3. Menyelesaikan model matematika dari masalah - Modul Matematika TI

1

Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008 MATERI MODUL 1 : IRISAN KERUCUT

Standar Kompetensi : Menerapkan Konsep Irisan Kerucut dalam memecahan masalah

Kompetensi Dasar : 1. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan lingkaran

2. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan parabola

3. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan ellips

4. Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan hiperbola

MATERI MODUL 2 STATISTIKA

Standar Kompetensi : Menerapkan Aturan Konsep Statistika dalam pemecahan masalah

Kompetensi Dasar : Menyajikan data dalam bentuk tabel Program Keahlian : Tehnik Komputer dan Informatika Kelas / Semester : XII / Ganjil

A.

MODUL IRISAN KERUCUT

LINGKARAN

Lingkaran adalah tempat kedudukan titik - titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik tertentu yang digambarkan pada bidang cartesius. Jarak yang sama disebut jari - jarii lingkaran dan titik tertentu disebut pusat lingkaran

1. Persamaan Lingkaran

a. Persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari - jari r adalah :

x2 _{+ y}2 _{= r}2 Contoh :

Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di O(0,0) dan berjari - jari : a. 5 b. 1

2√2

Pemecahan :

a. Diketahui lingkaran berpusat di O(0,0) dan r = 5, maka persamaan lingkaran adalah x2 _{+ y}2 _{= 5}2 _{ x}2 _{+ y}2 _{= 25}

b. Diketahui lingkaran berpusat di O(0,0) dan r = 1

2√2, maka persamaan lingkarannya

adalah x2 _{+ y}2 _{= (} 1

2√2)

2 _{ x}2 _{+ y}2 ₌ 1

2  2x

2 _{+ 2y}2 _{= 1}

b. Persamaan Lingkaran yang berpusat di P(a,b) dan berjari - jari r adalah :

( x - a )2 _{+ ( y - b )}2 _{= r}2

Contoh :

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di (6,-3) dan berjari - jari 5 2. Tentukan pusat dan jari - jari lingkaran yang persamaannya

(x + 3)2 _{+ (y - 2)}2 _{= 8} Pemecahan :

1. Diketahui lingkaran berpusat di (6,-3) berarti a=6, b=-3 dan r = 5 maka persamaan lingkarannya adalah ( x - a )2 _{+ ( y - b )}2 _{= r}2_{(x - 6)}2 _{+ (y - (-3))}2 _{= 5}2_{ (x - 6)}2 ₊ (y + 3)2 _{= 25  x}2 _{- 12x + 36 + y}2 _{+ 6y + 9 = 25  x}2 _{+ y}2 _{- 12x + 6y + 20 = 0} 2. Persamaan lingkaran berpusat di (a,b): (x - a)2 _{+ (y - b)}2 _{= r}2_{ (x + 3)}2 _{+ (y - 2)}2 ₌ 8 berarti x-a  x+3  -a = 3  a=-3 dan y-b  y-2  b=2 maka lingkaran tersebut berpusat di (-3,2) dan berjari - jari r2 _{= 8  r = √8 = 2√2}

c. Bentuk Umum Persamaan Lingkaran

2

Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008 memiliki Pusat ( − 𝐀

𝟐 , − 𝐁

𝟐 ) dan berjari - jari r = √ 𝐀 𝟒 𝟐

+𝐁_𝟒𝟐− 𝐂 Contoh :

Tentukan pusat dan jari - jari lingkaran dengan persamaan x2 _{+ y}2 _{- 4x - 2y + 4 = 0} Pemecahan :

Persamaan lingkaran : x2 _{+ y}2 _{- 4x - 2y + 4 = 0 dimana A = -4, B = -2 dan C = 4}

Pusat = P (− (−𝟒)

𝟐 , − (−𝟐)

𝟐 ) = (2,1) dan r = √ (−4)

4 2

+(−2)₄ 2− 4 = 1 Jadi lingkaran tersebut memiliki pusat (2,1) dan jari - jari r = 1

2. Kedudukan Titik Terhadap Lingkaran

a. Kedudukan titik terhadap lingkaran L : x2 _{+ y}2 _{= r}2 Diberikan lingkaran L : x2 _{+ y}2 _{= r}2

■ Titik P1(x1,y1) terletak di luar lingkaran L jika x12 _{+ y1}2 _{> r}2 ■ Titik P2(x2,y2) terletak pada lingkaran L jika x22 _{+ y2}2 _{= r}2 ■ Titik P3(x3,y3) terletak di dalam lingkaran L jika x32 _{+ y3}2 _{< r}2

b. Kedudukan titik terhadap lingkaran L: (x - a)2 _{+ (y - b)}2 _{= r}2 Diberikan lingkaran L : (x - a)2 _{+ (y - b)}2 _{= r}2

■ Titik P1(x1,y1) terletak di luar lingkaran L jika (x1 - a)2 _{+ (y1 - b)}2 _{> r}2 ■ Titik P2(x2,y2) terletak pada lingkaran L jika (x2 - a)2 _{+ (y2 - b)}2 _{= r}2 ■ Titik P3(x3,y3) terletak di dalam lingkaran L jika (x3 - a)2 _{+ (y3 - b)}2 _{< r}2

Contoh :

1. Jika titik (p,3) terletak pada lingkaran (x + 1)2 _{+ (y - 7)}2 _{= 25. Tentukan nilai p.} Pemecahan :

(p,3) → (p + 1)2 _{+ (3 - 7)}2 _{= 25  p}2 _{+ 2p + 1 + 16 - 25 = 0  p}2 _{+ 2p - 8 = 0 } (p - 2)(p + 4) = 0  p = 2 atau p = - 4

2. Tentukan kedudukan titik - titik A(3,5), B(-1,-1) dan C(3,1) terhadap lingkaran (x - 2)2 _{+ (y + 1)}2 _{= 9.}

Pemecahan :

A(3,5) → (x - 2)2 _{+ (y + 1)}2 _{= (3 - 2)}2 _{+ (5 + 1)}2 _{= 1 + 36 = 37 > 9} B(-1,-1) → (x - 2)2 _{+ (y + 1)}2 _{= (-1 - 2)}2 _{+ (-1 + 1)}2 _{= 9 + 0 = 9} C(3,1) → (x - 2)2 _{+ (y + 1)}2 _{= (3 - 2)}2 _{+ (1 + 1)}2 _{= 1 + 4 = 5 < 9}

Jadi, Kedudukan titik A(3,5) terletak di luar lingkaran, titik B(-1,-1) terletak pada lingkaran dan C(3,1) terletak didalam lingkaran

