Ketidakpastian dan teorema bayes UTHIE

Ketidakpastian

dan teorema

bayes

Ketidakpastian



Dalam menghadapi suatu masalah, sering ditemukan

jawaban yang tidak memiliki kepastian penuh.



Ketidakpastian ini bisa berupa probabilitas atau

kebolehjadian yang tergantung dari hasil suatu

kejadian.



Hasil yang tidak pasti disebabkan oleh dua faktor

yaitu:

 aturan yang tidak pasti

 jawaban pengguna yang tidak pasti atas suatu pertanyaan

 Hal ini bisa dilihat pada sistem diagnosa penyakit dimana

pakar tidak dapat mendefinisikan hubungan antara gejala dengan penyebabnya secara pasti, Dan pasien tidak daapat merasakan suatu gejala dengan pasti pula.

 Sedangkan menurut (Giarattano dan Riley, 1994), sisten

Teori Penyelesaian

Ketidakpastian



probabilitas klasik (classical probability)



probabilitas Bayes (Bayesian probability)



teori Hartley berdasarkan himpunan klasik (Hartley

theory based on classical sets)



teori Shannon berdasarkan pada probabilitas (Shanon

theory based on probability)



teori Dempster-Shafer (Dempster-Shafer theory)



teori fuzzy Zadeh (Zadeh’s fuzzy theory)

Ketidakpastian Aturan

 Ada tiga penyebab ketidakpastian aturan yaitu

 aturan tunggal

 ketidakcocokan (incompatibility) antar konsekuen dalam aturan  penyelesaian konflik

Aturan Tunggal

 Kesalahan

 ambiguitas, sesuatu didefinisikan dengan lebih dari satu cara  ketidaklengkapan data

 kesalahan informasi

 ketidakpercayaan terhadap suatu alat  adanya bias

 probabilitas

disebabkan ketidakmampuan seorang pakar merumuskan suatu aturan secara pasti

Incompability Aturan

 kontradiksi aturan  subsumpsi aturan  redundancy aturan  kehilangan aturan  penggabungan data

Kontradiksi Aturan

aturan 1 :

JIKA anak demam

MAKA harus dikompres aturan 2 :

JIKA anak demam

Subsumpsi Aturan

aturan 3

: JIKA E1 MAKA H

aturan 4

: JIKA E1 DAN E2 MAKA H

jika hanya E1 yang muncul, maka masalah tidak akan

timbul karena aturan yang akan digunakan adalah

aturan 3, tetapi apabila E1 dan E2 sama-sama muncul

maka kedua aturan (aturan 3 dan 4) sama-sama akan

dijalankan

Redundancy Aturan

aturan 5 : JIKA E1 DAN E2 MAKA H aturan 6 : JIKA E2 DAN E1 MAKA H

dalam kasus ini ditemui aturan-aturan yang sepertinya berbeda tetapi memiliki makna yang sama

Kehilangan Aturan

aturan 7 : JIKA E4 MAKA H

Probabilitas

 Untuk mengetahui besarnya kemungkinan dihitung dari

Pilihan User:

Premis1

Premis2

Premis3

Probabilitas berbobot

 Untuk mengetahui besarnya kemungkinan dihitung dari

Pilihan User:

Premis1

Premis2

Premis3

probabilitas

 Misalkan sebuah peristiwa E dapat terjadi sebanyak n kali

diantara N peristiwa yang saling eksklusif (saling

asing/terjadinya peristiwa yang satu mencegah terjadinya peristiwa yang lain) dan masing-masing terjadi dengan

kesempatan yang sama, maka probabilitas terjadinya peristiwa E adalah :

 Jika P(E) = 0, maka diartikan peristiwa E pasti tidak terjadi,

sedangkan P(E)=1, dapat diartikan peristiwa E pasti terjadi, apabila E menyatakan buka peristiwa E, maka diperoleh :

Probabilitas bersyarat

 Jika P(A) menyatakan probabilitas kejadian A, P(B)

menyatakan probabilitas kejadian B, dan probabilitas A dan B terjadi bersama-sama disimbolkan oleh P(A |B), dan

besarnya adalah :

