Penaksiran Parameter dari Variansi Vektor pada Pengujian Hipotesis Kesamaan Matriks Kovariansi

Pengujian Hipotesis Kesamaan Matriks Kovariansi

Nasrah Sirajang



Abstrak

Variansi vektor merupakan salah satu ukuran dispersi data, yang didefinisikan sebagai jumlah dari semua elemen diagonal matriks kovariansi. Paper ini membahas tentang penaksiran parameter dari variansi vektor yang digunakan pada pengujian hipotesis kesamaan matriks kovariansi. Yang dilakukan dalam menguji kesamaan matriks kovariansi adalah menentukan taksiran tak bias dari rataan dan variansi, dengan memamfaatkan metode momen.

Kata Kunci: Metode Momen, matriks kovariansi, variansi vector, vec operator.

1. Pendahuluan

Salah satu statistik inferensial yang digunakan dalam menarik kesimpulan mengenai suatu populasi dengan memamfaatkan sampel-sampel yang diambil dari populasi tersebut yaitu dengan menggunakan estimasi (penaksiran). Misalkan  

  1 2

X

X

X











_

_





suatu vektor acak yang

dipartisi menjadi

X

_{ 1} dan

X

_{ 2} masing-masing berdimensi q dan p-q. Vektor mean dan matriks kovariansi masing-masing



_{ i} E X

 

_{ i} , dengan i1, 2, dan

   







   



t ij

E

X

i



i

X

j



j





 













, dengan i j, 1, 2. Untuk mengukur hubungan linier

antara dua vektor acak

X

_{ 1} dan

X

_{ 2} digunakan Tr



 12 21



 vec

 

12 2. Parameter ini

disebut kovariansi vektor. Bentuk

Tr



 

_{12 21}



adalah jumlah semua elemen diagonal dari



 

12 21



. Dari pengertian tersebut, dapat didefinisikan Variansi Vektor dari

X

 1 dan

X

 2

adalah VV 

 

X_{ }1 Tr

 

112  vec

 

11 2 dan

 

 

 





2 2 22 22 2 VV  X Tr   vec  .

2. Penaksiran Sampel

Misalkan X X₁, ₂,...,X_n adalah sampel acak yang saling bebas dari distribusi

N

_p





,





. Vektor rata-rata sampel dan matriks kovariansi sampel adalah

 _{Jurusan Matematika, Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam,}

1 1 n i i X X n  



dan







1 1 1 n _t i i i S X X X X n     



. (1)

Jika S berukuran m x m maka vec(S) adalah representasi dari S dalam bentuk vektor berukuran m x 1, dengan

 



2



 

2

E vec S  vec  dan



 



 

2 2 8 ₂ var 1 vec S vec n    .

Pada aplikasi akan diperlukan nilai taksiran tak bias dari vec

 

 2 dan

 

2 2

vec



, dimana nilai tersebut berasal dari nilai sampel. Oleh karena itu, akan dibahas bagaimana menentukan taksiran tak bias dari vec

 

 2 dan

vec

 



2 2, dengan memanfaatkan sifat-sifat dari trace yang berhubungan dengan nilai eigen dari matriks kovariansi. Misalkan



k _dan



_k adalah nilai

eigen dari matriks kovariansi sampel (S) dan matriks kovariansi populasi (∑).

Definisi 1.

Misalkan A adalah matriks berukuran m x m dengan nilai eigen

 

₁, ₂,...,



_m, maka

 

1 m k k Tr A



 



.

Hubungan dari Variansi Vektor dengan nilai eigen dari matriks kovariansi sampel dan matriks kovariansi populasi, sebagai berikut:

 

2

 

₂ 2 1 m k k vec S Tr S



  



dan

 

2

 

2 2 1 m k k vec Tr



    



(2)

2.1 Satu Sampel

Misalkan X X₁, ₂,...,X_n sampel acak dari distribusi

N

_p





,





dan misalkan



k dan k



nilai-nilai eigen dari S dan ∑, (n-1)S berdistribusi Wishart yang dinotasikan



n



1



S

W

_p



 

,

n

1



. Misalkan



k dan



_k nilai-nilai eigen dari S dan ∑. Untuk n yang

berukuran besar maka distribusi asimptotik dari



k adalah normal dengan rataan



_k dan variansi 2

2

1

k

n





ditulis (

). Untuk memperoleh taksiran dari dan digunakan metode

momen, dimana momen kedua dan keempat dari



k yang digunakan untuk mendapatkan nilai

taksiran rataan dan variansi dari variansi vektor.

