1
Sudaryatno Sudirham
Kapita Selekta Matematika
Bilangan Kompleks
Permutasi dan Kombinasi
BILANGAN KOMPLEKS
Definisi
Dalam buku Erwin Kreyszig kita baca definisi bilangan bilangan kompleks sebagai berikut
Bilangan kompleks zialah suatu pasangan terurut (x,y) dari bilangan nyata x, y, yang kita tuliskan
)
,
(
x
y
z
=
y
z
x
z
=
Im
=
Re
Kita akan mencoba memahami definisi ini secara grafis, mulai dari pengertian tentang bilangan nyata.
kita tuliskan
bagian nyata (real part) dari z
bagian khayal (imaginary part) dari z
Bilangan Nyata
Kita mengenal bilangan nyata bulat seperti 1, 2, 3 dan seterusnya; bilangan nyata pecahan ¼, ½, ¾ dan seterusnya, serta bilangan nyata
yang hanya dapat di angankan seperti π. Walaupun hanya dapat diangankan, bilangan ini tetap nyata, nilainya adalah 3,14……., dengan
angka desimal yang tak diketahui ujungnya.
Secara grafis, bilangan nyata dapat digambarkan posisinya di suatu sumbu yang disebut sumbu nyata,
| | | | | | | | -2 -1 0 1 2 3 4 5
Tinjaulah suatu fungsi y = x 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y
x
tidak ada nilai y yang nyata untuk x negatif
namun untuk x yang negatif dapat didefinisikan suatu
bilangan imajiner (khayal)
j
=
−
1
Jika bilangan nyata 1 menjadi satuan dari bilangan nyata, misalnya
seterusnya
dan
1
10
10
1
5
5
×
=
×
=
maka bilangan imajiner j =
√−
1 menjadi satuan dari bilangan imajiner, misalnyaseterusnya
dan
9
9
imajiner
3
3
imajiner
2
2
imajiner
j
j
j
=
=
=
Pernyataan Bilangan Kompleks
Satu bilangan kompleks z merupakan jumlah dari komponen nyata dan komponen imajiner dan dituliskan
jb
a
z
=
+
bagian nyata bagian imajiner bilangan kompleksBilangan kompleks dapat digambarkan di
bidang kompleks
yang dibatasi oleh
sumbu nyata (diberi tanda Re) dan
sumbu imajiner (diberi tanda Im) yang saling tegaklurus satu sama lain
setiap titik di bidang kompleks menunjukkan posisi bilangan-kompleks
(x,,y)
ρ a Re Im jb θ
cos
θ
ρ
=
a
θ
ρ
=
sin
b
)
sin
(cos
θ
+
θ
ρ
=
j
z
disebut argumen disebut modulus = θ = − a b z tan 1 arg 2 2 modulus z =ρ = a +b ) sin (cos 2 2 + θ+ θ = a b j z•
z
=
a
+
jb
Diagram Argand
CONTOH
Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai
4 3
1 j
z = +
Sudut dengan sumbu nyata adalah
o 1
1 = tan (4/3) ≈ 53,1
θ −
Pernyataan z1 dapat kita tuliskan
(
)
(
o o)
o o 2 2 1 1 , 53 sin 1 , 53 cos 5 1 , 53 sin 1 , 53 cos 4 3 j j z + = + + =CONTOH
Suatu bilangan kompleks dinyatakan sebagai
(
o o)
2 10 cos20 jsin20
z = +
Pernyataan ini dapat kita tuliskan
(
)
4 , 3 4 , 9 ) 34 , 0 94 , 0 ( 10 20 sin 20 cos 10 o o 2 j j j z + = + ≈ + =Kesamaan Bilangan Kompleks 2 2 b a + =
ρ merupakan nilai mutlak Modulus
Dua atau lebih bilangan kompleks bisa saja memiliki nilai ρ yang sama akan tetapi dengan sudut θ yang berbeda; atau sebaliknya mempunyai nilai θ sama akan tetapi memiliki ρ yang berbeda. Dua bilangan kompleks dikatakan sama besar jika mereka
mempunyai baik ρ maupun θ yang sama besar.
Dengan kata lain, mereka memiliki bagian nyata dan bagian imajiner yang sama besar..
Negatif dari Bilangan Kompleks
Nilai negatif dari suatu bilangan kompleks adalah nilai negative dari kedua komponennya
jb
a
z
=
+
−
z
=
−
a
−
jb
Jika maka jb a z = + • Re Im a jb jb a z = − − − θ o 180 + θ ρ ρ •CONTOH o 1 1
=
tan
(
6
/
4
)
=
56
,
3
θ
− o o o 2=
56
,
3
+
180
=
236
,
3
θ
Sudut dengan sumbu nyata
z1 dapat dinyatakan sebagai
(
)
(
o o)
o o 2 2 13
,
56
sin
3
,
56
cos
2
,
7
3
,
56
sin
3
,
56
cos
6
4
j
j
z
+
=
+
+
=
(
)
(
0
,
55
0
,
83
)
3
,
96
6
2
,
7
)
180
3
,
56
sin(
)
180
3
,
56
cos(
2
,
7
o o o o 1j
j
j
z
−
−
=
−
−
=
+
+
+
=
−
6 4 1 j z = + Jika maka z2 = −z1 = −4− j6Konjugat Bilangan Kompleks
Konjugat dari suatu bilangan kompleks z adalah bilangan kompleks z*
yang memiliki komponen nyata sama dengan z tetapi komponen imajinernya adalah negatif dari komponen imajiner z.
