i
PEMILIHAN PORTOFOLIO OPTIMAL DENGAN MENGGUNAKAN BAYESIAN INFORMATION CRITERION (BIC)
oleh EKO UTORO
M0108041
SKRIPSI
ditulis dan diajukan untuk memenuhi sebagian persyaratan memperoleh gelar Sarjana Sains Matematika
JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA 2012
commit to user
ii
iii ABSTRAK
Eko Utoro, 2012. PEMILIHAN PORTOFOLIO OPTIMAL DENGAN MENGGUNAKAN BAYESIAN INFORMATION CRITERION (BIC). Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Sebelas Maret.
Saham merupakan suatu sertifikat atau piagam yang memiliki fungsi sebagai bukti kepemilikan perusahaan dengan berbagai aspek penting. Kumpulan investasi yang dimiliki oleh institusi ataupun perorangan disebut portofolio. Portofolio dapat memberikan informasi besarnya proporsi return yang optimal dalam suatu instrumen, sehingga investor dapat menentukan besarnya alokasi dana yang diinvestasikan. Salah satu metode untuk pemilihan saham dalam pembentukan portofolio optimal adalah bayesian information criterion (BIC).BIC dipilih dalam membantu membedakan saham relevan dan tidak relevan secara konsisten pada portofolio sehingga banyak saham yang terdapat pada portofolio dapat diestimasi secara optimal. Dalam pemilihan portofolio yang dimasukkan adalah saham-saham yang mempunyai nilai BIC terkecil dari jumlah return yang berbeda-beda dari tiap saham.
Pemilihan portofolio optimal dengan menggunakan BIC diterapkan dalam penutupan harga saham pada 8 perusahaan manufaktur dibidang otomotif. Nilai BIC paling minimum yaitu -48.232327 didapatkan saat return saham sebesar 129 data. Portofolio yang tersusun merupakan gabungan dari 6 saham yang direkomendasikan untuk menginvestasikan modal 40.53% ke PT. Astra Internasional Tbk, 14.36% ke PT. Gajah Tunggal Tbk, 11.90% ke PT. Goodyear Indonesia, 8.69% ke PT. Indospring Tbk, 12.11% ke PT. Multi Prima Sejahtera, dan 12.41% ke PT. Indomobil Sukses International Tbk.
Kata kunci : return, portofolio optimal, Bayesian Information Criterion
iv ABSTRACT
Eko Utoro, 2012. OPTIMAL PORTFOLIO SELECTION WITH BAYESIAN INFORMATION CRITERION (BIC). Faculty of Mathematics and Natural Sciences, Sebelas Maret University.
Stock is a certificate or plaque that has a function as a proof of ownership of the company with the many important aspects. Collections of investments held by institutions or individuals are called portfolio. Portfolios can provide large proportion of the optimal return within an instrument, so that investors can determine the size of the allocation of funds invested. One method for selecting stocks in the optimal portfolio formation is bayesian information criterion (BIC). BIC selected to help distinguish relevant and irrelevant stock consistently at so many stock portfolios contained in the optimal portfolio can be estimated. The portfolio selection included stocks that have the smallest BIC value of the number of return different from each stock.
Selection of optimal portfolios using the BIC is applied to the closing share price on 8 companies in automotive manufacturing. The minimum value of BIC is -48.232327 obtained when stock return of 129 data. The optimal portfolio is composed of a combination 6 recommended stocks to invest capital 40.53% to PT. Astra International Tbk, 14.36% to PT. Gajah Tunggal Tbk, 11.90% to the PT. Goodyear Indonesia, 8.69% to PT. Indospring Tbk, 12.11% to PT. Multi Prima Prosperous, and 12.41% to PT. Indomobil Sukses International Tbk.
Key words: return, optimal portfolio, Bayesian Information Criterion .
v MOTO
Allah selalu menjanjikan kemudahan bagi mereka yang bersyukur atas nikmatNYA (HR Bukhari-Muslim)
Sesungguhnya keadaan-Nya apabila Dia menghendaki sesuatu hanyalah berkata kepadanya: "Jadilah!" maka terjadilah ia (QS. Yaasiin : 82)
vi
PERSEMBAHAN
Karya ini saya persembahkan untuk
Ayah dan Ibu yang tak pernah lelah menasihatiku dan telah memberikan semua yang terbaik melalui kasih sayang dan doa
vii
KATA PENGANTAR
Segala puji bagi Allah SWT, yang telah melimpahkan rahmat dan karunia-Nya dan memberikan kekuatan dan kemudahan kepada penulis sehingga dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Terselesaikannya skripsi ini tidak lepas dari bimbingan dan motivasi dari berbagai pihak. Untuk itu penulis menyampaikan ucapan terima kasih kepada
1. Ibu Dr. Sri Subanti, M.Si dan sebagai Dosen Pembimbing I atas kesediaan dan kesabaran dalam memberikan bimbingan dalam penyusunan skripsi ini, 2. Bapak Drs. Santoso Budi Wiyono, M. Si sebagai Dosen Pembimbing II
dalam memberi nasehat serta pengarahan dalam penyusunan skripsi ini, 3. semua pihak yang turut membantu kelancaran penulisan skripsi ini. Semoga penulisan skripsi ini dapat bermanfaat bagi pembaca.
