Kapita Selekta Matematika Kapita Selekta Matematika

1

Sudaryatno Sudirham

Kapita Selekta Matematika

Bilangan Kompleks

BILANGAN KOMPLEKS

Definisi

Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan bilangan kompleks sebagai berikut

Bilangan kompleks zialah suatu pasangan terurut (x,y) dari bilangan nyata x, y, yang kita tuliskan

)

,

(

x

y

z

=

y

z

x

z

=

Im

=

Re

Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari pengertian tentang bilangan nyata.

kita tuliskan

bagian nyata (real part) dari z

Bilangan Nyata

Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3 dan seterusnya; bilangan nyata pecahan ¼, ½, ¾ dan seterusnya, serta bilangan nyata

yang hanya dapat di angankan seperti π. Walaupun hanya dapat diangankan, bilangan ini tetap nyata, nilainya adalah 3,14……., dengan

angka desimal yang tak diketahui ujungnya.

Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatu sumbu yang disebut sumbu nyata,

| | | | | | | | -2 -1 0 1 2 3 4 5

Tinjaulah suatu fungsi _y = _x

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y

x

tidak ada nilai y yang nyata untuk x negatif

namun untuk x yang negatif dapat didefinisikan suatu bilangan imajiner (khayal)

j

Jika bilangan nyata 1 menjadi satuan dari bilangan nyata, misalnya

seterusnya

dan

1

10

10

1

5

5

×

=

×

=

maka bilangan imajiner j = √−1 menjadi satuan dari bilangan imajiner, misalnya

seterusnya

dan

9

9

imajiner

3

3

imajiner

2

2

imajiner

j

j

j

Pernyataan Bilangan Kompleks

Satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari komponen nyata dan komponen imajiner dan dituliskan

jb

a

z

=

+

bagian nyata

Bilangan kompleks dapat digambarkan di bidang kompleks

yang dibatasi oleh

sumbu nyata (diberi tanda Re) dan sumbu imajiner (diberi tanda Im) yang saling tegaklurus satu sama lain

setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisi bilangan-kompleks (x,,y)

ρ

disebut argumen disebut modulus



CONTOH

Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai

4 3

1 j

z = +

Sudut dengan sumbu nyata adalah

o 1

1 = tan (4/3) ≈ 53,1

θ −

Pernyataan z₁ dapat kita tuliskan

CONTOH

Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai

(

o o

)

2 10 cos20 jsin20

z = +

Pernyataan ini dapat kita tuliskan

(

)

4 , 3 4

, 9 ) 34 , 0 94 , 0 ( 10

20 sin 20

cos

10 o o

2

j j

j z

+ =

+ ≈

Kesamaan Bilangan Kompleks

2 2 _b

a +

=

ρ merupakan nilai mutlak

Modulus

Dua atau lebih bilangan kompleks bisa saja memiliki nilai ρ yang sama akan tetapi dengan sudut θ yang berbeda; atau sebaliknya mempunyai nilai θ sama akan tetapi memiliki ρ yang berbeda.

Dua bilangan kompleks dikatakan sama besar jika mereka mempunyai baik ρ maupun θ yang sama besar.

Negatif dari Bilangan Kompleks

Nilai negatif dari suatu bilangan kompleks adalah nilai negative dari kedua komponennya

jb

a

z

=

+

−

z

=

−

a

−

jb

Jika maka

jb a z = +

•

Re Im

a jb

jb a z = − −

−

θ

o

180

+ θ

ρ

ρ

CONTOH

Sudut dengan sumbu nyata

z₁ dapat dinyatakan sebagai

Konjugat Bilangan Kompleks

Konjugat dari suatu bilangan kompleks z adalah bilangan kompleks z* yang memiliki komponen nyata sama dengan z tetapi komponen

imajinernya adalah negatif dari komponen imajiner z.

jb

a

z

jb

a

z

=

+

maka

∗

=

−

Jika

jb a

z = +

•

Re

Im

ρ

θ θ −

jb

jb

−

a

jb a

z = −

CONTOH:

6 5 j z = +

Jika maka

z

∗

=

5

−

j

6

Sudut dengan sumbu nyata

o

z dapat dinyatakan sebagai

CONTOH:

6 5 j z = − −

Jika maka z∗ = −5+ j6

• −

−

= 5 j6

z

Re

Im

• +

− =

∗ _{5 j6} z

6

5

j

z

=

−

Jika maka

_z

∗

=

₅

+

_j

₆

− = •

Re

Im

6 5

z = + j

Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks

Hasil penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangan

kompleks yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner.

