BAB2 LANDASAN TEORI. Masalah program linier pada dasarnya memiliki ketentuan-ketentuan berikut ini (Winston, 2004)

BAB2

LANDASAN TEORI

2.1. Program Linier

Program linear merupakan salah satu teknik dari riset operasi untuk memecahkan permasalahan optimasi dengan memaksimalkan atau meminimalkan suatu bentuk fungsi objektif atau fungsi tujuan dengan kendala-kendala berupa fungsi yang linear. Pemecahan masalah Linear Programming dapat dilakukan dengan metode aljabar, metode grafik, metode simpleks atau dengan menggunakan perangkat lunak (software) komputer.

Pokok pikiran utama dalam menggunakan program linier adalah merumuskan masalah dengan jelas dengan menggunakan sejumlah informasi yang tersedia. Sesudah masalah terumuskan dengan baik, maka langkah berikut ialah menterjemahkan masalah ke dalam bentuk model matematika (Siagian, 2006).

Masalah program linier pada dasarnya memiliki ketentuan-ketentuan berikut ini (Winston, 2004)

1. Masalah program linier berkaitan dengan upaya memaksimalkan atau meminimalkan yangdisebut sebagai fungsi tujuan dari program linier. Fungsi tujuan initerdiri dari variabel-variabel keputusan.

2. Terdapat kendala-kendala atau keterbatasan, yang membatasi pencapaiantujuan yang dirumuskan dalam program linier. Kendala-kendala inidirumuskan dalam fungsi-fungsi kendala yang terdiri dari variabel-variabelkeputusan yang menggunakan sumber-sumber daya yang terbatas itu.

3. Ada pembatasan tanda untuk setiap variabel dalam masalah ini. Untuksembarang 𝑥𝑥𝑖𝑖, pembatasan tanda menentukan 𝑥𝑥𝑖𝑖 harus non negatif (𝑥𝑥𝑖𝑖 ≥ 0)atau tidak dibatasi

tandanya (unretsricted in sign).

4. Memiliki sifat linieritas. Sifat ini berlaku untuk semua fungsi tujuan danfungsi-fungsi kendala.

Formulasi model matematis dari persoalan pengalokasian sumber-sumber pada permasalahan program linier adalah sebagai berikut (Sitorus, 1997):

Maks/Min ∶ Z = ∑𝑚𝑚_𝑗𝑗=1𝑐𝑐_𝑗𝑗𝑥𝑥_𝑗𝑗 ………(2.1)

Kendala ∶ ∑ ∑𝑚𝑚_𝑖𝑖=1 𝑛𝑛_𝑗𝑗=1𝑎𝑎_{𝑖𝑖𝑗𝑗}𝑥𝑥_𝑗𝑗 (≤,=,≥)𝑏𝑏_𝑖𝑖 ………(2.2) 𝑥𝑥𝑗𝑗 ≥ 0

dimana: 𝑍𝑍 =fungsi tujuan

𝑐𝑐𝑗𝑗 = nilai kontribusi dari variabel keputusan

𝑥𝑥𝑗𝑗 =variabel keputusan

𝑎𝑎𝑖𝑖𝑗𝑗 =koefisien dari variabel keputusan dalam fungsi kendala

𝑏𝑏𝑖𝑖 = sumber daya yang tersedia dalam fungsi kendala

Fungsi Zpada rumusan program linier merupakan fungsi tujuan yang akan dicapai atau dioptimalkan. Selanjutnya, persamaan atau pertidaksamaan yang merepresentasikan keterbatasan atau keberadaan kendala yang membatasi pencapaian fungsi tujuan dinamakan fungsi kendala. Untuk m kendala pertama disebut kendala utama atau fungsional dan syarat bahwa nilai variabel keputusan harus lebih dari atau sama dengan (𝑥𝑥_𝑗𝑗≥0) dinamakan kendala-kendala tidak negatif. Setiap kendala dapat berbentuk kendala pertidaksamaan atau persamaan. Fungsi-fungsi kendala dapat bertanda sama dengan (=), lebih kecil atau sama dengan (≤), lebih besar atau sama dengan (≥), atau kombinasi di antaranya (sebagian fungsi kendala bertanda ≤ dan sebagian lainnnya bertanda ≥).

2.2.Program Non Linier

Penyelesaian optimum pada masalah optimasi yaitu memberikan nilai optimum (maksimum/minimum) pada fungsi tujuan dengan nilai variabel-variabel yang tidak bertentangan dengan kendala yang menyangkut variabel-variabel tersebut. Banyak permasalahan optimasi yang tidak dapat dimodelkan dalam bentuk program linier. Hal ini berkaitan dengan bentuk fungsi tujuan dan fungsi kendala, yakni sebagian atau seluruh fungsi tersebut berupa fungsi non linear. Fungsi non linear dapat berupa fungsi kuadrat, fungsi eksponen, fungsi logaritma, fungsi pecahan dan lain-lain.