3. Jika titik (-5,k) terletak pada lingkaran x2 _{+ y}2 _{+ 2x - 5y - 21 = 0, tentukan nilai k.} Pemecahan :

(-5,k) → x2 _{+ y}2 _{+ 2x - 5y - 21 = 0  (-5)}2 _{+ k}2 _{+ 2(-5) - 5k - 21 = 0}  25 + k2 _{- 10 - 5k - 21 = 0  k}2 _{- 5k - 6 = 0  (k - 6)(k + 1) = 0}

 k = 6 atau k = -1

4. Jika titik (k,5) terletak pada lingkaran x2 _{+ y}2 _{= 34, tentukan nilai k.} Pemecahan :

(k,5) → x2 _{+ y}2 _{= 34  k}2 _{+ 5}2 _{= 34  k}2 _{+ 25 = 34  k}2 _{= 34 - 25 = 9}  k = ±√9 k = 3 atau k = -3

3. Garis Singgung Lingkaran

a. Persamaan garis singgung lingkaran dengan pusat O(0,0) yang melalui titik A(x1,y1) yang terletak pada lingkaran dapat dirumuskan sebagai berikut :

x1x + y1y = r2

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 _{+ y}2 _{= 45 yang melalui titik (3,6)} Pemecahan :

3

Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008 x1x + y1y = r2 _{ 3x + 6y = 45  x + 2y = 15}

b. Persamaan garis singgung lingkaran ( x - a )2 _{+ ( y - b )}2 _{= r}2 _{yang melalui A(x1,y1) yang} terletak pada lingkaran dapat dirumuskan sebagai berikut :

(x - a)(x1 - a) + (y - b)(y1 - b) = r2

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran (x-2)2 _{+ (y+1)}2 _{= 5 yang melalui titik (3,1)} Pemecahan :

a=2, b=-1, x1=3, y1=1 dan r2_{=5 maka persamaan garis singgungnya adalah :} (x - a)(x1 - a) + (y - b)(y1 - b) = r2 _{ (x - 2)(3 - 2) + (y + 1)(1 + 1) = 5}  (x - 2)(1) + (y + 1)(2) = 5  x - 2 + 2y + 2 = 5  x + 2y = 5

c. Persamaan garis singgung lingkaran x2 _{+ y}2 _{+ Ax + Bx + C = 0, melalui titik} (x1,y1) yang terletak pada lingkaran dapat dirumuskan sebagai berikut :

x1x + y1y + ½_{A (x1 + x) +} ½_{B (y1 + y) + C= 0}

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 _{+ y}2 _{- 4x + 6y - 12 = 0 di titik (5,1)} Pemecahan :

A=-4, B=6, C=-12, x1=5, y1=1 maka persamaan garis singgungnya adalah : x1x + y1y + ½A (x1 + x) + ½B (y1 + y) + C = 0

 5x + y + ½(-4)(5 + x) + ½(6) (1 + y) + (-12) = 0  5x + y - 2(5 + x) + 3 (1 + y) - 12 = 0

5x + y - 10 - 2x + 3 + 3y - 12 = 0 3x + 4y - 19 = 0

d. Persamaan garis singgung lingkaran dengan gradien tertentu

Persamaan garis singgung pada lingkaran yang bergradien m dengan pusat di (0,0) dan berjari - jari r dapat ditentukan dengan rumus :

y = mx ± 𝒓 √ 𝟏 + 𝒎𝟐

Sedangkan untuk lingkaran bergradien m dengan pusat di (a,b) dan berjari - jari r, persamaan garis singgungnya sebagai berikut :

y - b = m(x - a ) ± 𝒓 √ 𝟏 + 𝒎𝟐

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung lingkaran x2 _{+ y}2 _{+ 6x + 8 = 0 dan bergradien 3.} Pemecahan :

Diketahui lingkaran dengan persamaan x2 _{+ y}2 _{+ 6x + 8 = 0 maka pusat lingkaran :}

P (−A

2,− B

2) = (− 6 2,−

0

2) = (-3,0) dan jari - jari lingkaran r = √ A 4 2

+B₄2− C =

√ 6₄2+0₄2− 8 = 1 berarti a=-3, b=0, m=3 maka persamaan garis singgung lingkaran dapat dituliskan :

y - b = m(x - a ) ± 𝑟 √ 1 + 𝑚2  y - 0 = 3(x - (-3) ) ± 1 √ 1 + 32  y = 3(x+3) ± 1_√10  y = 3x + 9 ± √10 berarti : y = 3x + ( 9 + _√10 ) atau y = 3x + ( 9 - _√10 )

e. Garis Polar pada lingkaran

1.

Jika titik P(x

1,

y

1

) di luar lingkaran L : x

2

+ y

2

= r

2

maka persamaan garis

polarnya adalah : x

1

.x

+ y

1

.y = r

2

2.

Jika titik P(x

1,

y

1

) di luar lingkaran L : (x - a)

2

+ (y - b)

2

= r

2

maka

persamaan garis polarnya adalah : (x - a)(x

1

- a) + (y - b)(y

1

- b) = r

2

3.

Jika titik P(x

1,

y

1

) di luar lingkaran L : x

2

+ y

2

+ Ax + By + C= 0 maka

4

Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008

x

1

.x

+ y

1

.y +

½

A(x + x

1

) +

½

B(y + y

1

) + C = 0

Contoh :

Tentukan persamaan garis singgung pada lingkaran x2 _{+ y}2 _{= 25 yang ditarik dari (7,1)}

Pemecahan :

(7,1) → x2 _{+ y}2 _{= 25  (7)}2 _{+ (1)}2 _{= 49 + 1 = 50 > 25, berarti kedudukan titik (7,1) ada} diluar lingkaran karena x2 _{+ y}2 _{> r}2_{, sehingga Persamaan garis polarnya :}

x1.x _{+ y1.y = r}2_{ 7.x + 1.y = 25  7x + y = 25  y = 25 - 7x} y = 25 - 7x substitusi ke : x2 _{+ y}2 _{= 25  x}2 _{+ (25 - 7x)}2 _{= 25}

 x2 _{+ 625 - 350x + 49x}2 _{= 25  50x}2 _{- 350x + 600 = 0  x}2 _{- 7x + 12 = 0}  (x - 3)(x - 4) = 0  x = 3 atau x = 4

untuk x = 3 → y = 25 - 7x = 25 - 7.3 = 25 - 21 = 4 maka koordinat titik singgung (3,4) untuk x = 4 → y = 25 - 7x = 25 - 7.4 = 25 - 28 = -3 maka koordinat titik singgung (4,-3)

Persamaan garis singgungnya adalah :

utk titik (3,4) → x1.x _{+ y1.y = r}2_{ 3.x + 4.y = 25  3x + 4y = 25  3x + 4y - 25 = 0} utk titik (4,-3) → x1.x _{+ y1.y = r}2_{ 4.x + -3.y = 25  4x - 3y = 25  4x - 3y - 25 = 0} Jadi persamaan garis singgungnya : 3x + 4y - 25 = 0 dan 4x - 3y - 25 = 0

Contoh Soal Tambahan :

1. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter PQ dengan P(8,-4) dan Q(-8,4) 2. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter AB dengan A(-3,3) dan B(7,3) 3. Tentukan persamaan lingkaran yang melalui titik A(8,9), B(2,9), dan titik C(2,3)

Pemecahan :

