P

ENDAHULUAN

M

odul ini adalah modul ke-8 dalam mata kuliah Matematika. Isi modul ini membahas tentang statistika.

Modul ini terdiri dari 2 kegiatan belajar. Pada kegiatan belajar 1 akan dibahas mengenai statistika 1. Terakhir, pada kegiatan belajar 2 akan dibahas mengenai statistika 2.

Setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat memahami konsep pengumpulan dan penyajian data, menyelesaikan permasalahan ukuran pemusatan, ukuran letak, dan ukuran penyebaran.

Secara khusus setelah mempelajari modul ini, Anda diharapkan dapat: 1. membuat diagram batang.

2. membuat diagram garis. 3. membuat diagram lingkaran.

4. membuat tabel distribusi frekuensi dari suatu persoalan. 5. meyelesaikan soal perhitungan rata-rata.

6. menyelesaikan soal perhitungan modus. 7. menyelesaikan soal perhitungan median. 8. menyelesaikan soal perhitungan kuartil. 9. menyelesaikan soal perhitungan desil. 10. menyelesaikan soal perhitungan persentil. 11. menyelesaikan soal perhitungan rentang.

12. menyelesaikan soal perhitungan simpangan kuartil. 13. menyelesaikan soal perhitungan simpangan baku.

P

ETUNJUK

B

ELAJAR

1. Bacalah dengan cermat pendahuluan modul ini sehingga Anda memahami tujuan dan bagaimana mempelajari modul ini.

2. Bacalah uraian materi dalam modul ini, tandailah kata-kata penting yang merupakan kunci. Pahami setiap konsep dalam uraian materi dengan mempelajari contoh-contohnya.

3. Jika mengalami kesulitan dalam mempelajari modul ini, diskusikanlah dengan teman-teman Anda atau dengan tutor.

4. Pelajari sumber-sumber lain yang relevan untuk memperluas wawasan.

5. Kerjakan soal-soal latihan dalam modul ini tanpa melihat petunjuk jawaban latihan terlebih dahulu. Apabila mengalami kesulitan, barulah Anda melihat petunjuk jawaban latihan.

STATISTIKA

;

;

;

;

;

8

;

6. Kerjakan soal-soal tes formatif dan periksa tingkat kemampuan Anda dengan mencocokkan jawaban Anda dengan kunci jawaban tes formatif. Ulangilah pengerjaan tes formatif ini sampai Anda benar-benar dapat mengerjakan semua soal-soal tes formatif ini dengan benar.

Statistika

STATISTIKA 1

A. P

OPULASI

, D

AN

S

AMPEL

S

tatistika merupakan salah satu topik dalam pelajaran matematika baik untuk sekolah dasar maupun sekolah lanjutan. Ilmu ini berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, penyajian data, pengolahan atau penganalisisannya, dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisisan yang dilakukan. Sebagai awal kajian kita marilah kita bicarakan tentang populasi dan sampel. Agar didapat gambaran tentang pengertian populasi dan sampel, coba Anda pelajari keterangan-keterangan berikut ini.

Misalkan Fadhilah ingin mengetahui berat badan rata-rata bayi pada saat dilahirkan di kota Bandung, maka himpunan semua bayi yang dilahirkan di kota Bandung dinamakan populasi, sedangkan himpunan beberapa bayi yang benar-benar dicatat oleh Fadhilah dinamakan sampel dari populasi tadi.

Untuk mengetahui apakah sepanci gulai sudah cukup bumbunya, seorang ibu biasanya hanya mengambil satu sendok untuk dicicipi. Kalau ibu itu bijaksana, ia akan mengaduk gulai itu terlebih dahulu sebelum mengambil contoh/sampel untuk dicicipi. Penarikan sampel dari sepanci gulai untuk mengetahui apakah garamnya kurang atau mericanya terlalu banyak telah umum dilakukan oleh ibu-ibu rumah tangga. Ini merupakan contoh yang baik tentang prinsip-prinsip penarikan sampel. Dalam masalah ini populasi yang diselidiki adalah sepanci gulai, sedangkan sampel adalah satu sendok gulai yang terambil. Pengadukan gulai terlebih dahulu sebelum sampel diambil dimaksudkan agar bumbu gulai tersebar merata. Dengan demikian satu sendok gulai yang terambil akan mewakili dengan baik seluruh isi panci.

Dengan memperhatikan contoh-contoh di atas, maka dapat dikatakan bahwa populasi adalah keseluruhan pengamatan yang menjadi perhatian kita, sedangkan sampel adalah suatu himpunan bagian dari populasi.

B. P

ENGUMPULAN

D

ATA

Untuk memperoleh keterangan tentang sesuatu, Anda memerlukan data. Pengumpulan data yang Anda perlukan dapat diperoleh melalui:

(1) Pengamatan (observasi)

Misalnya jika Anda memerlukan keterangan tentang kemampuan siswa kelas 5 dalam pelajaran matematika, maka Anda dapat mengunjungi sekolah-sekolah melihat siswa belajar matematika di kelas, atau menanyakan nilai pelajaran matematika untuk setiap siswa kepada guru matematika atau kepala sekolah.

(2) Wawancara

Kadang-kadang dengan cara observasi, data yang diperoleh kurang lengkap. Mungkin Anda memerlukan keterangan dari seseorang yang Anda anggap mengetahui masalah yang sebenarnya. Jika demikian Anda perlu mendatangi seseorang atau beberapa orang untuk mengadakan wawancara. Misalnya Anda dapat melakukan wawancara kepada seorang kepala Sekolah Dasar untuk mengetahui sampai di mana Buku Matematika Sekolah Dasar dipergunakan di sekolahnya, dan lain sebagainya.

(3) Angket

Kadang-kadang data yang Anda perlukan itu tempatnya jauh, atau berada di tempat-tempat yang lokasinya berjauhan. Atau Anda mempunyai pertanyaan-pertanyaan yang harus dijawab oleh orang-orang tertentu yang tempatnya jauh atau tersebar. Maka untuk memperoleh data tersebut Anda dapat membuat angket dan mengirimkannya kepada yang bersangkutan. Angket itu tidak hanya untuk dijawab oleh orang-orang yang tempatnya jauh, untuk orang-orang yang tempatnya dekatpun (jika diperlukan) dapat juga menjawab angket itu, misalnya jika data/ masalah yang Anda perlukan itu bersifat rahasia, yang diminta keterangan itu banyak jumlahnya, agar pertanyaan-pertanyaan yang diajukan itu lebih terperinci dan lengkap.

C. P

ENYAJIAN

D

ATA

Sebelum diolah, data yang telah dikumpulkan perlu diatur, disusun, dan disajikan dalam bentuk yang jelas dan baik. Secara garis besar, terdapat dua cara penyajian data, yaitu penyajian data dalam bentuk tabel atau daftar, dan penyajian data dalam bentuk diagram atau grafik. Berikut adalah bahasannya.

(1) Penyajian Data dalam Bentuk Tabel atau Daftar

Terdapat dua macam data yang biasanya disajikan dalam bentuk tabel atau daftar, yaitu data tunggal dan data kelompok. Untuk lebih jelasnya tentang data tunggal dan data kelompok dalam bentuk tabel, coba Anda pelajari keterangan berikut. Keterangan berikut memperlihatkan contoh tentang data tunggal.

“Dalam ulangan Bahasa Indonesia yang diikuti 35 siswa, diperoleh hasil 5 siswa mendapat nilai 6, 8 siswa mendapat nilai 7, 12 siswa mendapat nilai 8, 6 orang mendapat nilai 9, dan 4 orang mendapat nilai 10”

Keterangan di atas jika Anda perhatikan, maka agak relatif sulit/lambat untuk mengenali maknanya. Oleh karena itu supaya keterangan tersebut lebih menarik dan mudah untuk dikenali keterangannya, maka sebaiknya data tersebut disajikan dalam bentuk tabel sebagai berikut.

Statistika Tabel 8.1

Nilai Ulangan Bahasa Indonesia Kelas 1 Nilai Frekuensi 6 5 7 8 8 12 9 6 10 4 Jumlah 35

Dengan memperhatikan tabel di atas, tampak bahwa Anda akan lebih mudah mengenali makna dari data tadi, misalnya Anda dapat langsung mengetahui bahwa dalam ulangan Bahasa Indonesia yang mendapat nilai 9 ada 6 orang.

Ada beberapa catatan penting yang perlu Anda ketahui tentang penyusunan suatu tabel, yaitu:

a. Judul tabel sebaiknya singkat dan jelas, sehingga mudah “dibaca” oleh yang membaca.

b. Nilai sebaiknya diurutkan mulai dari yang paling kecil sampai ke yang paling besar. c. Yang dimaksud frekuensi adalah banyaknya.

d. Dalam kolom nilai diisi dengan data tunggal yang dikelompokkan seperti yang akan diterangkan berikut ini.

