Neutrino Majorana dan Osilasinya

Abstrak—Asumsi dari model standar bahwa partikel neutrino tidak bermassa. Partikel tersebut unik karena dari fermion tergolong bermassa kecuali fermion yang tidak bermassa yaitu neutrino. Sifat-sifat utama neutrino selain tidak bermassa, juga tidak bermuatan. Setiap partikel pasti memiliki anti-partikel (pasangan). Karena neutrino tidak bermuatan maka pasti anti-partikelnya (anti-neutrino) tidak bermuatan juga. Dengan kata lain partikel tersebut dapat disebut sebagai partikel Majorana. Hal ini dapat terjadi jika neutrino tidak bermassa dan tidak bermuatan atau sangat netral. Dasar dari uraian ini adalah persamaan Weyl yang diturunkan dari persamaan Dirac ultra-relativistik (ν ≈ c  m = 0). Kemudian dihubungkan dengan persamaan Dirac untuk elektron dan anti-partikelnya (positron) yang dipengaruhi medan elektromagnetik. Jika elektron dan positron tidak bermuatan maka partikel tersebut diidentifikasi sebagai partikel Majorana. Perbedaan utamanya adalah pada komponen helisitas yang dihubungkan dengan lagrangian. Pengamatan 0νββ-neutrino massif merupakan partikel Majorana. Kata Kunci—Persamaan Dirac, Persamaan Weyl, Neutrino Majorana.

I. PENDAHULUAN

edudukan neutrino dalam deretan partikel elementer pertama kali dipostulatkan tahun 1930 oleh W. Pauli untuk mempertahankan hukum kekekalan energi dan paritas pada kasus peluruhan β. Pada awalnya, eksperimen dengan menggunakan metode Fermi-Perrin didapatkan massa neutrino ≤ 500 eV. Nilai massa ini jauh lebih kecil dari pada massa elektron. Sehingga lebih sering dikatakan neutrino tidak bermassa. Kemudian pada tahun 1957, berhasil dideteksi helisitas pada proses peluruhan β. Dan hasilnya neutrino hanya memiliki helisitas kiri saja.

Partikel neutrino secara elektrik netral, dan di alam ini, partikel elementer dapat digolongkan menjadi fermion Dirac atau menjadi fermion Majorana. Kemungkinan yang pertama kali muncul adalah ketika neutrino sebagai fermion Majorana. E. Majorana mengungkapkan bahwa fermion tersebut netral dan massif dengan momentum tertentu yang dianalogikan hanya dua keadaan helisitas dimana menyatakan neutrino dan anti-neutrino adalah partikel yang sama. Kemudian kemungkinan yang kedua menyatakan bahwa neutrino Dirac merupakan medan fermion 4-komponen dimana ada perbedaan dari medan anti-neutrino.

Kejadian eksperimental baik secara langsung ataupun

tidak langsung menunjukkan bahwa neutrino merupakan fermion massif dengan massa lebih kecil dari 2 eV. Pendeteksian massa neutrino sangat penting karena teori osilasi antara keadaan neutrino flavor sudah teramati secara eksperimen. Osilasi neutrino pertama kali dideskripsikan oleh B. Pontecorvo sebagai suatu konsekuensi dari pendeteksian sistem kaon netral.

Osilasi neutrino dalam vakum antara dua keadaan flavor sekarang diasumsikan bahwa neutrino sebagai fermion Majorana dan ada rapat probabilitas transisi untuk neutrino helisitas kiri (ultra-relativistic limit) serta untuk neutrino helisitas kanan berat (non-relativistic limit). Model ini dikembangkan oleh E. Sassaroli dimana osilasi neutrino Majorana dibangun dari keadaan flavor sebagai superposisi keadaan massa.

Dengan asumsi bahwa keadaan massa neutrino sebagai plane wave dengan momentum tertentu. Pertama akan didapatkan persamaan Majorana 2-komponen kemudian menunjukkan kuantisasi kanonik untuk medan Majorana. Serta menghitung amplitudo probabilitas transisi antara dua keadaan neutrino flavor (e,μ) yang berbeda dengan syarat batas rapat probabilitas.