1. Koordinat pusat lingkaran adalah : [𝑥𝑝+ 𝑥𝑞

2 ,

𝑦𝑝+ 𝑦𝑞

2 ] = [ 8+(−8)

2 ,

−4+4

2 ] = (0,0)

Jari - jari lingkaran :

r = ½PQ = 1

2√[𝑥𝑞− 𝑥𝑝] 2

+ [𝑦𝑞− 𝑦𝑝]2

= 1

2√[−8 − 8]2 + [4 − (−4)]2 = ½ . √[16]2 + [8]2 = ½ . √256 + 64

= ½ . √320 = ½ . √64𝑥5 = ½ . 8√5 = 4√5 maka r2 _{= (4√5)}2 _{= 16.5 = 80}

jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (0,0) dan berjari - jari 4√5 adalah : x2 _{+ y}2 _{= r}2_{ x}2 _{+ y}2 ₌₈₀

2. Koordinat pusat lingkaran adalah : [𝑥𝐴+ 𝑥𝐵

2 ,

𝑦𝐴+ 𝑦𝐵

2 ] = [ −3+7

2 , 3+3

2 ] = (2,3)

Jari - jari lingkaran : r = ½AB = 1

2√[𝑥𝐵− 𝑥𝐴]2+ [𝑦𝐵− 𝑦𝐴]2

= 1

2√[7 − (−3)]2 + [3 − 3]2 = ½ . √[10]2 + [0]2 = ½ . √100 + 0

= ½ . √100 = ½ . 10 = 5 maka r2 _{= ( 5 )}2 _{= 25}

jadi persamaan lingkaran yang berpusat di (2,3) dan berjari - jari 5 adalah :

(x - a)2 _{+ (y - b)}2 _{= r}2_{ (x - 2)}2 _{+ (y - 3)}2 _{= 25  x}2– _{4x + 4 + y}2– _{6y + 9 = 25}  x2 _{+ y}2– _4x – _{6y + 13} – _{25 = 0  x}2 _{+ y}2– _4x – _6y – _{12 = 0}

3. Cara 1 : persamaan lingkaran dengan pusat (a,b) adalah : (x - a)2 _{+ (y - b)}2 _{= r}2

Kemudian masukkan titik – titik tersebut ke persamaan lingkaran diatas, sehingga diperoleh :

5

Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008 a2 _{+ b}2 _{- 16a - 18b + 145 = a}2 _{+ b}2 _{- 4a - 18b + 85  -12a = -60  a = 5}

Substitusi persamaan (2) dan (3) diperoleh :

a2 _{+ b}2 _{- 4a - 18b + 85 = a}2 _{+ b}2 _{- 4a - 9b + 13  -9b = -72  b = 6} a=5, b=6 disubstitusi ke persamaan (3) diperoleh :

a2 _{+ b}2 _{- 4a - 6b + 13 = r}2_{ 25 + 36 - 20 - 36 + 13 = r}2_{ r}2 _{= 18, Jadi persamaan} lingkaran tersebut adalah : (x - a)2 _{+ (y - b)}2 _{= r}2_{ (x - 5)}2 _{+ (y - 6)}2 _{= 18}

 x2– _{10x + 25 + y}2– _{12y + 36 = 18  x}2 _{+ y}2– _10x – _{12y + 43 = 0}

Cara 2 : persamaan lingkaran dengan bentuk umum : x2 _{+ y}2 _{+ Ax + By + C = 0} Kemudian masukkan titik – titik tersebut ke bentuk umum tersebut, sehingga diperoleh : A(8,9) → 82

+ 92 + 8A + 9B + C = 0 8A + 9B + C + 145 = 0 ………( 1 )

A(2,9) → 22 _{+ 9}2 _{+ 2A + 9B + C = 0  2}A + 9B + C + 85 = 0 ……….………( 2 ) A(2,3) → 22 _{+ 3}2 _{+ 2A + 3B + C = 0  2A + 3}B + C + 13 = 0 ……….………( 3 ) Eleminasi ( 1 ) dan ( 2 ) didapat : Eleminasi ( 2 ) dan ( 3 ) didapat :

8A + 9B + C + 145 = 0 2A + 9B + C + 85 = 0

2A + 9B + C + 85 = 0 - 2A + 3B + C + 13 = 0 -

6A + 60 = 0 6B + 72 = 0 A = - 10 B = - 12

Substitusi A = - 10, B = - 12 ke salah satu persamaan [ ambil persamaan ( 3 ) ] didapat : 2A + 3B + C + 13 = 0  2( -10 ) + 3( -12 ) + C + 13 = 0  -20 + ( -36 ) + C + 13 = 0  -56 + C + 13 = 0  C – 43 = 0  C = 43

Jadi Persamaan lingkarannya : x2 _{+ y}2 _{+ Ax + By + C = 0}  x2 _{+ y}2 _{+ (-10)x + (-12)y + 43 = 0}  x2 _{+ y}2 _{- 10x} – _{12y + 43 = 0}

B. PARABOLA

Parabola adalah tempat kedudukan titik - titik pada bidang datar yang mempunyai jarak yang sama terhadap suatu titik tertentu dan suatu garis tertentu. Titik tersebut disebut titik api ( fokus) dan garis tersebut disebut garis arah ( direktris ).

I. Persamaan Parabola yang berpuncak di (0,0) Bentuk Umum :

x

²

= 4py

 Parabola tegak / parabola vertikal / Parabola terbuka ke atas

 Puncak : (0,0)  Fokus ( F / titik api ) : (0,p)  Direktriks ( g / garis arah ) : y = - p  Panjang Lactus Rectum : l 4p l  Sumbu Simetri : x = 0  Jika p<0 parabola terbuka ke bawah

Contoh 1:

Tentukan koordinat fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktris, dan panjang lactus rectum dari parabola berikut !

a. x2 _{= - 16y b. x}2 _{= 2y} Pemecahan :

a. x2 _{= 4py  x}2 _{= - 16y maka 4p = -16 <=> p = - 4} Parabola ini merupakan parabola yang terbuka ke bawah  Koordinat fokus F (0,p)  F (0,- 4)

 Sumbu simetri berhimpit dengan sumbu y, maka persamaannya x = 0  Persamaan direktris : y = -p  y = 4

 Panjang lactus Rectum ( LR ) = l 4p l = l 4.-4 l = 16

b. x2 _{= 4py  x}2 _{= 2y maka 4p = 2  p =} 2

4 = ½

Parabola ini merupakan parabola yang terbuka ke ke atas 0

x

g

●

6

Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008  Koordinat fokus F (0,p)  F (0,½)

 Sumbu simetri berhimpit dengan sumbu y, maka persamaannya x = 0  Persamaan direktris : y = -p  y = - ½

 Panjang lactus Rectum ( LR ) = l 4p l = l 4.½ l = 2

Contoh 2 :

Tentukan persamaan parabola yang puncaknya di titik (0,0) dan direktriksnya y=5 Pemecahan :

Direktriks : y = -p  y = 5 maka p = -5

Jadi persamaan parabolanya : x2 _{= 4.p.y = 4.(-5).y = -20y  x}2 _{= -20y}

Contoh 3 :

Tentukan persamaan parabola yang puncaknya di titik (0,0) dan fokusnya (0,-2) Pemecahan :

Fokus : (0,p)  (0,-2) maka p = -2

Jadi persamaan parabolanya : x2 _{= 4py = 4(-2)y = -8y  x}2 _{= -8y}

C. ELLIPS

Ellips adalah tempat kedudukan titik - titik pada bidang datar yang jumlah jaraknya terhadap dua titik tertentu yang diketahui adlah tetap (konstan). Dua titik tertentu itu disebut fokus atau titik api ( F1 dan F2 ), jarak F1 dan F2 adalah 2c dan jumlah jarak tetap adalah 2a ( a>0 ). Perhatikan gambar berikut !!