Sekali lagi perlu Anda ketahui bahwa tabel tentang “Nilai Ulangan Bahasa Indonesia Kelas 1” di atas tadi merupakan tabel untuk data tunggal karena nilai-nilai yang dicantumkan dalam tabel itu merupakan nilai-nilai-nilai-nilai tunggal, yaitu 6, 7, 8, 9, dan 10 atau nilai-nilai itu tidak dikelompokkan.

Sekarang muncul pertanyaan, yang bagaimanakah data berkelompok itu? Untuk mengetahuinya, coba Anda pelajari keterangan dan contoh-contoh berikut.

Tabel berikut memperlihatkan data tentang “Tinggi Badan 35 Siswa SMP Kelas 1” dalam sentimeter yang dikelompokkan menjadi 6 kelompok tinggi badan.

Tabel 8.2

Tinggi Badan 35 Siswa SMP Kelas 1 Tinggi Badan (dalam cm) Frekuensi

131 – 135 136 – 140 141 – 145 146 – 150 151 – 155 156 – 160 5 7 9 6 5 3 Jumlah 35

Ada beberapa catatan tentang tabel pada contoh di atas, yaitu:

a. Data pada tabel di atas disebut data berkelompok, bukan data tunggal, karena datanya dikelompokan menjadi kelompok-kelompok: 131 – 135, 136 – 140, 141 – 145, dan seterusnya.

b. Kelompok-kelompok 131 – 135, 136 – 140, …, 156 – 160 masing-masing disebut kelas interval.

c. Karena tabel di atas mengandung frekuensi maka tabel tersebut dinamakan tabel distribusi frekuensi.

d. Pada tabel distribusi frekuensi di atas data dikelompokan menjadi 6 buah kelas interval mulai dari kelas 131 – 135 dan diakhiri dengan kelas 156 – 160. Karena tiap kelas interval memuat 5 nilai, misalnya pada kelas 131 – 135 memuat nilai-nilai 131, 132, 133, 134, dan 135, maka dikatakan panjang kelas intervalnya adalah 5.

Penjelasan lebih rinci, akan Anda dapatkan pada bahasan akhir dari Kegiatan Belajar ini.

(2) Penyajian Data dalam Bentuk Diagram atau Grafik

Jika data sudah terkumpul, maka data itu perlu disusun secara teratur. Seperti telah dijelaskan pada bagian (1), bahwa jika sekumpulan data itu disusun secara teratur kemudian disajikan secara baik dan tepat sehingga setiap orang dapat dengan mudah mengenali makna dari sekumpulan data itu, maka dikatakan bahwa Anda telah menyajikan data dengan baik dan tepat.

Selain menyajikan data dalam bentuk tabel seperti yang telah dijelaskan pada bagian (1), sekumpulan data dapat juga disajikan dalam bentuk diagram atau grafik. Perlu Anda ketahui juga bahwa jika suatu data disajikan dalam bentuk diagram, maka secara cepat Anda dapat mengetahui perbandingan antara anggota-anggota tertentu dari sekumpulan data tersebut.

Terdapat beberapa macam diagram yang dapat digunakan untuk menyajikan sekumpulan data, tetapi di dalam bagian ini hanya akan dijelaskan tiga macam diagram yaitu diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran, yang satu persatu akan dibahas sebagai berikut.

a. Diagram Batang

Diagram batang adalah suatu diagram yang digambarkan sebagai beberapa persegi panjang dengan perbandingan tertentu yang sesuai dengan data yang bersangkutan. Diagram batang dilengkapi dengan skala yang jelas sehingga ukuran data yang bersangkutan dapat dengan mudah dibaca.

Untuk lebih jelasnya, perhatikan data banyaknya lulusan sekolah di Kota A pada tahun 2008.

Tabel 8.3

Banyaknya Lulusan Sekolah di Kota A Tahun 2008 Banyak Lulusan

Tingkat Sekolah

Laki-Laki Perempuan Jumlah Sekolah Dasar SLTP/Sederajat SMA/Sederajat Perguruan Tinggi 250 180 150 35 300 225 175 50 550 405 325 85 Jumlah 615 750 1365

Statistika Gambar berikut menunjukkan diagram batang dari banyaknya lulusan sekolah di kota A pada tahun 2008 tanpa memperhatikan jenis kelamin.

Gambar 8.1

Selain diagram batang yang tampak pada gambar di atas, berikut diberikan diagram batang untuk data lulusan sekolah dengan memperhatikan jenis kelamin.

Dari kedua diagram batang yang tampak pada Gambar 8.1 dan Gambar 8.2 di atas, sepintas dapat dilihat bahwa jumlah lulusan sekolah dasar paling banyak dibandingkan dengan banyaknya lulusan tingkat sekolah lainnya, sedangkan jumlah lulusan perguruan tinggi adalah yang paling sedikit.

Dari kedua diagram batang yang tampak pada Gambar 8.1 dan Gambar 8.2, tampak bahwa pada diagram batang pada Gambar 8.2 mempunyai kelebihan dibandingkan dengan digram batang pada Gambar 8.1, apakah Anda dapat melihat kelebihannya?

Kelebihannya adalah bahwa pada diagram batang yang tampak pada Gambar 8.2, dapat dilihat secara langsung perbedaan antara banyaknya lulusan laki-laki dan perempuan pada tiap tingkat atau jenjang sekolah di kota A tersebut.

Dari diagram batang yang tampak pada Gambar 8.2 itu, dapat dilihat dengan segera bahwa di kota A tersebut:

(i) Pada tingkat SD, SLTP, dan SMA, lulusan yang berjenis kelamin perempuan lebih banyak jumlahnya dibandingkan dengan lulusan berjenis kelamin laki-laki. (ii) Pada tingkat Perguruan Tinggi, lulusan yang berjenis kelamin laki-laki lebih banyak

jumlahnya dibandingkan dengan lulusan berjenis perempuan. b. Diagram Garis

Diagram garis adalah diagram dari data yang digambarkan sebagai garis yang sesuai dengan data yang bersangkutan. Pada suatu diagram garis, sumbu mendatar digunakan untuk menunjukkan waktu, sedangkan sumbu tegak digunakan untuk menunjukkan banyaknya data atau frekuensi.

Untuk lebih jelasnya tentang diagram garis tersebut, perhatikanlah contoh berikut.

Data berikut memperlihatkan data tentang banyaknya penjualan uni komputer perusahan Computec pada tahun 2008.

Tabel 8.4

Penjualan Komputer CV COMPUTEC Tahun 2008 Bulan Jumlah Penjualan Komputer

(dalam unit) Januari 245 Februari 315 Maret 325 April 276 Mei 318 Juni 302 Juli 385 Agustus 424 September 312 Oktober 287 Nuvember 309 Desember 374

Statistika Diagram garis dari data penjualan komputer CV Computec selama Tahun 2008 adalah sebagai berikut:

Gambar 8.3 c. Diagram Lingkaran

Diagram lingkaran adalah diagram dari data yang digambarkan sebagai lingkaran. Dalam diagram lingkaran, daerah lingkarannya dibagi-bagi menjadi daerah-daerah juring lingkaran yang luasnya sebanding dengan jumlah data yang bersangkutan.

Contoh 1:

Gambarkan diagram lingkaran dari data berikut ini, yaitu mengenai jumlah mesjid di tiap kelurahan Kecamatan Mekar Jaya pada tahun 2008.

Tabel 8.5

Jumlah Mesjid di tiap Kelurahan Kecamatan Mekar Jaya – 2008 Kelurahan Jumlah Mesjid

Kelurahan A Kelurahan B Kelurahan C Kelurahan D 15 19 23 17 Jumlah 74 Penyelesaian:

Untuk membuat diagram lingkaran dari data di atas, pertama-tama Anda harus menghitung dulu presentase jumlah mesjid di setiap kelurahan, sebagai berikut:

(i) Presentase jumlah mesjid di Kelurahan A adalah 74 15

x 100% = 20%. (ii) Presentase jumlah mesjid di Kelurahan B adalah

74 19

x 100% = 26%. (iii)Presentase jumlah mesjid di Kelurahan C adalah

74 23

x 100% = 31%. (iv) Presentase jumlah mesjid di Kelurahan D adalah

74 17

x 100% = 23%.

Langkah berikutnya adalah menentukan besar sudut pusat untuk menentukan luas juring-juring yang bersesuaian dengan jumlah mesjid di setiap kelurahan di Kecamatan Mekar Jaya.

(i) Jumlah Mesj id di Kelurahan A = 20% x 3600 _{= 72}0_. (ii) Jumlah Mesjid di Kelurahan B = 26% x 3600 _{= 93,6}0_. (iii)Jumlah Mesjid di Kelurahan C = 31% x 3600 _{= 111,6}0_. (iv) Jumlah Mesjid di Kelurahan D = 23% x 3600 _{= 82,8}0_.