Hasil selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen imajiner.

Perkalian Bilangan Kompleks

Perkalian dua bilangan kompleks dilaksanakan seperti halnya kita melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan perkalian komponen per komponen

Pembagian Bilangan Kompleks

Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika pembagian itu dikalikan dengan 1

Fungsi Eksponensial Kompleks

Jika x adalah bilangan nyata maka fungsi ekponensial

x e y =

merupakan fungsi ekponensial nyata; y memiliki nilai nyata

Jika z adalah bilangan kompleks z = σ+ jθ

fungsi eksponensial kompleks didefinisikan

riil` al eksponensi

fungsi adalah

dengan

; ) sin (cos

) (

σ

σ θ

+

σ _{= θ+ θ}

=

e

j e

e

ez j

Melalui identitas Eulere jθ = cosθ+ jsin θ

fungsi exponensial kompleks dapat kita tuliskan

Bentuk Polar

Representasi bilangan kompleks dalam bentuk polar adalah

θ

Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan argumennya ∠z = 0,5 rad

Bentuk sudut sikunya adalah:

CONTOH:

Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ j4

5

4

3

|

|

z

=

ρ

=

2

+

2

=

Modulus

Argumen _{0,93 rad}

3 4 tan 1 =

= θ =

∠z −

Representasi polar z = 5e j0,93

Re

Im

93 , 0 5e j z =

•

rad

93 , 0

CONTOH:

Misalkan z = −2+ j0

Modulus | z |=ρ = 4+0 = 2

Argumen θ = _tan−1

(

_0/− ₂

)

= ±π _{tidak bernilai tunggal}

Di sini kita harus memilih θ = π rad karena komponen imajiner 0 sedangkan komponen nyata −2

Re

Im

π

= j

e z 2

2

CONTOH

Misalkan z = 0− j2

Modulus

|

z

|

=

ρ

=

0

+

4

=

2

Argumen θ = tan−1

(

−2/ 0

)

= −π/ 2

komponen nyata: 0 komponen imajiner: −2

Representasi polar adalah

2 /

2

− π

=

j

e

z

.

Re

Im

2 /

2 − π

= _e j

z

2

j

Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks

Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah operasi perkalian dan pembagian.

Konjugat Kompleks

argumen konjugat berlawanan dengan argumen bilangan kompleks asalnya

Re

Kuliah Terbuka

Bilangan Kompleks

Permutasi dan Kombinasi

Permutasi adalah banyaknya pengelompokan sejumlah tertentu komponen yang diambil dari sejumlah komponen yang tersedia; dalam setiap

kelompok urutan komponen diperhatikan

Misalkan tersedia 2 huruf yaitu A dan B

dan kita diminta untuk membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 2 huruf

Kelompok yang yang bisa kita bentuk adalah

B A A

B dan diperoleh 2 kelompok

Ada dua kemungkinan huruf yang bisa menempati posisi pertama yaitu A atau B

Jika A sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu B

Misalkan tersedia 3 huruf yaitu A, B, dan C

Kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 3 huruf adalah:

A

C

B

A

B

C

_C

B

A

B

A

C

_B

C

A

C

A

B

diperoleh 6 kelompok

Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama

tinggal 2 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi kedua

Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama dan salah satu dari 2 yang tersisa sudah menempati posisi kedua maka hanya tinggal 1 kemungkinan komponen yang dapat menempati

posisi terakhir yaitu posisi ketiga

Jadi jumlah kelompok yang bisa diperoleh adalah

6

1

2

3

×

×

=

Jumlah kemungkinan komponen yang

menempati posisi pertama _{Jumlah kemungkinan}

komponen yang

Dari 4 huruf yaitu A, B, C dan D kita dapat membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 4 huruf

ada

24 kelompok Kemungkinan penempatan posisi pertama : 4

Kemungkinan penempatan posisi kedua : 3 Kemungkinan penempatan posisi ketiga : 2 Kemungkinan penempatan posisi keempat : 1

ABCD BACD CDAB DABC ABDC BADC CDBA DACB ACBD BCAD CABD DBCA ACDB BCDA CADB DBAC ADCB BDAC CBAD DCAB ADBC BDCA CBDA DCBA

jumlah kelompok yang mungkin dibentuk

Secara umum jumlah kelompok yang dapat kita bangun

dari

n

komponen

yang setiap kelompok terdiri dari

n

komponen adalah

!