II. URAIANPENELITIAN

Didalam mekanika kuantum, sistem partikel dianggap bergerak dengan laju rendah yaitu jauh lebih kecil dari laju cahaya. Teori kuantum juga disebut teori kuantum klasik. Persamaan utama dalam teori kuantum adalah persamaan Schrodinger

Mengingat persamaan Schrodinger tidak lain adalah ungkapan dari operator energi total yaitu Hamiltonian maka fokus utama perluasan kuantum untuk tinjauan teori relativitas adalah energi relativistik.

Energi relativistik partikel bebas bermassa m adalah Persamaan ini jika diterapkan dalam persamaan Klein-Gordon akan menghasilkan solusi energi negatif. Untuk

Neutrino Majorana

dan Osilasinya

Mahendra Satria Hadiningrat

Ϯ

_{dan Agus Purwanto}

ђ

Jurusan Fisika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Institut Teknologi Sepuluh Nopember (ITS)

Jl. Arief Rahman Hakim, Surabaya 60111

E-mail

:

Ϯ

hendra_qua@ physics.its.ac.id,

ђ

purwanto@physics.its.ac.id

K





            V m t i 2 2 2   4 2 2 2 2 c m c p E   2.1 2.2

mengatasi hal ini, maka bentuk energinya harus berorde I

Sehingga lebih lanjut didapatkan persamaan Dirac dalam bentuk kovarian

Keberhasilan utama persamaan Dirac adalah rapat probabilitas selalu positif

Persamaan Dirac seperti halnya persamaan Klein-Gordon juga menawarkan energi negatif, untuk memperbaikinya, Dirac mengusulkan adanya teori baru yaitu teori lobang (hole) dimana energi negatif diinterpretasikan sebagai partikel yang mirip elektron namun bermuatan positif.

2.1 Partikel Massif Bermuatan

Kembali pada persamaan Dirac dimana solusinya menghasilkan keberadaan partikel elektron dan positron. Sekarang didefinisikan persamaan Dirac untuk elektron yang dipengaruhi oleh medan elektromagnetik

Dan persamaan Dirac untuk positron yang dipengaruhi oleh medan elektromagnetik

Dari perbandingan persm.(2.6) dan (2.7) diinterpretasikan ssebagai persamaan Dirac untuk elektron dan anti-partikelnya dimana muatannya berlawanan dan fungsi gelombang yang menyatakan bahwa partikel elektron berbeda dengan anti-partikelnya. Dari uraian di atas, jelas bahwa konsekuensi ini terjadi jika melalui transformasi sekawan muatan yang didefinisikan

2.2 Partikel tak Bermassa

Pada tahun 1930, W. Pauli mempostulatkan keberadaan neutrino yang menjamin adanya konservasi energi dan momentum. Di dalam model standar, neutrino diasumsikan hampir tak bermassa atau dapat dikatakan tak bermassa (m=0), yang bergerak dengan kecepatan mendekati kecepatan cahaya (ultra-relativistik).

Lebih lanjut, hasil dari observasi eksperimen yaitu momentum sudut neutrino selama peluruhan β, sama. Hal ini menunjukkan bahwa neutrino mempunyai spin ½. Konsekuensinya adalah pada tahun 1929, H. Weyl mengajukan persamaan 2-komponen untuk mendeskripsikan partikel tak bermassa berspin ½. Secara eksperimen, tahun 1957 telah terbukti adanya paritas dari interaksi lemah yang diajukan oleh Landau, Salam, Lee dan Yang dimana mengindikasikan persamaan Weyl merupakan persamaan dasar dari persamaan gerak neutrino.

Selanjutnya diuraikan persamaan Weyl yang diturunkan

dari persamaan Dirac ultra-relativistik (ν ≈ c  m = 0)

Persamaan ini memberikan konsekuensi, tidak perlu ada β dan hanya mensisakan matriks α dimana sekarang diidentifikasi menjadi matriks spin Pauli 2x2 σ. Sehingga fungsi gelombangnya mengandung spinor 2-komponen.

Analogi dari persm.(2.9), didefinisikan persamaan gelombang 2-komponen yang mendeskripsikan neutrino

Solusi persamaan ini diberikan

Dari persm.(2.11) disubstitusi ke persm.(2.10) lebih lanjut didapatkan

Energi E merupakan energi relativistik untuk partikel tak bermassa.

