Istilah Pemrograman Geometrik (PG) diperkenalkan oleh Duffin, Peterson, dan Zener pada tahun 1967. Istilah ini diambil dari masalah-masalah geometri yang dapat diformulasikan sebagai PG. Pemrograman Geometrik adalah suatu tipe masalah optimalisasi matematik yang ditandai oleh fungsi objektif dan fungsi-fungsi kendala yang memiliki bentuk khusus.
Dalam karya ilmiah ini PG dibedakan menjadi 2, yaitu PG takberkendala dan PG berkendala. Untuk menentukan solusi optimumnya digunakan metode yang sama,
dahulu kemudian dengan prosedur yang ada dihitung solusi optimum dari masalah dual tersebut. Setelah diperoleh solusi optimum masalah dual maka akan diperoleh solusi PG. Selain itu, ingin dicari pengaruh perubahan koefisien fungsi objektif masalah PG terhadap solusi optimumnya.
1.2 Tujuan
Tujuan penulisan karya ilmiah ini adalah mempelajari penyelesaian masalah PG, dan melakukan analisis sensitivitas terhadap PG takberkendala.
II LANDASAN TEORI
Pada bab ini akan diberikan teori yangmenjadi landasan pengerjaan karya ilmiah ini. Berikut diberikan beberapa definisi dan teorema yang digunakan dalam penulisan karya ilmiah ini.
2.1 Fungsi Kalkulus
Dalam subbab ini diberikan beberapa jenis fungsi kalkulus yang digunakan dalam penulisan karya ilmiah ini.
Definisi 2.1.1
(Fungsi Naik dan Fungsi Turun)
Jika f suatu fungsi dengan
( )
1( )
2f x < f x , ∀ <x1 x2 dalam suatu selang I maka f disebut fungsi naik pada selang I.
Jika berlaku f x
( )
1 > f x( )
2 , maka f disebutfungsi turun pada selang I.
(Stewart, 1998) Definisi 2.1.2 (Fungsi Eksponensial)
Fungsi eksponensial adalah fungsi yang berbentuk
( ) x
f x =a
dengan a suatu konstanta positif dan
x∈
. (Stewart, 1998) Definisi 2.1.3(Fungsi Eksponensial Natural)
Fungsi eksponensial natural adalah fungsi yang berbentuk
( ) x
f x = e
dengan e≈2.718 dan x∈ .
(Stewart, 1998)
Teorema 2.1.1 (Hukum Eksponen) Jika a> dan 0 a≠ , maka ( )1 x
f x =a
merupakan fungsi kontinu dengan daerah asal dan daerah nilai (0, )∞ . Khususnya,
0 x
a > untuk setiap x . Jika 0< < maka a 1
( ) x
f x =a merupakan fungsi turun. Jika a> 1
maka ( ) x
f x =a merupakan fungsi naik. Jika
, 0 a b≠ dan ,x y∈ , maka 1. x y x y a+ =a a 2. x x y y a a a − = 3. ( )x y xy a =a 4. ( )x x x ab =a b . (Stewart, 1998) Definisi 2.1.4 (Fungsi Logaritma)
Jika ( ) logf x = ax, maka f disebut fungsi
logaritma dengan bilangan pokok a, dengan a suatu konstanta positif,x> dan 0 x∈ .
(Stewart, 1998) Definisi 2.1.5 (Fungsi Logaritma Natural)
Jika ( ) logf x = ex=lnx, maka f disebut fungsi logaritma natural, dengan x> dan 0
.
x∈
(Stewart, 1998) Teorema 2.1.2 (Hukum Logaritma)
Jika a> , fungsi ( ) log1 f x = ax merupakan fungsi naik dengan daerah asal
(0, )∞ dan daerah nilai . Jika ,x y> dan 0
1. log ( ) loga xy = ax+logay
2. loga x logax logay y ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3. log (a xr)=rlogax. (Stewart, 1998) Teorema 2.1.3 (Hukum Logaritma Natural) Fungsi ( ) lnf x = x merupakan fungsi naik
dengan daerah asal (0, )∞ dan daerah nilai . Jika ,x y> dan r bilangan real sebarang, 0 maka 1. ln( ) lnxy = x+lny 2. ln x lnx lny y ⎛ ⎞= − ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ 3. ln(xr)=rlnx. (Stewart, 1998) Definisi 2.1.6 (Global Minimizer)
Misalkan f fungsi bernilai real yang terdefinisi pada himpunan n.