Program non linier merupakan salah satu teknik dari riset operasi untuk memecahkan permasalahan optimasi dengan menggunakan persamaan dan pertidaksamaan non linear untuk mencari hasil (output) yang optimum dengan memperhatikan sumber-sumber (input) yang persediaannya terbatas pada nilai tertentu. Suatu permasalahan optimasi disebut non linear jika fungsi tujuan dan kendalanya mempunyai bentuk non linear pada salah satu atau keduanya. Permasalahan optimasi tersebut tidak akan bisa dipecahkan dengan program linear dimana justru biasanya akan timbul variabel atau fungsi-fungsi baru pada kondisi tertentu dan akan terus berlanjut.

Masalah program non linier didefinisikan sebagai berikut(Winston, 2004): Maks/Min :𝑍𝑍 = 𝑓𝑓(𝑥𝑥₁, 𝑥𝑥₂,… , 𝑥𝑥_𝑛𝑛 ) ………..(2.3) Kendala : 𝑔𝑔₁(𝑥𝑥₁, 𝑥𝑥₂, … , 𝑥𝑥_𝑛𝑛 ) (≤, =,≥) 𝑏𝑏₁ 𝑔𝑔2(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) (≤,=,≥) 𝑏𝑏2 . . . 𝑔𝑔𝑖𝑖(𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2,… , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ) (≤, =,≥) 𝑏𝑏𝑛𝑛 𝑥𝑥1 ≥ 0, 𝑥𝑥2 ≥ 0, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≥ 0 ………...(2.4)

Jika𝑔𝑔_𝑖𝑖(𝑥𝑥₁, 𝑥𝑥₂, … , 𝑥𝑥_𝑛𝑛) = 0, maka program non linier tersebut dinamakan program non linier berkendala (constrained), dan jika 𝑔𝑔𝑖𝑖 (𝑥𝑥₁, 𝑥𝑥₂, … , 𝑥𝑥_𝑛𝑛) ≠ 0, maka program tersebut dinamakan program non linier tidak berkendala (unconstrained). Batasan-batasan biasanya dinamakan kendala-kendala. Pada m kendala pertama dinamakan kendala-kendala fungsional, sedangkan batasan-batasan 𝑥𝑥₁, … , 𝑥𝑥_𝑛𝑛 ≥ 0 dinamakan kendala-kendala tak negatif.

Jika terjadi 𝑚𝑚>𝑛𝑛 maka masalah tidak dapat diselesaikan. Akan tetapi untuk dapat menyelesaikannya maka haruslah 𝑚𝑚 ≤ 𝑛𝑛 (banyaknya kendala lebih sedikit atau sama dengan banyaknya variabel). Daerah fisibel untuk program non linier adalah himpunan dari nilai-nilai (𝑥𝑥₁, 𝑥𝑥₂, …, 𝑥𝑥_𝑛𝑛) yang memenuhi sejumlah m kendala. Sebuah nilai di dalam daerah fisibel adalah nilai fisibel, dan sebuah nilai di luar daerah fisibel adalah nilai tidak fisibel.

2.3.Separable Programming

Separable Programming merupakan suatu metode penyelesaian dalam program nonlinier dengan mentransformasi bentuk nonlinier menjadi bentuk linier yang hanya memuat satu variabel. Separable Programming berhubungan dengan fungsi yang berbentuk nonlinier, yang selanjutnya dipisahkan menjadi fungsi dengan variabel tunggal. Misalnya dalam kasus dua variabel fungsi 𝑓𝑓(𝑥𝑥,𝑦𝑦)dipisahkan menjadi ℎ(𝑥𝑥)+𝑔𝑔(𝑦𝑦).

Suatu fungsi 𝑓𝑓(𝑥𝑥) dapat dikatakan terpisah apabila fungsi tersebut dapat dinyatakan dalam bentuk penjumlahan dari fungsi-fungsi yang hanya memuat satu variabel, S.S. Rao (1978 : 640) merumuskan bentuk umum model nonlinear yang diselesaikan dengan separable programming yaitu sebagai berikut :

𝑓𝑓(𝑥𝑥) = ∑𝑛𝑛𝑗𝑗=1𝑓𝑓𝑗𝑗(𝑥𝑥𝑗𝑗) ………(2.5)

Fungsi tujuan yang dibentuk harus dipisahkan berdasarkan variabel. Contoh berikut akan menjelaskan cara penyusunan fungsi separable untuk fungsi–fungsi khusus.