jb
a
z
jb
a
z
=
+
maka
∗
=
−
Jika
jb a z = + • Re Im ρ θ θ − jb jb − a jb a z = − • ∗CONTOH:
6
5
j
z
=
+
Jika maka
z
∗=
5
−
j
6
Sudut dengan sumbu nyata
o 1
2
,
50
)
5
/
6
(
tan
=
=
θ
− o2
,
50
−
=
θ
∗z dapat dinyatakan sebagai
(
)
(
o o)
o o 2 2 2 , 50 sin 2 , 50 cos 8 , 7 2 , 50 sin 2 , 50 cos 6 5 j j z + = + + =(
o o)
2 , 50 sin 2 , 50 cos 8 , 7 j z∗ = −6
5
*
z
=
−
j
•
Re Im6
5
z
=
+
j
•
CONTOH:
6 5 j z = − − Jika maka z∗ = −5+ j6•
−
−
=
5
j
6
z
Re Im•
+
−
=
∗5
j
6
z
6
5
j
z
=
−
Jika makaz
∗=
5
+
j
6
−
=
•
Re Im6
5
z
=
+
j
•
∗Penjumlahan dan Pengurangan Bilangan Kompleks
Hasil penjumlahan dua bilangan kompleks merupakan bilangan
kompleks yang komponen nyatanya merupakan jumlah komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan jumlah komponen imajiner.
Hasil selisih dua bilangan kompleks adalah bilangan kompleks yang komponen nyatanya merupakan selisih komponen nyata dan komponen imajinernya juga merupakan selisih komponen imajiner.
)
(
)
(
)
(
)
(
2 1 2 1 2 2 1 1 2 1b
b
j
a
a
jb
a
jb
a
z
z
+
+
+
=
+
+
+
=
+
)
(
)
(
)
(
)
(
2 1 2 1 2 2 1 1 2 1b
b
j
a
a
jb
a
jb
a
z
z
−
+
−
=
+
−
+
=
−
CONTOH:
4
3
dan
3
2
2 1j
s
j
s
=
+
=
+
7
5
)
4
3
(
)
3
2
(
2 1j
j
j
s
s
+
=
+
+
+
=
+
1
1
)
4
3
(
)
3
2
(
2 1j
j
j
s
s
−
−
=
+
−
+
=
−
DiketahuiPerkalian Bilangan Kompleks 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 ) )( ( ) )( ( b b a jb a a b b a jb a jb a a jb a jb a z z − + = − + + = + + =
Perkalian dua bilangan kompleks dilaksanakan seperti halnya kita melakukan perkalian jumlah dua bilangan, yaitu dengan malakukan perkalian komponen per komponen
2 2 2 2 1 1
)
)(
(
b
a
b
jba
jba
a
jb
a
jb
a
z
z
+
=
+
+
−
=
−
+
=
×
∗ ∗=
1 2z
z
Jika Perhatikan:(
2 2)
2 2 2 2 2 1 1 1a
b
a
b
jb
a
z
z
z
+
=
+
=
+
=
=
×
∗CONTOH:
z
1=
2
+
j
3
dan
z
2=
3
+
j
4
17 6 12 9 8 6 ) 4 3 )( 3 2 ( ) )( ( 1 2 j j j j j z z + − = − + + = + + = CONTOH:z
1=
2
+
j
3
dan
z
2=
z
1∗=
2
−
j
3
13
9
4
9
6
6
4
)
3
2
)(
3
2
(
)
)(
(
1 1=
+
=
+
+
−
=
−
+
=
∗j
j
j
j
z
z
(
2
3
)
4
9
13
2 2 2 2 1 1 1=
=
+
=
+
=
∗z
z
z
Pembagian Bilangan Kompleks
Hasil bagi suatu pembagian tidak akan berubah jika pembagian itu dikalikan dengan 1
1 2 2 2 2 = − − jb a jb a CONTOH:
z
1=
2
+
j
3
dan
z
2=
3
+
j
4
25 1 25 18 4 3 ) 9 8 ( ) 12 6 ( 4 3 4 3 4 3 3 2 2 2 2 1 j j j j j j z z + = + + − + + = − − × + + = 2 2 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 ) ( ) ( b a a b a b j b b a a jb a jb a jb a jb a z z + − + + = − − × + + =Fungsi Eksponensial Kompleks
Jika x adalah bilangan nyata maka fungsi ekponensial x
e
y
=
merupakan fungsi ekponensial nyata;
y memiliki nilai nyata
Jika z adalah bilangan kompleks
z
=
σ
+
j
θ
fungsi eksponensial kompleks didefinisikan
riil`
al
eksponensi
fungsi
adalah
dengan
;
)
sin
(cos
) ( σ σ θ + σ=
θ
+
θ
=
e
j
e
e
e
z jMelalui identitas Euler
e
jθ=
cos
θ
+
j
sin
θ
fungsi exponensial kompleks dapat kita tuliskan
θ σ
Bentuk Polar
Representasi bilangan kompleks dalam bentuk polar adalah
θ
ρ
=
e
jz
θ
=
∠
=
z
z
arg
Re Im•
θ ρ θ ρ = j e zCONTOH: Misalkan suatu bilangan kompleks z = 10 e j0,5
Modulus bilangan kompleks ini adalah |z| = 10 dan argumennya ∠z = 0,5 rad
Bentuk sudut sikunya adalah: 8 , 4 8 , 8 ) 48 , 0 88 , 0 ( 10 ) 5 , 0 sin 5 , 0 (cos 10 j j j z + = + = + = Re Im 5 , 0 5e j z = • rad 5 , 0 10
CONTOH:
Misalkan suatu bilangan kompleks z = 3+ j4
5
4
3
|
|
z
=
ρ
=
2+
2=
Modulus Argumen 0,93 rad 3 4 tan 1 = = θ = ∠z − Representasi polar z = 5e j0,93 Re Im 93 , 0 5e j z = • rad 93 , 0 5CONTOH:
Misalkan z = −2+ j0
Modulus | z |=ρ = 4+0 = 2
Argumen θ = tan−1
(
0/− 2)
= ±π tidak bernilai tunggalDi sini kita harus memilih θ = π rad karena komponen imajiner 0 sedangkan komponen nyata −2
Re Im π = j e z 2 2 − •
CONTOH Misalkan z = 0− j2 Modulus
|
z
|
=
ρ
=
0
+
4
=
2
Argumenθ
=
tan
−1(
−
2
/
0
)
=
−
π
/
2
komponen nyata: 0 komponen imajiner: −2Representasi polar adalah
2 /
2
− π=
je
z
. Re Im 2 / 2 − π = e j z 2 j − •Perkalian dan Pembagian Bilangan Kompleks
Representasi polar dari bilangan kompleks mempermudah operasi perkalian dan pembagian.
