APLIKASI MODEL GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCHEDASTICITY (GARCH)
UNTUK MENENTUKANVALUE AT RISK PADA ANALISIS RESIKO INVESTASI
(Skripsi)
Oleh
ROHIMATUL ANWAR
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG 2016
ABSTRAK
APLIKASI MODEL GENERALIZED
AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCHEDASTICITY (GARCH) UNTUK MENENTUKAN VALUE AT RISK
PADA ANALISIS RESIKO INVESTASI
Oleh
Rohimatul Anwar
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk memperoleh model time series terbaikyaitu Model Generalized Autoregressive Conditional Heteroschedasticity (GARCH), untuk meramalkan volatilitas, dan untuk menentukan Value at risk pada Data Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) periode Januari 2011 hingga Februari 2016. Didalam data time series, terkadang didapat variansi yang tidak konstan atau heteroschedasticity. Salah satu model untuk menyelesaikan kondisi ini adalah model GARCH. Model GARCH dapat digunakan untuk meramalkan volatilitas. Berdasarkan perhitungan Value at Risk, model GARCH dapat digunakan untuk mengestimasi risiko investasi. Berdasarkan hasil analisis, diperoleh bahwa model terbaik adalah ARMA (2,2), GARCH (1,1) dan besarnya Value at Risk pada tingkat kepercayaan 95% pada satu periode kedepan, dengan mengakarkan hasil dari ramalan variansinya diperoleh peramalan volatilitas sebesar 0,011943077. Jika seorang investor mengalokasikan dana sebesar Rp100.000.000,00 untuk berinvestasi maka terdapat 5% peluang terjadinya kerugian yang melebihi Rp1.966.458,00 selama 24 jam kedepan.
ABSTRACT
APPLICATION GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCHEDASTICITY (GARCH) MODEL TO DETERMINE OF VALUE AT RISK IN ANALYSIS OF RISK
By
Rohimatul Anwar
The aim of this study were to find the best time series model, namely Generalized Autoregressive Conditional Heteroschedasticity (GARCH) model, to avaluate the forecast of volatility, and to determine the Value at Risk data Price Composite Index From January 2011 to February 2016. In time series data, sometimes the behaviour of variance of the time series data are not constant or heteroschedasticity. One of the models to deal with this tipe of problem, we can use GARCH model. GARCH model can be used to forecast volatility. Based on the Value At Risk, GARCH model can be used to estimate the invesment risk. Based on the analysis, it was found that the best model is ARMA (2,2), GARCH (1,1) and at the level confidence interval 95% the Value at Risk on one future period with multiplying the result of the variance for forecasting volatility it was found that 0,011943077. If an investment give allocated funds of Rp100.000.000,00 to invest as a result there was a 5% chance of occurrence of losses in excess of Rp1.966.458,00 during the next 24 hours.
APLIKASI MODEL GENERALIZED AUTOREGRESSIVE CONDITIONAL HETEROSCHEDASTICITY (GARCH)
UNTUK MENENTUKAN VALUE AT RISK PADA ANALISIS RESIKO INVESTASI
Oleh
ROHIMATUL ANWAR
Skripsi
Sebagai Salah Satu Syarat untuk Memperoleh Gelar SARJANA SAINS
Pada
Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS LAMPUNG
BANDAR LAMPUNG 2016
PERSEMBAHAN
Dengan mengucap puji dan syukur kehadirat Allah SWT penulis persembahkan
karya kecil ini untuk :
Orang Tua Tercinta yang telah menjadi motivasi terbesar selama ini.
Kakak penulis Nurul dan Rohmat yang menjadi kebanggaan dan adik Ela
penyemangat penulis untuk menjadi kakak yang bisa dibanggakan.
Sahabat-sahabat yang selalu memberi semangat, motivasi dan doa kepada
penulis.
Dosen Pembimbing dan Penguji yang sangat berjasa dalam mengarahkan dan
membimbing penulis dan Almamaterku Universitas Lampung
KATA INSPIRASI
“...Dan sesungguhnya Allah ilmuNya benar-benar meliputi segala sesuatu”
(Q.S. At Talaq 12)
“Belajar memang melelahkan, namun akan lebih melelahkan lagi bila saat ini
kamu tidak belajar”
(Anonim)
“You Are What You Think
(Ima)
“Jangan lihat kemampuan kita, tapi lihatlah kemampuan Allah”
(Ima)
SANWACANA
Puji syukur kehadirat Allah SWT yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini. Shalawat serta salam senantiasa tercurahkan kepada the real idol kita yaitu Nabi Muhammad SAW.
Skripsi dengan judul “ Aplikasi Model Generalized Autoregressive Conditional Heteroschedasticity (GARCH) Untuk Menentukan Value At Risk Pada Analisis
Resiko Investasi” disusun sebagai salah satu syarat memperoleh gelar Sarjana Sains (S.Si.) di Universitas Lampung.
Dengan ketulusan hati penulis ingin mengucapkan terima kasih banyak kepada : 1. Bapak Mustofa Usman, P.h.D. selaku Dosen Pembimbing I, terima kasih
untuk bimbingan dan kesediaan waktunya selama penyusunan skripsi ini. 2. Ibu Widiarti, S.Si., M.Si.. selaku Dosen Pembimbing II, terima kasih untuk
bantuan dan masukannya selama penyusunan skripsi.
3. Ibu Dian Kurniasari, S.Si., M.Sc. selaku Dosen Penguji, terima kasih atas kesediannya untuk menguji, memberikan saran dan kritik yang membangun dalam penyelesaian skripsi ini.
4. Ibu Dr. Asmiati, S.Si., M.Si. selaku Pembimbing Akademik atas bimbingan dan pembelajarannya selama ini.
5. Bapak Drs. Tiryono Ruby, M.Sc., P.hD. selaku Ketua Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. 6. Bapak Prof. Warsito, S.Si., D.E.A., Ph.D., selaku Dekan Fakultas
Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung. 7. Seluruh dosen dan karyawan Jurusan Matematika.
8. Orang tua tercinta yang tak pernah berhenti melantunkan doa,selalu memberi semangat dan nasehat, serta memberikan banyak pembelajaran hidup serta kakak Nurul dan Rohmat yang penulis banggakan dan adik Ela tersayang. 9. Sahabat satu bimbingan skripsi yaitu Riyama, Anisa, Hana, Mbak Desti dan
Rendy yang bersama-sama saling memberikan doa, semangat, dukungan, dan belajar dalam menyelesaikan skripsi.
10. Sahabat-sahabat seperjuangan yaitu Gerry, Yefta, Ernia, Selvi, Yanti, Anggy, Maya, Ratih, Audi, Naelu, Erni, Agnes, Elva, Mput, Dwi, Chandra, Danar, Jo, Topik, Angger, Bapak Anwar dan teman-teman Matematika 2012.
11. Presidium BEM FMIPA 2015-2016 yaitu Anwar, Moko dan Taqiya, serta Pimpinan dan pengurus BEM FMIPA 2015-2016 terima kasih atas doanya. 12. Presidium, pimpinan serta seluruh pengurus BEM FMIPA 2014-2015 terima
kasih atas ukhuwah yang telah terjalin sampai saat ini.
13. Keluarga KKN KEBANGSAAN 2015 Desa Teluk Mesjid Kecamatan Sungai Apit Kabupaten Siak Provinsi Riau.
14. Almamater tercinta Universitas Lampung.
Bandar Lampung, September 2016 Penulis
RIWAYAT HIDUP
Penulis dilahirkan di Desa Labuhan Ratu Satu, Kecamatan Way Jepara, Lampung Timur pada tanggal 7 Oktober 1994, sebagai anak ketiga dari empat bersaudara, pasangan Bapak Drs. H. Popon Saeful Anwar dan Ibu Siti Barroh, S.Pd.I.