Dari hasil rincian di atas, maka diagram lingkaran tentang jumlah mesjid di kelurahan-kelurahan yang ada di Kecamatan Mekar Jaya dapat digambarkan sebagai berikut.

Jumlah Mesjid di tiap Kelurahan Kecamatan Mekar Jaya – 2008

Gambar 8.4

Diagram lingkaran di atas merupakan diagram dalam sajian dua dimensi. Jika diagram tersebut disajikan dalam bentuk tiga dimensi yang mempunyai ketebalan tertentu dan setiap juring menunjukan prosentase dari masing-masing jumlah mesjid di setiap kelurahan yang ada di Kecamatan Mekar Jaya, maka akan didapatkan diagram baru, yang dinamakan diagram pastel.

Langkah-langkah untuk menentukan diagram pastel hampir sama dengan langkah-langkah untuk membuat diagram lingkaran, yang berbeda hanya pada bagian

Statistika akhirnya saja, yakni saat Anda menggambarkan bentuk diagram dari data dimaksud. Jika data mengenai jumlah mesjid di tiap kelurahan Kecamatan Mekar Jaya digambarkan dalam bentuk diagram pastel, maka akan didapatkan diagram sebagai berikut:

Gambar 8.5

(3) Tabel Distribusi Frekuensi Dan Grafiknya

Daftar distribusi frekuensi ini telah disinggung sedikit dalam bahasan terdahulu seperti terlihat pada Tabel 8.2, dan contoh lain adalah sebagai berikut.

Tabel 8.6

Berat Badan untuk 40 Siswa Berat badan (kg) Banyak siswa (f)

26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 – 50 5 7 17 9 2

Sebelum mempelajari bagaimana cara membuat tabel ini, terlebih dahulu akan dijelaskan tentang istilah-istilah yang dipakai.

Dalam tabel distribusi frekuensi, banyak objek dikumpulkan dalam kelompok-kelompok berbentuk a – b, yang dinamakan kelas interval. Ke dalam kelas interval a – b dimasukan data yang bernilai mulai dari a sampai dengan b. Berturut-turut, mulai dari atas diberi nama kelas interval pertama, kelas interval kedua, ..., kelas interval terakhir. Ini semua ada dalam kolom kiri. Kolom kanan berisikan bilangan-bilangan yang menyatakan berapa buah data yang terdapat dalam tiap kelas interval.

Jadi kolom ini berisikan frekuensi, disingkat dengan f. Misalnya f = 7 untuk kelas interval kedua, atau ada 7 orang siswa yang mempunyai berat badan paling ringan 31 kg dan paling berat 35 kg.

Bilangan-bilangan di sebelah kiri kelas interval dinamakan ujung bawah dan bilangan-bilangan di sebelah kanannya dinamakan ujung atas. Ujung bawah kelas interval pertama, kedua, ketiga, keempat, dan kelima adalah 26, 31, 36, 41, 46 sedangkan ujung-ujung atasnya berturut-turut 30, 35, 40, 45, dan 50. Selisih positif antara tiap dua ujung bawah berurutan disebut panjang kelas interval. Dalam tabel 8.6, panjang kelasnya, disingkat dengan p, adalah 5, jadi p = 5 dan semuanya sama. Selain dari ujung kelas interval ada lagi yang biasa dinamakan batas kelas interval. Ini tergantung pada ketelitian data yang digunakan. Jika data dicatat teliti hingga satuan, maka batas bawah kelas sama dengan ujung bawah dikurangi 0,5, dan batas atasnya didapat dari ujung atas ditambah dengan 0,5.

Jika data dicatat teliti hingga satu desimal, maka batas bawah kelas sama dengan ujung bawah dikurangi 0,05, dan batas atasnya didapat dari ujung atas ditambah dengan 0,05. Jika data dicatat teliti hingga dua desimal, maka batas bawah kelas sama dengan ujung bawah dikurangi 0,005, dan batas atasnya didapat dari ujung atas ditambah dengan 0,005, dan seterusnya.

Dalam perhitungan, dari tiap kelas interval biasanya diambil sebuah nilai sebagai wakil kelas tersebut, yang dinamakan tanda kelas interval. Nilai tanda kelas interval didapat dengan menggunakan aturan sebagai berikut:

atas) ujung bawah (ujung 2 1 kelas tanda  

Setelah Anda faham tentang istilah-istilah yang dipakai dalam pembuatan tabel distribusi frekuensi, selanjutnya berdasarkan sejumlah data yang telah diketahui akan dibuat tabel distribusi frekuensi, dan berikut adalah langkah-langkahnya: a. Tentukan nilai data terkecil dan nilai data terbesar.

b. Tentukan nilai rentang (R).

R = nilai data terbesar - nilai data terkecil.

c. Tentukan banyak kelas interval (k). Banyaknya kelas interval dipilih menurut keperluan, tetapi biasanya diambil paling sedikit 5 kelas dan paling banyak 15 kelas. Cara lain yang cukup bagus untuk digunakan adalah dengan menggunakan aturan Sturges, yaitu:

k = 1 + 3,3log n

dengan n menyatakan banyaknya data. d. Tentukan panjang kelas interval (p).

k R p 

Jika harga p bernilai bilangan pecahan, maka Anda harus mengambil harga p bernilai bilangan bulat melalui pilihan bilangan yang dihasilkan.

Contohnya, 6,67

6 40

p  , maka Anda boleh mengambil p = 6 atau p = 7. e. Tentukan ujung bawah kelas interval pertama.

Statistika Ujung bawah kelas interval pertama bisa diambil dari nilai data terkecil, atau bisa juga mengambil nilai data yang lebih kecil dari data terkecil.

Sebelum tabel sebenarnya dituliskan, ada baiknya dibuat tabel penolong yang berisikan kolom tabulasi. Kolom ini merupakan kumpulan deretan garis-garis miring pendek, yang banyaknya sesuai dengan banyak data yang terdapat dalam kelas interval yang bersangkutan.

Contoh 2:

Misalkan terdapat 40 data sebagai berikut: 86 78 57 81 89 60 66 58 66 58 70 73 65 56 83 72 80 74 65 71 53 91 68 64 72 87 50 84 74 77 76 81 67 75 74 83 72 76 63 73

Buatlah tabel distribusi frekuensi untuk data tersebut!

Penyelesaian:

a. Nilai data terbesar = 91. Nilai data terkecil = 50.

b. Nilai rentang (R) = nilai data terbesar - nilai data terkecil = 91 – 50 = 41. c. Banyaknya kelas interval

k = 1 + 3,3log 40 = 1 + 3,3(1,602) = 6,29.

Anda dapat memilih k = 6 atau k = 7, misalkan dipilih k = 6. d. Panjang kelas interval (p)

6.83 6 41 k R p  

Anda dapat memilih p = 6 atau p = 7, misalkan dipilih p = 7.

e. Ujung bawah kelas interval pertama diambil nilai data terkecil = 50.

Dengan mengambil banyak kelas 6, panjang kelas 7 dan dimulai dengan nilai ujung bawah 50, maka didapatkan tabel sebagai berikut:

Tabel 8.7

Nilai Tabulasi Frekuensi 50 – 56 57 – 63 64 – 70 71 – 77 78 – 84 85 – 91 ||| |||| |||| ||| |||| |||| ||| |||| || |||| 3 5 8 13 7 4 40

Dengan menghilangkan kolom tabulasi dari tabel di atas, maka Anda akan dapatkan tabel distribusi frekuensi yang lazim dipakai, sebagai berikut:

Tabel 8.8 Nilai Frekuensi 50 – 56 57 – 63 64 – 70 71 – 77 78 – 84 85 – 91 3 5 8 13 7 4 40

Petunjuk: Jawablah pertanyaan dengan singkat dan tepat!

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!

1. Data berikut menunjukan jumlah suara tentang kegemaran siswa pada mata pelajaran tertentu di suatu kelas.

Jika yang menyukai pelajaran matematika ada 8 siswa, maka banyaknya siswa yang menyukai pelajaran Bahasa Indonesia adalah ...

Statistika 2. Tabel berikut menunjukan temperatur rata-rata per bulan dalam derajat celcius

pada tempat A dan B.

Bulan ke: Tempat 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 1 1 12 A 24 24 25 27 29 32 34 34 32 29 2 6 25 B 22 22,5 23 25 28 31 33 32,5 30 27 2 4 22

a. Buatlah diagram grafik untuk data tersebut.

b. Berdasarkan a., pada bulan manakah selisih temperatur antara kedua tempat itu terbesar.

c. Berdasarkan a., pada bulan-bulan berurutan yang manakah selisih temperatur agak tetap.

