VERTEX ANTIMAGIC TOTAL LABELING PADA MULTICYCLE DAN MULTICOMPLETE BIPARTITE. Dominikus Arif Budi Prasetyo, Chairul Imron. ABSTRAK

VERTEX ANTIMAGIC TOTAL LABELING

PADA MULTICYCLE DAN MULTICOMPLETE BIPARTITE Dominikus Arif Budi Prasetyo, Chairul Imron.

ABSTRAK

Labeling graph merupakan salah satu bidang dalam graph yang berkembang pesat saat ini. Salah satu darilabeling graphadalah vertex antimagic total labeling. Misalkan G adalah graph dengan p vertex dan q edge. Suatu pemetaan bijektif f V G:

    

E G  1, 2,...,pq



disebut (a, d) vertex antimagic total labeling dari (p, q)-graph G jika bobot dari vertex





f |





, , 2 ,...,

 

1



W w u u V a ad ad a p d . Dalam hal ini sifat vertex antimagic total labelingdimiliki olehgraph cycleganjilCp denganp> 3 .

Dalam penelitian ini akan dikembangkan gabungan beberapa graph cycle

yang sama dan akan diteliti sejauh manamulticycle mCp dangraph multicomplete bipartite sKp1,p2 memenuhi (a, d) vertex antimagic total labeling. Hasil dari

penelitian ini diharapkan akan diperoleh batasan dan pola mCp dan sKp1,p2 agar

memenuhi (a,d)vertex antimagic total labeling.

Kata Kunci : antimagic,cycle, multicycle, multicomplete bipartite, vertex antimagic total labeling.

1. Pendahuluan

Graph merupakan salah satu cabang matematika yang saat ini sangat berkembang pesat. Salah satu bagiannya adalah graph labeling. Dalam hal ini,

graphyang dipakai adalah terbatas, sederhana dan tidak berarah. Suatu pelabelan

graph membawa himpunan dari vertex atau edge atau keduanya ke himpunan bilangan bulat (biasanya positif atau non negatif). Jenis dari labeling biasanya tergantung pada domainnya, yaitu vertex, edge atau keduanya yang biasa disebut

vertex labeling, edge labeling atau total labeling. Dalam penelitian ini domain yang dipakai adalahvertexdanedge, sehingga disebuttotal labeling.

Beberapa penulis memperkenalkan labeling dengan menggeneralisasi ide dari persegi ajaib. Penelitian ini pertama kali dilakukan oleh Kotzig dan Rosa (1970).Vertex magic total labelingpertama kali dikenalkan oleh MacDougal, dkk (2002). Vertex magic total labeling didefinisikan sebagai pemetaan bijektif

    



: 1, 2,...,

f V G E G  pq dengan konstanta h sedemikian hingga untuk setiapvertex uV memenuhi f u







f uv

 

h dengan vsemuavertexyang

adjacentdenganudan v V .

Konsep tentangantimagic graph diperkenalkan oleh Hartsfield dan Ringel (1990). Mereka menuliskan bahwa suatu antimagic labeling merupakan edge labeling dari suatu graph dengan bilangan bulat



1,2,,q



sedemikian hingga bobot setiap vertexnya berbeda. Selanjutnya Bodendiek dan Walther (1993) mendefinisikan konsep (a, d) antimagic labeling sebagai suatu edge labeling

dengan bobot vertex-vertexnya membentuk barisan aritmetika naik dengan suku pertamaadan bedad.

Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/261

Sebagai contoh diberikan ilustrasi pada gambar berikut, yaitu (a,d)vertex antimagic total labelingpadacycle.

4 3 8 5

1 2 6 2

5 3 6 1 4 7

(a) (b)

Gambar 1.1 (7, 2)vertex antimagic total labeling(a) dan (11, 2)vertex antimagic total labeling(b)

Dalam makalah ini akan dirumuskangraph yang dibangun dari beberapa

graph yang sama sedemikian hingga memenuhi (a, d) VATL. Graph tersebut adalah multicycle (mCp) dan multicomplete bipartite (sKp1,p2) dan akan diteliti

sejauh mana memenuhi (a, d)VATLdarigraphtersebut.

2. Labeling Graph

Labeling graph adalah pemetaan bijektif yang memetakan semua elemen dari graph tersebut ke suatu himpunan bilangan yang biasanya bilangan bulat positif. Ada beberapa macamlabeling, yaitulabeling yang domainnya himpunan

vertexdan biasa disebutvertex labeling,labeling yang domainnya himpunanedge

dan biasa disebut edge labeling serta labeling yang domainnya keduanya dan biasa disebut total labeling. Pada penelitian ini akan digunakan total labeling

dalam pengkajian masalah. Berikut diberikan beberapa definisi tentanglabeling. Definisi 2.1

Vertex magic total labelingdari (p,q)-graph, G, adalah pemetaan bijektif

    



: 1, 2,...,

f V G E G  pq sedemikian hingga untuk setiap uV G

 

berlaku f u







f uv

 

h untuk semua v V G

 

yang adjacent dengan u. Bilangan h disebut magic constant. Graph yang memenuhi vertex magic total labelingdisebutvertex magic total graph.

