Misalkan, diberikan. Perhatikan. Dengan mengkruadratkan kedua ruas pada persamaan (1b), maka diperoleh:

(1)

(2)

Lampiran 1 Bukti Lema Itô:

Misalkan , diberikan. Perhatikan

, , ,

(1a)

Dengan

, , (1b) Dengan mengkruadratkan kedua ruas pada persamaan (1b), maka diperoleh:

, 2 , , ,

0 0 ,

(1c)

Dengan 0 dan .

Selanjutnya dengan menyubsitusikan dan ke persamaan (1a) diperoleh: 1

2

(1d) 1

2

Dari definisi proses Wiener, bentuk differensial stokastik pada persamaan (1d) juga dapat dituliskan dalam bentuk integral stokastik sebagai berikut:

, 0 , 0 , 1

2 ,

,

(1e) Kemudian akan dibuktikan bahwa persamaan (1e) berlaku.

Untuk memperlihatkan bahwa persamaan (1e) berlaku, cukup dilihat untuk kasus dimana a dan b merupakan fungsi konstan terhadap t yaitu , dan ,

(3)

Sedangkan untuk it yang lebih luas dapat didekati dengan menggunakan limit. Dengan menggunakan Deret Tayor diperoleh:

, 0 , 0 ∆ ∆ ∆ ∆ 1 2 ∆ 1 2 ∆ (1f) Dengan ∆ ∆ ∆ , , , ∆ ∆ untuk semua j Perhatikan bahwa: 1. lim∆ ∑ ∆ lim∆ ∑ , ∆ , 2. lim∆ ∑ ∆ lim∆ ∑ , ∆ , 3. Dari persamaan (1b) diperoleh

∆ ∆ ∆ . Maka, lim ∆ ∆ ∆lim ∆ 2 ∆ ∆ ∆ lim ∆ ∆ 2 lim∆ ∆ ∆ lim ∆ ∆ diperoleh, lim ∆ ∆ .

(4)

Karena

lim

∆ ∆ 0

Maka dapat disimpulkan untuk ∆ 0 berlaku 0 dan 0 sehinnga 0.

Juga diperoleh: lim ∆ ∆ ∆ Dan berlaku lim ∆ ∆ ∆ 0,

Maka dapat disimpulkan untuk ∆ 0 berlaku 0, 0 dan 0 sehinnga 0.

Selanjutnya akan dibuktikan bahwa:

lim ∆ ∆ . Misalkan , , . Perhatikan ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ∆ ,

Untuk , , ∆ ∆ , ∆ ∆ adalah saling bebas. Akibatnya nilai ekspektasi perkaliannya adalah nol. Begitu pula untuk .

Untuk diperoleh:

∆ ∆ ∆ 2 ∆ ∆ ∆

3 ∆ 2 ∆ ∆

(5)

Untuk ∆ 0 diperoleh: lim ∆ 2 ∆ 0. Karena ∆ ∆ 0 ∆ ∆ 0 Maka lim ∆ ∆ .

Jadi, dapat disimpulkan bahwa:

Dari hal di atas juga dapat disimpulkan bahwa untuk ∆ 0 maka 0.

Dengan menyubsitusikan hasil yang diperoleh ke persamaan (1f), dapat disimpulkan bahwa persamaan (1e) berlaku.

Dengan demikian, Lema 1 Terbukti.

Lampiran 2

Penurunan persamaan (11) Diberikan model Vasicek

(2a) Misalkan 0, akan dicari solusi deterministik dari persamaan (2a) dengan menggunakan metode pemisahan variabel

1

Integralkan kedua ruas

1

1 ln

(6)

ln

(2b) Persamaan (2b) merupakan solusi umum dari persamaan (2a). selanjutnya akan dicari solusi khusus dengan memberikan nilai awal 0 0, sehingga

0

Substitusikan ke persamaan (2a), sehingga didapakatkan solusi khusus dari persamaan (2b) 0

0 1

■ Dengan menggunakan persamaan (2c) akan dicari solusi persamaan (2a).