Suatu fungsi non linier 𝑓𝑓 = 𝑥𝑥₁𝑥𝑥₂ akan diubah menjadi fungsi separable programming. Langkah pertama yaitu membuat variabel baru berupa 𝑦𝑦₁ dan 𝑦𝑦₂, dengan:

𝑦𝑦1 = 𝑥𝑥1+ 𝑥𝑥₂ 2

𝑦𝑦2 =𝑥𝑥1− 𝑥𝑥₂ 2

Berdasarkan nilai 𝑦𝑦₁ dan 𝑦𝑦₂, maka:

𝑥𝑥1𝑥𝑥2= 1_{4 (𝑥𝑥}1+ 𝑥𝑥2)2−1_{4 (𝑥𝑥}1− 𝑥𝑥2)2 = 𝑦𝑦12− 𝑦𝑦22

maka 𝑓𝑓=𝑥𝑥₁𝑥𝑥₂ termasuk fungsi yang dapat dipisahkan dengan transformasi bentuk baru fungsi menjadi:

𝑓𝑓 = 𝑦𝑦12− 𝑦𝑦22

2.3.1. Penyelesaian Separable Programming

Penyelesaian separable programming seringkali menggunakan hampiran fungsi linear sepenggal. Gambar 2.1 berikut merupakan ilustrasi hampiran fungsi linear sepenggal untuk suatu fungsi f(x) dengan beberapa grid point.

Gambar 2.1 Grafik hampiran fungsi linear sepenggal pada fungsi nonlinear

Pada Gambar 2.6, nilai 𝑓𝑓(𝑥𝑥) merupakan nilai sesungguhnya dari fungsi nonlinear, sedangkan 𝑓𝑓̅(𝑥𝑥) adalah nilai hampiran fungsi linear sepenggal yang mana dapat dicari dengan rumus pendekatan berikut (Rao, 1978 ):

𝑓𝑓̅(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥

1

) + [

𝑓𝑓(𝑥𝑥_𝑥𝑥2₂)−𝑓𝑓(𝑥𝑥_−𝑥𝑥1 1)

](𝑥𝑥 − 𝑥𝑥

1

);

𝑥𝑥1 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑥𝑥2 ……..(2.7)

𝑓𝑓̅(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥

2

) + [

𝑓𝑓(𝑥𝑥_𝑥𝑥3₃)−𝑓𝑓(𝑥𝑥_−𝑥𝑥2 2)

](𝑥𝑥 − 𝑥𝑥

2

);

𝑥𝑥2 ≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑥𝑥3 ……(2.8) . . .

𝑓𝑓̅(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓

𝑘𝑘

+

𝑓𝑓_𝑥𝑥𝑘𝑘+1_𝑘𝑘+1−𝑓𝑓_−𝑥𝑥𝑘𝑘_𝑘𝑘

(𝑥𝑥 − 𝑥𝑥

𝑘𝑘

);

𝑥𝑥𝑘𝑘≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑥𝑥𝑘𝑘+1, …….(2.9) Jika pembagian 𝑥𝑥−𝑥𝑥1

𝑥𝑥2−𝑥𝑥1dinyatakan sebagai 𝜆𝜆, maka persamaan dapat ditulis menjadi:

𝑓𝑓̅(𝑥𝑥) = 𝑓𝑓(𝑥𝑥

1

) +

λ

�

𝑓𝑓

(𝑥𝑥

2

) −

𝑓𝑓

(𝑥𝑥

1

)� =

λ𝑓𝑓

(𝑥𝑥

2

) + (

1 − λ

)𝑓𝑓(𝑥𝑥

1

)…..(2.10)

Selanjutnya, dengan memberi notasi baru untuk 1− 𝜆𝜆=𝜆𝜆₁ dan 𝜆𝜆= 𝜆𝜆₂maka persamaan (2.7) dapat diubah menjadi:

𝑓𝑓̅(𝑥𝑥) =

𝜆𝜆₁

𝑓𝑓(𝑥𝑥

₁

) +

𝜆𝜆₂𝑓𝑓

(𝑥𝑥

₂

);

𝑥𝑥1≤ 𝑥𝑥 ≤ 𝑥𝑥2 ………(2.11)

Karena 𝜆𝜆 =𝑥𝑥−𝑥𝑥1 𝑥𝑥2−𝑥𝑥1 maka, 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥1 =𝜆𝜆(𝑥𝑥2− 𝑥𝑥1) 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥1+ 𝜆𝜆(𝑥𝑥2− 𝑥𝑥1) 𝑥𝑥 = (1 − λ )𝑥𝑥1+ 𝜆𝜆2𝑥𝑥2 = (𝜆𝜆₁)𝑥𝑥₁+𝜆𝜆₂𝑥𝑥₂ ……….(2.13)

Persamaan (2.9) dan (2.10) juga berlaku untuk interval 𝑥𝑥_𝑗𝑗 yang lain, sehingga diperoleh bentuk umum yaitu : (Rao, 1978)

𝑥𝑥 = ∑𝑛𝑛𝑘𝑘=0𝜆𝜆𝑘𝑘𝑥𝑥𝑘𝑘, dengan n adalah jumlah titik interval ………..(2.14)

𝑓𝑓̅(𝑥𝑥) = ∑𝑛𝑛𝑘𝑘=0𝜆𝜆𝑘𝑘𝑓𝑓𝑘𝑘 ………..(2.15)

dimana ∑𝑛𝑛_𝑘𝑘=0𝜆𝜆_𝑘𝑘 = 1; 𝜆𝜆_𝑘𝑘 ≥ 0, 𝑘𝑘 = 0,1,2,3, …, 𝑛𝑛

Persamaan (2.14) merupakan interpretasi baru untuk variabel keputusan yang akan diselesaikan dengan menggunakan hampiran fungsi linier sepenggal, dengan (2.15) sebagai tambahan fungsi kendala.