1

...

)

2

(

)

1

(

n

n

n

n

=

×

×

−

×

−

×

Kita katakan bahwa permutasi dari n komponen adalah n! dan kita tuliskan

!

n

P

_n

n

=

Kita baca : n fakultet

Namun dari

n

komponen tidak hanya dapat dikelompokkan

dengan setiap kelompok terdiri dari

n

komponen,

tetapi juga dapat dikelompokkan dalam kelompok yang

masing-masing kelompok terdiri dari

k

komponen dimana

k

<

n

k n

P

Kita sebut permutasi k dari n

Contoh:

Permutasi dua-dua dari empat komponen adalah

12

3

4

2

4

P

=

×

=

Di sini kita hanya mengalikan kemungkinan penempatan pada posisi pertama dan ketiga saja yaitu 4 dan 3. Tidak ada komponen yang menempati posisi berikutnya.

Penghitungan ₄P₂ dalam contoh di atas dapat kita tuliskan

12

1

2

1

2

3

4

2

4

_×

=

Kombinasi merupakan pengelompokan

sejumlah komponen yang mungkin dilakukan

tanpa mempedulikan urutannya

Jika dari tiga huruf A, B, dan C, dapat 6 hasil permutasi yaitu ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA

namun hanya ada satu kombinasi dari tiga huruf tersebut yaitu ABC

karena dalam kombinasi urutan posisi ketiga huruf itu tidak diperhatikan

Oleh karena itu kombinasi

k

dari sejumlah

n

komponen haruslah sama dengan

jumlah permutasi

_n

P

_k

dibagi dengan permutasi

k

Kombinasi

k

dari sejumlah

n

komponen

dituliskan sebagai

_n

C

_k

Jadi

!

)!

(

!

!

n

k

k

n

k

P

C

_k n k

n

×

−

Contoh:

Contoh Aplikasi

Distribusi Maxwell-Boltzman

Distribusi Maxwell-Boltzman

Setiap tingkat energi dapat ditempati oleh elektron mana saja

dan setiap elektron memiliki probabilitas yang sama untuk menempati suatu tingkat energi

Energi elektron dalam padatan terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit; kita sebut

dst.

_{2 3}

1

E

E

Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada dan kita misalkan bahwa distribusi yang terbentuk adalah

dst.

elektron

terdapat

di

elektron

terdapat

di

elektron

terdapat

di

3 3

2 2

1 1

n

E

n

E

n

E

maka jumlah cara penempatan elektron di E₁

merupakan permutasi n₁ dari N yaitu

)!

(

!

1 1 ₁

n

N

N

P

P

_{n N}

−

=

Jumlah cara penempatan elektron di E₂ merupakan permutasi n₂ dari

Setelah n₁ menempati E₁ maka urutan penempatan elektron di E₁ ini sudah tidak berarti lagi karena kita tidak dapat membedakan antara

satu elektron dengan elektron yang lain

Jadi jumlah cara penempatan elektron di E₁ adalah kombinasi n₁ dari N

Namun setiap tingkat energi juga memiliki probabilitas untuk ditempati, yang disebut intrinksic probability

Misalkan intrinksic probability tingkat E₁ adalah g₁, E₂ adalah g₂, dst. maka probabilitas tingkat-tingkat energi

dst.

Dengan demikian maka probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron seperti di atas adalah:

!...

Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi

Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian

permutasi dan kombinasi

Pembaca dapat melihat proses perhitungan lanjutan ini di buku-e

T k E i

i g e i B

Z N

n = − /

Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Maxwell-Boltzmann

Jumlah elektron pada tingkat energi E_i

temperatur

konstanta Boltzmann

tingkat energi ke-i

probabilitas intrinksik tingkat energi ke-i

fungsi partisi

∑

−β

=

i

E ie i

Distribusi Fermi-Dirac

Energi elektron dalam terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit, misalnya kita sebut

dst.