Surakarta, Desember 2012 Penulis
viii DAFTAR ISI JUDUL ... i PENGESAHAN ... ii ABSTRAK ... iii ABSTRACT ... iv MOTO ... v PERSEMBAHAN ... vi
KATA PENGANTAR ... vii
DAFTAR ISI ...viii
DAFTAR TABEL ... x
I. PENDAHULUAN 1 1.1 Latar Belakang Masalah ... 1
1.2 Perumusan Masalah ... 2
1.3 Batasan Masalah ... 2
1.4 Tujuan Penelitian ... 3
1.5 Manfaat Penelitian ... 3
II. LANDASAN TEORI 4 2.1 Tinjauan Pustaka ... 4
2.1.1 Konsep Dasar Probabilitas ... 5
2.1.2 Distribusi Normal ... 6
2.1.3 Fungsi Densitas Probabilitas ... 7
2.1.4 Distribusi Prior dan Distribusi Posterior ... 8
2.1.5 Teorema Bayes ... 8
2.1.6 Metode Maksimum Likelihood ... 9
2.1.7 Return ... 10 2.1.8 Risiko (Risk) ... 11 2.1.9 Portofolio ... 11 2.1.10 Normalitas ... 12 2.2 Kerangka Pemikiran ... 13
commit to user
ix
III. METODE PENELITIAN 14
IV. PEMBAHASAN 15
4.1 Saham Relevan dan Tidak Relevan ... 15
4.2 Bayesian Information Criterion (BIC) untuk Portofolio ... 16
4.3 Penerapan Kasus ... 18
4.3.1 Statistik Deskriptif Data Saham ... 19
4.3.2 Uji Normalitas Data Return Saham ... 19
4.3.3 Ukuran Portofolio ... 21 4.3.4 Bobot Portofolio ... 23 V. PENUTUP 24 5.1 Kesimpulan ... 24 5.2 Saran ... 24 DAFTAR PUSTAKA 25 LAMPIRAN 27
commit to user
x
DAFTAR TABEL
4.1 Statistik deskriptif return dari 8 saham perusahaan manufaktur ... 20 4.2 Uji Kolmogorov-Smirnov sampel 120 dan 200 data return saham ... 21 4.3 Tabel eliminasi Backward BIC untuk sampel yang berbeda-beda ... 22
BAB I PENDAHULUAN
1.1. LATAR BELAKANG MASALAH
Pasar modal menjadi wahana alternatif untuk berinvestasi selain pada investasi nyata yang berupa pembelian surat-surat berharga seperti obligasi, saham dan lain-lain. Saham merupakan suatu sertifikat atau piagam yang memiliki fungsi sebagai bukti kepemilikan suatu perusahaan dengan berbagai aspek-aspek penting bagi perusahaan. Pemilik saham akan mendapatkan hak untuk menerima sebagaian pendapatan tetap atau deviden dari perusahaan serta kewajiban menanggung risiko kerugian yang diderita perusahaan.
Investasi merupakan penempatan sejumlah dana pada masa sekarang dengan harapan untuk memperoleh keuntungan di masa yang akan datang. Kumpulan investasi yang dimiliki oleh institusi ataupun perorangan disebut portofolio. Risiko tertentu dapat dikurangi dan memberikan potensi tingkat keuntungan yang cukup dan tetap dengan memiliki beberapa aset. Alokasi aset memerlukan strategi investasi dengan menempatkan dana dalam berbagai instrumen investasi dengan tingkat risiko dan potensi keuntungan yang berbeda yang biasa disebut diversifikasi.
Menurut Laksono [4] pertimbangan yang dilakukan investor adalah membentuk portofolio untuk menanggung risiko tertentu guna memperoleh return yang sebesar-besarnya atau dengan risiko yang sekecil-kecilnya untuk memperoleh return tertentu. Portofolio dapat memberikan informasi besarnya proporsi return yang optimal dalam suatu instrumen sehingga investor dapat menentukan besarnya alokasi dana yang diinvestasikan.
Markowitz [7] merekomendasikan suatu portofolio optimal dimana mampu memberikan expected return yang maksimum sekaligus meminimumkan risiko. Teori portofolio yang dikenal dengan istilah mean - variance efficiency (MV), namun jumlah portofolio yang besar akan membentuk suatu matrik kovariansi dengan dimensi tinggi yang akan menyulitkan dalam mengestimasi secara akurat. Estimasi eror dapat menyebabkan portofolio yang terbentuk
menjadi tidak stabil. Untuk menyelidiki pengaruh dari estimasi eror maka perlu dilakukan pengontrolan banyak saham yang dimasukkan dalam portofolio.
Lan, et al. [5] yang mengenalkan saham relevan dan tidak relevan dalam pemilihan portofolio untuk menyeimbangkan diversifikasi serta estimasi eror. Saham relevan adalah saham yang seharusnya masuk dalam portofolio sedangakan saham tidak relevan adalah saham yang tidak mampu menambah pengurangan resiko yang telah dilakukan oleh saham relevan. Pembedaan saham relevan dan tidak relevan ini dilakukan dengan membangun suatu kriteria pemilihan. Bayesian information criterion (BIC) dipilih dalam membantu membedakan saham relevan dan tidak relevan secara konsisten pada portofolio sehingga banyak saham yang terdapat pada portofolio dapat diestimasi secara optimal. Dalam penelitian ini dilakukan kajian ulang dari penelitian terdahulu yang dilakukan oleh yaitu tentang pembentukan portofolio optimal dengan menggunakan BIC.