Unsur - Unsur Pada Ellips

1. F1 dan F2 disebut fokus. Jika T adalah sembarang titik pada ellips maka TF1 + TF2 = 2a F1F2 = 2c dengan 2a > 2c

2. A1A2 merupakan sumbu panjang ( sumbu mayor ) yang panjangnya sama dengan jarak tetap yaitu 2a. B1B2 merupakan sumbu pendek ( sumbu minor ) yang panjangnya sama dengan 2b. Karena itu a > b

3. Lactus rectum yaitu segmen garis yang dibatasi ellips, tegak lurus sumbu mayor, dan melalui fokus ( DE dan KL ) panjang lactus rectum DE = KL = 2𝑏2

𝑎

4. Titik pusat ( P ) yaitu titik potong sumbu mayor dengan sumbu minor 5. Titik puncak ellips terletak pada A1 dan A2, atau B1, dan B2

6. Berlaku b2 _{= a}2 _{- c}2

I. Persamaan Ellips yang berpusat di O (0,0) :

𝒙 𝟐

𝒂𝟐

+

𝒚𝟐

𝒃𝟐

= 𝟏

■ Fokus (±c,0) ■ Titik Puncak (±a,0)

■ Panjang sumbu mayor = 2a ■ Panjang sumbu minor = 2b ■ Panjang lactus rectum (LR) = 2𝑏2

𝑎

A1(-a,0) A2(a,0)

T

B1(0,-b)

B2(0,b)

D

E L

K

F2(c,0)

7

Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008 Contoh :

1. Tentukan persamaan ellips dengan titik puncak (13,0) dan fokus F1(-12,0) dan F2(12,0)

Pemecahan :

Diketahui pusat ellips (0,0)

Titik puncak (13,0) → a = 13 dan titik fokus (-12,0) dan (12,0) → c = 12 berarti :

b2 _{= a}2 _{- c}2 _{= 13}2 _{- 12}2 _{= 25  b = 5, maka persamaan ellipsnya adalah :} 𝑥2

𝑎2

+

𝑦2 𝑏2

= 1



𝑥2

132

+

𝑦2

52

= 1



𝑥2 169

+

𝑦2 25

= 1

2. Diketahui ellips dengan persamaan 𝑥

2

81

+

𝑦2

25

= 1

. Tentukan fokus, titik puncak, panjang

sumbu mayor, panjang sumbu minor, dan panjang lactus rectumnya.

Pemecahan :

𝑥

2

81

+

𝑦2

25

= 1

berarti a

2 _{= 81  a = 9 dan b}2 _{= 25  b = 5, maka b}2 _{= a}2 _{- c}2  25 = 81 - c2_{ c}2 _{= 81 - 25 = 56  c = √56 = √4.14 = 2√14}

■ Fokus (2√14, 0) dan (-2√14, 0) ■ Titik Puncak (9,0) dan (-9,0)

■ Panjang sumbu mayor = 2a = 2.9 = 18 ■ Panjang sumbu minor = 2b = 2.5 = 10 ■ Panjang lactus rectum (LR) = 2𝑏2

𝑎 = 2.52

9 = 50

9

D. HIPERBOLA

Hiperbola adalah tempat kedudukan titik - titik pada bidang datar yang selisih jaraknya terhadap dua titik tertentu adalah tetap. Kedua titik tertentu disebut fokus ( titik api ) Y

X

1. Pusat hiperbola adalah O dan F adalah fokus

2 Sumbu utama adalah sumbu x ( yang melalui fokus ). Sumbu sekawan adalah sumbu y ( garis yang melalui pusat hiperbola dan tegak lurus sumbu utama 0

3. Sumbu nyata yaitu AB = 2a, dimana A dan B merupakan puncak hiperbola dengan koordinat A(-a,0) dan B(a,0)

4. Sumbu imajiner yaitu MN = 2b

5. Lactus rectum DE dan KL yang panjangnya DE = KL = 2𝑏2

𝑎 dengan b

2 _{= c}2 _{- a}2

6. Garis g1 dan g2 adalah asimtot

I. Persamaan Hiperbola yang berpusat di O (0,0) :

𝒙 𝟐

𝒂𝟐

−

𝒚𝟐

𝒃𝟐

= 𝟏

1. 2.

Hiperbola terbuka ke kiri dan ke kanan Fokus F1(-c,0) dan F2(c,0)

3. Puncak A(-a,0) dan B(a,0) 4. Sumbu simetri :

● ●

F2(c,0)

g2 g1

A O B

F1(-c,0)

E L

D M K

8

Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008 ■ Sumbu utama adalah sumbu x

■ Sumbu sekawan adalah sumbu y 5. Sumbu Nyata = AB = 2a

6. Sumbu imajiner MN = 2b 7. _{Asimtot : 𝑦 = ±}𝑏

𝑎 𝑥

Contoh :

1. Tentukan persamaan hiperbola dengan fokus (-13,0) dan (13,0) serta puncaknya (-5,0) dan (5,0)

Pemecahan :

Fokus (-13,0) dan (13,0) → c = 13 dan puncak (-5,0) dan (5,0) → a = 5 b2 _{= c}2 _{- a}2_{ b}2 _{= 13}2 _{- 5}2_{ b}2 _{= 169 - 25 = 144  b = 12}

Jadi persamaan hiperbolanya adalah : 𝑥

2

𝑎2

−

𝑦2

𝑏2

= 1



𝑥2

25

−

𝑦2

144

= 1

2. Tentukan koordinat titik puncak, fokus, dan persamaan asimtot hiperbola berikut :

𝑥

2

9

−

𝑦2 25

= 1

Pemecahan :

a2 _{= 9  a = 3, b}2 _{= 25  b = 5 dan b}2 _{= c}2 _{- a}2_{ 25 = c}2 _{- 9  c}2 _{= 34  c = √34} ■ Titik Puncak (-a,0) = (-3,0) dan (a,0) = (3,0)

■ Fokus (-c,0) = (- √34,0) dan (c,0) = (√34,0) ■ Persamaan asimtot : 𝑦 = ±𝑏

𝑎 𝑥 = ± 5

3 𝑥 berarti 𝑦 = 5

3 𝑥 atau 𝑦 = − 5 3 𝑥

Petunjuk :

Kerjakan Latihan dibawah ini pada double folio dan dikumpulkan !!!