D⊆ Titik x *
di D adalah global minimizer untuk f di D jika
*
( ) ( )
f x ≤ f x untuk setiap x di D, dengan x vektor berukuran n.
(Peressini et al., 1988) Definisi 2.1.7 (Global Maximizer)
Misalkan f fungsi bernilai real yang terdefinisi pada himpunan n.
D⊆ Titik x *
di D adalah global maximizer untuk f di D jika
*
( ) ( )
f x ≥ f x untuk setiap x di D, dengan x
vektor berukuran n.
(Peressini et al., 1988) Teorema 2.1.4 (Pertaksamaan Holder) Misalkan ,x y∈ n, maka untuk 1,
p> 1 q> , dengan 1 1 1 p+ = , berlaku q 1 1 1 1 1 n n p p n q q i i i i i i i x y x y = = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≤ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠
∑
∑
∑
.(Boyd & Vandenberghe, 2004) 2.2 Pengoptimuman Konveks dan
Pemrograman Geometrik
Pengoptimuman konveks terdiri atas pemrograman linear dan pemrograman nonlinear. Pemrograman geometrik termasuk pemrograman nonlinear. Berikut ini diberikan beberapa landasan yang berhubungan dengan
pemrograman geometrik dan pengoptimuman konveks.
Definisi 2.2.1 (Himpunan Konveks)
Himpunan n
C⊂ disebut himpunan
konveks jika dan hanya jika untuk setiap x dan y di C, dan setiap λ dengan 0≤ ≤ λ 1 maka λx+ −(1 λ)y∈C.
(Peressini et al., 1988) Definisi 2.2.2 (Fungsi Konveks)
Misalkan f fungsi bernilai real yang terdefinisi pada himpunan konveks C di n maka
1. fungsi f disebut konveks di C jika ( [1 ] ) ( ) [1 ] ( )
f λx+ −λy ≤λf x + −λ f y
untuk setiap x dan y di C dan setiap λ dengan 0≤ ≤ , λ 1
2. fungsi f disebut konveks sempurna di C jika (f λx+ −[1 λ] )y <λf( )x +
[1−λ] ( )f y untuk setiap x dan y di C
dan setiap λ dengan 0< < . λ 1 (Peressini et al., 1988) Teorema 2.2.1 (Fungsi Konveks untuk Fungsi Satu Variabel)
Jika f terdiferensialkan dua kali pada ,I
maka f fungsi konveks pada I jika dan
hanya jika ''( ) 0f x ≥ untuk setiap x∈ Jika I.
''( ) 0
f x > untuk setiap x∈ maka f I,
disebut fungsi konveks sempurna.
(Peressini et al., 1988) Definisi 2.2.3 (Fungsi Afin)
Fungsi : n m
f → disebut fungsi afin
jika merupakan penjumlahan fungsi linear dan suatu konstanta, notasinya ( )f x =Ax b+ ,
dengan A matriks berukuran m n× , x vektor berukuran n, dan b vektor berukuran m .
(Boyd & Vandenberghe, 2004) Contoh 2.2.1
Misalkan didefinisikan fungsi f sebagai berikut 1 2 3 1 2 3 ( , , ) 2 1.5 3.2 f x x x = x +x + x +
(
)
12 3 2 1 1.5 3.2 x x x ⎛ ⎞ ⎜ ⎟ = ⎜ ⎟+ ⎜ ⎟ ⎝ ⎠ ,Teorema 2.2.2
Misalkan f fungsi konveks yang
terdefinisi pada himpunan konveks n.