Jika label dari vertex pada vertex magic total graph adalah bilangan integer yang terkecil yaitu



1,2,..., pq



maka labelingnya disebut super vertex magic total labelingdangraphnya disebutsuper vertex magic total graph.

Definisi 2.2

Super vertex magic total labeling dari (p, q)-graph, G, adalah pemetaan bijektif f V G:

    

E G  1, 2,...,pq



sedemikian hingga untuk setiap

 

uV G berlaku f V G

 

 





1,2,...,p



dan f u







f uv

 

h untuk semua

 

yang memenuhisuper vertex magic total labelingdisebutsuper vertex magic total graph.

Jika pada vertex magic total labeling menghasilkan bobot setiap vertex

yang tidak sama untuk setiap vertex u dan vertex v merupakan vertex yang

adjacent dengan vertex u maka labelingnya disebut vertex antimagic total labeling.

Definisi 2.3

Suatu pemetaan bijektif f V G:

    

E G  1, 2,...,pq



disebut vertex antimagic total labeling dari (p, q)-graph G jika bobot dari vertex

 

 

f

w u f u 



f uv , untuk setiap uV G

 

dan v V G

 

yangadjacent

denganusemuanya berbeda.

Jika bobot-bobot vertex pada vertex antimagic total labeling membentuk suatu barisan aritmetika naik dengan suku pertamaadan bedadmakalabelingnya disebut (a,d)vertex antimagic total labeling.

Definisi 2.4

Suatu pemetaan bijektif f V G:

    

E G  1, 2,...,pq



disebut (a,d)

vertex antimagic total labeling dari (p, q)-graph G jika bobot dari vertex-vertexnya membentuk barisan aritmetika naik dengan suku pertamaa dan beda d





f |





, , 2 ,...,

 

1



W w u u V a ad ad a p d .

Definisi 2.5

Jika terdapat pemetaan bijektif f E: Z sedemikian hingga semua vertex

mempunyai bobot w v



yang sama makagraph G disebutmagicdan pemetaan f

disebutmagic labelingpadaG. Definisi 2.6

Jika terdapat pemetaan bijektif f E: 



1,2,..., E



sedemikian hingga vertex

mempunyai bobot w v



yang sama maka graph G disebut supermagic dan pemetaanfdisebutsupermagic labelingpadaG.

3. Vertex Antimagic Total Labeling pada Multicycle Graph (mCp

Pada bagian ini dibahas mengenai vertex antimagic total labeling pada

multicycle graph (mCp. Pertama, akan dibahas mengenai basic counting untuk menentukan batasan suku pertama a dan beda d dari vertex antimagic total labelingpada multicycle graph (mCp. Kedua, akan dibahas mengenai multicycle graph(mCpyang memenuhivertex antimagic total labeling.

v v1,5 v v v2,5 v v vm,5 v

Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/263

graphke-1 graphke-2 graphke-m

Gambar 3.1Multicycle Graph(mCp

Pada multicycle graph (mCp, setiap cycle memiliki p buah vertex dan p buahedgesehinggamulticycle graphmemilikimpbuah vertexdanmpbuahedge. Jumlah total darivertex danedgeadalah 2mp. V mp,E mp, V  E 2mp.

Sw adalah jumlah semua bobot vertex,Sv adalah jumlah semua labelvertex, dan

Se adalah jumlah semua label edge. Bobot vertex pada multicycle graph adalah jumlahan dari labelvertex dan duaedgeyanginsident denganvertextersebut.





  











2 2 ... 1 Sv Se Sw Sv Se Se a a d a d a mp d             



2 1



 



1



2 mp mp mp mp  Se mp a  d   (3.1)

Berikut ini diberikan teorema tentang batas nilai a dan d agar multicycle graph memenuhi (a, d) vertex antimagic total labeling untuk semua m1 dan

3

p .

Teorema 3.1

Setiap multicycle graph (mCp) mempunyai (a, d) vertex antimagic total labelingdengan a6 dan d 6 untuk semua m1 dan p3.