Tugas Matematika I ( Irisan Kerucut )

1. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat ( -2,5 ) dan jari - jari 5√2 2. Tentukan persamaan lingkaran dengan pusat ( 0,0 ) dan jari - jari 3√3

3. Tentukan persamaan lingkaran yang berpusat di titik ( 3,2 ) dan melalui titik ( 3,7 ) 4. Tentukan persamaan lingkaran dengan ujung diameter A ( 2,4 ) dan B ( - 4,2 ) 5. Tentukan persamaan lingkaran yang berdiameter PQ dengan P( 3,-2 ) dan Q (-3,2 ) 6. Diketahui persamaan lingkaran x2 _{+ y}2 _{- 4x + 10y + 13 = 0. Tentukan pusat dan jari - jari}

lingkaran tersebut

7. Jika titik ( -12,k ) terletak pada lingkaran x2 _{+ y}2 _{= 169 maka tentukan nilai k} 8. Jika titik ( 2,k ) terletak pada lingkaran x2 _{+ y}2 _{- 4x - 2y - 4 = 0 maka tentukan nilai k}

9. Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (5,1) pd lingkaran x2 _{+ y}2 _{- 4x + 6y - 12 = 0} 10. Tentukan persamaan garis yang menyinggung lingkaran x2 _{+ y}2 _{= 10 dengan gradien} ⅓ 11. Tentukan persamaan garis singgung melalui titik (2,3) pada lingkaran x2 _{+ y}2 _{= 13}

12. Tentukan koordinat fokus, persamaan sumbu simetri, persamaan direktris dan panjang lactus rectum dari parabola x2 _{= - 2y}

13. Tentukan persamaan parabola dengan titik puncak (0,0) dan fokus (0,-8)

14. Tentukan persamaan parabola yang puncaknya di titik (0,0) dan direktriksnya y=10

15. Diketahui ellips dengan persamaan

𝑥2

16

+

𝑦2

4

= 1

. Tentukan fokus, titik puncak, panjang

sumbu mayor, panjang sumbu minor, dan panjang lactus rectumnya.

16. Tentukan persamaan hiperbola dengan fokus (-17,0) dan (17,0) serta puncaknya (-5,0) dan (5,0)

17. Tentukan koordinat titik puncak, fokus, dan persamaan asimtot hiperbola berikut :

𝑥2

9

−

𝑦2

4

= 1

9

Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008 Statistik adalah kumpulan fakta / data yang berupa angka yang disusun dalam daftar yang menggambarkan suatu persoalan.Statistika adalah pengetahuan / ilmu tentang cara-cara dan aturan mengumpulkan, mengolah, menganalisa, menyajikan dan menafsirkan atau menarik kesimpulan dari data yang berupa angka. Dari pengertian Statistika di atas, secara garis besar dapat digolongkan menjadi dua metode, yaitu : statistika deskriptif (deduktif) dan statistika inferensial (induktif). Bagian dari Statistika yang berhubungan dengan pengumpulan data, pengolahan data, penyajian data, pembuatan tabel, grafik atau diagram disebut statistika deskriptif. Adapun bagian dari Statistika yang berhubungan dengan penarikan kesimpulan maupun penafsiran mengenai populasi disebut statistika inferensial. Dalam hal ini yang dipelajari antara lain teori probabilitas, sampling, penaksiran terhadap parameter dan pengujian hipotesis. (parameter adalah kumpulan data yang diperoleh dari populasi)

B. Data Statistika

Data adalah sejumlah informasi yang dapat memberikan gambaran tentang suatu keadaan atau persoalan. Contoh-contoh data diantaranya adalah data pegawai, data siswa, data keuangan, data penjualan dan sebagainya. Jika data yang diambil hanya sebagian dari anggota suatu objek penelitian maka data yang demikian disebut sampel, anggota sampel dimaksudkan sebagai wakil dari seluruh objek penelitian. Keseluruhan objek penelitian disebut populasi.Dalam membuat suatu keputusan diperlukan data yang benar, agar tidak terjadi kesalahan yang mengakibatkan kerugian besar maka data yang baik harus memenuhi persyaratan berikut ini.

Syarat data yang baik :

1. harus obyektif , artinya data yang diperoleh harus menggambarkan keadaan yang sebenarnya.

2. harus relevan , artinya data yang diperoleh harus ada kaitannya dengan permasalahan yang akan diteliti.

3. harus sesuai zaman ( up to date ) , artinya data jangan ketinggalan ( usang )

4. harus representatif , artinya sampel yang dipilih harus memiliki sifat yang sama atau menggambarkan keadaan populasinya

5. harus reliable (dapat dipercaya) , sumber data ( nara sumber ) harus dari sumber yang tepat 6. representative, artinya karakteristik yang diteliti tercermin dalam data yang diambil

Macam-macam data

1. Data tunggal dan data kelompok

Data tunggal yaitu data yang disusun sesuai observasi

Contoh : data nilai matematika 15 siswa : 8, 5, 6, 5, 8, 7, 6, 6, 5, 8, 9, 7, 9, 6, 6

Ada jenis data tunggal yang disebut data berbobot, yaitu data yang disajikan berkelompok tetapi tidak dalam interval tertentu.

Contoh : data nilai matematika dari 40 siswa di kelas XII

Nilai 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Jumlah / frekuensi 1 3 3 6 12 4 6 4 1

Data kelompok yaitu data yang disajikan dalam bentuk kelompok interval tertentu, sesuai dengan yang dikehendaki.

contoh : penghasilan orang tua dari 50 siswa SMK per bulan (dalam ratusan ribu rupiah ) sebagai berikut :

1 - 5 ada 1

6 - 10 ada 3

10

Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008

Penghasilan per bulan

( dalam ratusan ribu rupiah )

Jumlah / frekuensi

1 - 5

1

6 - 10

3

11 - 15

9

16 - 20

12

21 - 25

10

26 - 30

6

31 - 35

5

36 - 40

4

Jumlah

50

2. Data kualitatif dan data kuantitatif

Data kualitatif yaitu data yang tidak berbentuk angka, seperti penjualan merosot, mutu barang baik, harga daging naik daya beli menurun dsb.

Data kuantitatif yaitu data yang berbentuk bilangan ( angka ). Berdasarkan nilainya terdiri atas data diskrit dan kontinu.