Petunjuk Jawaban Latihan

Periksa secara seksama jawaban Anda, kemudian cocokkanlah jawaban Anda dengan kunci jawaban berikut:

1. Yang menyukai pelajaran menggambar sebanyak 20%, yaitu 8 siswa. Dari keterangan ini kita bisa menentukan banyaknya siswa di kelas itu, sebagai berikut.

Pelajaran menggambar: 8 siswa jumlah x 100 20 

_

40 20 100 x 8 siswa jumlah   .

Yang menyukai pelajaran Bahasa Indonesia sebanyak 15%, sehingga: 6 40 x 100 15  .

Jadi, di kelas tersebut ada 6 siswa yang menyukai pelajaran Bahasa Indonesia. 2. a. Berikut diagram garis data di atas.

b. Pada bulan Desember. c. Pada bulan Mei – Juni – Juli.

1. Statistika adalah ilmu yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan data, penyajian data, pengolahan atau penganalisisannya, dan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan data dan penganalisisan yang dilakukan.

2. Populasi adalah keseluruhan pengamatan yang menjadi perhatian kita, sedangkan sampel adalah suatu himpunan bagian dari populasi.

3. Untuk memperoleh keterangan tentang sesuatu diperlukan data, yang pengumpulannya dapat diperoleh melalui pengamatan, wawancara, dan angket.

4. Setelah data terkumpul, data disusun secara teratur, dan kemudian disajikan dalam bentuk tabel atau diagram.

5. Diagram-diagram yang dapat digunakan untuk menyajikan sekumpulan data, antara lain diagram batang, diagram garis, dan diagram lingkaran. 6. Untuk data kelompok yang disajikan melalui tabel, biasanya disajikan dalam tabel distribusi frekuensi, yang langkah-langkah pembuatannya adalah sebagai berikut :

a. Tentukan nilai data terkecil dan nilai data terbesar. b. Tentukan nilai rentang (R).

R = nilai data terbesar - nilai data terkecil.

c. Tentukan banyak kelas interval (k), yang dapat ditentukan dengan menggunakan aturan Sturges, yaitu:

k = 1 + 3,3log n,

dengan n menyatakan banyaknya data. d. Tentukan panjang kelas interval (p).

k R p 

e. Tentukan ujung bawah kelas interval pertama.

Ujung bawah kelas interval pertama bisa diambil dari nilai data terkecil, atau bisa juga mengambil nilai data yang lebih kecil dari data terkecil.

Statistika

Petunjuk: Pilihlah salah satu jawaban yang dianggap paling tepat!

1. Berikut ini adalah pernyataan tentang statistika, kecuali ...

A. ilmu yang berhubungan dengan pengolahan atau penganalisisan data B. ilmu yang berhubungan dengan cara-cara pengumpulan dan penyajian data C. ilmu yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan secara deduktif D. ilmu yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan berdasarkan kumpulan

data dan penganalisisan yang dilakukan.

2. Hasanudin ingin mengetahui tinggi rata-rata siswa Kelas VI SD di Propinsi Jawa Barat, maka himpunan beberapa siswa di Jawa Barat yang benar-benar dicatat oleh Hasanudin dinamakan data ...

A. populasi C. kualitatif

B. sampel D. katagori

3. Sebelum data disajikan, terlebih dahulu data harus dikumpulkan. Berikut adalah cara pengumpulan data, kecuali ...

A. Observasi C. Wawancara

B. Angket D. Peramalan

4. Dari pendataan jenis pekerjaan orang tua murid di suatu kelas, diperoleh data sebagai berikut :

Jenis pekerjaan Frekuensi

Pegawai Negeri Sipil 7

Pegawai Perusahaan Negara 8

TNI – POLRI 6

Pegawai Swasta 10

Lain – lain 5

Maka dalam diagram lingkaran, untuk pegawai negeri sipil, digambarkan dengan juring bersudut:

A. 68.40 _{C. 100,8}0

B. 95.20 _{D. 106.4}0

5. Untuk membangun gedung sekolah, maka anggaran sebesar Rp 110.000.000,00 bagi-bagi untuk pembayaran ahli perancang bangunan, pelunasan pembayaran pembelian tanah, upah kerja, beli bahan bangunan. Jika dalam diagram lingkaran, untuk beli bahan bangunan, digambarkan dengan juring bersudut sebesar 122,40 , maka besarnya anggaran untuk membeli bahan bangunan tersebut adalah ...

A. Rp 24.000.000,00 C. Rp 38.000.000,00

6. Kepada 30 siswa ditanyakan cara mereka datang ke sekolah tiap hari. Ternyata mereka datang ke sekolah dengan berbagai cara, yaitu dengan berjalan kaki, bersepeda, pakai angkot, pakai bis, dan pakai beca. Berikut disajikan diagram gambarnya. Jalan kaki 23% Sepeda 10% Angkot 37% Bis 13% Beca 17%

Banyaknya siswa yang datang ke sekolah dengan berjalan kaki adalah ...

A. 4 C. 7

B. 5 D. 11

7. Tabel berikut ini menunjukan nilai-nilai yang dicapai untuk kegiatan-kegiatan akademik dan atletik oleh empat kelas dalam suatu SLTP.

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110

III A III B III C III D

Akademik Atletik

Berdasarkan tabel tersebut, didapatkan hal-hal sebagai berikut, kecuali ... A. Kemampuan akademik tertinggi diraih oleh kelas III C

B. Kemampuan atletik tertinggi diraih oleh kelas III B

C. Jika diambil nilai rata-rata antara kemampuan akademik dan atletik maka yang menjadi juara umum adalah kelas III D

D. Jika diambil nilai rata-rata antara kemampuan akademik dan atletik maka yang menjadi juara umum adalah kelas III D

Statistika sejak usia 9 tahun hingga 19 tahun disajikan dalam diagram sebagai berikut:

Berdasarkan diagram garis di atas, pernyataan berikut benar, kecuali ... A. Pertumbuhan tinggi badan paling lamabt adalah dari usia 18 ke 19 tahun B. Pertumbuhan tinggi badan terpesat adalah dari usia 16 ke 17 tahun C. Perkiraan tiggi badan anak ada usia

2 1

12 tahun adalah 130,5 D. Perkiraan tiggi badan anak ada usia

2 1

14 tahun adalah 143

9. Berikut adalah pernyataan yang benar berkaitan dengan tabel distribusi frekuensi, kecuali ...

A. Ujung bawah kelas interval didapatkan dari batas bawah kelas interval dikurangi dengan nilai ketelitian data.

B. Panjang kelas interval adalah selisih positif antara tiap dua ujung bawah yang berurutan.

C. Nilai rentang data adalah selisih positif dari data terbesar dan data terkecil dalam suatu kelompok data.

D. Nilai tanda kelas interval bisa didapatkan dari nilai ujung bawah dan ujung atas kelas interval yang bersangkutan.

10. Berikut adalah data tentang nilai pelajaran matematika kelas III A SD Putra Asih. Nilai Frekuensi 40 – 49 50 – 59 60 – 69 70 – 79 80 – 89 90 – 99 4 5 8 12 7 4 40

A. Batas bawah kelas interval kelima adalah 79,5 B. Tanda kelas interval keempat adalah 74,5 C. Ujung atas kelas interval ketiga adalah 69,5 D. Panjang kelas intervalnya adalah 10

Cocokkan jawaban Anda dengan menggunakan kunci jawaban Tes Formatif 1 yang terdapat di bagian akhir bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 1.

Rumus :

Jumlah jawaban Anda yang benar

Tingkat penguasaan = ______________________________ X 100 % 10

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai : 90 % - 100% = Baik sekali

80 % - 89% = Baik 70% - 79 % = Cukup

< 70% = Kurang

Apabila tingkat penguasaan Anda telah mencapai 80 % atau lebih, Anda dapat meneruskan dengan Kegiatan Belajar selanjutnya. Bagus ! Tetapi apabila nilai tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum Anda kuasai.

Statistika

STATISTIKA 2

A. U

KURAN

P

EMUSATAN

U

kuran pemusatan adalah ukuran yang menunjukkan pusat sekumpulan data, yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar. Ukuran pemusatan yang akan dibahas di sini adalah, rata-rata (mean), modus, dan median.

(1) Rata-rata (Mean)

Ukuran pemusatan yang paling sering digunakan adalah rata-rata. Rata-rata sering pula disebut mean. Nilai rata-rata dari sekumpulan data adalah jumlah nilai (bilangan) semua anggota data dibagi dengan banyaknya anggota data. Penghitungan nilai rata-rata dari sekumpulan data bergantung pada data yang digunakan, yaitu data tidak berkelompok dan data berkelompok.

a. Data tidak berkelompok

Misalkan x₁, x_2, x₃, ..., x_n menyatakan nilai dari sekumpulan data yang banyaknya n buah. Rata-rata ini dihitung dengan cara:

        n 1 i i x n 1 n n x ... 3 x 2 x 1 x x Contoh 1:

Dari lima kali ulangan harian matematika seorang siswa diperoleh nilai: 85, 79, 91, 81, dan 78. Berapakah nilai rata-ratanya?