C⊂
Jika λ λ1, ,...,2 λ adalah bilangan-bilangan k taknegatif, dengan λ λ1+ 2+ +... λk= dan 1
2 , ,..., k 1 x x x titik di ,C maka 1 1 ( ). k k i i i i i i f λ λ f = = ⎛ ⎞ ≤ ⎜ ⎟ ⎝
∑
x ⎠∑
x (Peressini et al., 1988) Bukti (lihat Peressini et al., 1988)Definisi 2.2.4 (Bentuk Umum Pengoptimum an Konveks)
Suatu pengoptimuman konveks didefinisi-kan mempunyai bentuk umum
0 ( Minimumkan ( ) terhadap ( ) 0, 1,..., i ) 0, 1,..., f fi i m h i p ⎫ ⎪⎪ ≤ = ⎬ ⎪ = = ⎪⎭ x x x (2.2.1) dengan f0,fi fungsi konveks untuk 1 i m≤ ≤ , h fungsi afin untuk 1i ≤ ≤i p
,
x adalah vektor berukuran n dengan0 untuk 1
j
x > ≤ ≤ . j n
(Boyd & Vandenberghe, 2004) Contoh 2.2.2 Minimumkan 2 2 0( ) 1 2 f x =x +x terhadap 1 1 2 2 2 1 1 2 ( ) 0 1 ( ) ( ) 0. x f x h x x = ≤ + = + = x x
Terlihat h1 merupakan fungsi kuadrat
sehingga menurut Definisi 2.2.3 h1 bukan
fungsi afin. Karena salah satu syarat sudah terbukti tidak terpenuhi, maka permasalahan pada Contoh 2.2.2 bukan pengoptimuman konveks.
Tetapi permasalahan pada Contoh 2.2.2 bisa dikonversi menjadi pengoptimuman konveks dengan cara sebagai berikut:
Karena 1+x22> maka agar pertaksamaan 0
1 2 2 0 1 x x ≤ + terpenuhi haruslah x1≤ 0 sehingga kendala pertaksamaan menjadi
1( ) 1 0
f x =x ≤ .
(i) Dapat diperlihatkan bahwa f0 dan f1
adalah fungsi konveks.
Bukti (lihat Lampiran 1). (ii) Fungsi kendala 2
1 2
(x +x ) = terpenuhi 0 jika dan hanya jika x1+x2 = , sehingga 0
fungsi h menjadi 1 h1( )x = +x1 x2=0,
sehingga berdasarkan Definisi 2.2.3, h 1
adalah fungsi afin.
Berdasarkan (i) dan (ii) maka permasalahan Contoh 2.2.2 dapat dimodelkan menjadi,
2 2 0 1 2 1 1 1 1 2 0 Minimumkan ( ) terhadap ( ) ( ) 0 f x x f x h x x ≤ ⎫ = + ⎪ = ⎬ ⎪ = + = ⎭ x x x (2.2.2)
Permasalahan (2.2.2) adalah pengoptimuman konveks karena f , 0 f fungsi konveks, dan 1
1
h fungsi afin.
Berikut ini diberikan dua definisi dan dua teorema yang berperan penting dalam pemrograman geometrik.
Definisi 2.2.5 (Fungsi Monomial)
Fungsi g yang terdefinisi untuk
1
( ,..., )x xn
=
x dengan xi> untuk setiap 0 1, 2,3,...,
i= n disebut fungsi monomial atau
monomial jika 1 2 1 2 ( ) a a... an, n g x =cx x x
dengan c konstanta positif dan ai∈ R . (Boyd & Vandenberghe, 2004) Contoh 2.2.3 Misalkan didefinisikan 2 0.15 1 2 1 2 ( , ) 2.3 f x x = x x− 2 0.15 1 2 1 2 ( , ) 2.3 . h x x = − x x−
Fungsi f adalah fungsi monomial sedangkan h bukan fungsi monomial, karena koefisien pada h bukan konstanta positif.
Berikut dapat diperlihatkan bahwa fungsi monomial tertutup terhadap operasi perkalian dan pembagian.