Adapun langkah-langkah penyelesaian separable programming adalah sebagai berikut:

1. Menyusun fungsi kendala yang separable.

Bentuk kendala yang separable terlihat pada persamaan (2.6). 𝑔𝑔𝑖𝑖𝑗𝑗�𝑥𝑥𝑗𝑗� = 𝑔𝑔11𝑥𝑥1+ 𝑔𝑔12𝑥𝑥2+ … + 𝑔𝑔1𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛(≤,=, ≥ )𝑏𝑏1

𝑔𝑔21𝑥𝑥1+ 𝑔𝑔22𝑥𝑥2+ … + 𝑔𝑔2𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛(≤,=,≥ )𝑏𝑏2

𝑔𝑔𝑚𝑚1𝑥𝑥1+ 𝑔𝑔𝑚𝑚2𝑥𝑥2+ … + 𝑔𝑔𝑚𝑚𝑛𝑛𝑥𝑥𝑛𝑛(≤,=, ≥ )𝑏𝑏𝑚𝑚

𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2, … , 𝑥𝑥𝑛𝑛 ≥ 0

2. Menentukan jumlah grid point

Grid point merupakan titik–titik bagi dari interval 𝑎𝑎_𝑗𝑗≤𝑥𝑥_𝑗𝑗≤ 𝑏𝑏_𝑗𝑗. Batas 𝑎𝑎_𝑗𝑗dan 𝑏𝑏_𝑗𝑗 menjadi batas bawah dan batas atas untuk setiap variabel 𝑥𝑥_𝑗𝑗. Setiap variabel 𝑥𝑥_𝑗𝑗

dibagi lagi sejumlah 𝑝𝑝_𝑖𝑖 interval. Jika 𝑥𝑥_{𝑘𝑘𝑗𝑗} merupakan nilai 𝑥𝑥_𝑗𝑗 pada titik ke–k, maka dapat diperoleh bentuk 𝑎𝑎_𝑗𝑗= 𝑥𝑥_1𝑗𝑗< 𝑥𝑥_2𝑗𝑗<⋯< 𝑥𝑥_{𝑘𝑘𝑗𝑗}<⋯<𝑥𝑥_{𝑝𝑝𝑖𝑖𝑗𝑗}=𝑏𝑏𝑗𝑗 (Rao, 1978). Notasi 𝑥𝑥_1𝑗𝑗, 𝑥𝑥_2𝑗𝑗,…, 𝑥𝑥_{𝑝𝑝𝑗𝑗} merupakan partisi nilai–nilai x yang dibagi menjadi 𝑝𝑝_𝑖𝑖 grid point. Jumlah grid point tersebut ditentukan sesuai kebutuhan dengan batas atas dan bawah tetap dimasukkan sebagai grid point, namun demikian semakin banyak grid point yang dibentuk maka semakin banyak variabel yang mucul dan solusi optimal yang dihasilkan semakin akurat. Adapun interval dari setiap grid point tidak harus berjarak sama.

3. Membentuk nilai fungsi grid point

Setiap nilai grid point kemudian disubstitusikan ke fungsi tujuan yang sudah dipisahkan (𝑓𝑓_𝑗𝑗(𝑥𝑥_𝑗𝑗)). Nilai yang didapatkan kemudian menjadi koefisien baru untuk fungsi tujuan linier. Hal ini juga berlaku untuk fungsi kendala, dimana setiap nilai grid point juga disubstitusikan pada fungsi kendala separable yang telah dibentuk pada langkah 1.

4. Membentuk fungsi tujuan baru yang linier

Bentuk dari fungsi tujuan yang linier dari persamaan (2.5) adalah :

Maks/Min: 𝑍𝑍 = ∑𝑛𝑛_{𝑗𝑗 =1}∑𝑛𝑛_𝑘𝑘=1𝑓𝑓_{𝑘𝑘𝑦𝑦} λ_{𝑘𝑘𝑦𝑦} ………..(2.16) Dengan 𝑛𝑛 merupakan jumlah grid point.