Bukti :

Karena pelabelan dimulai dari angka 1 maka bobot vertexterkecil adalah 6, yaitu jumlahan label satu vertex dan dua edge yang insident dengan vertex

tersebut ambil label-labelnya 1, 2, dan 3 atau a   1 2 3 6 Bobotvertexyang paling besar adalah



1



2



2 1

 

2 2



amp d mp mp  mp . Untuka= 6 diperoleh









6 1 6 3 1 6 9 6 9 6 1 mp d mp mp d mp mp d mp           

Jadi untuk sebarang m1 dan p3 diperoleh a6 dan d 6. □ Selanjutnya diberikan teorema yang menunjukkan bahwamulticycle graph

memenuhiVATL. Teorema 3. 2

Padamulticycle(mCp) terdapat (2mp+ 2, 1)VATLuntuk m1 dan p3. Bukti :

Konstruksi multicycle graph (mCp) dengan label vertex ke-j dari graph ke-i (xi,j) dengan i 1,2,...,m dan j1,2,...,p sebagai berikut :

 

i j,



2



f x p m i j

Sedangkan label dariedgenya adalah





 

 

, , 1 ,1 , 1 ; 1,2,..., 1 dan 1 1 i j i j i i p f x x ip j j p f x x p i         

Dari konstruksi pelabelan di atas, berakibat label-label vertexnya semua kecil dan label-label edgenya semua besar. Karena label edge kecil semua, diperoleh





1 2 ... 1 2 Se mp mp mp      

Untukd= 1 maka Persamaan (3.1) menjadi



2 1





1

    

1 2 2 4 2 1 2 1 2 2 mp mp mp mp mp mp mp a mp mp a mp a mp              

Jadi terbukti multicycle graph memnuhi (2mp + 2, 1) VATL untuk m1 dan 3

p . □

Sebagai ilustrasi dari Teorema 3.2 diberikan contoh pelabelan untuk beberapa multicycle. Pada Gambar 3.2 merupakan contoh pelabelan multicycle

(20, 1)VATLuntuk 3C3.

Gambar 3.2 (20, 1)VATLuntuk 3C3

4. Vertex Antimagic Total Labeling pada Multicomplete Bipartite Graph



sKp p1,2



Multicomplete bipartite graph



sKp p₁, ₂



yang dimaksud dalam hal ini adalah

unconnected union dari s buah complete bipartite graph identik. Pembahasan

vertex antimagic total labeling pada multicomplete bipartite graph





1, 2 K_{p p} s hanya untukp₁  p₂ p. 1 2 3 16 17 18 4 5 6 13 14 15 7 8 9 10 11 12

Seminar Nasional-Pendidikan Sains FMIPA Unesa 2008/265 Teorema 4.1 Pada sKp,p mempunyai 3 2 2 2 ,1 2 p s p s p       

  VATL untuk p3 dengan p

genap ataupdan skeduanya ganjil. Bukti :

Shiu, dkk (2000) telah membuktikan bahwa sKp,p mempunyai supermagic labelingdenganp3 dengan pgenap atau p dans keduanya ganjil. Sedangkan Baca, dkk (2003) membuktikan bahwa setiap graph yang mempunyai

supermagic labelingmakagraphtersebut mempunyai (a, 1) VATL. Akibatnya terbukti bahwa pada sKp,p mempunyai

3 2 2 2 ,1 2 p s p s p         VATL untuk p3 dengan pgenap ataupdanskeduanya ganjil.

Karena sKp,p mempunyai supermagic labeling maka label dari semua edgenya kecil semua dan labelvertexnya besar semua, sehingga





2 2 2 1 2 ... 1 2 Se p s p s p s       dan



2



2





2



3 2 2 2 1 2 ... 2 4 4 2 2 S v p s p s s p p p s p s ps           Untukd= 1 diperoleh

 









 

_

2 2 3 2 2 2 4 2 3 2 2 3 2 2 1 2 ... 1 1 2 2 1 4 4 2 2 2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Sv Se V a V d p s p s ps ps p s p s ps psa psa p s p s p s ps p s p s p a         _  _   _{ }               

Jadi terbukti bahwa sKp,p mempunyai

3 2 2 2 ,1 2 p s p s p         VATL untuk p3

dengan p genap ataupdanskeduanya ganjil. □

5. Daftar Pustaka

Baca, M., dkk, 2003, Vertex Antimagic Total Labeling of Graph, Discuss. Math. Graph Theory, 23, 67 – 83.

Bodendiek, R. dan Walther, G., 1993,Arithmetisch Antimagische Graphen, dalam Wagner, K. dan Bodendiek, R., Graphentheorie III, BI – Wiss. Verl., Mannheim.

Hartsfield, N. dan Ringel, G., 1990, Pearls in Graph Theory, Academic Press, Boston – San Diego – New York – London.

Kotzig, A. dan Rosa, A., 1970, Magic Valuations of Finite Graphs, Canad. Math Bull, 13, 451 – 461.

MacDougall, J.A., dkk, 2002, Vertex Magic Total Labelings of Graphs, Util. Math, 61, 3 – 21.

Shiu, W.C., dkk, 2000, Supermagic Labeling of an s-duplicate of Kn,n, Congr. Numer., 146, 119 – 124.