Misalkan f dan g fungsi monomial dengan
1 2 1 2 ( ) a a... an n f x =cx x x 1 2 1 2 ( ) b b... bn n g x =dx x x , maka (i) ( )( )fg x = f( ) ( )x g x 1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 ( ) ( ) ( ) 1 2 ( ... )( ... ) ... . n n n n a b a a b b n n a b a b a b n cx x x dx x x cdx + x + x + = =
Karena ,c d> maka 0 cd> , 0 xi > dan 0, untuk setiap ,a bi i∈ , maka ai+ ∈ bi untuk i=1, 2,..., ,n sehingga menurut Definisi
2.2.5 fg merupakan fungsi monomial. (ii)
( )
( ) ( ) f f g = g x x x 1 2 1 2 1 2 1 2 ... ... n n a a a n b b b n cx x x dx x x = (1 1) (2 2) ( ) 1 2 ... n n a b a b a b n c x x x d − − − ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟⎝ ⎠ . Karena c d, >0 maka c 0 d > , xi> dan 0untuk setiap ,a bi i∈ maka ai− ∈ , bi untuk i=1, 2,...,n sehingga menurut Definisi
2.2.5 f
g merupakan fungsi monomial.
Dari (i) dan (ii) terbukti bahwa fungsi monomial tertutup terhadap operasi perkalian dan pembagian.
Definisi 2.2.6 (Fungsi Posinomial)
Fungsi f yang terdefinisi di x=( , ,...,x x1
) n
x untuk setiap xj > disebut posinomial 0 jika 1 1 ( ) ( ) ,ij n m a i j i j f c x = = =
∑ ∏
xdengan ci konstanta positif dan aij∈ R untuk 1 i m≤ ≤ dan 1≤ ≤j n.
(Peressini et al., 1988) Dengan perkataan lain fungsi posinomial merupakan penjumlahan dari beberapa fungsi monomial.
Contoh 2.2.4
Didefinisikan fungsi f sebagai berikut
2 0.15 2 1 2 1 2 1 2 2 ( , ) 2.3 4 3 f x x = x x− + x x + x dengan x=( , )x x1 2 di 2, 1, 2 0. x x > Karena 1 2.3 0 c = > , c2= > , 4 0 c3= 3 0> , dan 1, 2 0,
x x > maka berdasarkan Definisi 2.2.6 f adalah fungsi posinomial.
Teorema 2.2.3 (Pertaksamaan Aritmatik-Geometrik (A-G))
Jika x x1, ,...,2 xn bilangan-bilangan real positif dan jika δ δ1, ,...,2 δ adalah bilangan-bilangan n positif dengan δ δ1+ 2+ +... δn= , maka 1
1 1 ( )i n n i i i i i x δ δx = = ≤
∑
∏
,dengan persamaannya berlaku jika dan hanya jika x1=x2= =... xn.
(Peressini et al., 1988) Bukti (lihat Lampiran 2)
Teorema 2.2.4 (Perluasan Pertaksamaan A-G)
Misalkan x x1, ,...,2 xn bilangan-bilangan positif. Jika δ δ1, ,...,2 δ bilangan-bilangan n positif dan λ δ δ= 1+ 2+ + , maka ... δn
1 1 , i n n i i i i i x x δ λ λ λ δ = = ⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ≥ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝
∑
⎠∏
⎝ ⎠persamaannya berlaku jika dan hanya jika
1 n i i j j x δ x λ = ⎛ ⎞ = ⎜ ⎟ ⎝
∑
⎠, untuk i=1, 2,...,n. (Peressini et al., 1988) Bukti (lihat Lampiran 3)2.3 Fungsi Lagrange
Misalkan diberikan masalah pengopti- muman yang mempunyai bentuk umum sebagai berikut Minimumkan ( ) terhadap ( ) 0 dengan 1, 2,..., , . i n f g i m ⎫ ⎪ = ⎬ ⎪ = ∈ ⎭ x x x (2.3.1)
Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah (2.3.1) adalah metode pengali Lagrange. Metode ini dimulai dengan pembentukan fungsi Lagrange yang didefinisikan sebagai berikut.