_{2 3}

1

E

E

E

Setiap tingkat energi mengandung sejumlah tertentu status kuantum dan tidak lebih dari dua elektron berada

pada status yang sama.

Oleh karena itu jumlah status di tiap tingkat energi menjadi probabilitas intrinksik tingkat

energi yang bersangkutan Yang berarti menunjukkan jumlah elektron yang mungkin berada di suatu

Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada,

yaitu

dst.

elektron

terdapat

di

elektron

terdapat

di

elektron

terdapat

di

3 3

2 2

1 1

n

E

n

E

Sehingga probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron adalah:

Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Fermi-Dirac namun kita tidak Maka banyaknya cara penempatan elektron di tingkat

E₁, E₂, E₃ dst. merupakan kombinasi C₁, C₂, C₃ dst

Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi

Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian

permutasi dan kombinasi

Pembaca dapat melihat proses perhitungang lanjutan ini di buku-e

Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Fermi Dirac

1 energi sampai E_F terisi penuh dan tidak terdapat

elektron di atas E_F

Kuliah Terbuka

Permutasi dan Kombinasi

Aritmatika Interval

Pengantar

Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yang melibatkan bilangan-bilangan dalam interval.

Cakupan Bahasan

Pengertian-Pengertian Interval

Operasi-Operasi Aritmatika Interval

Bilangan nyata yang biasa kita kita operasikan adalah bernilai tunggal, baik bilangan bulat maupun pecahan

Dalam analisis interval, bilangan yang kita operasikan memiliki nilai yang berada dalam suatu interval tertutup *₎

Dengan demikian bilangan yang kita hadapi sesungguhnya merupakan kumpulan bilangan

Contoh:

Bilangan dalam interval 90 dan 110 adalah kumpulan bilangan yang bernilai antara 90 dan 110 termasuk 90 dan 110 itu sendiri

Suatu kumpulan dinyatakan dengan tanda kurung { }. Secara umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai

)}

(

:

{

x

p

x

S

=

menunjukkan syarat-syarat yang harus dipenuhi untuk menentukan apakah x benar

merupakan elemen dari S

atau tidak menunjukkan kumpulan

yang kita tinjau

menunjukkan sembarang elemen

Contoh

}

110

90

,

:

{

∈

≤

≤

=

x

x

R

x

S

R adalah kumpulan dari semua bilangan nyata

110

90

,

)

(

x

=

x

∈

R

≥

x

≤

Secara umum, kumpulan bilangan nyata X dalam interval antara

a dan b dengan a < b dan a maupun b terletak antara −∞ dan + ∞ kita tuliskan

}

,

,

,

,

:

{

∈

≤

≤

∈

−

∞

<

<

<

+∞

=

x

x

R

a

x

b

a

b

R

a

b

X

Penulisan ini tentu agak merepotkan dalam melakukan operasi-operasi interval

Kita memerlukan cara penulisan yang lebih sederhana agar mudah melakukan operasi interval.

Dalam operasi interval, sesungguhnya kita akan berhubungan

hanya dengan batas-batas interval.

Oleh karena itu kita akan menggunakan cara penulisan bilangan interval yang lebih sederhana, dengan hanya menyatakan

]

,

[

x

x

X

=

Dalam penjelasan selanjutnya kita akan menggambarkan interval pada garis sumbu nyata sebagai berikut

kita gunakan tanda kurung [ ] untuk mengakomodasi batas-batas interval. Suatu interval X yang memiliki batas bawah (nilai minimum)

x

dan

batas atas (nilai maksimum)

x

kita tuliskan

0

(

x )

interval X

batas bawah batas atas

Suatu interval mengalami degenerasi jika

dan disebut degenerate interval; interval yang tidak mengalami degenerasi disebut nondegenerate.