Bentuk fungsi kendala menjadi:

∑𝑛𝑛𝑗𝑗=1𝑔𝑔𝑘𝑘𝑖𝑖𝑗𝑗λ𝑘𝑘𝑦𝑦(≤,=,≥)𝑏𝑏𝑖𝑖, 𝑖𝑖 = 1, 2, … , 𝑚𝑚

∑𝑝𝑝𝑘𝑘=1𝑖𝑖 λ𝑘𝑘𝑦𝑦 = 1, 𝑗𝑗 = 1, 2, … , 𝑚𝑚

λ𝑘𝑘𝑦𝑦 ≥ 0, 𝑘𝑘 = 1, …, 𝑝𝑝𝑖𝑖, 𝑑𝑑𝑎𝑎𝑛𝑛 𝑗𝑗 = 1, 2, … , 𝑛𝑛 ……….(2.17)

5. Menyelesaikan bentuk linier dengan menggunakan software POM QM

2.4.Portofolio

Portofolio adalah gabungan dua atau lebih sekuritas yang terpilih sebagai target investasi dari investor pada kurun waktu tertentu dengan suatu ketentuan tertentu pula. Pada hakekatnya pembentukan portofolio adalah mengalokasikan modal ke berbagai sekuritas untuk memperoleh keuntungan yang maksimal dengan resiko yang minimal. Penentuan jumlah modal yang akan diinvestasikan ke berbagai sekuritas menjadi sebuah pengambilan keputusan yang sangat penting mengingat besarnya kerugian yang akan ditanggung oleh investor di masa yang akan datang akibat kesalahan dalam melakukan kebijakan. Sebelum melakukan investasi maka investor perlu mempertimbangkan besarnya aset yang akan dialokasikan ke dalam berbagai portofolio sehingga diperoleh keuntungan yang optimal dengan tingkat resiko tertentu yang masih dapat diterima oleh investor.

Investor dapat menginvestasikan dananya pada berbagai aset, baik aset yang berisiko maupun aset yang bebas risiko, ataupun kombinasi dari kedua aset tersebut. Aset berisiko adalah aset-aset yang tingkat return aktualnya mengandung ketidakpastian dimasa yang akan datang. Salah satu contoh aset berisiko adalah saham. Aset bebas risiko merupakan aset yang tingkat return-nya dimasa yang akan datang sudah dapat dipastikan pada saat ini. Contoh aset bebas risiko adalah obligasi yang diterbitkan oleh pemerintah yaitu Obligasi Ritel Indonesia (ORI), Sertifikat Bank Indonesia (SBI) yang diterbitkan oleh Bank Indonesia. Pilihan investor terhadap aset-aset tersebut tergantung dari sejauh mana preferensi investor terhadap risiko. Preferensi risiko adalah kecenderungan seorang individu untuk memilih keputusan berisiko.

Preferensi investor terhadap risiko dibedakan menjadi tiga yaitu investor yang berani mengambil risiko (risk taker), investor yang takut atau enggan menanggung risiko (risk averter) dan investor yang berani menanggung risiko yang sebanding dengan return yang diperolehnya (risk moderate). Investor cenderung menghindari risiko (risk averter) dalam pembentukan portofolio efisien yang artinya jika seorang investor dihadapkan pada expected return yang sama namun risiko yang berbeda maka investor tersebut akan memilih risiko yang terendah. Jika seorang investor

dihadapkan risiko yang sama namun expected return yangberbeda maka investor akan memilih expected return yang tertinggi (Halim, 2005).

Seseorang yang telah mendapat pelatihan dan terbiasa dalam menghadapi risiko akan cenderung berperilaku memilih pilihan yang berisiko dibandingkan dengan orang lain. Tingkat tanggungjawab dapat mempengaruhi keputusan yang diambil apakah berisiko atau cenderung berhati-hati. Status pekerjaan seorang individu juga memegang peranan penting sebagai salah satu faktor yang mempengaruhi besarnya toleransi risiko yang diterima investor. Misalnya investor yang bekerja pada perusahaan yang dipercaya dapat menjamin masa depannya, akan cenderung memilih jenis investasi dengan risiko tidak terlalu tinggi seperti investasi di sektor riil. Sedangkan investor yang bekerja pada perusahaan yang dinilai belum cukup menjamin masa depannya akan lebih memilih investasi dengan return yang tinggi seperti saham.

2.4.2. Return

Return merupakan salah satu faktor yang memotivasi investor untuk berinvestasi dan juga imbalan atas keberanian investor menanggung risiko atas investasi yang dilakukannya. Sumber-sumber return investasi ini ada dua komponen utama yaitu yield dan capital gain (loss). Yield merupakan komponen perolehan yang mencerminkanaliran kas atau pendapatan yang diperoleh secara periodik dari suatu investasi.Misalnya jika berinvestasi pada sebuah obligasi, maka besar yield ditunjukkan daribunga obligasi yang dibayarkan. Demikian pula halnya pada saham, yield ditunjukkan oleh besarnya dividen yang diperoleh. Sedangkan capital gain (loss) sebagai komponen kedua dari return (perolehan) merupakan kenaikan (penurunan) harga suatu surat berharga (dapat berupa saham) yang dapat memberikan keuntungan (kerugian) bagi investor. Dengan kata lain, capital gain (loss) dapat juga diartikan sebagai perubahan harga sekuritas. (Purba, N.M, 2011)

Adanya hubungan positif antara return dan risiko dalam berinvestasi yang dikenal dengan high risk - high return, yang artinya semakin besar risiko yang ditanggung, semakin besar pula return yang diperoleh. Hal ini dimaksudkan sebagai harus ada pertambahan return sebagai kompensasi dari pertambahan resiko yang akan ditanggung oleh investor. Return dapat berupa realized return yang sudah terjadi atau expected return yang belum terjadi tetapi diharapkan akan diperoleh pada masa mendatang.