) ( 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1
)
)(
(
θ + θ θ θρ
ρ
=
ρ
ρ
=
j j je
e
e
z
z
( ) 2 1 2 1 2 1 1 2 2 1 θ − θ θ θρ
ρ
=
ρ
ρ
=
j j je
e
e
z
z
CONTOH: Misalkan z1 = 10 e j0,5 dan z 2 = 5 e j0,4 9 , 0 4 , 0 5 , 0 2 1z
10
e
j5
e
j50
e
jz
=
×
=
1 , 0 4 , 0 5 , 0 2 12
5
10
j j je
e
e
z
z
=
=
Konjugat Kompleks
argumen konjugat berlawanan dengan argumen bilangan kompleks asalnya
Re Im θ
ρ
=
•
je
z
θ − ∗
=
ρ
•
je
z
θ
θ
−
[
]
( )( )
* * * * * atau | | *) )( ( 1 2 1 2 1 2 1 2 * * z z z z z z z z s s |z| z z z = = = =Relasi-relasi antara suatu bilangan kompleks dengan konjugat bilangan kompleks lainnya adalah sebagai berikut
CONTOH: 4 , 0 2 5 , 0 1
10
e
jdan
z
5
e
jz
=
=
25
100
10
10
2 2 5 , 0 5 , 0 1 1=
=
×
=
∗ − ∗z
z
e
e
z
z
j j[ ]
[
] [
]
9 , 0 4 , 0 5 , 0 9 , 0 9 , 0 4 , 0 5 , 0 2 1 50 5 10 0 5 0 5 5 10 j j j j j j j e e e e e e e z z − − − − ∗ ∗ ∗ = × = = = × =[ ]
1 , 0 4 , 0 5 , 0 1 , 0 1 , 0 4 , 0 5 , 0 2 12
5
10
0
5
2
5
10
j j j j j j je
e
e
e
e
e
e
z
z
− − − − ∗ ∗ ∗=
=
=
=
=
MisalkanKuliah Terbuka
Bilangan Kompleks
Permutasi dan Kombinasi
Permutasi adalah banyaknya pengelompokan sejumlah tertentu komponen yang diambil dari sejumlah komponen yang tersedia; dalam setiap
kelompok urutan komponen diperhatikan
Misalkan tersedia 2 huruf yaitu A dan B
dan kita diminta untuk membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 2 huruf
Kelompok yang yang bisa kita bentuk adalah
B
A
A
B
dan diperoleh 2 kelompok Ada dua kemungkinan huruf yang bisa menempatiposisi pertama yaitu A atau B
Jika A sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu kemungkinan yang bisa menempati posisi kedua yaitu B Jika B sudah menempati posisi pertama, maka hanya satu
Misalkan tersedia 3 huruf yaitu A, B, dan C
Kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 3 huruf adalah:
A
C
B
A
B
C
C
B
A
B
A
C
B
C
A
C
A
B
diperoleh 6 kelompokJika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama
tinggal 2 kemungkinan komponen yang dapat menempati posisi kedua Jika salah satu komponen sudah menempati posisi pertama dan salah satu dari 2 yang tersisa sudah menempati posisi kedua maka hanya tinggal 1 kemungkinan komponen yang dapat menempati
posisi terakhir yaitu posisi ketiga
Jadi jumlah kelompok yang bisa diperoleh adalah
6
1
2
3
×
×
=
Jumlah kemungkinan komponen yangmenempati posisi pertama Jumlah kemungkinan komponen yang
Jumlah kemungkinan komponen yang menempati posisi ketiga
Dari 4 huruf yaitu A, B, C dan D kita dapat membuat kelompok yang setiap kelompoknya terdiri dari 4 huruf
ada
24 kelompok Kemungkinan penempatan posisi pertama : 4
Kemungkinan penempatan posisi kedua : 3 Kemungkinan penempatan posisi ketiga : 2 Kemungkinan penempatan posisi keempat : 1
ABCD BACD CDAB DABC ABDC BADC CDBA DACB ACBD BCAD CABD DBCA ACDB BCDA CADB DBAC ADCB BDAC CBAD DCAB ADBC BDCA CBDA DCBA
jumlah kelompok yang mungkin dibentuk
4×3×2×1=24 kelompok yaitu:
Secara umum jumlah kelompok yang dapat kita bangun
dari n komponen
yang setiap kelompok terdiri dari n komponen adalah
!