Definisi 2.

Jika X adalah vektor acak multinormal dengan rataan µ dan matriks kovariansi ∑, maka fungsi pembangkit momen dari X adalah

 

' '

exp

2

x

t t

M

t





_

t









_





, (3)

 

r

 

x r r d M t E X dt  , (4)

Dengan mengambil t = 0, maka

E X

 

r menyatakan momen ke–r dari vektor acak X . Dari persamaan (3) , untuk rataan



_k dan variansi

2

2

1

k

n





, maka

 

2 2

exp

1

k x k

t

M

t

t

n











_



_







(5)

Untuk menemukan momen kedua dan keempat dari



k, maka persamaan (4) diterapkan pada

persamaan (5), sehingga diperoleh a. (



k) ; b. ( ) ; ( ) c. ( ) ; =( ) d. ( ) ; =( )

Hal ini menunjukkan bahwa dari momen kedua dan momen keempat diperoleh:

 

2 1 2 2 1 k _k E n



 _ _



  

 

 

1 2 2

2

1

1

E

vec S

vec

n





_

_





_

_



_

_



















dan

 





4 4 2

12

12

1

1

1

k _k

E

n

n



 





_







_















 

 

1 2 2 2 2 2 12 12 1 1 ₁ E vec S vec n _n  _{ }     _   _   _  _{ }    Maka statistik

 

1 2 2 1 1 vec S n   _   _ 

  , penaksir tak bias dari

 

2 vec  dan





 

1 2 2 2 12 12 1 1 ₁ vec S n _n     _{ }   _      

, penaksir tak bias dari

vec

 



2 2. Karena

 

2

 

₂ vec S Tr S , maka



 



 

1 2 2 2 1 1 E Tr S Tr S n     _{ }    dan

 





_

_

 

1 2 4 2 8 12 12 var 1 1 1 ₁ Tr S Tr S n n _n       _   _  _   _ .

2.2 Beberapa Sampel

Misalkan m sampel acak yang saling bebas dari suatu distribusi

N

_p





,





, masing-masing sampel berukuran:

Sampel-1 : 1 1, 2,..., n X X X Sampel-2 : 2 1, 2,..., n Y Y Y   Sampel-m : ₁, ₂,..., m n Z Z Z

Kemudian S_i matriks kovariansi sampel ke-i, i1, 2,...,m dan (∑ )

Ini berarti ∑ , ∑ ,..., ∑ . Misalkan

A

₁





n

₁



1



S

₁,





2 2

1

2

A



n



S

, ... ,

A

_m





n

_m



1



S

_m maka 1 m i i A A 





berdistribusi Wishart dengan derajat bebas n – m, dengan kata lain distribusi dari S_gab adalah ∑

Rata-rata matriks kovariansi gabungan adalah













1 1 1

1

1

1

1

m i i m i gab _{m i i} i i i

n

S

S

n

S

n m

n

  



















, dimana 1 m i i n n 





. Misalkan



k rataan nilai eigen dari S_gab. Untuk n yang berukuran besar

distribusi asimptotik dari



k adalah normal dengan rataan



_k dan variansi 2

2

_k

n m





, ditulis



k ( )

Seperti halnya pada satu sampel. Untuk memperoleh taksiran dan digunakan metode momen, sehingga diperoleh

( ) ; ( ) ( ) ; =( ) Hal ini menunjukkan bahwa dari momen kedua dan keempat diperoleh,

 

2 2 2 1 k _k E n m



 _ _



  

 

 

1 2 ₂

2

1

gab

E

vec S

vec

n m





_

_







_



_





















 

4

_

_

4 2

12

12

1

k _k

E

n m

_{n m}



 





_







_





_









 

 

1 2 ₂ 2 ₂ 2 12 12 1 gab E vec S vec n m n m  _{ }     _   _   _  _{ }    Maka statistik

 

1 2 2 1 vec Sgab n m   _   _ 

  merupakan penaksir tak bias dari

 

2 vec  dan





 