Definisi 2.3.1 (Fungsi Lagrange)
Misalkan diberikan masalah pengoptimuman (2.3.1). Fungsi Lagrange dari masalah tersebut didefinisikan
1 ( , ) ( ) m i i( ) i L f λg = = −
∑
x λ x x (2.3.2) dengan λ ≥ i 0. (Kuhn, 2006) Teorema 2.3.1Syarat perlu bagi sebuah fungsi objektif ( )
f x dengan fungsi kendala ( ) 0,gi x = dengan i=1, 2,..., ,m agar mempunyai nilai
maksimum lokal pada titik x*adalah turunan
parsial pertama dari fungsi Lagrange-nya yang didefinisikan pada (2.3.2) terhadap setiap
elemennya 0, j L x ∂ = ∂ dan i 0 L λ ∂ = ∂ untuk 1, 2,..., , i= m dan j=1, 2,..., .n (Kuhn, 2006)
III PEMROGRAMAN GEOMETRIK
Pemrograman geometrik (PG) merupakanpengoptimuman suatu fungsi posinomial terhadap kendala monomial atau posinomial.
Suatu PG didefinisikan mempunyai bentuk standar : 0 Minimumkan ( ) terhadap ( ) 1, 1,..., ( ) 1, 1,..., i i f f i k g i l ⎫ ⎪ ≤ = ⎬ ⎪ = = ⎭ x x x
(3.1)
dengan f0,fi fungsi posinomial,
g
i fungsimonomial, x vektor berukuran n, dan 0 untuk 1
j
x > ≤ ≤ . j n
(Boyd & Vandenberghe, 2004) Contoh 3.1
Misalkan diberikan pemrograman sebagai berikut. Minimumkan 1 1/ 2 1 0( , , ) 2.3 4 f x y z =x y− − z− + xz+ xyz terhadap 2 2 1/ 2 1 1 2 1 1/ 2 2 ( , , ) (1/ 3) (4 / 3) 1 ( , , ) 2 3 1 ( , , ) (1/ 2) 1, f x y z x y y z f x y z xy xyz x z g x y z xy − − − − − = + ≤ = + + ≤ = = dengan x y z, , >0.
Contoh 3.1 merupakan PG bentuk standar dengan n= , k = 2 dan l = 1. 3
Contoh 3.2
Misalkan diberikan suatu permasalahan sebagai berikut. Minimumkan 1 1/ 2 1 0( , , ) 2.3 4 f x y z =x y− − z− + xz+ xyz terhadap 2 2 1/ 2 1 1 2 ( , , ) (1/ 3) (4 / 3) 1 ( , , ) 3 1 ( , , ) ( 1/ 2) 1. f x y z x y y z f x y z xyz g x y z xy − − − = + ≤ = ≤ = − =
dengan x y z, , >0.
Contoh 3.2 bukan PG karena g bukan fungsi monomial.
Contoh 3.3
Misalkan diberikan fungsi objektif dari suatu permasalahan sebagai berikut
Maksimumkan f x x x( , , )1 2 3 =x x x1 2 3
dengan x x x1, ,2 3> . 0
Dapat diperlihatkan bahwa memaksimumkan
1 2 3
x x x ekuivalen dengan meminimumkan
1 2 3
1
x x x .
Misalkan f mempunyai nilai maksimum di titik * * * * 1 2 3 ( , , )x x x = x maka * ( ) ( ) f x ≥ f x (menurut Definisi 2.1.7) * * * 1 2 3 1 2 3 x x x x x x ⇔ ≥ * * * 1 2 3 1 2 3 1 1 x x x x x x ⇔ ≤ (karena * 1, , , ,2 3 1 x x x x x x*2, *3> ), 0 menurut Definisi 2.1.6, 1 2 3 1 x x x minimum di titik * * * * 1 2 3 ( , , )x x x = x .
Jadi terbukti bahwa memaksimumkan x x x1 2 3
ekuivalen dengan meminimumkan
1 2 3
1
x x x ,
untuk x x x1, ,2 3> . 0
3.1 Pengubahan PG Standar ke Bentuk Umum Pengoptimuman Konveks
Dengan menggunakan hukum eksponen-sial dan hukum logaritma maka bentuk PG standar pada (3.1) dapat diubah menjadi pengoptimuman konveks dengan cara sebagai berikut:
(i) Pada fungsi monomial
1 2 1 2 ( ) ... n n a a a g x =cx x x disubstitusikan persamaan ln i i i i y y = x ⇔x =e sehingga fungsi g menjadi 1 2 1 1 2 2 1 1 2 2 ( , ,..., ) ( ) ( ) ...( ) ... . n n n n n y y y y y y y y y a a a a a a g e e e c e e e ce e e = =