Menempuh pendidikan di Taman Kanak-Kanak (TK) Baitul Muslim pada tahun 1998-2000, SD N 4 Braja Sakti pada tahun 2000-2006, SMP N 1 Way Jepara pada tahun 2006-2009, kemudian bersekolah di SMA N 1 Way Jepara pada tahun 2009-2012.
Tahun 2012 penulis terdaftar sebagai mahasiswa Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung melalui Jalur SNMPTN tulis. Selama menjadi mahasiswa, penulis pernah aktif di beberapa organisasi internal dan eksternal kampus seperti Rohani Islam (ROIS) FMIPA Unila 2013-2014 sebagai Anggota Bidang Kajian, Himpunan Mahasiswa Jurusan Matematika (HIMATIKA) FMIPA Unila 2013-2014 sebagai anggota Kaderisasi dan Kepemimpinan, Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) FMIPA Unila 2014-2015 sebagai Bendahara Departemen Hubungan Luar dan Pengabdian Masyarakat (HLPM), Ikatan Mahasiswa Lampung Timur (IKAM LAMTIM) sebagai Sekretaris Departemen Sosial Masyarakat 2014-2015 dan Badan Eksekutif Mahasiswa (BEM) FMIPA Unila 2015-2016 sebagai Bendahara Eksekutif.
Pada Februari 2015 penulis melakukan Kerja Praktik (KP) di Kantor Badan Pusat Statistik (BPS) Kota Bandar Lampung dan Agustus 2015 penulis melaksanakan Kuliah Kerja Nyata Kebangsaan (KKN Kebangsaan) di Provinsi Riau, dan ditempatkan di Desa Teluk Mesjid, Kecamatan Sungai Apit, Kabupaten Siak, Provinsi Riau. Penulis pernah mendapatkan beasiswa Peningkatan Prestasi Akademik (PPA) tahun 2014/2015.
DAFTAR ISI halaman DAFTAR GAMBAR ... x DAFTAR TABEL ... xi I. PENDAHULUAN 1.1. Latar Belakang ... 1 1.2. Tujuan Penelitian... 2 1.3. Manfaat Penelitian... 3
II. TINJAUAN PUSTAKA 2.1 Jenis Data Bedasarkan Waktu Pengumpulannya ... 4
2.2 Analisis Deret Waktu (Time Series) ... 4
2.3 Stasioneritas ... 5
2.3.1 Uji Augmented Dickey Fuller (ADF) ... 5
2.4 Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial ... 6
2.4.1 Fungsi Autokorelasi ... 7
2.4.2 Fungsi Autokorelasi Parsial ... 9
2.5 Proses White Noise ... 14
2.6 Model Autoregressive (AR) ... 16
2.6.1 Bentuk Umum Model Autoregressive AR (p)... 17
2.6.2 Order Pertama Autoregressive AR (1) ... 18
2.7 Model Moving Average (MA) ... 19
2.7.1 Order Pertama Moving Average MA (1) ... 20
2.8 Model Autoregressive Moving Average (ARMA) ... 21
2.9 Metode Pembentukan ARIMA... 22
2.9.1 Identifikasi Model ... 22
2.9.2 Pendugaan Parameter Model ARIMA ... 23
2.9.3 Uji Signifikansi Parameter ... 25
2.9.4 Pemeriksaan Diagnostik ... 25
2.10 Model Autoregressive Conditional Heteroschedasticity (ARCH) ... 27
2.11 Uji ARCH Lagrange Multiplier (LM) ... 27
2.12 Model Generalized ARCH (GARCH) ... 28
2.14 Metode Newton Raphson ... 29
2.15 Kriteria Informasi untuk Memilih Model GARCH ... 32
2.16 Return ... 32
2.17 Resiko ... 33
2.18 Volatilitas ... 34
2.19 Value at Risk (VaR) ... 34
III. METODOLOGI PENELITIAN 3.1 Waktu dan Tempat Penelitian ... 36
3.2 Data Penelitian ... 36
3.3 Metode Penelitian ... 36
IV. HASIL DAN PEMBAHASAN 4.1 Uji Stasioneritas Data ... 41
4.2 Prosedur Box-Jenkins ... 42
4.2.1 Identifikasi Model ... 42
4.2.2 Estimasi Model ARIMA ... 43
4.2.3 Pendugaan Parameter dan Uji Signifikansi Parameter .. 45
4.2.4 Uji Kecocokan Model ... 46
4.3 Identifikasi Model GARCH ... 49
4.3.1 Pendeteksian Efek ARCH ... 49
4.3.2 Pendugaan Parameter Model GARCH (1,1) ... 51
4.3.2.1 Metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) 51 4.3.2.2 Metode Newton Raphson ... 54
4.4 Peramalan Volatilitas ... 57
4.5 Perhitungan VaR ... 57 V. KESIMPULAN
DAFTAR PUSTAKA LAMPIRAN
DAFTAR TABEL
Tabel Halaman
2.1 Identifikasi Order Model ARIMA dengan Pola Grafik ACF dan PACF 22
4.1 Hasil Output Uji Augmented Dickey Fuller... . 42
4.2 Hasil Output Best model ARIMA... 43
4.3 Nilai SBC pada ARMA (2,2)... 44
4.4 Nilai AICC pada ARMA (2,2) ... 44
4.5 Nilai Duga Parameter ARMA (2,2)... 45
4.6 Output Uji Komogorov Smirnov... 48
4.7 Output Uji Lagrange Multiplier ... 49
4.8 Hasil Mean Model dan Variansi Model secara Bersama... 50
4.9 Hasil Perhitungan Cornish Fisher Expansion ... 57
DAFTAR GAMBAR
Gambar Halaman
3.1 Flow Chart Metode Penelitian ... 39
4.1 Plot Return Harga Saham ... . 41
4.2 Plot Ln Return Harga Saham... 41
4.3 Grafik ACF dan PACF ln return IHSG Januari 2011 - Februari 2016 ... 43
4.4 Grafik Standar Residual, ACF dan p-value Statistik Ljung-Box Model ARMA (2,2)... 47
4.5 QQ-Plot ARMA (2,2)... 48
4.6 Plot ACF Kuadrat Residual ... 50
`
I. PENDAHULUAN
1.1 Latar Belakang
Data time series merupakan data yang dicatat selama periode tertentu. Biasanya berupa data harian, mingguan, bulanan, enam bulanan maupun tahunan. Polanya dapat berupa pengulangan masa lalu maupun tidak memiliki pola. Data time series yang memiliki pola pengulangan disebut time series musiman, sebagai contoh adalah data pergerakan saham sebuah perusahaan.
Pada kasus time series non musiman, metode Box Jenkins memodelkan dengan menentukan beberapa kriteria yang kemudian dikenal dengan model ARMA dan ARIMA. Kriteria-kriteria tersebut meliputi fungsi Autocorelation (ACF) dan Parcial Autorcorelation (PACF). Sama halnya pada kasus time series musiman, Box Jenkins memodelkan dengan memanfaatkan kriteria yang sama. Model ARIMA musiman atau Seasonal-ARIMA (SARIMA) terkadang memberikan model yang estimasinya jauh dari hasil yang diharapkan. Sedangkan model Autoregresive Moving Average (ARMA) mengasumsikan bahwa variansi sesaat dari model adalah konstan.
Pada kenyataan dilapangan sering dijumpai data time series yang memiliki variansi sesaat tidak konstan. Seperti pada data saham memiliki ragam pengembalian harga saham yang tidak konstan di setiap titiknya. Kondisi yang
2
seperti ini disebut heteroskedastisitas. Heteroskedastisitas adalah gangguan model regresi dengan variansi pengamatan tidak konstan. Jika diketahui secara pasti bahwa data time series memiliki variansi sesaat tidak konstan kemudian dipaksa menggunakan model ARMA, maka akan diperoleh nilai ramalan dengan selang kepercayaan yang lebar.
