MTE3109: PENGAJARAN NOMBOR, PECAHAN, PERPULUHAN, DAN PERATUS MTE3109: PENGAJARAN NOMBOR, PECAHAN, PERPULUHAN, DAN PERATUS NOMBOR BULAT
NOMBOR BULAT PERKEMBANGA
PERKEMBANGAN AWAL N AWAL NOMBOR NOMBOR 1.
1. Sifat (attibute)Sifat (attibute)
Langkah awal kepada pengenalan nombor iaitu kebolehan mengenal persamaan dan perbezaanLangkah awal kepada pengenalan nombor iaitu kebolehan mengenal persamaan dan perbezaan
(susunan). (susunan).
Contoh: Mengenali semua benda yang berwarna merahContoh: Mengenali semua benda yang berwarna merah
Langkah kedua ialah kebolehan memadankan benda dengan sifat asalnya.Langkah kedua ialah kebolehan memadankan benda dengan sifat asalnya.
Hal ini lebih menumpukan kepada persamaan benda dan Hal ini lebih menumpukan kepada persamaan benda dan memadankannya kepada sesuatu yang agak memadankannya kepada sesuatu yang agak
sama. sama.
1.
1. Susunan dan pengelasanSusunan dan pengelasan
Pengenalan sifat dan susunan sekumpulan objek kepadPengenalan sifat dan susunan sekumpulan objek kepad a subset (kumpulan kecil)mengikut sifatnya.a subset (kumpulan kecil)mengikut sifatnya.
Contoh: Penyusunan mengikut warna, bentuk, saiz, dan nombor.Contoh: Penyusunan mengikut warna, bentuk, saiz, dan nombor.
Ideanya ialah menyusun mengikut warna, saiz, dan Ideanya ialah menyusun mengikut warna, saiz, dan bentuk akan menguatkan penyusunan mengikutbentuk akan menguatkan penyusunan mengikut
nombor nombor
Mengenali perbezaan nombor dan memberi suatu nombor Mengenali perbezaan nombor dan memberi suatu nombor kepada semua himpunan dengan nomborkepada semua himpunan dengan nombor
objek tersebut. objek tersebut.
1.
1. Corak Corak
Sesuatu yang berulang.Sesuatu yang berulang.
Suatu senarai nombor yang mengikut corak yang tertentu.Suatu senarai nombor yang mengikut corak yang tertentu.
Contoh: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, …Contoh: 1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, … bermula dari 1 dan bertambah 3 bermula dari 1 dan bertambah 3 setiap kali.setiap kali.
NUMBERS SENSE NUMBERS SENSE
Kesedaran dan pemahaman tentang apa itu nombor, hubungannya, magnitudnya, Kesedaran dan pemahaman tentang apa itu nombor, hubungannya, magnitudnya, kesan perubahankesan perubahan
relatif sesuatu nombor termasuk penggunaan mental Matematik (mental mathematics ) dan relatif sesuatu nombor termasuk penggunaan mental Matematik (mental mathematics ) dan penganggaran.
penganggaran.
Pengalaman membuat perbandingan dan pengiraan membantu kanak2 membina Pengalaman membuat perbandingan dan pengiraan membantu kanak2 membina asas deria nombor.asas deria nombor.
Deria nombor=pemahaman fleksibel dan penggunaan nombor.Deria nombor=pemahaman fleksibel dan penggunaan nombor.
Deria nombor-perkara yang perlu dilakukan sebelum Deria nombor-perkara yang perlu dilakukan sebelum perkembangan pengiraan.perkembangan pengiraan.
PENGIRAAN PENGIRAAN
Perlakuan mencari bilangan elemen nombor pada set terhad(finite) suatu objek.Perlakuan mencari bilangan elemen nombor pada set terhad(finite) suatu objek.