Dikarenakan partikel bergerak dalam arah sembarang, maka untuk lebih memudahkan persoalan, partikel bergerak dipilih dalam arah sumbu-z

Kemudian diperoleh dalam bentuk

Untuk mendapatkan helisitas kanan, ditentukan dahulu spinor 2-komponen, dengan mencari nilai eigen dan vektor eigen, untuk nilai eigen λ = +1, dan vektor eigen

Jika ditinjau dalam bahasa spin adalah spin-up, dimana menginterpretasikan arah putar spin σ paralel (orientasi sama) terhadap arah momentum p, atau dapat disebut juga helisitas kanan. Persamaan ini mengartikan bahwa partikel tidak bermassa dengan helisitas kanan dimana telah terbukti secara eksperimen untuk partikel anti-neutrino.

Selanjutnya akan diuraikan untuk mendeskripsikan partikel tidak bermassa keadaan helisitas kiri, dengan cara yang sama seperti uraian di atas. Dari persm.(2.10), matriks spin Pauli σ menjadi –σ.













_. 2 mc c i t i        



i











m







0

2 4 2 3 2 2 2 1 *

_

_

_

_

_





    



i



e



Am





0



_i







_e



_A



_m





c



0

    T c

_C







ˆ













_. 2 mc c i t i        





   ic.        p c t i



.      ic.

 

e   u

 

p E x p Et i      _  . / 3 2 2 1 

 

p c pu

 

p Eu  



.  

c

p

E



₀ k p p _zˆ

 

0

 

0 0   _  _ u p p u z z

 

_        0 1 0 u 2.3 2.4 2.5 2.6 2.7 2.8 2.9 2.10 2.11 2.12 2.13 2.14 2.15 2.16

Kemudian diperoleh lebih lanjut dalam bentuk

Untuk nilai eigen λ = -1 dan vektor eigen

Dalam bahasa spin adalah spin-down, dimana menginterpretasikan arah putar spin σ anti-paralel (berlawanan orientasi) terhadap arah momentum p, atau dapat juga disebut helisitas kiri. Persamaan ini mengartikan bahwa partikel tidak bermassa dengan helisitas kiri dimana realitas alam hanya ada partikel helisitas kiri yaitu neutrino dan secara tidak langsung terbukti melalui ekperimen.

2.3 Partikel tak Bermuatan

Setiap partikel mempunyai anti-partikelnya. Bagaimana jika partikel tersebut adalah neutrino yang tidak bermuatan q=0. Dari penjelasan ini timbul satu pertanyaan yaitu bagaimana hasil transformasinya dengan menggunakan teori sekawan muatan karena muatan partikel neutrino dan anti-neutrinonya sama (kedua-duanya netral). Hasil dari transformasinya pasti ada yang sedikit berbeda. Konsekuensi ini menginterpretasikan sebagai partikel yang juga bisa disebut partikel Majorana. Kasus ini dapat terjadi jika neutrino tidak bermuatan q=0 dan tidak bermassa m=0 (sangat netral).

Kembali pada persm.(2.6) dan (2.7), jika muatannya e=q=0 maka elektron = positron = 0, akan didapat lebih lanjut

Dikarenakan muatannya nol atau netral, maka fungsi gelombang dari kedua persamaan ini adalah identik dimana menginterpretasikan partikel dan anti-partikelnya sama yang dihubungkan melalui

Konsekuensi ini diidentifikasi sebagai partikel Majorana. 2.4 Representasi

2.4.1 Representasi Dirac

Dari persamaan Dirac yang telah diuraikan sebelumnya didapat

Matriks ᵞμ pada persamaan ini memenuhi matriks Dirac, didefinisikan

Dan matriks sekawan muatan didefinisikan

Dan matriks ini memiliki sifat

2.4.2 Representasi Weyl

Telah kita fahami sebelumnya bahwa persamaan Weyl untuk neutrino diturunkan dari persamaan Dirac ultra-relativistik dengan bentuk

Untuk partikel tidak bermassa helisitas kanan dan helisitas kiri masing-masing diberikan

Dimana solusi dari persamaan ini adalah

Dengan u±(p) adalah spinor 2-komponen, maka Φ± adalah matriks 2x1.