Value at Risk merupakan pengukuran resiko terburuk dari investasi dengan tingkat kepercayaan tertentu pada kondisi pasar yang normal. Untuk menghitung Value at Risk dibutuhkan peramalan volatilitas. Dalam matematika, volatilitas ini disebut dengan variansi. Model time series dengan asumsi variansi sesaat tidak konstan (heteroskedastisitas) dapat diterapkan pada pemodelan volatilitas tersebut. Menurut Bollerslev (1986), data runtun waktu yang mengandung unsur heteroskedastisitas dapat dimodelkan dengan Generalized Autoregressive Conditional Heteroscedasticity (GARCH). Pada penelitian ini akan diterapkan model GARCH dalam perhitungan Value at Risk pada data saham harian penutupan Index Harga Saham Gabungan (IHSG).
1.2 Tujuan Penelitian
Tujuan dari penelitian ini adalah :
1. Mengestimasi parameter model GARCH
2. Memperoleh model terbaik pada studi kasus saham harian penutupan IHSG Januari 2011 hingga Februari 2016 dengan model GARCH
3
1.3 Manfaat Penelitian
Manfaat dari penelitian ini adalah :
1. Mengetahui tahapan proses dalam memodelkan data dengan pendekatan model GARCH
2. Mengetahui model terbaik pada studi kasus data harga saham harian penutupan IHSG Januari 2011 hingga Februari 2016
3. Menerapkan model terbaik pada studi kasus data harga saham harian penutupan IHSG Januari 2011 hingga Februari 2016 dalam menentukan nilai Value at Risk
II. TINJAUAN PUSTAKA
2.1 Jenis Data Berdasarkan Waktu Pengumpulannya
Menurut Gujarati dan Porter (2009) jenis data berdasarkan waktu pengumpulannya terbagi menjadi tiga, yaitu time series, cross-section dan panel. 1. Data Time series
Data time series adalah kumpulan nilai-nilai pengamatan dari suatu variabel yang diambil pada waktu yang berbeda. Data jenis ini dikumpulkan pada interval waktu tertentu, misalnya harian,mingguan, bulanan, dan tahunan.
2. Data Cross-section
Data cross-section adalah data dari satu variabel atau lebih yang dikumpulkan pada waktu tertentu secara bersamaan.
3. Data Panel
Data panel adalah data yang elemen-elemennya merupakan kombinasi dari data time series dan data cross-section.
2.2 Analisis Deret Waktu (Time Series)
Time series merupakan serangkaian observasi terhadap suatu variabel yang diambil secara beruntun berdasarkan interval waktu yang tetap (Wei, 2006).
5
Rangkaian data pengamatan time series dinyatakan dengan variabel Xt dimana t adalah indeks waktu dari urutan pengamatan.
2.3 Stasioneritas
Stasioner berarti bahwa tidak terdapat perubahan drastis pada data. Fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak tergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi tersebut.
Stasioneritas dibagi menjadi 2 yaitu: 1. Stasioner dalam rata-rata
Stasioner dalam rata-rata adalah fluktuasi data berada di sekitar suatu nilai rata-rata yang konstan, tidak bergantung pada waktu dan variansi dari fluktuasi tersebut. Dari bentuk plot data seringkali dapat diketahui bahwa data tersebut stasioner atau tidak stasioner.
2. Stasioner dalan variansi
Sebuah data time series dikatakan stasioner dalam variansi apabila struktur dari waktu ke waktu mempunyai fluktuasi data yang tetap atau konstan dan tidak berubah-ubah. Secara visual untuk melihat hal tersebut dapat dibantu dengan menggunakan plot time series, yaitu dengan melihat fluktuasi data dari waktu ke waktu (Wei, 2006).
2.3.1 Uji Augmented Dickey-Fuller (ADF)
Proses unit root merupakan proses analisis deret waktu yang mengalami ketidakstasioneran. Indikasi terdapatnya unit root adalah adanya random walk
6
yang artinya data deret waktu tidak stasioner pada ragam karena ragamnya merupakan fungsi dari waktu. Misalkan persamaan regresi
= + +
Salah satu uji unit root adalah Uji Augmented Dickey Fuller (ADF). Uji ADF dilakukan dengan menghitung nilai (tau) statistik dengan rumus:
= ( )
Hipotesis dilakukan sebagai berikut:
: = 0(yang artinyaX tidak stasioner)
: ≠ 0(yang artinyaX stasioner)
Jika statistik< tabel maka tidak ditolak yang berarti data dikatakan tidak stasioner (Gujarati dan Porter, 2009).
2.4 Fungsi Autokorelasi dan Fungsi Autokorelasi Parsial
Dalam metode time series, alat utama untuk mengidentifikasi model dari data yang akan diramalkan menggunakan fungsi autokorelasi /Autocorrelation Function (ACF) dan fungsi autokorelasi parsial / Partial Autocorrelation Function (PACF).
7
2.4.1 Fungsi Autokorelasi
Menurut Wei (2006) proses stasioner suatu data time series (Xt) memilih E(Xt) =µ dan variansi Var (Xt) = E (Xt- µ)2= σ2 yang konstan dan kovarian Cov (Xt,Xt+k), yang fungsinya hanya pada perbedaan waktu │t- (t+k)│. Maka dari itu, hasil tersebut dapat ditulis sebagai kovariansi antara Xtdan Xt+ksebagai berikut :
= Cov (Xt,Xt+k) = E (Xt- µ)(Xt+k- µ) dan korelasi antara Xtdan Xt+kdidefinisikan sebagai
= ( , )
( ) ( )=
dimana notasi ( ) dan ( )= . Sebagai fungsi dari k, disebut fungsi autokovarian dan disebut fungsi autokorelasi (ACF). Dalam analisis time series, dan menggambarkan kovarian dan korelasi antara Xt dan Xt+k dari proses yang sama, hanya dipisahkan oleh lag ke-k.
Fungsi autokovariansi dan fungsi autokorelasi memiliki sifat-sifat sebagai berikut :
1. = Var( ); = 1.
2. │ │ ≤ ; │ │ ≤ 1.
3. = dan = untuk semua k, dan adalah fungsi yang sama dan simetrik lag k=0.
Bukti
1. Dengan menggunakan definisi korelasi antara Xt dan Xt+k,akan dibuktikan bahwa = Var( ); = 1.
= ( , )
8 Diberikan k = 0, maka = ( , ) ( ) ( ) = ( , ) ( ) ( ) = ( ) ( ) = ( )( ) = = 1
2. Sifat kedua merupakan akibat dari persamaan autokorelasi kurang dari atau sama dengan 1 dalam nilai mutlak.
3. Sifat tersebut diperoleh dari perbedaan waktu antara dan . = Cov (Xt+k, Xt) = Cov (Xt,Xt+k)= ( )
Oleh sebab itu, fungsi autokorelasi sering hanya diplotkan untuk lag nonnegatif. Plot tersebut kadang disebut korrelogram.
Menurut Pankratz (1991), penduga koefisien ( ) adalah dugaan dari koefisien autokorelasi secara teoritis yang bersangkutan ( ) . Nilai tidak sama persis dengan yang berkorespondensi dikarenakan error sampling. Distribusi dari kemungkinan nilai-nilai disebut dengan distribusi sampel. Galat baku dari distribusi sampling adalah akar dari penduga variansinya.