1
...
)
2
(
)
1
(
n
n
n
n
=
×
×
−
×
−
×
Kita katakan bahwa permutasi dari n komponen adalah n! dan kita tuliskan
!
n
P
nn
=
Kita baca : n fakultet
Namun dari n komponen tidak hanya dapat dikelompokkan
dengan setiap kelompok terdiri dari n komponen,
tetapi juga dapat dikelompokkan dalam kelompok yang
masing-masing kelompok terdiri dari k komponen dimana k < n
k n
P
Kita sebut permutasi k dari n komponen dan kita tuliskan
Contoh: Permutasi dua-dua dari empat komponen adalah
12
3
4
2 4P
=
×
=
Di sini kita hanya mengalikan kemungkinan penempatan pada posisi pertama dan ketiga saja yaitu 4 dan 3. Tidak ada komponen yang menempati posisi berikutnya.
Penghitungan 4P2 dalam contoh di atas dapat kita tuliskan
12
1
2
1
2
3
4
2 4=
×
×
×
×
=
P
Secara Umum:
)!
(
!
k
n
n
P
k n−
=
Contoh:
30
5
6
1
2
3
4
1
2
3
4
5
6
)!
2
6
(
!
6
2 6=
×
=
×
×
×
×
×
×
×
×
=
−
=
P
Contoh:
360
3
4
5
6
1
2
1
2
3
4
5
6
)!
4
6
(
!
6
4 6=
×
×
×
=
×
×
×
×
×
×
=
−
=
P
Kombinasi merupakan pengelompokan
sejumlah komponen yang mungkin dilakukan
tanpa mempedulikan urutannya
Jika dari tiga huruf A, B, dan C, dapat 6 hasil permutasi yaitu ABC, ACB, BCA, BAC, CAB, dan CBA
namun hanya ada satu kombinasi dari tiga huruf tersebut yaitu ABC
karena dalam kombinasi urutan posisi ketiga huruf itu tidak diperhatikan ABC = ACB = BCA = BAC = CAB = CBA
Oleh karena itu kombinasi k dari sejumlah n
komponen haruslah sama dengan
jumlah permutasi
nP
kdibagi dengan permutasi k
Kombinasi k dari sejumlah n komponen
dituliskan sebagai
nC
kJadi
!
)!
(
!
!
n
k
k
n
k
P
C
k n k n×
−
=
=
Contoh:
Berapakah kombinasi dua-dua dari empat huruf
A, B, C, dan D
6
1
2
1
2
1
2
3
4
!
2
)!
2
4
(
!
4
!
2
2 4 2 4=
×
×
×
×
×
×
=
×
−
=
=
P
C
yaitu:
Jawab:
AB
AC
AD
BC
BD
CD
Contoh Aplikasi
Distribusi Maxwell-Boltzman
Distribusi Maxwell-Boltzman
Setiap tingkat energi dapat ditempati oleh elektron mana saja
dan setiap elektron memiliki probabilitas yang sama untuk menempati suatu tingkat energi
Energi elektron dalam padatan terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit; kita sebut
dst.
2 3 1
E
E
E
Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada dan kita misalkan bahwa distribusi yang terbentuk adalah
dst.
elektron
terdapat
di
elektron
terdapat
di
elektron
terdapat
di
3 3 2 2 1 1n
E
n
E
n
E
maka jumlah cara penempatan elektron di E1 merupakan permutasi n1 dari N yaitu
)!
(
!
1 1 1n
N
N
P
P
n N−
=
=
Jumlah cara penempatan elektron di E2 merupakan permutasi n2 dari (N
−
n1) karena sejumlah n1 sudah menempati E1)!
(
)!
(
2 1 1 ) ( 2 2 1n
n
N
n
N
P
P
n N n−
−
−
=
=
−)!
(
)!
(
3 2 1 2 1 ) ( 3 3 1 2n
n
n
N
n
n
N
P
P
n N n n−
−
−
−
−
=
=
− − dst.Jumlah cara penempatan elektron di E3 merupakan permutasi n3 dari (N
−
n1−
n2) karena sejumlah (n1+n2) sudah menempati E1 dan E2Setelah n1 menempati E1 maka urutan penempatan elektron di E1 ini sudah tidak berarti lagi karena kita tidak dapat membedakan antara
satu elektron dengan elektron yang lain
Jadi jumlah cara penempatan elektron di E1 adalah kombinasi n1 dari N yaitu
!
)!
(
!
!
n
1 1 1 1 1n
n
N
N
P
C
n N−
=
=
Demikian pula penempatan elektron di E2, E3, dst.
!
)!
(
)!
(
!
)!
(
1 2 2 1 2 1 ) ( 2 1 2n
n
n
N
n
N
n
N-n
P
C
n N n−
−
−
=
=
−!
)!
(
)!
(
!
)!
