KONTRUKSI RUMUS NORMA ALTERNATIF UNTUK RUANG FUNGSI L1([0,1])
Wahyuniati1, Erna Apriliani2, Eridani3
ABSTRAK
Ruang fungsi Lp(X) merupakan ruang bernorma untuk 1p. Semua ruang hasil kali dalam adalah ruang bernorma, tetapi tidak selalu berlaku sebaliknya. Ruang fungsi L1(X) adalah ruang bernorma yang bukan ruang hasil kali dalam. Pembahasan utama pada penelitian ini adalah kajian ruang fungsi L1(X) karena ruang fungsi L1(X) lebih luas dari kajian ruang fungsi Lp(X) untuk 1p. Sebagai hasil utamanya adalah rumus norma alternatif yang didapatkan dengan memanfaatkan fungsi bebas linier pada L1(X) tersebut. Dengan mendefinisikan daerah X , akan lebih menarik jika diambil ruang tertutup[0,1]. Beberapa contoh fungsi bebas linier di dalam ruang fungsi L1([0,1]) yaitu jenis-jenis fungsi walsh menghasilkan bentuk eksplisit rumus norma alternatif yang baru untuk ruang fungsi yang bersangkutan.
Kata Kunci: fungsi bebas linier, ruang bernorma, ruang fungsi Lp(X)
, ruang hasil kali dalam.
1. PENDAHULUAN
Ruang fungsi Lp( X) untuk1pdan ruang norma-n menjadi salah satu topik yang dapat dikaji dalam bidang matematika analisis. Pada jurnal matematika [Gunawan,H 2001] membahas ruang barisan lp untuk 1pdan ruang norma-n. Hasil utama dari jurnal tersebut adalah didapatkan norma alternatif untuk ruang barisan. Dengan memanfaatkan barisan bebas linier di lp untuk 1pdihasilkan kaitan rumus norma baku dengan norma alternatifnya. Sehingga rumus norma baru yang didapatkan memiliki sifat-sifat seperti yang ada pada norma lp klasik, seperti kekonvergenan, kelengkapannya, maupun pembahasan titik tetapnya.
Menjadi sesuatu hal yang menarik jika pembahasan dan hasil yang diperoleh pada p
l ini diterapkankan pada ruang fungsi Lp(X). Sehingga diharapkan memberikan wacana baru tentang norma dan melengkapi penelitian sebelumnya. Sedikitnya sumber literatur, tidak akan mengurangi kontribusi pada perkembangan penelitian ilmiah matematika. Studi beberapa ruang fungsi [Gunawan,H 2001] dan fungsi bernilai real, p adalah bilangan real positif, suatu fungsi terukur didefinisikan
untuk ruang Lp([0,1]) jika
1 0 pf . Untuk kesederhanaan didefinisikan
]) 1 , 0 ([ p L f jika: 1
Mahasiswa Pasca Sarjana Matematika-FMIPA Intitut Teknologi Sepuluh Nopember, Sukolilo, Surabaya.
2
Jurusan Matematika-FMIPA Institut Teknologi Sepuluh Nopember, Sukolilo, Surabaya.
3
p p p f d f 1 1 0 : Pada penelitian ini dikontruksi rumus alternatif untuk ruang fungsi L1([0,1]) dengan menganalogkan norma alternatif pada ruang barisan. Dengan memanfaatkan norma alternatif tersebut juga dapat ditemukan norma dengan pola tertentu berdasarkan pilihan himpunan fungsi bebas linier.
2.BEBERAPA TEOREMA YANG DIBUTUHKAN
Teorema-teorema yang digunakan untuk pembahasan penelitian ini adalah sebagai berikut:
Teorema 1: Ketaksamaan Holder (Jones,F 1993)
Jika fLp dan gLg dengan 1 qp, dan 1 1 1
q p , maka 1 .g L f dan q p g f g f. 1 .