9
Pengujian koefisien autokorelasi :
H0: = 0 (Koefisien autokorelasi tidak berbeda secara signifikan) H1: ≠ 0 (Koefisien autokorelasi berbeda secara signifikan)
Statistik uji :t =
= ∑ ∑( ( ̅)( ̅) ̅) dan SE ( ) = ∑ ≈
√ dengan
SE ( ): standard error autokorelasi pada saat lag k : autokorelasi pada saat lag k
k : time lag
T : jumlah observasi dalam data time series
Kriteria keputusan : tolak H0 jika nilai│t hitung│> tα/2,df dengan derajat bebas df = T-1, T merupakan banyaknya data dan k adalah lag koefisien autokorelasi yang diuji.
2.4.2 Fungsi Autokorelasi Parsial
Autokorelasi parsial digunakan untuk mengukur tingkat keeratan antara Xt dan Xt+k, apabila pengaruh dari time lag 1, 2, 3, . . . ,dan seterusnya sampai k-1 dianggap terpisah. Ada beberapa prosedur untuk menentukan bentuk PACF. Salah satunya akan dijelaskan sebagai berikut. Fungsi autokorelasi parsial dapat dinotasikan dengan:
10
Misalkan Xt adalah proses yang stasioner dengan E (Xt) = 0, selanjutnya Xt+k dapat dinyatakan sebagai model linear
Xt+k=∅ + ∅ + … + ∅ + (2.1)
dengan ∅ adalah parameter regresi ke-i dan adalah nilai kesalahan yang tidak berkorelasi dengan dengan j=1,2, … , k. Untuk mendapatkan nilai PACF, langkah pertama yang dilakukan adalah mengalikan persamaan (2.1) dengan pada kedua ruas sehingga diperoleh :
Xt+k=∅ + ∅ + … + ∅ +
Selanjutnya nilai harapannya adalah
( Xt+k)=E(∅ + ∅ + … + ∅ + )
=∅ ( ) + ∅ ( ) + … + ∅ ( ) +
)
Dimisalkan nilai ( Xt+k) = , j=0,1,…,k dan karena ( ) = 0,
maka diperoleh
= ∅ + ∅ + ⋯ + ∅ (2.2)
Persamaan (2.2) dibagi dengan
0 = ∅ 1 −1 0 + ∅2 −2 0 + ⋯ + ∅ − 0 diperoleh = ∅ 1 + ∅ 2 + ⋯ + ∅ , j = 1,2,3,…,k
untuk j = 1,2,3,…,k didapatkan sistem persamaan sebagai berikut :
= ∅ 1 + ∅ 2 + ⋯ + ∅ ,
= ∅ 1 + ∅ 2 + ⋯ + ∅ ,
⋮
11
Sistem persamaan (2.3) dapat diselesaikan dengan menggunakan aturan Cramer. Persamaan (2.3) untuk j = 1,2,3,…,k digunakan untuk mencari nilai-nilai fungsi autokorelasi parsial lag k yaitu∅ , ∅ , … , ∅ .
a. Untuk lag pertama (k = 1) dan (j = 1) diperoleh sistem persamaan sebagai berikut :
= ∅11 , karena = 1 sehingga = ∅11 yang berarti bahwa fungsi
autokorelasi parsial pada lag pertama akan sama dengan fungsi autokorelasi pada lag pertama.
b. Untuk lag kedua (k = 2) dan (j = 1,2) diperoleh sistem persamaan = ∅11 + ∅22
= ∅11 + ∅22 (2.4)
Persamaan (2.4) jika ditulis dalam bentuk matriks akan menjadi
∅11
∅22 =
= 1 1 , = 1 , dan dengan menggunakan aturan Cramer
diperoleh ∅ = det(det( ) =2) 1 1 1 2 1 1 1 1
c. Untuk lag ketiga (k = 3) dan (j = 1,2,3) diperoleh sistem persamaan = ∅11 + ∅22 +∅33
= ∅11 + ∅22 +∅33
12
Persamaan (2.5) jika ditulis dalam bentuk matriks akan menjadi
∅11 ∅22 ∅33 = = 1 1 1 , = 1
1 dan dengan menggunakan aturan
Cramer diperoleh ∅ = det(det( ) =3) 1 1 1 1 1 2 2 1 3 1 1 2 1 1 1 2 1 1
d. Untuk lagkej = 1,2,3,…, k diperoleh sistem persamaannya adalah
= ∅11 + ∅22 + ∅33 + ⋯ + ∅ = ∅11 + ∅22 + ∅33 + ⋯ + ∅
= ∅11 + ∅22 + ∅33 + ⋯ + ∅
⋮
= ∅11 + ∅22 + ∅33 + ⋯ + ∅
Persamaan (2.6) jika dinyatakan dalam bentuk matriks menjadi
⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 1 …… ⋮ ⋮ 1⋮ ⋯⋱ … ⋮ ⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎤ ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡∅∅11 22 ∅33 ⋮ ∅ ⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎤ = ⎣ ⎢ ⎢ ⎡ ⋮ ⎦ ⎥ ⎥ ⎤
Dengan aturan Cramer diperoleh
= ⎣ ⎢ ⎢ ⎢ ⎡ 1 1 …… ⋮ ⋮ 1⋮ ⋯⋱ … ⋮ ⎦⎥ ⎥ ⎥ ⎤ (2.6)
13
Nilai autokorelasi parsial lag k hasilnya adalah
∅ = det( )det( ) = 1 1 2 … 1 1 1 1 … 2 2 ⋮ −1 1 ⋮ −2 1 ⋮ −3 ⋯ ⋱ … 3 ⋮ 1 1 2 … −1 1 1 1 … −2 2 ⋮ −1 1 ⋮ −2 1 ⋮ −3 ⋯ ⋱ … −3 ⋮ 1 dengan∅ disebut PACF antara Xtdan Xt+k.
Fungsi autokorelasi parsial (PACF) adalah himpunan dari∅ {∅ ; = 1,2, … }
∅ = 1 = 00 ≠ 0
Fungsi ∅ menjadi notasi standar untuk autokorelasi parsial antara observasi Xt dan Xt+k dalam analisis time series. Fungsi ∅ akan bernilai nol untuk k > p. Sifat ini dapat digunakan untuk identifikasi model AR dan MA, yaitu pada model Autoregressive berlaku ACF akan menurun secara bertahap menuju nol dan Moving Average berlaku ACF menuju ke-0 setelah lag ke-q sedangkan nilai PACF model AR yaitu∅ = 0, k > p dan model MA yaitu
∅ = 0, k > q
Hipotesis untuk menguji koefisien autokorelasi parsial adalah sebagai berikut H0:∅ = 0
H1 :∅ ≠ 0
Taraf signifikansi : α = 5%
Statistik uji : ∅ = ∅ (∅ )
14
dengan
(∅ ) = Kriteria keputusan :
Tolak H0jika t hitung > , , dengan derajat bebas df= T-1, T adalah banyaknya data dan k adalah lag autokorelasi parsial yang akan diuji (Wei, 2006).
2.5 Proses White Noise
Suatu prosesεt disebut proses white noise jika data terdiri dari variabel acak yang independen dan berdistribusi identik dengan rata-rata konstan E (εt)=0, variansi
konstan Var (εt) = σ2dan = Cov (εt,εt+k) = 0 untuk k≠ 0.Pada umumnya proses white noise diasumsikan berdistribusi normal dengan mean nol dan variansi konstan .
Bukti
Dengan diasumsikan bahwaεt~N(0, ). Maka:
(εt) = dan (εt-i) =
(εt,εt-i)= ( )
Dimana = correlation (εt,εt-i)
Akan dibuktikan bahwaεtadalah variabel acak yang independen dan berdistribusi identik yaitu (εt,εt-i)= (εt). (εt-i)
15 (εt,εt-i)= ( ) = √ ( ) ( ) = ( ) = √ √ = √ √ = √ √ = (εt) (εt-i) Terbukti
Sehingga dapat ditulis εt~ N (0, ). Berikut merupakan proses white noise stasioner.