(
1 2 3 3 2 1 3 3 3 1 ) ( 3 2 1 3n
n
n
n
N
n
n
N
n
n
n
n
N
P
C
n N n n−
−
−
−
−
=
−
−
−
=
− − dst.Namun setiap tingkat energi juga memiliki probabilitas untuk ditempati, yang disebut intrinksic probability
Misalkan intrinksic probability tingkat E1 adalah g1, E2 adalah g2, dst. maka probabilitas tingkat-tingkat energi
dst.
elektron
ditempati
elektron
ditempati
elektron
ditempati
3 3 2 2 1 1
n
E
n
E
n
E
adalah dst. 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 2 1 C g F C g F C g F n n n = = =Dengan demikian maka probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron seperti di atas adalah:
!...
!
!
...
...
....
....
3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1n
n
n
g
g
g
C
C
C
g
g
g
F
F
F
F
n n n n n n=
=
=
Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi
Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian
permutasi dan kombinasi
Pembaca dapat melihat proses perhitungan lanjutan ini di buku-e
T k E i i g e i B Z N n = − /
Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Maxwell-Boltzmann
Jumlah elektron pada tingkat energi Ei
temperatur
konstanta Boltzmann tingkat energi ke-i
probabilitas intrinksik tingkat energi ke-i fungsi partisi
∑
−β = i E ie i g ZDistribusi Fermi-Dirac
Energi elektron dalam terdistribusi pada tingkat-tingkat energi yang diskrit, misalnya kita sebut
dst.
2 3 1
E
E
E
Setiap tingkat energi mengandung sejumlah tertentu status kuantum dan tidak lebih dari dua elektron berada
pada status yang sama.
Oleh karena itu jumlah status di tiap tingkat energi menjadi probabilitas intrinksik tingkat
energi yang bersangkutan Yang berarti menunjukkan jumlah elektron yang mungkin berada di suatu
Jika N adalah jumlah keseluruhan elektron yang harus terdistribusi dalam tingkat-tingkat energi yang ada,
yaitu
dst.
elektron
terdapat
di
elektron
terdapat
di
elektron
terdapat
di
3 3 2 2 1 1n
E
n
E
n
E
Sehingga probabilitas untuk terjadinya distribusi elektron adalah:
Inilah probabilitas distribusi dalam statistik Fermi-Dirac namun kita tidak Maka banyaknya cara penempatan elektron di tingkat
E1, E2, E3 dst. merupakan kombinasi C1, C2, C3 dst
!
)!
(
!
1 1 1n
n
N
N
C
−
=
!
)!
(
)!
(
2 2 1 1 2n
n
n
N
n
N
C
−
−
−
=
!
)!
(
)!
(
3 3 2 1 2 1 3n
n
n
n
N
n
n
N
C
−
−
−
−
−
=
dst.Dengan probabilitas intrinksik g1, g2, g3 maka jumlah cara untuk menempatkan elektron di tingkat E1, E2, E3 dst. menjadi
)!
(
!
!
1 1 1 1 1n
g
n
g
F
−
=
!
)!
(
!
2 2 2 2 2n
n
g
g
F
−
=
!
)!
(
!
3 3 3 3 3n
n
g
g
F
−
=
dst.∏
−
=
=
i i i i i in
g
n
g
F
F
F
F
F
)!
(
!
!
...
3 2 1Upaya selanjutnya adalah mencari bentuk distribusi yang paling mungkin terjadi
Namun hal ini tidak kita bahas di sini, karena contoh ini hanya ingin menunjukkan aplikasi dari pengertian
permutasi dan kombinasi
Pembaca dapat melihat proses perhitungang lanjutan ini di buku-e
“Mengenal Sifat Material”, Bab-9 yang dapat diunduh di situs ini juga
Sebagai informasi, probabilitas F ini mengantarkan kita pada formulasi distribusi Fermi Dirac
1 / ) ( + = − T k E E i i B F i e g n
Jika kita perhatikan persamaan ini untuk T →→→→ 0
0 ) ( untuk 0 ) ( untuk 0 lim ( )/ 0 > − ∞ = < − = − → F i F i T k E E T E E E E e i F B
Jadi jika T = 0 maka ni = gi yang berarti semua tingkat energi sampai EF terisi penuh dan tidak terdapat
elektron di atas EF
Kuliah Terbuka
Permutasi dan Kombinasi
Aritmatika Interval
Pengantar
Dalam praktik rekayasa dijumpai operasi matematika yang melibatkan bilangan-bilangan dalam interval.
Dalam keadaan demikian kita dihadapkan pada operasi-operasi interval.
Cakupan Bahasan
Pengertian-Pengertian Interval
Operasi-Operasi Aritmatika Interval Sifat-Sifat Aritmatika Interval
Bilangan nyata yang biasa kita kita operasikan adalah bernilai tunggal, baik bilangan bulat maupun pecahan
Dalam analisis interval, bilangan yang kita operasikan memiliki nilai yang berada dalam suatu interval tertutup *)
Dengan demikian bilangan yang kita hadapi sesungguhnya merupakan kumpulan bilangan
Contoh:
Bilangan dalam interval 90 dan 110 adalah kumpulan bilangan yang bernilai antara 90 dan 110 termasuk 90 dan 110 itu sendiri
Suatu kumpulan dinyatakan dengan tanda kurung { }. Secara umum, suatu kumpulan kita nyatakan sebagai
)}
(
:
{
x
p
x
S
=
menunjukkan syarat-syarat yang harus dipenuhi untuk menentukan apakah x benarmerupakan elemen dari S atau tidak
menunjukkan kumpulan yang kita tinjau
menunjukkan sembarang elemen
Contoh
}
110
90
,
:
{
∈
≤
≤
=
x
x
R
x
S
R adalah kumpulan dari
semua bilangan nyata
110
90
,
)
(
x
=
x
∈
R
≥
x
≤
p
Secara umum, kumpulan bilangan nyata X dalam interval antara
a dan b dengan a < b dan a maupun b terletak antara −∞ dan + ∞ kita tuliskan
}
,
,
,
,
:
{
∈
≤
≤
∈
−
∞
<
<
<
+∞
=
x
x
R
a
x
b
a
b
R
a
b
X
Penulisan ini tentu agak merepotkan dalam melakukan operasi-operasi interval
Kita memerlukan cara penulisan yang lebih sederhana agar mudah melakukan operasi interval.