Realized return adalah return yang sudah terjadi yang dihitung berdasarkan data historis. Realized return berguna sebagai dasar perhitungan tingkat pengembalian yang diharapkan (expected return) dan risiko dimasa yang akan datang. Realized return merupakan salah satu komponen penting dalam dunia bisnis karena merupakan salah satu alat ukur kinerja dari sebuah perusahaan. Return ini juga merupakan dasar penentuan return ekspektasi dan risiko dimasa mendatang. Menurut kegunaannya return realisasi dibagi menjadi 3 macam yaitu Return Total (Net Return), Return Relatif (Gross Return), dan Log return.

Jika seseorang menginvestasikan dananya pada saham ke-𝑖𝑖 periode 𝑡𝑡₁ dengan harga 𝑃𝑃_{𝑖𝑖(𝑡𝑡−1)} dan harga pada periode selanjutnya 𝑡𝑡₂ adalah 𝑃𝑃_{𝑖𝑖(𝑡𝑡−2)} , maka return total pada periode 𝑡𝑡₁ sampai 𝑡𝑡₂adalah(𝑃𝑃𝑖𝑖(𝑡𝑡−2)− 𝑃𝑃𝑖𝑖(𝑡𝑡−1))

𝑃𝑃𝑖𝑖(𝑡𝑡−1) . Return total dapat digambarkan sebagai pendapatan relatif atau tingkat keuntungan (profit rate).

Secara umum return total antara periode 𝑡𝑡 − 1 sampai 𝑡𝑡adalah sebagai berikut (Jogiyanto, 2003).

𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡𝑡 =(𝑃𝑃𝑖𝑖𝑡𝑡_𝑃𝑃− 𝑃𝑃_{𝑖𝑖(𝑡𝑡−1)}𝑖𝑖(𝑡𝑡−1)) ………..(2.18)

dimana:

𝑃𝑃𝑖𝑖𝑡𝑡 = Harga penutupan saham ke-𝑖𝑖 pada periode ke-𝑡𝑡.

𝑃𝑃𝑖𝑖(𝑡𝑡−1) = Harga penutupan saham ke-𝑖𝑖 pada periode ke-(𝑡𝑡−1).

Jika harga investasi sekarang 𝑃𝑃_𝑖𝑖lebih tinggi dari harga investasi periode lalu

𝑃𝑃𝑖𝑖(𝑡𝑡−1) ini berarti terjadi keuntungan modal (Capital Gain), sebaliknya terjadi

kerugian modal (Capital Loss).

Nilai return total dapat bernilai positif atau negatif, bergantung dari selisih harga sekuritas periode sekarang dan sebelumnya. Investor mendapat keuntungan jika nilai return total > 0 (positif) dan mengalami kerugian jika nilai return total < 0 (negatif).

Realized return portofolio saham didefinisikan sebagai rata-rata tertimbang dari return-return realized setiap saham tunggal di dalam portofolio. Secara matematis dapat ditulis sebagai berikut (Jogiyanto, 2003)

𝑅𝑅𝑃𝑃 = ∑ 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑖𝑖𝑅𝑅𝑖𝑖 ………..(2.19)

dimana:

𝑅𝑅𝑃𝑃 = return portofolio

𝑥𝑥𝑖𝑖 = Proporsi dana yang diinvestasikan pada saham 𝑖𝑖

𝑅𝑅𝑖𝑖 = return saham ke- 𝑖𝑖

𝑛𝑛 = jumlah dari saham tunggal

Expected return adalah return (pengembalian) yang diharapkan akan diperoleh oleh investor pada masa mendatang dan belum terjadi. Dibandingkan dengan return historis, return ekspektasi merupakan return yang penting karena dapat digunakan sebagai pengambilan keputusan investasi.

Expected return secara sederhana merupakan rata-rata tertimbang dari berbagai return. Expected return saham individual dapat menggunakan rumus berikut (Jogiyanto, 2003) 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖) = ∑ 𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡𝑡 𝑛𝑛 𝑡𝑡=1 𝑁𝑁 ………..(2.20) dimana:

𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖) = Expected return saham ke-𝑖𝑖

𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡𝑡 = Return saham ke-𝑖𝑖 pada periode 𝑡𝑡

𝑁𝑁 = Banyaknya return yang terjadi pada periode observasi

2. Expected Return Portofolio

Expected return portofolio adalah rata-rata tertimbang dari return-return ekspetasi masing-masing saham tunggal di dalam portofolio yang dinotasikan dengan 𝐸𝐸�𝑅𝑅_𝑝𝑝�persamaan berikut (Jogiyanto, 2003).