Penyelesaian: 82,8 5 78 81 91 79 85 x      

Jadi, rata-rata nilai siswa tersebut adalah 82,8.

Misalkan dari n buah data, ada nilai-nilai data yang sama. Jika nilai x₁ ada f₁ kali, nilai x₂ ada f₂ kali, nilai x₃ ada f₃ kali, ..., nilai x_n ada f_n kali, maka rata-rata ini dihitung dengan cara:

              n 1 i i f n 1 i i x i f n f ... 3 f 2 f 1 f n x n f ... 3 x 3 f 2 x 2 f 1 x 1 f x Contoh 2:

Pada bulan lalu Hamidah mengikuti ulangan umum, dengan hasilnya adalah sebagai berikut:

1 mata pelajaran nilainya masing-masing 9. 2 mata pelajaran nilainya masing-masing 6,5. 3 mata pelajaran nilainya masing-masing 8. 4 mata pelajaran nilainya masing-masing 85.

Berapakah nilai rara-rata ulangan umum yang diperoleh Hamidah?

Penyelesaian: 7,6 4 3 2 1 7,5) x (4 8) x (3 6,5) x (2 9) x (1 x        

Jadi, rata-rata nilai Hamidah adalah 7,6.

Contoh 3:

Tabel frekuensi berikut memperlihatkan hasil ulangan IPA untuk 25 siswa di suatu kelas. Berapakah nilai rata-rata ulangan IPA di kelas tersebut?

Nilai Frekuensi 6 7 8 9 5 7 9 4 Jumlah 25 Penyelesaian: 7,48 25 9) x (4 8) x (9 7) x (7 6) x (5 x     

Statistika b. Data berkelompok

Data sudah disusun dalam tabel distribusi frekuensi. Rumus yang digunakan:

     n 1 i i f n 1 i i x i f x dengan:

x_i = nilai titik tengah pada kelas interval ke-i. f_i = nilai frekuensi pada kelas interval ke-i. i = 1, 2, 3, ..., n.

Contoh 4:

Misalnya diberikan tabel distribusi frekuensi berikut: Nilai Frekuensi 50 – 56 57 – 63 64 – 70 71 – 77 78 – 84 85 – 91 3 5 8 13 7 4 40

Berapakah nilai rata-rata dari data di atas?

Penyelesaian: Nilai f xi fixi 50 – 56 57 – 63 64 – 70 71 – 77 78 – 84 85 – 91 3 5 8 13 7 4 53 60 67 74 81 88 159 300 536 962 567 352 40 2876 71,9 40 2876 n 1 i i f n 1 i i x i f x       

(2) Modus

Modus digunakan untuk menyatakan data yang paling banyak terjadi atau paling banyak muncul. Penghitungan nilai modus dari sekumpulan data bergantung pada data yang digunakan, yaitu data tidak berkelompok dan data berkelompok. a. Data tidak berkelompok

Ada beberapa kemungkinan terjadinya nilai modus dari sekumpulan data. (i) Hanya diperoleh satu nilai modus

Hal ini terjadi, jika sebuah nilai data mempunyai frekuensi kemunculan yang lebih banyak daripada frekuensi kemunculan nilai data lainnya.

Contoh 5:

Berapakah modus dari data-data berikut: 4, 2, 3, 7, 2, 5, 2, 3, 2.

Penyelesaian:

Karena dalam data tersebut 2 merupakan data yang paling banyak muncul, maka modus dari data tersebut adalah 2.

(ii) Diperoleh lebih dari satu nilai modus

Hal ini terjadi, jika ada lebih dari satu nilai data yang mempunyai frekuensi kemunculan yang sama dan terbanyak dibandingkan dengan frekuensi nilai data lainnya.

Contoh 6:

Berapakah modus dari data-data berikut: 5, 4, 3, 7, 2, 5, 2, 3, 2, 3.

Penyelesaian:

Karena dalam data tersebut 2 dan 3 merupakan data yang paling banyak muncul yaitu masing-masing muncul sebanyak 3 kali, maka modus dari data tersebut adalah 2 dan 3.

(iii)Tidak mempunyai nilai modus

Hal ini terjadi, jika setiap data mempunyai frekuensi kemunculan yang sama.

Contoh 7:

Berapakah modus dari data-data berikut: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11.

Penyelesaian:

Karena dalam data tersebut setiap angka sama-sama muncul satu kali, maka data tersebut tidak mempunyai modus.

b. Data berkelompok

Data sudah disusun dalam tabel distribusi frekuensi. Rumus yang digunakan:

           2 b 1 b 1 b p BB Mo

Statistika dengan:

Mo = nilai modus.

BB = batas bawah kelas interval modus. p = panjang kelas interval.

b₁ = selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi sebelumnya. b₂ = selisih frekuensi kelas modus dgn frekuensi sesudahnya.

Contoh 8:

Perhatikan kembali tabel pada contoh 4, halaman 8.29. Berapakah modus dari data pada tabel tersebut?

Penyelesaian:

Kelas modus pada tabel distribusi frekuensi tersebut adalah 71 – 77, karena mempunyai frekuensi paling banyak, yaitu 13.

                       7) (13 8) (13 8) (13 7 70,5 2 b 1 b 1 b p BB Mo 73,68 6 5 5 7 70,5          

Jadi, modus untuk data tersebut adalah 73,68.

(3) Median

Median adalah nilai yang terletak di tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan. Penghitungan nilai median dari sekumpulan data bergantung pada data yang digunakan, yaitu data tidak berkelompok dan data berkelompok.

a. Data tidak berkelompok

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

(i) Jika banyak datanya berupa bilangan ganjil, maka nilai mediannya dihitung dari data yang paling tengah.

(ii) Jika banyak datanya berupa bilangan genap, maka nilai mediannya dihitung berdasarkan nilai rata-rata dua data yang terletak ditengah.

Contoh 9:

(i) Tentukan median dari data-data berikut: 6, 8, 5, 10, 7, 4, 9. (ii) Tentukan median dari data-data berikut: 76, 68, 59, 80, 67, 91.

Penyelesaian:

(i) Data di atas diurutkan sehingga di dapat: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10.

Nilai yang terletak di tengah setelah data tersebut diurutkan adalah 7, sehingga nilai mediannya adalah 7 .

(ii) Data di atas diurutkan sehingga di dapat: 59, 67, 68, 76, 80, 91.

Nilai yang terletak di tengah setelah data tersebut diurutkan adalah 68 dan 76, sehingga nilai mediannya adalah:

72 2 76 68 Me    b. Data berkelompok

Data sudah disusun dalam tabel distribusi frekuensi. Rumus yang digunakan:

            _   f F 2 n p BB Me dengan: Me = nilai median.

BB = batas bawah kelas yang memuat median. p = panjang kelas interval.

n = jumlah data.

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas interval yang memuat median. f = frekuensi median.

Contoh 10:

Perhatikan kembali tabel pada contoh 4, halaman 8.29. Berapakah median dari data pada tabel tersebut?

Penyelesaian:

Pada tabel distribusi frekuensi tersebut, median berada pada kelas 71 – 77, sebab jumlah frekuensi tiga kelas pertama, yaitu 3 + 5 + 8 = 16 lebih kecil dari 20, juga jumlah frekuensi dua kelas terakhir lebih kecil dari 20, yaitu 7 + 4 = 11. Maka median untuk data di atas, didapatkan sebagai berikut:

            _                  13 16 2 40 7 70,5 f F 2 n p BB Me

Statistika 72,65 13 4 7 70,5         

Jadi, median dari data tersebut adalah 72,65.

B. U

KURAN

L

ETAK

Ukuran letak adalah ukuran yang menunjukkan letak sebagian data relatif terhadap keseluruhan data yang telah diurutkan dari yang terkecil sampai yang terbesar. Ukuran letak yang akan dibahas di sini adalah, kuartil, desil, dan persentil.

(1) Kuartil

Jika sekumpulan data terurut dibagi menjadi 4 bagian yang sama banyak, maka bilangan pembaginya dinamakan kuartil. Ada tiga buah kuartil, yaitu kuartil kesatu, kuart il kedua, dan kuart il ket iga, yang masing-masing disingkat dengan Q₁, Q₂, dan Q₃. Pemberian nama ini dimulai dari nilai kuartil paling kecil. Penghitungan nilai kuartil dari sekumpulan data bergantung pada data yang digunakan, yaitu data tidak berkelompok dan data berkelompok.

a. Data tidak berkelompok

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

(i) Susun datanya mulai dari nilai terkecil sampai nilai terbesar. (ii) Tentukan nilai letak kuartil.