Fungsi autokovariansi = 0 ,, ≠ 0= 0 Fungsi autokorelasi
= 1 ,0 , = 0≠ 0 Fungsi autokorelasi parsial
= 1 ,0 , = 0≠ 0
Proses white noise dapat dideteksi menggunakan uji autokorelasi residual pada analisis error-nya. Uji korelasi residual digunakan untuk mendeteksi ada
16
tidaknya korelasi residual antar lag. Langkah-langkah pengujian korelasi residual yaitu :
H0: = = = ⋯ = 0 (residual tidak terdapat autokorelasi) H1:∃ ≠ 0, k= 1, 2, …, K (residual terdapat autokorelasi)
Taraf signifikansi α = 5%
Statistik uji Ljung Box-Pierce. Rumus uji Ljung Box-Pierce :
= ( + 2) −
dengan
T : banyaknya data
K : banyaknya lag yang diuji
: dugaan autokorelasi residual periode k
Kriteria keputusan yaitu tolak H0 jika -hitung > ( , ) tabel , dengan derajat kebebasan K dikurangi banyaknya parameter pada model atau p-value <α, artinya εtadalah barisan yang tidak memiliki korelasi (Wei, 2006).
2.6 Model Autoregressive (AR)
Autoregressive adalah suatu bentuk regresi tetapi bukan yang menghubungkan variabel tak bebas, melainkan menghubungkan nilai-nilai sebelumnya pada time lag (selang waktu) yang bermacam-macam. Jadi suatu model Autoregressive akan menyatakan suatu ramalan sebagai fungsi nilai-nilai sebelumnya dari time series tertentu (Makridarkis et.al., 1992).
17
2.6.1 Bentuk Umum Model Autoregressive AR(p) Bentuk umum orde ke-p model Autoregressive adalah
= + + + ⋯ + + (2.7)
Dimana white noise. Persamaan (2.7) dapat juga ditulis Φ(B) = + DimanaΦ(B) = 1 − − − ⋯ − . untuk AR (p) stasioner ( ) = =1 − − − ⋯ − dan ( ) = ( , ) = ( + + + ⋯ + + , ) = ∑ ( , ) + ( , ) (2.8) = ( − ) + 0 > 0= 0
Kemudian kita peroleh
(0) = ( ) +
⇒ (0) 1 − ( ) =
Hasil pembagian persamaan (2.8) dengan (0) untuk k > 0 dapat digunakan untuk mencari nilai ACF pada proses AR (p) yang memenuhi persamaan Yule-Walker
( ) = ∑ ( − ) k = 1, 2, …
18
2.6.2 Order Pertama Autoregressive AR(1)
Order pertama autoregressive artinya autoregressive hanya dipengaruhi satu periode sebelumnya saja. Diberikan persamaan time series stasioner sebagai berikut : = + ∝ = + ∝ = + Ψ( )
dimana Ψ( ) = ∑∝ . Dengan pendekatan eksponensial = ∅ dimana |∅| < 1 sehingga dapat ditulis
= + + +∅2 + ⋯ (2.9)
diperoleh
= + + +∅2 + ⋯ (2.10)
Kita dapat mengkombinasikan persamaan (2.9) dan (2.10) sebagai
= + + +∅2
−1−
+ ⋯
= − + +
= + + (2.11)
Dimana = − . Persamaan (2.11) disebut order pertama proses autoregressive karena merupakan regresi dari xtpada x
t-Proses AR (1) stasioner jika| | < 1. Rata-rata dari AR (1) yang stasioner adalah
19
Autokovarian dari AR (1) dapat dihitung dari persamaan (2.9)
( ) = ∅ ∅ untuk k = 0, 1, 2, …
Nilai varian diberikan sebagai:
(0) = ∅
Hubungan dengan fungsi autokorelasi diberikan sebagai: ( ) = ( )( ) untuk k = 0, 1, 2, 3,…
Ini menyebabkan proses stasioner AR (1) turun secara eksponensial (Montgomery, Jennings, & Kulachi, 2008).
2.7 Model Moving Average (MA)
Model moving average dengan order q dinotasikan MA (q) didefinisikan sebagai : xt= µ +εt-θ1εt-1-θ2εt-2-θ3εt-3-…-θqεt-q ; εt~ N (0,σ2)
xt : nilai variabel pada waktu ke-t
εt : nilai error pada waktu t
θi : koefisien regresi, i:1,2,3, …,q q : order MA
Persamaandi atas dapat ditulis dengan operator backshift (B), menjadi : xt= µ + (1 + θ1B + θ2B2+ … + θqBq) εt
= µ + (1 -∑ ) εt
= µ +Θ( )εt (2.13)
20
Karena εtwhite noise, nilai harapan MA (q) adalah
E (Xt)= E (µ + εt-θ1εt-1-θ2εt-2-θ3εt-3-…-θqεt-q) = µ
Var (xt) = (0)= Var (µ + εt-θ1εt-1-θ2εt-2-θ3εt-3-…-θqεt-q) = σ2(1 + θ12 + θ22+ … + θq2)
Dengan cara yang sama diperoleh nilai autokovarian pada lag k ( )= Cov (xt,xt+k)
= E [(µ + εt-θ1εt-1-…-θqεt-q) ( µ + εt+k-θ1εt+k-1-…-θqεt+k-q)]
= − + + ⋯ + = 1, 2, … ,
0 >
Diperoleh nilai autokorelasi pada lag k yaitu
( ) = ( )(0) =
(− + + ⋯ + )
1 + + ⋯ + , = 1, 2, 3, …
0 , >
Dari bagian ini diperoleh bahwa nilai ACF sangat membantu dalam mengindentifikasi model MA dan order cut off tepat setelah lag q (Montgomery, Jennings, & Kulachi, 2008)
.
2.7.1 Order Pertama Moving Average MA(1)
Model paling sederhana dari Moving Averageyakni MA (1) ketika nilai q =1 yaitu:
xt= µ + εt-θ1εt-1
untuk model MA (1) kita peroleh nilai autocovariance function
21
(1) = − ( ) = 0 k > 1
Demikian pula, kita peroleh fungsi autokorelasi
(1) = −
1 +
( ) = 0 > 1
Kita dapat lihat bahwa lag pertama fungsi autokorelasi pada MA (1) dibatasi
│ (1)│ = │ │
1 + ≤
1 2
dan autokorelasi cut off setelah lag 1(Montgomery, Jennings, & Kulachi, 2008).
2.8 Model Autoregressive Moving Average (ARMA)
Dalam bentuk umum, model Autoregressive Moving Average atau ARMA(p,q) diberikan sebagai
= + ∅ + ∅ + ⋯ + ∅ + − − − ⋯ −
= + ∑ ∅ − ∑ + (2.14)
Persamaan 2.14 dapat ditulis dengan backshift operator menjadi:
(1-∅ + ∅ + ⋯ + ∅ ) Xt= (1+ − − ⋯ − )
atau Φ( ) = + Θ( )
dengan
xt = nilai variabel pada waktu ke-t ∅ = koefisien regresi ke-1 , i=1,2,3,...,p
22
= parameter model MA ke-i, i=1,2,3,...,q = nilai error pada waktu ke-t
, , , … . , = error pada saat t, t-1, t-2,....,t-q dan diasumsikan White Noise dan normal
(Wei, 2006 ).