Pengiraan melibatkan:Pengiraan melibatkan:
i.
i. Rote Rote counting counting – – pengiraan pada susunan yang betul.pengiraan pada susunan yang betul. ii.
iii. Cardination - “berapa banyak” (penamaan berdasarkan nombor terakhir) iv. Ordination – aspek nombor yang memberi susunan
v. Numerical comparison/order – menggunakan 1-1 untuk melihat yang mana lebih banyak. vi. conservation – nombor tetap sama sekiranya tiada aa ditambah atau dikurangkan.
vii. 1-1 correspondence - number names to objects; viii. perception - pattern or path through objects;
ix. separation - into those that have been counted and those yet to be counted; x. subbitisation - counting by “seeing” (numbers 2 to 5);
xi. (xi) adding (subtracting) - counting by subbitising and adding the subbitised groups. PERINGKAT PENGIRAAN
Rote counting
Kanak2 menggunakan “Rote counting’ tahu sesetengah nombor tetapi mengetahui susunan nombor yang betul.
Rational counting
Menggunakan fungsi 1-1 dalam pengiraan. COUNTING PRINCIPLES
Abstraction principles Stable order principles One to one principles Order irrelevance principles Cardinal principles
SEGITIGARATHMELL
6 arah segitiga Rathmell adalah seperti berikut: model ----> bahasa bahasa ----> model model ----> simbol bahasa ----> model bahasa ----> simbol simbol ----> bahasa STRATEGI PENGIRAAN Pengiraan menaik
Kanak-kanak bermula mengira nombor pada 1, 2, 3, 4 Pengiraan menurun
Kanak-kanak mengira secara menurun(dari belakang)
10, 9, 8, 7, 6
Pengiraan melangkau
2s, 5s, 10s e.g. 5, 10 , 15, 20 ...
CARDINAL, ORDINAL AND NOMINAL NUMBERS
Cardinal – “Berapa banyak?” Kami mempunyai 3 kereta Ordinal – “Mana satu?”
(susunan)
Jojo mendapat tempat kedua dalam perlumbaan Nominal – “siapa?”
(Pengenalan)
Zola bernombor 25 untuk Chelsea
PENAMBAHAN DAN PENOLAKAN PENAMBAHAN
APAKAH OPERASI TAMBAH
Tambah adalah suatu operasi ke atas nombor.
Ia merupakan proses menambah dua atau lebih kuantiti dengan menggunakan nombor.
Disebabkan itu, hasil operasi tambah sentiasa bertambah dengan k uantitinya diwakili oleh nombor bulat.
HUKUM OPERASI TAMBAH
Terdapat empat hukum yang merangkumi operasi tambah. Antara hukumnya ialah commutative, associative, additive identity and distributive properties.
1. Commutative property: Apabila dua nombor ditambah, hasilnya adalah sama, tidak dipengaruhi susunan nombor. Contoh:
4 + 2 = 2 + 4
1. Associative Property: Apabila tiga atau lebih nombor ditambah, hasilnya adalah sama, tidak dipengaruhi susunan pengelompokan nya. Contohnya
(2 + 3) + 4 = 2 + (3 + 4)
1. Additive Identity Property: Hasil tambah sesuatu nombor dengan sifar adalah nombor itu sendiri. Contohnya:
5 + 0 = 5.
1. Distributive property: The sum of two numbers times a third number is equal to the sum of each addend times the third number. For example
4 * (6 + 3) = 4*6 + 4*3
Operasi tambah dan tolak merupakan dua operasi yang mempunyai hubungan berbalik.
Jika fakta matematik diambil kira, sebagai contoh 3 + 7 = 10. jadi pernyataan berikut juga benar: 10 - 3 = 7
10 - 7 = 3
Hubungan yang sama juga wujud dalam operasi tolak, contohnya 10 - 3 = 7. Jadi pernyataan berikut juga benar :
3 + 7 = 10 7 + 3 = 10
Ini disebabkan suatu pernyataan adalah seimbang di kedua-dua belah .
TEKNIK PENYELESAIAN OPERASI TAMBAH
Penyatuan dua kumpulan
Penambahan dengan membilang semua Bentuk lazim
Garis lurus
Penyatuan Dua Kumpulan
Penyatuan dua kumpulan membawa maksud memasukkan objek yang terdapat dalam bakul B ke dalam bakul A. Kemudian, mengira jumlah semua sekali yang terdapat dalam bakul A tersebut. Ini membawa maksud jumlah objek dalam kedua-dua bakul tersebut.
Penambahan dengan membilang semua.