Menurut Polson dan Tew [9] portofolio dibentuk dari data return harian saham karena data return harian mampu memberikan nilai informasi mengenai estimasi struktur varians kovarian return di masa mendatang. Saham yang digunakan dalam penerapan kasus adalah penutupan harga saham harian dari perusahaan manufaktur otomotif yaitu yang diperjualbelikan di pasar modal dan memberikan gambaran perusahaan mana saja yang lebih baik dimasukkan pada portofolio sekaligus bobot investasi optimal pada portofolio tersebut.
1.2. PERUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang dapat dibuat rumusan masalah yaitu bagaimana menentukan pemilihan saham dan bentuk portofolio optimal dengan menggunakan BIC.
1.3.BATASAN MASALAH
Untuk membatasi permasalahan agar tidak meluas, data yang digunakan dalam penelitian ini adalah data saham Perusahaan manufaktur otomotif yang diperjualbelikan di pasar modal Indonesia tanggal 1 Januari 2010 sampai 18
Oktober 2010. Metode yang digunakan dalam penelitian ini adalah BIC. BIC digunakan untuk membentuk portofolio optimal berdasarkan nilai terkecil.
1.4.TUJUAN PENELITIAN
Berdasarkan perumusan masalah, tujuan dari penelitian ini adalah mengetahui pemilihan saham dan bentuk portofolio optimal dengan menggunakan BIC.
1.5.MANFAAT PENELITIAN
Manfaat dari penelitian ini adalah teoritis dan praktis. Manfaat teoritis yaitu memberikan pengetahuan mengenai investasi dan portofolio. Sedangkan manfaat praktis yaitu memberikan informasi bagi investor untuk menetapkan portofolio dalam pemilihan saham sehingga investor dapat mempertimbangkan saham-saham yang akan diinvestasikan.
BAB II
LANDASAN TEORI
Pada bagian ini terdiri dari tinjauan pustaka dan kerangka pemikiran. Tinjauan pustaka berisi tentang penelitian-penelitian yang terdahulu dan digunakan sebagai dasar dilaksanakannya penelitian ini, serta teori-teori penunjang berisi definisi-definisi yang digunakan dalam pembahasan. Sedangkan kerangka pemikiran merupakan alur pikir dalam pembuatan skripsi ini.
2.1. TINJAUAN PUSTAKA
Penelitian terdahulu diperoleh dari studi-studi mengenai tentang BIC, BIC
merupakan pengembangan dari yang dilakukan
oleh Schwarz [10]. Studi yang pernah dilakukan oleh Lan, et al. [5] yang mengenalkan saham relevan dan tidak relevan dalam pemilihan portofolio untuk menyeimbangkan diversifikasi serta estimasi eror. Saham relevan adalah saham yang seharusnya masuk dalam portofolio sedangkan saham tidak relevan adalah saham yang tidak mampu menambah pengurangan risiko yang telah dilakukan oleh saham relevan. Pembedaan saham relevan dan tidak relevan ini dilakukan dengan membangun suatu kriteria pemilihan. BIC digunakan dalam membedakan saham relevan dan tidak relevan secara konsisten pada portofolio sehingga banyak saham yang terdapat pada portofolio dapat diestimasi secara optimal.
Studi lain dalam membentuk susunan portofolio berdasarkan BIC juga dilakukan oleh [8] yaitu tentang perbandingan pemilihan portofolio optimal menggunakan BIC dan Mean-Variance Efficiency pada indeks LQ45. Hasil yang diperoleh adalah metode pemilihan portofolio BIC lebih baik digunakan dalam pembentukan portofolio optimal daripada Mean-Variance Efficiency (MV) dengan nilai risiko yang lebih kecil.
2.1.1. Konsep Dasar Probabilitas
Berikut ini dituliskan tiga belas definisi dan tiga teorema yang diambil dari Bain & Engelhardt [1].
Definisi 2.1 Probabilitas merupakan suatu nilai untuk mengukur tingkat kemungkinan terjadinya suatu kejadian yang tidak pasti (uncertain event).
Nilai probabilitas dapat dihitung berdasarkan nilai hasil observasi (sifatnya subjektif) atau berdasarkan pertimbangan pembuat keputusan. Suatu merupakan besarnya nilai kemungkinan munculnya suatu kejadian adalah diantara 0 dan 1.
Diambil suatu percobaan dari sampel , dengan bagian dari sampel . Suatu dikatakan sebagai probabilitas dari peristiwa jika dan hanya jika memenuhi 3 kondisi, yaitu
1. 2.
3. untuk suatu barisan peristiwa yang saling asing, yaitu peristiwa
dengan ketika maka
Definisi 2.2 Jika dan B adalah kejadian dengan , maka probabilitas bersyarat didefinisikan sebagai
Teorema 2.1 Misalkan kejadian dengan maka
Teorema 2.2 Jika partisi dari dan sembarang kejadian, maka
bukti :
partisi dari artinya untuk
2.1.2. Distribusi Normal
Definisi 2.3 Suatu variabel random akan mengikuti distribusi normal mean dan variansi yang dinotasikan dengan mempunyai persamaan pdf
untuk
dimana dan .