(2c) Dengan menyubsitusikan persamaan (2a) ke (2c), diperoleh

Integralkan kedua ruas

0

0 1

(7)

Lampiran 3

Penurunan persamaan (13) – (17)

Dengan asumsi bahwa harga pasar risiko suku bunga memiliki bentuk fungsional , dan dibatasi pada interval waktu 0, . Dengan menggunakan lema Itô untuk menurunkan persamaan diferensial parsial umum yang harus dipenuhi oleh setiap tingkat bunga contingent claim, f: 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 2 (3a)

Harga pasar merupakan risiko yang diperlukan kembali kelebihan atas risk-free rate. Hubungan ini dilambangkan dengan:

(3b)

Substitusikan persamaan (3a) ke (3b)

1 2 2 1 2 2 1 2 2 ₀ 0 (3c) dimana

Misalkan bahwa harga dari contingent claim f, sebagai berikut:

, , , , _(3d) Dengan kondisi batas , , 1. Selanjutnya turunkan persamaan (3d), sehingga didapatkan

(8)

Subtitusikan persamaan (3d) dan (3e) ke persamaan (3c) 1 2 2 ₀ 1 2 1 0 0 dengan , 1 1 0 dengan , 0 ■ Lampiran 4

Bukti Bahwa Persamaan (22) dan (23) memenuhi kondisi batas yang diberikan. Akan dibuktikan persamaan (22) dan (23) memenuhi kondisi batas yang diberikan.

• Akan dibuktikan persamaan (22) memenuhi kondisi batas , 0 Diketahui persamaan (22) , 0, 0, 0, / Sehingga , 0, 0, 0, / 0 0, / , 0 (4a) ■ • Akan dibuktikan persamaan (23) memenuhi kondisi batas , 1

Diketahui persamaan (23) , 0, 0, , 0, 1 2 , 0, 0, /

Dengan , log , , maka , exp ,

, exp 0, 0, , 0,

1

2 ,

0,

0, / Subtitusi persamaan (4a)

(9)

, exp 0 0 0, 1 2 0 0, 0, / exp 0 0 0 , exp 0 1 ■ Lampiran 5

Penurunan Persamaan (24) dan (25) Diketahui persamaan (15) dan (16)

0 (5a)

1 0 (5b)

Turunkan persamaan (5a) terhadap T, maka didapat

0 (5c)

Turunkan persamaan (5b) terhadap T, maka didapat

0 (5d)

Eliminasi dari persamaan (5b) dan (5d), menghasilkan

0 (5e)

Eliminasi dari persamaan (5c) dan (5e), menghasilkan

0 (5f)

Kondisi batas untuk (5e) dan (5f) adalah nilai-nilai diketahui 0, dan 0, , , 1, dan , 0. Solusi untuk (5e) dan (5f) yang memenuhi kondisi batas, adalah sebagai berikut

, , _{, /} , (5g)

, 0, 0, , , , , _{, /} (5h)

Di mana , log , . Substitusikan ke persamaan (5g) ke (5b), sehingga diperoleh

1

, ₁

(10)

0, 0, _0, _0, 0, 0, / 1 0, 0, 0, / 1 0, 0, 0, 0, / 1 0, 0, 0, / 0, / 0, /

Maka persamaan (24) terbukti

■ Karena , log , , maka , exp , . Sehingga

, exp 0, 0, , 0,

1

2 ,

0,

0, / Turunkan , terhadap t, maka

, exp , , exp , , , Akan dicari , , , 0, 0, , 0, 1 2 , 0, 0, / 0, , 0, , 0, 1 2 , 0, 0, / , 0, , 0, , 0, 0, / 0, , 0, , 0, 1 2 , , 0, , 0, , 0, 0, /

(11)

Substitusikan ke persamaan (5h) ke (5a), 1 2 , _, 1 2 , , , , , 1 2 , , , 1 2 , , 1 , 0, , 0, , 0, 1 2 , , 0, , 0, , 0, 0, / 1 2 , 1 , , 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, / 0, 0, 0, 0, / 0, 0, / 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, / 0, 0, 0, 0, / 0, 0, 0, 0, / maka persamaan (25) terbukti

(12)

Lampiran 6

Bukti volatilitas harga zero coupon bond

Misalkan , , adalah harga pada saat dari zero coupon bond yang jatuh tempo pada saat . Maka persamaan harga obligasi dapat ditulis sebagai berikut,

, , , , _.