Letak Q_i = data ke 4

1) i(n 

, i = 1, 2, 3. (iii)Tentukan nilai kuartil.

Penentuan ini tergantung pada hasil letaknya. Jika hasil letaknya berupa bilangan bulat, maka penentuan nilainya langsung berdasarkan pada nilai data yang sudah terurut.

Contoh 11:

Tentukan kuartil pertama, kedua, dan ketiga dari data: 87, 74, 69, 78, 67, 90, 83.

Penyelesaian:

Data setelah di urut adalah: 67, 69, 74, 78, 83, 87, 90.

Kemudian cari letak nilai kuartil-kuatil tersebut dengan menggunakan formula: Letak Q_i = data ke

4 1) i(n 

, i = 1, 2, 3.

(i) Letak kuartil pertama Q₁ = data ke 2 4 1) 1(7   .

Kuartil pertama terletak pada data ke- 2, yaitu Q₁ = 69. (ii) Letak kuartil kedua Q₂ = data ke 4

4 1) 2(7   .

Kuartil kedua terletak pada data ke- 4, yaitu Q₂ = 78. (iii)Letak kuartil ketiga Q₃ = data ke 6

4 1) 3(7   .

Kuartil ketiga terletak pada data ke- 6, yaitu Q₃ = 87.

Sedangkan jika hasil letaknya berupa bilangan desimal atau pecahan, maka penentuan nilainya melalui perhitungan dari nilai data yang sudah terurut.

Contoh 12:

Misalkan nilai matematika dari 12 siswa adalah sebagai berikut: 87, 69, 82, 70, 90, 77, 78, 80, 85, 75, 83, 72.

Tentukan kuartil pertama dan ketiga dari data tersebut!

Penyelesaian:

Data setelah diurut adalah: 69, 70, 72, 75, 77, 78, 80, 82, 83, 85, 87, 90.

Kemudian cari letak nilai kuartil-kuatil tersebut dengan menggunakan formula: Letak Q_i = data ke

4 1) i(n 

, i = 1, 2, 3.

(i) Letak kuartil pertama Q₁ = data ke 3,25 4 1) 1(12   .

Kuartil pertama terletak pada data ke 3,25, artinya Q₁ didapatkan dari data ke-3 ditambah dengan 0,25 (data keempat – data ketiga), yaitu:

Q₁ = data ke-3 + 0,25 (data ke-4 – data ke-3) = 72 + 0,25 (75 – 72)

= 72,75

(ii) Letak kuartil ketiga Q₃ = data ke 9,75 4 1) 3(12   .

Kuartil ketiga terletak pada data ke 9,75, artinya Q₃ didapatkan dari data ke-9 ditambah dengan 0,75 (data kesepuluh – data kesembilan), yaitu :

Q₃ = data ke-9 + 0,75 (data ke-10 – data ke-9) = 83 + 0,75 (85 – 83)

= 84,5

b. Data berkelompok

Data sudah disusun dalam tabel distribusi frekuensi. Rumus yang digunakan:

            _   f F 4 in p BB i Q , i = 1, 2, 3. dengan:

Statistika

BB = batas bawah kelas yang memuat kuartil ke-i. p = panjang kelas interval.

n = jumlah data.

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas interval yang memuat kuartil ke-i.

f = frekuensi kuartil ke-i. Contoh 13:

Perhatikan kembali tabel pada contoh 4, halaman 8.29.

Berapakah kuartil pertama dan kuartil ketiga dari data pada tabel tersebut?

Penyelesaian:

Pada tabel distribusi frekuensi tersebut, kuartil pertama berada pada kelas 64 – 70, sebab jumlah frekuensi dua kelas pertama, yaitu 3 + 5 = 8 lebih kecil dari 10. Maka kuartil pertama dan kuartil ketiga untuk data di atas, berturut-turut didapatkan sebagai berikut:                               8 8 4 40 7 63,5 f F 4 in p BB 1 Q 65,25 8 2 7 63,5                                  7 29 30 7 77,5 f F 4 3n p BB 3 Q 78,5 7 1 7 77,5         

(2) Desil

Jika sekumpulan data terurut dibagi menjadi 10 bagian yang sama banyak, maka bilangan pembaginya dinamakan desil. Ada sembilan buah desil, yaitu desil kesatu, desil kedua, desil ketiga, ..., dan desil kesembilan, yang masing-masing disingkat dengan D₁, D₂, D₃, ..., D₉. Pemberian nama ini dimulai dari nilai desil paling kecil. Penghitungan nilai desil dari sekumpulan data bergantung pada data yang digunakan, yaitu data tidak berkelompok dan data berkelompok.

a. Data tidak berkelompok

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

(i) Susun datanya mulai dari nilai terkecil sampai nilai terbesar. (ii) Tentukan nilai letak desil.

Letak D_i = data ke 10

1) i(n 

, i = 1, 2, 3, ..., 9. (iii)Tentukan nilai desil.

Penentuan ini tergantung pada hasil letaknya. Jika hasil letaknya berupa bilangan bulat, maka penentuan nilainya langsung berdasarkan pada nilai data yang sudah terurut. Sedangkan jika hasil letaknya berupa bilangan desimal atau pecahan, maka penentuan nilainya melalui perhitungan dari nilai data yang sudah terurut.

Contoh 14:

Tentukan D₆ dari data berikut: 87, 69, 82, 70, 90, 77, 78, 80, 85, 75, 83, 72.

Penyelesaian:

Data setelah diurut adalah: 69, 70, 72, 75, 77, 78, 80, 82, 83, 85, 87, 90.

Kemudian cari letak nilai kuartil-kuatil tersebut dengan menggunakan formula: Letak D_i = data ke 10 1) i(n  , i = 1, 2, 3, ..., 9. Letak D₆ = data ke 7,8 10 1) 6(12  

Desil keenam terletak pada data ke-7,8, artinya D₆ didapatkan dari data ke-7 ditambah dengan 0,8 x (data kedelapan – data ketujuh), yaitu:

D₆ = 80 + 0,8 (82 – 80) = 80 + 1,6

= 81,6

b. Data berkelompok

Data sudah disusun dalam tabel distribusi frekuensi. Rumus yang digunakan:

               f F 10 in p BB i D , i = 1, 2, 3, ..., 9.

Statistika dengan:

D_i = nilai desil ke-i.

BB = batas bawah kelas yang memuat desil ke-i. p = panjang kelas interval.

n = jumlah data.

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas interval yang memuat desil ke-i.

f = frekuensi desil ke-i. Contoh 15:

Perhatikan kembali tabel pada contoh 4, halaman 8.29. Berapakah D₈ dari data pada tabel tersebut?

Penyelesaian:

Pada tabel distribusi frekuensi tersebut, D₈ berada pada kelas 78 – 84, sebab jumlah frekuensi empat kelas pertama, yaitu 3 + 5 + 8 + 13 = 29 lebih kecil dari 32. Maka D₈ untuk data di atas didapatkan sebagai berikut:

                              7 29 10 320 7 77,5 f F 10 8x40 p BB 8 D 80,5 7 3 7 77,5          (3) Persentil

Jika sekumpulan data terurut dibagi menjadi 100 bagian yang sama banyak, maka bilangan pembaginya dinamakan persentil. Ada sembilan puluh sembilan buah persentil, yaitu persentil kesatu, persentil kedua, pesentil ketiga, ..., dan persentil kesembilan puluh sembilan, yang masing-masing disingkat dengan P₁, P₂, P₃, ..., P₉₉. Pemberian nama ini dimulai dari nilai persentil paling kecil. Penghitungan nilai persentil dari sekumpulan data bergantung pada data yang digunakan, yaitu data tidak berkelompok dan data berkelompok.

a. Data tidak berkelompok

Langkah-langkahnya adalah sebagai berikut:

(i) Susun datanya mulai dari nilai terkecil sampai nilai terbesar. (ii) Tentukan nilai letak persentil.

Letak P_i = data ke 100

1) i(n 

, i = 1, 2, 3, ..., 99. (iii)Tentukan nilai persentil.

Penentuan ini tergantung pada hasil letaknya. Jika hasil letaknya berupa bilangan bulat, maka penentuan nilainya langsung berdasarkan pada nilai data yang sudah terurut. Sedangkan jika hasil letaknya berupa bilangan desimal atau pecahan, maka penentuan nilainya melalui perhitungan dari nilai data yang sudah terurut.

Contoh 16:

Tentukan P₈₅ dari data berikut: 87, 69, 82, 70, 90, 77, 78, 80, 85, 75, 83, 72.

Penyelesaian:

Data setelah diurut adalah: 69, 70, 72, 75, 77, 78, 80, 82, 83, 85, 87, 90.

Kemudian cari letak nilai kuartil-kuatil tersebut dengan menggunakan formula: Letak P_i = data ke 100 1) i(n  , i = 1, 2, 3, ..., 99. Letak P₈₅ = data ke 11,05 100 1) 85(12   .

