Pertemuan 11 s.d. 13 STATISTIKA INDUSTRI 2. Nonparametric. Skala Pengukuran...(review) 27/05/2016. Statistik Non Parametrik

(1)

STATISTIKA INDUSTRI 2

TIN 4004

Pertemuan 11 s.d. 13

• Outline:

– Nonparametric Statistics

• Referensi:

– Walpole, R.E., Myers, R.H., Myers, S.L., Ye, K.,

Probability

& Statistics for Engineers & Scientists ,

9

th

_{Ed. Prentice Hall, 2012.}

Nonparametric

• Distribution-free methods

• Analysis of ranks

• Small sample size

• Disadvantages:

– Do not utilize all information provided by the

sample

– Less efficient than parametric procedure

Statistik Non Parametrik

Statistik Non parametrik

• Cabang ilmu statistik yang mempelajari prosedur-prosedur inferensial dengan kesahihan yang tidak bergantung kepada asumsi-asumsi yang kaku tapi cukup pada asumsi yang umum.

• Asumsi-asumsi yang kaku, misal: syarat kenormalan suatu data, ragam yang sama, dll

SI 2 - Statistik Non Parametrik 4

Uji Statistik Parametrik

• Suatu uji yang modelnya menetapkan adanya syarat-syarat tertentu (asumsi-asumsi) dari sebaran (distribusi) data populasinya. • Banyak digunakan untuk menganalisis data interval dan rasio • Biasanya datanya besar : > 30

Parametrik Vs Non Parametrik

Parametrik

• menuntut ukuran – ukuran tingkat taraf tinggi

• Ukuran taraf / tingkat tinggi adalah sesuatu yang menghasilkan ukuran-ukuran yang digunakan untuk menunjukkan arti penting dari perbedaan yang terjadi. • Misal: Ukuran berat (kg)

Perbedaan (0 - 485 kg) sama dengan perbedaan (485 - 980 kg)

SI 2 - Statistik Non Parametrik 5 Non Parametrik

 Terjadi ukuran ordinal (bukan taraf tinggi)

 Misal:

Preferensi konsumen atas 5 jenis barang (1,2,3,4,5) 3 memiliki preferensi > dari 2 tapi perbedaannya belum tentu 1 Tingkatan eksekutif 4 manager (1,2,3,4)

Pengujian dalam ukuran ordinal dengan cara memberi rank. Contoh : Ukuran berat : 3,4 1,8 5,8

Rank : 2 1 3

Skala Pengukuran...(review)

Semua skala pengukuran dapat diklasifikasikan kedalam empat jenis skala

berikut ini :

1.Nominal

• Juga disebut sebagai skala kategorik

• Merupakan skala pengukuran yang bersifatmembedakansaja

• Angka atau simbol yang diberikan tidak memiliki maksud kuantitatif hanya menunjukkan ada atau tidak adanya atribut atau kharakteristik yang diteliti

• Contoh : Jenis kelamin seseorang, status perkawinan, kepesertaan keluarga berencana, lulus atau tidak dll.

• Bekerja dengan data ini, peneliti harus menentukan angka untuk tiap kategori, sebagai contoh : 1 untk wanita dan 2 untuk laki-laki (angka ini hanya representasi dari kategori atau kelas-2 dan tidak meunjukkan bilangan dari suatu atribut atau karakteristik.

(2)

2.Ordinal

• Skala pengukuran yang sifatnyamembedakandanmengurutkan

• Setiap sub kelas dapat dibandingkan dengan yang lain dalam hubungan “ lebih besar” atau “ lebih sedikit”.

• Contoh: misalkan seseorang diminta untuk mengurutkan tiga buah produk berdasarkan tingkat kepuasan terhadap produk.

Not at all satisfied Product A Product B Product C

Very satisfied

Skala Pengukuran

Brand Rank A 1 B 2 C 3 7 SI 2 - Statistik Non Parametrik

3. Interval

• Skala pengukuran yang bersifat

membedakan

,

mengurutkan

dan

memiliki jarak yang sama

• Tidak memiliki nilai nol mutlak.