Dalam operasi interval, sesungguhnya kita akan berhubungan
hanya dengan batas-batas interval.
Oleh karena itu kita akan menggunakan cara penulisan bilangan interval yang lebih sederhana, dengan hanya menyatakan
]
,
[
x
x
X
=
Dalam penjelasan selanjutnya kita akan menggambarkan interval pada garis sumbu nyata sebagai berikut
kita gunakan tanda kurung [ ] untuk mengakomodasi batas-batas interval. Suatu interval X yang memiliki batas bawah (nilai minimum)
x
danbatas atas (nilai maksimum)
x
kita tuliskan0
(
x )
interval X
batas bawah batas atas
Suatu interval mengalami degenerasi jika
dan disebut degenerate interval; interval yang tidak mengalami degenerasi disebut nondegenerate.
Dengan pengertian ini maka suatu bilangan nyata bernilai tunggal dapat dikatakan merupakan keadaan khusus dari suatu interval. Atau sebaliknya suatu interval merupakan pernyataan umum (generalisasi)
suatu bilangan nyata.
x
x
=
Lebar suatu interval X adalah bilangan nyata
x
x
X
w
(
)
=
−
]
15
,
6
[
=
X
w
(
X
)
=
15
−
6
=
9
Contoh: ( 0 ) x w(X) x Lebar IntervalTitik tengah atau mid point suatu interval X adalah
2
/
)
(
)
(
X
x
x
m
=
+
Contoh:}
10
,
4
{
=
X
→ titik tengahm
(
X
)
=
(
4
+
10
)
/
2
=
7
Contoh:}
10
,
4
{
=
X
→ radius interval X adalah w(X)/2 = (10−4)/2 = 3. Setengah dari lebar interval disebut sebagai radius interval
2
/
)
( X
w
Titik Tengah RadiusKesamaan
Dua interval dikatakan sama jika dan hanya jika mempunyai batas-batas yang sama.
]
,
[
x
x
X
=
Y
=
[
y
,
y
]
Jika danY
X
=
x
=
y
dan
x
=
y
maka jika dan hanya jika
Urutan
Interval X dikatakan lebih kecil dari Y jika dan hanya jika batas maksimum X lebih kecil dari batas minimum Y,
x
<
y
Contoh
X = {6, 10} dan Y = {13, 18}
→ X < Y. 0 ( x x) (y y)Dalam contoh ini
w(X) < w(Y)
Nilai Absolut
Nilai absolut suatu interval X didefinisikan sebagai maksimum dari absolut batas-batasnya
}
,
max{
x
x
X
=
ContohX = {
−
8, 4}
8
}
4
,
8
max{
−
=
=
X
Jarak
Jarak antara dua interval didefinisikan sebagai maksimum dari selisih batas-batas keduanya
|}
|
,
|
max{|
)
,
(
X
Y
=
x
−
y
x
−
y
ρ
ContohX = {2,6}, Y = {8,18}
12
|}
18
6
|
|,
8
2
max{|
)
,
(
=
−
−
=
ρ
X
Y
0 ( ) x ( ) X Y x y− y − x x y y Di sini|
|
|
|
x
−
y
>
x
−
y
Simetri
Suatu interval X disebut simetris jika
−
x
=
x
Contoh:
X = {
−
5, 5}
0 ( x ) X xInterval simetris mengandung elemen bernilai 0. Tetapi tidak berarti mempunyai lebar 0.
Irisan
Karena interval dapat dipandang sebagai kumpulan maka kita mengenal irisan interval.
Irisan antara interval
X
dan intervalY
adalah}]
,
min{
},
,
[max{
x
y
x
y
Y
X
∩
=
Contoh:X = {2, 9}
danY = {6, 18}
X
∩
Y
=
[
6
,
9]
0 ( x ( ) ) X Y y x y Y X ∩Irisan dua interval juga merupakan sebuah interval Irisan X dan Y kosong atau = Ø jika X < Y atau Y < X.
Gabungan
Gabungan antara interval X dan Y adalah
}]
maks{
},
,
[min{
x
y
x
,
y
Y
X
∪
=
Contoh:X = [2, 9], Y = [6, 18]
X ∪Y =[2,18] 0 ( x ( ) ) X Y y x y Y X ∪Jika irisan dari
X
danY
tidak kosong maka gabungan keduanya juga merupakan sebuah interval.Akan tetapi jika irisan antara keduanya kosong maka gabungan dua interval itu tidak merupakan sebuah interval karena sesungguhnya
Inklusi
Interval X berada di dalam interval Y jika dan hanya jika
)
(
)
(
dan
w
X
w
Y
Y
X
≤
≤
atauY
X
⊆
jika dan hanya jikay
≤
x
dan
x
≤
y
Contoh: a).