Data diskrit adalah data yang diperoleh dari hasil menghitung contoh :

▪ jumlah siswa di kelas XII ada 100 orang,

▪ banyaknya kendaraan di tempat parker ada 50 buah ▪ gaji yang diterima bulan ini Rp 3.000.000,00

▪ penjualan buku semester ganjil 250 eksemplar

Data kontinu adalah data yang diperoleh dari hasil mengukur contoh :

▪ tinggi badan siswa kelas XII rata-rata 160 cm ▪ pemakaian listrik bulan ini 150 kWh

▪ suhu udara hari ini 27 0 _celcius

▪ berat badan minimal calon mahasiswa 47 kg

3. Data primer dan data sekunder

Data primer adalah data yang dikumpulkan atau diolah sendiri oleh suatu organisasi atau perorangan.

contoh :

▪ data harga sembilan bahan pokok yang dikumpulkan oleh Biro Pusat Statistik langsung dari pasar kemudian mengolahnya.

▪ data penggunaan sabun cuci oleh ibu rumah tangga yang dilakukan oleh sebuah perusahaan

Data sekunder adalah data yang diperoleh suatu organisasi atau perusahaan dalam bentuk yang sudah jadi

contoh :

▪ data penduduk, data pendapatan nasional, indeks harga konsumen, daya beli masyarakat yang diperoleh dari Biro Pusat Statistik

4. Data Internal dan Eksternal

Data Internal adalah data yang menggambarkan keadaan dalam suatu organisasi. contoh :

▪ data pegawai ▪ data peralatan ▪ data produksi

Data Eksternal adalah data yang menggambarkan keadaan di luar suatu organisasi. contoh :

▪ data selera masyarakat

11

Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008 ▪ data perkembangan harga

C. Penyajian Data

Data yang telah dikumpulkan atau diperoleh dari sampel maupun populasi biasanya masih dalam bentuk data kasar atau data mentah ( raw data ). Agar data dapat dibaca dengan mudah dan cepat biasanya data disajikan dalam bentuk tabel atau daftar dan dalam bentuk diagram atau grafik.

Penyajian data dalam bentuk tabel distribusi frekuensi

1. Tabel Distribusi Frekuensi Data Tunggal :

Berikut ini adalah daftar nilai ujian matematika dari 30 siswa sebagai berikut :

5 7 6 6 8 4 5 6 7 5

6 9 3 6 6 7 9 7 7 8

5 5 8 8 9 5 6 7 8 7

Data diatas bisa dirangkum dalam tabel berikut :

Nilai (x) frekuensi (f)

3 1

4 1

5 6

6 7

7 7

8 5

9 3

Jumlah 30

Tabel ini disebut daftar distribusi frekuensi data tunggal atau daftar distribusi frekuensi berbobot. Jumlah total frekuensi selalu sama dengan ukuran data

2. Tabel Distribusi Frekuensi Data Berkelompok

Tabel distribusi frekuensi data berkelompok adalah statistika untuk menyusun data dengan cara membagi nilai observasi ke dalam kelas-kelas dengan interval tertentu. Contoh :

Perhatikan nilai ujian matematika untuk 100 siswa berikut:

80 80 70 68 90 92 80 70 63 76

49 84 71 72 35 93 91 74 60 63

48 90 92 85 83 76 61 99 83 88

74 70 38 51 73 71 72 95 82 70

81 91 56 65 74 90 97 80 60 66

98 93 81 93 43 72 91 59 67 88

87 82 74 83 86 67 88 71 89 79

82 78 73 86 68 75 81 47 75 63

108 99 78 98 90 106 100 108 32 30

12

Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008 ● Untuk membuat daftar distribusi frekuensi dengan panjang kelas yang sama dilakukan langkah-langkah berikut:

● Tentukan Rentangan / jangkauan / range (R), yaitu data terbesar ( Xmax ) dikurangi data terkecil (Xmin ) Data terbesar dari data di atas adalah 108, sedangkan data terkecil = 30, maka Rentangan

R = Xmax - Xmin = 108 - 30 = 78

● Tentukan banyaknya kelas yang diperlukan, misalnya 7 kelas atau 8 kelas sesuai dengan keperluan. Cara lain dengan menggunakan aturan Sturgess : Banyaknya kelas ( k )

k = 1 + 3,3 log n , dimana n = banyaknya data

k = 1 + 3,3 log n = 1 + 3,3 log 100 = 1 + 3,3x2 = 1 + 6,6 = 7,6

Kita dapat membuat daftar dengan banyaknya kelas ( k ) = 7 atau 8 [ diambil k = 8 ]

● Tentukan panjang kelas interval ( i ) secara perkiraan ditentukan dengan aturan berikut: 𝑖 = 𝑅

𝑘 = 78

8 = 9,75

Kita dapat membuat daftar dengan Panjang kelas ( i ) = 9 atau 10 [ diambil I = 10 ]

● Pilih batas bawah kelas interval pertama

Batas bawah interval kelas pertama dapat diambil dari data yang terkecil atau data yang lebih kecil dari data terkecil tetapi selisihnya kurang dari panjang kelas dan kelas pertama tidak boleh mempunyai frekuensi sama dengan nol.

Dengan mengambil banyak kelas 8, panjang kelas 10 dan dimulai dengan batas bawah interval pertama sama dengan 30 diperoleh tabel distribusi frekuensi berkelompok sebagai berikut:

Nilai Tally ( Turus ) frekuensi ( f )

30 - 39 //// / 6

40 - 49 //// 4

50 - 59 //// 5

60 - 69 //// //// /// 13

70 - 79 //// //// //// //// //// 25

80 - 89 //// //// //// //// /// 23

90 - 99 //// //// //// /// 18

100 - 109 //// / 6

Beberapa istilah yang digunakan dalam tabel distribusi frekuensi antara lain:

■ Interval kelas

Tiap-tiap kelompok disebut dengan interval kelas. Pada tabel di atas terdiri atas 8 interval atau kelas.

■ Batas atas ( BA ) dan Batas bawah ( BB )

Bilangan paling kiri pada tiap kelas disebut batas bawah atau batas bawah adalah nilai yang terkecil dari masing – masing kelas bersangkutan, yaitu 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90, 100 disebut batas bawah sedangkan bilangan yang paling kanan pada tiap interval disebut batas atas kelas atau batas atas kelas adalah nilai yang terbesar dari masing – masing kelas bersangkutan, yaitu 39, 49, 59, 69, 79, 89, 99, 109 disebut batas atas.