2.9 Metode Pembentukan ARIMA 2.9.1 Identifikasi Model
Menurut Makridarkis, et.al (1992) hal pertama yang dilakukan pada tahap ini adalah apakah time series bersifat stasioner atau tidak. Kestasioneran suatu time series dapat dilihat dari plot ACF dan PACF yaitu koefisien autokorelasinya dan autokorelasi parsialnya menuju nol
1. Jika terdapat lag autokorelasi sebanyak q yang berbeda dari nol secara signifikan maka prosesnya adalah MA(q).
2. Jika terdapat autokorelasi parsial sebanyak p yang berbeda dari nol secara signifikan maka prosesnya adalah AR(p).
Tabel 2.1 Identifikasi Order Model ARIMA dengan Pola Grafik ACF dan PACF
Model ACF PACF
White Noise
ARIMA (0,0,0) tidak ada lag yang signifikan
tidak ada lag yang signifikan
ARIMA (0,1,0)
d=1 turun secara lambat
signifikan pada order pembedaan
Autoregressive (AR) ARIMA (1,0,0) ∅1 > 0
turun secara eksponensial (negative spikes)
Cut off setelah lag 1 (negative spike) ARIMA (1,0,0)
∅1 < 0
Bergerak naik-turun (dimulai dari negative spike)
Cut off setelah lag 1 (negative spike)
23
ARIMA (2,0,0) ∅1,∅2 > 0
turun secara eksponensial (negative spikes)
lag 1 dan lag 2 signifikan (negative spikes)
ARIMA (2,0,0) ∅1 > 0,∅2 < 0
Bergerak naik-turun secara eksponensial
signifikan pada lag 1 (negative spike), signifikan pada lag 2 (negative spike) Moving Average (MA)
ARIMA (0,0,1)
θ1 > 0
Cut off setelah lag 1 (negative spike)
turun secara eksponensial (negative spike)
ARIMA (0,0,1)
θ1 < 0
Cut off setelah lag 1 (negative spike)
Bergerak naik-turun menuju nol (positive and negative spikes)
ARIMA (0,0,2)
θ1,θ2 > 0
lag 1 dan lag 2 signifikan (negative spikes)
turun secara eksponensial (negative spikes)
ARIMA (0,0,2)
θ1,θ2 < 0
lag 1 dan lag 2 signifikan (negative spikes)
Bergerak naik-turun menuju nol (positive and negative spikes)
AR dan MA ARIMA (1,0,1) ∅1 >0, θ1 > 0
turun secara eksponensial (negative spikes)
turun secara eksponensial (negative spikes)
ARIMA (1,0,1) ∅1 > 0, θ1 < 0
turun secara eksponensial (negative spikes)
turun menuju nol (positive and negative spikes) ARIMA (1,0,1)
∅1 < 0, θ1 > 0
Bergerak naik-turun secara tidak beraturan
turun secara eksponensial (negative spikes)
ARIMA (1,0,1) ∅1 < 0, θ1 < 0
Bergerak naik-turun secara tidak beraturan (positive and negative spikes)
Bergerak naik-turun secara tidak beraturan (positive and negative spikes)
2.9.2 Pendugaan Parameter Model ARIMA
Pendugaan parameter model ARIMA dilakukan dengan menggunakan metode Maximum likelihood estimation. Metode ini menggunakan prinsip memaksimumkan fungsi likelihood dari model ARIMA untuk menduga parameter ∅danθ. Diberikan bentuk umum model ARIMA (p,q) sebagai berikut :
= + ∅ − +
= − ∅ − + −
=1 =1
24
dimana ∼ (0, ), dan vektor parameter yang akan diestimasi adalah
= ( ,∅ , ∅ , ....,∅ , , , … , )
fungsi kepekatan peluang dari = ( , , … . , )didefinisikan sebagai berikut : ( )=
√
Kita dapat menuliskan fungsi likelihood dari = ( ,∅ , ∅ , ....,∅ , , , … , )
L( )=∏ ( ) =∏ √ ( ) =∏ √ Kemudian ln likelihood ln L( )=∑ =∑ ln + ln =∑ ln (2π) + ln ( ) − =ln (2π) + ln ( ) − ∑ 2 2 2 =1 = − ln 2 − ln 2−∑ 2 2 2 =1 (2.15)
Selanjutnya turunan dari ln L( | ) terhadap ditentukan menggunakan persamaan (2.15) yaitu sebagai berikut :
( ) = 0 ( 2−∑ 2 2 2 =1 ) = 0 (Wei, 2006).
25
2.9.3 Uji Signifikansi Parameter
Uji signifikansi parameter digunakan untuk mengetahui apakah parameter yang diperoleh signifikan dalam model atau tidak. Pengujian hipotesis dapat dilakukan sebagai berikut :
Parameter Autoregressive AR (p), yaitu:
H0: = 0 (parameter∅tidak signifikan dalam model) H1: ≠ 0(parameter∅signifikan dalam model)
Taraf signifikansi α = 0,05
Jika nilai p-value <α maka tolak H0atau dapat dikatakan parameter signifikan dalam model. Jika nilai p-value >α makatidak ada alasan menolak H0
Parameter Moving Average MA (q), yaitu:
H0: = 0 (parameter tidak signifikan dalam model) H1: ≠ 0(parameter signifikan dalam model) Taraf signifikansiα = 0,05
Jika nilai p-value < α maka tolak H0 atau dapat dikatakan parameter signifikan dalam model. Jika nilai p-value >α makatidak ada alasan menolak H0.
2.9.4 Pemeriksaan Diagnostik
Pemeriksaan diagnostik dilakukan dengan mengamati apakah residual dari model terestimasi merupakan proses white noise atau tidak. Model dikatakan memadai jika asumsi dari error( t) memenuhi proses white noise dan berdistribusi normal.
26
Uji kenormalan error digunakan untuk melihat apakah suatu proses error berdistribusi normal atau tidak. Uji kenormalan dapat dilakukan dengan uji Kolmogorov Smirnov dengan hipotesis
H0= residual berdistribusi normal H1= residual tidak berdistribusi normal Dengan statistik uji
Dhitung=| Ft–Fs |< , maka terima H0. Jika Dhitung> Dtabelmaka tolak H0. Dengan
Ft = Probabilitas komulatif normal (Ft=0,05 - Ztabel).
Fs = Probabilitas komulatif empiris (banyaknya angka sampai angka ke ni /banyaknya seluruh angka pada data).
Salah satu pemilihan model terbaik dari beberapa model yang sesuai dapat berdasarkan nilai AIC (Akaike’s Information Criterion) dan SBC (Schwarz Bayesian Criteria), rumus AIC dan SBC :
AIC = T ln ( ) + 2k SBC = T ln ( ) + k ln (T) Dengan
MSE = ( )
SSE =∑ ( − )
k = jumlah parameter yang diduga T = jumlah pengamatan
27
2.10 Model Autoregressive Conditional Heteroschedasticity (ARCH)
Conditional variance dari residual yang dilambangkan dengan t2, dapat ditulis dengan
t2= + + + ⋯ +
Dimana variance residual bergantung pada lag ke q dari kuadrat residual, yang dikenal sebagai Autoregresive Conditional Heteroscedastic (ARCH). Secara Lengkap Model ARCH dapat dituliskan sebagai berikut.
= + ∅ − +
~ (0, 2)
t2= + + + ⋯ +
dengan merupakan persamaan conditional mean (Brooks, 2014).
2.11 Uji ARCH Lagrange Multiplier (LM)
Uji untuk menentukan apakah ‘efek-ARCH’ ada pada residual dari model
dilakukan dengan langkah-langkah berikut.
1. Jalankan sebarang bentuk regresi linear, seperti:
= + ∅ − +
2. Kuadratkan residualnya dan regresikan residual tersebut pada lag ke q untuk menguji order ke-q ARCH,
t2= + + + ⋯ +
dengan adalah residual. Dapatkan dari regresi ini.
28
3. Statistik uji didefinisikan sebagai
= (2.17)
dimana
= ∑ ( − ̅)∑ ( − ̅)
T menyatakan jumlah observasi dan adalah r-square, dan berdistribusi ( ).