Teorema 2: Ketaksamaan Minskwoski (Jones,F 1993)
Jika f dan g didalam Lp untuk p1 maka f gLp dan berlaku p p p f g g f . Definisi 3: Aljabar-(Jones,F 1993)
Suatu Aljabar- subset dari X adalah koleksi dari himpunan-himpunan M 2x akan memenuhi kriteria berikut:
1.M
2. A,BM ABM 3. AM AC M
Definisi 4: Ukuran (Jones,F 1993)
Suatu fungsi adalah ukuran maka memenuhi tiga hal berikut yaitu: (1). Suatu himpunan X tidak kosong;
(2). M adalah aljabar, dengan x
M ;2
(3). Suatu fungsi didefinisikan pada M memenuhi : a. 0(A)untuk semua AM ,
b. ()0,
c. Jika A1,A2,...adalah himpunan saling bebas di dalam M , maka:
1 1 k k k k A A
Oleh karena itu fungsi disebut ukuran.
Definisi 5: Fungsi Terukur (Barttle, 2001)
) , ,
(X M adalah ruang ukuran, suatu XM X adalah himpunan terukur.
Misalkan suatu f :X R disebut fungsi terukur jika dan hanya jika
xX;f(x)
M,R. Definisi 6: Definisi Ruang Fungsi 1L (Jones, F 1993) Jika f L1(Rn)didefinisikan norm f di dalam L adalah :1
n R dx x f f 1 ( )disebut sebagai norma jika memenuhi kriteria dibawah ini: (a). 0f 1
(b). f 10 f 0(a.e)
(c). cf 1 c f 1 jika cR
(d). f g 1 f 1 g 1
Terlihat bahwa untuk poin (d) sesuai dengan pertidaksamaan segitiga yaitu ) ( ) ( ) ( ) (x g x f x g x f .
Definisi 7: Definisi Norma-n (Gunawan,H 2001)
Jika n adalah bilangan bulat tak negatif dan X adalah ruang linier real dengan dimensi
n
d , maka Fungsi bernilai riel .,...,. pada n
X memenuhi kriteria norma berikut: (i). x1,...,xn 0, jika dan hanya jika x ,...,1 xn bergantung linier.
(ii). x ,...,1 xn invarian terhadap permutasi.
(iii). x1,...,xn x1,...,xn untuk setiapR. (iv). x1x',x2,...xn x,x2,...,xn x',x2,...,xn
Definisi 8: Definisi Norma-2 untuk Ruang Fungsi L (Jones, F 1993)p
Suatu fungsi f dengan definisi f p :Lp[a,b]R,1padalah well defined dan fungsi g dengan definisi g p:Lp[a,b]R,1p dengan definisi norma-2nya adalah .,. p :Lp[a,b]xLp[a,b]R,1pyang memenuhi:
p p b a b a p g x g y dxdy y f x f g f 1 ) ( ) ( ) ( ) ( det 2 1 : ,
(1)9. Pengertian Fungsi Walsh
Gambar 1. Jenis fungsi Walsh
Dari fungsi tangga satuan yang telah dikenal, didapatkan bermacam-macam jenis fungsi Walsh. Berikut contoh fungsi Walsh:
1 2 1 , 0 2 1 0 , 1 ) ( 1 x x x f 1 2 1 , 1 2 1 0 , 0 ) ( 2 x x x f (2)
3.HASIL DAN PEMBAHASAN
Pembahasan pada penelitian ini diawalai dengan membuktikan rumus Alternatif sebagai bentuk norma yaitu:
Lemma 10: Norma Alternatif
Diberikan ruang bernorma-2
X, .,. , dapat dipilih himpunan fungsi bebas linier
f1, f2 di dalam X , dapat dibuktikan rumus alternatif
pp p p h f h f h 1 2 1 * , , :
adalah norma. Juga untuk
f1,f2,f3
di dalam X merupakan norma yaitu
p p p
p p h f h f h f h 1 3 2 1 * , , , : . Sedangkan
p p p h f h 1 1 * , : bukan termasuk norma.Untuk mendapatkan hasil dari penelitian ini, dipilih X yaitu ruang fungsi ]) 1 , 0 ([ P
L dan L1([0,1]). Oleh karena itu dibuktikan hubungan keduanya yaitu: Teorema 11: Hubungan Lq Lp (Jones, F 1993)
Jika1p qmaka Lq Lp
Sebagai fungsi bebas linier di LP([0,1]) yang dipilih adalah fungsi Walsh (2) pada [0,1] yaitu berbentuk {f1, f2}, {f1,f2}, dan
} , ,...,
,..., ,
{1f1 2f2 k fk n1fn1 n fn . Uraian dibawah ini akan memberikan hasil yang diharapkan.