Dengan pengertian ini maka suatu bilangan nyata bernilai tunggal dapat dikatakan merupakan keadaan khusus dari suatu interval. Atau sebaliknya suatu interval merupakan pernyataan umum (generalisasi)

suatu bilangan nyata.

x

x

=

Lebar suatu interval X adalah bilangan nyata

x

x

X

w

(

)

=

−

]

15

,

6

[

=

X

w

(

X

)

=

15

−

6

=

9

Contoh:

( 0

)

x

w(X)

x

Titik tengah atau mid point suatu interval X adalah

2

/

)

(

)

(

X

x

x

m

=

+

Contoh:

}

10

,

4

{

=

X

→ titik tengah

m

(

X

)

=

(

4

+

10

)

/

2

=

7

Contoh:

}

10

,

4

{

=

X

→ radius interval X adalah w(X)/2 = (10−4)/2 = 3. Setengah dari lebar interval disebut sebagai radius interval

2

/

)

(

X

w

Titik Tengah

Kesamaan

Dua interval dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai batas-batas yang sama.

]

,

[

x

x

X

=

_Y

=

_[

_y

_,

_y

_]

Jika dan

Y

X

=

x

=

y

dan

x

=

y

maka jika dan hanya jika

Urutan

Interval X dikatakan lebih kecil dari Y jika dan hanya jika batas maksimum X lebih kecil dari batas minimum Y,

x

<

y

Contoh

X

= {6, 10} dan

Y

= {13, 18}

→ X < Y.

0

(

x _x) (y _y)

Dalam contoh ini

Nilai Absolut

Nilai absolut suatu interval X didefinisikan sebagai maksimum dari absolut batas-batasnya

}

,

max{

x

x

X

=

Contoh

X

= {

−

8, 4}

8

}

4

,

8

max{

−

=

=

Jarak

Jarak antara dua interval didefinisikan sebagai maksimum dari selisih batas-batas keduanya

|}

|

,

|

max{|

)

,

(

X

Y

=

x

−

y

x

−

y

ρ

Contoh

X

= {2,6},

Y

= {8,18}

12

|}

18

6

|

|,

8

2

max{|

)

,

(

=

−

−

=

ρ

X

Y

0

( )

x ( )

X Y

x

y− _{y − x}

x y _y

Di sini

|

|

|

Simetri

Suatu interval X disebut simetris jika

−

x

=

x

Contoh:

X

= {

−

5, 5}

0 (

x )

X

x

Interval simetris mengandung elemen bernilai 0.

Tetapi tidak berarti mempunyai lebar 0.

Irisan

Karena interval dapat dipandang sebagai kumpulan maka kita mengenal irisan interval.

Irisan antara interval

X

dan interval

Y

adalah

}]

,

min{

},

,

[max{

x

y

x

y

Y

X

∩

=

Contoh:

X

= {2, 9}

dan

Y

= {6, 18}

X

∩

Y

=

[

6

,

9]

0 (

x ( ) )

X Y

y _{x y}

Y X ∩

Irisan dua interval juga merupakan sebuah interval

Gabungan

Gabungan antara interval X dan Y adalah

}]

maks{

},

,

[min{

x

y

x

,

y

Y

X

∪

=

Contoh:

X

= [2, 9],

Y

= [6, 18]

X ∪Y =[2 ,18]

0 (

x ( ) )

X Y

y _{x y}

Y X ∪

Jika irisan dari

X

dan

Y

tidak kosong maka gabungan keduanya juga merupakan sebuah interval.

Akan tetapi jika irisan antara keduanya kosong maka gabungan dua interval itu tidak merupakan sebuah interval karena sesungguhnya

Inklusi

Interval X berada di dalam interval Y jika dan hanya jika

)

(

)

(

dan

w

X

w

Y

Y

X

≤

≤

atau

Y

X

⊆

jika dan hanya jika

y

≤

x

dan

x

≤

y

Contoh: a).

X

= {5, 12} dan

Y

= {4, 16}

→

X

⊆

Y

0

(

x )

( )

X Y

x

y _y

b).

X

={

−

5, 2} dan

Y

= {

−

7, 7}

0 (

x )

( )

Kita dapat membedakan interval dalam tiga katagori, yaitu:

Interval yang seluruh elemennya bernilai positif, yang kita sebut interval positif.

Interval yang seluruh elemennya bernilai negatif, yang kita sebut interval negatif.

Interval yang mengandung elemen bernilai negatif maupun positif termasuk nol.