• Contoh

:

Suatu suhu 80 F tidak dapat dikatakan dua kali lebih panas

dari suhu 40 F, karena kita tahu bahwa 80 F, pada skala

suhu yang lain, seperti celcius adalah 26,7 C sedangkan 40

F = 4,4 C. meskipun 80 F kelihatannya dua kali 40F ,

seseorang tidak dapat mengatakan bahwa 80F dua kali

lebih panas dari 40F, karena pada skala yang lain panasnya

tidak dua kalinya.

Skala Pengukuran

8 SI 2 - Statistik Non Parametrik

SI 2 - Statistik Non Parametrik

4. Ratio

• Skala pengukuran yang sifatnyamembedakan, mengurutkandan

mempunyai nilai nol mutlak.

• Nilai nol mutlak adalah nilai dasar yang tidak bisa diubah meskipun menggunakan skala yang lain.

• Karenanya nilai-nilai dalam skala ini dapat dibandingkan dan dapat dilakukan operasi matematis seperti penjumlahan pengurangan, bagi ataupun perkalian.

• Contoh:

100 Kg memiliki berat dua kali 50 kg 1000 meter memiliki panjang 20 kali 50 meter dll

Skala Pengukuran

9

Statistik Non Parametrik

Kelebihan statistik non parametrik

1. Asumsi yang digunakan minimum sehingga mengurangi kesalahan penggunaan 2. Perhitungan dapat dilakukan dengan cepat dan mudah

3. Konsep dan metode nonparametrik mudah dipahami bahkan oleh seseorang dengan kemampuan matematik yang minim

4. Dapat diterapkan pada skala peubah kualitatif (nominal dan ordinal) 5. Distribusi data tidak harus normal

SI 2 - Statistik Non Parametrik 10 Kekurangan statistik non parametrik

1. Bila digunakan pada data yang dapat diuji menggunakan statistika parametrik maka hasil pengujian menggunakan statistik nonparametrik menyebabkan pemborosan informasi

2. Pekerjaan hitung-menghitung (aritmetik) karena memerlukan ketelitian terkadang menjemukan

Statistik non parametrik

• Sampel ukuran kecil / tidak melibatkan parameter populasi

Kapan digunakan??

Langkah – langkah pemilihan metode statistik

(3)

Langkah – langkah pemilihan metode statistik - 2

ya tidak NON PARAMETRIK LIHAT JENIS

DISTRIBUSINYA

NON PARAMETRIK PARAMETRIK

4. Apakah varians kelompok sama?

5. Bagaimana jenis skala pengukuran data?

INTERVAL RASIO NOMINAL ORDINAL

Langkah2

pemilihan

metode

statistik

Parametrik Vs Non Parametrik

SI 2 - Statistik Non Parametrik ₁₅

Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik

Langkah – langkah pengujian hipotesis:

1. Menentukan formulasi hipotesis

2. Menentukan taraf nyata dan nilai tabel

3. Menentukan kriteria pengujian

4. Menentukan nilai uji statistik

5. Membuat kesimpulan

SI 2 - Statistik Non Parametrik ₁₆

Pengujian Hipotesis Statistik Non Parametrik

SI 2 - Statistik Non Parametrik ₁₇

Uji Non Parametrik yang akan dipelajari:

• Uji Tanda (Sign Test)

• Uji Urutan Bertanda Wilcoxon

• Uji Korelasi urutan Spearman

• Uji Mann-Whitney

• Uji Kruskal – Wallis (H Test)

• Uji Run

• Uji Median

• Uji kolmogorov

Sign Test

• Used to test hypotheses on a population median

• Population mean = population median when

distribution is symmetric

• In testing the 𝐻

0

:

𝜇 =

𝜇

0

against an appropriate

alternative, with random sample size = n, replace each

sample value exceeding

𝜇

0

with “+”, and each sample

value exceeding

𝜇

0

with “-”

• The sign test is applicable only in situations where 𝜇

0

cannot equal the value of any of the observations

• Binomial random variable 𝑋, representing the number

(4)

Sign Test

• Test 𝐻

0

that the number of “+” is a value of a

random variable having the binomial distribution

with 𝑝 = 1/2.