1. Fungsi Walsh pada [0,1] yang berbentuk{f1, f2}untuk ([0,1])
p L
Suatu fungsi Walsh didefinisikan pada [0,1] yang terdiri dari dua fungsi bebas linier (2) yang berlaku 1, 2 p([0,1])
L f f . Untuk ( ) p([0,1]) L x h , sehingga untuk norma-2 h, fi p untuk i1,2 dapat dicari dengan menggunakan (2) yaitu:
p p i i p i h x f y h y f x dxdy f h 1 1 0 1 0 ) ( ) ( ) ( ) ( 2 1 ,
untuk i1,2.Dengan memanfaatkan ketaksamaan minskwoski didapatkan:
p f h, 1 p p.h 2 2 1 p f h, 2 p p.h 2 2 1
sehingga norma baru yang dihasilkan untuk kasus fungsi bebas linier{f1, f2}
* p h
p p 1 1 2
p p p h 1 * p h p 1 1 2 h p.
2. Fungsi Walsh pada [0,1] yang berbentuk{g1,g2} untuk ([0,1])
p L
Didefinisikan fungsi bebas linier {g1,g2} = {f1,f2}, dengan , adalah
bilangan bulat di R, dan {f1, f2} adalah persamaan (2). Tampak jelas bahwa
]) 1 , 0 ([ , 2 1 p L g
g . Dengan cara yang sama pada poin 1 di atas, akan didapatkan hubungan norma alternatif sesuai dengan fungsi bebas linier yang dipilih.
Ketaksamaan minskwoski dapat dipakai untuk menghasilkan:
p g h, 1 p p .h 2 2 1 p f h, 2
p p h 2 1 2 sehingga norma baru yang dihasilkan untuk kasus fungsi bebas linier{g1,g2}
p p
p p h f h f h 1 2 1 * , , : * p h p 1 1 2
p p p h 1 .3. Fungsi Walsh pada [0,1] yang berbentuk{g1,g2,...,gk,...,gn} untuk ([0,1]) p L Suatu {g1,g2,...,gk,...,gn} = {1f1,2f2,...,k fk,nfn}, dengan n k f f f f
f1, 2, 3,..., ,..., berada pada interval [0,1] untuk pengambilan
n
k
1, 2, 3,..., ,..., sebagai bilangan real positif . Untuk kasus ini dapat dihasilkan :
p g h, 1
p p h n .2 . 2 1 1 p g h, 2
p p h n 2 1 2 2 p g h, 3
p p h n 3 1 2 2 , h,g4 p
n p 4 h p 1 22 , dan seterusnya sampai n buah fungsi yaitu h,gn p
2n p2n h p1
. Sedangkan norma baru yang dihasilkan untuk kasus fungsi bebas linier ini adalah:
n k p p h g h g h g h , 1 ... , ... , *
Sehingga didapat norma turunan dengan fungsi bebas linier {g1,g2,...,gk,...,gn} adalah * p h
k n
p p h n ... ... 2 1 1 1Dari pembahasan ini, didapatkan hubungan antara norma alternatif
*
p h dengan norma baku h p. Hubungan ini akan sangat sesuai dengan bentuk fungsi bebas linier yang digunakan. Akan lebih bagus jika fungsi bebas linier yang digunakan memunyai konstanta-konstanta yang berpola seperti deret aritmatika atau deret geometri.