 Dengan cara yang sama, probabilitas bahwa kejadian B

terjadi jika kejadian A terjadi terlebih dahulu adalah :

 Contoh :

P(Dila terkena cacar|Dila mempunyai bintik-bintik di wajah) adalah 0,8

Ini sama dengan rule berikut :

IF Dila mempunyai bintik-bintik di wajah THEN Dila terkena cacar (0,8)

Rule ini mempunyai arti sbb :

Jika Dila mempunyai bintik-bintik diwajah, maka probabilitas (kemungkinan) Dila terkena cacar adalah 0,8

Teorema Bayes

 Ditemukan oleh Reverend Thomas Bayes abad ke 18.  Dikembangkan secara luas dalam statistik inferensia.  Aplikasi banyak untuk : DSS

 Brntuk teorema Bayes untuk evidence tunggal E dan hipotesis

tunggal H adalah :

Dengan

 p(H|E) = probabilitas hipotesis H terjadi jika evidence E terjadi  P(E|H) = probabilitas munculnya evidence E, jika hipotesis H

terjadi

 P(H) = probabilitas hipotesis H tanpa memandang evidence

apap pun

Contoh :

 Diketahui p(demam)=0,4. p(muntah)=0,3.

p(demam|muntah)=0,75.

 Pertanyaan :

a. Berapa nilai dari p(muntah|demam) ? b. Berapa nilai dari p(muntah|demam) jika

JAWAB SOAL A :

 p(muntah|demam)= p(demam|muntah) x p(muntah)

p(demam) = 0,75 x 0,3

0,4 = 0,56

 JAWAB SOAL B

p(muntah|demam) = p(demam|muntah)xp(muntah)

p(demam) = (0,75 x 0,3)/0,1 = 2,25

 Jawaban di atas salah. Mengapa ? Karena nilai probabilitas haruslah antara 0 dan 1. lalu apa yang salah ?

 Perhatikan : p(demam) harus lebih besar atau sama dengan p(demam

n

muntah).

 untuk menghitung p(demam

n

muntah) rumusnya adalah p(demam

n

muntah) = p(demam|muntah) x p (muntah)

= 0,75 x 0,3 = 0,225  Jadi, p(demam) ≥ 0,225

 Untuk nilai p(demam) = 0,1 tidak memenuhi syarat sehingga menghasilkan perhitungan yang salah.

Bentuk Teorema Bayes untuk evidence tunggal E dan hipotesis ganda H1, H2, …. Hn

 dengan:

 p(Hi|E) = probabilitas hiposesis Hi benar jika diberikan

evidence E.

 p(E|Hi) = probabilitas munculnya evidence E, jika

diketahui hipotesis Hi benar.

 p(Hi) = probabilitas hipotesis Hi (menurut hasil

sebelumnya) tanpa memandang evidence apapun.

 Untuk evidence ganda E1, E2,…., Em dan hipotesis

ganda H1, H2, …., Hn adalah :

untuk mengaplikasikan persamaan di atas, maka harus diketahui probabilitas bersyarat dari semua kombinasi yang mungkin dari evidence-evidence untuk seluruh

hipotesis. Secara praktis, ini tidak mungkin. Oleh karena itu, persamaan di atas, diganti dengan persamaan :

Contoh kasus

 Tabel berikut menunjukkan tabel probabilitas bersyarat

evidence E₁E₂E₃ dan hipotesis H₁H₂H₃ . Misalkan pertama kali kita hanya mengamati evidence E₃ , hitung probabilitas

terjadinya hipotesis :

a. H₁ jika semula hanya evidence E₃ yang teramati b. H₂ jika semula hanya evidence E₃ yang teramati c. H₃ jika semula hanya evidence E₃ yang teramati

Probabilitas Hipotesis

i=1 i=2 i=3

P(Hi) 0,4 0,35 0,25

P(E1|Hi) 0,3 0,8 0,5

P(E2|Hi) 0,9 0 0,7

 Persoalan ini adalah persoalan teorema bayes untuk

evidence tunggal E dan hipotesis ganda H₁H₂H₃ dengan persamaan berikut :

 tampak bahwa setelah evidence E₃ teramati, kepercayaan

terhadap hipotesis H_i berkurang dan menjadi sama dengan kepercayaan terhadap H₂. kepercayaan terhadap hipotesis H₃ bertambah bahkan hampir sama dengan H₁ dan H₂.