Persentil ke-85 terletak pada data ke-11,05, artinya P₈₅ didapatkan dari data ke-11 ditambah dengan 0,05 x (data keduabelas – data kesebelas), yaitu:

P₈₅ = 87 + 0.05 x (90 – 87) = 87 + 0,1

= 87,15 b. Data berkelompok

Data sudah disusun dalam tabel distribusi frekuensi. Rumus yang digunakan:

            _   f F 100 in p BB i P , i = 1, 2, 3, ..., 99. dengan:

P_i = nilai persentil ke-i.

BB = batas bawah kelas yang memuat persentil ke-i. p = panjang kelas interval.

n = jumlah data.

F = frekuensi kumulatif sebelum kelas interval yang memuat persentil ke-i.

Statistika

Contoh 17:

Perhatikan kembali tabel pada contoh 4, halaman 8.29. Berapakah P₆₅ dari data di atas?

Penyelesaian:

Pada tabel distribusi frekuensi tersebut, P₆₅ berada pada kelas 71 – 77, sebab jumlah frekuensi tiga kelas pertama, yaitu 3 + 5 + 8 = 16 lebih kecil dari 26.

Maka P₆₅ untuk data di atas didapatkan sebagai berikut:

                              13 16 100 65(40) 7 70,5 f F 100 in p BB 65 P 75,885 13 16 26 7 70,5          

C. U

KURAN

P

ENYEBARAN

Ukuran penyebaran adalah ukuran yang menunjukkan seberapa jauh pengamatan-pengamatan itu menyebar dari rata-ratanya. Ukuran penyebaran yang akan dibahas di sini adalah, rentang, simpangan kuartil, dan simpangan baku.

(1) Rentang

Rentang dari sekelompok data adalah nilai data terbesar dikurangi nilai data terkecil. Penghitungan nilai rentang dari sekumpulan data bergantung pada data yang digunakan, yaitu data tidak berkelompok dan data berkelompok.

a. Data tidak berkelompok Rumus yang digunakan:

Rentang = data terbesar – data terkecil

Contoh 18:

Tentukan rentang dari data berikut:

Penyelesaian:

Data terbesar adalah 90 dan data terkecil adalah 69, sehingga nilai rentangnya adalah: 90 – 69 = 21

b. Data berkelompok

Data sudah disusun dalam tabel distribusi frekuensi. Rumus yang digunakan: Rentang = xn – x1

dengan:

x_n = titik tengah kelas interval terakhir. x₁ = titik tengah kelas interval kesatu.

Contoh 19:

Perhatikan kembali tabel pada contoh 4, halaman 8.29. Tentukan rentang dari data pada tabel tersebut !

Penyelesaian:

Tabel tersebut dilengkapi dengan titik tengah kelas intervalnya dan didapatkan tabel sebagai berikut:

Nilai frekuensi ( f ) titik tengah kelas interval (xi) 50 – 56 57 – 63 64 – 70 71 – 77 78 – 84 85 – 91 3 5 8 13 7 4 53 60 67 74 81 88 40

Sehingga rentang dari data diatas adalah 88 – 53 = 35.

(2) Simpangan Kuartil

Rumus yang digunakan:

SQ = 2 1 (Q3 – Q1) dengan: SQ = simpangan kuartil. Q₁ = kuartil kesatu. Q₃ = kuartil ketiga.

Statistika a. Data tidak berkelompok

Contoh 20:

Tentukan Simpangan kuartil dari data: 87, 74, 69, 78, 67, 90, 83.

Penyelesaian:

Data setelah di urut adalah: 67, 69, 74, 78, 83, 87, 90. Berdasarkan hasil pembahasan di atas didapatkan Q₁ = 69 dan Q₃ = 87. Sehingga Simpangan kuartilnya didapatkan sebagai berikut: 9 69) (87 2 1 ) 1 Q 3 (Q 2 1 SQ      Contoh 21:

Misalkan nilai matematika dari 12 siswa adalah sebagai berikut: 87, 69, 82, 70, 90, 77, 78, 80, 85, 75, 83, 72.

Tentukan simpangan kuartil dari data tersebut!

Penyelesaian:

Data setelah diurut adalah: 69, 70, 72, 75, 77, 78, 80, 82, 83, 85, 87, 90. Berdasarkan hasil pengerjaan pada contoh sebrlumnya, telah didapatkan bahwa nilai Q₁ = 72,75 dan Q₃ = 84,5. Sehingga simpangan kuartilnya Anda dapatkan:

5,875 72,75) (84,5 2 1 ) 1 Q 3 (Q 2 1 SQ      b. Data berkelompok

Data sudah disusun dalam tabel distribusi frekuensi.

Contoh 22:

Perhatikan kembali tabel pada contoh 4, halaman 8.29. Berapakah simpangan kuartil dari data pada tabel tersebut?

Penyelesaian:

Berdasarkan bahasan di atas kuartil pertama dan kuartil ketiga untuk data di atas, berturut-turut didapatkan Q ₁ 65,25 dan Q₃ 78,5 _{sehingga simpangan kuartilnya} didapatkan:

6,625 65,25) (78,5 2 1 ) 1 Q 3 (Q 2 1 SQ     

(3) Simpangan Baku (Standar Deviasi)

Simpangan baku untuk sampel diberi simbol s. Pangkat dua dari simpangan baku s2 _{dinamakan varians. Penghitungan nilai simpangan baku dari sekumpulan data} bergantung pada data yang digunakan, yaitu data tidak berkelompok dan data berkelompok.

a. Data tidak berkelompok

Jika kita mempunyai sampel berukuran n dengan data x₁, x₂, x₃, ..., x_n dan rata-rata x , maka simpangan baku dihitung dengan:





1 n n 1 i 2 x i x s     

Bentuk lain dari rumus simpangan baku adalah:

1) n(n 2 n 1 i i x n 1 i 2 i x n s                Contoh 23:

Tentukan simpangan baku dari data 85, 79, 91, 81, dan 78

Penyelesaian:

Terlebih dahulu dicari nilai rata-rata data sebagai berikut : 82,8 5 78 81 91 79 85 x     

























1 5 2 82,8 78 2 82,8 81 2 82,8 91 2 82,8 79 2 82,8 85 1 n n 1 i 2 x i x s                

Statistika 5,31 4 112,8   b. Data berkelompok

Jika data dari sampel telah disusun dalam tabel distribusi frekuensi, maka simpangan baku dihitung dengan:





1 n 2 x i x n 1 i i f s     

Bentuk lain dari rumus simpangan baku adalah:





1) n(n 2 i x i f 2 i x i f n s      dengan:

x_i = titik tengah kelas intervel ke-i. f_i = frekuensi kelas interval ke-i.

Contoh 24:

Perhatikan kembali tabel pada contoh 4, halaman 8.29. Berapakah simpangan baku dari data di atas?

Penyelesaian:Penyelesaian:

Berikut ini tabel yang diperlukan untuk menghitung simpangan baku. Nilai f xi xi2 fixi fixi2 50 – 56 57 – 63 64 – 70 71 – 77 78 – 84 85 – 91 3 5 8 13 7 4 53 60 67 74 81 88 2809 3600 4489 5476 6561 7744 159 300 536 962 567 352 8427 18000 35912 71188 45927 30976 40 2876 210430









40(39) 2 2876 ) 40(210.430 1) n(n 2 i x i f 2 i x i f n s       

9,67 1560 145.824 1560 8.271.376 8.417.200    

Jadi, simpangan baku untuk data di atas adalah 9.67

Petunjuk: Jawablah pertanyaan dengan singkat dan tepat!

Untuk memperdalam pemahaman Anda mengenai materi di atas, kerjakanlah latihan berikut!

Diketahui 35 data yang menunjukan nilai suatu pelajaran “X” sebagai berikut: 67 56 76 81 65 72 53 47 79 68

74 63 80 75 84 65 78 54 66 72 60 83 77 61 65 88 69 57 64 85 74 67 71 63 58

Tentukan simpangan baku untuk data di atas. Penyelesaian :

· Nilai data terbesar = 88 dan nilai data terkecil = 47, sehingga: Range = 88 – 47 = 41.

· Banyaknya interval kelas (k):

1 + 3,3 log 35 = 1 + 5,095 = 6,095 (misalkan dipilih k = 6) . · Panjang kelas 6,83

6 41

p  (misal dipilih p = 7).

Untuk data di atas, Anda dapatkan tabel distribusi frekuensinya sebagai berikut: interval kelas f xi xi2 fixi fixi2 47 – 53 54 – 60 61 – 67 68 – 74 75 – 81 82 – 88 2 5 10 7 7 4 50 57 64 71 78 85 2500 3249 4096 5041 6084 7225 100 285 640 497 546 340 5000 16245 40960 35287 42588 28900 35 2408 168980

Statistika 68,8 35 2408 x 





1) n(n 2 i x i f 2 i x i f n s     





35(34) 2 2408 ) 35(168.980   9,866 1190 115.838 1190 5.798.464 5.914.300    

Jadi, simpangan baku untuk data di atas adalah 9.,866.