Penambahan dengan membilang semua membawa maksud mengira ke semua jumlah objek tanpa mengagihkannya menjadi satu.
Bentuk Lazim
Untuk mengira menggunakan bentuk lazim, nombor p erlu disusun mengikut nilai tempat masing-masing untuk memudahkan pengiraan.
PENOLAKAN
KAEDAH DALAM PENOLAKAN 1. 1. Kaedah pemisahan
Melibatkan penolakan sesuatu kuantiti daripada kuantiti asal. Hasil penolakan akan dicatatkan atau dinyatakan.
Contoh:
Ahmad ada 7 biji buah saga. Dia memberikan 3 biji buah saga itu kepada ibunya. Berapakah biji buah saga Ahmad yang tinggal?
7 – 3 = 4 biji
Melibatkan perbandingan dua kuantiti antara satu sama lain.
Perbezaan kuantiti yang terhasil daripada perbandingan tersebut akan dicatatkan Contoh:
Peggy mempunyai 6 biji belon. Kate pula mempunyai 3 biji belon. Berapakah beza bilangan belon Peggy dan belon Kate?
1. Kaedah ‘missing - addend’
Dalam kaedah ini, satu set objek boleh dibahagikan kepada dua bahagian.
Anda mengetahui jumlah atau bilangan dalam sesuatu set dan anda juga mengetahui bilangan dalam
satu bahagian.
Anda dikehendaki mencari satu bahagian yang tinggal untuk menyamai jumlah dalam satu set itu. Contoh:
Aminah mempunyai 8 biji bola. 4 daripadanya adalah berwarna biru dan selebihnya adalah berwarna merah. Berapakah bilangan bola yang berwarna merah?
8 biji bola - ____ bola merah = 4 bola biru OPERATION SENSE & COMPUTATIONS SEMPOA
SEJARAH SEMPOA
Juga dikenali sebagai Abakus
Merupakan alat hitung untuk melakukan proses-proses aritmetik. Terdiri daripada sebuah rangka kayu dengan manik-manik.
Sempoa dalam BI disebut abacus yang diambil daripada perkataan Yunani bermaksud papan yang
berdebu.
Sempoa telah dijumpai di China diantara kurun ke-12 dan 13.
Setelah itu, penggunaan sempoa telah sampai ke Korea dan Jepun melalui pedagang. Di Eropah pula, sempoa telah digunakan sehingga kurun ke-18.
Pengiraan menggunakan sempoa melibatkan operasi tambah,
tolak, darab bahagi.
Bagi melakukan pengiraan melibatkan tambah dan tolak, sempoa digunakan dari arah kiri ke kanan.
BAHAGIAN-BAHAGIAN PADA SAMPOA
KALULATOR
SEJARAH KALKULATOR
Berasal dari negara Perancis.
Dicipta oleh Colmur pada tahun 1820.
Kalkulator lebih sempurna untuk mengira permasalahan 4 operasi adalah dicipta oleh Boldwin dari
Amerika Syarikat pada tahun 1875.
Kalkulator moden bukan sahaja terhad untuk mengira permasalahan 4 operasi tetapi juga untuk
mendapatkan hasil punca, kuasa, dan permasalahan statistik.
Kalkulator - suatu alat mengira yg menggunakan teknologi moden untuk mendapatkan jawapan yang
tepat dan cepat daripada masalah 4 operasi dan juga nilai daripada berbagai-bagai fungsi trigonometri dan logaritma.
JENIS-JENIS KALKULATOR
Kalkulator yang tidak dapat dapat diprogram Kalkulator yang dapat diprogram
KELEBIHAN PENGGUNAAN KALKULATOR
Memudahkan pengiraan masalah matematik. Dapat mengira sesuatu nilai dengan tepat. Menjimatkan masa.
KEBURUKAN PENGGUNAAN KALKULATOR
Pengguna menjadi lebih bergantung pada kalkulator dan sukar untuk membuat p engiraan secara
mental.
Pelajar akan semakin malas dan hanya menggunakan kalkulator walaupun hanya membuat pengiraan
yang mudah.
Pengguna menjadi lebih bergantung pada kalkulator dan sukar untuk membuat p engiraan secara
mental.