13

Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008 Tepi atas dan tepi bawah dihitung berdasarkan ketelitian data yang digunakan. Jika data dicatat teliti hingga satuan, maka tepi bawah diperoleh dengan cara mengurangi batas bawah dengan 0,5 atau ( TB = BB – 0,5 ) untuk kelas yang bersangkutan, yaitu 30 – 0,5 = 29,5; 40 – 0,5 = 39,5 ; 50 – 0,5 = 49,5 ; dst sedangkan Tepi atas diperoleh dengan cara menambahkan batas atas dengan 0,5 atau ( TA = BA + 0,5 ) untuk kelas yang bersangkutan, yaitu 39 + 0,5 = 39,5 ; 49 + 0,5 = 49,5 ; 59 + 0,5 = 59,5 ; dstnya

■ Nilai tengah interval / Titik tengah ( Xt )

Titik tengah kelas adalah nilai tengah dari masing - masing kelas. Xt = ( BA + BB ) : 2, Yaitu : (30+39):2 = 34,5 ; (40+49):2 = 44,5 ; (50+59):2 = 54,5 ; (60+69):2 = 64,5 ; dst

■ Frekuensi Komulatif ( fk ) :

a. Frekuensi Komulatif Kurang dari ( fk≤ ) adalah

Jumlah frekuensi yang memiliki nilai kurang dari tepi atas kelas intervalnya b. Frekuensi Komulatif Kurang dari ( fk≥ ) adalah

Jumlah frekuensi yang memiliki nilai lebih dari tepi bawah kelas intervalnya

■ Frekuensi Relatif ( fr ) adalah

Frekuensi dalam bentuk persentase dengan jalan membagi frekuensi dengan jumlah frekuensi

tiap – tiap kelas dikalikan 100%,

x

100

%

f

f

f

A

rA





yaitu fr 1 = 6/100 x 100% = 6% ; 4/100

x 100% = 4% ; 5/100 x 100% = 5% ; 13/100 x 100% = 13%, dstnya

Sesuai dengan uraian diatas, maka tabel dibawah ini bisa dilengkapi, sebagai berikut :

Nilai f BB BA TB TA Xt fk≤ fk≥ fr

30 - 39 6 30 39 29,5 39,5 34,5 6 94 + 6 = 100 6%

40 - 49 4 40 49 39,5 49,5 44,5 6+4=10 90 + 4 = 94 4%

50 - 59 5 50 59 49,5 59,5 54,5 10 + 5 =15 85 + 5 = 90 5%

60 - 69 13 60 69 59,5 69,5 64,5 15 + 13 = 28 72 + 13 = 85 13%

70 - 79 25 70 79 69,5 79,5 74,5 28 + 25 =53 47 + 25 = 72 25%

80 - 89 23 80 89 79,5 89,5 84,5 53 + 23 = 76 24 + 23 = 47 23%

90 - 99 18 90 99 89,5 99,5 94,5 76 + 18 = 94 6 + 18 = 24 18%

100 - 109 6 100 109 99,5 109,5 104,5 94 + 6 = 100 6 6%

3. Penyajian data dalam bentuk diagram dan grafik

Tujuan menggambarkan data statistika dalam bentuk diagram atau grafik agar mudah memberikan informasi secara visual. Biasanya untuk membuat diagram atau grafik kita mulai dengan membuat tabel terlebih dahulu.

Untuk contoh pembuatan grafik, perhatikan tabel di bawah ini :

14

Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008 HASIL PENJUALAN TELEVISI TOKO “ JAYA ELEKTRONIK”

TAHUN 2006 - 2010

Dari Tabel di atas akan dibuat beberapa contoh diagram dan grafik : a. Diagram batang tunggal untuk merk SHARP

b. Diagram batang berganda untuk semuanya

c. Diagram batang horisontal untuk merk PANASONIC d. Diagram batang bertumpuk untuk merk LG dan SONY e. Diagram garis untuk merk SHARP

f. Diagram lingkaran untuk merk PANASONIC

a. Hasil Penjualan Televisi merk SHARP Toko “ JAYA ELEKTRONIK “

Tahun 2006 - 2010

c. Hasil Penjualan Televisi merk PANASONIC d. Toko “ JAYA ELEKTRONIK “

Tahun 2006 - 2010

Merk

2006

2007

2008

2009

2010

SHARP

30

40

45

50

55

LG

40

50

20

80

60

PANASONIC

30

40

60

70

50

SONY

60

50

80

20

40

0 10 20 30 40 50 60

2006 2007 2008 2009 2010

b. Hasil Penjualan Televisi “ JAYA ELEKTONIK “ Tahun 2006 - 2010

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90

2006 2007 2008 2009 2010

SHARP

LG

PANASONIC SONY

0 20 40 60 80 2006

2007 2008 2009 2010

Hasil Penjualan Televisi merk LG dan SONY Toko “ JAYA ELEKTRONIK “

Tahun 2006 – 2010

0% 20% 40% 60% 80% 100%

2006 2007 2008 2009 2010

SONY

15

Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008 e. Hasil Penjualan Televisi merk SHARP f. Hasil Penjualan Televisi Panasonic Toko “ JAYA ELEKTRONIK “ Toko “ JAYA ELEKTRONIK “ Tahun 2006 - 2010 Tahun 2006 - 2010

D. Ukuran Pemusatan Data Pengertian :

Ukuran pemusatan data adalah nilai tunggal dari data yang dapat memberikan gambaran yang lebih jelas dan singkat tentang di sekitar mana data memusat, serta mewakili seluruh data. Yang termasuk ukuran gejala pusat misalnya rata-rata hitung ( mean ), rata-rata ukur ( rata-rata geometris ), rata-rata harmonis, modus. Sedangkan ukuran gejala letak meliputi median, kuartil, desil dan persentil.

1.

Rata-rata Hitung ( Mean

)

a.

Rata-rata hitung dari data tunggal

n

x

x

x

x

x



1



2



3



...



n

atau

n

x

x

n i i







1 Keterangan :

data

banyaknya

n

data

nilai

seluruh

jumlah

x

hitung

rata

rata

x

n i i











1

Contoh soal :

Hitunglah rata-rata hitung ( mean ) dari data : 6, 5, 9, 7, 8, 8, 7, 6 Jawab : 7 8 56 8 6 7 8 8 7 9 5 6           x

jadi rata-rata hitungnya = 7

b. Rata-rata hitung data tunggal berbobot

data banyaknya n x f x f x f x f hitung rata rata x n x f x n n        





.... 2 2 1 1

Contoh soal :

Pada pengukuran berat badan 40 siswa ditunjukkan oleh tabel berikut :

Jawab : 0 10 20 30 40 50 60

2006 2007 2008 2009 2010

16

Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008

Berat ( kg )

Frekuensi ( f )

40

4

45

12

50

15

55

6

60

3

49 40 1960

 

x , jadi rata-rata hitungnya adalah 49 kg

c. Rata-rata hitung data kelompok

Untuk mencari rata-rata hitung data kelompok, bisa menggunakan : i ) nilai tengah

ii) rata-rata sementara Contoh soal :

Tentukan rata-rata hitung dari data pada tabel berikut ini :

Nilai

Frekuensi

60 - 64

65 - 69

70 - 74

75 - 79

80 - 84

8

16

24

20

12

Jumlah

80

i.