Definisi 2.4 Nilai ekspektasi dari yaitu
Definisi 2.5 Variansi yaitu
dengan substitusi , maka persamaan menjadi pdf normal standar
2.1.3. Fungsi Densitas Probabilitas
Definisi 2.6 Suatu fungsi dari variabel random diskrit menyatakan probabilitas setiap nilai x, yaitu
Maka disebut fungsi densitas probabilitas diskrit, dengan fungsi distribusi kumulatifnya dinyatakan dengan
Definisi 2.7 Suatu variabel random disebut variabel random kontinu jika terdapat fungsi f(x), maka fungsi kumulatifnya dinyatakan dengan
Fungsi densitas probabilitas bersama atau joint probability density function, dari variabel random diskrit berdimensi k dimana
didefinisikan sebagai
untuk semua nilai yang mungkin dari
Definisi 2.8 Jika pasangan dari variabel random diskrit yang mempunyai pdf bersama maka pdf marginal dari dan adalah
secara umum
Dalam kasus kontinu pdf marginal didefinisikan dengan menggunakan jumlahan menjadi integral.
Fungsi distribusi kumulatif bersama (joint cumulative distribution function, disingkat CDF) dari variabel random berdimensi k dengan
didefinisikan sebagai
Definisi 2.9 Suatu adalah variabel random berdimensi k dengan CDF bersama maka CDF marginal dari adalah
Definisi 2.10 Jika dan adalah variabel random diskrit atau kontinu dengan pdf bersama maka pdf bersyarat dari diberikan
didefinisikan sebagai
untuk semua nilai sedemikian sehingga dan nol untuk lainnya.
2.1.4. Distribusi Prior dan Distribusi Posterior
Distribusi prior dari suatu parameter merupakan fungsi kepadatan probabilitas yang menggambarkan tingkat keyakinan nilai . Fungsi kepadatan posterior untuk merupakan fungsi kepadatan probabilitas bersyarat diberikan nilai sampel y, sehingga
Secara umum, distribusi posterior menggambarkan tingkat keyakinan terhadap kemungkinan nilai parameter setelah diberikan nilai sampel.
2.1.5. Teorema Bayes
Teorema Bayes digunakan untuk mengestimasi dua informasi, yaitu informasi dari data observasi baru dan informasi yang telah diperoleh sebelumnya.
Teorema 2.3 Ditentukan variabel random adalah sebuah vektor dari n observasi dengan distribusi dan bergantung pada suatu
himpunan parameter , maka
Untuk X merupakan data observasi, distribusi bersyarat dari adalah
Distribusi prior merupakan distribusi awal sebelum diperoleh data observasi dan dinotasikan . Sedangkan distribusi posterior merupakan distribusi ketika data observasi telah diketahui dan dinotasikan sebagai . Distribusi posterior adalah fungsi distribusi probabilitas bersyarat dengan nilai observasi X telah diketahui. Distribusi posterior untuk yang kontinu dapat ditentukan sebagai
sedangkan distribusi posterior untuk yang diskrit adalah
dengan adalah distribusi prior dan adalah fungsi distribusi data observasi atau fungsi likelihood.
2.1.6. Metode Maksimum Likelihood Fungsi densitas probabilitas bersama dari variabel random
dengan sebagai fungsi likelihood. Untuk yang
tetap, fungsi likelihood adalah fungsi dituliskan dengan . Jika adalah sampel random dari maka
Definisi 2.12 Misal L adalah fungsi densitas probabilitas bersama dari . Jika diberikan nilai observasi
, nilai dari dalam dimana menjadi maksimum disebut estimasi maksimum likelihood dari .Maka merupakan nilai dari sehingga
Definisi 2.13 Misal adalah peubah acak yang iid dengan pdf dimana merupakan suatu vektor dari p-parameter yang tidak diketahui. Suatu parameter dapat ditemukan dengan melakukan taksiran terhadap joint likelihood. Dalam melakukan penaksiran joint maximum likelihood ada beberapa tahapan yang harus dilakukan,
1. mencari pdf bersama dari yaitu . Karena
adalah peubah acak yang iid maka
2. mencari fungsi likelihood-nya. Fungsi likelihood didefinisikan sebagai pdf bersama dari yang dianggap sebagai fungsi dari . Dimisalkan fungsi likelihood
=
3. mencari taksiran dari . Dalam metode penaksiran joint maximum likelihood, taksiran dari diperoleh dengan menemukan nilai , sebut yang memaksimumkan fungsi likelihood. Maka disebut taksiran joint maximum likelihood dari .
2.1.7. Return
Menurut Sularso [13] return merupakan imbalan atas keberanian investor menanggung risiko atas investasi yang dilakukan. Sumber-sumber return investasi terdiri dari dua komponen utama, yaitu yield dan capital gain. Return harian tiap saham dikenal dengan return individual. Return ini merupakan logaritma natural harga saham pada waktu t dibagi harga saham pada waktu t - 1.
Dimana adalah harga saham pada waktu dan adalah harga saham pada waktu t.