Menggunakan lema Itô, diperoleh 1 2 1 2 1 2 1 2 dan , , σ ,

Maka terbukti bahwa volatilitas , , adalah σ ,

■

Lampiran 7

Penurunan persamaan (28) Diketahui persamaan (27)

2

Karena menggunakan model satu-faktor, 1. dengan, , , , . sehingga, , , . Subtitusikan persamaan (24) , , _{, /} , , ,

(13)

0, 0, 0, / 0, 0, 0, / 0, 0, 0, 0, 0, / 0, 0, 0, /

maka persamaan (28) terbukti ■

Lampiran 8

Program Simulasi menggunakan Mathematica 7.0 Diketahui Fungsi Distribusi Kumulatif Normal, • .

• Model Cox-Ingersoll-Ross (CIR) Diketahui persamaan (31) , 2 1 1 2 Diketahui persamaan (32) , 2 1 2

Persamaan harga obligasi

, , ,

Persamaan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan model CIR, persamaan (33) 2 1 In[1]:= a1=0.319381530; a2= −0.356563782; a3=1.781477937; a4= −1.821255978; a5=1.330274429; In[2]:= norcum@p_D:= 1 − 1 2π ∗ −p₂2_∗_I a1 ∗1êH1 + 0.2316419pL+ a2 ∗H1êH1 + 0.2316419pLL2 + a3 ∗H1êH1 + 0.2316419pLL3+ a4 ∗H1êH1 + 0.2316419pLL4+ a5 ∗H1êH1 + 0.2316419pLL5M p≥ 0 1 − norcum@−pD p< 0 In[3]:= Bcir@t_,T_D:= 2J gHT-tL− 1N í JHγ + ψL J g HT-tL− 1N+ 2 γN In[4]:= Acir@t_,T_D := 2γ Hg +y L HT-tL 2 _{ì JH}γ + ψL J gHT-tL −1N+2γN 2 φ σcir 2

(14)

log _/, , , 2 , ;4 , 2 , , 2 ;4 ,2 ξ

• Perluasan Model Vasicek

Subtitusikan persamaan (35) ke persamaan (22)

selanjutnya Diketahui Persamaan (23) , 0, 0, , 0, 1 2 , 0, 0, / Karena , log , , substitusikan persamaan (22) sehingga menjadi

log , log 0,

0, ,

log 0,

1

2 0, 0, 0, /

Untuk memudahkan, persamaan tersebut akan dibagi menjadi beberapa bagian.

In[6]:= Xi@t_,T_D:= 2 γ σcir2I g HT-tL− 1M In[7]:= η = Hγ + ψL σcir2 ; In[8]:= rstar@T_,s_,L_, X_D:= LogBAcir@T,sD XêL F Bcir@T,sD In[9]:= opsiCIR@r_,t_,T_,s_,L_,X_D := LPcir@r,t,sD∗NBCDFBNoncentralChiSquareDistributionB 4φ σcir2, 2HXi@t, TDL2r gHT-tL Xi@t, TD+ η +Bcir@T, sDF, 2 rstar@T,s,L,XD HXi@t,TD+ η +Bcir@T,sDLFF−

XPcir@r,t,TD∗NBCDFBNoncentralChiSquareDistributionB 4φ σcir2,

2HXi@t,TDL2r gHT-tL

Xi@t,TD+ η F, 2 rstar@T,s,L,XD HXi@t,TD+ ηLFF

In[10]:= SimplifyBBcir@0, TD−Bcir@0,tD

D@Bcir@0,tD,tD F Out[10]=

−

−tγ _I tγ

₋

Tγ_{M II1}

₊

tγ_M

_{γ +}

_I

₋

₁

₊

tγ_M

_ψ

_M

γ

II1

+

TγM

γ +

I

−

1

+

TγM

ψ

M In[11]:= Bev@t_,T_D := − −tγ_I t_{γ −} T γ_{M II1}₊ tγ_M_{γ +}_I₋₁₊ tγ_M_ψ_M γII1+ TγMγ +I−1+ TγMψM

(15)

log 0, 0, / maka log , log 0, 0, , log 0, 1 2 0, 0, 0, / dengan , log , .

Persamaan harga obligasi

, , , _.