Pelajar akan semakin malas dan hanya menggunakan kalkulator walaupun hanya membuat pengiraan
yang mudah.
PENGIRAAN SECARA MENTAL
Dilakukan tanpa bantuan alat-alat luaran Kebaikan:
– Menggalakkan berfikiran fleksibel
– Mendorong pelajar untuk menggunakan strategi yang relevan bagi mereka RASIONAL MENGGUNAKAN PENGIRAAN SECARA MENTAL
Menyediakan cara secara tidak langsung dan cekap dalam melakukan mana-mana pengiraan Sangat berguna- lebih ¾ dalam pengiraan dilakukan secara mental
Meningkatkan pemikiran kritikal dan sedar bahawa terdapat banyak langkah/cara dalam menyelesaikan
mana-mana pengiraan
Meningkatkan kemahiran dalam anggaran
CONTOH TEKNIK DALAM PENGIRAAN SECARA MENTAL 165 + 99 =
1. Tolak 1 daripada 165 dan tambahkannya ke 99. Kemudian, tambahkan 164+100=264 2. 165 +100=265. Kemudian tolak 1 untuk mendapatkan 264
3. 5+9=14. 10 sa akan dibawa ke tempat puluh menjadi 1+6+9=16. 10 puluh akan dibawa ke tempat ratus menjadi 1+1=2. Jawapannya 264.
ANGGARAN
TUJUAN MEMBUAT ANGGARAN
menyemak "kewajaran" jawapan yang dikira
menentukan jawapan anggaran apabila jawapan yang tepat tidak diperlukan
Dapat mengira dan mendapatkan jumlah yang besar yang ingin dicari dalam masa yang singkat Membantu membuat perhitungan dengan lebih mudah dan menjimatkan masa
KAEDAH DALAM ANGGARAN 1. Pembundaran (Rounding up) 1. Penambahan BACK-FRONT
1. Nombor Serasi/ Sesuai (Compatible Numbers)
2 atau lebih nombor yang boleh dikira secara mental dengan menganggarkan 2 atau lebih nombor
tersebut untuk mendapatkan jawapan dengan lebih mudah.
Bahagi
Tidak memerlukan jawapan yang tepat, tetapi memerlukan anggaran yang wajar. PRINSIP:
Jika nilai satu nombor diturunkan, nilai nombor yang lain harus diturunkan juga. Jika nilai satu nombor ditingkatkan, nilai nombor yang lain haruslah ditingkatkan juga. Darab
PRINSIP:
Jika nilai satu nombor diturunkan, nilai satu nombor yang lain hendaklah ditingkatkan. Jika nilai satu nombor ditingkatkan, nilai satu n ombor lain hendaklah diturunkan.
ALGORITMA
APAKAH ALGORITMA
Algoritma diambil bersempena dengan nama ahli matematik Arab, Al-Khorizmi.
Pelajar boleh diperkenalkan dengan algoritma asetelah mereka memahami nombor bulat, tempat
perpuluhan dan fakta asas tentang operasi ke atas nombor bulat.
Peraturan untuk menyelesaikan masalah langkah demi langkah. Setiap langkah penyelesaian dijelaskan dengan terperinci.
Algoritma digunakan untuk menyelesaikan masalah secara berkesan.
Penyelesaian algoritma yang paling biasa digunakan untuk pelajar sekolah rendah ialah prosedur
ALGORITMA DALAM PENAMBAHAN (I) LONG METHOD (WORDS)
25 = 2 TENS 5 ONES + 56 = 5 TENS 6 ONES
7 TENS 11 ONES = 8 TENS 1 ONES
(II) LONG METHOD (NUMBERS) 25 = 20 + 5 + 56 = 50 + 6 70 + 11 = (70 + 10 + 1) = (70 + 10 + 1 = 80 + 1 = 81
(III) PARTIAL SUM
(IV) CONVENTIONAL ALGORITHM 2 5
+ 5 6 8 1
ALGORITMA DALAM PENOLAKAN
1. EXPANDED NOTATION METHOD (words) 3 TENS and 5 ONES 35
- 1 TENS and 7 ONES -17
2 TENS and 15 ONES 18
- 1 TENS and 7 ONES 1 TENS and 8 ONES
1. EQUAL ADDITION METHOD (alternate method)
35 + 3 = 38 35
- 17 + 3 = - 20 - 17
18 18
ALGORITMA DALAM PENDARABAN LONG MULTIPLICATION 23 × 30 00(= 23× 0) + 69 (= 23x3) 690
1. 1. SUBTRACTION PROCEDURE
1. 2. CONVENTIONAL PROCEDURE
PLACE VALUE
NUMERATION PRINCIPLES
These principles result from a structural perspective on mathematics.