2.1.8. Risiko (Risk)
Risiko atau risk merupakan kemungkinan perbedaan antara return aktual yang diterima dengan return yang diharapkan. Risiko dari suatu portofolio saham bergantung kepada variabel proporsi dari saham-saham individu, varians- covarian dari saham-saham tersebut. Perubahan yang terjadi pada variabel-variabel tersebut akan merubah risiko dari portofolio. Risiko portofolio akan menurun sesuai dengan banyaknya saham yang berbeda ditambahkan ke dalam portofolio serta risiko dari tiap-tiap saham individu dan tingkat dimana risiko itu independen [12].
Dalam upaya untuk meminimumkan risiko, seorang investor sebaiknya melakukan diversifikasi dengan membentuk portofolio. Diversifikasi risiko ini sangat penting untuk investor, karena dapat meminimumkan risiko yang muncul tanpa harus mengurangi return yang diterima. Portofolio merupakan strategi diversifikasi investasi ke dalam dua atau lebih saham untuk menurunkan risiko. Tujuan yang mendasar dari portofolio adalah untuk mendapatkan alokasi yang optimal diantara aset - aset yang berbeda [11].
2.1.9. Portofolio
Portofolio merupakan kombinasi atau gabungan aset, baik berupa aset riil maupun finansial yang dimiliki oleh investor. Dalam membentuk portofolio banyak kemungkinan terdapat aset yang jumlahnya tidak terbatas sehingga investor harus dapat menentukan portofolio mana yang akan dipilih. Perlu dilakukan identifikasi seberapa proporsi dana yang akan diinvestasikan pada masing-masing aset agar portofolio menghasilkan keuntungan yang besar tetapi risiko yang ditanggung kecil [3].
Return dari portofolio dapat ditulis
dengan
N : banyaknya aset dalam portofolio : return dari aset ke-i pada periode ke-t
: proporsi aset ke-i dalam portofolio, dengan . Bentuk notasi matriks return portofolio pada waktu dapat ditulis
Nilai ekspektasi dari return portofolionya yaitu
dan variannya adalah
.
Dalam bentuk notasi matriks, nilai ekspektasi dan variansi dari return portofolio dapat ditulis
= ,
, dengan adalah matriks varian-covarian.
2.1.11. Normalitas
Menurut Gujarati [2] salah satu cara menguji kenormalan data adalah uji Kolmogorov-Smirnov. Uji Kolmogorov-Smirnov merupakan pengujian normalitas yang banyak dipakai, terutama setelah adanya banyak program statistik yang beredar. Kelebihan dari uji ini adalah sederhana dan tidak menimbulkan perbedaan persepsi di antara satu pengamat dengan pengamat yang lain, yang
sering terjadi pada uji normalitas dengan menggunakan grafik. Penerapan pada uji Kolmogorov-Smirno
akan diuji mempunyai perbedaan yang signifikan dengan data normal baku, berarti data tersebut tidak normal. Pengujian hipotesis yang digunakan adalah
a) Jika p-value
b) Jika p-value maka data berdistribusi normal.
2.2.KERANGKA PEMIKIRAN
Perkembangan jual-beli surat berharga di bursa saham mengharuskan investor harus menyusun portofolio yang optimal sehingga mendapatkan tingkat pengembalian yang maksimal. Banyaknya portofolio yang disusun akan tetap memiliki return dan risiko yang tidak pasti. Maka pada penelitian ini dapat dibentuk suatu portofolio yang optimal dari beberapa saham yang terpilih berdasarkan nilai BIC yang diperoleh. Peneliti ini menyusun portofolio dengan menggunakan Bayesian Information Criterion (BIC) yaitu menghitung data return dari data saham yang diperoleh, menguji data return yang didapat dengan uji distribusi normal, sehingga data return yang normal dapat dibentuk bermacam-macam portofolio dengan nilai sampel n berbeda-beda, sehingga didapat saham-saham relevan yang memiliki nilai BIC terkecil. Portofolio yang tersusun dari saham relevan yang mempunyai nilai return yang maksimal dan risiko yang minimum.
BAB III
METODE PENELITIAN
Metode yang digunakan dalam penulisan skripsi ini adalah studi literatur yaitu dengan mempelajari referensi yang berupa buku dan jurnal yang bersesuaian dengan tujuan penelitian skripsi ini. Dalam penelitian ini materi utama untuk pembelajaran adalah bayesian information criterion (BIC). Langkah-langkah yang dilakukan dalam penulisan skripsi ini adalah
1. mengkaji ulang literatur mengenai BIC,
2. menentukan pemilihan portofolio menggunakan BIC,
3. penerapan BIC pada pembentukan portofolio pada 8 saham perusahaan manufaktur yang bergerak di bidang otomotif di Indonesia,
a. melakukan uji normal Kolmogorov-Smirnov, uji independensi dan uji stasioneritas pada return saham,
b. menentukan ukuran sampel portofolio yang berbeda - beda untuk proses BIC,
c. melakukan eliminasi Backward kepada tiap ukuran sampel yang berbeda,
d. memilih ukuran sampel yang minimum terhadap proses BIC, e. menghitung bobot portofolio dari setiap saham yang dipilih
f. membentuk susunan portofolio dari gabungan saham-saham yang terpilih,
BAB IV PEMBAHASAN
Salah satu metode untuk pembentukan portofolio optimal adalah bayesian information criterion (BIC). BIC merupakan metode pemilihan model dari beberapa saham yang membentuk model. Metode pemilihan model dengan menggunakan BIC didasarkan pada metode MLE dan Teorema Bayes. Dalam memilih model terbaik dengan metode BIC dipilih model dengan nilai BIC terkecil. Semakin kecil nilai BIC semakin baik modelnya. BIC dalam pembahasan ini digunakan pemilihan saham untuk membentuk portofolio terhadap nilai return saham yang berbeda. Penghitungan BIC digunakan untuk menyusun portofolio optimal yaitu tersusun atas saham-saham yang relevan.