Menggunakan nilai tengah :

75 , 72 80 5820 _  



n x f

x i i

ii. Menggunakan rata-rata sementara :

Nilai

f

i

x

i

c

i

f

i.

c

i

60 - 64

65 - 69

70 - 74

75 - 79

80 - 84

8

16

24

20

12

62

67

72**

77

82

- 2 -1 0 1 2

-16

-16

0

20

24

Jumlah

80

12

Keterangan :

x0 = rata-rata sementara = 72 i = interval kelas ( 70 sd 74 ) = 5 n = banyaknya data ( f ) = 80

Berat

( f )

f . x

40

4

160

45

12

540

50

15

750

55

6

330

60

3

180

Jumlah

40

1960

Nilai

Nilai tengah (x

i

)

f

f

i

. x

i

60 - 64

65 - 69

70 - 74

75 - 79

80 - 84

62

67

72

77

82

8

16

24

20

12

496

1072

1728

1540

984

Jumlah

80

5820

i i

c

f

n

i

x

x



₀





= 72 + .12 80

5

17

Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008 2. Nilai Tengah ( Median = Me )

Median adalah nilai tengah dari kumpulan data yang telah diurutkan ( disusun ) dari data terkecil sampai data terbesar.

a.

Median data tunggal

Contoh soal :

Tentukan median dari data : 6, 5, 9, 7, 8, 8, 7, 6, 6

Jawab :

Data setelah diurutkan adalah : 5, 6, 6, 6, 7, 7, 8, 8, 9

Jumlah data ganjil ( n = 9 ) maka mediannya adalah data yang terletak di tengah-tengah . Jadi Me = 7

Contoh soal :

Tentukan median dari data : 3, 2, 5, 2, 4, 6, 6, 7, 9, 6 Jawab :

Data terurut : 2, 2, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 7, 9

Jumlah data genap ( n = 10 ), maka median ( Me ) = 5,5 2

6 5

 

b. Median data tunggal berbobot

Pada prinsipnya sama dengan data tunggal.

Apabila jumlah data banyak, maka tidak dibedakan genap atau ganjil. Rumusnya :

Me = 𝑋(𝑛+1)

2

Contoh soal :

Diketahui data tentang upah pekerja per hari PT “ Maju Mundur “ disajikan dengan tabel berikut ini. Tentukan mediannya .

Jawab :

Dari tabel sebelah kanan, banyak data ( n ) = 80, maka mediannya terletak pada :

5 , 40 2 81 2

1 _{ }



n

yaitu pada frekuensi kumulatif 55

Me =

60

2

120

2

60

60

2

41

40



X









X

Median dari data di atas adalah Rp. 60.000,00

c. Median data kelompok Rumusnya : Me = median sbl

F

F

n

Tb





2

1

.i

Contoh soal : Upah pekerja ( dalam ribuan

rupiah ) frekuensi

50

55

60

65

70

75

12

18

25

13

10

2

Upah pekerja ( dalam ribuan

rupiah )

f Frekuensi kumulatif kurang dari

50

55

60

65

70

75

12

18

25

13

10

2

12

12 + 18 = 30

30 + 25 = 55 **

55 + 13 = 68

68 + 10 = 78

78 + 2 = 80

Keterangan :

Tb = tepi bawah kelas median n = banyak data

F sbl = frekuensi kumulatif sebelum

kelas median

F median = frekuensi kelas median

18

Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008 Nilai Ulangan Matematika kelas XII SMK “ JAYA “ seperti tabel berikut.

Tentukan mediannya.

Jawab :

Langkah – langkah penyelesaian: ▪ n = 40

▪ Tentukan kelas median, terletak pada data ke

2 40

= 20 , yaitu di interval 60 - 69

▪ Tepi Bawah ( TB ) = 60 – 0,5 = 59,5

▪ frekuensi kumulatif sebelum kelas median ( f sbl ) = 9 ▪ frekuensi kelas median ( f me ) = 14

▪ interval adalah banyak data (60-69) = i = 10

Me = 59,5 7,86 67,36

14 110 5 , 59 ) 10 ( 14

9 20 5 ,

59       

3. Nilai yang sering muncul ( Modus )

Modus adalah nilai data yang mempunyai frekuensi terbesar ( tertinggi )

Kadangkala ada data yang mempunyai 1 modus, atau lebih atau ada data yang sama sekali tidak mempunyai modus.

a. Modus data tunggal Contoh soal :

Tentukan modus dari data berikut : 45, 50, 60, 45, 70, 50, 60, 50, 80, 50 Frekuensi terbesar adalah 50 ( f = 4 )

Jadi modusnya = 50

b. Modus data tunggal berbobot Contoh soal :

Tentukan modus dart data berikut :

Nilai

20 30

40

50

60

70

Frekuensi

4

6

12

8

10

6

Pada tabel di atas frekuensi terbesar = 12 untuk nilai 40 Jadi modusnya = 40

c. Modus data kelompok Rumus:

Mo =

i

d

d

d

Tb

.

2 1

1





Contoh soal :

Tentukan modus dari data di bawah ini : Nilai frekuensi

40 - 49

50 - 59

60 - 69

70 - 79

80 - 89

90 - 99

4

5

14

10

4

3

Nilai f

Frekuensi kumulatif kurang dari

40 - 49

50 - 59

60 - 69**

70 - 79

80 - 89

90 - 99

4

5

14**

10

4

3

4

9

23**

33

37

40

Keterangan :

Tb = tepi bawah kelas modus d1 = selisih frekuensi kelas modus

dengan kelas sebelumnya d2 = selisih frekuensi kelas modus

19

Kadek Suwini, S. Pd NIP. 19710502 199803 2 008 Kelas Frekuensi

10 - 14 15 - 19*

20 - 24 25 - 29 30 - 34

4 16*

8 7 5

Jumlah 40

Petunjuk :

Kerjakan Latihan dibawah ini pada double folio dan dikumpulkan !!!

Tugas Matematika II ( Statistika)

I. Perhatikan data dibawah ini merupakan nilai ujian matematika dari 50 orang siswa.

36 51 84 60 50 84 60 76 36 33

76 76 89 60 89 84 89 76 84 76

36 84 50 33 76 60 36 76 60 51

76 84 95 76 84 89 58 76 84 58

51 60 50 58 95 60 33 60 33 33

Buatlah tabel distribusi frekuensi berkelompok dari data di atas. ( log 50 = 1,699 )

II. Tentukan :

a. Rata-rata hitung ( Mean ) b. Nilai Tengah ( Median )

c. Nilai yang sering muncul ( Modus ) dari setiap data di bawah ini

1. Pengukuran berat badan beberapa siswa SMK :

45, 42, 44, 47, 50, 52, 47, 35, 42, 47, 44, 40, 49, 47, 49

2. Hasil seleksi ujian penerimaan pegawai suatu instansi

Nilai Ujian

Frekuensi

3

4

5

6

7

8

50

65

55

45

60

25

Jumlah

300

3. Usia karyawan di Perusahaan “ XYZ” pada tahun 2012

Usia Frekuensi

41 - 45 46 - 50 51 - 55 56 - 60 61 - 65 66 - 70 71 - 75

2 8 11 18 10 8 3

Jumlah 60

Kelas modus : 15 - 19 Tb = 15 – 0,5 = 14,5 Frekuensi kelas modus = 16 d 1 = 16 – 4 = 12

d2 = 16 – 8 = 8

I = banyak data dari 15 sd 19 = 5 Jadi :

Mo = 14,5 + .5 17,5

20 12 5 , 14 ) 5 ( 8 12

12 _{  }