This perspective believes that it is more important to develop these principles across all numbers than
learn particular sized numbers.
It also provides framework in which all whole number and decimal numbers can be considered.
1. 1. COUNTING
The starting point for numeration is counting. However, counting does not stop with 100.
All place values count, as do decimals and fractions.
Odometer is a name given to the principle which describes the nature of all place-value positions to
count like the ones position. For example:
This odometer pattern is for counting back as well as counting on, for example:
32 65 218 872 455 31 65 118 871 455 30 65 018 870 455 29 64 918 869 455
The best material for teaching this principle i s a calculator.
For example, enter 47 567 and then add 100 and keep pressing =.
1. Separation / Numerical partitioning
Separation or numerical partitioning (Van de Walle, 1990) is the part-whole part of numeration - it is
seeing a number as its place value components.
That is, 263 is 2 hundreds, 6 tens and 3 ones.
Children need to partition flexibly - 25 can be 2 tens and 5 ones, but it also can be seen as 25 ones and
1 ten 15 ones.
Materials such as MAB and bundling sticks have the partitioning/ separation built in. As soon as a number is represented with this material, it is numerically partitioned. Numeral expanders also expand or separate/partition numbers.
Place value: the position of a digit represents its value Base of ten: a collection of ten
The use of zero: symbolically represent the absence of something Additive property: numbers can be summed with respect to place value
Activities to Introduce Place Value 1. GROUPING BY TENS
Provide a pile of beans or interlocking cubes Ask the children to group by ten
Ask some questions:
– How many beans/cubes in each group? – How many groups of ten?
– How many beans/cubes left over? – Which pile/group is easier to count?
1. GROUPING BY HUNDREDS
Provide a bundle of straws of more than 100
Ask the children to group the straws by ten and bundle it with a rubber band Group the bundles by ten
Ask some questions:
– How many straws in each bundle? – How many bundles of ten?
– How many bundles left over? – How many straws left over?
1. COMPARING THE GROUPING SIZE
Provide 3 piles of beans different in number Ask some questions:
– Which piles has the most? Least? – Can you decide without counting?
– Do you know the exact number without counting?
1. 3. The position of a digit determines the number being represented
The position of a digit represent different quantities, Example: the 2 in 3042 representones and 2 in
2403 represent thousands
The zero has positional value but lack of a quantity in the place
It is critical to emphasize in place value a particular model should represent a quantity with least number
of pieces
Example, 25 beans can be represented by: (1) one tens and 15 ones or (2) two tens and 5 ones Should choose alternative (2) because it has least number of pieces
ADVANCED ACTIVITY
Utilize the concept of trading, exchanging and making Example:
Count ten white ones, saying “1, 2, 3, 4,…9, 10” Trade ten white ones into one blue one
Count ten blue ones, saying,
"10, 20, 30, 40, .., 90, 100"
Trade ten blue ones into one red one Count ten red ones, saying,
“100, 200,300,400,…, 900, 1000”
Playing with the chips and asking questions: If you have 15 white ones, what can you trade? I have two blue ones, how many whites could I get?
How could you make the number 54 with the chips, using the LEAST possible amount? I have two blue ones and four white ones, what number would this be? etc.
Continue until children can easily make numbers with the chips, or tell what number a c ertain
combination of chips represents.
This way they will understand "group representation" - the concept that one entity (a chip) represents a
group.
This is a prelude to understanding how a certain column represents a group. It's very advisable also do some adding and subtracting with the chips.
Example, you have 2 blue ones and 7 white. Add 8 whites. What happens? The example leads to the concept of trading the ones into a ten.
Example, if you have three blues and 2 whites, and you need to subtr act 6 whites Ask the students, what would they do?