Karena neutrino bergerak mendekati kecepatan cahaya, maka untuk lebih memudahkan tinjauan persamaan tersebut, diberikan hubungan fungsi gelombang ψ dari persamaan Weyl untuk neutrino dan fungsi gelombang Φ± untuk partikel tak bermassa dengan helisitas kanan dan helisitas kiri

Dengan ψ sekarang menjadi spinor 4-komponen dari persamaan Weyl untuk neutrino.

Kembali pada persm.(2.26), dikarenakan ψ sekarang menjadi spinor 4-komponen, maka matriks Pauli σ tersebut tidak berlaku sehingga digantikan kembali oleh matriks 4x4 α yang mengandung matriks Pauli 2x2. Sehingga dari konsekuensi ini, akan didapat matriks ᵞμ dalam representasi Weyl, didefinisikan Dan  













p

c

t

i







.











i

c





.

 

0

 

0 0   _  _{ u} p p u z z

 

_        1 0 0 u



i











m







0









c



0

m

i



 





 

c



i











m







0

                      0 0 , 0 0 , 0 0 0 0 5 0        i D i i D D I I         0 0 2 2 0 2









i i C_D T D D D D T D D D C C C C C   _         1 1













₂ . mc c i t i        











i

c



.

                 . .         c i t i c i t i

 

e   u

 

p E x p Et i      _  . / 3 2 2 1           _         0 0      _W 3 2 1 0 5 W W W W W

i



























I

I

0

0

2.17 2.18 2.19 2.20 2.21 2.22 2.23 2.24 2.25 2.26 2.27 2.28 2.29 2.30 2.31

Memenuhi sifat-sifat

Matriks sekawan muatan dalam representasi Weyl juga memenuhi

2.4.3 Representasi Majorana

Representasi Majorana dibangun dari persamaan Dirac riil

Persamaan ini riil jika dan hanya jika α adalah matriks riil 4x4 (α1,α3) dan β adalah imajiner (α2). Kemudian jika

diatur

Dari sifat matriks ᵞμ sebelumnya, akan didapatkan matriks ᵞμ dalam representasi Majorana

Dan

III. KUANTISASI KANONIK MEDAN MAJORANA Pada tahun 1937 E. Majorana mengajukan paper yang berjudul teori simetrik untuk elektron dan positron melalui generalisasi dari prinsip variasi untuk medan dimana memenuhi statistik Fermi-Dirac. Jika teori ini diaplikasikan ke dalam fermion netral yang memiliki momentum tertentu kemudian hanya ada 2 keadaan helisitas. Teori Majorana menyatakan bahwa fermion Majorana merupakan antipartikelnya sendiri. Lebih lanjut akan mendiskusikan persamaan gerak untuk fermion netral namun dengan menggunakan teori 2-komponen yang dikembangkan oleh Case.

Diperkenalkan medan Majorana

Kemudian didefinisikan transform fourier balik

Maka medan Majorana menjadi

Asumsi awal untuk solusi energi positif dapat ditulis sebagai

Untuk solusi energi negatif

Dengan ak+, ak- dan ak+*T, ak-*T masing-masing adalah

operator anihilasi dan operator kreasi.

Diperkenalkan spinor u dan ν untuk menandakan spin partikel dan anti-partikel, spinor ur dan νr ternormalisasi adalah

Dengan demikian secara lengkap dari persm.(3.3) diberikan persamaan medan Majorana 4-komponen

Kita mengamati bahwa persamaan medan Majorana 4-komponen dapat ditulis sebagai superposisi dari keadaan energi positif dan keadaan energi negatif.