1 2 2 2 12 12 1 vec Sg a b n m n m         _{ }   

penaksir tak bias dari

 

2 2

vec



. Sehingga diperoleh

 

 

1 2 2 2 1 gab gab E Tr S Tr S n m     _{   }     _  _ dan

 





_

_

1

 

2 4 2 8 12 12 var 1 1 gab gab Tr S Tr S n n m _{n m}       _   _  _  _{ } . Bila n1 n2  nm n0, 1 1 m i i S S m 





, dimana Si matriks kovariansi sampel ke-i; i1, 2,...,m dan

(∑ ). Ini berarti (∑ ) (∑ )  (∑ ) . Misalkan

A

₁





n

₀



1



S

₁

A

₂





n

₀



1



S

₂ 

A

_m





n

₀



1



S

_m maka 1 m i i A A 





berdistribusi Wishart dengan derajat bebas

m n



₀



1



(Anderson, 1984) . Dengan kata lain distribusi dari

S

adalah

[ ] [∑ ].

Misalkan



k nilai eigen dari

S

. Untuk n yang berukuran besar distribusi asimptotik dari



k

adalah normal dengan rataan



k dan variansi





2 0 2 1 k m n



 . Dengan cara yang sama pada n yang

 





2 2 0

2

1

1

k _k

E

m n



 





_





_









 





_

_

_

_

4 4 2 0 ₀ 12 12 1 1 ₁ k _k E m n _{m n}



_{ } _ 



  _    sehingga, statistik





 

1 2 0

2

1

1

vec S

m n















_







merupakan penaksir tak bias dari

 

2 vec  dan





_

_

_

_

 

1 2 2 2 0 ₀

12

12

1

1

₁

vec S

m n

_{m n}



















_







merupakan penaksir tak bias

dari

 

2 2

vec



. Jadi

 





 

1 2 2 0

2

1

1

E Tr S

Tr S

m n









_{  }

_

_













_



_

penaksir tak bias dari rataan

dan

 

 





_

_

_

_

 

1 2 4 2 0 0 ₀

8

12

12

var

1

1

1

₁

Tr S

Tr S

n

m n

_{m n}

























_





penaksir tak bias dari variansi.

5. Kesimpulan

Berikut beberapa kesimpulan yang dapat diberikan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut.

1. Momen kedua dan keempat dari



k _{yang digunakan untuk mendapatkan nilai taksiran rataan}

dan variansi dari variansi vektor.

2. Taksiran dari vec

 

 2 =

Tr

 



2 dan

 

2 2

vec



=

Tr

 



4 merupakan taksiran tak bias dari rataan dan variansi berdasarkan variansi vektor .

3. Rataan dan variansi berdasarkan variansi vektor adalah sebagai berikut: a. Untuk satu sampel,



 



 

1 2 2 2 1 1 E Tr S Tr S n     _{ }    ,



 







 

1 2 4 2 8 12 12 var 1 1 1 ₁ Tr S Tr S n n _n       _   _  _   _

b. Untuk beberapa sampel dengan n n1, 2,...,nm berbeda,

 

 

1 2 2 2 1 gab gab E Tr S Tr S n m     _{   }        _,

 





_

_

1

 

2 4 2 8 12 12 var 1 1 gab gab Tr S Tr S n n m _{n m}       _   _  _  _{ }

c. Untuk beberapa sampel dengan n1n2  nm n0,

 





 

1 2 2 0

2

1

1

E Tr S

Tr S

m n









_{  }

_

_













_



_

,

 

 

2

_

_

_

_

_

_

1

 

4 2 0 0 ₀

8

12

12

var

1

1

1

₁

Tr S

Tr S

n

m n

_{m n}























_



_

_

Daftar Pustaka

Anderson, T.W., 1984. An Introduction to Multivariate Statistical Analysis. John Wiley & Sons Inc., New York .

Djauhari, M.A., 2007. A measure of data concentration. Journal of Applied Probability &

Statistics, Vol 2 No.2, pp. 139-155.

Guritno, S., 2007. Statistik Multivariat Terapan, Teori dan Aplikasi. UGM, Yokyakarta. Rencher, A.C., 2002. Methods of Multivariate Analysis. John Wiley & Sons Inc., New York. Schott, J.R., 1997. Matrix Analysis for Statistics. John Wiley & Sons Inc., New York