4.1. Saham Relevan dan Tidak Relevan
Misalkan adalah jumlah aset yang akan diinvestasikan, adalah vektor bobot portofolio yang terdiri atas aset, adalah vektor return dari d aset dan adalah matrik kovarians dari d aset, adalah vektor sepanjang dimana elemen vektornya adalah 1 [7].
Suatu adalah return dari saham ke- pada waktu ke-
dan dimana adalah jumlah kandidat saham dan
diasumsikan bahwa adalah suatu variabel random yang berdistribusi
independen dan identik dengan dan untuk .
Untuk mengecilkan variansi portofolio, salah satu cara yang dilakukan adalah dengan menentukan vektor bobot optimal sehingga dapat diminimumkan dibawah constrain dimana .Penyelesaian optimal untuk meminimumkannya adalah
dimana nilai variansinya .
Notasi mewakili portofolio yang tersusun atas saham ke , sehingga ukuran dari . Portofolio yang tersusun atas semua kandidat saham dinotasikan sebagai . Berdasarkan penjelasan
sebelumnya, solusi bobot optimal adalah vektor yang didapatkan dari portofolio full-size sehingga dapat dikatakan bahwa . Suatu saham dikatakan relevan jika bobot yang sesuai pada adalah tidak nol. Sedangkan saham yang tidak relevan jika bobot yang sesuai adalah nol. Portofolio optimal
adalah dengan ukuran sedangkan komplemennya
adalah dengan ukuran .
Saham relevan adalah saham yang harus dimasukkan dalam portofolio dan tidak relevan adalah saham yang tidak dapat mengurangi risiko yang sudah dilakukan oleh saham relevan. Syarat perlu dan cukup bahwa adalah untuk setiap didapatkan dimana adalah koefisien regresi dari untuk dan diasumsikan mengikuti distribusi normal. Untuk sembarang portofolio dan saham sembarang , didapatkan
dimana diasumsikan independen terhadap untuk [5].
4.2.Bayesian Information Criterion (BIC) untuk Portofolio
Bayesian information criterion (BIC) merupakan salah satu pemilihan kriteria informasi. Selain mean variance efficiency bisa menggunakan BIC untuk menentukan pemilihan struktur portofolio optimal. Pada pemilihan model ekonomi, BIC merupakan kriteria yang digunakan sebagai salah satu pemilihan model terbaik. Kriteria informasi ini digunakan untuk mengestimasi dimensi dari model. BIC dibangun dari log maximum likelihood dan dimensi model atau jumlah parameter. BIC melengkapi pemilihan kriteria informasi untuk kasus dengan jumlah data sampel besar [10].
Lan, et al [5] mempertimbangkan fungsi joint likelihood dalam pemilihan portofolio menggunakan BIC. Fungsi joint likelihood dari
dimana . Fungsi marginal likelihood untuk kandidat portofolio adalah
Estimasi maksimum likelihood untuk dinotasikan merupakan
nilai maksimum dari fungsi , maka nilai untuk
saham relevan dan untuk saham tidak relevan.
Selanjutnya didapat fungsi conditional likelihood yang diberikan adalah
dimana . Fungsi joint likelihood
.
Estimasi maksimum likelihood untuk dinotasikan merupakan nilai maksimum dari fungsi , namun terlebih dahulu mengestimasi parameter yang dibangun dibawah constrain dan sedangkan nilai dari adalah nol, maka didapat
maka berdasarkan maka dapat dicari estimasi maksimum dari didapat
dimana .
Portofolio yang dipilih harus mempunyai fungsi joint likelihood . Berdasarkan penjelasan Schwarz [10], pemilihan portofolio dengan menggunakan BIC didapatkan menurut :
dimana
berdasarkan jumlah parameter yang tidak diketahui pada dan . Penyederhanaan yaitu
karena konstan dan dapat diabaikan sehingga Nilai BIC diperoleh dengan Memaksimumkan dan juga menhilangkan konstanta sehingga terbentuk
Portofolio optimal yang dipilih adalah .
Bobot optimal dihitung dengan cara meminimumkan dimana . Untuk sampel ukuran didapatkan bahwa Hal ini menunjukkan bahwa BIC mampu mengidentifikasi portofolio , portofolio yang tersusun dari saham relevan secara konsisten.
4.3.Penerapan Kasus
Investasi dilakukan untuk memperoleh return yang optimal dan risiko yang paling kecil. Investasi saham memberikan suatu return yang tidak pasti karena harga saham yang selalu berfluktuasi. Untuk mengurangi risiko akibat fluktuasi tersebut investor harus mempertimbangkan investasi berupa portofolio saham. Portofolio saham perlu dilakukan agar saham yang terbentuk menjadi optimal.