Degenerasi interval positif membentuk bilangan positif, degenerasi interval negatif membentuk bilangan negatif,

Penjumlahan

dan

Penjumlahan

Misalkan X dan Y adalah dua interval. Jumlah dari X dan Y

didefinisikan sebagai

}

,

:

{

x

y

x

X

y

Y

Y

X

+

=

+

∈

∈

Elemen dari jumlah interval adalah jumlah elemen masing-masing interval

Oleh karena itu maka batas bawah dari hasil penjumlahan adalah jumlah dari batas bawah, dan batas atas dari hasil penjumlahan

adalah jumlah dari batas atas

Dengan demikian maka penjumlahan dua interval hanya melibatkan batas-batas interval saja.

]

,

[

x

y

x

y

Y

X+Y y

x+ _x + _y

0 (

x ) ( )

X Y

( )

x y _y

]

,

[

x

y

x

y

Y

X

+

=

+

+

Jumlah interval juga merupakan interval.

]

,

[

y

y

Y

=

Jika dan , maka

X

=

_[

x

_,

x

_]

tidak merupakan sebuah interval karena

X

<

Y

.

X

dan

Y

adalah dua interval yang terpisah.

Y

X

∪

Penjumlahan berbeda dengan

penggabungan.

Contoh:

X

= {2, 6} dan

Y

= {9, 14}

→

X

+

Y

= [2+9, 6+14]=[11, 20]

Penjumlahan dua interval selalu dapat dilakukan.

Jika kedua interval yang dijumlahkan itu degenerate maka kita mendapatkan penjumlahan yang biasa kita lakukan dengan bilangan

biasa.

Perbedaan penjumlahan dan gabungan

Contoh:

X

= [2, 4],

Y

= [3, 6]

X ∪Y =[2 ,6] 10] , 5 [

= +Y X

0

(

x ( ) )

X Y

y _{x y}

∪

(

z _z)

Negatif Suatu Interval. Negatif dari suatu interval didefinisikan sebagai

}

,

{

x

x

X

X

=

−

∈

−

yang dapat kita tuliskan

]

,

[

]

,

[

x

x

x

x

X

=

−

=

−

−

−

0 (

x )

X

)

− x

(

− X x

− x

Batas atas

−

X

adalah

−

_x

Contoh: a).

X

= [2, 6]

→ −

X

= [

−

6,

−

2]

0 (

x )

X

)

− x

(

− X x

− x

b).

X

= [

−

2, 6]

→ −

X

= [

−

6, 2]

0 (

x )

X

)

− x

(

− X x

Pengurangan

Dengan pengertian negatif interval tersebut di atas maka

pengurangan interval X oleh interval Y menjadi penjumlahan interval X

dengan negatif interval Y

]

,

[

]

,

[

]

,

[

x

x

y

y

x

y

x

y

Y

X

−

=

−

=

−

−

Contoh:

X

= [2, 6] dan

Y

= [7, 12]

→

X

−

Y

= [2, 6]

−

[7, 12] = [2

−

12, 6

−

7] = [

−

10,

−

1]

X−Y

0 (

x ) ( )

X _Y

( )

( )

y

− −y x y _y

y

x− _x − _y

Perkalian

dan

Perkalian Interval

Perkalian dua interval X dan Y didefinisikan sebagai

}

,

:

{

xy

x

X

y

Y

Y

X

⋅

=

∈

∈

yang dapat dituliskan

}

,

,

,

{

maks

},

,

,

,

[min{

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

x

y

Y

X

⋅

=

Dalam formulasi ini diperlukan empat kali perkalian batas masing-masing interval untuk menentukan batas bawah

maupaun batas atas dari interval hasil kali.

Namun pekerjaan akan sedikit sedikit menjadi ringan jika kita memperhatikan posisi elemen masing-masing interval pada

Pada interval X selalu dipenuhi relasi

x

≤

x

maka dengan memperhatikan posisi kita akan mengetahui posisi

x

x

0

≥

x

x

≥

0

jika maka

0

≤

x

x

≥

0

atau

x

≤

0

jika maka

Demikian juga pada interval Y

0

≥

y

y

≥

0

jika maka

0

≤

y

y

≥

0

atau

y

≤

0

Karena ada tiga katagori interval, maka ada sembilan kemungkinan perkalian interval, yaitu:

interval positif kali interval positif

interval mengandung nol kali interval positif dan sebaliknya

interval negatif kali interval positif dan sebaliknya

interval negatif kali interval mengandung nol dan sebaliknya

interval negatif kali interval negatif

Contoh dan Penjelasan

Perkalian dua interval positif akan menghasilkan interval positif. Batas atas interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas sedang batas bawahnya adalah hasil kali kedua batas bawah.