1. Rata-rata

a. Data tidak berkelompok 

       n 1 i i x n 1 n n x ... 3 x 2 x 1 x x atau,               n 1 i i f n 1 i i x i f n f ... 3 f 2 f 1 f n x n f ... 3 x 3 f 2 x 2 f 1 x 1 f x b. Data berkelompok      n 1 i i f n 1 i i x i f x

2. Modus

a. Data tidak berkelompok Kemungkinan:

(i) Hanya diperoleh satu modus.

(ii) Diperoleh lebih dari satu nilai modus. (iii)Tidak mempunyai nilai modus.

b. Data berkelompok            2 b 1 b 1 b p BB Mo 3. Median

a. Data tidak berkelompok Kemungkinan:

(i) Jika banyak datanya berupa bilangan ganjil, maka nilai mediannya dihitung dari data yang paling tengah.

(ii) Jika banyak datanya berupa bilangan genap, maka nilai mediannya dihitung berdasarkan nilai rata-rata dua data yang terletak ditengah. b. Data berkelompok             _   f F 2 n p BB Me 4. Kuartil

a. Data tidak berkelompok

(i) Susun datanya mulai dari nilai terkecil sampai nilai terbesar. (ii) Tentukan nilai letak kuartil.

Letak Q_i = data ke 4

1) i(n 

, i = 1, 2, 3. (iii)Tentukan nilai kuartil.

Penentuan ini tergantung pada hasil letaknya. b. Data berkelompok

Statistika             _   f F 4 in p BB i Q , i = 1, 2, 3. 5. Desil

a. Data tidak berkelompok

(i) Susun datanya mulai dari nilai terkecil sampai nilai terbesar. (ii) Tentukan nilai letak desil.

Let ak D_i = data ke 10

1) i(n 

, i = 1, 2, 3, ..., 9. (iii)Tentukan nilai desil.

Penentuan ini tergantung pada hasil letaknya. b. Data berkelompok                f F 10 in p BB i D

, i = 1, 2, 3, ..., 9.

6. Persentil

a. Data tidak berkelompok

(i) Susun datanya mulai dari nilai terkecil sampai nilai terbesar. (ii) Tentukan nilai letak persentil.

Letak P_i = data ke 100

1) i(n 

, i = 1, 2, 3, ..., 99.

(iii)Tentukan nilai persentil.

Penentuan ini tergantung pada hasil letaknya. b. Data berkelompok                f F 100 in p BB i P

, i = 1, 2, 3, ..., 99.

7. Rentang

a. Data tidak berkelompok

Rentang = data terbesar – data terkecil b. Data berkelompok

8.Simpangan Kuartil SQ = 2 1 (Q3 – Q1) 9. Simpangan baku

a. Data tidak berkelompok





1 n n 1 i 2 x i x s      atau 1) n(n 2 n 1 i i x n 1 i 2 i x n s                b. Data berkelompok





1 n 2 x i x n 1 i i f s      atau,





1) n(n 2 i x i f 2 i x i f n s     

Petunjuk: Pilihlah salah satu jawaban yang dianggap paling tepat!

1. Nilai ujian suatu mata kuliah diberikan pada tabel berikut: Nilai 5 6 7 8 9 10

Frekuensi 3 5 4 6 1 1

Jika nilai siswa yang lebih rendah dari rata-rata dinyatakan tidak lulus, maka banyaknya siswa yang lulus adalah ...

A. 7 C. 10

B. 8 D. 12

2. Nilai rata-rata tes Bahasa Inggris dari 10 siswa adalah 55 dan jika digabung lagi dengan 5 siswa nilai rata-rata menjadi 53. Nilai rata-rata dari 5 siswa tersebut adalah …

A. 49 C. 51

Statistika 3. Perhatikan tabel berikut ini:

Nilai 5 6 7 8 9 Frekuensi 6 8 10 X 4

Jika nilai rata-rata data di atas adalah 7, maka x adalah ...

A. 9 C. 11

B. 10 D. 12

4. Data berat badan 30 siswa sebagai berikut: Berat badan (kg) Banyak siswa

35 – 39 40 – 44 45 – 49 50 – 54 3 15 10 2 Rata-rata berat badan siswa adalah ...

A. 43,83 C. 48,17

B. 44,83 D. 49,72

5. Median dari distribusi frekuensi di bawah adalah ... Berat badan (kg) Banyak siswa

50 – 52 53 – 55 56 – 58 59 – 61 62 – 64 4 5 3 2 6 A. 53,5 C. 5,5 B. 54,5 D. 56,5

6. Modus dari data pada tabel di bawah ini adalah ... Nilai Frekuensi 50 – 54 55 – 59 60 – 64 65 – 69 70 – 74 1 12 14 7 4 A. 60,6 C. 61,1 B. 60,8 D. 61,6

7. Dari tabel distribusi frekuensi di bawah ini nilai kuartil Q₁ adalah ... Berat badan (kg) Frekuensi

36 – 45 46 – 55 56 – 65 66 – 75 76 – 85 5 10 12 7 6

A. 46,5 C. 50,5

B. 48,5 D. 52,5

8. Simpangan kuartil dari data 3, 6, 2, 4, 14, 9, 12, 8 adalah ...

A. 3 C. 4

B. 3,5 D. 4,5

9. Berikut adalah tabel berat badan 40 siswa suatu sekolah: Berat badan (kg) Banyak siswa

26 – 30 31 – 35 36 – 40 41 – 45 46 – 50 5 7 17 9 2

Simpangan kuartil dari data pada tabel di atas adalah ...

A. 2 kg C. 3,5 kg

B. 3,3 kg D. 7,6 kg

10. Simpangan baku dari data sampel : 7, 3, 5, 4, 6, 5 adalah …

A. 3 3 1 C. 5 3 1 B. 3 3 2 D. 15 3 1

Statistika

Cocokkan jawaban Anda dengan menggunakan kunci jawaban Tes Formatif 2 yang terdapat di bagian akhir bahan belajar mandiri ini. Hitunglah jawaban Anda yang benar, kemudian gunakan rumus di bawah ini untuk mengetahui tingkat penguasaan Anda terhadap materi Kegiatan Belajar 2.

Rumus :

Jumlah jawaban Anda yang benar

Tingkat penguasaan = ______________________________ X 100 % 10

Arti tingkat penguasaan yang Anda capai : 90 % - 100% = Baik sekali

80 % - 89% = Baik 70% - 79 % = Cukup

< 70% = Kurang

Apabila tingkat penguasaan Anda telah mencapai 80 % atau lebih, Anda telah menuntaskan Kegiatan Bahan Belajar Mandiri. Bagus ! Tetapi apabila nilai tingkat penguasaan Anda masih di bawah 80 %, Anda harus mengulangi Kegiatan Belajar 1, terutama bagian yang belum Anda kuasai.

KUNCI JAWABAN TES FORMATIF

T

ES

F

ORMATIF

1

1. C 2. B 3. D 4. A 5. B 6. C 7. C 8. D 9. A 10. C

T

ES

F

ORMATIF

2

1. D 2. A 3. D 4. A 5. D 6. A 7. C 8. D 9. C 10. D

Statistika

DAFTAR PUSTAKA

Bello, I. (1983) Contemporary Basic Mathematical Skills. New-York: Harper & Row. Britton, J. R. and Bello I. (1984). Topics in Contemporary Mathematics. New-York:

Harper & Row.

Devine, D. F. and Kaufmann J. E. (1983). Elementary Mathematics for Teachers. Canada: John Wiley & Sons.

Kodir, A., dkk. (1981). Matematika 2 untuk SMP. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan.

Kodir, A., dkk. (1977). Matematika 4 untuk SMP. Jakarta: Departemen Pendidikan dan Kebudayaan.

Kusnaedi, E, Zaelani, A., dan Cunayah, C. (2007). Matematika SMA/MA Soal-Soal Pemantapan Ujian Nasional. Bandung: YramaWidya.

Lipschutz, E., Hall, G. G. dan Margha. (1988). Matematika Hingga. Jakarta: Erlangga Nasution, A. H. dan Barizi. 1988. Metode Statistika. Jakarta : Gramedia.

Ross, M. (1998). A First Course in Probability. New Jersey: Prentice Hall.

Ruseffendi, E. T. (1989). Dasar-dasar Matematika Modern dan Komputer untuk Guru. Bandung: Tarsito.

Sudjana. (2006). Metoda Statistika. Bandung: Tarsito

Wahyudin. (2001). Matematika SLTP Kelas 2. Bandung: Epsilon Grup.