• P-values are calculated using binomial

distribution

• Reject 𝐻

0

if proportion of “+” is sufficiently less

than ½, when the value 𝑥 of our random variable

is small. 𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 ≤ 𝛼

Sign Test

Reject 𝐻

0 , jika P-value ≤ α

Sign Test

• Contoh:

Sign Test

• Contoh:

Sign Test

(5)

Wilcoxon Signed-Rank Test

• Symmetric continuous distribution

• Subtract sample value with 𝜇0, rank it from

absolute smallest to the largest one

• When there are more than one differences are

the same, rank it with the average number of

the differences

Wilcoxon Signed-Rank Test

• Test Procedures

Wilcoxon Signed-Rank Test

• n < 5, and level of significance ≤ 0,05

(one-tailed test), level of significance ≤ 0,01

(two-tailed test) >>> 𝑤+, 𝑤−, 𝑤 will lead to

acceptance 𝐻0

• 5 ≤ n ≤ 30, check table to set critical region

Wilcoxon Signed-Rank Test

• Contoh:

Wilcoxon Signed-Rank Test

• Contoh:

Wilcoxon Signed-Rank Test

• Contoh:

(6)

Wilcoxon Signed-Rank Test

Wilcoxon Rank-Sum Test

• Testing equality of means of two continous

distributions that nonnormal and samples are

independent

• Take random sample, assign 𝑛

1

for smaller number

sample and 𝑛

2

for larger one. Assigned randomly if two

population have the same number of sample

• Arrange 𝑛

1

+ 𝑛

2

observations in ascending order. If

there are the identical observations value, mean the

ranks

• 𝑤

1

= sum of ranks of 𝑛

1

observations

• 𝑤

2

= sum of ranks of 𝑛

2

observations

Wilcoxon Rank-Sum Test

• Procedures:

• Reject 𝐻

0 : 𝑢

1 , 𝑢

2 , 𝑢 less than or equal to the

table value

Wilcoxon Rank-Sum Test

• Contoh:

(7)

Wilcoxon Rank-Sum Test

Kruskal-Wallis Test

• Nonparametric alternative to analysis of variance

– ANOVA: testing equality of 𝑘 ≥ 2 population means,

must be normal distribution when using F-statistic

– Kruskal-Wallis Test is a nonparametric procedure for

testing the equality of means in the one-factor

analysis of variance without normal populations

assumption

• Generalization of Runk-Sum test for case 𝑘 > 2

samples

Kruskal-Wallis Test

• Procedure:

– Test 𝐻

0

: 𝜇

1

= 𝜇

2

= ⋯ = 𝜇

𝑘

;

𝐻

1

: Not all means are equal

Condition: samples are independent

– Steps:

1. Arrange the 𝑘 samples in ascending order, and assigne the smallest number observations as 𝑛1and so on. Compute

𝑛 = 𝑛1+ 𝑛2+ ⋯ + 𝑛𝑘

2. Rank all the observations inascending order. For identical observations, assign it with the mean of the ranks 3. Sum the rank of each sample, denote it by random

variable 𝑅. 𝑅𝑖is sum of ranks corresponding to the 𝑛𝑖

observation in the 𝑖-th sample

Kruskal-Wallis Test

• Procedure:

– Steps:

4. Compute the 𝐻-statistic:

𝑯 =

𝟏𝟐 𝒏(𝒏 + 𝟏)

𝒊=𝟏 𝒌

𝑹

𝒊𝟐

𝒏

𝒊

− 𝟑(𝒏 + 𝟏)