Contoh kasus yang diambil adalah penutupan harga 8 saham harian perusahaan manufaktur yang ada di Indonesia. Variabel X mewakili return harga saham dengan merupakan return PT. Astra Internasional Tbk, merupakan return PT. Gajah Tunggal Tbk, merupakan return PT. Goodyear Indonesia, merupakan return PT. Nippress Tbk, merupakan return PT. Indospring Tbk,
merupakan return PT. Multi Prima Sejahtera, merupakan return PT. Selamat Sempurna Tbk, merupakan return PT. Indomobil Sukses International Tbk yang bergerak dibidang otomotif di Indonesia selama 201 periode dari 1
Januari 2010 sampai 18 Oktober 2010. Data saham tersebut diperoleh dari www. yahoofinance. com [14].
4.3.1. Statistik Deskriptif Data Return Saham
Tabel 4.1 Statistik deskriptif return dari saham perusahaan manufaktur di Indonesia.
Saham Mean Std. Deviation Minimum Maksimum
-0.000132 0.020860 -0.076710 0.060418 0.001329 0.025993 -0.057158 0.059898 -0.000474 0.036136 -0.095310 0.086614 -0.000924 0.053626 -0.120144 0.121361 -0.003394 0.037289 -0.089729 0.126195 -0.000052 0.035590 -0.076540 0.221307 0.001878 0.027530 -0.159329 0.205852 0.001565 0.030843 -0.095310 0.091138
Dalam contoh kasus ini diperoleh rata-rata return dari PT. Astra Internasional Tbk = -0.000132 dengan standar deviasi = 0.020860, rata-rata return dari PT. Gajah Tunggal Tbk = 0.001328 dengan standar deviasi = 0.025993, rata-rata return dari PT. Goodyear Indonesia = -0.000474 dan dengan standar deviasi = 0.036136, rata-rata return dari PT. Nippress Tbk = -0.000924 dan dengan standar deviasi = 0.053626, rata-rata return dari PT. Indospring Tbk = -0.003394 dengan standar deviasi = 0.037289, ratarata return dari PT. Multi Prima Sejahtera = -0.000052 dengan standar deviasi = 0.035589, rata-rata return dari PT. Selamat Sempurna Tbk = 0.001878 dengan standar deviasi = 0.027530, rata-rata return dari PT. Indomobil Sukses International = 0.001565 dengan standar deviasi = 0.030843. Hal ini menunjukkan bahwa saham perusahaan-perusahaan di atas bervariasi.
4.3.2. Uji Normalitas Data Return Saham
Sebelum dilakukan perhitungan BIC, perlu dilakukan uji asumsi kenormalan data untuk return saham. Masing-masing
commit to user
return aset tunggal diujidengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov untuk mengetahui apakah benar return saham berdistribusi normal. Jika return saham tidak berdistribusi normal maka tidak dapat dimasukkan dalam pembentukan portofolio dengan metode BIC. Tabel 4.2 Hasil Uji Kolmogorov-Smirnov sampel 120 dan 200 data return
saham.
Saham Nilai p-value 120 data return Nilai p-value 200 data return
0,957 0,967 0,525 0,108 0,380 0,229 0,382 0,090 0,614 0,227 0,157 0,107 0,000 0,000 0,691 0,174
Hasil uji Kolmogorov-Smirnov menunjukkan nilai p-value > 0,05 sehingga ada return 7 saham yang berdistribusi normal dan ada yang tidak berdistribusi normal. PT. Astra Internasional Tbk, PT. Gajah Tunggal Tbk, PT. Goodyear Indonesia, PT. Nippress Tbk, PT. Indospring Tbk, PT. Multi Prima Sejahtera, PT Indomobil Sukses International Tbk berdistribusi normal sehingga dapat dimasukkan dalam model portofolio. Sedangkan untuk PT. Selamat Sempurna Tbk tidak berdistribusi normal sehingga tidak dimasukkan dalam pembentukan portofolio optimal menggunakan BIC.
Untuk mengetahui data return berdistribusi normal independen akan dilakukan uji independensi dengan uji hipotesis :
: data return tidak saling berhubungan (independen) : data return saling berhubungan (tidak independen)
Nilai p-value dari data return saham (dalam Lampiran 3) lebih besar dari tingkat signifikansi yaitu 5% dengan demikian berdasarkan uji probabilitas dapat
disimpulkan bahwa diterima. Jadi data return independen.
Untuk mengetahui data return memiliki dan
dilakukan uji stasioneritas. Kestasioneran data dapat diketahui menggunakan uji unit root test dengan hipotesis :
: data mempunyai unit root atau tidak stasioner : data tidak mempunyai unit root atau stasioner
Nilai probabilitas ADF (dalam Lampiran 3) adalah 0.0000 dan nilai ini lebih kecil dari tingkat signifikansi yaitu 5% yang berakibat ditolak. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa data stasioner dalam rata-rata atau memiliki dan . Jadi, data return saham berdistribusi normal
independen dengan dan .