 Misalkan setelah kita mengamati evidence E₃ kemudian

teramati pula adanya evidence E₁ hitung probabilitas terjadinya hipotesis:

a. H₁ jika kemudian teramati pula adanya evidence E₁ b. H₂ jika kemudian teramati pula adanya evidence E₁ c. H₃ jika kemudian teramati pula adanya evidence E₁

 Persoalan ini adalah persoalan teorema bayes untuk

evidence ganda E₁ E₃ dan hipotesis ganda H₁ , H₂ , H₃ dengan persamaan

 Misalkan setelah kita mengamati evidence E₁ teramati pula

adanya evidence E₂ , hitung probabilitas terjadinya hipotesis :

a. H₁ jika kemudian teramati pula adanya evidence E₂ b. H₂ jika kemudian teramati pula adanya evidence E₂ c. H₃ jika kemudian teramati pula adanya evidence E₂

Contoh soal lainnya :

 Si Ani mengalami gejala ada bintik-bintik di wajahnya.  Dokter menduga bahwa Si Ani terkena:

1. Cacar, dengan:

• Probabilitas munculnya bintik-bintik di wajah, jika Si

Ani terkena cacar; p(Bintik2|Cacar) = 0,8.

• Probabilitas Si Ani terkena cacar tanpa memandang

gejala apapun; p(Cacar) = 0,4

2. Alergi, dengan :

• Probabilitas munculnya bintik-bintik di wajah, jika Si

Ani alergi; p(Bintik2|Alergi) = 0,3.

• Probabilitas Si Ani terkena alergi tanpa memandang

3. Jerawat, dengan

• Probabilitas munculnya bintik-bintik di wajah, jika Si

Ani jerawatan; p(Bintik2|Jerawatan) = 0,9.

• Probabilitas Si Ani jerawatan tanpa memandang gejala

 Bintik-bintik di wajah merupakan gejala bahwa seseorang

terkena cacar.

 Observasi baru menunjukkan bahwa selain adanya

bintik-bintik di wajah, panas badan juga merupakan gejala orang terkena cacar.

 Antara munculnya bintik-bintik di wajah dan panas badan

Contoh 2 :

 Seorang dokter

mengetahui bahwa penyakit maningitis

menyebabkan ”stiff neck” adalah

 50%. Probabilitas pasien

menderita maningitis adalah 1/50000 dan probabilitas pasien

 menderita stiff neck

adalah 1/20 dari nilai-nilai tersebut didapatkan :

Contoh

Ada 3 penyakit terkuat, maka

probabilitas tiap penyakit diantara 3 adalah :

Probabilitas P(PENYAKIT 1) = 0.33 Probabilitas P(PENYAKIT 2) = 0.33 Probabilitas P(PENYAKIT 3) = 0.33

Probabilitas terjawab YA di setiap penyakit adalah :

P(YA|PENYAKIT 3) = 2/3 = 0.66 P(YA|PENYAKIT 2) = 2/5 =0.4 P(YA|PENYAKIT 1) = 2/5 = 0.4 Probabilitas jawaban YA di semua penyakit :

P(YA) = 0.33*0.66+0.33*0.4+0.33*0.4 = 0.2178+0.132+0.132

 Probabilitas YA di PENYAKIT 1 terhadap semua penyakit

P(PENYAKIT 1 | YA) = P(YA | PENYAKIT 1)*P(PENYAKIT 1) / P(YA) = 0.4*0.33/0.4818 = 0.274

 Probabilitas YA di PENYAKIT 2 terhadap semua probabilitas di semua

penyakit :

P(PENYAKIT 2 | YA) = P(YA | PENYAKIT 2)*P(PENYAKIT 2) / P(YA) = 0.4*0.33/0.4818 = 0.274

 Probabilitas YA di PENYAKIT 3 terhadap semua probabilitas di semua

penyakit :

P(PENYAKIT 3 | YA) = P(YA | PENYAKIT 3)*P(PENYAKIT 3) / P(YA) = 0.66*0.33/0.4818 = 0.452