4. Menentukan hipotesis nol dan alternatif adalah : = 0, i=1,2,...,q
∶ ≠ 0 atau ≠ 0atau .... atau ≠ 0 (Brooks, 2014)
2.12 Model Generalized ARCH (GARCH)
Model GARCH dikembangkan oleh Bollerslev (1986). Model GARCH mengizinkan conditional variance bergantung terhadap conditional variance pada lag sebelumnya. Dengan demikian, persamaan conditional variance menjadi
t2= + ∑ + ∑ (2.18)
Dimana nilai sekarang dari conditional variance diparameterisasi untuk bergantung terhadap lag ke-q dari kuadrat residualnya dan lag ke-p dari conditional variance, dilambangkan dengan GARCH (p,q). Secara lengkap model GARCH dapat dituliskan sebagai berikut.
= + ∅ − +
29
t2= + ∑ + ∑
Dengan merupakan persamaan conditional mean (Brooks, 2014).
2.13 Pendugaan Parameter Model GARCH
Metode yang digunakan untuk menduga parameter model GARCH adalah metode kemungkinan maksimum. Metode kemungkinan maksimum adalah metode untuk menduga satu sebaran dengan memilih dugaan-dugaan yang nilai-nilai parameternya diduga dengan memaksimalkan fungsi kemungkinannya, metode kemungkinan maksimum merupakan salah satu metode yang paling sering digunakan untuk mencari nilai estimasi dari suatu parameter.
Menurut Herhyanto (2003), misalkan X adalah peubah acak kontinu atau diskrit dengan fungsi kepekatan peluang ( ; ), dengan adalah salah satu sampel yang tidak diketahui. Misalkan , , ..., merupakan sampel acak berukuran n maka fungsi kemungkinan likelihood dari sampel acak itu adalah
L( ) = ( ; ), ( ; ),..., ( ; )
Dalam hal ini, fungsi kemungkinan adalah fungsi dari parameter yang tidak diketahui . Biasanya untuk mempermudah penganalisaan, fungsi kemungkinan L( )diberi log natural (ln). Penduga kemungkinan maksimum dari adalah nilai
yang memaksimalkan fungsi L( ).
2.14 Metode Newton Raphson
Kebanyakan persoalan model matematika dalam bentuk yang rumit. Sehingga tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang sudah umum untuk
30
mendapatkan solusi eksak. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi dari persoalan model matematika tersebut masih dapat diselesaikan metode numerik.
Dalam metode numerik, pencarian akar ( ) = 0 dilakukan dengan iterasi. Diantara semua metode akar, metode Newton Rapshonlah yang paling terkenal dan paling banyak dipakai dalam terapan sains dan rekayasa. Metode ini paling disukai karena tingkat konvergensinya paling cepat diantara metode lain. Metode Newton Raphson adalah metode untuk menyelesaikan persamaan non linear secara iteratif seperti persamaan likelihood yang mencari lokasi yang memaksimalkan suatu fungsi.
Dasar dari metode ini adalah pendekatan deret Taylor:
( +1
) =
(θ
)+
∑ 1 ∂pf(θ)
i! ∂(θ )i
p
i=1
(θ
+1− θ )
iBila pada suku orde 1:
( +1
) =
(θ
)+ (
-
)
′()
Karena persoalan mencari akar, maka ( ) = 0, sehingga
0 = (θ )
+ (
-
)
′()
=
θ
-
( ) ′( )Metode ini dapat diperluas untuk menyelesaikan sistem persamaan dengan lebih dari satu parameter. Misalθ , θ , … . . , θ maka iterasinya sebagai berikut:
31
Dengan indeks t menyatakan ukuran iteratif. Adapun langkah-langkah metode iterasi Newton Raphson adalah sebagai berikut:
1. Ambil estimasi awal dariθmisalθ .
2.θ = θ − H θ G(θ )merupakan derivative pertama dari f(θ)padaθ=θ.
3..θ = θ − H θ G(θ ) dengan H θ = Hdan G(θ )=G sehingga
θ = θ − (H ) G.
4. Estimator θ diiteratif hingga diperoleh nilai jarak antara θ dan θ sangat kecil atauθ − θ = ε.
UntukG, θ dan θ dalam bentuk vektor , dan H dalam bentuk matriks yaitu :
H =
⎣
⎢
⎢
⎢
⎢
⎡∂ F(θ)
∂(θ )
∂ F(θ)
∂θ ∂θ . . .
∂ F(θ)
∂θ ∂θ
:
∶
∶
∂ F(θ)
∂ θ
∂ F(θ)
∂θ ∂θ . ..
∂ F(θ)
∂ θ
⎦
⎥
⎥
⎥
⎥
⎤
DanG =
⎣
⎢
⎢
⎡
( ):
( )⎦
⎥
⎥
⎤
32
2.15 Kriteria Informasi untuk Memilih Model GARCH
Kriteria Informasi yang paling sering digunakan ada tiga yaitu Akaike’s (1974) Information Criterion (AIC), Schwarz’s (1978) Bayesian Information Criterion (SBIC) dan Hannan-Quin Criterion (HQIC). Secara aljabar ketiga informasi kriteria tersebut dapat ditulis sebagai berikut :
= ln ∑ + (2.19)
= ln ∑ + ln (2.20)
= ln ∑ + ln(ln ) (2.21)
Dengan = + + 1 adalah jumlah total parameter yang diduga dan T adalah ukuran sampel. Kriteria informasi sebenarnya adalah meminimumkan dengan kendala ≤ ̅, ≤ , dimana limit atas ditentukan pada jumlah dari moving average ( ) dan atau autoregressive ( ̅) yang akan dipertimbangkan (Brooks, 2014).
2.16 Return
Return dari suatu aset adalah tingkat pengembalian atau hasil yang diperoleh akibat melakukan investasi (Halim,2003). Return mudah dipakai dibandingkan nilai sebenarnya karena bentuknya memiliki sifat statistik yang baik (Tsay, 2002). Ln return digunakan untuk membuat data lebih stasioner didalam rata-rata. Perubahan harga relatif didefinisikan sebagai berikut
33
R adalah perubahan harga relatif Ptadalah harga saham pada waktu ke-t Pt-1adalah harga saham pada waktu ke- (t-1) Logaritma natural dirumuskan
rt= ln ( ) (2.23)
dengan rtadalah log natural return pada waktu ke-t.
2.17 Resiko
Resiko merupakan besarnya penyimpangan antara return yang diharapkan dengan return yang dicapai (actual return). Semakin besar penyimpangan berarti semakin besar resikonya (Halim,2003). Apabila resiko dinyatakan sebagai seberapa jauh hasil yang diperoleh bisa menyimpang dari hasil yang diharapkan, maka digunakan ukuran penyebaran. Alat statistik yang digunakan sebagai ukuran penyebaran tersebut adalah variansi atau standar deviasi. Semakin besar nilainya, berarti semakin besar penyimpangannya atau resikonya semakin besar. Van Horne dan Wachowics Jr pada tahun 1992 mendefinsikan resiko sebagai variabilitas (keragaman) return terhadap return yang diharapkan (Jogiyanto, 2003).
Jika terdapat n (jumlah observasi) return, maka ekspektasi return dapat diestimasi yaitu
= ∑ t (2.24)
t adalah rata-rata sampel return. Rata-rata return kemudian digunakan untuk mengestimasi variansi tiap periode yaitu
34
S2= ∑ ( t - )2 (2.25)
Akar dari variansi (standar deviansi) merupakan estimasi resiko dari harga saham yaitu
S = ∑ ( ) (2.26)
2.18 Volatilitas
Volatilitas digunakan sebagai salah satu ukuran untuk melihat seberapa besar dan seringnya perubahan atau fluktuasi yang terjadi pada indikator-indikator ekonomi. Biasanya besaran ini dinyatakan sebagai standar deviasi perubahan data time series keuangan. Dengan pemodelan volatilitas, para investor diharapkan dapat mengendalikan resiko pasar dengan lebih baik.