𝐸𝐸�𝑅𝑅𝑝𝑝� = ∑ 𝑥𝑥𝑛𝑛𝑖𝑖=1 𝑖𝑖𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖) ………(2.21)

dimana:

𝐸𝐸�𝑅𝑅𝑝𝑝� = Expected return dari portofolio

𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖) = Expected return saham ke- 𝑖𝑖

𝑥𝑥𝑖𝑖 = Proporsi dana yang diinvestasikan pada saham 𝑖𝑖

𝑛𝑛 = jumlah dari saham tunggal

2.4.3. Risiko

Risiko didefinisikan sebagai besarnya penyimpangan antara tingkat pengembalian yang diharapkan (expected return) dengan tingkat pengembalian yang dicapai secara nyata (realized return). (Halim, 2005) Semakin besar penyimpangannya maka berarti semakin besar pula tingkat risikonya.

Jika mengacu pada definisi risiko tersebut, maka risiko keuangan didefinisikan sebagai ketidakpastian return mendatang dari suatu investasi, atau bahwa investasi mendapatkan hasil yang lebih kecil dari return yang diperkirakan dan kadang menghasilkan suatu kerugian, yaitu return yang bernilai negatif. Jenis risiko dapat dikelompokkan menjadi dua yaitu risiko sistematis (systematic risk) dan risiko tidak sistematis (unsystematic risk). Risiko sistematis tidak dapat dihilangkan dengan melakukan diversifikasi karena risiko ini dipengaruhi berbagai faktor makro yakni kurs valas, tingkat bunga, kebijakan pemerintah, dan resesi global. Risiko tidak sistematis merupakan risiko yang dapat dihindari atau dikurangi dengan melakukan diversifikasi sebab risiko ini hanya terjadi pada internal satu perusahaan saja. Portofolio akan berjalan efektif dengan mengamati risiko tidak sistematis saja. Salah satu pengukur risiko adalah standar deviasi atau varians yang merupakan kuadrat dari standar deviasi. (Jogiyanto, 2003)

1. Risiko Saham Individual 𝜎𝜎𝑖𝑖2 = ∑ (𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡𝑡 𝑛𝑛 𝑡𝑡=1 −𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖)) 𝑁𝑁 2 ………..(2.22) dimana:

𝜎𝜎𝑖𝑖2 = risiko saham ke-𝑖𝑖

𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡𝑡= return saham 𝑖𝑖 pada periode 𝑡𝑡

𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖) = Expected return saham 𝑖𝑖

𝑁𝑁 = Banyaknya return yang terjadi pada periode observasi

2. Risiko Saham Portofolio

Banyaknya saham dalam suatu portofolio juga dapat mempengaruhi nilai varians dari risiko. Untuk membentuk suatu portofolio minimal diperlukan dua sekuritas, dimana besar risiko dari kedua sekuritas tersebut dapat dihitung dengan besarnya varians dari nilai-nilai kedua sekuritas yang ada dalam portofolio.

Untuk aktiva sebanyak n maka rumus varians untuk portofolio dapat dituliskan sebagai berikut:

𝜎𝜎𝑝𝑝2 = ∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖2𝜎𝜎12+ ∑ ∑𝑛𝑛𝑗𝑗 =12𝑥𝑥𝑖𝑖𝑥𝑥𝑗𝑗𝜎𝜎𝑖𝑖𝑗𝑗 𝑖𝑖≠𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ………..(2.23) 𝜎𝜎𝑝𝑝2 = ∑ 𝑥𝑥𝑖𝑖2𝜎𝜎12+ ∑ ∑𝑛𝑛𝑗𝑗 =12𝑥𝑥𝑖𝑖𝑥𝑥𝑗𝑗𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑅𝑅𝑗𝑗) 𝑖𝑖≠𝑗𝑗 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 𝑛𝑛 𝑖𝑖=1 ………..(2.24) dimana: 𝜎𝜎𝑝𝑝2 = Risiko portofolio 𝜎𝜎12 = Risikosaham individual

𝑥𝑥𝑖𝑖 = Proporsi dana yang diinvestasikan pada saham 𝑖𝑖

𝑥𝑥𝑗𝑗 = Proporsi dana yang diinvestasikan pada saham 𝑗𝑗

dengan rumus 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐(𝑅𝑅_𝑖𝑖𝑅𝑅_𝑗𝑗) sebagai berikut:

𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐�𝑅𝑅

𝑖𝑖

𝑅𝑅

𝑗𝑗

� =

∑ {(𝑅𝑅𝑖𝑖𝑡𝑡− 𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖)}{𝑅𝑅𝑗𝑗𝑡𝑡−𝐸𝐸�𝑅𝑅𝑗𝑗�} 𝑛𝑛

𝑡𝑡=1

𝑁𝑁 ………..(2.25)

dimana:

𝑅𝑅𝑖𝑖 = return saham 𝑖𝑖 pada periode 𝑡𝑡

𝐸𝐸(𝑅𝑅𝑖𝑖) = Expected return saham 𝑖𝑖

𝑅𝑅𝑗𝑗 = return saham 𝑗𝑗 pada periode 𝑡𝑡

𝐸𝐸�𝑅𝑅𝑗𝑗� = Expected return saham 𝑗𝑗.

𝑁𝑁 = Banyaknya return yang terjadi pada periode observasi

2.5.Uji Normalitas

Pada dunia investasi, uji normalitas sering digunakan untuk melihat apakah return saham berdistribusi normal atau tidak. Saham tersebut dapat dimasukkan dalam portofolio jika return saham berdistribusi normal. Tujuan pengujian normalitas dalam return saham adalah untuk mengantisipasi terjadinya ketidakstabilan harga, sehingga dikhawatirkan akan mengalami penurunan harga saham yang sangat signifikan dan merugikan investor. Uji normalitas pada SPSS menggunakan pengujian Kolmogorov-Smirnov.

Uji Kolmogorov-Smirnov merupakan pengujian normalitas yang banyak digunakan, terutama setelahbanyak program statistik yang beredar. Kelebihan dari uji ini adalah sederhana dan tidak menimbulkan perbedaan persepsi di antara satu pengamat dengan pengamat yang lain, yang sering terjadi pada uji normalitas dengan menggunakan grafik.

Berikut tahap pengujian menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov a. Hipotesis

H

0 : data dapat diasumsikan normal,

H

1 : data tidak dapat diasumsikan berdistibusi normal

b. Tingkat signifikansi α c. Statistik uji

Kolmogorov-Smirnov 𝑇𝑇 = _𝑋𝑋𝑆𝑆𝑆𝑆𝑝𝑝|𝐹𝐹∗(𝑋𝑋) − 𝑆𝑆(𝑋𝑋)| 𝐹𝐹∗_{(𝑋𝑋)adalah distribusi kumulatif data sampel}

𝑆𝑆(𝑋𝑋) adalah distribusi kumulatif yang dihipotesakan d. Kriteria uji

H

0 ditolak jika p – value < α

e. Perhitungan f. Kesimpulan.

2.6.Operasi Perpangkatan Bentuk Aljabar

Operasi perpangkatan diartikan sebagai perkalian dengan bilangan yang sama. Hal ini juga berlaku pada perpangkatan bentuk aljabar. Pada perpangkatan bentuk aljabar suku dua, koefisien tiap suku ditentukan menurut segitiga Pascal. Berikut diperlihatkan barisan segitiga pascal:

(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)0 ₁ (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)1 _{1 1} (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 _{1 2 1} (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)3 _{1 3 3 1} (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)4 _{1 4 6 4 1} (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)5 _{1 5 10 10 5 1}

Demikian seterusnya untuk (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)𝑛𝑛 dengan 𝑛𝑛 merupakan bilangan asli. Pangkat dari 𝑎𝑎 (unsur pertama) pada (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)𝑛𝑛dimulai dari 𝑎𝑎𝑛𝑛 kemudian berkurang satu demi satu dan terakhir 𝑎𝑎1 pada suku ke-𝑛𝑛. Sebaliknya, pangkat dari 𝑏𝑏 (unsur kedua) dimulai dengan 𝑏𝑏𝑛𝑛 pada suku ke-2 yang selanjutnya bertambah satu demi satu dan terakhir𝑏𝑏𝑛𝑛 pada suku ke-𝑛𝑛+1.

Berdasarkan barisan segitiga pascal diatas, maka bentuk aljabar suku dua (𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2_{dapat dituliskan sebagai berikut:}

(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2 _{= 𝑎𝑎}2_{+ 2𝑎𝑎𝑏𝑏 + 𝑏𝑏}2 _{………..(2.26)}

𝑎𝑎𝑏𝑏 =1₂(𝑎𝑎 + 𝑏𝑏)2₋1 2𝑎𝑎2−

1

2𝑏𝑏2 ………..(2.27)

Untuk perkalian lebih dari dua variabel, misalkan perkalianabcdefg,maka perkalian tersebut dapat dituliskan sebagai berikut:

𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑑𝑑𝑎𝑎𝑓𝑓𝑔𝑔 =1₂(𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑑𝑑𝑎𝑎𝑓𝑓 + 𝑔𝑔)2₋1

2(𝑎𝑎𝑏𝑏𝑐𝑐𝑑𝑑𝑎𝑎𝑓𝑓)2 − 1