X = {5, 12} dan Y = {4, 16}
→X
⊆
Y
0 ( x ) ( ) X Y x y y b).
X ={
−
5, 2} dan Y = {
−
7, 7}
0 ( x ) ( ) y x yKita dapat membedakan interval dalam tiga katagori, yaitu: Interval yang seluruh elemennya bernilai positif, yang kita sebut
interval positif.
Interval yang seluruh elemennya bernilai negatif, yang kita sebut interval negatif.
Interval yang mengandung elemen bernilai negatif maupun positif termasuk nol.
Degenerasi interval positif membentuk bilangan positif, degenerasi interval negatif membentuk bilangan negatif,
sedangkan degenerasi interval yang mengandung nol bisa membentuk bilangan negatif, atau positif, atau nol.
Penjumlahan
dan
Penjumlahan
Misalkan X dan Y adalah dua interval. Jumlah dari X dan Y didefinisikan sebagai
}
,
:
{
x
y
x
X
y
Y
Y
X
+
=
+
∈
∈
Elemen dari jumlah interval adalah jumlah elemen masing-masing interval
Oleh karena itu maka batas bawah dari hasil penjumlahan adalah jumlah dari batas bawah, dan batas atas dari hasil penjumlahan
adalah jumlah dari batas atas
Dengan demikian maka penjumlahan dua interval hanya melibatkan batas-batas interval saja.
]
,
[
x
y
x
y
Y
X
+
=
+
+
X+Y y x+ x + y 0 ( x ) ( ) X Y ( ) x y y
]
,
[
x
y
x
y
Y
X
+
=
+
+
Jumlah interval juga merupakan interval.
]
,
[
y
y
Y
=
Jika dan , maka
X
=
[
x
,
x
]
tidak merupakan sebuah interval karena
X < Y
.X
danY
adalah dua interval yang terpisah.Y
X
∪
Penjumlahan berbeda denganpenggabungan.
Penggabungan dua interval tidak selalu menghasilkan suatu interval.
Contoh:
X = {2, 6} dan Y = {9, 14}
→
X + Y = [2+9, 6+14]=[11, 20]
Penjumlahan dua interval selalu dapat dilakukan.
Jika kedua interval yang dijumlahkan itu degenerate maka kita mendapatkan penjumlahan yang biasa kita lakukan dengan bilangan
biasa.
Perbedaan penjumlahan dan gabungan
Contoh:
X = [2, 4], Y = [3, 6]
X ∪Y =[2 ,6] 10] , 5 [ = +Y X 0 ( x ( ) ) X Y y x y ∪ ( z z) Y X +Negatif Suatu Interval. Negatif dari suatu interval didefinisikan sebagai
}
,
{
x
x
X
X
=
−
∈
−
yang dapat kita tuliskan
]
,
[
]
,
[
x
x
x
x
X
=
−
=
−
−
−
0 ( x ) X )−
x (−
X x − xBatas atas
−
X
adalah−
x
Batas bawah−
X
adalahx
Contoh: a).
X = [2, 6]
→ −
X = [
−
6,
−
2]
0 ( x ) X )−
x (−
X x − x b).X = [
−
2, 6]
→ −
X = [
−
6, 2]
0 ( x ) X )−
x (−
X x − xPengurangan
Dengan pengertian negatif interval tersebut di atas maka
pengurangan interval X oleh interval Y menjadi penjumlahan interval X dengan negatif interval Y
]
,
[
]
,
[
]
,
[
x
x
y
y
x
y
x
y
Y
X
−
=
−
=
−
−
Contoh:X = [2, 6] dan Y = [7, 12]
→
X
−
Y = [2, 6]
−
[7, 12] = [2
−
12, 6
−
7] = [
−
10,
−
1]
X−
Y 0 ( x ) ( ) X Y ( ) ( ) y − −y x y y y x− x − yDalam contoh ini
X < Y
dan hasil penguranganPerkalian
dan
Perkalian Interval
Perkalian dua interval X dan Y didefinisikan sebagai
}
,
:
{
xy
x
X
y
Y
Y
X
⋅
=
∈
∈
yang dapat dituliskan
}
,
,
,
{
maks
},
,
,
,
[min{
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
Y
X
⋅
=
Dalam formulasi ini diperlukan empat kali perkalian batas masing-masing interval untuk menentukan batas bawah
maupaun batas atas dari interval hasil kali.