4.3.3. Ukuran Portofolio
Pembentukan portofolio dengan menggunakan BIC ukuran portofolio saham ditentukan berdasarkan nilai BIC yang minimum dari semua kemungkinan ukuran portofolio saham dari tiap ukuran return yang ditentukan. Ukuran return dari tiap saham yang digunakan 120, 128, 129, 130, 140, 150, 160, 170, 180, 190, dan 200. Ukuran sampel diambil berbeda untuk menilai ukuran portofolio yang konsisten. Analisis untuk menghitung ukuran BIC portofolio dimulai dengan menggunakan ukuran sampel terendah 120 data. Penentuan portofolio dilakukan dengan mencari nilai BIC minimum yang dilakukan dengan metode Backward.
Portofolio dibentuk pada awal dengan ukuran yaitu 7 saham yang memiliki distribusi normal kemudian dieliminasi satu per satu berdasarkan nilai BIC yang dihasilkan. Saat saham dikeluarkan dari portofolio memberikan nilai yang minimum dibandingkan saat saham lain dikeluarkan maka perhitungan BIC untuk langkah selanjutnya dilakukan tanpa menggabungkan lagi saham yang telah dikeluarkan kedalam portofolio.
Tabel 4.3 Tabel eliminasi Backward BIC untuk sampel data yang berbeda-beda.
Sampel
Return Eliminasi Saham Nilai BIC Jumlah Saham
120 -48.156451 6 128 -48.225364 6 129 -48.232327 6 130 -48.225022 6 140 -48.196441 6 150 -48.141294 6 160 -48.126307 6 170 -47.822157 6 180 -47.517122 6 190 -47.393547 6 200 -47,176369 6
Dari data di atas dapat terlihat nilai BIC dari eliminasi masing-masing sampel yang berbeda beda dari 7 saham yang dimasukkan dalam penyusunan portofolio. Nilai BIC yang tertera merupakan nilai estimasi terhadap resiko dengan menggunakan return saham. Pada penghitungan nilai BIC yang terendah dari tiap-tiap sampel berada di iterasi yang pertama yaitu dengan jumlah sebanyak 6 saham.
Setiap eliminasi portofolio akan diketahui nilai dari BICnya sehingga dapat ditentukan portofolio mana yang akan diambil sebagai portofolio optimal dari tiap-tiap sampel. Pada sampel return 120 sampai 200 saham yang dieliminasi merupakan saham yang mempunyai nilai BIC terbesar adalah .
Portofolio yang dipilih mempunyai nilai BIC yang paling kecil dari Tabel 4.3 didapat nilai -48.232327 sehingga diperoleh sebesar 129 data return saham
dan sebanyak 6 saham yaitu .
4.3.4. Bobot Portofolio
Susunan portofolio optimal yang dihasilkan dapat dihitung dengan menghitung bobot dari 6 saham yang dipilih dengan menghitung
maka dapat diperoleh
sehingga didapat
dengan nilai sehingga . Dengan
persamaan diatas maka didapat
Susunan portofolio optimal yang dihasilkan berdasarkan perhitungan BIC yang minimum adalah
= 0.4053 + 0.1436 + 0.1190 + 0.0869 + 0.1211 + 0.1241 . Dari hasil di atas merekomendasikan untuk menginvestasikan 40.53% modal ke saham PT. Astra Internasional Tbk, 14.36% modal ke saham PT. Gajah Tunggal Tbk, 11.90% modal ke saham PT. Goodyear Indonesia, 8.69% modal ke saham PT. Indospring Tbk, 12.11% modal ke saham PT. Multi Prima Sejahtera, dan 12.41% modal ke saham PT. Indomobil Sukses International Tbk.
BAB V PENUTUP
5.1. Kesimpulan
Berdasarkan pembahasan mengenai pembentukan portofolio dengan menggunakan bayesian information criterion pada jumlah sampel tertentu maka dapat diambil kesimpulan yaitu:
1. Pemilihan saham untuk membentuk portofolio optimal dengan menggunakan BIC yaitu
2. Susunan portofolio berdasarkan nilai penghitungan BIC terkecil dari 8 perusahaan manufaktur bidang otomotif adalah
= 0.4053 + 0.1436 + 0.1190 + 0.0869 + 0.1211 + 0.1241 . Portofolio yang tersusun merupakan gabungan dari 6 saham yang merekomendasikan untuk diinvestasikan 40.53% modal ke saham PT. Astra Internasional Tbk, 14.36% modal ke saham PT. Gajah Tunggal Tbk, 11.90% modal ke saham PT. Goodyear Indonesia, 8.69% modal ke saham PT. Indospring Tbk, 12.11% modal ke saham PT. Multi Prima Sejahtera, dan 12.41% modal ke saham PT. Indomobil Sukses International Tbk.
5.1Saran
Dalam penulisan skripsi ini, penulis hanya mengkaji ulang dari pemilihan portofolio dengan menggunakan bayesian information criterion. Bagi pembaca yang berminat, penulis menyarankan untuk :
1. melanjutkan pembahasan mengenai pemilihan portofolio metode lainnya seperti CAPM, Bayesian Naive dan sebagainya
2. memperluas pembahasan BIC pemilihan portofolio dengan data saham yang lebih banyak misal dengan jumlah saham 30 dan harga penutupan saham harian 500 periode.