>>> approximated very well by chi-squared distribution with 𝑑𝑓 = 𝑘 − 1

5. Critical Region:

𝑯 > 𝝌

_{𝜶,𝒗=𝒌−𝟏}𝟐

Kruskal-Wallis Test

• Contoh soal:

Kruskal-Wallis Test

• Contoh soal:

(8)

Runs Test

• Randomness Test

• Run: subsequence of one or more identical symbols

representing a common property of the data

• Runs test divides the data into two mutually exclusive

categories, so a sequence will always be limited to two

distinct symbols

• 𝑛

1

: the number of symbols category that the least

occurs; 𝑛

2

: the number of symbols belong to other

• 𝑛 = 𝑛

1

+ 𝑛

2

• Based on the random variable 𝑉

• 𝑉: total number of runs that occur in the complete

sequence of experiment

Runs Test

• Hipotesis:

– 𝐻

0

: the sequence is random

– 𝐻

1

: the sequence is not random

• Tabel Runs Test to determine the P-value:

– One tailed test:

𝑃 = 𝑃(𝑉 ≤ 𝑣

∗

_{, 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻}

0

𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒)

– Two tailed test:

𝑃 = 2𝑃(𝑉 ≤ 𝑣

∗

_{, 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻}

0

𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒)

– When 𝑣

∗

_{is large (> 𝑛/2), use:}

𝑃 = 𝑃 𝑉 ≥ 𝑣

∗

_{, 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻}

0

𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒

= 1 − 𝑃(𝑉 ≤ 𝑣

∗

_{− 1, 𝑤ℎ𝑒𝑛 𝐻}

0

𝑖𝑠 𝑡𝑟𝑢𝑒)

• Critical Region: 𝑃 − 𝑣𝑎𝑙𝑢𝑒 ≤ 𝛼

Runs Test

• Contoh Soal:

Runs Test

• When 𝑛1

and 𝑛2

(≥ 10 𝑓𝑜𝑟 𝑒𝑎𝑐ℎ) is large, the

sampling distribution of 𝑉 approaches the

normal distribution with mean and variance as

Runs Test

• Lakukan uji apakah data berikut random atau

tidak:

(9)

Kolmogorov-Smirnov Test

• Test for normality

• An alternative to the chi-squared test for

distribution hypothesis test

Kolmogorov-Smirnov Test

Spearman Coefficient of

Rank Correlation

Spearman Coefficient of

Rank Correlation

(10)

Spearman Coefficient of

Rank Correlation

Uji Mann-Whitney (U Test)

• Disebut juga pengujian U.

• Dikembangkan oleh H.B. Mann dan D.R. Whitney

• Digunakan untuk menguji rata-rata dari 2 sampel berukuran

tidak sama

• Data ordinal

SI 2 - Statistik Non Parametrik ₅₇

• Uji Mann-Whitney merupakan alternatif bagi uji-t. • Uji Mann-Whitney digunakan untuk membandingkan

dua mean populasi yang berasal dari populasi yang sama.

• Uji Mann-Whitney juga digunakan untuk menguji apakah dua mean populasi sama atau tidak.

Uji Mann-Whitney (U Test)

• Untuk sampel kecil

• Tahapan:

 Menentukan n

1

dan n

2

.

 Menggabungkan kedua sampel dan memberi urutan

(ranking) tiap-tiap anggota

 Menjumlahkan urutan masing-masing sampel

 Menghitung statistik U

SI 2 - Statistik Non Parametrik ₅₈

Uji Mann-Whitney (U Test)



Jika sample size kecil ≤ 30

(11)

Contoh 1. Uji Mann-Whitney (U Test)

Uji Mann-Whitney (U Test)

Misalkan μ

₁

dan μ

₂

merupakan produktivitas padi dengan

pupuk anorganik dan organik

• 1. Hipotesis

H

₀

: μ

₁

= μ

₂

(produktivitas padi dengan pupuk anorganik

dan organik adalah sama)

H

1

: μ

1

≠ μ

2

(produktivitas padi dengan pupuk anorganik

dan organik tidak sama atau berbeda)

• 2. Tingkat signifikansi 5%

Uji Mann-Whitney (U Test)

SI 2 - Statistik Non Parametrik ₆₃

Dipakai adalah U terkecil

Tabel U /Mann-Whitney

Uji Mann-Whitney (U Test)

Latihan!!