Jika kedua interval degenerate, maka kita mempunyai perkalian bilangan biasa: perkalian dua bilangan positif yang memberikan hasil

bilangan positif.

] Formula umum:

Nilai terkecil

]

Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas

bawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang lain (yang positif).

Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas karena kedua batas atas tersebut positif.

Contoh dan Penjelasan

}

Formula umum:

Nilai terkecil

]

Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali

batas bawah interval negatif dan batas atas interval positif.

Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas bawah interval positif

]

Contoh dan Penjelasan

}

Formula umum:

Nilai terkecil yang bisa dicapai

]

Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas

bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol.

Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.

Contoh dan Penjelasan

}

Formula umum:

Nilai terkecil yang bisa dicapai

]

Kedua interval adalah interval negatif. Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas.

Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas bawah. 5).

Contoh dan Penjelasan

}

Formula umum:

Nilai terkecil

]

Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali batas

bawah interval negatif dan batas atas interval positif.

Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas bawah interval positif

Contoh dan Penjelasan

}

Formula umum:

Nilai terkecil yang bisa dicapai

]

Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas

bawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang lain (yang positif).

Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas karena kedua batas atas tersebut positif.

Contoh dan Penjelasan

}

Formula umum:

Nilai terkecil yang bisa dicapai

]

Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas

bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol.

Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.

}

Formula umum:

Nilai terkecil yang bisa dicapai

Nilai terbesar yang bisa dicapai

]

Kedua interval mengandung nol. Pada formulasi umum

}

Akan bernilai negatif sehingga tak mungkin menjadi

batas maksimum

Akan bernilai positif sehingga tak mungkin menjadi

batas minimum

Kebalikan Interval

Apabila X adalah satu interval yang tidak mengandung 0, kebalikan dari X didefinisikan sebagai

}

:

/

1

{

1

X

x

x

X

=

∈

Dengan memperhatikan batas atas dan batas bawahnya, maka

]

/

1

,

/

1

[

1

x

x

X

=

Contoh:

X

= [2, 10]

→

1/

X

= [0.1, 0.5]

Jika ditinjau keadaan umum dimana interval X mengandung 0, kebalikan dari X akan terdiri dari dua interval terpisah satu sama lain.

Pembagian Interval

Pembagian interval X oleh interval Y adalah perkalian antara X

dengan kebalikan Y.

]

/

1

,

/

1

[

]

,

[

1

x

x

x

x

Y

X

Y

X

⋅

=

⋅

=

Contoh:

X

= [4, 10],

Y

= [2, 10]

Sifat-Sifat

Jika interval-interval mengalami degenerasi, maka operasi-operasi aritmatika interval berubah menjadi aritmatika bilangan

biasa yang sudah kita kenal.

Kita boleh mengharap bahwa sifat-sifat aritmatika bilangan biasa yang kita kenal, muncul juga dalam aritmatika

interval. Ternyata memang demikian.

}

,

:

{

x

y

x

X

y

Y

Y

X

+

=

+

∈

∈

}

,

:

{

xy

x

X

y

Y

Y

X

⋅

=

∈

∈

Operasi penjumlahan dan perkalian interval telah didefinisikan sebagai

Penjumlahan bersifat asosiatif dan perkalian bersifat komutatif.

X

Y

Y

X

Z

Y

X

Z

Y

X

+

(

+

)

=

(

+

)

+

;

+

=

+

YX

XY

Z

XY

YZ

Nol dan Satu adalah interval yang mengalami degenerasi:

[0, 0] dan [1, 1]

yang dituliskan sebagai 0 dan 1

Jadi X + 0 = 0 + X dan 1·X = X·1

Perbedaan menyolok dengan aritmatika biasa adalah bahwa dalam aritmatika interval:

Sifat distributif dalam aritmatika interval adalah:

X (Y + Z) = XY + XZ

Sifat distributif ini tetap berlaku dalam kasus-kasus khusus berikut:

1) Jika Y dan Z adalah interval simetris; 2) Jika YZ > 0

Namun sifat distributif tidak senantiasa berlaku:

[0, 1] (1-1) = 0

tetapi

Kuliah Terbuka

Aritmatika Interval