IV. BAGAIMANA CARA MEMBUKTIKAN BAHWA NEUTRINO MERUPAKAN PARTIKEL MAJORANA

Jika neutrino merupakan partikel Dirac maka keadaan neutrino νL dan νL diproduksi, namun jika neutrino merupakan

partikel Majorana maka keadaan neutrino νL dan (νL)c

 





T W W T i W i W T W W W W x W

i

* 5 5 * * 0 0 5 4 4 2 5

0

,

1































T W T W W W C C C C  1  * 0 .        _{ }  

_

_

_

m i t  3 3 1 1 2_,

_

_

_,

_

_





                                     1 1 3 3 2 2 2 2 3 3 1 1 2 2 0 0 0 , 0 0 0 0 , 0 0                 i i i i M M M M

















0 1 2 3 2 ₂ 5

0

0















M

i

M M M M

 

 

_{ }

 

_        x x i x x M











2 *

 

 

 

 

_

_{ }

 



   x k i k x k i k e t k d x e t k d x       . * 3 3 * . 3 3 2 2













 

 



                                                 x k i k k k k x k i k k k k M e f e c d e d c e f k d N x     . * * . * * 3 3 2                                                      k m c a k m c a d c e f k k k k k k   2 1 * *                                                       k m c a k m c a f e c d T k T k k k k k   * 21 1 * * *

   

*

   

₂ * mc E p p p u p u P r T r r T r      _

_

_

_

 

 

 





                          1 . 3 3 2 2 h x ik h h M hk e m m k h h a k d N x        

 

_h ikx h T e k h m m k h h h a* . 2               









  2.32 2.33 2.34 2.35 2.36 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7

diproduksi (ketika interaksi lemah invarian kiral), kemudian saat produksi neutrino memiliki helisitas tertentu, walaupun keadaan eigen neutrino Majorana χ=νL+(νL)c dimana tidak

dapat direalisasikan, dengan mengartikan bahwa neutrino diproduksi secara terpisah. Dalam hal ini 0νββ (peluruhan dua beta tanpa neutrino) tidak dapat diaplikasikan. Kemudian pertanyaan yang muncul yang disini adalah bagaimana cara membuktikan bahwa neutrino merupakan partikel Majorana.

Jika neutrino merupakan partikel Majorana maka bilangan lepton tidak konservatif, sehingga bauran dan osilasi antara keadaan neutrino

Dimana keadaan neutrino νL dan (νL)c ditransformasi ke dalam

superposisi keadaan neutrino bermassa ν1 dan ν2.

dengan matriks uniter U

dimana keadaan awal neutrino elektron bergantung t

persamaan ini disekawan hermit dari sekawan muatan

didefinisikan amplitudo transisi neutrino elektron ke anti-neutrino elektron, akan didapatkan

Osilasi antara neutrino νL dan (νL)c terjadi dengan

probabilitas transisi

Dimana diasumsikan p>>m1,m2, m1 dan m2 adalah massa

neutrino ν1 dan ν2.

Dalam hal osilasi neutrino, neutrino dapat ditransformasi menjadi anti-neutrino atau sebaliknya. Jika neutrino νL dan

(νL)c diproduksi secara terpisah dan memiliki helisitas

berlawanan maka transisi semacam ini saat osilasi neutrino dalam vakum harus hadir. Kemudian hanya ada satu kemungkinan untuk membuktikan bahwa neutrino merupakan partikel Dirac bukan partikel Majorana, yaitu melalui deteksi transisi neutrino νL ke anti-neutrino steril νR saat osilasi

neutrino. Transisi osilasi neutrino Majorana (νL(νR)c) tidak

dapat diamati jika asumsi massa (νR)c sangat besar.

V. KESIMPULAN/RINGKASAN

Berdasarkan hasil pembahasan, maka dapat ditarik kesimpulan ;

1. Sifat utama yang menarik disini adalah partikel neutrino tidak bermassa dan tidak bermuatan begitu juga anti-partikelnya, sehingga diidentifikasi sebagai partikel Majorana

2. Persamaan Weyl merupakan persamaan dasar dari persamaan gerak neutrino, dimana dapat dikatakan persamaan Weyl diturunkan dari persamaan Dirac ultra-relativistik (ν ≈ c  m = 0)

3. Persamaan Weyl akan menghasilkan satu keadaan helisitas dari masing-masing neutrino dan anti-neutrino, dimana untuk neutrino hanya memiliki helisitas kiri (left-handed), sedangkan anti-neutrino hanya memiliki helisitas kanan (right-handed). Hasil teoretik ini terkonfirmasi melalui eksperimen yang dilakukan oleh M. Goldhaber, L. Grodzins dan A. Sunyar (Brookhaven National Laboratory) tahun 1958.