Persamaan nilai opsi call tipe Eropa menggunakan perluasan model Vasicek Diketahui persamaan (28)

0, 0,

0, /

0, / In[12]:= Simplify@D@Log@Acir@0,tDD,tDD

Out[12]=

−

I−1 +

tγ

_{M φ Iγ}

2

_{− ψ}

2

_M

σcir

2

II1 +

tγ

_{M γ + I−1 +}

tγ

_{M ψM}

In[13]:= tur1@t_D := − I−1 +

t_{γ M φ Iγ}2_{− ψ}2_M

σcir2II1 + tγM γ + I−1 + tγM ψM

In[14]:= IntegrateAH1êD@Bcir@0,τD,τDL2,8τ, 0,t<E

Out[14]= − −2 tγ_{Hγ − ψL}4_{− 8} −tγ_{Hγ − ψL}3_{Hγ + ψL + 8} tγ_{Hγ − ψL Hγ + ψL}3₊ 2 tγ_{Hγ + ψL}4_{+ 4 γ}_{I−10 γ}2_{ψ + 6 ψ}3_{+ 3 t}_Iγ2_{− ψ}2_M2_M 32 γ5 In[15]:= int1@t_D:= 1 32 γ5 J− − 2tγ_H_{γ − ψ}_L4_{− 8 −}tγ_H_{γ − ψ}_L3_H_{γ + ψ}_L + 8 tγHγ − ψL Hγ + ψL3+ 2tγHγ + ψL4+ 4 γJ−10 γ2ψ + 6 ψ3+ 3tIγ2− ψ2M2NN

In[16]:= Abar@t_,T_D:= LogBAcir@0,TD

Acir@0,tDF− Bev@t,TD∗ tur1@tD− 1

2∗HBcir@0,TD− Bcir@0,tDL

2_∗_H_int1_@_t_DL_;

In[17]:= Aev@t_,T_D := Abar @t,TD

(16)

sehingga, 1 log , , , , 2 Persamaan (26) , , , ,

Parameter yang digunakan

In[19]:= IntegrateAH1êD@Bcir@0,τD,τDL2,8τ,t,T<E

Out[19]= 1 32γ5J −2 tγ_{JHγ − ψL}4₊₈ tγ_{Hγ − ψL}3_{Hγ + ψL −}₈ 3 tγ_{Hγ − ψL Hγ + ψL}3₋ 4 tγ_{Hγ + ψL}4₋₁₂ 2 tγ_t_γ_Iγ2_{− ψ}2_M2_{N +} −2 Tγ_{J−Hγ − ψL}4₋₈ Tγ_{Hγ − ψL}3_{Hγ + ψL +}₈ 3 Tγ_{Hγ − ψL Hγ + ψL}3₊ 4 Tγ_{Hγ + ψL}4₊₁₂ 2 Tγ_T_γ_Iγ2_{− ψ}2_M2_NN In[20]:= int2@t_,T_D:= 1 32 γ5J −2tγ_JH_{γ − ψ}_L_{4 + 8} tγ_H_{γ − ψ}_L3_H_{γ + ψ}_L_{− 8 3}tγ_H_{γ − ψ}_{L H}_{γ + ψ}_L_{3 − 4}tγ_H_{γ + ψ}_L_{4 − 12 2}tγ_t_γ_I_{γ2 − ψ2}_M2_N₊ −2Tγ_J₋_H_{γ − ψ}_L_{4 − 8} Tγ_H_{γ − ψ}_L3_H_{γ + ψ}_L_{+ 8 3}Tγ_H_{γ − ψ}_{L H}_{γ + ψ}_L_{3 + 4}Tγ_H_{γ + ψ}_L_{4 + 12 2}Tγ_T_γ_I_{γ2 − ψ2}_M2_NN

In[21]:= sigmaPV@t_,T_,s_D:= σHBcir@0,sD− Bcir@0,TDL int2@t,TD

In[22]:= ha

@

r_

,

t_

,

T_

,

s_

,

L_

,

X_

D

:= 1 sigmaPV

@

t

,

T

,

s

D

∗ Log

B

L

Pev

@

r

,

t

,

s

D

Pev

@

r

,

t

,

T

D

X

F

+ sigmaPV

@

t

,

T

,

s

D

2

In[23]:= opsiEV@r_,t_,T_,s_,L_,X_D :=LPev@r,t,sD norcum@ha@r,t,T,s,L, XDD− XPev@r,t,TD norcum@ha@r,t,T,s,L, XD−sigmaPV@t,T,sDD

In[24]:= φ =0.02; σ =0.06∗ 0.1 ; σcir=0.06; ψ =0.2; γ = ψ2 +2σcir2; In[29]:= opsiEV@0.1, 0, 1, 3, 100, 85D Out[29]= 0.0987123 In[30]:= opsiCIR@0.1, 0, 1, 3, 100, 85D Out[30]= 0.0765442