Namun pekerjaan akan sedikit sedikit menjadi ringan jika kita memperhatikan posisi elemen masing-masing interval pada
Pada interval X selalu dipenuhi relasi
x
≤
x
maka dengan memperhatikan posisi kita akan mengetahui posisi
x
x
0
≥
x
x
≥
0
jika maka0
≤
x
x
≥
0
atau
x
≤
0
jika makaDemikian juga pada interval Y
0
≥
y
y
≥
0
jika maka0
≤
y
y
≥
0
atau
y
≤
0
jika makaKarena ada tiga katagori interval, maka ada sembilan kemungkinan perkalian interval, yaitu:
interval positif kali interval positif
interval mengandung nol kali interval positif dan sebaliknya interval negatif kali interval positif dan sebaliknya
interval negatif kali interval mengandung nol dan sebaliknya interval negatif kali interval negatif
Sembilan situasi yang mungkin terjadi adalah: ] , [ 0 dan 0 y x y x Y X Z y x = ⋅ = ≥ ≥ x y y 0 ( ) x ( )
X
Y
1). ] , [ 0 dan 0 y x y x Y X Z y x = ⋅ = ≥ ≤ 3). x 0 y y ( ) x ( )X
Y
] , [ 0 dan 0 y x y x Y X Z y x x = ⋅ = ≥ < < 2). x y y 0 ( ) x ( )X
Y
] , [ 0 dan 0 y x y x Y X Z y y x = ⋅ = < < ≤ 4). x y 0 y ( ) x ( )X
Y
6). ] , [ 0 dan 0 y x y x Y X Z y x = ⋅ = ≤ ≥ y y 0 x x ( ) ( )
Y
X
] , [ 0 dan 0 y x y x Y X Z y y x = ⋅ = < < ≥ 7). y y 0 x x ( ) ( )Y
X
] , [ 0 dan 0 y x y x Y X Z y x x = ⋅ = ≤ < < y y x 0 x ( ) ( ) Y X 8). }] , maks{ }, , min{ [ 0 dan 0 y x y x y x y x Y X Z y y x x = ⋅ = < < < < 9). y x 0 y x ( ( ) ) Y X 5). ] , [ 0 dan 0 y x y x Y X Z y x = ⋅ = ≤ ≤ x y y 0 ( ) x ( ) X YContoh dan Penjelasan
]
6
,
4
[
]
3
,
1
[
=
=
Y
X
]
18
,
4
[
=
⋅
Y
X
Perkalian dua interval positif akan menghasilkan interval positif. Batas atas interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas sedang batas bawahnya adalah hasil kali kedua batas bawah. Jika kedua interval degenerate, maka kita mempunyai perkalian bilangan biasa: perkalian dua bilangan positif yang memberikan hasil
bilangan positif. ] , [ 0 dan 0 y x y x Y X Z y x = ⋅ = ≥ ≥ x y y 0 ( ) x ( )
X
Y
1).}
,
,
,
{
maks
},
,
,
,
[min{
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
Y
X
⋅
=
Formula umum: Nilai terkecil yang bisa dicapaiNilai terbesar yang bisa dicapai
]
8
,
4
[
]
2
,
1
[
−
+
=
=
Y
X
]
16
,
8
[
−
+
=
⋅
Y
X
] , [ 0 dan 0 y x y x Y X Z y x x = ⋅ = ≥ < < 2). x y y 0 ( ) x ( )X
Y
Salah satu interval mengandung nol dan memiliki batas bawah negatif. Oleh karena itu batas bawah interval hasilkali adalah batas
bawah interval yang mengandung nol dan batas atas interval yang lain (yang positif).
Batas atas interval hasilkali adalah hasil kali dari kedua batas atas karena kedua batas atas tersebut positif.
Contoh dan Penjelasan
}
,
,
,
{
maks
},
,
,
,
[min{
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
Y
X
⋅
=
Formula umum: Nilai terkecil yang bisa dicapaiNilai terbesar yang bisa dicapai
]
4
,
1
[
]
1
,
3
[
−
−
=
=
Y
X
]
1
,
12
[
−
−
=
⋅
Y
X
Karena salah satu interval adalah interval negatif dan yang lain interval positif, maka batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali
batas bawah interval negatif dan batas atas interval positif. Batas atasnya adalah kasilkali batas atas interval negatif dan batas
bawah interval positif
] , [ 0 dan 0 y x y x Y X Z y x = ⋅ = ≥ ≤ 3). x 0 y y ( ) x ( )
X
Y
Contoh dan Penjelasan
}
,
,
,
{
maks
},
,
,
,
[min{
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
Y
X
⋅
=
Formula umum: Nilai terkecil yang bisa dicapaiNilai terbesar yang bisa dicapai
]
3
,
1
[
]
2
,
4
[
−
−
=
−
=
Y
X
]
4
,
12
[
−
+
=
⋅
Y
X
] , [ 0 dan 0 y x y x Y X Z y y x = ⋅ = < < ≤ 4). x y 0 y ( ) x ( )X
Y
Salah satu interval adalah interval negatif sedangkan interval yang lain mengandung nol. Batas bawah interval hasilkali adalah hasil kali batas
bawah interval negatif dan batas atas (positif) interval yang mengandung nol.
Batas atasnya adalah hasilkali batas bawah interval negatif dan batas bawah (yang bernilai negatif) dari interval yang mengandung nol.
Contoh dan Penjelasan
}
,
,
,
{
maks
},
,
,
,
[min{
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
Y
X
⋅
=
Formula umum: Nilai terkecil yang bisa dicapaiNilai terbesar yang bisa dicapai
]
1
,
4
[
]
5
,
7
[
−
−
=
−
−
=
Y
X
]
8
2
,
5
[
=
⋅
Y
X
Kedua interval adalah interval negatif. Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas atas.
Batas bawah interval hasilkali adalah hasilkali kedua batas bawah. 5). ] , [ 0 dan 0 y x y x Y X Z y x = ⋅ = ≤ ≤ x y y 0 ( ) x ( ) X Y
Contoh dan Penjelasan
}
,
,
,
{
maks
},
,
,
,
[min{
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
Y
X
⋅
=
Formula umum: Nilai terkecilyang bisa dicapai Nilai terbesar yang bisa dicapai