Tabel di bawah menunjukkan gaji yang diterima oleh 5 orang sarjana ekonomi dan 4 orang insinyur setelah 3 tahun bekerja yang diperoleh dari sampel secara random

SE Gaji Urutan ST Gaji Urutan

A 710 1 O 850 5 B 820 3,5 P 820 3,5 C 770 2 Q 940 8 D 920 7 R 970 9 E 880 6 R2= 25,5 R1=19,5

Ujilah bahwa setelah tiga tahun bekerja, gaji sarjana ekonomi tidak lebih rendah dibanding insinyur .

Uji Mann-Whitney (U Test)

SI 2 - Statistik Non Parametrik ₆₆

Jika sample size besar

(12)

Uji Mann-Whitney (U Test)

Contoh 2. Uji Mann-Whitney (U Test)

Urutan Nilai Rank 1 25 1 2 30 2 3 50 3 4 55 4 5 65 5 6 70 7 7 70 7 8 70 7 9 75 9.5 10 75 9.5 11 78 11 12 80 12 13 85 13.5 14 85 13.5 15 88 15.5 16 88 15.5 17 90 17 18 95 18 19 98 19 20 100 20

Berikut adalah nilai UAS Statistika 2 mahasiswa fakultas Ekonomi dan ilmu komputer

Catatan: jumlah sampel mahasiswa 20

Uji Mann-Whitney (U Test)

SI 2 - Statistik Non Parametrik ₆₉

Berdasarkan tabel tersebut, ujilah dengan taraf nyata 5%, apakah (peringkat) nilai mahasiswa fakultas ekonomi lebih besar dibanding mahasiswa ilmu komputer?

Uji Mann-Whitney (U Test)

SI 2 - Statistik Non Parametrik ₇₀

Contoh 3. Uji Mann-Whitney (U Test)

Untuk menguji tingkat rata- rata operasi antara perusahaan 1 dan 2. Diambil sampel random n1= 10 hari pada perusahaan 1 dan n2= 12 hari pada perusahaan 2. Jumlah

n1+ n2= 22, kemudian tingkat rata-rata operasi diranking. Jumlah rank pada

Penyelesaian

3. Nilai hitung 4. Kesimpulan

Karena nilai statistik Zsampel=

(13)

Contoh 4. Uji Mann-Whitney (U Test)

Penyelesaian

1. Hipotesis H0: μ1= μ2

H1: μ1≠ μ2

2. Nilai kritis

Karena uji dua sisi, α = 0,10, maka harus dibagi dua menjadi (0,10/2 ) = 0,05. Sehingga Z0,05= 1,64

3. Nilai hitung

Standar deviasi populasi

SI 2 - Statistik Non Parametrik 74 𝜇𝑅1= 𝑛1(𝑛1+ 𝑛2+ 1) 2 = 14(14 + 11 + 1) 2 = 182 𝛿𝑅= 𝑛1𝑛2(𝑛1+ 𝑛1+ 1) 12 = (14)(11)(14 + 11 = 1) 12 = 18,267

Penyelesaian

Nilai statistik Zsampel

4, Kesimpulan

Karena nilai statistik Zsampel= 1,26 < Z0,05= 1,64 maka terima H0. Ini

berarti taraf rata – rata kedua paket adalah sama

SI 2 - Statistik Non Parametrik 75 𝑍𝑠𝑎𝑚𝑝𝑒𝑙= 𝑅1− 𝜇𝑅1 𝜎𝑅 =205 − 182 18,267 = 1,26 Daerah penolakan H0 Daerah penolakan H0