Dengan cara yang sama untuk ruang fungsi L1([0,1]) sebagai hasil utamanya adalah:
1. Fungsi Walsh pada [0,1] yang berbentuk{f1, f2}untuk ([0,1]) 1
Suatu fungsi Walsh didefinisikan pada [0,1] yang terdiri dari dua fungsi bebas linier {f1,f2} seperti pada persamaan (2) adalah berada di dalam ([0,1])
1
L . Pada ruang fungsi L1([0,1]) ini didapatkan norma baru yaitu:
* p h
p p p p
p h h 1 1 1 2 2 * p h
p p 1 1 2
h p p 1 1 * p h 1 1 2 p 1 h .Sehingga didapatkan hubungan norma alternatif dengan norma baku yang telah diketahui untuk kasus fungsi bebas linier{f1,f2} untuk ruang fungsi ([0,1])
1 L yaitu : * p h 1 1 2 p 1 h
2. Fungsi Walsh pada [0,1] yang berbentuk{g1,g2} untuk ([0,1]) 1
L Dengan mengambil fungsi yang sama dengan p([0,1])
L yaitu suatu fungsi Walsh yang didefinisikan dengan dua fungsi bebas linier {g1,g2}={f1,f2} yang
berada di L1([0,1]).
Dengan cara yang sama, pada kasus ini akan didapatkan hubungan norma alternatif
dengan norma baku yang baru dari
p p
pp h g h g h 1 1 2 1 1 * , , : dengan
memanfaatkan fungsi
g1, g2
yang bebas linier. Sehingga didapatkan:
p p
p p h g h g h 1 1 2 1 1 * , , : * p h
p h p p h p
p 1 1 1 * p h
h p p
1 1 * p h
1 h3. Fungsi Walsh pada [0,1] yang berbentuk{g1,g2,...,gk,...,gn} untuk ([0,1])
1
L .
Untuk kasus ini dihasilkan norma alternatif yang baru adalah: * p h h1
1 23 ...k...n
* p h
i n i h
1 1Dari beberapa kasus di atas menunjukkan bahwa untuk ruang fungsi ]) 1 , 0 ([ 1
L menghasilkan hubungan antara norma alternatif dengan norma baku sesuai fungsi-fungsi bebas linier yang diberikan. Sehingga norma alternatif untuk L1([0,1])
serupa dengan norma alternatif untuk Lp([0,1]), yaitu
p p
pp h g h g h 1 1 2 1 1 * , , : . 4.KESIMPULAN
Dari hasil pembahasan permasalahan rumus norma alternatif ini dapat disimpulkan:
p p
p p h g h g h 1 1 2 1 1 * , , : 2. Keterkaitan norma alternatif dengan norma baku untuk fungsi bebas linier:
{f1, f2} adalah * p h p 1 1 2 p h {g1,g2} adalah * p h p 1 1 2 p h
{g1,g2,...,gk,...,gn} adalah * p h p 1 1 2
i n i p h
1Sedangkan untuk ruang fungsi L1([0,1]) adalah:
{f1, f2} adalah * p h 1 1 2 p 1 h {g1,g2} adalah * p h h1
{g1,g2,...,gk,...,gn} adalah * p h
i n i h
1 1 5.DAFTAR PUSTAKA[1].Anton, H. 1987. “Aljabar Linier Elementer”, Edisi kelima, Erlangga: Jakarta. [2].Aliprantis, D. C. dan Burkinshaw,O , (1999), “ Problem in Real Analisys, a
workbook with Solutions”, 2nd Edition, ACADEMIC PRESS, San Diego, USA.
[3].Bartle, Robert. G, 2001, “Introduction To Real Analysis, Second Edition”, John Willey & Sons. Inc, USA.
[4].Gunawan, H., (2000), “ On n-Normed Spaces”, Int. J. Math. Math. Sci, vol 27 , hal. 321-329.
[5] Gunawan, H., (2001), “The Space p-Summable Sequences and its Natural n-Norm”, Bulletin Australia Mathematic Society, vol 64, hal. 137-147.
[6].Gunwan, H, dan Mashadi, (2001), “On Finite Dimensional 2-normed space”, soochow journalof mathematic, volume 27, no.3, pp.321-329,
[7].Hellekalek, P., (1994), “General discrepancy estimates: the Walsh functionSystem”, Universitas Salzburg, Salzburg, Austria.
[8].Jones, F., (1993), “ Lebesque Integration on Euclidian Space “, Jones and Barlet Publishers, Boston, London.
[9].Kreyszig, E., (1978), “Introductory Functional Analysis with Application”. John Wiley and Sons, Inc.,Canada.
[10].Royden, H.L. ,1968. “Real Analysis, second Edition”, Macmillan Publishing co., inc.: New York.