4. Pengamatan peluruhan 0νββ akan didapat hasil langsung bahwa neutrino massif νi merupakan partikel Majorana.

DAFTARPUSTAKA

[1] Aste, A., A Direct Road to Majorana Fields, Symmetry 2, 1776-1809; doi:10.3390/sym2041776, 2010

[2] Bilenky, S.M., Introduction to the Physics of Massive and Mixed

Neutrinos, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2010

[3] Bilenky, S.M., A Lecture on Neutrino Masses, Mixing and Oscillations, ArXiv : hep-ph/0210128, 2002

[4] Beshtoev Kh. M., Is Neutrino produced in standard weak interactions a

Dirac or Majorana particle?, ArXiv : hepph/0912.0210v1, 2009

[5] Beshtoev Kh. M., Majorana neutrino. Is double neutrinoless beta decay

possible in the framework of the weak interactions? How to prove that

neutrino is Majorana particle, ArXiv : hep-ph/0707.4557v1, 2007

[6] Fatimah H, I., Asimetri Lepton dalam Model Seesaw Minimal dengan

Bauran Tribimaksimal, Tesis, Fisika ITS, 2012

[7] Giunti, C., Kim, C.W., Quantum Mechanics of Neutrino Oscillations, ArXiv : hep-ph/0011074, 2000

[8] Giunti, C., Kim, C.W., No Effect of Majorana Phases in Neutrino

Oscillations, ArXiv : hep-ph/1001.0760v2, 2010

[9] Giunti, C., Kim, C.W., Fundamental of Neutrino Physics and

Astrophysics, Oxford University Press, New York, 2007

[10] Greiner, W., Relativistic Quantum Mechanics, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1990, 1997

[11] Gross, F., Relativistic Quantum Mechanics and Field Theory, John Wiley and Sons, 1993

[12] Halzen F., Martin A.D., Quarks and Lepton : An Introductory Course

in Modern Particle Physics, John Wiley and Sons, New York, 1984

[13] Kayser, B., On the quantum mechanics of neutrino oscillations, Physical Review D, Volume 24, Number 1, 1981

[14] Mandl, F., Shaw, G., Quantum Field Theory, John Wiley and Sons Ltd, 1984

[15] Muller-Kirsten, H.J.W., Wiedemann, A., SUPERSYMMETRY : An

Introduction with Conceptual and Calculational Details, World

Scientific Publishing Co.Inc, USA, 1987

[16] Perez, Y.F., Quimbay, C.J., Majorana neutrino oscillations in vacuum, ArXiv : hep-ph/1103.2781v2, 2011

[17] Purwanto, A., Fisika Kuantum, Gava Media, Yogyakarta, 2006 [18] Rani, E., Medan Terkuantisasi dan Terapannya dalam Hamburan

Compton,Tugas Akhir, Fisika ITS, 2001

 

_{1 2} 2 1 cos sin sin cos





















     c e e

   

_             c e c e e e U U U U U 2 1 2 1 cos sin sin cos









 

i i ei e U  



  2 1 0

 





2

 

* 1 0 c ei i i c e



U  





 





   

t A e c e c e e









 

 

iEt ei i c ei i e U U  



 2 1 *

 







 





 

c



e e c e e c e e L A A P







,  *













        L E m 4 sin 2 sin2

_

2 122 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5 4.6

[19] Sassaroli, E., Flavor Oscillations in Field Theory, ArXiv : hep-ph/9609476v2, 1996

[20] Sassaroli, E., Two Component Theory of Neutrino Flavor Mixing, ArXiv : hep-ph/9710259v1, 1997

[21] Schwabl, F., Advanced Quantum Mechanics, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 1997

[22] Sukamto, H., Osilasi Neutrino dan Perambatannya pada Materi, Tugas Akhir, Fisika ITS, 2007

[23] Wijayani, P.S., Model Standar bagi Interaksi Elektrolemah

SU(2)XU(1), Tugas Akhir, Fisika ITS, 2005

[24] http:/google.com/Howard E. Haber., Practical Methods for Threating

Majorana Fermions, IPPP, Durham, UK., Pre-SUSY 2005, July 13th,

2005

[25] http:/google.com/Bilenky, S.M., Neutrino Majorana-Ettore