2.19 Value at Risk (VaR)
Value at Risk merupakan sebuah konsep yang digunakan dalam pengukuran resiko risk management yang didefinisikan sebagai estimasi kerugian maksimum yang akan didapat selama periode waktu tertentu dalam kondisi pasar normal pada tingkat kepercayaan tertentu (Tsay, 2002). Value at Risk menjelaskan seberapa besar investor dapat merugi selama waktu investasi T dengan tingkat kepercayaan sebesar 1– α.
Distribusi return akan lebih baik diuraikan sebagai distribusi parametrik, seperti distribusi normal. Hal ini mempermudah analisis karena distribusi
35
dikarakteristikkan semata-mata oleh dua parameter, rata-rata dan standar deviasi . Kuantil di sekitar rata-rata menjadi perkalian dari , menggunakan pengali yang bergantung pada tingkat kepercayaan. Oleh sebab itu, VaR dapat didefinisikan sebagai
VaR = (2.27)
Sebagai contoh, jika Z mempunyai distribusi normal dan tingkat kepercayaan 95%, diketahui dari tabel statistik bahwa P (Z≥ 1,645 ) = 95%. Sehingga diperoleh nilai = 1,645. Jika diukur pada satuan ln return, maka akan dikalikan dengan nilai yang berlaku dari portofolio W, memberikan nilai VaR sebagai berikut
VaR = W (2.28)
Dengan adalah estimasi volatilitas dan W adalah nilai pada portofolio. Bila distribusi data ln return tidak normal, maka dapat dikoreksi dengan corner fisher expansion ( ) yang menggunakan nilai kemiringan dari data tersebut.
Rumus untuk mendapatkanα adalah
= - ( -1) S (2.29)
dengan S adalah nilai kemiringan. Sehingga besarnya VaR dapat dihitung sebagai
III. METODOLOGI PENELITIAN
3.1 Waktu dan Tempat Penelitian
Penelitian ini dilakukan pada semester genap tahun akademik 2015/2016, bertempat di Jurusan Matematika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Lampung.
3.2 Data Penelitian
Data yang digunakan adalah data harian saham penutupan Indeks Harga Saham Gabungan (IHSG) periode Januari 2011 hingga Februari 2016. Data diperoleh dari http://www.finance.yahoo.com dengan total observasi 1258.
3.3 Metode Penelitian
Penelitian ini dilakukan dengan menggunakan studi literatur secara sistematis yang diperoleh dari buku-buku maupun media lain untuk mendapatkan informasi sebanyak mungkin untuk mendukung penulisan skripsi ini, kemudian melakukan simulasi sebagai aplikasi untuk menjelaskan teori yang telah didapat.
37
Adapun langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini adalah sebagai berikut:
1. Mengubah data kedalam bentuk ln return.
2. Mengalisis model time series dan model ARIMA yang diperoleh dengan : a. Mengidentifikasi kestasioneran data ln return dengan grafik dan Uji
Augmented Dickey Fuller.
b. Identifikasi model dengan menentukan orde model menggunakan plot correlogram ACF dan PACF.
c. Menetapkan model dugaan sementara berdasarkan orde model yang telah ditentukan dan menentukan model terbaik.
d. Menduga parameter model menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) dengan program R.
e. Menguji signifikansi parameter model.
f. Uji kecocokan model dengan melakukan pemeriksaan diagnostik apakah model cocok atau tidak.
1. Pemeriksaan residual model yang memenuhi proses white noise menggunakan uji Ljung-Box Q statistics.
2. Pemeriksaan data berdistribusi normal atau tidak menggunakan QQ plot dan uji Kolmogorov Smirnov.
38
3. Mengalisis model GARCH :
a. Pemeriksaan efek heteroskedastisitas melalui uji efek ARCH menggunakan uji Lagrange Multiplier (LM).
b. Mencari model terbaik GARCH berdasarkan nilai AIC, BIC dan AICC yang paling minimum untuk memodelkan heteroskedastisitas dari error model.
c. Menduga parameter model dengan menggunakan metode Maximum Likelihood Estimation (MLE) dan metode iterasi Newton Raphson.
4. Melakukan peramalan volatilitas dengan menggunakan model GARCH.
39
Gambar 3.1 Flow Chart Metode Penelitian
Identifikasi Model ARIMA
Estimasi Model ARIMA
Uji Kecocokan Model Ya
Tidak
Stasioner
Mulai
Plot Data ln return
Apakah Data Stasioner Differencing
ACF dan PACF
Pendugaan Parameter
Uji Signifikan Parameter
Normal White Noise
Ya Tidak
40
Efek Conditional Heteroscedasticity Tidak Model GARCH Estimasi Model GARCH Evaluasi Model Peramalan Volatilitas Pendugaan Parameter MLE Newton Raphson Selesai Perhitungan VaR Model ARIMA Cocok
A
Ya Model ARIMA
V. KESIMPULAN
Berdasarkan hasil analisis yang telah dilakukan maka diperoleh kesimpulan sebagai berikut :
1. Estimasi parameter , 1, 1 pada model GARCH dengan metode iterasi Newton Raphson diperoleh = 0,000003000, =0,111435001 dan
=0,864804000.
2. Model terbaik pada studi kasus saham harian penutupan IHSG Januari 2011 hingga Februari 2016 dengan model GARCH adalah ARMA (2,2) dan GARCH (1,1)
= 0,000552 + 1,36448 − 0,709029 − 1,354150 +
0,638741 +
t2= 0,000003 + 0,111435 + 0,864804
3. Dengan menggunakan tingkat kepercayaan 95% maka Value at Risk pada model GARCH (1,1) jika diasumsikan dana yang dialokasikan sebesar
DAFTAR PUSTAKA
Bollerslev,T. 1986. Generalized Autoregressive Conditional Heteroskedasticity, Journal of Econometrics, 31:307-327
Brooks, C. 2014. Introductory Econometrics for Finance (3rd ed.). Cambridge University Press, New York
Gilat, Amos and Subramaniam, Vish. 2011. Numerical Methods for Enginers and Scientist. Third Editional. John Wiley and Sons, United States of America.
Gujarati, D. N., & Porter, D. C. 2009. Basic Econometrics (5th ed.). McGraw-Hill Irwin, New York
Halim, A. 2003. Analisis Iinvestasi. Jakarta,Salemba Empat
Hartono, Jogiyanto. 2003. Teori Portofolio dan Analisis Investasi, Edisi Kelima. Yogyakarta: BPFE.
Herhyanto, Nar.2003. Statistika Matematika Lanjutan. Bandung: Pustaka Setia.
Indeks Harga Saham Gabungan. http://www.finance.yahoo.com. Reterive On 25 February 2016
Makridakis,S.,Wheelwright,S.C, dan McGee,V.E.1992.Metode Aplikasi Peramalan.Ed.Ke-2.Terjemahan Untung Sus Andriyanto.Erlangga, Jakarta
Montgomery, D.C., Jennings, C.L., and Kulahci, M. 2008. Introduction Time Series Analysis and Forecasting. John Wiley & Sons, Inc., Hoboken, New Jersey.
Pankratz, A. 1991. Forecasting with Dynamic Regression Models. Willey Intersciences Publication, Canada.
Tsay, R.S. 2002. Analysis of Financial Time Series. John Wiley & Sonc, Inc., Canada
Wei, W.W.S. 2006. Time Series Analysis Univariate and Multivariate Methods Second Edition. Pearson Education Inc., Canada.
Yafee, R. 2000. Introduction to Time Series Anlysis and Forecasting with Aplication of SAS and SPSS. Academic Press, Inc., New York.
